Apunts de Matemàtica Discreta i Àlgebra
Segona part: Àlgebra Lineal
Tema 6: Equacions lineals i matrius
Robert Fuster
Darrera actualització: 6 de febrer de 2007
Índex
Unitat Temàtica 17. Sistemes d’equacions lineals 3
17.1. Sistemes d’equacions lineals . . . 3
17.2. Classificació . . . 7
17.3. Sistemes equivalents i operacions elementals . . . 7
17.4. Sistemes escalonats . . . 8
Unitat Temàtica 18. Matrius escalonades. Algorismes de Gauss-Jordan 10 18.1. Matrius associades a un sistema lineal . . . 10
18.2. Matrius escalonades i algorismes de Gauss-Jordan . . . 10
18.3. Discussió i resolució de sistemes lineals . . . 15
18.3.1. Pivotació parcial . . . 18
18.3.2. Resolució de sistemes simultanis . . . 19
Unitat Temàtica 19. Matrius 20 19.1. Aritmètica matricial . . . 21
19.2. Suma de matrius . . . 21
19.2.1. Definició i exemples . . . 21
19.2.2. Propietats . . . 21
19.2.3. Suma per blocs . . . 22
19.3. Producte escalar-matriu . . . 23
19.3.1. Definició i exemples . . . 23
19.3.2. Propietats . . . 23
19.4. Producte de matrius . . . 24
19.4.2. Propietats . . . 25
19.4.3. Producte per blocs . . . 25
19.5. Expressió matricial dels sistemes lineals . . . 26
19.5.1. Expressió matricial de la solució general . . . 26
19.5.2. Sistemes homogenis . . . 28
19.6. El producte escalar enRn . . . 29
Unitat Temàtica 17.
Sistemes d’equacions lineals
Podem definir l’Àlgebra Lineal com l’estudi del espais vectorials i de les apli-cacions lineals o bé com l’estudi dels sistemes d’equacions lineals i les matrius. Tot i que estudiarem tots aquests conceptes, el punt de partida que s’adopte influeix notablement en la manera d’estudiar la matèria. Nosaltres entendrem que l’objecte de l’àlgebra lineal són els sistemes lineals i les matrius.
17.1.
Sistemes d’equacions lineals
Definició 1Una Equació Lineal és una expressió del tipus
a1x1+a2x2+ · · · +anxn =b (1)
on a1, a2, . . . , an ∈ R són els coeficients, b ∈ R és el terme
indepen-dent i x1, x2, . . . , xn són les incògnites.
Una solució particular de l’equació lineal és un vector
~s= (α1, α2, . . . , αn) ∈ Rn
tal que si substituïm xi =α1, x2 =α2, . . . , xn =αn, l’expressió (1) es
converteix en una identitat.
La solució general és el conjunt de totes les solucions particulars. Exemple 1
Solucions de l’equació
x1+x2−x3=1
El vector (2, 1, 2) és una solució particular de l’equació, perquè 0+2−1 = 1. En realitat, aquesta equació té moltes solucions; per exemple, el vector(0, 2, 1)
també ho és. De fet, l’equació es pot escriure com x1 =1−x2+x3
i llavors és clar que podem elegir arbitràriament el valor de dues incògnites i calcular la tercera:Posant x2= λ, x3 =µobtindrem x1 =1−x2+x3 =1−λ+ µ, de manera que l’equació admet infinites solucions.
La solució general és el conjunt
En general, qualsevol equació lineal en la qual algun coeficient és distint de zero es pot resoldre de la mateixa manera:
Si ai6= 0 aleshores l’equació (1) és equivalent a
xi =
1 ai
(b−a1x1−a2x2− · · · −ai−1xi−ai+1xi− · · · −anxn)
i la solució general s’obté donant-los valors arbitraris a totes les in-cògnites distintes de xi.
Definició 2
Un Sistema de m Equacions Lineals amb n incògnites és un conjunt d’equacions lineals a11x1+a12x2+ · · · +a1nxn =b1 a21x1+a22x2+ · · · +a2nxn =b2 . . . am1x1+am2x2+ · · · +amnxn =bm (2)
on a11, a12, . . . , amn ∈ R són els coeficients, b1, b2, . . . , bm ∈R són els
termes independents i x1, x2, . . . , xn són les incògnites.
Un vector
(α1, α2, . . . , αn) ∈ Rn
és una solució particular del sistema si ho és de totes les equacions que en formen part. La solució general del sistema (2) és el conjunt de totes les solucions particulars.
Discutir un sistema lineal és estudiar si té solucions i, en cas que en tinga, estudiar també si la solució és única.
Tots els sistemes lineals es poden discutir, i resoldre en cas que tinguen solu-ció, mitjançant un parell de mètodes generals molt simples que explicarem tot seguit. Primer de tot en veurem uns quants exemples senzills.
Exemple 2
Discussió i resolució del sistema lineal x1+x2−x3 =1
x1−x2+x3 =0
x1+2x2+2x3 =3/2
Si a la segona equació i a la tercera equacions els restem la primera obtindrem: x1+x2−x3=1
−2x2+2x3= −1
x2+3x3=1/2
Noteu que hem aconseguit eliminar la primera incògnita de les dos últimes equacions. Ara podem eliminar la segona incògnita en la tercera equació sumant-li la meitat de la segona:
x1+x2−x3 =1
−2x2+2x3 = −1 (3)
4x3 =0
Aquest sistema té una forma especial que el fa molt fàcil de resoldre, perquè es pot començar per la darrera equació, calculant-hi x3, substituir el resultat en la
segona i calcular llavors x2 i, finalment, substituir x3i x2 en la primera i trobar
x1. Així, podem assegurar que aquest sistema té una única solució:
x3 =0 x2 =1/2 x1=1/2
Els sistemes expressats en la forma (3) es diuen escalonats. El procés que hem seguit per a escalonar-lo és un cas molt simple de l’Algorisme de Gauss i, final-ment, el mètode que hem fet servir per a trobar la solució s’anomena substitució regressiva.
Exemple 3
Solucions del sistema lineal
x1+x2+x3 =1
x1−x2−x3 =0
x1−3x2−3x3 = −1
la mateixa manera; primer de tot, escalonarem el sistema: si a la segona i a la tercera equacions els restem la primera obtindrem:
x1+x2+x3 =1
−2x2−2x3 = −1
−4x2−4x3 = −2
Si ara restem el doble de la segona equació a la tercera resultarà: x1+x2+x3 =1
−2x2−2x3 = −1
0=0
Aquest sistema ja està escalonat, però ara la tercera equació no ens dóna cap in-formació, així que ens fixem en la segona, que és una equació amb dues incòg-nites, de manera que es pot resoldre aïllant x2i donant-li a x3un valor arbitrari:
x3=λ, x2=1/2−x3 =1/2−λ
Finalment, aïllem x1en la primera equació i obtenim
x1 =1−x2−x3 =1− (1/2−λ) −λ =1/2
De manera que el sistema té infinites solucions. Exemple 4
Discussió i solucions del sistema lineal x1+x2+x3=1
x1−x2−x3=0
x1−3x2−3x3=3
Si a la segona i a la tercera equacions els restem la primera obtindrem: x1+x2+x3 =1
−2x2−2x3 = −1
−4x2−4x3 =2
Si ara restem el doble de la segona equació a la tercera resultarà: x1+x2+x3 =1
−2x2−2x3 = −1
0=4
De manera que hem obtingut un sistema escalonat, però la última equació és clarament absurda i el sistema no pot tenir cap solució.
17.2.
Classificació
Els tres exemples que acabem de veure mostren que un sistema lineal pot tenir una solució, tenir-ne moltes o no tenir-ne cap. Per aquest motiu, atenent al nombre de solucions, els sistemes lineals es classifiquen en:
Compatibles: els que tenen solució.
Determinats: quan la solució és única.
Indeterminats: quan existeix més d’una solució. Incompatibles: els que no en tenen.
17.3.
Sistemes equivalents i operacions elementals
Definició 3Dos sistemes lineals són equivalents quan tenen exactament les ma-teixes solucions.
Per exemple, els sistemes
x1+x2 = 1 x1−x2 = 0 x1+x2 = 1 x1−x2 = 0 3x1−x2 = 1 són equivalents.
L’algorisme de Gauss i el de Gauss-Jordan es fan servir per a escalonar un sistema lineal, utilitzant unes transformacions molt senzilles, conegudes com operacions elementals.
Definició 4
Una operació elemental sobre un sistema lineal és qualsevol trans-formació d’algun dels següents tipus:
Tipus 1: Intercanviar l’ordre entre dues equacions. Tipus 2: Multiplicar una equació per un nombre no nul. Tipus 3: Sumar a una equació un multiple d’una altra.
Teorema 1
Si efectuem una operació elemental sobre un sistema lineal, alesho-res el nou sistema és equivalent a l’original.
Aquest teorema és trivial, però és la base dels algorismes d’escalonament.
17.4.
Sistemes escalonats
Per acabar aquesta unitat definirem el concepte de sistema escalonat. Direm que un sistema d’equacions lineals
a11x1+a12x2+ · · · +a1nxn =b1
a21x1+a22x2+ · · · +a2nxn =b2
. . . am1x1+am2x2+ · · · +amnxn =bm
és escalonat si la primera incògnita que apareix amb un coeficient no nul en cada equació és posterior a la primera incògnita amb un coeficient no nul en l’equació anterior.
Per exemple, els sistemes x1−2x2+x3 =0 4x2−x3 = −8 5x3 =20 x1+x2−2x3 +x5=0 4x4−5x5= −5 5x5=2 (4) són escalonats.
Quan un sistema és escalonat, el primer element no nul de cada equació s’a-nomena element principal o pivot; les incògnites que apareixen multiplicades, en alguna equació, per un pivot són les variables principals (o incògnites principals). Les que no són principals s’anomenen variables lliures. Per exemple, en el pri-mer sistema de l’expressió 4 totes les variables són principals, mentre que en el segon són principals x1, x4i x5i lliures les altres dues, x2i x3.
Els sistemes escalonats es resolen fàcilment pel mètode de substitució regressi-va, que consisteix en:
1. Aïllar en cada equació la incògnita principal, 2. substituir cada equació en totes les anteriors, 3. substituir les incògnites lliures per paràmetres.
Aplicant aquest mètode al primer dels exemples 4 tindrem: x1−2x2+x3 =0 4x2−x3 = −8 5x3 =20 −→ x1=2x2−x3 x2= −2+ (1/4)x3 x3=4 x3=3 −−→ x1 =2x2−x3 x2 = −1 x3 =4 x2=−1,x3=4 −−−−−−−→ x1 = −6 x2 = −1 x3 =4
De manera que el sistema és compatible determinat. En el cas del segon sistema, x1+x2−2x3 +x5=0 4x4−5x5= −5 5x5=2 −→ x1 = −x2+2x3−x5 x4 = −5/4+ (5/4)x5 x5 =2/5 x5=2/5 −−−−→ x1 = −x2+2x3−x5 x4 = −3/4 x5 =2/5 x5=2/5,x4=−3/4 −−−−−−−−−→ x1 = −2/5−x2+2x3 x4 = −3/4 x5 =2/5
Finalment, assignant paràmetres a les dues incògnites lliures, la solució ge-neral és aquesta:
x1= −2/5−λ+2µ x2 =λ x3 =µ x4 = −3/4 x5 =2/5
Unitat Temàtica 18.
Matrius escalonades. Algorismes
de Gauss-Jordan
18.1.
Matrius associades a un sistema lineal
Una matriu m×n és un conjunt de mn nombres reals ordenats en m files i n columnes que delimitaren amb un parell de parèntesis:
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . am1 am2 . . . amn
S’anomena matriu de coeficients del sistema lineal a11x1+a12x2+ · · · +a1nxn =b1 a21x1+a22x2+ · · · +a2nxn =b2 . . . am1x1+am2x2+ · · · +amnxn =bm la matriu m×n A= a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . am1 am2 . . . amn
La matriu ampliada del sistema és la matriu A B (m+1) ×n formada pels coe-ficients i els termes independents:
A B = a11 a12 . . . a1n b1 a21 a22 . . . a2n b2 . . . . . . am1 am2 . . . amn bm
18.2.
Matrius escalonades i algorismes de Gauss-Jordan
Tot i que les matrius tenen moltes altres aplicacions, en aquest context podem entendre-les com una manera convenient de representar els sistemes lineals. Primer de tot ens van a servir per a concretar el concepte d’escalonament.
Definició 5
Una operació elemental per files sobre una matriu és qualsevol transformació d’algun dels següents tipus:
Tipus 1: Intercanviar l’ordre entre dues files.
Tipus 2: Multiplicar una fila per un nombre no nul. Tipus 3: Sumar a una fila un multiple d’una altra. Definició 6
Una matriu és escalonada si
1. Les files nul.les, si en té, estan per baix de les no nul.les, i 2. El primer element no nul (per l’esquerra) de cada fila és més
a la dreta que el primer element no nul de la fila anterior (en altres paraules, per baix del primer element no nul de cada fila només hi ha zeros). Aquest primer element no nul és un element principal o pivot de la matriu
Si la matriu escalonada B s’obté fent operacions elementals sobre la matriu A direm que B és una forma escalonada de A.
Una matriu és escalonada principal si és escalonada i tots els seus pivots són 1. Si la matriu escalonada principal B s’obté fent operacions elementals sobre la matriu A direm que B és una forma escalonada de A.
Una matriu és escalonada reduïda si és escalonada principal i tots els elements situats per damunt dels uns principals són zeros. Si la matriu escalonada reduï-da B s’obté fent operacions elementals sobre la matriu A direm que B és la forma escalonada reduïda deA.
Es pot provar que la forma escalonada reduïda de una matriu existeix sem-pre i és única.
Exemple 5
Càlcul de diverses formes escalonades de la matriu 0 0 1 3 0 2 3 4 0 2 4 7
La matriu no és escalonada, perquè les files segona i tercera tenen el primer element no nul a l’esquerra del primer element no nul de la primera, així que
faem servir una operació elemental del primer tipus: intercanviarem les dues primeres files: 0 0 1 3 0 2 3 4 0 2 4 7 (fila 1)↔(fila 2) −−−−−−−−→ 0 2 3 4 0 0 1 3 0 2 4 7
Aquesta matriu tampoc no és escalonada, perquè el primer element no nul de la primera fila té un element no nul per baix (en la tercera fila). Per a resoldre-ho, fem una operació elemental del tercer tipus: a la tercera fila li restem la primera 0 2 3 4 0 0 1 3 0 2 4 7 (fila 3)-(fila 1) −−−−−−−→ 0 2 3 4 0 0 1 3 0 0 1 3
Aquesta matriu encara no és escalonada, perquè el primer element no nul de la segona fila té un element no nul per baix, així que a la tercera fila li restem la segona: 0 2 3 4 0 0 1 3 0 0 1 3 (fila 3)-(fila 2) −−−−−−−→ 0 2 3 4 0 0 1 3 0 0 0 0
I aquesta és una matriu escalonada. Els seus elements principals són 2 i 1. Si volem fer-la escalonada principal, haurem de dividir la primera fila per 2 (ope-ració elemental del segon tipus):
0 2 3 4 0 0 1 3 0 0 0 0 (fila 1)/2 −−−−→ 0 1 3/2 2 0 0 1 3 0 0 0 0
Per a què siga escalonada reduïda, per damunt dels elements principals també ha haver només zeros, així que hem de canviar el nombre 3/2 de la primera fila per un zero. Això s’aconsegueix restant-li (a la primera fila) la segona multipli-cada per 3/2 (operació elemental del tipus 3):
0 1 3/2 2 0 0 1 3 0 0 0 0 (fila 1)-(3/2)(fila 2) −−−−−−−−−−→ 0 1 0 −5/2 0 0 1 3 0 0 0 0
El mètode que hem fer servir es pot aplicar a qualsevol matriu, i es coneix com Algorisme de Gauss-Jordan. Notem que aquest algorisme té dues fases:
1. una primera fase d’escalonament, que s’anomena Algorisme de Gauss i que converteix la matriu en escalonada, fent zeros per baix dels elements principals
2. una segona fase de reducció, que la converteix en escalonada reduïda fent zeros per damunt dels uns principals.
Per a enunciar formalment l’algorisme, anomenarem A1, A2, . . . , Ana les
colum-nes de la matriu A, de manera que A = A1 A2 . . . An, aleshores direm que A és escalonada fins a la columna r si la submatriu A1 A2 . . . Ar és
escalonada. També direm que les files de A que contenen els pivots d’aquesta submatriu escalonada estan pivotades.
Per exemple, la matriu 0 3 0 0 −1 0 2 0 0 0 1 2 4 −5 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 4 −3
és escalonada fins a la cinquena columna i les dues primeres files estan pivota-des (perquè contenen els pivots 3 i 1).
Algorisme de Gauss
Aquest algorisme calcula una forma escalonada de la matriu A. Partim de la matriu S=Ai la transformarem fins que siga escalonada.
Pas 1: Si la matriu S conté files nul.les i aquestes files no estan per baix de totes les altres, aleshores fem les permutacions de files que calga (operacions del tipus 1) fins que ho estiguen.
Pas 2: Fins que la matriu S siga escalonada repetim
Elecció del pivot: Entre totes les files no pivotades elegim la que tinga el primer element no nul més a l’esquerra (si n’hi ha més d’una, n’elegim una qualsevol). Aquesta és la fila pivot i el seu primer element no nul és el pivot. Si la fila pivot no és la primera entre les no pivotades, fem una permutació de files (operació del tipus 1) perquè ho siga.
Escalonament: Fem zero tots els elements per baix del pivot, mitjançant operacions elementals.
En qualsevol moment del procés podem fer una operació elemental del tipus 2. En particular, si es vol obtenir una forma escalonada principal, al final del procés dividim totes les files no nul.les pels seus pivots.
Algorisme de Gauss-Jordan
Aquest algorisme calcula la forma escalonada reduïda de la matriu A. Par-tim de la matriu R=Ai la transformarem fins que siga escalonada. Pas 1: Executem l’algorisme de Gauss per a escalonar la matriu. Pas 2: Des del darrer pivot fins al segon,
Reducció: Fem zeros tots els elements per damunt d’ell, mit-jançant operacions elementals.
Pas 3: Dividim totes les files no nul.les pel pivot.
En qualsevol pas del procés es pot efectuar una operació elemental del tipus 2.
Exemple 6
Càlcul de la forma escalonada reduïda de la matriu M= 0 0 −2 0 7 12 2 4 −10 6 12 28 2 4 −5 6 −5 −1 0 0 −2 0 7 12 2 4 −10 6 12 28 2 4 −5 6 −5 −1 1a↔2a −−−→ 2 4 −10 6 12 28 0 0 −2 0 7 12 2 4 −5 6 −5 −1 3a←3a−1a −−−−−−→ 2 4 −10 6 12 28 0 0 −2 0 7 12 0 0 5 0 −17 −29 3a←3a+(5/2)2a −−−−−−−−−→ 2 4 −10 6 12 28 0 0 −2 0 7 12 0 0 0 0 1/2 1
Aquesta és una forma escalonada de M. 2 4 −10 6 12 28 0 0 −2 0 7 12 0 0 0 0 1/2 1 1a←(1/2)1a 2a←(−1/2)2a 3a←(2)3a −−−−−−−−→ 1 2 −5 3 6 14 0 0 1 0 −7/2 −6 0 0 0 0 1 2
Aquesta és una forma escalonada principal de M 1 2 −5 3 6 14 0 0 1 0 −7/2 −6 0 0 0 0 1 2 1a←1a−(6)3a 2a←2a+(7/2)3a −−−−−−−−−→ 1 2 −5 3 0 2 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 2 1a←1a+(5)2a −−−−−−−→ 1 2 0 3 0 7 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 2
Aquesta és la forma escalonada reduïda deM.
18.3.
Discussió i resolució de sistemes lineals
Suposem que volem discutir i resoldre un sistema lineal qualsevol. Primer de tot aplicarem l’algorisme de Gauss per a obtenir una forma escalonada de la matriu ampliada del sistema.
Per a discutir i resoldre aquest sistema escalonat anomenarem variables prin-cipals (o incògnites prinprin-cipals) a aquelles incògnites que en alguna equació apa-reixen multiplicades per un element principal, i variables (o incògnites) lliures a les que no són principals.
Aleshores,
• Si la columna dels termes independents té alguna fila pivot, aleshores el sistema és incompatible, perquè aquesta fila cor-respon a l’equació
0x1+0x2+ · · · +0xn =b
amb b distint de zero (perquè és un element principal).
• En cas contrari el sistema és compatible i la solució es pot ob-tenir aïllant en cada equació el seu element principal, substi-tuint cada equació en totes les anteriors (substitució regressi-va) i substituint totes les variables lliures per paràmetres. Per tant,
– Si totes les variables són principals, el sistema és compa-tible determinat
– Si hi ha alguna variable lliure, el sistema és compatible indeterminat, i té un conjunt infinit de solucions que es pot expressar amb tants paràmetres com variables lliures té.
Podem formalitzar aquest raonament introduint el concepte de rang d’una matriu.
Definició 7
El rang de la matriu A, rang A, és el nombre d’uns principals de la seua forma escalonada reduïda (o, equivalentment, el nombre de files no nul.les de qualsevol de les seues formes escalonades). Teorema 2
(Teorema de Rouché-Frobenius)Si A i A∗són respectivament la ma-triu d’un sistema lineal amb n incògnites i la seua mama-triu ampliada, aleshores
• El sistema és compatible si i només si rang A=rang A∗
• Si el sistema és compatible, aleshores el nombre de variables principals és rang A i el de variables lliures n−rang A
• Si el sistema és compatible, aleshores és determinat si i només si rang A=n
Aquest és un dels teoremes importants de l’àlgebra lineal. Exemple 7
Solució del sistema
− 2x3 + 7x5 = 12
2x1 + 4x2 − 10x3 + 6x4 + 12x5 = 28
2x1 + 4x2 − 5x3 + 6x4 − 5x5 = −1
mitjançant l’algorisme de Gauss.
La matriu ampliada d’aquest sistema és la de l’exemple 6, així que una forma escalonada seua és 2 4 −10 6 12 28 0 0 −2 0 7 12 0 0 0 0 1/2 1
de manera que el rang de la matriu de coeficents i el de la matriu ampliada són 3, les variables x1, x3, x5són principals i x2, x4són lliures. El sistema és compatible
indeterminat (amb dos paràmetres) i equivalent al sistema 2x1+4x2−10x3+6x4+12x5=28
−2x3 +7x5=12
1/2x5=1
Per a obtenir la solució general, fem servir el mètode de substitució regressiva: aïllem en cada equació la incògnita principal i substituïm cada equació en totes les anteriors. x1 =14−2x2+5x3−3x4−6x5 x3 = −6+7/2x5 x5 =2 x5=2 −−→ x1 =2−2x2+5x3−3x4 x3 =1 x5 =2 x3=1 −−→ x1 =7−2x2−3x4 x3 =1 x5 =2
Finalment substituïm les incògnites lliures x2 i x4 per paràmetres i obtenim la
solució
x1 =7−2λ−3µ, x2 =λ, x3 =1, x4 =µ, x5=2
Si en comptes de l’algorisme de Gauss fem servir el de Gauss-Jordan no serà necessària la fase de substitució regressiva, perquè aquesta fase coincideix amb la darrera etapa de l’algorisme (fer zeros per damunt de les variables princi-pals).
Exemple 8
Solució del sistema
− 2x3 + 7x5 = 12
2x1 + 4x2 − 10x3 + 6x4 + 12x5 = 28
2x1 + 4x2 − 5x3 + 6x4 − 5x5 = −1
mitjançant l’algorisme de Gauss-Jordan.
La forma escalonada reduïda de la matriu de coeficients del sistema és 1 2 0 3 0 7 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 2
de manera que les variables x1, x3, x5són principals i x2, x4són lliures. El
siste-ma lineal és equivalent a aquest:
x1+2x2+3x4=7
x3=1
x5=2
Així que aïllant en cada equació el seu element principal resulta x1=7−2x2−3x4
x3=1
x5=2
i la solució general s’obté canviant les dues variables lliures per paràmetres: x1 =7−2λ−3µ, x2 =λ, x3 =1, x4 =µ, x5=2
18.3.1. Pivotació parcial
Quan es treballa amb un nombre limitat de xifres decimals es cometen errors d’arrodoniment, que quan es propaguen poden ser molt grans si no s’elegeixen adequadament els pivots.
Considerem el sistema lineal
0,0001x+y = 1 x+y = 2
Elegint la primera fila com a fila pivot i escalonant obtindrem el sistema equi-valent 0,0001x+y = 1 −9 999y = −9 998 o bé x+10 000y = 10 000 y = 9 9989 999 (5) d’on y =0,999899989998 . . . , x=1,000100010001 . . .
Si treballem amb una màquina que només pot treballar amb tres xifres decimals significatives, el sistema (5) es convertirà en
x+10 000y = 10 000
i la solució que obtindrem serà y = 1, x = 0 de manera que l’error d’arrodo-niment es multiplica per 10 000 en un sol pas. Per evitar aquest problema, és convenient de fer servir l’algorisme de Gauss amb pivotació parcial, que consis-teix a elegir sempre el pivot més gran possible (en valor absolut).
En el nostre exemple, elegiríem la segona fila com a fila pivot: 0,0001x+y = 1 x+y = 2 −→ x+y = 2 0,0001x+y = 1 −→ x+y = 2 0,9999y = 0,9998 Però com que la nostra màquina només treballa amb tres xifres significatives aquest sistema s’aproximarà com
x+y = 2 y = 1 i obtindrem la solució aproximada y =1, x =1.
18.3.2. Resolució de sistemes simultanis
A vegades s’han de resoldre diversos sistemes lineals amb els mateixos coefici-ents però difercoefici-ents segons membres, com ara
x+y = 0 x−y = 0 x+y = 1 x−y = 0 x+y = 0 x−y = 1 x+y = 1 x−y = 1
L’algorisme de Gauss-Jordan permet resoldre’ls simultàniament de la següent manera:
• Es construeix una matriu ampliada amb els coeficients dels sistemes i tots els segons membres
• Es calcula la forma escalonada reduïda d’aquesta matriu • Es discuteix la compatibilitat i es resol cada sistema. En el nostre exemple, considerem la matriu
1 1 0 1 0 1 1 −1 0 0 1 1
La seua forma escalonada reduïda és
1 0 0 1/2 1/2 1 0 1 0 1/2 −1/2 0
Així que tots els sistemes són determinats i les solucions són, respectivament, els vectors(0, 0),(1/2, 1/2), (1/2,−1/2)i(1, 0).
Unitat Temàtica 19.
Matrius
Comencem recordant la definició de matriu. Definició 8
Una matriu m×n és un conjunt de mn nombres realsa ordenats en m files i n columnes que es delimiten amb un parell de parèntesis:
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . am1 am2 . . . amn
El conjunt de totes les matrius m×n es representa comMm,n.
aEn aquest curs només estudiarem les matrius reals
Perquè dues matrius siguen considerades iguals cal que tinguen les mateixes dimensions (nombre de files i columnes) i els mateixos elements en les mateixes posicions. Així, les matrius1 2 3
4 5 6 i 1 2 3 4 5 6 no són iguals.
Les matrius solen representar-se abreujadament com aijmn, o més
simple-ment com aij o bé amb lletres majúscules (A, B, I, . . . )
Quan m = n direm que la matriu és quadrada d’ordre n. El conjuntMn,n es representa simplement comMn.
Quan m =1 la matriu s’anomena vector fila (o matriu fila).
Quan n =1 la matriu s’anomena vector columna (o matriu columna). Els nombres aijs’anomenen entrades o elements de la matriu.
La matriu nula m×n, és la matriu les entrades de la qual són totes zero. Es representa per O o per(0):
O= 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 . . . . . . 0 0 . . . 0
La matriu quadrada I= 1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 . . . . . . 0 0 . . . 1
(on els elements aiisón tots iguals
a 1 i la resta d’elements són zeros) s’anomena matriu identitat.
Si A = aij anomenem matriu oposta de A a la matriu −A = −aij que
resulta de canviar els signes a totes les entrades de A.
19.1.
Aritmètica matricial
Les matrius es poden sumar i multiplicar i també es poden multiplicar per es-calars.
19.2.
Suma de matrius
19.2.1. Definició i exemples Definició 9Si A, B∈ Mm,n, aleshores la suma A+Bés la matriu m×n
A+B= a11+b11 a12+b12 . . . a1n+b1n a21+b21 a22+b22 . . . a2n+b2n . . . . . . am1+bm1 am2+bm2 . . . amn+bmn
La suma és una operació interna en el conjuntMm,n. Exemple 9 1 2 3 −1 0 −2 +1 0 −3 2 0 4 =2 2 0 1 0 2 1 2 3 + −1 0 −2 = 0 2 1 19.2.2. Propietats
La suma de matrius satisfà les següents propietats: Associativa
Commutativa A+B=B+A, A, B∈ Mm,n Element neutre A+O =A, A, O∈ Mm,n Element simètric A+ (−A) =O, A∈ Mm,n
(això vol dir que el conjuntMm,n, amb l’operació suma és un grup abelià).
19.2.3. Suma per blocs
Si dues matrius se subdivideixen en blocs de les mateixes dimensions, poden sumar-se per blocs.
Exemple 10 Si A= 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 2 3 4 5 = I O A21 A22 i B= 0 0 0 2 4 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 −2 3 −1 5 = O B12 B21 B22 aleshores, A+B= I+O O+B12 A21+B21 A22+B22 = 1 0 0 2 4 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 2 0 6 3 10
19.3.
Producte escalar-matriu
19.3.1. Definició i exemplesDefinició 10
Si A∈ Mm,ni λ∈ R, aleshores el producte λA és la matriu
λA=
λa11 λa12 . . . λa1n
λa21 λa22 . . . λa2n
. . . . . .
λam1 λam2 . . . λamn
Exemple 11 2 1 2 3 −1 0 −2 = 2 4 6 −2 0 −4 1 2 −1 0 −2 = −1/2 0 −1 19.3.2. Propietats
Associativitat amb el producte d’escalars
λ(γA) = (λγ)A, λ, γ∈ R, A∈ Mm,n
Distributiva respecte a la suma d’escalars
(λ+γ)A=λA+γA, λ, γ∈ R, A∈ Mm,n
Distributiva respecte a la suma de matrius
λ(A+B) = λA+λB, λ∈ R, A, B∈ Mm,n
Element neutre
1A=A, A∈ Mm,n
Moltes altres propietats es poden provar directament o bé deduir-se d’aquestes, per exemple:
Propietats 1 1. 0A=O, ∀A ∈ Mm,n 2. αO =O, ∀α ∈R 3. Si λ ∈ R i A∈ Mm,n, aleshores λA=O⇐⇒ λ=0 ó A=O
19.4.
Producte de matrius
19.4.1. Definició i exemples Definició 11Si A ∈ Mm,n i B ∈ Mn,p, aleshores el producte AB és la matriu m×p AB = n
∑
j=1 a1jbj1 n∑
j=1 a1jbj2 . . . n∑
j=1 a1jbjp n∑
j=1 a2jbj1 n∑
j=1 a2jbj2 . . . n∑
j=1 a2jbjp . . . . . . n∑
j=1 amjbj1 n∑
j=1 amjbj2 . . . n∑
j=1 amjbjp Exemple 12 Si A=1 2 3 0 1 −1 i B= 0 1 1 2 2 −1 , aleshores, AB= 8 2 −1 3 , i BA= 0 1 −1 1 4 1 2 3 7 19.4.2. Propietats Associativa
A(BC) = (AB)C, A∈ Mm,n, B∈ Mn,p, C∈ Mp,q
Distributiva per l’esquerra
A(B+C) = AB+AC, A∈ Mm,n, B, C ∈ Mn,p
Distributiva per la dreta
(A+B)C =AC+BC, A, B∈ Mm,n, C ∈ Mn,p
Associativitat amb el producte per escalar
λ(AB) = (λA)B=A(λB), λ∈ R, A∈ Mm,n, B∈ Mn,p
Elements neutres
AI =A, IA=A, A∈ Mm,n
Elements absorbents
AO=O, OA=O, A∈ Mm,n
El producte no és commutatiu: observeu que segons les dimensions de les matrius A i B, les dimensions de AB i de BA poden no coincidir, o pot ser que un producte no estiga ben definit. Però inclús entre matrius quadrades del mateix ordre no es verifica la commutativitat.
Exemple 13 1 0 2 0 1 1 −1 0 =1 1 2 2 1 1 −1 0 1 0 2 0 = 3 0 −1 0
El producte de dues matrius no nul.les pot ser la matriu nu˙la, com podem veure en el següent exemple: Exemple 14 1 2 1 2 −2 5 1 −5/2 =0 0 0 0
19.4.3. Producte per blocs
Si les matrius se subdivideixen en blocs de dimensions adequades, poden multiplicar-se per blocs.
Exemple 15 Si A= 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 2 3 4 5 = I O A21 A22 i B= 1 2 0 1 −1 1 1 0 0 1 = B1 I Aleshores, AB= IB1+OI A21B1+A22I = B1 A21B1+A22 = 1 2 0 1 −1 1 2 12
19.5.
Expressió matricial dels sistemes lineals
Si A = a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . am1 am2 . . . amn , X = x1 x2 .. . xn i B = b1 b2 .. . bm , aleshores el sistema lineal a11x1+a12x2+ · · · +a1nxn =b1 a21x1+a22x2+ · · · +a2nxn =b2 . . . am1x1+am2x2+ · · · +amnxn =bm
es pot expressar com
AX=B
Aquesta és la forma matricial del sistema. Alternativament, si A1, A2, . . . Ansón les
columnes de la matriu A, també podem escriure el sistema com x1A1+x2A2+. . . xnAn =B
expressió que es coneix com forma vectorial del sistema lineal. 19.5.1. Expressió matricial de la solució general
Suposem que la matriu A és escalonada reduïda. Anomenarem columnes prin-cipals i lliures, respectivament, a les columnes corresoponents a les variables
principals i a les variables lliures. Aleshores, la part principal de A és la matriu Apque resulta de canviar les columnes lliures de A per zeros, i la part lliure és la
matriu Alque resulta de canviar-hi les columnes principals.1 Per exemple, si
A= 1 2 0 0 1 0 0 1 0 2 0 0 0 1 0 aleshores Ap = 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 Al = 0 2 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0
Evidentment, A=Ap+Al. Aleshores, el sistema lineal AX=Bes pot expressar com
AX =B⇐⇒ (Ap+Al)X=B⇐⇒ ApX=B−AlX
on, per la forma especial de les matrius Ap i Al, tenim les variables principals
en funció de les lliures. Exemple 16
Calculem la solució general del sistema 1 2 0 0 1 0 0 1 0 2 0 0 0 1 0 X= 1 2 −1 Posem Ap = 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 Al = 0 2 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 I de ApX= 1 2 −1 −AlXresulta 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 x1 x2 x3 x4 x5 = 1 2 −1 − 0 2 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 x1 x2 x3 x4 x5 1La matriu A
és a dir,
x1 =1−2x2−x5
x3 =2−2x5
x4 = −1
19.5.2. Sistemes homogenis
Un sistema lineal és homogeni quan tots els termes independents són nuls. A cada sistema lineal complet AX =Bli associarem el sistema homogeni AX =O.
Els sistemes homogenis sempre són compatibles (perquè X=Osempre n’és solució), però poden ser determinats o indeterminats, segons que le rang d ela matriu de coeficients siga igual o menor que le nombre d’incògnites.
És interessant estudiar la relació que existeix entre les solucions d’un siste-ma complet (compatible) i les del sistesiste-ma homogeni corresponent. Si apliquem l’algorisme de Gauss-Jordan a la matriu ampliada A B O , obtindrem la matriu escalonada reduïda R C O on R és la forma escalonada reduïda de A. Aleshores, si Rp i Rl són respectivament les parts principal i lliure de la
matriu R, la solució general de sistema complet es pot espressar com RpX=C+RlX
i la solució del sistema homogeni com
RpX=RlX és a dir, que
Teorema 3
Si el sistema lineal AX=Bés compatible, aleshores la solució gene-ral d’aquest sistema s’obté sumant una solució particular seua a la solució general del sistema homogeni associat.
Exemple 17 Al sistema lineal 1 2 0 0 1 0 0 1 0 2 0 0 0 1 0 X= 1 2 −1
li associem el sistema homogeni 1 2 0 0 1 0 0 1 0 2 0 0 0 1 0 X= 0 0 0
La solució general del sistema complet és
x1 =1−2x2−x5
x3 =2−2x5
x4 = −1
o, millor,
S = {(x1, x2, x3, x4, x5): x1 =1+2λ−µ, x2=λ, x3=2−2µ, x4 = −1, x5=µ}
mentre que la solució del sistema homogeni és x1 = −2x2−x5 x3 = −2x5 x4 =0 o bé S0={(x1, x2, x3, x4, x5): x1 =2λ−µ, x2 =λ, x3 = −2µ, x4 =0, x5 =µ} així queS = (1, 0, 2,−1, 0) + S0.
19.6.
El producte escalar en
R
nEn el conjunt de vectors n-dimensionalsRn, és a dir en el producte cartesià Rn{(x
1, x2, . . . , xn): x1∈ R, x2 ∈R, . . . , xn ∈ R}
a més de les operacions algèbriques de suma de dos vectors i producte escalar-vector (anàlogues a la suma i el producte per escalar en les matrius), es defineix
una altra operació, molt important des del punt de vista geomètric: el producte escalar.
Definició 12
El producte escalar dels dos vectors ~u = (u1, u2, . . . , un) i ~v =
(v1, v2, . . . , vn). És el nombre real
~u· ~v =u1v1+u2v2+ · · · +unvn
Les principals propietats del producte escalar són aquestes: Propietats 2
1. El producte escalar és commutatiu, és a dir,
~u· ~v= ~u· ~v, ∀~u,~v∈ Rn
2. També te la propietat distributiva,
(α~u+β~v) · ~w=α~u· ~w+β~v· ~w, ∀~u,~v,w~ ∈Rn, ∀α, β ∈R
3. I és definit positiu, és a dir, • ~u· ~u ≥0
• ~u· ~u =0⇔ ~u= ~0
Com acabem de dir, el producte escalar és especialment interessant des del punt de vista geomètric. Per això introduïm les següents definicions.
Definicions 1
1. La longitud o norma del vector√ ~u és el nombre positiuk~uk = ~u· ~u.
2. Dos vectors~u i~v són ortogonals si~u· ~v=0.
3. Direm que dos subconjunt deRn, A i B, són ortogonals si tots els vectors de A són ortogonals a tots els de B, i ho represen-tarem escrivint A⊥B.
4. El conjunt de tots els vectors ortogonals al conjunt A s’anome-na espai ortogos’anome-nal de A i es representa com A⊥.
19.6.1. Ortogonalitat i sistemes homogenis
Per acabar aquest capítol interpretarem geomètricament els sistemes lineals ho-mogenis. Observem que en el sistema lineal
a11x1+a12x2+ · · · +a1mxm =b1
a21x1+a22x2+ · · · +a2mxm =b2
. . . an1x1+an2x2+ · · · +anmxm =bn
el primer membre de cada equació és el producte escalar d’una fila de la matriu de coeficients del sistema pel vector de les incògnites: si A1, A2,. . . , Am són les files de la matriu A i X= (x1, x2, . . . , xn)
a11x1+a12x2+ · · · +a1nxn =0⇐⇒ A1·X=0
a21x1+a22x2+ · · · +a2nxn =0⇐⇒ A2·X=0
. . .
am1x1+am2x2+ · · · +amnxn =0⇐⇒ Am·X=0
això significa que un vector és solució del sistema homogeni si i només si és ortogonal a totes les files de la matriu A.
La solució general del sistema lineal homogeni AX = O és l’espai ortogonal al conjunt de les files de la matriu A.
Exemple 18 * A A A A A A A A A= (2, 1) 2x+y=0
Les solucions de l’equació 2x+y = 0 són tots els punts de la forma (−λ, 2λ),
és a dir, la recta de direcció (−1, 2). Aquesta recta és ortogonal al vector
