DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS

DEFINICIÓN

Es aquel polígono de cuatro lados.

A D B C Cuadrilátero convexo A C B D Cuadrilátero no convexo

CUADRILÁTERO CONVEXO

 _{Lados opuestos: AB y CD, BC y AD.}  Diagonales: AC y BD.

 Suma de medidas de los ángulos internos. a + b + q + φ = 360º

CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS

CONVEXOS

Considerando el paralelismo o no de sus lados opuestos, se clasifican en:

 Trapezoide  Trapecio  Paralelogramo

1. Trapezoide

Es el cuadrilátero que no presenta lados opuestos paralelos.

1.1. Trapezoide Simétrico

Es el cuadrilátero en el cual una diagonal es mediatriz de la otra. A B C D a b a _b a a q q A D M N B C H a a b b

1.2. Trapezoide Asimétrico

Es el cuadrilátero que no presenta características especiales.

A D

B

C

2. Trapecio

Cuadrilátero que tiene dos lados opuestos paralelos denominados bases.

Clasificación de Trapecios

Considerando la longitud de los lados laterales, se clasifican en:

1. Trapecio Escaleno

Trapecio que tiene dos lados laterales de diferente longitud. A D B _C a b BC // AD a ≠ b A B C D (Trapecio rectángulo) 2. Trapecio Isósceles

Trapecio que tiene los lados laterales de igual longitud. En la figura BC // AD  Bases: BC y AD  _{Lados laterales: AB y CD}  _{Altura: BH}  _{Base media: MN} A D B C l l a a q q BC // AD_{AC = BD}

Teorema de Trapecios

1. En todo trapecio, la longitud de la base media es igual a la semisuma de las longitudes de las bases.

A D B C M N k k l l x a b En la figura, BC // MN // AD MN: base media ⇒ _{x =}

2. En todo trapecio, la longitud del segmento que tiene por extremos los puntos medios de las diagonales es igual a la semidiferencia de las longitudes de las bases. a + b 2 Demostraciones Resolución: A D B _C b a x E F En la figura, BC // EF // AD, BF = FD, AE = EC ⇒ _{x = b} - a 2

1. Demuestra que x = si ABCD es un trapecio de bases BC y AD. a + b 2 A D B _C l l n n a b x Se traza CQ // AB T. base media ⇒ _x - a = 2x - 2a = b - a 2x = b + a \ _{x =} b - a 2 b + a 2 A D B a C a a Q b - a x - a n n l l l l b

Observa:

Resolución:

2. Demuestra que x = si ABCD es un trapecio de bases BC y AD. b - a 2 b A D B C x a m n n m Se traza CQ // BC T. base media ⇒ _{x + a =} 2x + 2a = b + a 2x = b - a \ _{x =} b + a 2 b - a 2 A _D Q B a C x a m m a b n nm m 1. En el gráfico, calcule x. A D B C x a a b b 150º 60º Resolución: Por propiedad: 2b _{+ 2}a _{+ 150}º + 60º = 360º 2(b ₊ a_{) = 360}º- 210º b ₊ a _{= 75}º Luego en el D _AQB: b ₊ a _{+ x = 180}º 75º + x = 180º \ _{x = 105}º A D B C Q x aa b b 150º 60º

2. Calcule la longitud de la base media del trapecio ABCD si BC = 8, AB = 8 y CD = 12, además BC // AD. A D B C a a q q Resolución:

Sea la base media = x Por propiedad: x = x = 14 8 + 20 2 3. En el gráfico, calcula x. D C 130º 70º A B x a a b b Resolución: A Q B C D b b x a a 130º 70º Por propiedad: 2a + 2b = 130º + 70º 2(a + b) = 200º a + b = 100º En el D AQB: a + b + x = 180º \ _{x = 80}º

EJERCICIOS RESUELTOS

A D B M C N 45º 53º Resolución: A D B C M N 15 8 2 45º 45º 53º 37 º 8 x 12 Por teorema: x = \ _{x = 10} 8 + 12 2 5. En el gráfico, calcule x. Resolución: A D C B x 60º 40º 4. En la figura, BM = MC, AB = 8 2 y CD = 15. Calcule MN. ⇒ ₄₀º + 60º + x = 180º \ x = 80º A D C B x 40º 60º 60º 60º 40º

1. En el gráfico, calcula x. a) 100º b) 120º c) 150º d) 160º e) 170º A D B C 60º x50º 2. En el gráfico, calcula x. a) 30º b) 45º c) 53º d) 60º e) 70º A D B C x 120º 60º 3x 3. En el gráfico, calcula x. a) 90º b) 95º c) 100º d) 105º e) 110º A D B C x b b a a 150º 60º 4. En el gráfico, calcula x. a) 60º b) 70º c) 75º d) 80º e) 90º B A C D x 50º 130º a a b b

5. Calcula el perímetro del trapezoide simétrico ABCD.

a) 30 b) 35 c) 40 d) 50 e) 60 A C B D 5 15 6. En el trapezoide simétrico ABCD, calcula x. a) 30º b) 40º c) 50º d) 60º e) 45º A C B D x+10º x

7. En el trapecio isósceles ABCD, calcula x si BC // AD. a) 30º b) 40º c) 45º d) 50º e) 55º A D B _C 80º 2x 9. En el gráfico, calcula x. a) 80º b) 85º c) 90º d) 95º e) 100º A B C D x a_a b b 80º 10. En el gráfico, calcula x. a) 50º b) 60º c) 65º d) 70º e) 80º A D B C x b b a a 130º 70º

Trabajando en Clase

Nivel I _{Nivel II} Nivel III

8. Los ángulos A y B de un trapecio ABCD miden 80º y 120º, calcula la medida del ángulo agudo que forman las bisectrices exteriores de los ángulos C y D.

a) 70º b) 75º c) 80º d) 85º e) 90º

Rpta : Rpta :

Rpta : Rpta :

1. Si M y N son puntos medios de AC y BD, calcula MN si además BC = 2k y AD = 12 + 2k. A D B C M N a a

2. Calcula la longitud de la base media del trapecio ABCD si BC = 8, AB = 8, CD = 12 y BC // AD.

A D

B C

a a q _q

3. Del gráfico, calcula x en el trapecio ABCD si BC // AD.

A D

B C

10 a a b b 12

x

4. En el trapecio ABCD, calcula x si BC // AD.

A D

B C

4x+10º x

Rpta :

Rpta : Rpta :

Rpta : 5. Las longitudes de las bases y de la base media

suman 30. Calcula la longitud de la base media. 6. Si el segmento que une los puntos medios de las _{diagonales de un trapecio mide 5 y la longitud de} la base mayor mide 20, calcula la longitud de la base menor.

7. En el gráfico, ABCD es un trapecio. Calcula x si BC // AD. A _D B C P Q 6x+m 12 a b a b 12x+m

8. En el gráfico, calcula x si BC // AD.

A D B _C M N 6 10 2x