FORMULARIO ÁLGEBRA I
ÁLGEBRA Ing. Alfredo Vargas Oroza
2 2 2
2
ab
b
a
b
a
a
b
3a
33
a
2b
3
ab
2b
3 2 2 22
ab
b
a
b
a
a
b
3a
33
a
2b
3
ab
2b
3)
)(
(
2 2b
a
b
a
b
a
a
4b
4(
a
b
)(
a
3a
2b
ab
2b
3)
)
)(
(
2 2 3 3b
ab
a
b
a
b
a
;a
3b
3(
a
b
)(
a
2ab
b
2)
)
...
)(
(
n 1 n 2 n 3 2 n 2 n 1 n nb
ab
b
a
b
a
a
b
a
b
a
2 2 2 22
2
2
ab
ac
bc
a
b
c
c
b
a
2 2 2 2 4 42
2
ab
b
a
ab
b
a
b
a
n n n n n nb
b
a
n
n
n
b
a
n
n
b
a
n
a
b
a
..
!
3
)
2
)(
1
(
!
2
)
1
(
!
1
)
(
1 2 2 3 3 5 4 3 2 2 3 4 5 5 ) 5 )( 4 )( 3 )( 2 ( 1 ) 1 )( 2 )( 3 )( 4 ( 5 ) 4 )( 3 )( 2 ( 1 ) 2 )( 3 )( 4 ( 5 ) 3 )( 2 ( 1 ) 3 )( 4 ( 5 ) 2 ( 1 ) 4 ( 5 ! 1 5 ) (a b a a b a b a b ab b m n n m n m n n n n n n n n n n nm m n m n m nx
x
x
y
x
xy
y
x
xy
x
x
x
x
x
x
x
x
x
;
;
1
;
;
;
11
ln
;
0
1
ln
;
ln
ln
;
ln
ln
)
ln(
ab
a
b
a
xx
a
e
b
n
n
b
a
b
a
a a blog
log
log
;
ln
ln
ln
x eb
ln
b
x
b
e
ln
; x ab
x
b
a
log
PROPOSICIONES
CONJUNCIÓN DISYUNCIÓN DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
CONDICIONAL BICONDICIONAL NEGACIÓN CONJUNTA
LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSISIONES LEYES DE IDEMPOTENCIA
p
p
p
p
p
p
LEYES ASOCIATIVAS)
(
)
(
)
(
)
(
p
q
r
p
q
r
p
q
r
p
q
r
LEYES CONMUTATIVASp
q
q
p
p
q
q
p
LEYES DE IDENTIDADf
f
p
p
v
p
v
v
p
p
f
p
;
;
;
LEYES DE COMPLEMENTACIÓNv
f
f
v
f
p
p
p
p
v
p
p
~
;
~
~
;
~
~
;
~
LEYES DE MORGANq
~
~
)
(
~
~
~
)
(
~
p
q
p
q
p
q
p
LEYES DISTRIBUTIVAS)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
q
r
p
q
p
r
p
q
r
p
q
p
r
p
LEYES DE ABSORCIÓN(
)
(
)
p
p
q
p
p
p
q
p
p Q V V V V F F F F V F F F p Q V V V V V F F V V F F F P q V F V V V F F V V F F F p → Q V V V V F F F V V F V F p ↔ Q V V V V F F F F V F V F P ↓ q V F V V F F F F V F V FENUNCIADOS CONDICIONALES Y VARIACIONES
El condicional
p
q
tiene las siguientes proposiciones derivadas de ella Converso o recíprocoq
p
Inverso o contrario~
p
~
q
Contrapositivo o contrarecíproco~
q
~
p
CONJUNTOS UNIÓN INTERSECCIÓN}
:
{
x
x
A
o
x
B
B
A
COMPLEMENTO RELATIVO O DIFERENCIA
}
:
{
\
B
A
B
x
x
A
y
x
B
A
AB
A
B{ :
}
A
B
x x
A
y
x
B
A A∩B B A BB
A
B A\
A B
A B
DIFERENCIA SIMÉTRICA COMPLEMENTO ABSOLUTO
)
(
)
(
A
B
B
A
B
A
A
Cx
:
x
A
LEYES DEL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS LEYES DE IDEMPOTENCIA
A
A
A
A
A
A
;
LEYES ASOCIATIVASC
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
(
)
(
)
;
(
)
(
)
LEYES CONMUTATIVASA
B
B
A
A
B
B
A
;
LEYES DISTRIBUTIVAS)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
C
A
B
A
C
B
A
C
A
B
A
C
B
A
LEYES DE IDENTIDAD
A
U
U
A
A
U
A
A
A
;
;
LEYES DE COMPLEMENTOU
U
A
A
A
A
A
A
A
C C C C C C;
;
)
(
;
LEYES DE MORGAN(
)
(
)
C C C C C CA
B
A
B
A
B
A
B
NÚMEROS COMPLEJOSADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
B A
A
B
A A
C
i
d
c
b
a
di
c
bi
a
d
b
c
a
d
c
b
a
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
SUSTRACCIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Sean z, w dos números complejos
1
)
(
w
z
w
z
w
z
w
z
Siw
x
yi
entoncesi
y
x
y
y
x
x
w
1 2 2 2 2REPRESENTACIÓN TRIGONOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS
COMPLEJOS Si establecemos un sistema de ejes cartesianos en el cual el eje y sirve para representar la parte imaginaria del número complejo, tenemos:
Conocida como la forma trigonométrica o forma polar de un número complejo, donde r se conoce como el módulo de z y Ө como el argumento.
PRODUCTO DE NUMEROS COMPLEJOS
1 2 1 2 cos( 1 2) sin( 1 2
z z r r i
COCIENTE DE NUMEROS COMPLEJOS
1 1 1 2 1 2 2 2 cos( ) sin( ) z r i z r RAÍCES 1
2
2
cos
sin
;
0,1, 2,...,
1
nk
i
k
k
n
n
n
n
n
SEMIGRUPO Sea un conjunto no vacío A en el se ha definido una operación binaria ◦ (ley de composición interna) es un semigrupo si se verifica que: Ley Asociativa
a
(
b
c
)
(
a
b
)
c
Si además se verifica la ley conmutativa, es decir:
a b
b a
El semigrupo es conmutativo. El semigrupo puede tener elemento neutro.P(x+yi) r y r x θ 2 2
cos
sin
(cos
sin )
z
x iy
x
r
y
r
z
r
i
r
x
y
z
GRUPO Un conjunto no vacío G sobre el cual se ha definido una operación binaria º se llama grupo respecto a es operación si se verifican las siguientes propiedades:
G
b
a
G
b
a
,
)
(
Ley de la Clausura (muchos autores suponen que esta ley se debe verificar siempre y no la mencionan)c
b
a
c
b
a
(
)
(
)
Ley Asociativa Existe unu
G
tal quea
u
u
a
a
Existencia del elemento neutroPara cada
a
G
existe una
1G
tal quea
a
1a
1
a
u
Existencia del SimétricoANILLOS Se dice que un conjunto no vacío R forma un anillo respecto a las operaciones binarias de adición (+) y multiplicación (•), si para cualquier R se verifican las siguientes propiedades:
Ley asociativa de la adición (a+b)+c=a+(b+c) Ley conmutativa de la adición a+b = b+a
Existe un neutro aditivo
z
tal que
a
z
a
Existen simétricos aditivos(
)
a
a
tal que
a
a
z
Ley asociativa de la multiplicación (a•b) •c=a•(b•c) Leyes distributivas
a•(b+c)=a•b + a•c (b+c) •a=b•a+c•a
ANILLO CONMUTATIVO
Es aquel que cumple la Ley Conmutativa del producto, es decir: a b = b a ANILLO UNITARIO
Es aquel que tiene neutro multiplicativo, es decir: a u = u a = a DIVISORES DE CERO
Sea R un anillo con elemento neutro z Se dice que un elemento a ≠ z de R es un divisor de cero, si existe un elemento b ≠ z de R tal que: a b = z ; b a = z
DOMINIO DE INTEGRIDAD
Un anillo conmutativo, unitario sin divisores de cero es un Dominio de Integridad. Los anillos Z, Q, R, C son dominios de integridad
CUERPO
Un anillo F cuyos elementos no nulos forman un grupo multiplicativo, se llama cuerpo. Todo cuerpo tiene elemento unidad y todo elemento no nulo del cuerpo posee un inverso (simétrico multiplicativo); si la multiplicación es
conmutativa, el cuerpo se dice conmutativo.
Los axiomas que caracterizan a la estructura de un cuerpo son: (F, +) es un grupo abeliano.
(F, -{0}, ) es un grupo abeliano.
El producto es distributivo respecto a la suma.
PERMUTACIONES DE N COSAS TOMADAS DE r EN r
r n
P
= n(n-1)(n-2)………(n-r+1)PERMUTACIONES DE N COSAS TOMADAS N A LA VEZ
!
n
P
n n PERMUTACIONES CIRCULARES 1 1 n nP
Son aquellas en las que no existe primer ni último objeto y forman una figura cerrada, el número de ellas que se puede formar con n objetos viene definido por: 1 1
(
1)!
n nP
n
permutaciones con repetición 1,2... n
n n
P
Se forman cuando un elemento se repite n1 veces, otro n2 veces y así sucesivamente 1,2... 1 2
!
!
!...
!
k n n n n kn
P
n n
n
COMBINACIONES DE n COSAS TOMADAS r EN CADA VEZ r n
C
n n r r r rP
C
P
!
(
)!
!
r
n
r
n
C
r nRELACIÓN ENTRE LAS RAÍCES Y LOS COEFICIENTES DE UNA ECUACIÓN.
Para una ecuación de grado n y raíces a,b,c, …. ,k
)
)...(
)(
(
...
1 2 2 1 1x
p
x
p
x
p
x
a
x
b
x
k
p
x
n n n n 1 1S
p
Suma de las raíces2
2
S
p
Suma de las combinaciones de las raíces tomadas de dos en dos3
3
S
p
Suma de las combinaciones de las raíces tomadas de tres en tres ………..
n n
n
S
DIVISIÓN SINTÉTICA DE HORNER
Si se desea dividir
4
x
320
x
223
x
6
entrex
6
4
20
23
6
6
4
4
1
0
La comprobación de Horner permite verificar las raíces, -6 es raíz, por que el último residuo es cero, la primera línea contiene los coeficientes de la ecuación cúbica, la segunda los de la ecuación cuadrática, esto es equivalente a dividir
3 2 3 2 2 2 2 4 20 23 6 6 4 24 4 4 1 4 23 4 24 6 6 x x x x x x x x x x x x x x
REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES
Una ecuación f(x) = 0 no puede tener mas raíces positivas que el número de cambios de signo que hay en f(x), y no puede tener más raíces negativas que el número de cambios de signo que haya en
f(-x)
Si f(a) y f(b) son de signos contrarios la ecuación f(x)=0 tiene una raíz comprendida entre a y b.
Toda ecuación de grado impar tiene por lo menos una raíz real cuyo signo es opuesto al de su último término.
Toda ecuación de grado par cuyo último término es negativo, tiene como mínimo dos raíces reales, una positiva y una negativa.
( ) ; (0) n ; ( )
f f p f
Si las expresiones f(a) y f(b) tienen signos contrarios, un número impar de raíces de f(x)=0 estará comprendido entre a y b , y si f(a) y f(b) tiene el mismo signo, ninguna raíz o un número par de ellas, estarán comprendidas entre a y b. Eliminar el segundo término de la siguiente ecuación x3 6x2 10x 3 0
+ + +
x
x x
Hacemos 1 0 6 2 3(1) p h np 1 6 10 3 2 1 4 2 1 1 2 2 1 0 1 3 2 1 0 x x ECUACIONES RECÍPROCAS
PRIMERA CLASE Los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son iguales.
Segunda clase Los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son iguales en magnitud y opuestos en signo, si la ecuación es de grado par , el término intermedio está fuera de regla.
Si f(x)=0 es de primera clase y grado impar tiene una raíz -1; de manera que f(x) es divisible entre x+1. si g(x) es el cociente, entonces g(x)=0 es una ecuación recíproca de la primera clase y de grado par.
Si f(x)=0 es de segunda clase y grado impar tiene una raíz +1; de manera que f(x) es divisible entre x-1. si g(x) es el cociente, entonces g(x)=0 es una ecuación recíproca de la primera clase y de grado par.
Si f(x)=0 es de segunda clase y grado par tiene una raíz +1 y otra raíz -1; de manera que f(x) es divisible entre x2-1. si g(x) es el cociente, entonces g(x)=0 es una ecuación recíproca de la primera clase y de grado par.
Toda ecuación recíproca de grado par, puede ser reducida a una ecuación de grado mitad.
ECUACIONES CÚBICAS FÓRMULA DE CARDANO TARTAGLIA La ecuación cúbica tiene la forma:
3 2
0
x Px Qx R
Eliminando el segundo término se reduce a:
3 0 x qx r 3 3 3 3 3 ; 27 q y z r y z
Si consideramos y3=t1 ; z3=t2 como raíces de una ecuación cuadrática podemos escribir: 3 2 0 27 q t rt Como x = y + z tenemos:
1 1 3 3 2 3 2 3 2 4 27 2 4 27 r r q r r q x
ECUACIONES DE CUARTO GRADO, SOLUCIÓN DE FERRARI Sea la ecuación:
4 3 2
2 2 0
x px qx rx s
Formamos la ecuación cúbica: 2k3-qk2+2(pr-s)k-p2s+qs-r2=0
que siempre tiene una raíz real que puede ser hallada por aproximaciones de Horner, conocido el valor de k se pueden hallar los valores de a y b de las ecuaciones (1) y (2) usando la ecuación (3) para determinar los signos de a y b 2k+p2- q = a2 (1) ; k2- s = b2 (2) ; ab=pk – r (3)
Las raíces buscadas serán las soluciones de: x2+(p - a)x+(k-b) =0
x2+(p+ a)x+(k+b) =0
SOLUCIÓN DE DESCARTES
Sea la ecuación reducida: x4+qx2+rx+s=0
A partir de la cual hallamos k6+2qk4+(q2-4s)k2-r2=0
La cual es una ecuación cúbica en k2que tiene siempre una solución positiva real, que puede ser hallada por aproximaciones de Horner, conocido el valor de k se puede hallar los valores de l y m de:
2l=q+k2-r/k ; 2m=q+k2+r/k ; lm=s
La solución de la ecuación cuártica se obtiene resolviendo las dos cuadráticas x2+kx+l=0 ; x2-kx+m=0
SUMA DE MATRICES Para sumar dos matrices se requiere que ambas tengan la misma dimensión, la suma A+B corresponde a una matriz C de la misma dimensión, cuyos elementos corresponden a la suma de los elementos que pertenecen a la misma fila y columna.
Si: 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 a a a A a a a a a a b b b B b b b b b b 1,1 1,1 1,2 1,2 1,3 1,3 2,1 2,1 2,2 2,2 2,3 2,3 3,1 3,1 3,2 3,2 3,3 3,3 a b a b a b A B a b a b a b a b a b a b
PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se pueden multiplicar si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda, la matriz resultante tiene las filas de la primera matriz y las columnas
de la segunda. Los elementos de la matriz producto corresponden a la sumatoria de los productos de los elementos de la i-éima fila de A por la j-ésima columna de B. 1,1 1,2 1,3 1,1 1,2 2,1 2,2 2,3 2,1 2,2 3,1 3,2 3,3 3,1 3,2 4,1 4,2 4,3 a a a b b a a a A B b b a a a b b a a a
La matriz A tiene 4 filas y 3 columnas, la matriz B tiene 3 filas y 2 columnas, la matriz producto C= A·B tendrá 4 filas y 2 columnas y será igual a:
1,1 1,1 1,2 2,1 1,3 3,1 1,1 1,2 1,2 2,2 1,3 3,2 2,1 1,1 2,2 2,1 2,3 3,1 2,1 1,2 2,2 2,2 2,3 3,2 3,1 1,1 3,2 2,1 3,3 3,1 3,1 1,2 3,2 2,2 3,3 3,2 4,1 1,1 4,2 2,1 4,3 . . . . . . . . . . . . . . a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b C a b a b a b a b a b a b a b a b a .b3,1 a4,1 1,2.b a4,2.b2,2 a4,3.b3,2 MATRIZ IDENTIDAD
Es aquella cuyos elementos de la diagonal principal son igual a uno y los restantes igual a cero. Para cualquier matriz A se verifica que: A·I = I·A = A La matriz identidad de dimensión tres por tres será:
1 0 0 0 1 0 0 0 1
I
Una matriz A se denomina triangular superior si los elementos que se
encuentran por debajo de la diagonal principal son iguales a cero. La matriz B es triangular inferior si los elementos que se hallan por encima de la diagonal principal son ceros. La matriz C es diagonal por que sólo los elementos de la diagonal principal son diferentes de cero.
1,1 1,2 1,3 2,2 2,3 3,3 0 0 0 a a a A a a a 1,1 2,1 2,2 3,1 3,2 3,3 0 0 0 a B a a a a a 1,1 2,2 3,3 0 0 0 0 0 0 a C a a MATRIZ TRASPUESTA At
Es aquella en la cual se han intercambiado las filas por las columnas Para la suma y el producto se verifica que:
;
t t t t t t
A B A B A B B A
Se denomina matriz simétrica aquella que es igual a su traspuesta. INVERSA DE UNA MATRIZ A-1
La matriz A es inversible, si y solo si existe una matriz A-1 tal que su producto por derecha o por izquierda con la matriz A, es la identidad
1 1
A A A A I
En el caso del producto se verifica que:
1 1 1
A B B A
TRANSFORMACIONES EN UNA MATRIZ Las siguientes operaciones se pueden efectuar en una matriz obteniendo matrices equivalentes:
Se pueden permutar dos filas cualquiera.
Toda ecuación se puede multiplicar por un escalar cualquiera k ≠ 0 de R. Se puede multiplicar una fila por un escalar y sumarla a cualquier otra. MÉTODO DE GAUSS JORDAN Permite hallar la inversa de una matriz aplicando un método que consiste en aumentar la matriz a la derecha con la identidad y a través de transformaciones elementales trasladar la matriz identidad al lado izquierdo, la matriz que queda en lugar de la identidad es la inversa buscada. Si: 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 a a a A a a a a a a 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 a a a a a a a a a a a a a a a a a a La matriz inversa 1,4 1,5 1,6 1 2,4 2,5 2,6 3,4 3,5 3,6 a a a A a a a a a a
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS
Considérese el siguiente sistema de n ecuaciones con n incógnitas, donde no todos los hi = 0
1,1 1 1,2 2 1, 1 2,1 1 2,2 2 2, 2 ,1 1 ,2 2 , .... .... ... .... n n n n n n n n n n a x a x a x h a x a x a x h a x a x a x h
A este sistema se puede asociar la siguiente matriz aumentada [A H], donde [A] es la matriz de coeficientes y [H] la matriz columna con los valores hi
1,1 1,2 1, 1 2,1 2,2 2, 2 ,1 ,2 , .... .... [ ] ... .... n n n n n n n a a a h a a a h AH a a a h
El sistema tiene solución, si y sólo si, las ecuaciones son linealmente independientes, dicha solución puede hallarse llevando la matriz a su forma canónica de fila, es decir, aquella que tiene la matriz identidad a la derecha de la misma.
INVERSIÓN DE MATRICES POR PARTICIÓN
Sea una matriz M particionada en cuatro bloques de matrices de la siguiente manera
A B M
C D
Y sea la una partición similar de la matriz inversa M-1
1 X Y
M
Z U
Siendo M-1 la inversa de M se verifica que:
p q I N A B X Y C D Z U N I O sea (1) (3) (2) (4) p q AX BZ I AY BU N CX DZ N CY DU I De la ecuación (2) obtenemos 1 1 1 ; ; (5) DZ CX D DZ D CX Z D CX (5) en (1) 1 ; 1 ) ; ( 1 ) 1 (6) p p AX BD CX I A BD C X I X A BD C
De (4) 1 1 ; (7) q DU I CY U D D CY Sustituyendo en (3) 1 1 1 1 ; ( ) AY BD BD CY N A BD C Y BD Premultiplicando por 1 1 (A BD C) X resulta: 1 (8) Y XBD
Las relaciones (5), (6), (7), (8) permiten la determinación de X, Y, Z, U en función de los datos y de la inversa de D.
DETERMINANTE 1,1 1,2 1,1 2,2 1,2 2,1 2,1 2,2 a a A a a a a a a 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 1,1( 2,2 3,3 2,3 3,2) 1,2( 2,1 3,3 2,3 3,1) 1,3( 2,1 3,2 2,2 3,1) a a a A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1,1 1,2 1,3 1,4 2,2 2,3 2,4 2,1 2,2 2,3 2,4 1,1 3,2 3,3 3,4 3,1 3,2 3,3 3,4 4,2 4,3 4,4 4,1 4,2 4,3 4,4 2,1 2,3 2,4 2,1 2,2 2,4 1,2 3,1 3,3 3,4 1,3 3,1 3,2 3,4 1,4 4,1 4,3 4,4 4,1 4,2 4,4 ... .. a a a a a a a a a a a A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 4,1 4,2 4,3 a a a a a a a a
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
Si todos los elementos de una fila o columna son ceros entonces |A|=0 Si A es triangular superior, inferior o diagonal el determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
Si B se obtiene de A multiplicando su fila i (columna i) por un escalar no nulo k se tiene |B|=k|A|.
Si se permutan dos columnas de una matriz, entonces los correspondientes determinantes son opuestos.
El determinante de toda matriz que tenga dos columnas idénticas es nulo. El determinante de una matriz no varía si a una columna se le suma una
combinación lineal de las otras.
El determinante de una matriz y el de su traspuesta son iguales. COFACTOR El cofactor de cada elemento de una matriz el igual al
determinante que se obtiene luego de eliminar la fila y columna del elemento correspondiente, alternando los signos de cada determinante empezando por la primera fila.
Encuentre la matriz de cofactores de: 3 4 1 2 1 3 5 0 1 A Matriz de cofactores 1 3 2 3 2 1 0 1 5 1 5 0 4 1 3 1 3 4 0 1 5 1 5 0 4 1 3 1 3 4 1 3 2 3 2 1 Matriz de cofactores 1 13 5 4 2 20 13 7 11
MATRIZ ADJUNTA Es la traspuesta de la matriz de cofactores
INVERSA DE UNA MATRIZ POR EL MÉTODO DE LA ADJUNTA Si una matriz cuadrada tiene inversa, se puede hallar a través de la siguiente expresión:
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