OPTIMISTA. PROPIEDADES DEL VALOR ESPERADO Y
SOLUCIONES ALTERNATIVAS AL PERT CLÁSICO
FEDERICO PALACIOS GONZÁLEZ
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales Universidad de Granada
1. INTRODUCCIÓN
La repetición de un determinado tipo de inversión en circunstancias ambientales estables, que permitan hacer un análisis de las regularidades de comportamiento es poco habitual. Por tanto, es difícil llevar a cabo un proceso inferencial y evaluar, objetivamente, resultados esperados y riesgos.
No obstante, para el análisis de un proyecto de inversión, es usual la consulta de personas que han estado inmersos en ese ambiente y que, además de sus conocimientos técnicos, por su experiencia, tienen conocimiento acumulado y apreciación intuitiva de dicho ambiente. Son los llamados “expertos”.
No es fácil traducir este conocimiento empírico del experto en términos de probabilidad, valor esperado, y varianza.
En este trabajo se hace una descripción de la metodología utilizada por el PERT clásico. Se analiza el modo de resolver la indeterminación del modelo de probabilidad que recoge la información sobre valor pesimista más verosímil y optimista proporcionados por el experto, y se proponen soluciones alternativas para utilizar en la selección de proyectos de inversión con uno o varios periodos de ejecución. Soluciones, que en términos de varianza, son más conservadoras que la proporcionada por el PERT clásico y cuyos valores esperados poseen una menor cota de error.
2. VALORES PESIMISTA, MÁS VEROSÍMIL Y OPTIMISTA LA FAMILIA DE DISTRIBUCIONES BETA
Una forma bastante intuitiva y tradicional de recabar la información del experto consiste en pedirle tres valores: pesimista, “a” y optimista, “b”, que determinan el rango donde fluctuará la variable (flujo de caja) y m∈(a, b) considerado por dicho experto como el más verosímil.
Hay un infinito no numerable de distribuciones cuya masa de probabilidad se reparte, entera o casi entera, en el interior del intervalo (a, b) y cuya única moda es el valor m. Por tanto, estas tres cantidades proporcionadas por el experto dejan un altísimo grado de indeterminación sobre la distribución de probabilidades de las variables que miden el resultado de la inversión Sasieni (1986), Moitra(1990).
Es comúnmente aceptado que la familia tetraparamétrica de distribuciones beta, Suárez (1993), tiene suficiente capacidad para modelizar la opinión del experto sobre la variable flujo de caja en términos de probabilidad.
La familia de distribuciones beta tetraparamétrica, subyacente en la metodología del PERT clásico esta definida por la siguiente función de densidad dependiente de cuatro parámetros a, b, p>1, q>1
(
) (
1)
1 ) , , , ; (x a b p q ∝ x−a p− b−x q− f (1)donde a y b son el valor pesimista y optimista del experto. Los parámetros p y q serán tales que la moda de la distribución coincida con el valor m, más verosímil, también proporcionado por el experto. Para ello han de verificar la siguiente relación lineal, Herrerías-Pérez (1991), Palacios-Ramos (1995)
a m c m p a m m b q − − + − − = 2 (2)
siendo c el punto medio del intervalo (a, b)
Puede, por tanto encontrase una infinidad no numerable de distribuciones Beta sobre el intervalo (a, b) y con moda m.
El valor esperado, la moda y varianza de la distribución Beta son perfectamente conocidas. Reproducimos a continuación sus expresiones Dumas de Rauly (1968), Canavos (1987): 2 ) 1 ( ) 1 ( − + − + − = q p a q b p m (3) q p qa pb + + = µ (4) 2 2( )2 ) )( 1 (p q p q b a pq − + + + = σ (5)
Si c es el centro del intervalo (a,b) y R su radio, mediante sencillas transformaciones en (3) y (4), Herrerías (1995), Palacios-Ramos (1995), se puede comprobar que
R q p q p c m 2 − + − + = (6)
R q p q p c + − + = µ (7) 2 2 2 ) )( 1 ( 4 q p q p pqR + + + = σ (8)
Las expresiones (6) y (7) son claves para el resto de la ponencia. Obsérvese que de ellas pueden obtenerse las siguientes conclusiones.
c m q p c m q p m c q p < < ⇔ < = = ⇔ = < < ⇔ > µ µ µ (9)
que se resumen en Min(c,m) ≤ µ ≤ Máx(c,m). Es decir el valor esperado de la variable aleatoria con distribución Beta siempre se encuentra entre la moda y el centro del intervalo, cualquiera que sean los valores de p > 1 y q > 1
Cuando se modeliza la opinión del experto mediante la familia de distribuciones Beta, el valor esperado de la variable aleatoria forzosamente ha de estar entre el centro del intervalo y la moda proporcionados por dicho experto. Esta propiedad no es exclusiva de la familia Beta y las soluciones alternativas que posteriormente se proponen continúan válidas si, para modelizar la opinión del experto, la familia Beta se extiende a todas las distribuciones con dicha propiedad.
Volviendo a observar las expresiones (6) y (7), no es difícil comprobar, (resolviendo un sistema de dos ecuaciones lineales) que si se elige mediante cualquier criterio un valor de la esperanza matemática (entre m y c), entonces se seleccionan dos valores concretos para p y q. Como consecuencia, la varianza adquiere el correspondiente valor. Más concretamente
R m a c m p ) ( ) ( ) ( µ µ − − − = (10) R m b c m q ) ( ) ( ) ( µ µ − − − = (11)
Resulta inmediato de (10) y (11), que
µ − − = + m c m q p 2 (11a)
(
)(
)
2 2 R a b m c m pq − − − − = µ µ µ (11b)y a partir de (8), (11a) y (11b) se obtiene que
1 2 ) ( ) ( 2 + − − − − = µ µ µ σ m c m a b (12)
Las expresiones (10), (11) y (12) también resultan interesantes si se utilizan con precaución: Dados a, b y m≠c, si el valor µ (forzosamente comprendido entre m y c) se hace converger hacia c, entonces (10) y (11) convergen hacia 1. La distribución tiende hacia la uniforme en el intervalo (a, b) y la (12) converge hacia el valor máximo
12 )
( 2
2 = b−a
σ (13)
Si por el contrario se hace que µ converja hacia m entonces p y q crecen indefinidamente. La varianza (12) tiende a cero y la distribución tiende a degenerarse sobre m.
En el primer caso, se manifiesta una desconfianza total hacia el valor más verosímil dado por el experto, ya que se tiende a equiparar la verosimilitud de m con la de cualquier otro punto del intervalo (a, b) (distribución uniforme, en el límite). En el segundo, se manifiesta una “fe ciega” en dicho valor m, hasta darlo como casi seguro con probabilidad 1 (distribución degenerada en el límite).
Si un inversor o el propio experto se deciden por un valor µ entre m y c, podría interpretarse la distancia entre c y µ (y por tanto la proximidad entre m y µ) como una medida de la confianza que el inversor, o el propio experto tienen en el valor m más verosímil. Cantidad que se puede hacer independiente de las unidades de la variable aleatoria y con variación entre cero y 1. Basta con dividir por la distancia entre c y m.
De este modo se puede definir el siguiente índice de confianza en el valor m del experto: c m c − − = µ α (14) En virtud de (9), 0< α <1. Obsérvese que c m c m c α( ) α (1 α) µ= + − = + − (15)
con 0 < α < 1, si y sólo si µ está comprendido entre m y c. De la expresión (14) resulta c m m − − = −α µ 1 (16) ) ( ) (m c a R m c c a= + − − = + − − α α µ (17)
) ( ) (m c R m c c b b−µ= − −α − = −α − (18) y sustituyendo en (10), (11) y (12) se obtiene + − − = R c m p α α 1 1 1 (19) − − − = R c m q α α 1 1 1 (20)
(
)
(
2 2 2)
2 3 1 c m R − − − − = α α α σ (21)siendo evidente que
α − = + 1 2 q p (22)
Si m=c, según (9) ha de ser p = q y µ = c. No hay incertidumbre en la media pero la varianza queda indeterminada pudiendo tomar cualquier valor en el intervalo
(
)
− 12 , 0 2 a b (23) para lo cual basta hacer que p ≡ q varíen en el intervalo (1, +∞)3. ARGUMENTOS DEL PERT CLÁSICO PARA LA DETERMINACIÓN DE UN VALOR ENTRE c Y m
Hay dos ideas básicas en torno a la solución
c m m c b m a 3 1 3 2 3 2 6 4 + = + = + + = µ (24)
dada por el PERT clásico y que está asociada con el valor α = 2/3 en (15).
La primera, consiste en suponer que el rango de la variable es aproximadamente 6 veces la desviación típica. Hipótesis cuyo origen podemos encontrar en el hecho de que, para cualquier variable Normal, la masa de probabilidad contenida en el intervalo ( µ - 3 σ ; µ + 3 σ ) es 0,9973.
Para cualquier otra variable, la desigualdad de Tchebycheff, Canavos (1987), asegura que, independientemente de su distribución, la masa de probabilidad de dicho intervalo es siempre superior a 1-1/9 = 0,8889 . De acuerdo con este discurso 36 ) ( 6 2 2 b a a b− ≅ σ⇒σ ≅ − (25)
Teniendo en cuenta (12) y (25), se puede escribir 36 ) ( ) ( ) ( 2 ) )( )( ( b a 2 m c m m a b − = − + − − − − µ µ µ µ (26) Ecuación que establece una relación no lineal entre a, b, m, y µ. La indeterminación ha desaparecido puesto que sólo existe un valor de µ, entre c y m que cumpla la igualdad (26). Sin embargo resolver en µ dicha expresión es incómodo, y lo era mucho más en los años 50, cuando nació el PERT.
La segunda idea, Littlefield-Randdolph (1987) fue tratar de aproximar la ecuación cúbica en µ, (a la que se llega en cuanto se intenta resolver (26)) mediante una función lineal y suponer que, a efectos prácticos, los valores de µ asociados con a, b y m mediante (26) podrían aproximarse satisfactoriamente utilizando una expresión de la forma
b k m k a k1 + 2 + 3 = µ (27)
Es muy sencillo imaginar de donde surge esta idea si se supone el caso particular de a=0, b=1 y se encuentran algunos pares de valores que verifican (26).
Si se representan estos pares en un plano cartesiano se obtiene (ver gráfico 1) una nube de puntos que insinúa una línea con débil curvatura, aproximable de forma satisfactoria mediante una recta.
Media en función de la moda varianza=1/36 y = 0,676x + 0,1598 R2 = 0,9976 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Gráfico 1
Si se hace la experiencia de construir una muestra de valores a, b, m y µ que cumplan la relación (26) y se ajusta un modelo lineal por el método de mínimos cuadrados ordinarios, se encontrarán situaciones similares a la que a continuación se describe. Para una muestra de tamaño n=205 cuádruplas de
valores a, b, m y µ, resultó un valor de R2 = 0’999995 y un modelo ajustado que fue 029339 , 0 158728 , 0 678613 , 0 162840 , 0 + + − = a m b µ (28)
La muestra se obtuvo de la siguiente forma “a” varía desde 1 a 205, “b” es el correspondiente “a” más un número aleatorio uniforme U(0,20), m un valor aleatorio uniforme U(a, b) y µ es el que satisface la relación (26).
Los coeficientes de a, b y m, en el modelo ajustado, son muy significativos (nivel de significación inferior a 10-100) y la constante no es significativamente distinta de cero. El ajuste de un modelo sin constante dio estimaciones de los parámetros muy similares.
Si reparamos en el hecho de que 1/6 ≅ 0,166667 y 4/6 ≅ 0,666667 podemos concluir que una forma muy operativa y práctica del anterior modelo lineal es la famosa expresión del PERT clásico recogida en (24).
En definitiva podemos afirmar que la solución PERT se obtiene imponiendo a la varianza la siguiente condición adicional, Suárez (1993)
36 )
( 2
2≅ b−a
σ (29)
A partir de (19) y (20), para α=2/3, pueden obtenerse los valores de p y q de la distribución Beta cuyo valor esperado es (24). Estos son
R c m p=3+ 2( − ) (30) R c m q=3−2( − ) (31) verificándose que b m a m b a q p+ =6∀ , , < < (32)
El valor exacto de la varianza (que deberá estar próximo a (29)) se obtiene de forma inmediata sustituyendo α=2/3 en la expresión (21); es decir
(
)
− − = 2 2 2 9 4 7 1 c m R σ (33)En el gráfico 2 se muestra la varianza, según (33), en función de m para el caso a=0, b=1
Por otra parte, si se impone que la varianza es exactamente (b-a)2/36 y se utilizan las expresiones (5) y (32), Grubs (1962), Herrerías (1989) se obtiene
2 3± = p (34) 2 3m = q (35)
pero la moda de la distribución Beta con estos parámetros, según (6), es
m
*= ±
c
R
2
(36)Valor que raramente coincidirá con el propuesto por el experto. Un sencillo cálculo con un ejemplo cualquiera de algún manual puede confirmar la aseveración.
En Herrerías-Palacios-Pérez (1993) y (1994) se encuentran varios test estadísticos para contrastar la hipótesis nula H0: El experto sitúa sus modas
según el patrón (36) pero añadiendo una perturbación aleatoria de media cero que hace que los valores más verosímiles no coincidan con (36), pero sí oscilen a su alrededor. La hipótesis nula fue rechazada sobre el ejemplo seleccionado.
De forma análoga, a partir de (7) se obtiene R c 3 2 *= ± µ (36a) De (36) y (36a) resulta
(
)
46 3 1 3 2 3 2 * * * * a m b c m c m c+ − = + = + + = µ (36b)Expresión que formalmente coincide con (24), pero que numéricamente no ha de ser así ya que el experto, difícilmente hará coincidir siempre m y m*
4. OTROS ARGUMENTOS PARA SELECCIONAR UN PUNTO ENTRE m Y c: SOLUCIONES ALTERNATIVAS AL PERT CLÁSICO
El criterio para determinar el valor esperado entre m y c que utiliza el PERT clásico ha sido bastante criticado. En problemas de selección de proyectos de inversión, se ha tildado de excesivamente optimista Suárez (1993). No obstante los resultados espectaculares que produjo desde su comienzo le han dado una gran popularidad y aceptación general, aunque no faltan las críticas de algunos investigadores como Perry-Greig (1975), Sasieni (1986), Golenko- Ginzburg (1988), Herrerías (1989), Berny (1989),Trutt (1989), Moitra (1990), Chae y Kim (1990), Herrerías y Pérez (1991), Keefer-Verdini (1993), Pérez (1995), Herrerías (1995), Palacios-Ramos (1995).
Para encontrar soluciones alternativas se han seguido tres vías distintas: A) Proporcionar otras argumentaciones lógicas distintas al PERT clásico para
escoger un valor esperado en el intervalo de extremos m y c, Herrerías (1995), Palacios-Ramos (1995).
B) Buscar alguna forma de recabar información adicional del experto que permita eliminar o reducir la incertidumbre dentro del intervalo de extremos m y c. Moitra (1990), Chae y Kim (1990) Pérez Rodríguez (1995).
C) Utilizar modelos de probabilidad alternativos a la familia Beta que permitan una mejor determinación del valor esperado a partir de a,b y m. Golenko-Ginzburg (1988), Herrerías (1989) Berny (1989).
El resto de este trabajo trata fundamentalmente del apartado 1 y algún aspecto del apartado 2, en la medida en que puede entroncarse y relacionarse con el anterior.
4.1 UNA ALTERNATIVA EN PROYECTOS CON UN SOLO PERIODO DE EJECUCIÓN
El flujo de caja se modeliza como una variable aleatoria Beta sobre el intervalo (a, b) y cuya moda es m. El valor esperado de la variable aleatoria se encuentra en el intervalo de extremos c y m. Puesto que no hay información adicional, la solución más racional, Herrerías (1995), es escoger el punto central. Es decir 2 2 2 m b a m c + + = + = µ (37)
Esta solución, ver (15), se corresponde con un valor α=1/2. En este caso, el máximo error posible, al traducir la opinión del experto en un valor esperado, es
m c e= − 2 1 (38) Cualquier otro punto dentro del intervalo de extremos c y m tiene una cota de error superior a (38). Concretamente la cota de error asociada a la solución PERT es m c e = − 3 2 * (39) Por otra parte, en virtud de (19), (20), y (21), para α=1/2 se obtiene
R c m p=2+ − (40) R c m q=2− − (41)
(
)
− − = 2 2 2 4 1 5 1 c m R σ (42) verificándose que b m a m b a q p+ =4∀ , , < < (43)Si se comparan (33) y (42) se comprueba inmediatamente que la varianza de la solución alternativa es, en todo caso, superior a la de la solución PERT . La solución alternativa es más conservadora, tal y como viene reclamándose en la literatura especializada Suárez (1993).
El gráfico 2 muestra, en función de m, la varianza PERT obtenida en (33) y la varianza (42) de la solución alternativa. Se ha supuesto a=0 y b=1.
Varianza de las soluciones PERT y Alternativa
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 m V. Pert V. Alt. 1/36 Gráfico 2
4.2 UNA ALTERNATIVA EN PROYECTOS DE INVERSIÓN CON VARIOS PERIODOS DE EJECUCIÓN
En cada periodo tenemos un flujo de caja Qt, que es una variable aleatoria
con distribución Beta de la que sólo conocemos la información recabada a un experto en forma de valor pesimista at, más verosímil mt, y optimista bt
.Suponemos que la inversión se desarrolla en t=0,1,2 ....n periodos. El valor capital, VC, de la inversión, Suárez (1993), también es una variable aleatoria, cuya esperanza matemática hay que calcular.
De igual forma que en el anterior epígrafe, representaremos mediante 2 t t t b a c = + (44) 2 t t t a b R = − (45)
al centro y radio de cada intervalo (at , bt ) en cada periodo t=0,1,2...n. En virtud
de (6) y (7), se verifica que
(
ct mt)
E[ ]
Qt Max(
ct mt)
Mín , < < , (46)
Dado que el operador esperanza matemática es lineal, se puede escribir
[ ]
∑
( )
[ ]
= + = n t t t r Q E VC E 0 1 (47) Teniendo en cuenta (46) y (47) se obtiene la desigualdad siguiente(
)
[ ]
∑
(
)
∑
= = + < < + n t t t t n t t t t r m c Max VC E r m c Min 0 0 1 ) , ( 1 ) , ( (48) Considérense los siguientes conjuntos{
n}
N= 0,1,2... (49){
t N ct mt}
I= ∈ / < (50){
t N mt ct}
J = ∈ / < (51){
t N ct mt}
K = ∈ / = (52)Si dt =mt −ct , no resulta difícil comprobar que
∈ ∀ ∈ ∀ − ≡ ∈ ∀ = K t c J t d c m I t c m c Min t t t t t t t, ) ( (53) y de forma análoga ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ + ≡ = K t c J t c I t d c m m c Max t t t t t t t, ) ( (54)
Como consecuencia inmediata se verifica
(
)
(
)
(
)
∑
∑
= ∈ + − = + n t t J t t t t t r d CN r m c Min 0 1 1 , (55)(
)
( )
∑
( )
∑
∈ = + + = + t I t t n t t t t r d CN r m c Max 1 1 , 0 (56) donde(
)
∑
= + = n t t t r c CN 0 1 (57) Sustituyendo (55) y (56) en (48), se obtiene la desigualdad siguiente( )
[ ]
( )
∑
∑
∈ ∈ + + < < + − J t t I t t t t r d CN VC E r d CN 1 1 (58)Si la opinión del experto se modeliza mediante distribuciones Beta con p>1 y q>1, el mayor grado de determinación que puede obtenerse de E[VC], es la expresión (58). Si hay que seleccionar un punto dentro de este intervalo, sin información adicional, el más adecuado es su centro por ser el que posee la menor cota de error que puede cometerse al traducir la opinión del experto en términos de esperanza matemática del valor capital de la inversión.
Esta solución alternativa se puede escribir de la siguiente forma
[ ]
( )
( )
+ − + + =∑
∑
∈ ∈ t J t t I t t t LT A r d r d CN VC E 1 1 2 1 (59) y la cota de error que le corresponde (considerando que dt = 0 ∀t ∈ K) puede expresarse como sigue( )
∑
= + = n t t t r d e 0 1 2 1 (60) Por otra parte, en virtud de (15), se puede escribir[ ]
Q c(
m c)
t NEPERT t = t+ t − t ∀ ∈ 3
2
(61) Como consecuencia se tiene que
[ ]
∈ ∀ ∈ ∀ − ∈ ∀ + = K t c J t d c I t d c Q E t t t t t t PERT 3 2 3 2 (62) y por tanto[ ]
( )
( )
+ − + + =∑
∑
∈ ∈ t J t t I t t t PERT r d r d CN VC E 1 1 3 2 (63) Solución que tiene asociada una cota de error(
)
e
d
r
t t t n *=
+
=∑
2
3
01
(64) evidentemente mayor que (60)Por otra parte, si en cada periodo t ∈I ∪ J se determina un valor 0<αt<1, de forma que, según (15) se verifique
[ ]
Qt tmt(
t)
ct ct t(
mt ct)
E =α +1−α = +α − (65)
entonces se tiene que
[ ]
( )
( )
+ − + + =∑
∑
∈ ∈ t J t t t I t t t t r d r d CN VC E 1 1 α α (66)Obsérvese que si ∀t=0,1....n se escoge un αt = 2/3, constante, se obtiene la solución PERT mientras que si se toma αt =1/2, también constante, se obtiene la solución alternativa.
Bajo la hipótesis de incorrelación de las variables en los distintos periodos y suponiendo K=Φ , la varianza es
( )
(
)
∑
= − − − − + = n t t t t t t t t R m c r 0 2 2 2 2 2 ) ( 3 1 1 1 α α α σ (66a)Particularizando para αt = 2/3, constante ∀t=0,1....n se obtiene
( )
∑
= − − + = n t t t t t PERT R m c r 0 2 2 2 2 ) ( 9 4 1 1 7 1 σ (66b)Para αt = 1/2, constante ∀t=0,1....n se obtiene
( )
∑
= − − + = n t t t t t ALT R m c r 0 2 2 2 2 . ( ) 4 1 1 1 5 1 σ (66c)La varianza es mayor para la solución alternativa y desde esta perspectiva es una solución más conservadora que la dada por la metodología PERT.
La solución alternativa puede alcanzarse con juegos de valores distintos al de 2
1 = t
α constante ∀t=0,1....n. En lo que respecta a la solución PERT, por definición está asociada al valor αt = 2/3, constante ∀t=0,1....n. Pero sin embargo también puede llegarse a ella con otros juegos de valores de αt , t=0,1....n.
En efecto resulta evidente, al igualar (63) y (66) que
( )
( )
( )
( )
+ − + = + − +∑
∑
∑
∑
∈ ∈ ∈ ∈ t J t t I t t t J t t t t I t t t t r d r d r d r d 1 1 3 2 1 1 α α (67)Expresión que podemos transformar en
0 .A=
Dr r (68)
llamandoDr al vector de componentes
(
)
(
)
+ − + ∈ t t∈J t I t t t r d r d 1 , 1 (69) y llamandoAr al vector de componentes − − ∈ ∈ t J t I t t 3 2 , 3 2 α α (70)
Dado el vector (69) fijo, correspondiente a una aplicación concreta, la ecuación (68) define un hiperplano vectorial que evidentemente contiene vectores distintos del vector cero, que es el que se corresponde con αt = 2/3, constante, ∀t=0,1....n (ver (70)). Pueden encontrase ejemplos en los que dicho hiperplano tiene intersección no vacía con el Hipercubo (2/3, 5/3)s (s=card(I ∪ J) ) donde (70) cumple la condición 0<αt<1, ∀t=0,1....n.
De forma totalmente similar podemos razonar para la solución alternativa, sin más que igualar (59) y (66).
En el apéndice pueden verse tres ejemplos a los que se aplica la solución PERT y la solución alternativa. En el ejemplo 1 el experto sitúa todos los valores mt por encima de los centros ct de los intervalos (at, bt). En el gráfico 3,
correspondiente a este ejemplo puede apreciarse cómo los valores esperados actualizados de los flujos en cada periodo, se sitúan de forma sistemática, más cerca de mt en el caso del PERT. Como consecuencia la solución PERT
proporciona un valor capital esperado más alto que la solución alternativa. En el ejemplo 2 el experto sitúa los valores mt siempre por debajo de los centros ct. El
PERT sitúa los valores esperados actualizados de los flujos de caja (ver gráfico 4) también sistemáticamente más cerca de los mt que la solución alternativa, y
en este caso, todos los flujos de caja y el valor capital esperado son inferiores para la solución PERT.
En el ejemplo 3, se alternan las posiciones relativas de mt y ct las trayectorias
definidas por los valores esperados de los flujos de caja actualizados, de ambas soluciones, se cruzan (ver gráfico 5).
Los valores capitales esperados de ambas soluciones están más próximos que en los ejemplos anteriores. En cualquier situación la solución PERT asigna mayor grado de confianza a los mt proporcionados por el experto que la solución
alternativa y las contingencias mostradas en los tres ejemplos del apéndice son exclusivamente debidas al comportamiento del experto. Recomendamos se observen, en los citados ejemplos, los límites entre los que, en cualquier caso según la información del experto, estará el valor capital actualizado esperado de la inversión. Límites que se definieron en (48) y que en los ejemplos se encuentran en la columna de totales marcados con un “*” a su derecha. También puede verse en los tres ejemplos el rango de la variable aleatoria valor capital actualizado (extremos marcados con “**”) que permite obtener una percepción bastante intuitiva de los riesgos de la inversión, según el experto. Por razones de claridad se ha eliminado el periodo t=0 en los gráficos.
5. UNA SOLUCIÓN ALTERNATIVA OBTENIDA CON INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA DEL EXPERTO
El significado de α definido en (14) puede servir como herramienta valiosísima para obtener información adicional del experto. Es difícil pedir al experto que se pronuncie sobre su propio grado de confianza en el valor m. Pero podemos replicar la metodología seguida hasta ahora para solventar la cuestión. Modelizaremos el conocimiento del experto sobre su propio índice de confianza en el valor m, como una variable aleatoria α, que necesariamente fluctúa en el intervalo (0,1) y con distribución Beta, cuyo valor a su vez más verosímil αe
será proporcionado por él mismo. Para ello se explicará al experto que debe proporcionar una cantidad adicional, comprendida entre 0 y 1, advirtiéndole que cero representa una total desconfianza hacia m, hasta el extremo de considerarlo igualmente verosímil que cualquier otro punto del intervalo (a, b). Por el contrario se le pondrá bien claro que 1 significa la seguridad total en el valor m, hasta el punto de considerarlo como la observación que, en su momento será realidad.
Aplicando el criterio establecido en el epígrafe 4.1, el punto medio del intervalo de extremos 0,5 y αe será utilizado como valor esperado de α que, a su
vez, servirá para determinar µ según (15).
De acuerdo con esto, el experto proporcionaría 4 valores a, b, m y αe y la
solución para el valor esperado del flujo de caja sería c m (1 0) 0 α α µ= + − (71) donde 2 5 , 0 0 e α α = + (72) 2 b a c= + (73)
En el caso de varios periodos de ejecución, se calcula α0,t ∀t=0,1....n y utilizando (66) se obtiene el valor capital, actualizado, esperado por el experto.
BIBLIOGRAFÍA
BERNY, J. (1989). A New Distribution Function for Risk Analysis. J. Opl. Res. Soc. , Vol.40, nº12, pp 1121-1127.
CANAVOS G.C. (1987). Probabilidad y Estadística Aplicaciones y Métodos. McGraw-Hill.
CHAE, K.C Y KIM, S. (1990). Estimating the Mean and Variance of PERT Activity Time Likelihood-Ratio of the Mode and the Midpoint. I.I.E. Transaction, Vol. 22, nº 3, pp 198-203.
DUMAS DE RAULY,D. (1968). L’estimation statistique. Gauthier-Villars. GOLENKO-GINZBURG, D. (1988). On the Distribution of Activity Time in PERT .
J.Opl. Soc. Vol. 39 nº8 pp 767-771.
HERRERÍAS, R. (1989). Modelos probabilísticos alternativos para el método PERT. Aplicación al Análisis de Inversiones. Estudios de Economía Aplicada, pp. 89- 112. Secretariado de Publicaciones de la Universidad de Valladolid. HERRERÍAS, R Y PÉREZ, E. (1991). Estimación de una Distribución Beta como
Modelo para su Utilización en el Método PERT. Ponencias de la V Reunión
ASEPELT- España . Caja de Canarias pp. 1191-1199.
HERRERÍAS, R, PALACIOS, F Y PÉREZ, E. (1993). Una medida sobre la adecuación de las estimaciones subjetivas con el modelo del PERT clásico. VI Reunión
ASEPELT-España,Vol I, pp. 419-425. Servicio de publicaciones de la
Universidad de Cádiz
HERRERÍAS, R, PALACIOS, F Y PÉREZ E. (1994). Dos tests estadísticos para el valor más probable del PERT. VII Reunión ASEPELT-España,Vol I, pp. 153-159.-Ed. Departament d’Economía de la Empresa Universitat de les Ille s Balears. HERRERÍAS, R. (1995). Un nuevo uso de las tres estimaciones subjetivas del PERT. IX
Reunión ASEPELT-España, Vol IV, pp 411-416.
LITTLEFIELD, T.K Y RANDOLPH, P.H. (1987). An Answer to Sasieni’s Question on PERT Times. Management Sci. 33 pp 1357-1359.
MOITRA, S.D. (1990). Skwness and the beta distribution. J. Opl. Res. Soc. Vol 41 nº 10 pp. 953-961
PALACIOS F, Y RAMOS A., (1995). Análisis del mecanismo de compensación de errores en el PERT clásico: Una solución alternativa. IX Reunión
ASEPELT-España vol. IV, pp 91-100.
PÉREZ, E. (1995). Ajuste de un modelo Beta con información adicional sobre su apuntamiento. IX Reunión ASEPELT-España ,Vol IV, pp 445-451.
PERRY C, Y GREIG I.D. (1975). Estimating the mean end variance of subjective distributions in PERT decision analysis. Managment Sci. 21, pp 1477-1480 SASIENI, M.W. (1986). A note on PERT Times . Management Sci. 32 pp 1652-1653 SUÁREZ, A.S. (1993). Decisiones óptimas de inversión y financiación en la empresa .
Ed. Pirámide Madrid.
TROUTT M.D. (1989). On the generality of the PERT average time formula. Decision
Sci. 20, pp 410-412
Artículo defendido en la I Reunión Científica de Programación, Selección y Control de Proyectos, celebrada en 1997 en la Universidad de Almería. Publicado en las Actas de la mencionada Reunión, páginas 89-110. (Servicio de Publicaciones de la Universidad de Almería).
APÉNDICE. Ejemplo 1
Valores sin actualizar
t 0 1 2 3 4 5 at -48.000,0 20.000,0 15.000,0 12.000,0 8.000,0 7.000,0 mt -45.000,0 45.000,0 48.000,0 48.000,0 45.000,0 46.000,0 bt -22.000,0 50.000,0 53.000,0 54.000,0 50.000,0 53.000,0 ct -35.000,0 35.000,0 34.000,0 33.000,0 29.000,0 30.000,0 Rt 13.000,0 15.000,0 19.000,0 21.000,0 21.000,0 23.000,0 Min(mt,ct) -45.000,0 35.000,0 34.000,0 33.000,0 29.000,0 30.000,0 Max(mt,ct) -35.000,0 45.000,0 48.000,0 48.000,0 45.000,0 46.000,0 Media Pert -41.666,7 41.666,7 43.333,3 43.000,0 39.666,7 40.666,7 Media Alt. -40.000,0 40.000,0 41.000,0 40.500,0 37.000,0 38.000,0
Valores actualizados con una tasa r=0,07
T 0 1 2 3 4 5 Total A t -48.000,0 18.691,6 13.101,6 9.795,6 6.103,2 4.990,9 4.682,8 ** M t -45.000,0 42.056,1 41.925,1 39.182,3 34.330,3 32.797,4 145.291,1 Bt -22.000,0 46.729,0 46.292,3 44.080,1 38.144,8 37.788,3 191.034,3 ** Ct -35.000,0 32.710,3 29.696,9 26.937,8 22.124,0 21.389,6 97.858,6 Rt 13.000,0 14.018,7 16.595,3 17.142,3 16.020,8 16.398,7 93.175,8 Min(mt,ct) -45.000,0 32.710,3 29.696,9 26.937,8 22.124,0 21.389,6 87.858,6 * Max(mt,ct -35.000,0 42.056,1 41.925,1 39.182,3 34.330,3 32.797,4 155.291,1 * Med Pert -41.666,7 38.940,8 37.849,0 35.100,8 30.261,5 28.994,8 129.480,2 Media Alt. -40.000,0 37.383,2 35.811,0 33.060,1 28.227,1 27.093,5 121.574,8 Ejemplo 1 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000 0 1 2 3 4 5 at bt Min(mt,ct) Max( mt,ct) Media Pert Media Alt. Gráfico 3
Ejemplo 2
Valores sin actualizar
t 0 1 2 3 4 5 at -48.000,0 20.000,0 15.000,0 12.000,0 8.000,0 7.000,0 mt -23.000,0 25.000,0 19.000,0 16.000,0 12.000,0 11.000,0 bt -22.000,0 50.000,0 53.000,0 54.000,0 50.000,0 53.000,0 ct -35.000,0 35.000,0 34.000,0 33.000,0 29.000,0 30.000,0 Rt 13.000,0 15.000,0 19.000,0 21.000,0 21.000,0 23.000,0 Min(mt,ct) -35.000,0 25.000,0 19.000,0 16.000,0 12.000,0 11.000,0 Max(mt,ct) -23.000,0 35.000,0 34.000,0 33.000,0 29.000,0 30.000,0 Media Pert -27.000,0 28.333,3 24.000,0 21.666,7 17.666,7 17.333,3 Media Alt. -29.000,0 30.000,0 26.500,0 24.500,0 20.500,0 20.500,0
Valores actualizados con una tasa r=0,07
T 0 1 2 3 4 5 Total at -48.000 18.691,59 13.101,58 9.795,57 6.103,16 4.990,90 4.682,81 ** mt -23.000 23.364,49 16.595,34 13.060,77 9.154,74 7.842,85 47.018,18 bt -22.000 46.728,97 46.292,25 44.080,09 38.144,76 37.788,27 191.034,34 ** ct -35.000 32.710,28 29.696,92 26.937,83 22.123,96 21.389,59 97.858,57 Rt 13.000 14.018,69 16.595,34 17.142,26 16.020,80 16.398,68 93.175,76 Min(mt,ct) -35.000 23.364,49 16.595,34 13.060,77 9.154,74 7.842,85 35.018,18 * M ax(mt,ct -23.000 32.710,28 29.696,92 26.937,83 22.123,96 21.389,59 109.858,57 * Med Pert -27.000 26.479,75 20.962,53 17.686,45 13.477,82 12.358,43 63.964,98 Media Alt. -29.000 28.037,38 23.146,13 19.999,30 15.639,35 14.616,22 72.438,38 Ejemplo 2 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000 0 1 2 3 4 5 at bt Min( mt,ct) Max( mt,ct) Media Pert Media Alt. Gráfico 4
Ejemplo 3
Valores sin actualizar
t 0 1 2 3 4 5 at -48.000,0 20.000,0 15.000,0 12.000,0 8.000,0 7.000,0 mt -45.000,0 25.000,0 42.000,0 22.000,0 45.000,0 12.000,0 bt -22.000,0 50.000,0 53.000,0 54.000,0 50.000,0 53.000,0 ct -35.000,0 35.000,0 34.000,0 33.000,0 29.000,0 30.000,0 Rt 13.000,0 15.000,0 19.000,0 21.000,0 21.000,0 23.000,0 Min(mt,ct) -45.000,0 25.000,0 34.000,0 22.000,0 29.000,0 12.000,0 Max(mt,ct -35.000,0 35.000,0 42.000,0 33.000,0 45.000,0 30.000,0 Med Pert -41.666,7 28.333,3 39.333,3 25.666,7 39.666,7 18.000,0 Media Alt. -40.000,00 30.000,00 38.000,00 27.500,00 37.000,00 21.000,00
Valores actualizados con una tasa r=0,07
t 0 1 2 3 4 5 Total at -48.000,0 18.691,6 13.101,6 9.795,6 6.103,2 4.990,9 4.682,8 ** mt -45.000,0 23.364,5 36.684,4 17.958,6 34.330,3 8.555,8 75.893,6 bt -22.000,0 46.729,0 46.292,3 44.080,1 38.144,8 37.788,3 191.034,3 ** ct -35.000,0 32.710,3 29.696,9 26.937,8 22.124,0 21.389,6 97.858,6 Rt 13.000,0 14.018,7 16.595,3 17.142,3 16.020,8 16.398,7 93.175,8 Min(mt,ct) -45.000,0 23.364,5 29.696,9 17.958,6 22.124,0 8.555,8 56.699,8 * Max(mt,ct -35.000,0 32.710,3 36.684,4 26.937,8 34.330,3 21.389,6 117.052,4 * Med Pert -41.666,7 26.479,8 34.355,3 20.951,6 30.261,5 12.833,8 83.215,2 Media Alt. -40.000,0 28.037,4 33.190,7 22.448,2 28.227,1 14.972,7 86.876,1 E j e m p l o 3 0 5000 1000 0 1500 0 2000 0 2500 0 3000 0 3500 0 4000 0 4500 0 5000 0 0 1 2 3 4 5 at bt Min(m t,ct) M a x ( m t,ct) Media Pert Media Alt. Gráfico 5
