PRACTICA No. 4
LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Representar gráficamente el límite de una función. Solucionar límites indeterminados de la forma 0/0 y ∞/∞.
Distinguir las diferencias que hay al calcular los límites: unilaterales, bilaterales, al infinito y los limites infinitos.
Identificar las discontinuidades removibles o evitables y las discontinuidades esenciales.
Utilizar el comando limit del toolbox symbolic de Matlab para obtener el límite de una función.
El límite de una función origina el estudio del cálculo del valor de una función en la proximidad de un número. Ejemplo: Sea 1 3 2 ) ( 2 − − + = x x x x f x 0 0.25 0.50 0.75 0.90 0.99 0.999 1.0001 1.001 f(x) 3 3.5 4 4.5 4.8 4.8 4.98 5.0002 5.000
De la tabla se puede apreciar que cuando x se aproxima a 1, f(x) se aproxima a 5. Por lo que esto último se puede expresar como lim ( ) 5
1 =
→ f x
x cabe mencionar que cuando se
evalúa la función f(1)=0/0, se obtiene una forma indeterminada, por lo que se puede concluir que el límite nos indica el valor al cual nos aproximamos en y cuando x se aproxima a 1.
Limites de una función.
Definición: Sea f una función en todo número o de algún intervalo abierto de I que contenga a a excepto, posiblemente en el número a mismo. El límite de f(x) cuando x
tiende a a es L y se escribe: f x L
a
x→ ( )=
lim
Cuando se evalúa el límite de una función pueden presentarse las siguientes situaciones: 1.- Si la función a la que se le va a evaluar su limite es un polinomio de n grado, su limite se haya por sustitución directa, ejemplo:
3 lim → x x 2 + 2X – 10 = (3)2 + 2(3) - 10
2.- Si la función es de tipo racional y al hacer la sustitución directa se obtiene la indeterminación 0/0, para evaluar el limite de esta función podemos tener las siguientes alternativas:
OBJETIVO
a) Por factorizacion (siempre y cuando la función sea factorizable) b) Por la regla L’Hospital
c) Racionalizando (siempre y cuando la función tenga radicales).
Regla del L’Hospital
Sean f y g funciones diferenciables en un intervalo abierto, excepto posiblemente en el numero a del intervalo, entonces:
a x→ lim ) ( ) ( x g x f = a x→ lim ) ( ' ) ( ' x g x f = ) ( '' ) ( '' x g x f = ... Si el limite de lim ( ) 0 a x x f → = y lim ( )=0 →ag x
x . Se observa que por sustitución directa se
obtiene la indeterminación 0/0
NOTA: Para aplicar esta regla, la derivada de la función del numerador se obtiene independientemente de la derivada de la función del denominador.
Tipos de Límites
LIMITES UNILATERALES a) f
( )
x La
x→ + =
lim . El límite de f(x) cuando x se aproxima a número por la derecha es L.
EJEMPLO: Sea lim 4
4+ −
→ x
x
x 2 3 4 5 6
f(x) −2 −1 0 1 2
Esta función solamente tiene el límite unilateral por la derecha, ya que para valores menores a 4 se tiene en f(x) a un número imaginario.
b) f
( )
x La
xlim→ − = . El límite de f(x) cuando x se aproxima a número por la izquierda es L.
Ejemplo: Sea − →2 lim x 2−x x 0 1 2 3 4 f(x) 2 1 0 −1 −2
Esta función solamente tiene el límite unilateral por la izquierda, ya que para valores mayores a 2 se tiene en f(x) a un número imaginario.
LIMITE AL INFINITO
Considérese la función f definida como f(x)= 1 2 2 2 + x x
x 0 1 2 3 4 5
f (x) 0 1 8/5 18/10 32/17 50/26
De la tabulación anterior, se observa que al incrementar el valor de x, f(x) tienden a crecer sin límite, a través de valores de positivos y el valor de la función más y más se aproxima al número 2 lo anterior lo podemos expresar como:
1 2 lim 2 2 + +∞ → x x x =2
NOTA: Para obtener el límite al infinito de una función cuando x→∞ se procederá a dividir todos los términos de la función entre la variable de mayor exponente, una vez hecho esto, el valor del limite se hallara aplicando los teoremas ya mencionados. LIMITES INFINITOS
Sea f la función definida por f(x)= 2
) 2 (
3 −
x si se realiza la tabulación cuando x se
aproxime a 2 por la derecha.
x 3 5/2 7/3 9/4 21/10 201/100 2001/1000 x→2+ f(x) 3 12 27 48 300 30000 3000000 f(x) ∞ → Por lo que + →2 lim x ( 2)2 3 −
x =+∞ . Y cuando se aproxime por la izquierda
X 1 3/2 5/3 7/4 19/10 x→2-
f(x) 3 12 27 48 300 f(x) →∞
De lo anterior se puede concluir que:
+ →2 lim
x f (x)= xlim→2− f(x)
NOTA: Si al calicular un limite de infinito, los limites unilaterales resultan ser +∞ y
∞
− respectivamente, entonces el caso limite bilateral será infinito y sin signo.
Continuidad de Funciones.
DEFINICIÓN.- Se dice que la función f es continua en el numero si y solo si las 3 condición es igual se cumplen
a) f(a) EXISTE b) a x→ lim f(x) EXISTE c) a x→ lim f(x)=f(a)
Si una o más de estas 3 condiciones no se cumplen para el número ha, se dice que la función f es discontinua en a.
Existen dos tipos de discontinuidades:
Se presenta cuando no se cumple la 3ª. condición o no existe la primera condición ,pero la función si tiene limite. Se evite al replantear la función, es decir simplificándola.
b) DISCONTINUIDAD ESENCIAL
Se presenta cuando la función no tiene limite, es decir, al buscar el limite de la función el resultado es infinito.
Ø Apuntes del curso de Matemáticas 1.
Ø Manual de Matlab e interfases graficas.
Ø http://fcqi.tij.uabc.mx/docentes/esqueda/matlab6xconatec.pdf
1. Revisión de conceptos a) Si lim
( )
=6∞
→ f x
x , entonces la recta _____= 6 es una asíntota ______________ de
la gráfica de y= f(x). Si
( )
=∞→ f x
x 6
lim , entonces la recta _____= 6 es una asíntota ______________ de la gráfica de y= f(x). b) Si lim
( )
4 3 = → f x x , entonces limx→(
x +3)
f( )
x = 2 3 ______________ . c) Si f( )
x L cxlim→ − = y xlim→c+ f
( )
x = L, entonces ________________________ .d) Una función f es continua en c si _________________= f
( )
c .2. Emplear la regla de L’Hospital para calcular los siguientes limites indeterminados.
a) 3 4 2 3 lim 3 2 2 3 1 − + + − → x x x x x = _____________________________________ b) 1 tan 2 lim 3 − − ∞ → x x e x ar π = _____________________________________ c)
(
4)
0 cos 2 lim x x e ex x x − → + − = _____________________________________ d) − − → x x x ln 1 1 1 lim 1 = _____________________________________ e) 2 1 0 tan lim x x x x → = _____________________________________ f) 2 1 1 lim 1 x sen x x π − − → = _____________________________________ PRE-LECTURA PRE-EVALUACIONd) x x x x 1 cos4 tan 2 sec lim 2 4 + − →π = _____________________________________ d) − → x senx x 1 1 lim 0 = _____________________________________ d) x x x tan3 5 tan lim 2 π → = _____________________________________ d) − → x x x x cot 2cos lim 2 π π = _____________________________________
3. Evaluar los siguientes limites a) 1 1 lim 3 1 − − + → x x x = _____________________________________ b)
(
)
(
)
4 4 6 2 lim 2 2 2 + + − − + − → ω ω ω ω ω ω = _____________________________________ c) 2 1 1 2 lim x x x − − −∞ → = _____________________________________ 4. Sea( )
≤ − < + = 1 , 4 1 , 2 2 2 x si x x si x x h a) h( )
x x→1+ lim , b) h( )
x x→1− lim , c) h( )
x x 1 lim → . ¿La función h(x) es continua?Ø Manual de Matlab e interfases graficas.
http://fcqi.tij.uabc.mx/docentes/esqueda/matlab6xconatec.pdf
Ø Matlab
Ø Archivo: limite_final.m
1. Ejecutar la interfaz grafica de operaciones con funciones, de la siguiente forma:
>> limite_final.m
2. Introducir las funciones realizadas en la pre-evaluación para evaluar su respectivo límite. Por ejemplo al introducir la función
( )
1 5 + + = x x x f y x→2, se estaría evaluando al 3 7 1 5 lim 2 + = + → x x
x , como se muestra en la siguiente figura:
MATERIAL
En esta gráfica se observa una línea horizontal que nos indica el valor del límite de la función.
3. Compare los resultados obtenidos en la pre-evaluación y registre sus observaciones.
1. ¿Hubo cambios en los resultados obtenidos?
2. ¿El uso de la interfaz grafica (op_funcion.m) simplificó las operaciones con las funciones realizadas? . Explique su respuesta.
3. Dibuje una carátula en la interfaz gráfica limite_final.m donde se muestren cambios que facilite al usuario verificar en forma adecuada las operaciones realizadas en este taller
4. De qué forma mostraría en la interfaz gráfica a los diferentes tipos de límites. Proponga cambios en la carátula de la interfaz gráfica limite_final.m
Ø
EVALUACION DE RESULTADOS
OBSERVACIONES