6. CORRIENTE ALTERNA PARA SIMPLIFICAR LA NOTACIÓN V V

~

t

V

V

V

fem

=

∆

=

=

_max

cos

ω

6. CORRIENTE ALTERNA

6.1 Circuito R, circuito L y circuito C. Fasores.

6.2 Circuito LC, circuitos RLC en serie con y sin generador. 6.3 Circuito RLC en serie con fasores.

6.4 Resonancia

6.5 Transformadores.

Potencia disipada en la resistencia:

t

P

t

R

I

R

I

IV

t

P

_R

ω

ω

2 max 2 2 max 2

cos

cos

)

(

=

=

=

=

=

2 / 2 / ) ( 1 2 max max I R P t P T P T media =

∫

= =

Valores eficaces (son los que se miden cuando la corriente es alterna):

medio eficaz

I

I

≡

(

2

)

medio eficaz

V

V

≡

(

2

)

2

/

2

/

_max 2 max

I

I

I

_ef

=

=

⇒

2

/

2

/

_max 2 max

V

V

V

_ef

=

=

⇒

R

V

I

_ef

=

_ef

/

⇒

R

I

P

_media

=

_ef2

⇒

=

I

_ef

V

_ef

~

R

fem

Circuito de CA con R

_t

_I

_t

R

V

I

=

max

cos

ω

=

_max

cos

ω

⇒

IR

t

V

V

_R

=

_max

cos

ω

=

Ley de Ohm En fase

∆

V=V

R

6.1 Circuito R, circuito L y circuito C

(ef↔eficaz, también “rms” del inglés root mean square)

R I P_max = _max2 2 max P P_media = Tiempo

t R I t P( ) = _max2 cos2ω 2 / max P P_media = 2 max I I_ef = R V I_ef = ef ef ef media I V P = Circuito de CA con R

IR

t

V

V

_R

=

_max

cos

ω

=

t

R

V

I

=

max

cos

ω

~

R

fem

∆

V=V

R Circuito de CA con L

~

L

fem

∆

V=V

L

dt

dI

L

t

V

V

_L

=

_max

cos

ω

=

)

2

cos(

max

ω

π

ω

−

=

t

L

V

I

0 I I0

C

Q

t

V

V

_C

=

_max

cos

ω

=

/

t CV Q = _max cosω

)

2

cos(

/

1

max

ω

π

ω

+

=

t

C

V

I

L

X

_L

≡

ω

Reactancia inductiva C X_C

ω

1 ≡ Reactancia capacitiva t t I V t

P_L( ) =... = _{max max} cosω sinω PC(t) =... =VmaxImax cosωtsinωt

0

=

media

P

Suponemos bobina

ideal (sin resistencia)

P

_media

=

0

Suponemos condensador ideal (sin resistencia) Circuito de CA con C

~

C

fem

∆

V=V

C 2 max V V_ef =

R

L ef ef X V I = C ef ef X V I =

Circuito de CA con R

~

R

fem

∆

V=V

R Circuito de CA con L

~

L

fem

∆

V=V

L Circuito de CA con C 0 I 0 I

~

C

fem

∆

V=V

C

t

V

V

_R

=

_max

cos

ω

t

R

V

I

_R

=

max

cos

ω

R I R V R I R V ω t ω

t

V

V

_L

=

_max

cos

ω

)

2

cos(

max

ω

−

π

=

t

X

V

I

L L L I L V L I V_L ω t ω

t

V

V

_C

=

_max

cos

ω

)

2

cos(

max

ω

+

π

=

t

X

V

I

C C C I C V C I VC ω t ω

Fasores son vectores que rotan y su proyección dan los valores instantáneos de las distintas variables de la corriente. El potencial en cada caso tiene un desfase con la corriente o viceversa.

Circuito LC

L

C

max Q + max Q − + + + + + + + − − − − − − − 0 = I L C V V = dt dI L C Q _{= −} → 0 dt dI L C Q ₊ → 0 2 2 dt Q d L C Q ₊ 0 = Q Imax → 0 = Q ← Imax max Q − max Q + − − − − − − − + + + + + + + 0 = I max Q + max Q − + + + + + + + − − − − − − − 0 = I

0

2 2

=

+

dt

x

d

m

kx

x

Q

↔

_I

↔

_v

m

L

↔

1

/

C

↔

k

max

x

+

0

=

v

m

k

0

=

t

0

=

x

max

v

←

4

T

t

=

max

x

−

0

=

v

2

T

t

=

0

=

x

→

max

v

4

3

T

t

=

max

x

+

0

=

v

T

t

=

t x x = _max cos

ω

m k f = = π ω 2 k m T =2π 2 2 1 mv E_c = 2 2 1 kx E_p = 2 2 2 max 2 max mv kx E_Total = = t v t x

v = − _max

ω

sin

ω

= − _max sin

ω

0 0 : ojo = → = ϕ t t Q Q = _max cos

ω

LC f 1 2 = = π ω T =2π LC 2 2 1 LI E_L = C Q E_C 2 2 = C Q LI E_Total 2 2 2 max 2 max = = t I t Q

I = − _max

ω

sin

ω

=− _max sin

ω

t V t C Q C Q

6.2 Circuito LR, circuitos LRC con y sin generador

L C

~

L C R

~

~

t

x

x

=

₀

cos

ω

₀

x

=

x

₀

exp[

−

γ

t

]

cos

ω

t

x

≈

A

cos(

ω

t

+

δ

)

) cos( 0 2 2 t F dt x d m dt dx b kx+ + = ω 0 2 2 = + + dt x d m dt dx b kx 0 2 2 = + dt x d m kx 2 2 0 dt Q d L C Q ₊ = 0 2₂ dt Q d L R dt dQ C Q _{+ +} = _maxcos 2₂ dt Q d L R dt dQ C Q t V ω = + + L C R R v R ~

L C C L R

~

L C R R

~

~

t

x

x

=

_max

cos

ω

₀

x

=

x

_max

exp[

−

γ

t

]

cos

ω

t

x

≈

x

₀

cos(

ω

t

+

δ

)

) cos( 0 2 2 t F dt x d m dt dx b kx+ + = ω 0 2 2 = + + dt x d m dt dx b kx 0 2 2 = + dt x d m kx 2 2 0 dt Q d L C Q ₊ = 0 2₂ dt Q d L R dt dQ C Q _{+ +} = _maxcos 2₂ dt Q d L R dt dQ C Q t V ω = + + v R ~

m

k

/

0

=

ω

γ

=

b

/

2

m

2 2 0 2

ω

γ

ω

=

−

2 2 2 2 2 0 2 0 0 =F m (ω −ω ) +b ω x ) ( / tanδ =bω m ω₀2 −ω2

t

Q

Q

=

_max

cos

ω

₀

Q

=

Q

_max

exp[

−

γ

t

]

cos

ω

t

Q

≈

Q

₀

cos(

ω

t

+

δ

)

LC

/

1

0

=

ω

γ

=

R

/

2

L

02 2 2

ω

γ

ω

=

−

2 2 2 2 2 0 2 max 0 V L (ω ω ) R ω Q = − + ) ( / tanδ = Rω L ω₀2 −ω2

6.3 Circuito de CA con RLC en serie con fasores.

t

ω

C

V



L

V



R

V



V



I



ϕ

C L

V

V



+



~

L C R

Empiezo a contar en el instante que la fem es máxima:

La corriente I está desfasada un cierto ángulo:

La ∆V en la resistencia está en fase con I: t V V = _max cos

ω

) cos( max

ω

−

ϕ

= I t I ) cos( max

ω

−

ϕ

= = IR RI t V_R

La ∆V en el condensador y la bobina están desfasados respecto a I: ) 2 / cos( max

ω

−

ϕ

−

π

= X I t V_{C C} ) 2 / cos( max

ω

−

ϕ

+

π

= X I t V_{L L}

Usando los fasores: V =V_L +V_C +V_R

2 max , max , 2 max , max VR (VL VC ) V = + − ⇒ Z I X X R I_max 2 +( _L − _C)2 ≡ _max = R X X V V V _{L C} R C L − = − = ⇒ max , max , max , tan

ϕ

X

_L

-X

_C

→

reactancia total

Z

→

impedancia

ϕ

puede ser >0 o <0

ϕ

Z XL − XC R

6.4 Resonancia.

De lo anterior se obtiene: 2 2 max

max

max V /Z V / R (XL XC)

I = = + −

El máximo de intensidad para una R dada se consigue anulando la reactancia total: X_L − X_C = 0 0 , 1 0 = ≡ = ⇒

ω

ω

ϕ

LC

La potencia media suministrada es la que se disipa en la resistencia (bobina y condensador ideales). Hay muchas formas de expresar la potencia a las que se llega fácilmente con los resultados anteriores:

) ( cos2 2 max 2 =

ω

−

ϕ

= I R RI t P_media 2 2 max /2 RIef RI = = =... = I_efV_ef cos

ϕ

2 2 / ... =V_ef R Z = De la última expresión se llega a:

(compruebe este resultado con el obtenido mediante la similitud con el muelle)

2 2 2 2 0 2 2 2 2 ) (

ω

ω

ω

ω

R L R V P_{media ef} + −

= (compare el denominador de este resultado con el obtenido para la amplitud de la carga (intensidad, …) mediante la similitud con el muelle)

Factor de calidad: C R L R L Q ≈ = ∆ = 0

ω

0

ω

ω

~

_L

C

R

Campo magnético

6.5 Transformador.

R

~

Dispositivo para aumentar o disminuir la diferencia de potencial en un circuito eléctrico de corriente alterna sin perder potencia (caso ideal).

Conexión a la fuente electromotriz, V_P ; bobina primaria con N_P vueltas

Salida con V_S ; bobina secundaria con NS

vueltas

Símbolo del transformador; las líneas entre bobinas indica que tiene un núcleo.

P

N

N

_S P

I

S

I

Laminado para reducir las corrientes de Foucault (corrientes eddy) P

V

V

_S

_dt

dB

A

N

dt

d

V

fem

=

_P

=

−

Φ

p

=

−

_p p

dt

dB

A

N

dt

d

V

S S S S

=

−

Φ

−

=

dt

dB

dt

dB

_{S P}

=

P S P S

N

N

V

V

=

⇒

P ef P ef S ef S ef

I

V

I

V

_{, ,}

=

_{, ,}