DISEÑO DE FILTROS DIGITALES

DISEÑO DE FILTROS

DIGITALES

Filtros Digitales

9 INCONVENIENTES:

• Limitación de velocidad

• Efectos de la longitud finita de las palabras

• Tiempos de diseño y desarrollo

9 VENTAJAS:

•

Características imposibles con filtros analógicos (fase lineal)

•

No cambian cualquiera que sea el entorno

•

Procesamiento de varias señales con un único filtro

•

Posibilidad de almacenar datos

•

Repetitividad

•

Uso en aplicaciones de muy bajas frecuencias

Algoritmo implementado sobre hardware que opera sobre señales analógicas

digitalizadas o sobre señales digitales almacenadas.

Filtros Digitales

- Clasificación de los Filtros Digitales.

- IIR : Respuesta al Impulso Infinita.

- FIR : Respuesta al Impulso Finita.

[ ]

_∑

∞

[ ] [

]

=

−

=

0

k

k

n

x

k

h

n

y

[ ]

∑

[

]

∑

[

]

= =

−

+

−

=

M k N k k k

x

n

k

a

y

n

k

b

n

y

0 1

( )

∑

∑

= − = −

−

=

N k k k M k k k

z

a

z

b

z

H

1 0

1

[ ]

_∑

[ ] [

]

=

−

=

M k

k

n

x

k

h

n

y

0

[ ]

_∑

[ ] [

]

=

−

δ

⋅

=

M

k

k

n

k

h

n

h

0

( )

_∑

[ ]

= − ⋅ = M k k z k h z H 0

Filtros Digitales

a. Especificación de las Características del filtro.

b. Cálculo de los Coeficientes. Diferentes métodos.

c. Elección de la Estructura. Realización.

d. Análisis de los Efectos de Precisión Finita.

e. Implementación del filtro mediante software y/o hardware adecuado.

9 PASOS EN EL DISEÑO DE FILTROS:

Filtros Digitales

- Especificación de las Características del filtro.

( )

(

( )

)

( ) ( ) ( )

( )dBs log( ) (Atenuación mínima en la banda eliminada)

paso de banda la en máxima Atenuación log dBs H log ) ( H log dBs a p 2 1 20 1 20 20 1 20 δ ⋅ − = α δ − ⋅ − = α Ω ⋅ − = Ω ⋅ = α ( ) ( )

( )dBs log( ) (Atenuación mínima enla banda eliminada)

paso de banda la en rizado log dBs r a a p p p δ ⋅ − = α ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ δ + δ − ⋅ − = 20 1 1 20

RELACIÓN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (I)

( )

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ω > ω π > ω ω < ω π < ω Ω = ω Ω=ω 2 ; 0 2 ; s s s s T eff ó T ó T H H s

( )

( )

_⎟⎟ Ω <π ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ω = ω = Ω _ω=Ω ; s eff T eff T H H H s

Bloque A/D:

F

RELACIÓN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (II)

( )

( ) ( )

( )

_∑

∞

(

)

−∞ = − δ ⋅ = ⋅ = n s c c s t x t s t x t t nT x

F

( )

_∑

∞

(

)

−∞ = ω − ω ⋅ = ω k s c s s X k T X 1

( )

_∑

∞

( ) (

)

−∞ = − δ ⋅ = n s s c s t x nT t nT x

( )

∑

( )

∞ −∞ = ω − ⋅ = ω n nT j s c s x nT e s X

( )

_∑

∞

[ ]

−∞ = Ω − ⋅ = Ω n n j e n x X

( )

∑

( )

∞ −∞ = ω − ⋅ = ω n nT j s c s x nT e s X

( )

( )

_∑

(

)

_∑

∞ −∞ = ∞ −∞ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ω ₋ π = ω − ω ⋅ = ω = Ω Ω = ω Ω = ω k s s c k s c s s T k T X k X T X X s T s T 2 1

Bloque D/A:

[ ]

∑

∞ −∞ = Ω − ⋅ = Ω n n j e n y Y( )

[ ]

∑

∑

∞ −∞ = ω − ∞ −∞ = ω − _{= ⋅} ⋅ = ω n nT j n nT j s s s y nT e s y n e s Y ( ) ( ) s T s Y Y (ω)= (Ω)_Ω=ω

RELACIÓN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (III)

( )

( )

s T r r s c Y H H Y Y (ω) = (ω)⋅ ω = ω ⋅ (Ω)_Ω=ω

( )

_∑

∞ −∞ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ω ₋ π ⋅ ⋅ Ω = Ω ⋅ Ω = Ω k s s c s T k T X T H X H Y( ) ( ) ( ) 1 2

(

)

∑

∞ −∞ = ω − ω ⋅ ⋅ Ω = Ω = ω _{Ω=ω Ω=ω} k s c s s X k T H Y Y s T s T 1 ) ( ) ( ) (

RELACIÓN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (IV)

( )

( ) ( )

( )

_∑

∞

(

)

−∞ = ω − ω ⋅ ⋅ Ω ⋅ ω = ω ⋅ ω = ω _Ω=ω k s c s r s r c X k T H H Y H Y s T 1 ) (

( )

( ) ( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ω > ω π > ω ω < ω π < ω Ω ⋅ ω = ω Ω=ω 2 ; 0 2 ; s s s s T c c ó T ó T H X Y s

_{( )}

_{( )}

_{( )}

ω ⋅ ω = ω _{eff c} c H X Y

( )

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ω > ω π > ω ω < ω π < ω Ω = ω Ω=ω 2 ; 0 2 ; s s s s T eff ó T ó T H H s

RELACIÓN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (V)

Ejemplo:

Obtener la plantilla de un filtro digital que se va a utilizar para realizar un filtrado paso bajo de una señal continua, utilizando la estructura de la figura anterior, con las siguientes características:

El periodo de muestreo será Ts = 10-4 _segundos.

( )

( )

, ; rad / s H s / rad ; , H , eff eff 3000 2 001 0 2000 2 0 01 1 99 0 ⋅ π ≥ ω < ω ⋅ π ≤ ω ≤ < ω <

RELACIÓN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (VI)

(

)

( )

3000 2 2000 2 60 log 20 001 , 0 086 , 0 1 log 20 01 , 0 ⋅ = ⋅ = − = ⋅ ⇒ = = + ⋅ ⇒ = π ω π ω δ δ δ δ a p a a p p dB dB . rad , T . rad , T s a a s p p π = ⋅ ⋅ π = ⋅ ω = Ω π = ⋅ ⋅ π = ⋅ ω = Ω − − 6 0 10 3000 2 4 0 10 2000 2 4 4 s

T

⋅

=

Ω

ω

DISEÑO DE FILTROS

DIGITALES IIR

DISEÑO DE FILTROS IIR A PARTIR DE FILTROS ANALÓGICOS

PROCESO

:

ESPECIFICACIONES FILTRO DIGITAL ↓

ESPECIFICACIONES FILTRO ANALÓGICO ↓

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA ANALÓGICA H(s) ↓

FUNCIÓN DE SISTEMA H(z) -Aproximación por derivadas -Respuesta al impulso invariante. - Transformación bilineal. s ↔ z ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ω ↔ Ω ⎩ 7 SIMILITUDES CON LOS ANALÓGICOS ⇒ RELACIÓN

APROXIMACIÓN POR DERIVADAS (I)

∑

∑

= =

⋅

β

=

⋅

α

N k M k k k k k k k

dt

)

t

(

x

d

dt

)

t

(

y

d

0 0 Filtro Analógico:

( ) (

)

[ ] [

]

T

n

y

n

y

T

T

nT

y

nT

y

dt

)

t

(

dy

nT t

1

−

−

≡

−

−

=

= Transformación:

( )

( )

T z s

s

H

z

H

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ − =

=

₁ 1

APROXIMACIÓN POR DERIVADAS (II)

(

01

)

9 1 2 ₊ + = , s ) s ( H

( )

₍

(

₎

)

(

2

) (

1 2

)

2 2 2 2 1 01 , 9 2 , 0 1 1 01 , 9 2 , 0 1 1 , 0 1 2 1 01 , 9 2 , 0 1 9 1 , 0 1 1 − − − + + + + + + − + + = + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = z T T z T T T T T T T z z H

Ejemplo:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10-3 10-2 10-1 100 101 ω/π (rad/s) |H (ω )| (dB s )

Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro analógico

1/T₁ 1/T₂ 1/T₃ 1/T₄ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 10-3 10-2 10-1 100 Ω/π (rad) |H (Ω )| ( d B s )

Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro digital

T₄ T₁ T₂

RESPUESTA AL IMPULSO INVARIANTE (I)

CONCEPTO: Obtener la Respuesta Impulsiva del Filtro Discreto Muestreando la de un Filtro Continuo

[ ]

(

)

h n

=

T h nT

d c d c k d d 2 k H( ) H T T ∞ =−∞ ⎛ Ω π ⎞ ⇒ Ω = _⎜ − _⎟ ⎝ ⎠

∑

Ω = ω T

_d

( )

c c

( )

d d H H SIEMPRE QUE H 0 T T ⎛ Ω ⎞ π Ω = _{⎜ ⎟} ∀ Ω < π ω = ∀ ω ≥ ⎝ ⎠ ( ) H ω ω d T π d T π − ( ) H Ω Ω π −π 2π 3π 4π 2 − π 3 − π 4 − π

RESPUESTA AL IMPULSO INVARIANTE (I)

CONCEPTO: Obtener la Respuesta Impulsiva del Filtro Discreto Muestreando la de un Filtro Continuo

[ ]

(

)

h n

=

T h nT

d c d c k d d 2 k H( ) H T T ∞ =−∞ ⎛ Ω π ⎞ ⇒ Ω = _⎜ − _⎟ ⎝ ⎠

∑

Ω = ω T

_d

( )

c c

( )

d d H H SIEMPRE QUE H 0 T T ⎛ Ω ⎞ π Ω = _{⎜ ⎟} ∀ Ω < π ω = ∀ ω ≥ ⎝ ⎠ H( )ω ω d T π d T π − ( ) H Ω Ω π −π 2π 3π 4π 2 − π 3 − π 4 − π

( )

∑

=

−

=

N 1 k k k c

s

s

A

s

H

( )

h t

A e

t

c k s t k N k

=

∀

≥

∀

⎧

⎨

⎪

⎩

⎪

=

∑

1

0

0

,

,

t < 0

[ ]

[ ]

h n

T A e

d k s nT

u n

k N k d

=

=

∑

1

( )

_∑

=

−

−

=

N 1 k s T 1 k d

z

e

1

A

T

z

H

d k SUPONEMOS OBTENIDA:

OBTENCIÓN DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

MUESTREANDO h_c(t) SE OBTIENE:

APLICANDO TRANSFORMADA Z:

RESPUESTA AL IMPULSO INVARIANTE (III)

( )

N k

( )

N d _{k d}k c _{s T 1} k 1 _k k 1

T A

A

H s

H z

s s

1 e

z

− = =

=

→

=

−

−

∑

∑

PLANO S

PLANO Z

POLOS

COEFICIENTES

ESTABILIDAD

k

s

k

A

T

_d

A

_k

k

d

s

T

e

{ }

0

Re

s

_k

<

T

_d

Re

{ }

s

_k

_<

₁

e

RESPUESTA AL IMPULSO INVARIANTE (IV)

Ejemplo: Convertir el filtro analógico con función de transferencia:

( )

(

0

.

1

)

9

1

2

₊

+

=

s

s

H

_c

en un filtro IIR digital aplicando la invarianza al impulso.

j

s

_p

=

−

0

.

1

±

3

( )

j

s

j

j

s

j

s

H

_c

3

1

.

0

6

1

3

1

.

0

6

1

−

+

−

+

+

=

( )

₍

_{0.1 3}

₎

₁

₍

_{0.1 3}

₎

₁

1

6

1

1

6

1

− + − − − −

−

₋

−

=

z

e

j

T

z

e

j

T

z

H

d d j T d T j d

( )

( )

( )

1 02 2 1 0 1 1 0 3 2 1 3 3 1 − − − − − − + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = z e z T cos e z T sen e T z H d d d T . d T . d T . d

RESPUESTA AL IMPULSO INVARIANTE (V)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10-3 10-2 10-1 100 101 ω/π (rad/s) |H( ω )| (d B s )

Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro analógico

1/T₁ 1/T₂ 1/T 3 1/T₄ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 10-3 10-2 10-1 100 101 Ω/π |H( Ω )| (dB s )

Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro digital

T 4 T 3 T 2 T 1

TRANSFORMACIÓN BILINEAL (I)

1 1 d d 2 1 z 2 z 1 s T 1 z T z 1 − − ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ = _{⎜ ⎟} = _{⎜ ⎟} + ⎝ + ⎠ ⎝ ⎠ d d T 1 s 2 z T 1 s 2 + = − Semiplano

Izquierdo _{Interior Circunferencia Unidad}

Semiplano Derecho

Exterior Circunferencia Unidad

Eje Imaginario Circunferencia Unidad

( )

( )

⎩

⎨

⎧

⎯

⎯

⎯

⎯

⎯

⎯

→

⎯

⎭

⎬

⎫

z

z

H

s

s

H

_{Tansformación} ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Ω + + Ω + Ω + + − ⋅ = + − ⋅ = ω + σ = _ΩΩ cos r r rsen j cos r r r T re re T j s d j j d 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2

TRANSFORMACIÓN BILINEAL (II)

d 2 z 1 s T z 1 − ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} + ⎝ ⎠ j j d 2 e 1 j T e 1 Ω Ω ⎡ − ⎤ ω = _{⎢ ⎥} + ⎣ ⎦ d 2 tg T 2 Ω ω = d T 2 arctg 2 ω Ω =

Relación Eje Imaginario Plano “s” ↔ Circunferencia Unidad Plano “z”

( )

H ejΩ

( )

Hc ω

TRANSFORMACIÓN BILINEAL (III)

2πα Td πα Td − α_T dΩ −2_Tα ⎛_⎝2⎞_⎠ d tg Ω ( ) [ ] Arg H ejΩ −2πα_T d −πα_T d

TRANSFORMACIÓN BILINEAL (IV)

Relación NO LINEAL ω ↔ Ω

( )

s j s j e−α ⎯⎯⎯= ω→ e−α ω ⇒ ϕ ω = −α ω ( FASE LINEAL)

( )

d 2 j tg T 2 d 2 e tg ( Fase NO LINEAL) T 2 Ω − α Ω ⇒ Φ Ω = −α

TRANSFORMACIÓN BILINEAL (V)

Ejemplo 1: Convertir el filtro analógico con función de transferencia:

( )

(

0 1

)

9 1 2 ₊ + = . s s H_a

en un filtro IIR digital mediante la transformación bilineal.

( )

9 1 0 1 1 2 1 2 1 1 + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − ⋅ = − − . z z T z H d ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − ⋅ = ₋− 1 1 1 1 2 z z T s d

TRANSFORMACIÓN BILINEAL (VI)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 Ω/π (rad) |H( Ω )| (d B s )

Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro digital

T₄ T₃ T2 T1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10-3 10-2 10-1 100 101 ω/π (rad/s) |H( ω )| (dB s )

Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro analógico

1/T 1 1/T2 1/T 3 1/T 4

TRANSFORMACIÓN BILINEAL (VII)

Ejemplo 1: Convertir el filtro analógico con función de transferencia:

( )

(

0

.

1

)

16

1

.

0

2

₊

+

+

=

s

s

s

H

_a

en un filtro IIR digital mediante la transformación bilineal. El filtro digital debe tener

un polo a la frecuencia

_Ω

_r

₌

_π

₂

4

4

1

.

0

±

⇒

=

−

=

_r p

j

s

ω

2

1

2

2

2

4

2

2

Ω

_⇒

₌

_⇒

₌

=

_d d i d i

tg

T

T

tg

T

π

ω

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+

−

=

₋−₁1

1

1

4

z

z

s

( )

_{2 4} 3₁ 1 ₂ 2 1 1 1 1

952

.

0

10

096

.

6

1

119

.

0

10

096

.

6

125

.

0

16

1

.

0

1

1

4

1

.

0

1

1

4

− − − − − − − − − −

+

+

−

+

=

+

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+

−

+

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+

−

=

z

z

z

z

z

z

z

z

z

H

TRANSFORMACIÓN BILINEAL (VIII)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10-3 10-2 10-1 100 101 ω |H( ω )| (d B s )

Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro analógico

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 10-3 10-2 10-1 100 101 Ω |H( Ω )| (d B s )

EJEMPLO (I)

( )

( )

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ Ω ≤ ≤ Ω ≤ Ω ≤ ≤ Ω ≤ π π π 3 , 0 ; 17783 , 0 2 , 0 0 ; 1 89125 , 0 H H

Diseñar un filtro digital paso bajo aplicando la respuesta al impulso invariante y la

transformación bilineal a un filtro de Butterworth. Las especificaciones del filtro

digital son:

( )

( )

( )

( )

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ Ω ≤ ≥ Ω ≤ Ω ≤ ≤ Ω ≤ Ω ⋅ − = Ω π π α π α α 3 , 0 ; 15 2 , 0 0 ; 1 0 log 20 dB dB H

EJEMPLO (II)

d T Ω = ω

a) Respuesta al Impulso Invariante _{b) Transformación Bilineal}

Obtención de la plantilla del filtro paso bajo prototipo analógico:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ω ⋅ = ω 2 2 tg T_d

EJEMPLO (III)

a) Respuesta al Impulso Invariante:

( )

N c a H 2 ₂ 1 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ω ω + = ω

Diseño del Filtro de Butterworth

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ω π + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ω π + 2 2 2 2 17783 0 1 3 0 1 89125 0 1 2 0 1 , T , , T , N c d N c d ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = 88 , 5 22433 , 0 70474 , 0 N T T_{d d} c π ω 6 = N d d c T T

π

ω

= 0,7087 = 0,2256 Distribución de raíces: d d d T j s T j s T j s 1834 , 0 6845 . 0 5011 , 0 5011 . 0 6845 , 0 1834 . 0 3 2 1 ± − = ± − = ± − =

EJEMPLO (IV)

a) Respuesta al Impulso Invariante: Diseño del Filtro de Butterworth

( )

₍

_{) (}

_{) (}

₎

5022 , 0 3690 , 1 5022 , 0 0022 , 1 5022 , 0 3668 , 0 2 2 2 _{+ + ⋅ + + ⋅ + +} = s s s s s s k s H_a

( )

0 1 k 0,1266 H_a = ⇒ =

( )

1834 , 0 6845 , 0 6196 , 1 9351 , 0 1834 , 0 6845 , 0 6196 , 1 9351 , 0 + 5011 , 0 5011 , 0 0797 , 1 5011 , 0 5011 , 0 0797 , 1 + 6845 , 0 1834 , 0 2505 , 0 1447 , 0 6845 , 0 1834 , 0 2505 , 0 1447 , 0 j s j j s j j s j s j s j j s j s H_a − + − + + + + + − + − + + + − + − + + + + + − =

( )

1266 , 0 6905 , 0 8824 , 1 2533 , 3 7484 , 3 7380 , 2 1266 , 0 2 3 4 5 6 _{+ + + + + +} = s s s s s s s H_a

EJEMPLO (V)

a) Respuesta al Impulso Invariante: Obtención del Filtro Digital

( )

H z T A e z d k s T k N k d = − − =

∑

₁ 1 1

( )

1 1 1 1 1834 , 0 6845 , 0 1834 , 0 6845 , 0 5011 , 0 5011 , 0 5011 , 0 5011 , 0 1 6845 , 0 1834 , 0 1 6845 , 0 1834 , 0 1 6196 , 1 9351 , 0 1 6196 , 1 9351 , 0 + 1 0797 , 1 1 0797 , 1 + 1 2505 , 0 1447 , 0 1 2505 , 0 1447 , 0 − − − − − − − − − − − − − − − − − + − + + − − + − − + − + + − − = z e e j z e e j e e z e e z e e j z e e j z H j j z j j j j

( )

₁ 1 ₂ 2 ₃ 3 ₄ 4 ₅ 5 ₆ 0647 0 5600 0 0725 2 2190 4 0183 5 3443 3 1 001 0 0042 0 0167 0 0105 0 0007 0 − − − − − − − − − − − + − + − + − + + + + = z , z , z , z , z , z , z , z , z , z , z , z H

EJEMPLO (VI)

b) Transformación bilineal: Diseño del Filtro de Butterworth

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π + 2 2 2 2 17783 0 1 2 3 0 2 1 89125 0 1 2 2 0 2 1 , , tg T , , tg T N c d N c d ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = π = = ω 6 2439 0 7662 0 N T , T , d d c Distribución de raíces: d d d T j s T j s T j s 7401 , 0 1983 . 0 5418 , 0 5418 . 0 1983 , 0 7401 . 0 3 2 1 ± − = ± − = ± − =

( )

N c a H 2 ₂ 1 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ω ω + = ω

( )

2024 , 0 0205 , 1 5728 , 2 1124 , 4 3822 , 4 9605 , 2 2024 , 0 2 3 4 5 6 _{+ + + + + +} = s s s s s s s H_a

EJEMPLO (VII)

b) Transformación bilineal: Obtención del Filtro Digital

( )

( )

1 1 1 1 2 − − + − ⋅ = = z z T s a d s H z H

( )

₁ 1 ₂ 2 ₃ 3 ₄ 4 ₅ 5 ₆ 6 0544 , 0 4800 , 0 8136 , 1 7795 , 3 6222 , 4 1836 , 3 1 007 , 0 0004 , 0 0111 , 0 0148 , 0 0111 , 0 0044 , 0 0007 , 0 − − − − − − − − − − − − + − + − + − + + + + + + = z z z z z z z z z z z z z H MATLAB [N,wc]=buttord(0.2*pi,0.3*pi,1,15,’s’); [B,A]=butter(N,wc,’s’); [R,P,K]=residue(B,A); [Bz,Az]=impinvar(B,A,Fs);

a) Respuesta al Impulso Invariante

[N,wc]=buttord(2*tan(0.1*pi),2*tan(0.15*pi),1,15,’s’); [B,A]=butter(N,wc,’s’);

[Bz,Az]=bilinear(B,A,Fs); b) Transformación bilineal:

EJEMPLO (VIII)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Ω |H( Ω )|

Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro digital

Bilineal R.I.Inv.

EJEMPLO (IX)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ω |H( ω )|

Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro analógico prototipo

T_d=1 T_d=4 T_d=0,2*π 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Ω |H( Ω )|

Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro digital

T_d=1 T_d=4 T_d=0,2*π

TRANSFORMACIONES DE FILTROS DISCRETOS (I)

Procedimientos:

1.- Transformación en frecuencias en tiempo continuo.

TRANSFORMACIONES DE FILTROS DISCRETOS (II)

Transformación en frecuencias en tiempo continuo. 1.- Transformación paso bajo a paso bajo:

( )

( )

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω ω = → ⇒ ω ω → s H s H' s H s s 'p p PB PB PB 'p p

2.- Transformación paso bajo a paso alto:

( )

( )

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛_{ω ⋅ω} = → ⇒ ω ⋅ ω → s H s H s H s s p 'p _{PB PA PB} p 'p

3.- Transformación paso bajo a paso banda:

(

)

( )

( )

(

)

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω − ω ⋅ ω ⋅ ω + ⋅ ω = → ⇒ ω − ω ⋅ ω ⋅ ω + ⋅ ω → − + − + − + − + p p p p p PB PBd PB p p p p p s s H s H s H s s s 2 2 erior corte de Pulsación erior corte de Pulsación p p inf sup ≡ ω ≡ ω − +

(

)

_{( )}

_{( )}

(

)

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω ⋅ ω + ω − ω ⋅ ⋅ ω = → ⇒ ω ⋅ ω + ω − ω ⋅ ⋅ ω → − + − + − + − + p p p p p PB BE PB p p p p p s s H s H s H s s s _{2 2}

TRANSFORMACIONES DE FILTROS DISCRETOS (III)

9 G(z

-1

_{) debe ser función racional en z}

-1

_.

9 El interior de la circunferencia unidad en el plano z se debe

transformar en el interior del circunferencia unidad en el plano z´.

9 La circunferencia unidad en el plano z se debe transformar en la

circunferencia unidad en el plano z’.

Constantinides (1970):

* 1 N N 1 k k * 1 k 1 _k k 1 _k

z a

z

a

z '

z '

1 a z

1 a z

− − − = =

−

−

= ±

↔

= ±

−

−

∏

∏

Transformación en frecuencias en tiempo discreto.

( )

1

( )

( )

1

_{( )}

1 1 − − ₌ − − _{= ⇒ =} z G ' z PB z' H z H z G ' z

TRANSFORMACIONES DE FILTROS DISCRETOS (IV)

Ejemplo: Paso Bajo - Paso Bajo

(

)

* j m j m * j m * j m j m * j m 1 a 1 e 1 a 1 a e 1 a 1 a e a e 1 e a a e π π π π π π − = − − = − − = − − = − A’ ↔ A

(

)

* j m j m * j m * j m j m * j m 1 a 1 e 1 a 1 a e 1 a 1 a e a e 1 e a a e π π π π π π − − − = + + = + + = + − = − + C’ ↔ C

m=0 ; a = α (Real)

z '

z

1

z

− α

=

− α

B’ ↔ B p p p j j j

e

e

1

e

Ω θ Ω

− α

=

− α

α θ θ = − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ sen sen Ω Ω p p p p 2 2

Para determinar α :

z

'

= ± −

₁

z a

₋

_az

*

TIPO FILTRO TRANSFORMACIÓN FÓRMULAS ASOCIADAS PASO BAJO z'− z _z − − = − − 1 1 1 1 α α α θ θ = − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ sen sen Ω Ω p p p p 2 2

Ω_p = frecuencia de corte desada

PASO ALTO z z z '− − − = − + + 1 1 1 1 α α α θ θ = − + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ cos cos p p p p Ω Ω 2 2

Ω_p = frecuencia de corte desada

PASO BANDA z z k k z k k k k z k k z '− − − − − = − + + − + − + − + + 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 α α α = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ cos cos Ω Ω Ω Ω p p p p 2 1 2 1 2 2 k= g⎛ p − p p ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ cot Ω2 Ω1 tg 2 2 θ Ω Ω p p 1 2 = =

frecuencia de corte inferior desada frecuencia de corte superor desada

BANDA ELIMINADA z z k kz k k k kz k kz '− − − − − = − + + − + − + − + + 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 α α α = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞_⎠⎟ − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞_⎠⎟ cos cos Ω Ω Ω Ω p p p p 2 1 2 1 2 2 k= ⎛ p − p p ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ tg Ω 2 Ω1 tg 2 2 θ Ω Ω p p 1 2 = =

frecuencia de corte inferior desada frecuencia de corte superor desada

DISEÑO DE FILTROS

DIGITALES FIR

SISTEMAS FIR DE FASE LINEAL (I)

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ Ω = Ω − ⋅ Ω = Ω − ⇒ Ω Ω α − β Ω α − j j e A H da generaliza lineal Fase e H H lineal Fase H

Función real de Ω Constantes reales

[ ]

( )

( )

Ω ⋅

(

)

Ω=

[

−α

]

π = Ω ⋅ Ω π = β π α − Ω β π Ω

_∫

∫

H e d e A e d e a n n h j n j j n j 2 2 2 2 1

[ ]

n

=

e

β

a

[

n

−

α

]

h

j

[ ]

n

a

[ ]

n

a

=

∗

−

⇒

a

[ ]

n

=

e

− j

β

h

[

n

+

α

]

[

α

]

β

[

α

]

β

₊

₌

∗

₋

₊

−

n

h

e

n

h

e

j j h

[ ]

n = ej2βh∗

[

−n+2α

]

[ ]

[ ]

0 0 2 M M n ; n h causal es n h Si ⇒ α = ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ ≠

h

[ ]

n

=

e

j

2

β

h

∗

[

M

−

n

]

SISTEMAS FIR DE FASE LINEAL (II)

[ ]

n

e

h

[

M

n

]

h

=

j

2

β

∗

−

Coeficientes del filtro reales

⇒

h

[ ]

n

=

h

∗

[ ]

n

⇒

e

j2β

Re

al

⇒

β

=

k

π

/

2

,

k

∈

Z

[ ]

n

( )

h

[

M

n

]

k

Z

h

=

−

1

k

⋅

−

.

,

∈

( )

_A

( )

_e

(

2 2

)

,

_k

_Z

,

_M

(

_orden

_del

_filtro

)

H

M k j

∈

⋅

Ω

=

Ω

π− Ω

Tipo I: k = 0 (simetría positiva) y M par

Tipo II: k = 0

(simetría positiva)

y M impar

[ ] [

n h M n

]

h = −

[ ]

n h

[

M n

]

h =− −

Tipo III: k = 1

(simetría negativa)

y M par

Tipo IV: k = 1

(simetría negativa)

y M impar

⎩

⎨

⎧

⎩

⎨

⎧

SISTEMAS FIR DE FASE LINEAL (III)

Ejemplo: Obtener la respuesta en frecuencia de un sistema FIR de orden par cuya respuesta al

Impulso tiene simetría positiva y demostrar que es de fase lineal.

[ ] [

]

[ ] [ ]

[ ] [

]

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₋ − = = ⇒ ⎭ ⎬ ⎫ ≡ − = 1 2 1 2 1 1 0 M h M h ... M h h M h h Par M n M h n h

( )

[ ]

[ ] [ ]

− Ω − Ω

[

]

−

(

−

)

Ω

[ ]

− Ω = Ω − _{+ + − ⋅ + ⋅} ⋅⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + ⋅ + = ⋅ = Ω

∑

j M jM M j j M n n j _{h h e ... h} M _{e ... h M e h M e} e n h H 2 1 0 1 2 1 0

( )

[ ]

[ ]

[

]

[ ]

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ + ⋅ − + + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + ⋅ + ⋅ ⋅ = Ω ⎟⎠Ω ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ − Ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ Ω Ω − 1 ₂ 2 1 2 2 2 ₁ 2 1 0 M j M j M j M j M j e M h e M h ... M h ... e h e h e H

( )

[ ]

[ ]

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _Ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ ⋅ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _Ω ⋅ ⋅ = Ω − Ω 2 1 2 1 2 2 0 2 2 _{h cos} M _{h cos} M _{... h} M e H M j

( )

[ ]

− Ω

( )

θ

( )

Ω = ⋅ Ω = ⋅ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ Ω ⋅ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = Ω

∑

− j M j n e A e n M cos n h M h H M 2 0 1 2 2 2 2

( )

[ ]

θ

( )

Ω =− Ω ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ Ω ⋅ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = Ω

∑

− = 2 ; 2 cos 2 2 1 2 0 M n M n h M h A M n

( )

(

)

[ ]

[

( )

]

[ ]

n 2h

[

n

]

d n sen n d e H 2 1 M 1 n 2 1 j 2 1 M 2 2 M − = − ⋅ Ω ⋅ ⋅ = Ω + = − Ω −

∑

+ π

( )

(

)

[ ]

[

]

[ ]

n 2h

[ ]

n c n sen n c e H 2 M 1 n j 2 M 2 2 M − = ⋅ Ω ⋅ ⋅ = Ω

∑

= − Ω − π

( )

[ ]

[

( )

]

[ ]

n 2h

[

n

]

b n cos n b e H 2 1 M 1 n 2 1 j 2 1 M 2 M − = − ⋅ Ω ⋅ ⋅ = Ω + = Ω −

∑

+

( )

[ ]

[

]

[ ]

h

[ ]

a

[ ]

n h

[ ]

n a n n a e H M M n j M M − = = ⋅ Ω ⋅ ⋅ = Ω

∑

= Ω − 2 2 0 2 0 cos 2 2

SISTEMAS FIR DE FASE LINEAL (IV)

Tipo

h[n]

Orden M

H(Ω)

θ(Ω)

τ

I

Par

II

Impar

III

Par

IV

Impar

Simetría

Negativa

Simetría

Positiva

[ ] [

n h M n

]

h = −

[ ]

n h

[

M n

]

h =− − 2 M

Ω

−

2 M

Ω

−

2 2

+

π

Ω

−

M 2 2

+

π

Ω

−

M 2 M 2 M 2 M 2 M

SISTEMAS FIR DE FASE LINEAL (V)

Posiciones de los ceros en los sistemas FIR de fase lineal:

( )

_z

₌

_±

_z

−

_⋅

_H

( )

_z

−1

H

M

( )

z z H

( )

z H

( )

z z cerode H

( )

z H e r z₁ = ₁ jΩ1 ⇒ ₁ = ± ₁−M ⋅ ₁−1 =0 ⇒ ₁−1 =0 ⇒ ₁−1

Si h[n] real:

( )

_z

₌

_z

−

_⋅

_H

( )

_z

−1

H

M 1 = z ⇒ _H

( ) ( )

₁ = ₁ M _H

( )

₁ = _H

( )

₁

Sistemas con simetría positiva y M impar (tipo II) poseen un cero en z = -1

( )

(

)

)

(

₁ 1

1

también

cero

de

H

z

z

También

cero

de

H

z

z

∗

⇒

∗ − Casos particulares (z = 1; z = -1):

( ) ( )

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

_{( )}

⎩

⎨

⎧

=

−

⇒

−

−

=

−

⇒

−

=

−

⇒

⇒

−

−

=

−

⇒

0

1

1

1

1

1

1

1

1

H

H

H

impar

M

H

H

par

M

H

H

M 1 − = z - Ceros de H(z):

( )

_∑

[ ]

_∑

[

]

_∑

[ ]

( )

= − − − = − = − _{= ± − ⋅ = ⋅ ± ⋅} ⋅ = 0 1 0 0 k M k M M n n M n n z k h z z n M h z n h z H Simetría Positiva:

SISTEMAS FIR DE FASE LINEAL (VI)

Posiciones de los ceros en los sistemas FIR de fase lineal:

( )

_z

₌

_±

_z

−

_⋅

_H

( )

_z

−1

H

M

( )

z z H

( )

z H

( )

z z cerode H

( )

z H e r z₁ = ₁ jΩ1 ⇒ ₁ = ± ₁−M ⋅ ₁−1 =0 ⇒ ₁−1 =0 ⇒ ₁−1

Si h[n] real:

( )

(

)

)

(

₁ 1

1

también

cero

de

H

z

z

También

cero

de

H

z

z

∗

⇒

∗ − Casos particulares (z = 1; z = -1): - Ceros de H(z):

( )

_∑

[ ]

_∑

[

]

_∑

[ ]

( )

= − − − = − = − _{= ± − ⋅ = ⋅ ± ⋅} ⋅ = 0 1 0 0 k M k M M n n M n n z k h z z n M h z n h z H

1

=

z

⇒

H

( ) ( )

1

=

−

1

M

H

( )

1

=

−

H

( )

1

Sistemas tipo III y IV poseen un cero en z = 1

1

−

=

z

( ) ( )

( )

( )

_{( )}

_{( )}

( )

( )

⎩

⎨

⎧

−

=

−

⇒

=

−

⇒

−

−

=

−

⇒

⇒

−

−

−

=

−

⇒

1

1

0

1

1

1

1

1

1

H

H

impar

M

H

H

H

par

M

H

H

M

Sistemas tipo III poseen un cero en z =- 1

SISTEMAS FIR DE FASE LINEAL (VII)

DIAGRAMAS DE POLOS Y CEROS DE SISTEMAS FIR DE FASE LINEAL

Orden par _{Orden par}

Orden impar

DISEÑO DE FILTROS FIR

FILTROS IDEALES:

1.- Su h

_d

[n] tiene longitud infinita.

2.- Su h

_d

[n] es no causal ( h

_d

[n] ≠ 0, ∀ n < 0 ).

SOLUCIÓN (MÉTODO DE LAS VENTANAS):

1.- Limitar la longitud de h

_d

[n] a M+1 muestras

(Multiplicarla por una función ventana h[n] = h

_d

[n]·w[n] ).

2.- Introducir el retardo necesario para que h[n] sea causal.

DISEÑO DE FILTROS FIR

FILTRO DISCRETO PASO BAJO IDEAL

−Ω_C Ω_C π Ω −π |H ( )|_d Ω

[ ]

( )

(

)

n n C sen d e d e H n h C C n j n j d d _π Ω Ω π = Ω ⋅ Ω π =

∫

= Ω Ω − Ω π Ω

∫

₂1 2 1 2

( )

_∑

∞

[ ]

−∞ = Ω − ⋅ = Ω n n j d d h n e H

Filtro ideal: Respuesta al impulso no causal e infinita.

-30 -20 -10 0 10 20 30 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 n hd [n ]

Respuesta al impulso de un filtro discreto Paso Bajo Ideal

... ...

Respuesta Impulsiva del Filtro Ideal: h_d[n]

Ventana (Rectangular) w[n] Respuesta impulsiva obtenida: h[n] = h_d[n]· w[n] Respuesta Impulsiva desplazada para que sea causal: h[n-n₀]

DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 -0.5 0 0.5 1 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 -0.5 0 0.5 1 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 -0.5 0 0.5 1 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 -0.5 0 0.5 1

SI PRIMERO DESPLAZAMOS Y DESPUÉS MULTIPLICAMOS, EL RESULTADO ES EL MISMO ( VENTANAS CAUSALES).

Respuesta Impulsiva del Filtro Ideal: h_d[n]

Respuesta Impulsiva del Filtro Ideal desplazada

h_d[n-n₀] Ventana (Rectangular) causal: w[n] Respuesta impulsiva obtenida: h[n] = h_d[n-n₀]· w[n]

DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 -0.5 0 0.5 1 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 -0.5 0 0.5 1 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 -0.5 0 0.5 1 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 -0.5 0 0.5 1

Transformada de Fourier de la ventana rectangular:

DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS

( ) ( ) − φ( )Ω _⋅ − Ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ω ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ Ω = ⋅ Ω = Ω 2 2 2 1 M j j p e sen M sen e W W

[ ]

⎩

⎨

⎧

≤

≤

=

resto

el

M

n

n

w

0

0

1

-3 -2 -1 0 1 2 3 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 Ω φΩ ) -3 -2 -1 0 1 2 3 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 Ω A( Ω) 0 ... M 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 n w[ n] ...

DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS

RESPUESTA DE FASE LINEAL

Todas las ventanas van a tener simetría positiva:

[ ]

[

]

( )

( )

Las Respuestas al Impulso de los Filtros Ideales Tendrán Simetría Positiva o Negativa:

2

0

0

j M p TF

e

W

W

n

de

resto

,

M

n

,

n

M

w

n

w

Ω −

⋅

Ω

=

Ω

⎯

⎯ →

←

⎩

⎨

⎧

−

≤

≤

=

[ ]

[

]

( )

( )

[ ]

[

]

( )

( )

2 2 M j n d TF d d M j p d TF d d

e

jA

H

n

M

h

n

h

e

A

H

n

M

h

n

h

Ω − Ω −

⋅

Ω

=

Ω

⎯

⎯ →

←

−

−

=

⋅

Ω

=

Ω

⎯

⎯ →

←

−

=

[ ]

[ ] [ ]

( )

( )

( )

( ) (

θ

⋅

Ω

−

θ

)

⋅

θ

π

=

Ω

⊗

Ω

=

Ω

⎯

⎯ →

←

⋅

=

∫

π

d

W

H

W

H

H

n

w

n

h

n

h

_d TF _{d d} 2

2

1

( )

_∫

π

( )

(

)

(

)

π − θ − Ω − θ −

θ

⋅

⋅

θ

−

Ω

⋅

⋅

θ

π

=

Ω

A

e

W

e

d

H

M j p M j p 2 2

2

1

( )

π

_∫

( )

(

)

π − Ω −

θ

⋅

θ

−

Ω

⋅

θ

π

⋅

=

Ω

e

A

W

d

H

_{p p} M j

2

1

2 Simetría positiva

EFECTO DEL ENVENTANADO SOBRE LA RESPUESTA DE AMPLITUD DEL FILTRO.

DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS

-3 -2 -1 0 1 2 3 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Ω Wp ( Ω )

( )

( )

θ

⋅

(

Ω

−

θ

)

⋅

θ

=

⋅

( )

Ω

π

⋅

=

Ω

− Ω π π − Ω −

∫

A

W

d

e

A

e

H

M j p p M j 2 2

2

1

2π -2π Ω = -ΩΩ = -Ω1 2 Ω = Ω₂Ω = Ω₁ -Ω₁ -Ω₂ Ω₂ Ω₁ π Ω = π π -π Ω = -π-π _Ω

ΔΩ = Ω

₂

-

Ω

₁

= ZONA DE TRANSICIÓN

Debida Fundamentalmente a la Anchura del Lóbulo Principal

EFECTO DEL ENVENTANADO SOBRE LA RESPUESTA DE AMPLITUD DEL FILTRO. LÓBULO PRINCIPAL

2π -2π Ω = -ΩΩ = -Ω_{1 2 Ω = ΩΩ = Ω2 1} Ω = -π -π _Ω -π π Ω = π

RIZADO EN BANDA DE PASO Y ELIMINADA

Debida a los Lóbulos Secundarios (Principalmente al primero)

-Ω₁-Ω2 Ω2Ω₁

π

EFECTO DEL

ENVENTANADO SOBRE LA RESPUESTA

DE AMPLITUD DEL FILTRO. LÓBULOS SECUNDARIOS

VENTANA RECTANGULAR.

4 ANCHURA DEL LÓBULO PRINCIPAL =

M 1 π ΔΩ = + -2 0 2 0 2 4 6 8 M+1 = 9 Ω -2 0 2 0 2 4 6 8 10 12 M+1 = 13 Ω -2 0 2 0 5 10 15 M+1 = 18 Ω -2 0 2 0 5 10 15 20 25 M+1 = 26 Ω

MÓDULO DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE LA VENTANA RECTANGULAR

DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛_Ω⋅ + = Ω 2 2 1 sen M sen W

DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS

VENTANA RECTANGULAR.

AMPLITUD RELATIVA DEL LÓBULO SECUNDARIO = -13 dB

0 1 2 3 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 M+1 = 9 Ω 0 1 2 3 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 Ω M+1 = 13 0 1 2 3 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 M+1 = 18 Ω 0 1 2 3 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 M+1 = 26 Ω

PARA MODIFICAR LA AMPLITUD DE LOS LÓBULOS SECUNDARIOS

HAY QUE MODIFICAR LA FORMA DE LA VENTANA. SE UTILIZAN VENTANAS QUE NO CONTENGAN

DISCONTINUIDADES ABRUPTAS ( FENÓMENO DE GIBBS )

DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS

CONLLEVA EL AUMENTO DE LA ANCHURA DEL LÓBULO PRINCIPAL

REGIÓN DE TRANSICIÓN EN LA RESPUESTA DEL FILTRO FIR MÁS ANCHA

DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS

ALGUNAS VENTANAS UTILIZADAS: EXPRESIÓN ANALÍTICA

[ ]

2n M , 0 n M 2 2n M 2 , n M w n M 2 0, Resto n ⎧ _{∀ ≤ ≤} ⎪ ⎪ ⎪ − ∀ ≤ ≤ = ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ BARTLETT

[ ]

2 n 0,5 0,5 cos , 0 n M M w n 0, Resto n ⎧ ₋ ⎛ π ⎞ _{∀ ≤ ≤} ⎜ ⎟ ⎪ _{⎝ ⎠} ⎪⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩ HANNING HAMMING BLACKMAN

[ ]

2 n 0,54 0, 46 cos , 0 n M M w n 0, Resto n ⎧ ₋ ⎛ π ⎞ _{∀ ≤ ≤} ⎜ ⎟ ⎪ _{⎝ ⎠} ⎪⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩

[ ]

2 n 4 n 0, 42 0,5 cos 0,08 cos 0 n M M M w n 0, Resto n ⎧ ₋ ⎛ π ⎞₊ ⎛ π ⎞ _{≤ ≤} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ _{⎝ ⎠ ⎝ ⎠} ⎪⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩

DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS

ALGUNAS VENTANAS UTILIZADAS: REPRESENTACIÓN ( M = 50 )

0 10 20 30 40 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 BLACKMAN 0 10 20 30 40 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 BARTLETT 0 10 20 30 40 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 HANNING 0 10 20 30 40 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 HAMMING

DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS

0 1 2 3 -100 -80 -60 -40 -20 0 BLACKMAN 0 1 2 3 -100 -80 -60 -40 -20 0 HAMMING 0 1 2 3 -100 -80 -60 -40 -20 0 HANNING 0 1 2 3 -100 -80 -60 -40 -20 0 BARLETT M = 50

DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS

VENTANA HANNIG:−20log W

(

( )

Ω / max W

( )

Ω.

)

0 1 2 3 -100 -80 -60 -40 -20 0 M = 20 0 1 2 3 -100 -80 -60 -40 -20 0 M = 30 0 1 2 3 -100 -80 -60 -40 -20 0 M = 40 0 1 2 3 -100 -80 -60 -40 -20 0 M = 50

DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS

VENTANAS: RESUMEN DE CARACTERÍSTICAS

PARÁMETRO ÚNICO DE DISEÑO: ORDEN DEL FILTRO ( M )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ π M n 2 cos 1 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π ⋅ − M n 2 cos 46 . 0 54 . 0 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π ⋅ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π ⋅ − M n cos . M n cos . .42 05 2 008 4 0

VENTANA w[n] (0 ≤ n ≤ M) Anchura del

Lóbulo Principal Ai αbe rbp ΔΩ Rectangular 1 4π/(M+1) 13,3 20,9 1,57 0,11 0,033 0,00298 1,84π/M Hanning 8π/(M+1) 31,5 43,9 6,22π/M Hamming 8π/(M+1) 42,7 54,5 6,64π/M Blackman 12π/(M+1) 58,1 75,3 11,12π/M

A_i: Amplitud máxima relativa (en dB's) de los lóbulos laterales. α_be=-20 log(δ) : Atenuación mínima (en dB's) en la banda eliminada.

r_bp=-20 log((1-δ)/(1+ δ)): Rizado en la banda de paso. ΔΩ: anchura de la banda de transición.

DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS

VENTANA DE KAISER

[ ]

( )

w n I n I n M = − ⎡ − ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞_⎠⎟⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ∀ ≤ ≤ ∀ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ 0 2 0 1 0 0 1 2 β α α β , resto de n M 2 α =

I₀ ( ): Función de Bessel de Orden Cero Modificada de Primera Clase

β : Factor de Forma

( )

_k 2

₍

₎

L 0 k 1 x 2 I (x) 1 L 25 k! = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ≈ + _{⎢ ⎥} ≤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

∑

DOS PARÁMETROS DE DISEÑO:

ORDEN DEL FILTRO ( M ) → AJUSTE DE ANCHURA DEL LÓBULO PRINCIPAL

DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS

VENTANA DE KAISER: REPRESENTACIÓN PARA DISTINTOS VALORES DE β

0 10 20 30 40 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 β = 0 0 10 20 30 40 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 β = 3 0 10 20 30 40 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 β = 6 0 10 20 30 40 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 β = 9 n n n n

DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 M = 10 Ω 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 M = 10 Ω M = 20 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 M = 10 Ω M = 20 M = 41

DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS

0 0.5 1 1.5 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 β = 0 Ω 0 0.5 1 1.5 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 β = 0 Ω β = 3 0 0.5 1 1.5 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 β = 0 Ω β = 3 β = 6 0 0.5 1 1.5 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 β = 0 Ω β = 3 β = 6 β = 9

(

p a

)

Definiendo A

= −

20 log

δ

con

δ =

min

δ δ

,

(

)

(

)

(

)

β =

−

+

−

≤

≤

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪

⎪

0 1102

8 7

0 07886

21

21

50

0 0

0 4

,

,

,

,

,

A

A

A

A > 50

0,5842 A - 21

A < 21

DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS

VENTANA DE KAISER: OBTENCIÓN DE β y M

A 7,95

A 7,95

M

2, 285

14,36 f

−

−

≥

=

ΔΩ

Δ

DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS

EJEMPLO

Se desea diseñar un sistema para procesar una señal analógica x_c(t) (limitada en banda a 5 kHz) con un filtro digital como se indica en la figura.

Las especificaciones del módulo de la respuesta en frecuencia del sistema analógico |H(ω)| son: -Atenuación máxima en la banda de paso α_p= 1 dBs.

-Atenuación mínima en la banda atenuada α_a = 15 dBs.

- Frecuencia de corte en la banda de paso: f_p = 800 Hz - frecuencia de corte en la banda atenuada: f_a = 1400 Hz

DISEÑO DE FILTROS FIR: CAMBIO DE ESPECIFICACIONES

α_max α_min α(dB) Ω Ω_p Ω_a π 1 -δ₁ |H(Ω)| Ω Ω_p Ω_a 1 δ₂ π max min 20 1 20 2 1 10 10 α − α − − δ = δ = 1 -δp |H(Ω)| Ω Ω_p Ω_a 1 δa π 1+ δ_p

(

)

(

)

(

) (

)

20max p 1 p p p 1 1 1 1 1 10 α − − δ = − δ + δ ⇒ − δ = + δ

(

)

max min max 20 20 p a p 20

10

1

;

10

1

10

1

α α − α

−

δ =

δ =

+ δ

+

(

)

min

(

)

20 a 1 p 2 10 1 p α − δ = + δ δ = + δ max max max max max max 20 20 20 20 p p 20 20 1 10 10 1 10 1 1 10 1 10 10 1 α α − α α − − α α − ⎛ ⎞ _{− −} δ _⎜⎜ + _⎟⎟ = − ⇒ δ = = ⎝ ⎠ _{+ +}

|H(Ω)| Ω π 1 1-δ₁ δ₂ 1-δ_p 1+δ_p δ_a

DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS

EJEMPLO ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ⋅ ⋅ = ⋅ = Ω = ⋅ ⋅ = ⋅ = Ω ⇒ = ⇒ ⋅ = Ω − − π π ω π π ω ω 35 , 0 10 8 1 1400 2 2 , 0 10 8 1 800 2 8 1 3 3 s a a s p p s s T T ms T T

a) Plantilla de atenuación del Filtro Analógico: b) Plantilla de atenuación del Filtro Discreto:

d) Plantilla de amplitud del Filtro discreto en unidades naturales:

SOLUCIÓN: 1. PLANTILLAS:

(

1

)

0,188 10 0575 , 0 1 10 1 10 1 10 1 10 20 20 1 20 1 20 20 = + ⋅ = = + − = + − = − p p a p p a δ δ δ α α α

DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS

EJEMPLO SOLUCIÓN: 2. Diseño:

(

,

)

, ' log

( )

, dB minδ_p δ_a =δ_p =00575 ⇒ α_a=−20⋅ δ =248 = δ Parámetros de diseño: VENTANA α_be Rectangular 20,9 Hanning 43,9 Hamming 54,5 Blackman 75,3 π = π − π = Ω − Ω = ΔΩ _{a p} 0,35 0,2 0,15 42 46 41 15 0 22 6 = ⇒ = π π > , M , , M 45 27 44 15 0 64 6 = ⇒ = π π > , M , , M 75 13 74 15 0 12 11 = ⇒ = π π > , M , , M 16 65 15 15 0 285 2 95 7 8 24 285 2 95 7 = ⇒ = π ⋅ − = ΔΩ ⋅ − > , M , , , , , , A M Ventana de Kaiser:

(

21

)

007886

(

21

)

1296 5842 0, ⋅ A− 0,4 + , ⋅ A− = , = β π = π + π = Ω + Ω = Ω 0275 2 35 0 2 0 2 , , , a p c

DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS

EJEMPLO SOLUCIÓN: 2 2 10 20 Ω =Ω − ΔΩ Ω =Ω + ΔΩ = δ α − c a c p ; ' ' ; ba Ventana Orden δ ΔΩ Ω’_p Ω’_a Hanning 42 0,0064 0,148π 0,201 π 0,349π 0,348π 0,349π Kaiser 16 0,0575 0,15π 0,2 π 0,35π Hamming 45 0,0019 0,147π 0,201 π Blackman 75 0,00017 0,148π 0,201 π

[ ]

[ ]

w

[ ]

n M n M n sen n w M n h n h C I D ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ π ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Ω = ⋅ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = 2 2 2