DISEÑO DE FILTROS
DIGITALES
Filtros Digitales
9 INCONVENIENTES:
• Limitación de velocidad
• Efectos de la longitud finita de las palabras
• Tiempos de diseño y desarrollo
9 VENTAJAS:
•
Características imposibles con filtros analógicos (fase lineal)
•
No cambian cualquiera que sea el entorno
•
Procesamiento de varias señales con un único filtro
•
Posibilidad de almacenar datos
•
Repetitividad
•
Uso en aplicaciones de muy bajas frecuencias
Algoritmo implementado sobre hardware que opera sobre señales analógicas
digitalizadas o sobre señales digitales almacenadas.
Filtros Digitales
- Clasificación de los Filtros Digitales.
- IIR : Respuesta al Impulso Infinita.
- FIR : Respuesta al Impulso Finita.
[ ]
∑
∞
[ ] [
]
=
−
=
0
k
k
n
x
k
h
n
y
[ ]
∑
[
]
∑
[
]
= =−
+
−
=
M k N k k kx
n
k
a
y
n
k
b
n
y
0 1( )
∑
∑
= − = −−
=
N k k k M k k kz
a
z
b
z
H
1 01
[ ]
∑
[ ] [
]
=−
=
M kk
n
x
k
h
n
y
0[ ]
∑
[ ] [
]
=
−
δ
⋅
=
M
k
k
n
k
h
n
h
0
( )
∑
[ ]
= − ⋅ = M k k z k h z H 0Filtros Digitales
a. Especificación de las Características del filtro.
b. Cálculo de los Coeficientes. Diferentes métodos.
c. Elección de la Estructura. Realización.
d. Análisis de los Efectos de Precisión Finita.
e. Implementación del filtro mediante software y/o hardware adecuado.
9 PASOS EN EL DISEÑO DE FILTROS:
Filtros Digitales
- Especificación de las Características del filtro.
( )
(
( ))
( ) ( ) ( )
( )dBs log( ) (Atenuación mínima en la banda eliminada)
paso de banda la en máxima Atenuación log dBs H log ) ( H log dBs a p 2 1 20 1 20 20 1 20 δ ⋅ − = α δ − ⋅ − = α Ω ⋅ − = Ω ⋅ = α ( ) ( )
( )dBs log( ) (Atenuación mínima enla banda eliminada)
paso de banda la en rizado log dBs r a a p p p δ ⋅ − = α ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ δ + δ − ⋅ − = 20 1 1 20
RELACIÓN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (I)
( )
( )
⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ω > ω π > ω ω < ω π < ω Ω = ω Ω=ω 2 ; 0 2 ; s s s s T eff ó T ó T H H s( )
( )
⎟⎟ Ω <π ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ω = ω = Ω ω=Ω ; s eff T eff T H H H sBloque A/D:
F
RELACIÓN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (II)
( )
( ) ( )
( )
∑
∞(
)
−∞ = − δ ⋅ = ⋅ = n s c c s t x t s t x t t nT xF
( )
∑
∞(
)
−∞ = ω − ω ⋅ = ω k s c s s X k T X 1( )
∑
∞( ) (
)
−∞ = − δ ⋅ = n s s c s t x nT t nT x( )
∑
( )
∞ −∞ = ω − ⋅ = ω n nT j s c s x nT e s X( )
∑
∞[ ]
−∞ = Ω − ⋅ = Ω n n j e n x X( )
∑
( )
∞ −∞ = ω − ⋅ = ω n nT j s c s x nT e s X( )
( )
∑
(
)
∑
∞ −∞ = ∞ −∞ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ω − π = ω − ω ⋅ = ω = Ω Ω = ω Ω = ω k s s c k s c s s T k T X k X T X X s T s T 2 1Bloque D/A:
[ ]
∑
∞ −∞ = Ω − ⋅ = Ω n n j e n y Y( )[ ]
∑
∑
∞ −∞ = ω − ∞ −∞ = ω − = ⋅ ⋅ = ω n nT j n nT j s s s y nT e s y n e s Y ( ) ( ) s T s Y Y (ω)= (Ω)Ω=ωRELACIÓN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (III)
( )
( )
s T r r s c Y H H Y Y (ω) = (ω)⋅ ω = ω ⋅ (Ω)Ω=ω( )
∑
∞ −∞ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ω − π ⋅ ⋅ Ω = Ω ⋅ Ω = Ω k s s c s T k T X T H X H Y( ) ( ) ( ) 1 2(
)
∑
∞ −∞ = ω − ω ⋅ ⋅ Ω = Ω = ω Ω=ω Ω=ω k s c s s X k T H Y Y s T s T 1 ) ( ) ( ) (RELACIÓN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (IV)
( )
( ) ( )
( )
∑
∞(
)
−∞ = ω − ω ⋅ ⋅ Ω ⋅ ω = ω ⋅ ω = ω Ω=ω k s c s r s r c X k T H H Y H Y s T 1 ) (( )
( ) ( )
⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ω > ω π > ω ω < ω π < ω Ω ⋅ ω = ω Ω=ω 2 ; 0 2 ; s s s s T c c ó T ó T H X Y s( )
( )
( )
ω ⋅ ω = ω eff c c H X Y( )
( )
⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ω > ω π > ω ω < ω π < ω Ω = ω Ω=ω 2 ; 0 2 ; s s s s T eff ó T ó T H H sRELACIÓN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (V)
Ejemplo:
Obtener la plantilla de un filtro digital que se va a utilizar para realizar un filtrado paso bajo de una señal continua, utilizando la estructura de la figura anterior, con las siguientes características:El periodo de muestreo será Ts = 10-4 segundos.
( )
( )
, ; rad / s H s / rad ; , H , eff eff 3000 2 001 0 2000 2 0 01 1 99 0 ⋅ π ≥ ω < ω ⋅ π ≤ ω ≤ < ω <RELACIÓN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (VI)
(
)
( )
3000 2 2000 2 60 log 20 001 , 0 086 , 0 1 log 20 01 , 0 ⋅ = ⋅ = − = ⋅ ⇒ = = + ⋅ ⇒ = π ω π ω δ δ δ δ a p a a p p dB dB . rad , T . rad , T s a a s p p π = ⋅ ⋅ π = ⋅ ω = Ω π = ⋅ ⋅ π = ⋅ ω = Ω − − 6 0 10 3000 2 4 0 10 2000 2 4 4 sT
⋅
=
Ω
ω
DISEÑO DE FILTROS
DIGITALES IIR
DISEÑO DE FILTROS IIR A PARTIR DE FILTROS ANALÓGICOS
PROCESO
:ESPECIFICACIONES FILTRO DIGITAL ↓
ESPECIFICACIONES FILTRO ANALÓGICO ↓
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA ANALÓGICA H(s) ↓
FUNCIÓN DE SISTEMA H(z) -Aproximación por derivadas -Respuesta al impulso invariante. - Transformación bilineal. s ↔ z ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ω ↔ Ω ⎩ 7 SIMILITUDES CON LOS ANALÓGICOS ⇒ RELACIÓN
APROXIMACIÓN POR DERIVADAS (I)
∑
∑
= =⋅
β
=
⋅
α
N k M k k k k k k kdt
)
t
(
x
d
dt
)
t
(
y
d
0 0 Filtro Analógico:( ) (
)
[ ] [
]
T
n
y
n
y
T
T
nT
y
nT
y
dt
)
t
(
dy
nT t1
−
−
≡
−
−
=
= Transformación:( )
( )
T z ss
H
z
H
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ==
1 1APROXIMACIÓN POR DERIVADAS (II)
(
01)
9 1 2 + + = , s ) s ( H( )
(
(
)
)
(
2) (
1 2)
2 2 2 2 1 01 , 9 2 , 0 1 1 01 , 9 2 , 0 1 1 , 0 1 2 1 01 , 9 2 , 0 1 9 1 , 0 1 1 − − − + + + + + + − + + = + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = z T T z T T T T T T T z z HEjemplo:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10-3 10-2 10-1 100 101 ω/π (rad/s) |H (ω )| (dB s )Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro analógico
1/T1 1/T2 1/T3 1/T4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 10-3 10-2 10-1 100 Ω/π (rad) |H (Ω )| ( d B s )
Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro digital
T4 T1 T2
RESPUESTA AL IMPULSO INVARIANTE (I)
CONCEPTO: Obtener la Respuesta Impulsiva del Filtro Discreto Muestreando la de un Filtro Continuo
[ ]
(
)
h n
=
T h nT
d c d c k d d 2 k H( ) H T T ∞ =−∞ ⎛ Ω π ⎞ ⇒ Ω = ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠∑
Ω = ω T
d
( )
c c( )
d d H H SIEMPRE QUE H 0 T T ⎛ Ω ⎞ π Ω = ⎜ ⎟ ∀ Ω < π ω = ∀ ω ≥ ⎝ ⎠ ( ) H ω ω d T π d T π − ( ) H Ω Ω π −π 2π 3π 4π 2 − π 3 − π 4 − πRESPUESTA AL IMPULSO INVARIANTE (I)
CONCEPTO: Obtener la Respuesta Impulsiva del Filtro Discreto Muestreando la de un Filtro Continuo
[ ]
(
)
h n
=
T h nT
d c d c k d d 2 k H( ) H T T ∞ =−∞ ⎛ Ω π ⎞ ⇒ Ω = ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠∑
Ω = ω T
d
( )
c c( )
d d H H SIEMPRE QUE H 0 T T ⎛ Ω ⎞ π Ω = ⎜ ⎟ ∀ Ω < π ω = ∀ ω ≥ ⎝ ⎠ H( )ω ω d T π d T π − ( ) H Ω Ω π −π 2π 3π 4π 2 − π 3 − π 4 − π( )
∑
=−
=
N 1 k k k cs
s
A
s
H
( )
h t
A e
t
c k s t k N k=
∀
≥
∀
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
=∑
10
0
,
,
t < 0
[ ]
[ ]
h n
T A e
d k s nTu n
k N k d=
=∑
1( )
∑
=−
−=
N 1 k s T 1 k dz
e
1
A
T
z
H
d k SUPONEMOS OBTENIDA:OBTENCIÓN DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
MUESTREANDO hc(t) SE OBTIENE:
APLICANDO TRANSFORMADA Z:
RESPUESTA AL IMPULSO INVARIANTE (III)
( )
N k( )
N d k dk c s T 1 k 1 k k 1T A
A
H s
H z
s s
1 e
z
− = ==
→
=
−
−
∑
∑
PLANO S
PLANO Z
POLOS
COEFICIENTES
ESTABILIDAD
k
s
k
A
T
d
A
k
k
d
s
T
e
{ }
0
Re
s
k
<
T
d
Re
{ }
s
k
<
1
e
RESPUESTA AL IMPULSO INVARIANTE (IV)
Ejemplo: Convertir el filtro analógico con función de transferencia:
( )
(
0
.
1
)
9
1
2+
+
=
s
s
H
cen un filtro IIR digital aplicando la invarianza al impulso.
j
s
p=
−
0
.
1
±
3
( )
j
s
j
j
s
j
s
H
c3
1
.
0
6
1
3
1
.
0
6
1
−
+
−
+
+
=
( )
(
0.1 3)
1(
0.1 3)
11
6
1
1
6
1
− + − − − −−
−
−
=
z
e
j
T
z
e
j
T
z
H
d d j T d T j d( )
( )
( )
1 02 2 1 0 1 1 0 3 2 1 3 3 1 − − − − − − + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = z e z T cos e z T sen e T z H d d d T . d T . d T . dRESPUESTA AL IMPULSO INVARIANTE (V)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10-3 10-2 10-1 100 101 ω/π (rad/s) |H( ω )| (d B s )Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro analógico
1/T1 1/T2 1/T 3 1/T4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 10-3 10-2 10-1 100 101 Ω/π |H( Ω )| (dB s )
Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro digital
T 4 T 3 T 2 T 1
TRANSFORMACIÓN BILINEAL (I)
1 1 d d 2 1 z 2 z 1 s T 1 z T z 1 − − ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + ⎝ + ⎠ ⎝ ⎠ d d T 1 s 2 z T 1 s 2 + = − SemiplanoIzquierdo Interior Circunferencia Unidad
Semiplano Derecho
Exterior Circunferencia Unidad
Eje Imaginario Circunferencia Unidad
( )
( )
⎩
⎨
⎧
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
→
⎯
⎭
⎬
⎫
z
z
H
s
s
H
Tansformación ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Ω + + Ω + Ω + + − ⋅ = + − ⋅ = ω + σ = ΩΩ cos r r rsen j cos r r r T re re T j s d j j d 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2TRANSFORMACIÓN BILINEAL (II)
d 2 z 1 s T z 1 − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ j j d 2 e 1 j T e 1 Ω Ω ⎡ − ⎤ ω = ⎢ ⎥ + ⎣ ⎦ d 2 tg T 2 Ω ω = d T 2 arctg 2 ω Ω =Relación Eje Imaginario Plano “s” ↔ Circunferencia Unidad Plano “z”
( )
H ejΩ
( )
Hc ω
TRANSFORMACIÓN BILINEAL (III)
2πα Td πα Td − αT dΩ −2Tα ⎛⎝2⎞⎠ d tg Ω ( ) [ ] Arg H ejΩ −2παT d −παT d
TRANSFORMACIÓN BILINEAL (IV)
Relación NO LINEAL ω ↔ Ω
( )
s j s j e−α ⎯⎯⎯= ω→ e−α ω ⇒ ϕ ω = −α ω ( FASE LINEAL)( )
d 2 j tg T 2 d 2 e tg ( Fase NO LINEAL) T 2 Ω − α Ω ⇒ Φ Ω = −αTRANSFORMACIÓN BILINEAL (V)
Ejemplo 1: Convertir el filtro analógico con función de transferencia:
( )
(
0 1)
9 1 2 + + = . s s Haen un filtro IIR digital mediante la transformación bilineal.
( )
9 1 0 1 1 2 1 2 1 1 + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − ⋅ = − − . z z T z H d ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − ⋅ = −− 1 1 1 1 2 z z T s dTRANSFORMACIÓN BILINEAL (VI)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 Ω/π (rad) |H( Ω )| (d B s )Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro digital
T4 T3 T2 T1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10-3 10-2 10-1 100 101 ω/π (rad/s) |H( ω )| (dB s )
Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro analógico
1/T 1 1/T2 1/T 3 1/T 4
TRANSFORMACIÓN BILINEAL (VII)
Ejemplo 1: Convertir el filtro analógico con función de transferencia:
( )
(
0
.
1
)
16
1
.
0
2+
+
+
=
s
s
s
H
aen un filtro IIR digital mediante la transformación bilineal. El filtro digital debe tener
un polo a la frecuencia
Ω
r=
π
2
4
4
1
.
0
±
⇒
=
−
=
r pj
s
ω
2
1
2
2
2
4
2
2
Ω
⇒
=
⇒
=
=
d d i d itg
T
T
tg
T
π
ω
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
=
−−111
1
4
z
z
s
( )
2 4 31 1 2 2 1 1 1 1952
.
0
10
096
.
6
1
119
.
0
10
096
.
6
125
.
0
16
1
.
0
1
1
4
1
.
0
1
1
4
− − − − − − − − − −+
+
−
+
=
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
=
z
z
z
z
z
z
z
z
z
H
TRANSFORMACIÓN BILINEAL (VIII)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10-3 10-2 10-1 100 101 ω |H( ω )| (d B s )Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro analógico
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 10-3 10-2 10-1 100 101 Ω |H( Ω )| (d B s )
EJEMPLO (I)
( )
( )
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ Ω ≤ ≤ Ω ≤ Ω ≤ ≤ Ω ≤ π π π 3 , 0 ; 17783 , 0 2 , 0 0 ; 1 89125 , 0 H HDiseñar un filtro digital paso bajo aplicando la respuesta al impulso invariante y la
transformación bilineal a un filtro de Butterworth. Las especificaciones del filtro
digital son:
( )
( )
( )
( )
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ Ω ≤ ≥ Ω ≤ Ω ≤ ≤ Ω ≤ Ω ⋅ − = Ω π π α π α α 3 , 0 ; 15 2 , 0 0 ; 1 0 log 20 dB dB HEJEMPLO (II)
d T Ω = ωa) Respuesta al Impulso Invariante b) Transformación Bilineal
Obtención de la plantilla del filtro paso bajo prototipo analógico:
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ω ⋅ = ω 2 2 tg Td
EJEMPLO (III)
a) Respuesta al Impulso Invariante:
( )
N c a H 2 2 1 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ω ω + = ωDiseño del Filtro de Butterworth
⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ω π + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ω π + 2 2 2 2 17783 0 1 3 0 1 89125 0 1 2 0 1 , T , , T , N c d N c d ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = 88 , 5 22433 , 0 70474 , 0 N T Td d c π ω 6 = N d d c T T
π
ω
= 0,7087 = 0,2256 Distribución de raíces: d d d T j s T j s T j s 1834 , 0 6845 . 0 5011 , 0 5011 . 0 6845 , 0 1834 . 0 3 2 1 ± − = ± − = ± − =EJEMPLO (IV)
a) Respuesta al Impulso Invariante: Diseño del Filtro de Butterworth
( )
(
) (
) (
)
5022 , 0 3690 , 1 5022 , 0 0022 , 1 5022 , 0 3668 , 0 2 2 2 + + ⋅ + + ⋅ + + = s s s s s s k s Ha( )
0 1 k 0,1266 Ha = ⇒ =( )
1834 , 0 6845 , 0 6196 , 1 9351 , 0 1834 , 0 6845 , 0 6196 , 1 9351 , 0 + 5011 , 0 5011 , 0 0797 , 1 5011 , 0 5011 , 0 0797 , 1 + 6845 , 0 1834 , 0 2505 , 0 1447 , 0 6845 , 0 1834 , 0 2505 , 0 1447 , 0 j s j j s j j s j s j s j j s j s Ha − + − + + + + + − + − + + + − + − + + + + + − =( )
1266 , 0 6905 , 0 8824 , 1 2533 , 3 7484 , 3 7380 , 2 1266 , 0 2 3 4 5 6 + + + + + + = s s s s s s s HaEJEMPLO (V)
a) Respuesta al Impulso Invariante: Obtención del Filtro Digital
( )
H z T A e z d k s T k N k d = − − =∑
1 1 1( )
1 1 1 1 1834 , 0 6845 , 0 1834 , 0 6845 , 0 5011 , 0 5011 , 0 5011 , 0 5011 , 0 1 6845 , 0 1834 , 0 1 6845 , 0 1834 , 0 1 6196 , 1 9351 , 0 1 6196 , 1 9351 , 0 + 1 0797 , 1 1 0797 , 1 + 1 2505 , 0 1447 , 0 1 2505 , 0 1447 , 0 − − − − − − − − − − − − − − − − − + − + + − − + − − + − + + − − = z e e j z e e j e e z e e z e e j z e e j z H j j z j j j j( )
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 0647 0 5600 0 0725 2 2190 4 0183 5 3443 3 1 001 0 0042 0 0167 0 0105 0 0007 0 − − − − − − − − − − − + − + − + − + + + + = z , z , z , z , z , z , z , z , z , z , z , z HEJEMPLO (VI)
b) Transformación bilineal: Diseño del Filtro de Butterworth
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π + 2 2 2 2 17783 0 1 2 3 0 2 1 89125 0 1 2 2 0 2 1 , , tg T , , tg T N c d N c d ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = π = = ω 6 2439 0 7662 0 N T , T , d d c Distribución de raíces: d d d T j s T j s T j s 7401 , 0 1983 . 0 5418 , 0 5418 . 0 1983 , 0 7401 . 0 3 2 1 ± − = ± − = ± − =
( )
N c a H 2 2 1 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ω ω + = ω( )
2024 , 0 0205 , 1 5728 , 2 1124 , 4 3822 , 4 9605 , 2 2024 , 0 2 3 4 5 6 + + + + + + = s s s s s s s HaEJEMPLO (VII)
b) Transformación bilineal: Obtención del Filtro Digital
( )
( )
1 1 1 1 2 − − + − ⋅ = = z z T s a d s H z H( )
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 0544 , 0 4800 , 0 8136 , 1 7795 , 3 6222 , 4 1836 , 3 1 007 , 0 0004 , 0 0111 , 0 0148 , 0 0111 , 0 0044 , 0 0007 , 0 − − − − − − − − − − − − + − + − + − + + + + + + = z z z z z z z z z z z z z H MATLAB [N,wc]=buttord(0.2*pi,0.3*pi,1,15,’s’); [B,A]=butter(N,wc,’s’); [R,P,K]=residue(B,A); [Bz,Az]=impinvar(B,A,Fs);a) Respuesta al Impulso Invariante
[N,wc]=buttord(2*tan(0.1*pi),2*tan(0.15*pi),1,15,’s’); [B,A]=butter(N,wc,’s’);
[Bz,Az]=bilinear(B,A,Fs); b) Transformación bilineal:
EJEMPLO (VIII)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Ω |H( Ω )|Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro digital
Bilineal R.I.Inv.
EJEMPLO (IX)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ω |H( ω )|Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro analógico prototipo
Td=1 Td=4 Td=0,2*π 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Ω |H( Ω )|
Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro digital
Td=1 Td=4 Td=0,2*π
TRANSFORMACIONES DE FILTROS DISCRETOS (I)
Procedimientos:
1.- Transformación en frecuencias en tiempo continuo.
TRANSFORMACIONES DE FILTROS DISCRETOS (II)
Transformación en frecuencias en tiempo continuo. 1.- Transformación paso bajo a paso bajo:
( )
( )
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω ω = → ⇒ ω ω → s H s H' s H s s 'p p PB PB PB 'p p2.- Transformación paso bajo a paso alto:
( )
( )
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ω ⋅ω = → ⇒ ω ⋅ ω → s H s H s H s s p 'p PB PA PB p 'p3.- Transformación paso bajo a paso banda:
(
)
( )
( )
(
)
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω − ω ⋅ ω ⋅ ω + ⋅ ω = → ⇒ ω − ω ⋅ ω ⋅ ω + ⋅ ω → − + − + − + − + p p p p p PB PBd PB p p p p p s s H s H s H s s s 2 2 erior corte de Pulsación erior corte de Pulsación p p inf sup ≡ ω ≡ ω − +(
)
( )
( )
(
)
⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω ⋅ ω + ω − ω ⋅ ⋅ ω = → ⇒ ω ⋅ ω + ω − ω ⋅ ⋅ ω → − + − + − + − + p p p p p PB BE PB p p p p p s s H s H s H s s s 2 2TRANSFORMACIONES DE FILTROS DISCRETOS (III)
9 G(z
-1) debe ser función racional en z
-1.
9 El interior de la circunferencia unidad en el plano z se debe
transformar en el interior del circunferencia unidad en el plano z´.
9 La circunferencia unidad en el plano z se debe transformar en la
circunferencia unidad en el plano z’.
Constantinides (1970):
* 1 N N 1 k k * 1 k 1 k k 1 kz a
z
a
z '
z '
1 a z
1 a z
− − − = =−
−
= ±
↔
= ±
−
−
∏
∏
Transformación en frecuencias en tiempo discreto.
( )
1( )
( )
1( )
1 1 − − = − − = ⇒ = z G ' z PB z' H z H z G ' zTRANSFORMACIONES DE FILTROS DISCRETOS (IV)
Ejemplo: Paso Bajo - Paso Bajo
(
)
* j m j m * j m * j m j m * j m 1 a 1 e 1 a 1 a e 1 a 1 a e a e 1 e a a e π π π π π π − = − − = − − = − − = − A’ ↔ A(
)
* j m j m * j m * j m j m * j m 1 a 1 e 1 a 1 a e 1 a 1 a e a e 1 e a a e π π π π π π − − − = + + = + + = + − = − + C’ ↔ Cm=0 ; a = α (Real)
z '
z
1
z
− α
=
− α
B’ ↔ B p p p j j je
e
1
e
Ω θ Ω− α
=
− α
α θ θ = − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ sen sen Ω Ω p p p p 2 2Para determinar α :
z
'
= ± −
1
z a
−
az
*TIPO FILTRO TRANSFORMACIÓN FÓRMULAS ASOCIADAS PASO BAJO z'− z z − − = − − 1 1 1 1 α α α θ θ = − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ sen sen Ω Ω p p p p 2 2
Ωp = frecuencia de corte desada
PASO ALTO z z z '− − − = − + + 1 1 1 1 α α α θ θ = − + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ cos cos p p p p Ω Ω 2 2
Ωp = frecuencia de corte desada
PASO BANDA z z k k z k k k k z k k z '− − − − − = − + + − + − + − + + 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 α α α = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ cos cos Ω Ω Ω Ω p p p p 2 1 2 1 2 2 k= g⎛ p − p p ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ cot Ω2 Ω1 tg 2 2 θ Ω Ω p p 1 2 = =
frecuencia de corte inferior desada frecuencia de corte superor desada
BANDA ELIMINADA z z k kz k k k kz k kz '− − − − − = − + + − + − + − + + 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 α α α = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞⎠⎟ − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞⎠⎟ cos cos Ω Ω Ω Ω p p p p 2 1 2 1 2 2 k= ⎛ p − p p ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ tg Ω 2 Ω1 tg 2 2 θ Ω Ω p p 1 2 = =
frecuencia de corte inferior desada frecuencia de corte superor desada
DISEÑO DE FILTROS
DIGITALES FIR
SISTEMAS FIR DE FASE LINEAL (I)
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ Ω = Ω − ⋅ Ω = Ω − ⇒ Ω Ω α − β Ω α − j j e A H da generaliza lineal Fase e H H lineal Fase HFunción real de Ω Constantes reales
[ ]
( )
( )
Ω ⋅(
)
Ω=[
−α]
π = Ω ⋅ Ω π = β π α − Ω β π Ω∫
∫
H e d e A e d e a n n h j n j j n j 2 2 2 2 1[ ]
n
=
e
β
a
[
n
−
α
]
h
j[ ]
n
a
[ ]
n
a
=
∗−
⇒
a
[ ]
n
=
e
− jβ
h
[
n
+
α
]
[
α
]
β
[
α
]
β
+
=
∗−
+
−n
h
e
n
h
e
j j h[ ]
n = ej2βh∗[
−n+2α]
[ ]
[ ]
0 0 2 M M n ; n h causal es n h Si ⇒ α = ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ ≠h
[ ]
n
=
e
j
2
β
h
∗
[
M
−
n
]
SISTEMAS FIR DE FASE LINEAL (II)
[ ]
n
e
h
[
M
n
]
h
=
j
2
β
∗
−
Coeficientes del filtro reales
⇒
h
[ ]
n
=
h
∗[ ]
n
⇒
e
j2βRe
al
⇒
β
=
k
π
/
2
,
k
∈
Z
[ ]
n
( )
h
[
M
n
]
k
Z
h
=
−
1
k
⋅
−
.
,
∈
( )
A
( )
e
(
2 2)
,
k
Z
,
M
(
orden
del
filtro
)
H
M k j∈
⋅
Ω
=
Ω
π− ΩTipo I: k = 0 (simetría positiva) y M par
Tipo II: k = 0
(simetría positiva)y M impar
[ ] [
n h M n]
h = −
[ ]
n h[
M n]
h =− −
Tipo III: k = 1
(simetría negativa)y M par
Tipo IV: k = 1
(simetría negativa)y M impar
⎩
⎨
⎧
⎩
⎨
⎧
SISTEMAS FIR DE FASE LINEAL (III)
Ejemplo: Obtener la respuesta en frecuencia de un sistema FIR de orden par cuya respuesta al
Impulso tiene simetría positiva y demostrar que es de fase lineal.
[ ] [
]
[ ] [ ]
[ ] [
]
⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − = = ⇒ ⎭ ⎬ ⎫ ≡ − = 1 2 1 2 1 1 0 M h M h ... M h h M h h Par M n M h n h( )
[ ]
[ ] [ ]
− Ω − Ω[
]
−(
−)
Ω[ ]
− Ω = Ω − + + − ⋅ + ⋅ ⋅⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + ⋅ + = ⋅ = Ω∑
j M jM M j j M n n j h h e ... h M e ... h M e h M e e n h H 2 1 0 1 2 1 0( )
[ ]
[ ]
[
]
[ ]
⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ + ⋅ − + + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + ⋅ + ⋅ ⋅ = Ω ⎟⎠Ω ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − Ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Ω Ω − 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 0 M j M j M j M j M j e M h e M h ... M h ... e h e h e H( )
[ ]
[ ]
⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ω ⋅ ⋅ = Ω − Ω 2 1 2 1 2 2 0 2 2 h cos M h cos M ... h M e H M j( )
[ ]
− Ω( )
θ( )
Ω = ⋅ Ω = ⋅ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Ω ⋅ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = Ω∑
− j M j n e A e n M cos n h M h H M 2 0 1 2 2 2 2( )
[ ]
θ( )
Ω =− Ω ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Ω ⋅ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = Ω∑
− = 2 ; 2 cos 2 2 1 2 0 M n M n h M h A M n( )
(
)
[ ]
[
( )
]
[ ]
n 2h[
n]
d n sen n d e H 2 1 M 1 n 2 1 j 2 1 M 2 2 M − = − ⋅ Ω ⋅ ⋅ = Ω + = − Ω −∑
+ π( )
(
)
[ ]
[
]
[ ]
n 2h[ ]
n c n sen n c e H 2 M 1 n j 2 M 2 2 M − = ⋅ Ω ⋅ ⋅ = Ω∑
= − Ω − π( )
[ ]
[
( )
]
[ ]
n 2h[
n]
b n cos n b e H 2 1 M 1 n 2 1 j 2 1 M 2 M − = − ⋅ Ω ⋅ ⋅ = Ω + = Ω −∑
+( )
[ ]
[
]
[ ]
h[ ]
a[ ]
n h[ ]
n a n n a e H M M n j M M − = = ⋅ Ω ⋅ ⋅ = Ω∑
= Ω − 2 2 0 2 0 cos 2 2SISTEMAS FIR DE FASE LINEAL (IV)
Tipo
h[n]
Orden M
H(Ω)
θ(Ω)
τ
I
Par
II
Impar
III
Par
IV
Impar
Simetría
Negativa
Simetría
Positiva
[ ] [
n h M n]
h = −[ ]
n h[
M n]
h =− − 2 MΩ
−
2 MΩ
−
2 2+
πΩ
−
M 2 2+
πΩ
−
M 2 M 2 M 2 M 2 MSISTEMAS FIR DE FASE LINEAL (V)
Posiciones de los ceros en los sistemas FIR de fase lineal:
( )
z
=
±
z
−⋅
H
( )
z
−1H
M( )
z z H( )
z H( )
z z cerode H( )
z H e r z1 = 1 jΩ1 ⇒ 1 = ± 1−M ⋅ 1−1 =0 ⇒ 1−1 =0 ⇒ 1−1Si h[n] real:
( )
z
=
z
−⋅
H
( )
z
−1H
M 1 = z ⇒ H( ) ( )
1 = 1 M H( )
1 = H( )
1Sistemas con simetría positiva y M impar (tipo II) poseen un cero en z = -1
( )
(
)
)
(
1 11
también
cero
de
H
z
z
También
cero
de
H
z
z
∗⇒
∗ − Casos particulares (z = 1; z = -1):( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
⎩
⎨
⎧
=
−
⇒
−
−
=
−
⇒
−
=
−
⇒
⇒
−
−
=
−
⇒
0
1
1
1
1
1
1
1
1
H
H
H
impar
M
H
H
par
M
H
H
M 1 − = z - Ceros de H(z):( )
∑
[ ]
∑
[
]
∑
[ ]
( )
= − − − = − = − = ± − ⋅ = ⋅ ± ⋅ ⋅ = 0 1 0 0 k M k M M n n M n n z k h z z n M h z n h z H Simetría Positiva:SISTEMAS FIR DE FASE LINEAL (VI)
Posiciones de los ceros en los sistemas FIR de fase lineal:
( )
z
=
±
z
−⋅
H
( )
z
−1H
M( )
z z H( )
z H( )
z z cerode H( )
z H e r z1 = 1 jΩ1 ⇒ 1 = ± 1−M ⋅ 1−1 =0 ⇒ 1−1 =0 ⇒ 1−1Si h[n] real:
( )
(
)
)
(
1 11
también
cero
de
H
z
z
También
cero
de
H
z
z
∗⇒
∗ − Casos particulares (z = 1; z = -1): - Ceros de H(z):( )
∑
[ ]
∑
[
]
∑
[ ]
( )
= − − − = − = − = ± − ⋅ = ⋅ ± ⋅ ⋅ = 0 1 0 0 k M k M M n n M n n z k h z z n M h z n h z H1
=
z
⇒
H
( ) ( )
1
=
−
1
MH
( )
1
=
−
H
( )
1
Sistemas tipo III y IV poseen un cero en z = 11
−
=
z
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
⎩
⎨
⎧
−
=
−
⇒
=
−
⇒
−
−
=
−
⇒
⇒
−
−
−
=
−
⇒
1
1
0
1
1
1
1
1
1
H
H
impar
M
H
H
H
par
M
H
H
MSistemas tipo III poseen un cero en z =- 1
SISTEMAS FIR DE FASE LINEAL (VII)
DIAGRAMAS DE POLOS Y CEROS DE SISTEMAS FIR DE FASE LINEAL
Orden par Orden par
Orden impar
DISEÑO DE FILTROS FIR
FILTROS IDEALES:
1.- Su h
d[n] tiene longitud infinita.
2.- Su h
d[n] es no causal ( h
d[n] ≠ 0, ∀ n < 0 ).
SOLUCIÓN (MÉTODO DE LAS VENTANAS):
1.- Limitar la longitud de h
d[n] a M+1 muestras
(Multiplicarla por una función ventana h[n] = h
d[n]·w[n] ).
2.- Introducir el retardo necesario para que h[n] sea causal.
DISEÑO DE FILTROS FIR
FILTRO DISCRETO PASO BAJO IDEAL
−ΩC ΩC π Ω −π |H ( )|d Ω
[ ]
( )
(
)
n n C sen d e d e H n h C C n j n j d d π Ω Ω π = Ω ⋅ Ω π =∫
= Ω Ω − Ω π Ω∫
21 2 1 2( )
∑
∞[ ]
−∞ = Ω − ⋅ = Ω n n j d d h n e HFiltro ideal: Respuesta al impulso no causal e infinita.
-30 -20 -10 0 10 20 30 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 n hd [n ]
Respuesta al impulso de un filtro discreto Paso Bajo Ideal
... ...
Respuesta Impulsiva del Filtro Ideal: hd[n]
Ventana (Rectangular) w[n] Respuesta impulsiva obtenida: h[n] = hd[n]· w[n] Respuesta Impulsiva desplazada para que sea causal: h[n-n0]
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 -0.5 0 0.5 1 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 -0.5 0 0.5 1 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 -0.5 0 0.5 1 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 -0.5 0 0.5 1
SI PRIMERO DESPLAZAMOS Y DESPUÉS MULTIPLICAMOS, EL RESULTADO ES EL MISMO ( VENTANAS CAUSALES).
Respuesta Impulsiva del Filtro Ideal: hd[n]
Respuesta Impulsiva del Filtro Ideal desplazada
hd[n-n0] Ventana (Rectangular) causal: w[n] Respuesta impulsiva obtenida: h[n] = hd[n-n0]· w[n]
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 -0.5 0 0.5 1 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 -0.5 0 0.5 1 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 -0.5 0 0.5 1 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 -0.5 0 0.5 1
Transformada de Fourier de la ventana rectangular:
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
( ) ( ) − φ( )Ω ⋅ − Ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ω ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ Ω = ⋅ Ω = Ω 2 2 2 1 M j j p e sen M sen e W W
[ ]
⎩
⎨
⎧
≤
≤
=
resto
el
M
n
n
w
0
0
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 Ω φΩ ) -3 -2 -1 0 1 2 3 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 Ω A( Ω) 0 ... M 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 n w[ n] ...DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
RESPUESTA DE FASE LINEAL
Todas las ventanas van a tener simetría positiva:
[ ]
[
]
( )
( )
Las Respuestas al Impulso de los Filtros Ideales Tendrán Simetría Positiva o Negativa:
2
0
0
j M p TFe
W
W
n
de
resto
,
M
n
,
n
M
w
n
w
Ω −⋅
Ω
=
Ω
⎯
⎯ →
←
⎩
⎨
⎧
−
≤
≤
=
[ ]
[
]
( )
( )
[ ]
[
]
( )
( )
2 2 M j n d TF d d M j p d TF d de
jA
H
n
M
h
n
h
e
A
H
n
M
h
n
h
Ω − Ω −⋅
Ω
=
Ω
⎯
⎯ →
←
−
−
=
⋅
Ω
=
Ω
⎯
⎯ →
←
−
=
[ ]
[ ] [ ]
( )
( )
( )
( ) (
θ
⋅
Ω
−
θ
)
⋅
θ
π
=
Ω
⊗
Ω
=
Ω
⎯
⎯ →
←
⋅
=
∫
πd
W
H
W
H
H
n
w
n
h
n
h
d TF d d 22
1
( )
∫
π( )
(
)
(
)
π − θ − Ω − θ −θ
⋅
⋅
θ
−
Ω
⋅
⋅
θ
π
=
Ω
A
e
W
e
d
H
M j p M j p 2 22
1
( )
π∫
( )
(
)
π − Ω −θ
⋅
θ
−
Ω
⋅
θ
π
⋅
=
Ω
e
A
W
d
H
p p M j2
1
2 Simetría positivaEFECTO DEL ENVENTANADO SOBRE LA RESPUESTA DE AMPLITUD DEL FILTRO.
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
-3 -2 -1 0 1 2 3 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Ω Wp ( Ω )
( )
( )
θ
⋅
(
Ω
−
θ
)
⋅
θ
=
⋅
( )
Ω
π
⋅
=
Ω
− Ω π π − Ω −∫
A
W
d
e
A
e
H
M j p p M j 2 22
1
2π -2π Ω = -ΩΩ = -Ω1 2 Ω = Ω2Ω = Ω1 -Ω1 -Ω2 Ω2 Ω1 π Ω = π π -π Ω = -π-π Ω
ΔΩ = Ω
2-
Ω
1= ZONA DE TRANSICIÓN
Debida Fundamentalmente a la Anchura del Lóbulo Principal
EFECTO DEL ENVENTANADO SOBRE LA RESPUESTA DE AMPLITUD DEL FILTRO. LÓBULO PRINCIPAL
2π -2π Ω = -ΩΩ = -Ω1 2 Ω = ΩΩ = Ω2 1 Ω = -π -π Ω -π π Ω = π
RIZADO EN BANDA DE PASO Y ELIMINADA
Debida a los Lóbulos Secundarios (Principalmente al primero)
-Ω1-Ω2 Ω2Ω1
π
EFECTO DEL
ENVENTANADO SOBRE LA RESPUESTA
DE AMPLITUD DEL FILTRO. LÓBULOS SECUNDARIOS
VENTANA RECTANGULAR.
4 ANCHURA DEL LÓBULO PRINCIPAL =
M 1 π ΔΩ = + -2 0 2 0 2 4 6 8 M+1 = 9 Ω -2 0 2 0 2 4 6 8 10 12 M+1 = 13 Ω -2 0 2 0 5 10 15 M+1 = 18 Ω -2 0 2 0 5 10 15 20 25 M+1 = 26 Ω
MÓDULO DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE LA VENTANA RECTANGULAR
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
( )
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛Ω⋅ + = Ω 2 2 1 sen M sen WDISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
VENTANA RECTANGULAR.
AMPLITUD RELATIVA DEL LÓBULO SECUNDARIO = -13 dB
0 1 2 3 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 M+1 = 9 Ω 0 1 2 3 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 Ω M+1 = 13 0 1 2 3 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 M+1 = 18 Ω 0 1 2 3 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 M+1 = 26 Ω
PARA MODIFICAR LA AMPLITUD DE LOS LÓBULOS SECUNDARIOS
HAY QUE MODIFICAR LA FORMA DE LA VENTANA. SE UTILIZAN VENTANAS QUE NO CONTENGAN
DISCONTINUIDADES ABRUPTAS ( FENÓMENO DE GIBBS )
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
CONLLEVA EL AUMENTO DE LA ANCHURA DEL LÓBULO PRINCIPAL
REGIÓN DE TRANSICIÓN EN LA RESPUESTA DEL FILTRO FIR MÁS ANCHA
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
ALGUNAS VENTANAS UTILIZADAS: EXPRESIÓN ANALÍTICA
[ ]
2n M , 0 n M 2 2n M 2 , n M w n M 2 0, Resto n ⎧ ∀ ≤ ≤ ⎪ ⎪ ⎪ − ∀ ≤ ≤ = ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ BARTLETT[ ]
2 n 0,5 0,5 cos , 0 n M M w n 0, Resto n ⎧ − ⎛ π ⎞ ∀ ≤ ≤ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩ HANNING HAMMING BLACKMAN[ ]
2 n 0,54 0, 46 cos , 0 n M M w n 0, Resto n ⎧ − ⎛ π ⎞ ∀ ≤ ≤ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩[ ]
2 n 4 n 0, 42 0,5 cos 0,08 cos 0 n M M M w n 0, Resto n ⎧ − ⎛ π ⎞+ ⎛ π ⎞ ≤ ≤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
ALGUNAS VENTANAS UTILIZADAS: REPRESENTACIÓN ( M = 50 )
0 10 20 30 40 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 BLACKMAN 0 10 20 30 40 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 BARTLETT 0 10 20 30 40 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 HANNING 0 10 20 30 40 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 HAMMING
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
0 1 2 3 -100 -80 -60 -40 -20 0 BLACKMAN 0 1 2 3 -100 -80 -60 -40 -20 0 HAMMING 0 1 2 3 -100 -80 -60 -40 -20 0 HANNING 0 1 2 3 -100 -80 -60 -40 -20 0 BARLETT M = 50DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
VENTANA HANNIG:−20log W
(
( )
Ω / max W( )
Ω.)
0 1 2 3 -100 -80 -60 -40 -20 0 M = 20 0 1 2 3 -100 -80 -60 -40 -20 0 M = 30 0 1 2 3 -100 -80 -60 -40 -20 0 M = 40 0 1 2 3 -100 -80 -60 -40 -20 0 M = 50
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
VENTANAS: RESUMEN DE CARACTERÍSTICAS
PARÁMETRO ÚNICO DE DISEÑO: ORDEN DEL FILTRO ( M )
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − π M n 2 cos 1 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π ⋅ − M n 2 cos 46 . 0 54 . 0 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π ⋅ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π ⋅ − M n cos . M n cos . .42 05 2 008 4 0
VENTANA w[n] (0 ≤ n ≤ M) Anchura del
Lóbulo Principal Ai αbe rbp ΔΩ Rectangular 1 4π/(M+1) 13,3 20,9 1,57 0,11 0,033 0,00298 1,84π/M Hanning 8π/(M+1) 31,5 43,9 6,22π/M Hamming 8π/(M+1) 42,7 54,5 6,64π/M Blackman 12π/(M+1) 58,1 75,3 11,12π/M
Ai: Amplitud máxima relativa (en dB's) de los lóbulos laterales. αbe=-20 log(δ) : Atenuación mínima (en dB's) en la banda eliminada.
rbp=-20 log((1-δ)/(1+ δ)): Rizado en la banda de paso. ΔΩ: anchura de la banda de transición.
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
VENTANA DE KAISER[ ]
( )
w n I n I n M = − ⎡ − ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ∀ ≤ ≤ ∀ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ 0 2 0 1 0 0 1 2 β α α β , resto de n M 2 α =I0 ( ): Función de Bessel de Orden Cero Modificada de Primera Clase
β : Factor de Forma
( )
k 2(
)
L 0 k 1 x 2 I (x) 1 L 25 k! = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ≈ + ⎢ ⎥ ≤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦∑
DOS PARÁMETROS DE DISEÑO:
ORDEN DEL FILTRO ( M ) → AJUSTE DE ANCHURA DEL LÓBULO PRINCIPAL
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
VENTANA DE KAISER: REPRESENTACIÓN PARA DISTINTOS VALORES DE β
0 10 20 30 40 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 β = 0 0 10 20 30 40 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 β = 3 0 10 20 30 40 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 β = 6 0 10 20 30 40 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 β = 9 n n n n
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 M = 10 Ω 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 M = 10 Ω M = 20 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 M = 10 Ω M = 20 M = 41DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
0 0.5 1 1.5 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 β = 0 Ω 0 0.5 1 1.5 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 β = 0 Ω β = 3 0 0.5 1 1.5 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 β = 0 Ω β = 3 β = 6 0 0.5 1 1.5 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 β = 0 Ω β = 3 β = 6 β = 9(
p a)
Definiendo A
= −
20 log
δ
con
δ =
min
δ δ
,
(
)
(
)
(
)
β =
−
+
−
≤
≤
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
0 1102
8 7
0 07886
21
21
50
0 0
0 4,
,
,
,
,A
A
A
A > 50
0,5842 A - 21
A < 21
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
VENTANA DE KAISER: OBTENCIÓN DE β y M
A 7,95
A 7,95
M
2, 285
14,36 f
−
−
≥
=
ΔΩ
Δ
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
EJEMPLO
Se desea diseñar un sistema para procesar una señal analógica xc(t) (limitada en banda a 5 kHz) con un filtro digital como se indica en la figura.
Las especificaciones del módulo de la respuesta en frecuencia del sistema analógico |H(ω)| son: -Atenuación máxima en la banda de paso αp= 1 dBs.
-Atenuación mínima en la banda atenuada αa = 15 dBs.
- Frecuencia de corte en la banda de paso: fp = 800 Hz - frecuencia de corte en la banda atenuada: fa = 1400 Hz
DISEÑO DE FILTROS FIR: CAMBIO DE ESPECIFICACIONES
αmax αmin α(dB) Ω Ωp Ωa π 1 -δ1 |H(Ω)| Ω Ωp Ωa 1 δ2 π max min 20 1 20 2 1 10 10 α − α − − δ = δ = 1 -δp |H(Ω)| Ω Ωp Ωa 1 δa π 1+ δp(
)
(
)
(
) (
)
20max p 1 p p p 1 1 1 1 1 10 α − − δ = − δ + δ ⇒ − δ = + δ(
)
max min max 20 20 p a p 2010
1
;
10
1
10
1
α α − α−
δ =
δ =
+ δ
+
(
)
min(
)
20 a 1 p 2 10 1 p α − δ = + δ δ = + δ max max max max max max 20 20 20 20 p p 20 20 1 10 10 1 10 1 1 10 1 10 10 1 α α − α α − − α α − ⎛ ⎞ − − δ ⎜⎜ + ⎟⎟ = − ⇒ δ = = ⎝ ⎠ + +|H(Ω)| Ω π 1 1-δ1 δ2 1-δp 1+δp δa
DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS
EJEMPLO ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ⋅ ⋅ = ⋅ = Ω = ⋅ ⋅ = ⋅ = Ω ⇒ = ⇒ ⋅ = Ω − − π π ω π π ω ω 35 , 0 10 8 1 1400 2 2 , 0 10 8 1 800 2 8 1 3 3 s a a s p p s s T T ms T Ta) Plantilla de atenuación del Filtro Analógico: b) Plantilla de atenuación del Filtro Discreto:
d) Plantilla de amplitud del Filtro discreto en unidades naturales:
SOLUCIÓN: 1. PLANTILLAS: