Problemes d Equacions Diferencials Llista 2

(1)

Problemes d’Equacions Diferencials

Llista 2

2.1. Doneu diferents parelles (ϕ, I) solucions del problema de Cauchy

˙x = tx2_,

x(1) = 1. Feu el mateix per al problema de Cauchy

˙x = x3/5, x(1) = 0. 2.2. Si x(t) ´es soluci´o del problema

˙x = et(x+1)_{− cos t,}

x(0) = 0, demostreu que x(t) t´e un m´ınim relatiu a t = 0.

2.3. Quin és l’interval màxim de definició de les solucions de l’equació ˙x = x2₂−1? 2.4. Sigui f : Rn_{−→ R}n _{tal que el problema de Cauchy}

˙x = f (x), x(t0) = x0,

té una única solució, sigui ϕ(t). Suposem que existeix T > 0 tal que ϕ(t0) =

ϕ(t0+ T ). Demostreu que la solució ϕ està definida per a tot t ∈ R i que ϕ(t) és

peri`odica.

2.5. Considerem la funci´_{o f : R × R −→ R definida per f (x, y) = |y|. ´}Es una funci´o Lipschitz respecte la segona variable? I respecte la primera?

2.6. Estudieu si la funció f satisfà alguna condició de Lipschitz global o local respecte de x. En cas afirmatiu calculeu la constant de Lipschitz.

(a) f (t, x) = x2_{, x ∈ (0, 1).}

(b) f (t, x) = t2+ x4, |t| < 1 i |x| < 3. (c) f (t, x) = xn_{, n > 1 i x ∈ R.}

(d) f (t, x) = p(t) cos x + q(t) sin x, |t| < 100, x ∈ R i p(t), q(t) funcions cont´ınues. (e) f (t, x) = te−x2_{, |t| < 1, x ∈ R.}

(f) f (t, x) = x1/3_{, x ∈ (−1, 1).}

(2)

2.7. _{(a) Sigui Ω ⊂ R × R}n _{un domini i f : Ω −→ R}n_{, f := f (t, x). Comproveu que}

i. si f ´es localment Lipschitz respecte la segona variable aleshores ´es cont´ınua respecte la variable x,

ii. si f ´es Lipschitz respecte la segona variable aleshores ´es uniformement cont´ınua respecte la variable x,

iii. la funci´o f (t, x) =

√

x si x ∈ [0, 1],

−√−x si x ∈ [] − 1, 0], és uniformement cont´ınua però no és Lipschitz.

(b) Si f és cont´ınua i Ω és compacte demostreu que si f és localment Lipschitz aleshores és Lipschitz.

2.8. Sigui Ω ⊂ R × Rn un domini i f : Ω −→ Rn amb f := f (t, x). Suposem que f ∈ C1_(Ω).

(a) Demostreu que f ´es localment Lipschitz respecte x.

(b) Demostreu que f és Lipschitz respecte x si i només si _∂x∂f està acotada.

(c) Comproveu que la funció g(x) = x2_{, x ∈ R és localment Lipschitz, però no és}

Lipschitz. (d) Comproveu que

3x si x ≥ 0,

−2x si x < 0, és Lipschitz però no és diferenciable. 2.9. Donat el problema de valor inicial

˙x =p|x|, x(0) = 0, (a) doneu una soluci´o.

(b) ´Es ´unica?

(c) En cas de resposta negativa, contradiu aix`o el Teorema de Picard? 2.10. Considerem l’equaci´o diferencial y0 = p(x)q(y) tal que

(a) p : (0, ∞) −→ R ´es Lipschitz, acotada i p(1) = 1, (b) q(y) = 1

1+y2.

En aquestes condicions, estudieu l’exist`encia i unicitat de la soluci´o ψg. Sigui ara

ψp la solució que passa pel punt (1, 2). Comproveu si ψp té un màxim en el punt 1.

2.11. Sigui a(t) = 1 si t ≤ 0,

0 si t > 0. Comproveu que el problema de Cauchy

˙x = a(t) + x, x(0) = x0,

no té solucions cont´ınues definides en un entorn de t = 0 i que la funció f (t, x) és lipschitziana respecte de la variable x. Per què no contradiu això el teorema de Peano?

(3)

2.12. Considerem el problema de Cauchy

˙x = f (t, x), x(t0) = x0,

on f (t, x) = a(t)x(t) + b(t)(x(t))r_{, on r ∈ R , a, b s´on funcions cont´ınues definides}

a R i x0 > 0. Estudieu-ne, segons els valors de r, l’exist`encia i la unicitat local.

Decidiu en quins casos la soluci´o ’explota’ (´es a dir, limt→t?x(t) = ∞ per un cert

t?_{) i en quins casos la soluci´}_{o s’anul·la (lim}

t→t?x(t) = 0 per un cert t?). Preciseu tot

el que pugueu dels c`alculs anteriors per a les funcions a ≡ 0 i b ≡ 1.

Indicaci´o: Comproveu que la funci´o y = x1−r _´_{es soluci´}_{o d’una certa equaci´}_o

difer-encial lineal; resoleu aquesta ´ultima expl´ıcitament.

2.13. Sigui I un interval obert (fins i tot I = R) i f : I × Rn_{−→ R}n _{una funci´}_{o cont´ınua.}

Suposem que per a tot subinterval compacte J de I f ´_{es lipschitziana en x a J × R}n. Proveu que, sota aquestes hip`otesis, per a qualsevol (t0, x0) ∈ I × Rn el problema

de valor inicial

˙x = f (t, x), x(t0) = x0,

té una única solució definida a I. 2.14. Considerem el problema de Cauchy

˙x = f (t, x), x(t0) = x0,

on f : R × Rn _{−→ R}n _´_{es cont´ınua i verifica kf (t, x}

1) − f (t, x2)k ≤ L(t)kx1 − x2k,

per a tot x1, x2 ∈ Rn amb L(t) cont´ınua a R. Demostreu que hi ha soluci´o ´unica

definida per a tot t ∈ R.

2.15. (Examen parcial 2004-05) Sigui l’equaci´o

x0(t) = log(x(t)).

(a) Calcular els dominis d’exist`encia i unicitat de soluci´o.

(b) Calcular els dominis de les solucions tals que x(0) = x0, tenint en compte els

possibles valors d’x0.

2.16. Donada l’equació diferencial x0 =√x − 6, contesteu les següents qüestions:

(a) Existeix unicitat local de la soluci´o per les condicions inicials (t1, x1) = (0, 0) i

(t2, x2) = (0, 6)?

(b) Existeix unicitat global de la soluci´o per les condicions inicials (t1, x1) = (0, 1)

i (t2, x2) = (0, 7)?

(4)

(d) Podem estendre les solucions de l’equaci´_{o inicial a tot R?} 2.17. Proveu que la funci´_{o f : R × R −→ R definida com}

f (t, x) = _tx

t2_+x2, (t, x) 6= (0, 0),

0, (t, x) = (0, 0), no ´es cont´ınua a l’origen, per`o el problema de Cauchy

˙x = f (t, x), x(t0) = x0,

t´e soluci´o per tot (t0, x0) ∈ R2.

2.18. Sigui f : (t0, t1) × R −→ R una funci´o cont´ınua. Suposem que f ´es decreixent en x.

Demostreu que per a tot x0 ∈ R el problema

˙x = f (t, x), x(t0) = x0,

té una única solució.

2.19. (Examen parcial 2004-05) Considereu l’equaci´o diferencial seg¨uent ˙x = f (t, x) _{on f : Ω ⊂ R × R}n _{−→ R}n i f ∈ C(Ω).

En aquestes condicions, raoneu si són certes o falses les afirmacions següents. (a) Per a tot (t0, x0) ∈ Ω existeix una única solució del problema de Cauchy

˙x = f (t, x), x(t0) = x0.

(b) Si Ω = (a, b) × Rn_{, amb −∞ < a < b < ∞, llavors les solucions maximals estan}

definides en (a, b).

2.20. (Examen parcial 2004-05) Considereu les expressions seg¨uents

2pcos(t) − 1dx + sin(t)dt = 0 (1)

2p1 + cos(t)dx + sin(t)dt = 0 (2)

(a) Doneu dominis maximals Ω, si ´es que n’hi ha, per als quals les expressions anteriors s´on equacions diferencials.

(b) En algun dels casos anteriors tenim existència i unicitat de solució en algun dels dominis que heu trobat? En cas afirmatiu, trobeu la solució en un domini Ω fixat. En cas contrari doneu els contraexemples adients.

(5)

2.21. Considereu l’equaci´o diferencial x0(t) = 1 + sin(x(t) − t).

(a) Demostreu, sense resoldre-la, que per a tot t > 0 i tota soluci´o que verifiqui x(0) > 0, ´es positiva i compleix que x(t) < x(0) − 2t.

(b) Considerem la soluci´o x(t) tal que x(0) = ε. Es compleix que x(t) < t + εet_cos(t).

(c) Resoleu, finalment, l’equaci´o.

2.22. Una funci´_{o f : R −→ R de classe C}1 _satisf`_{a f (n) = 0 per a tot enter n. Demostreu}

que totes les solucions maximals de l’equaci´o ˙x = f (x) estan afitades i definides sobre tot R.

2.23. Considerem l’equaci´_{o diferencial ˙x = f (x), x ∈ R, amb f localment Lipschitz amb} un nombre finit de zeros a1 < a2 < . . . < an. Proveu que per tot (t0, x0) ∈ R2 amb

a1 ≤ x0 ≤ an la soluci´o ϕ(t) amb ϕ(t0) = x0 est`a definida per a tot t ∈ R.

Demostreu que si ai < x0 < ai+1 per a cert i = 1, . . . , n − 1, aleshores la soluci´o

ϕ(t) amb ϕ(t0) = x0 satisf`a limt→∞ϕ(t) = ai+1, limt→−∞ϕ(t) = ai si f (x) > 0 sobre

(ai, ai+1), i limt→∞ϕ(t) = ai, limt→−∞ϕ(t) = ai+1 si f (x) < 0 sobre (ai, ai+1).

2.24. Determineu segons el valor de x0 l’interval de definici´o de la soluci´o del problema

˙x = x3− x2_,

x(t0) = x0.

2.25. Donada l’equaci´o diferencial

y0 = (

x2_y2

x2_+y2 si (x, y) 6= (0, 0),

0 si (x, y) = (0, 0).

(a) Doneu el domini maximal d’exist`encia i unicitat de solucions. (b) Determineu l’interval de definci´o de les solucions maximals.

(c) Determineu la classe de les solucions.

(d) Sigui ψ una soluci´o maximal que compleix la condici´o incial (0, 1/3). De-mostreu que |ψ(1)| < 2.

2.26. Sigui g : R −→ R una funci´o Lipschitziana i f : R −→ R una funci´o cont´ınua. Demostreu que el sistema

˙x = g(x), ˙

y = f (x)y,

té una única solució maximal per a cada condició inicial donada, definida per a t ∈ R. És cert el mateix resultat si només suposem que g és cont´ınua?

(6)

2.27. Considereu el problema de Cauchy

˙x = t2_enx2

, _{n ∈ Z} x(t0) = 0.

(a) Discutiu l’exist`encia i unicitat de solucions maximals.

(b) Proveu que si n ≤ 0 aleshores l’interval de definició de la solució ´_{es tot R.} (c) Trobeu l’interval de definició de la solució si n > 0.

(d) Considereu el sistema ˙x = t2_enx2 , _{n ∈ Z} ˙ y = xy + t,

amb les condicions inicials x(t0) = 0, y(t0) = 0. Trobeu l’interval de definici´o

de la soluci´_{o per a n ∈ Z i t}0 ∈ R.

˙x = g(x), x(t0) = x0,

(3) on g : R −→ R és una funció localment Lipschitz tal que g(x) > 0 per a tot x ∈ R. Sigui ϕ la solució maximal de (3) i I = (a, b) el seu interval de definició.

(a) Demostreu que si R_x∞

0

1

g(s)ds < ∞ aleshores b < ∞. Calculeu el valor de b.

(b) Demostreu que si R_x∞

0

1

g(s)ds = ∞ aleshores b = +∞ i limt→∞ϕ(t) = +∞.

(c) Trobeu l’interval de definici´o de les solucions maximals del sistema

˙x = g(x), ˙

y = f (x)y + x, on f : R −→ R ´es una funci´o cont´ınua.

2.29. Sigui F una soluci´o del problema de Cauchy y = f(x, y), y(x0) = y0.

On tenim que la funci´o f : A ⊂ (a, b) × Rn _{−→ R}n_{. Suposem a m´}_{es que F est`}_{a acotada i definida en (c, d)}

on c, d compleixen que a < c < d < b. Demostreu que F ´es prolongable a l’esquerra de c i a la dreta de d.

˙x = f (x) + sin t, x(0) = 0,

on f ´es una funci´o de classe C2_{(R) tal que kf k}

∞ ≤ M . Demostreu que hi ha una

´

(7)

2.31. Sigui f : (t0, t1) × R −→ R cont´ınua i considerem el problema

˙x = f (t, x), x(t0) = x0.

Proveu que si A és el conjunt de solucions, aleshores, fixat t, el conjunt {x(t) : x ∈ A} és un interval, potser degenerat; és a dir, el conjunt és buit, un punt o un interval no degenerat.

2.32. Proveu que per a cada (t0, x0) ∈ R2 l’equaci´o

˙x = x

3

1 + x2

té una única solució tal que x(t0) = x0 i que aquesta està definida per a tot t ∈ R.

2.33. Demostreu la versi´_{o general del Lema de Gronwall: siguin u, v, w : [a, b) −→ R} cont´ınues, v(t) ≥ 0 i verificant

u(t) ≤ w(t) + Z t

a

v(s)u(s)ds, per a tot t ∈ [a, b). Aleshores u(t) ≤ w(t) + Z t a w(s)v(s)e Rt

sv(r)drds, per a tot t ∈ [a, b).

Suposem que w ∈ C1((a, b)), llavors

u(t) ≤ w(a)eRatv(s)ds+

Z t a

w0(s)eRstv(r)drds.

2.34. Utilitzeu el problema anterior per a provar el seg¨uent resultat:

Sigui f : R × Rn −→ Rn _{una funci´}_{o cont´ınua i localment Lipschitz respecte x tal}

que kf (t, x)k ≤ a(t)kxk + b(t), t ∈ R, kxk ≥ R per a cert R ≥ 0, on a, b : R −→ R s´on cont´ınues no negatives.

Proveu que per tot (t0, x0) ∈ Rn el problema

˙x = f (t, x), x(t0) = x0,

t´e una ´unica soluci´_{o que es pot definir per a tot t ∈ R.}

Observeu que, en particular, si f : Rn −→ Rn_{cont´ınua i localment Lipschitz respecte}

x tal que kf (x)k ≤ M kxk + N amb M, N > 0, aleshores les solucions de ˙x = f (x) estan definides per tot temps.

(8)

2.35. Sigui f : Rn+1_{−→ R}n _{diferenciable amb continu¨ıtat tal que}

< x, f (t, x) >≤ k(t)kxk2

per a tot x amb kxk > R, on k(t) és una funció cont´ınua i positiva i R una constant positiva. Proveu que les solucions maximals de l’equació diferencial ˙x = f (t, x) estan definides per a tot temps positiu.