Capítulo 4. INTERACCIÓN ENTRE PARTÍCULAS Y FLUIDOS

Capítulo 4. INTERACCIÓN ENTRE PARTÍCULAS Y FLUIDOS

4.1. Introducción

En los Capítulos 2 y 3 hemos visto la caracterización de partículas, lo cual es importante para la producción, manejo, almacenamiento, transporte y venta de sistemas particulados. En un proceso que involucra sólidos, el primer paso es la caracterización de las partículas, sin embargo el comportamiento dinámico de las partículas en relación al fluido que las rodea es de suma importancia en la mayoría de los procesos.

4.2. Fluidodinámica de partículas individuales

Cuando una partícula cae en un fluido viscoso, existen tres fuerzas que actúan sobre ella (ver Figura 4.1):

ƒ La fuerza gravitacional (peso) que actúa hacia abajo (W).

ƒ La fuerza de empuje (U). ƒ La fuerza de arrastre (FD). Movimiento x Peso (W) Arrastre (F_D) Empuje (U) Movimiento x Peso (W) Arrastre (F_D) Empuje (U)

Figura 4.1. Balance de Fuerzas

Para el sistema de la Figura 4.1, la ecuación de movimiento resulta: du

4.2 donde m es la masa de la partícula, u la velocidad de la misma y a la aceleración. La ecuación (4.1) puede reescribirse como sigue:

dt du m F g m mg− f − _D = (4.2)

donde mf es la masa de fluido desalojada por la partícula (es decir, la masa del fluido que tiene igual volumen que la partícula).

Si las partículas son pequeñas se aceleran rápidamente hasta llegar a una velocidad constante (se requiere sólo del orden de ms) definida como velocidad terminal, bajo estas condiciones la aceleración es nula y la ecuación (4.2) se transforma en : 0 F g m mg− _f − _D = (4.3)

Para una esfera conocemos que su masa está dada por: p

3 x 6

m= π ρ (4.4)

donde ρp es la densidad de la partícula (detalles de las propiedades de una partícula

individual se presentan en el Anexo A del presente capítulo). x representa el diámetro de la partícula, si es una esfera x será su diámetro, en cambio si se trata de una partícula no esférica en las ecuaciones (4.4) y (4.5) x es el dv (diámetro de una esfera

equivalente que tiene igual volumen que la partícula bajo análisis). La masa del fluido desplazado está dada por:

f 3

f x

6

m =π ρ (4.5)

donde ρf es la densidad del fluido donde se mueve la partícula. Teniendo en cuenta las

ecuaciones (4.3) a (4.5), la fuerza de arrastre puede escribirse como:

(

)

3 f p D gx 6 F = π ρ −ρ (4.6)

Cuando se trata de partículas que son irregulares (no esféricas), el valor de x que debemos usar en la fuerza de arrastre es el dV, es decir el diámetro de una

esfera que posee igual volumen que la partícula original (para que se mantenga la masa de la partícula y la del medio desplazado).

La fuerza de arrastre está relacionada con un factor de fricción, que en este caso se llama, factor de arrastre (CD). La fuerza de arrastre en términos del coeficiente

de arrastre es: p 2 f D D C u A 2 1 F = ρ (4.7)

donde Ap es el área proyectada de la partícula, en el caso de una esfera el área

proyectada de la partícula está dada por el área del círculo. Igualando las expresiones (4.6) y (4.7), el CD puede expresarse como sigue:

(

)

p 2 f 3 f p D A u x g 3 C ρ ρ − ρ π = (4.8)

Si consideramos que para una esfera

4 x A 2 p π = , la ecuación (4.8) puede reescribirse como:

(

)

2 f f p D u x g 3 4 C ρ ρ − ρ = Esfera! (4.9)

Si se conoce el valor del factor de arrastre es posible determinar la velocidad terminal. A partir de datos experimentales se ha comprobado que el coeficiente CD

(que es un factor adimensional) es función del número de Reynolds de la partícula, el cual se define como:

μ ρ

= ux

Re_p f Esfera! (4.10)

Obviamente si se trata de una esfera, x representa su diámetro.

El CD no puede calcularse teóricamente, las correlaciones que algunos autores

han desarrollado dependen del producto CD Rep, el cual se puede expresar como:

(

)

u x g 3 4 Re C 2 f p p D μ ρ − ρ = Esfera! (4.11) 4.2.1. Ley de Stokes

4.4 funcionales CDRep resulta aproximadamente constante. Para esta condición se dice

que se verifica el régimen de Stokes, para el cual es válida la siguiente relación: 25 . 0 2 . 0 Re para Re 24 C _p p D = < − (4.12) Reemplazando la ecuación (4.12) en la (4.11):

(

)

25 . 0 2 . 0 Re para 18 x g u _p 2 f p t < − μ ρ − ρ = Esfera! (4.13)

donde ut es la velocidad terminal.

0.1 1 10 100 1000 10000 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 100000 1E+06 Rep Cd

Figura 4.2. Datos experimentales de la relación entre el coeficiente de arrastre y el número de Reynolds para una esfera en un líquido. Fuente: Allen (2003).

4.2.2. Predicción del coeficiente de arrastre fuera del régimen de Stokes.

Fuera del régimen de Stokes (Rep> 0.2-0.25), el CD debe calcularse por

correlaciones. Para el rango de Rep<2 105, Haider y Levenspiel (1989) hallaron una

correlación adecuada para partículas no esféricas, relacionando el CD (además de con

el Rep) con el factor de esfericidad (ψ):

(

)

( )

[

]

(

− ψ

)

_ψ ψ + ψ − + + + = 2122 . 6 p p 0748 . 5 5565 . 0 0964 . 0 p 0655 . 4 p D e 378 . 5 Re Re e 69 . 73 Re e 171 . 8 1 Re 24 C (4.14)

Si se conoce el factor de esfericidad de la partícula, la ecuación (4.14) se puede combinar con la (4.9) (aunque esta ecuación es para esferas) para obtener la velocidad terminal. La corrección de la “no esfericidad” está contenida en la correlación (4.14).

Cuando las partículas son esféricas, la ecuación (4.14) se reduce a:

Re Cd CdRe 0.01 2400 24 0.02 1200 24 0.05 484 24.2 0.08 304 24.32 0.1 244 24.4 0.2 123 24.6 0.5 51.4 25.7 0.8 33.3 26.64 1 27.2 27.2 2 15 30 5 7.12 35.6 10 4.35 43.5 20 2.74 54.8 50 1.56 78 100 1.1 110 200 0.808 161.6 500 0.568 284 1000 0.46 460 2000 0.42 840

( )

5 . 2682 Re Re 4607 . 0 Re 3643 . 3 Re 24 C p p 3471 . 0 p p D = + − + ₊ (4.15)

Como puede observarse en la Figura 4.3, la predicción (4.15) es muy buena para Rep < 2 105. Existen muchas correlaciones, incluso algunas que ajustan los datos

experimentales en estrechos rangos de Reynolds, proveyendo entonces muchas expresiones que son función del valor del Rep.

0.1 1 10 100 1000 10000 0.01 1 100 10000 100000 0 Rep CD Cd Haider/Levenspiel 1989 Cd exp

Figura 4.3. Comparación de datos experimentales de la relación entre el coeficiente de arrastre y el número de Reynolds con los predichos por la ecuación de Haider and

Levenspiel (1989).

La Figura 4.4 muestra CD vs Rep, donde se indican las siguiente regiones según el

grado de mezclado del medio.

Figura 4.4. CD vs Rep e identificación de zonas según el mezclado del medio. Fuente:

4.6

4.2.3. Cálculo de la velocidad terminal

La velocidad terminal puede calcularse a partir de la ecuación (4.8) como sigue:

(

)

p f D 3 f p t A C x g 3 u ρ ρ − ρ π = (4.16)

Si la ecuación (4.16) se aplica a una partícula esférica, resulta:

(

)

f D f p t C x g 3 4 u ρ ρ − ρ = Esfera! (4.17)

A partir de la ecuación (4.17), debido a que CD es función del Rep y a su vez

éste es función de ut, resulta claro comprender que el cálculo de la velocidad terminal

requiere un procedimiento iterativo. Por ejemplo puede realizarse con el solver del Excel. En la página web: http://www.filtration-and-separation.com/settling/settling.htm se pueden calcular velocidades terminales para esferas y en cualquier rango de Rep.

Siempre es preferible disponer de una expresión explícita que una implícita para el cálculo de una variable. Por esta razón, varios autores han tratado de ajustar correlaciones utilizando grupos funcionales especiales:

(

)

2 3 f f p 2 p D x g 3 4 Re C μ ρ ρ − ρ = Esfera! (4.18)

Como puede observarse el lado derecho de la ecuación (4.18) no depende de la velocidad terminal. Otro grupo funcional de interés es:

(

ρ −ρ

)

μ ρ = g 3 4 u C Re f p 3 2 f D p (4.19)

El lado derecho de la ecuación (4.19), no depende del diámetro de la partícula, depende de la velocidad terminal.

Haider y Levenspiel (1989), propusieron los dos siguientes grupos funcionales adicionales para obtener una correlación explícita:

(

)

1/3 _1/3 2 p D 3 / 1 2 f f p * _{C Re Ar} 4 3 g x x ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ μ ρ ρ − ρ = (4.20)

(

)

1/3 p 3 / 1 D p 3 / 1 f p 2 f * Ar Re C Re 3 4 g u u _⎟⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ μ ρ − ρ ρ = (4.21)

Utilizando datos experimentales, Haider y Levenspiel (1989), establecieron la siguiente relación explícita (aproximada) con el objeto de determinar la velocidad terminal para partículas esféricas

(

ψ=1

)

.

( ) ( )

1 5 . 0 * 2 * * t x 591 . 0 x 18 u − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = (4.22)

Para partículas no esféricas se utiliza la siguiente correlación:

( )

( )

para0.5 1 x 744 . 1 335 . 2 x 18 u 1 5 . 0 * 2 * * t _⎥⎥ <ψ< ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ _{− ψ} + = − (4.23)

4.8 Figura 4.5. Visualización gráfica de la correlación de Haider y Levenspiel (1989).

Fuente: Kunni y Levenspiel (1991). (dp*=x*; dp=x).

La Figura 4.5 representa en forma gráfica las ecuaciones (4.22) y (4.23).

Averiguar que son las Tablas de Heywood (Heywood Tables) para el cálculo de velocidades terminales.

Ejemplo 4.1.

Calcular la velocidad terminal de una esfera que tiene una densidad de

partícula de 2650 kg/m3 _{en agua a 293 K. Las propiedades del agua a dicha}

temperatura son: densidad= 998.2 Kg/m3, viscosidad= 1.002 10-3 Nsm-2. Considere tres partículas de distinto diámetro: 100μm, 1mm, y 1cm. Utilice todos los métodos (directos o iterativos) enseñados.

a) Método indirecto

b) Método indirecto: http://www.filtration-and-separation.com/settling/settling.htm x1=1e-4 m ut= 0.0081 m/s

x2=1e-3 m ut= 0.156056 m/s

x3=1e-2 m ut= 0.743485 m/s

c) Método directo: Haider y Levenspiel (1989).

ρp= 2650 Kg/m3

ρf= 998.2 Kg/m3

μ= 1.00E-03 Nsm-2

x1=1.00E-04 m x2= 0.001 m x3= 0.01 m

Método Haider y Levenspiel (1989)

Para la partícula x1 Para la partícula x2 Para la partícula x3

ut propuesta, m/s Rep Cd ut, calc utpropuesta, mRep Cd ut, calc utpropuesta, mRep Cd ut, calc

1.00E-01 9.96E+00 3.93E+00 0.023480978 1.00E-01 9.96E+01 9.39E-01 0.15185664 1.00E-01 9.96E+02 4.55E-01 0.68958746 0.023480978 2.34E+00 1.28E+01 0.013021439 0.151856642 1.51E+02 7.72E-01 0.16739035 0.68958746 6.87E+03 4.92E-01 0.66359089 0.013021439 1.30E+00 2.16E+01 0.010016028 0.167390346 1.67E+02 7.41E-01 0.17096204 0.66359089 6.61E+03 4.90E-01 0.66451376 0.010016028 9.98E-01 2.74E+01 0.00888467 0.17096204 1.70E+02 7.34E-01 0.17173196 0.66451376 6.62E+03 4.90E-01 0.66448001 0.00888467 8.85E-01 3.06E+01 0.008406801 0.171731961 1.71E+02 7.33E-01 0.17189559 0.66448001 6.62E+03 4.90E-01 0.66448124 0.008406801 8.37E-01 3.22E+01 0.00819426 0.171895594 1.71E+02 7.32E-01 0.17193027 0.66448124 6.62E+03 4.90E-01 0.66448119 0.00819426 8.16E-01 3.30E+01 0.008097468 0.171930266 1.71E+02 7.32E-01 0.17193761 0.66448119 6.62E+03 4.90E-01 0.6644812 0.008097468 8.07E-01 3.34E+01 0.008052906 0.171937608 1.71E+02 7.32E-01 0.17193916 0.6644812 6.62E+03 4.90E-01 0.6644812 0.008052906 8.02E-01 3.35E+01 0.008032285 0.008032285 8.00E-01 3.36E+01 0.008022722 0.008022722 7.99E-01 3.37E+01 0.008018281 0.008018281 7.99E-01 3.37E+01 0.008016218 0.008016218 7.99E-01 3.37E+01 0.008015259 0.008015259 7.98E-01 3.37E+01 0.008014814 ( ) f D f p t _C x g 3 4 u ρ ρ − ρ = ( ) 5 . 2682 Re Re 4607 . 0 Re 3643 . 3 Re 24 C p p 3471 . 0 p p D= + − + ₊ =ρ _μ x u Re f p ρp= 2650 Kg/m3 ρf= 998.2 Kg/m3 μ= 1.00E-03 Nsm-2 x1=1.00E-04 m x2= 0.001 m x3= 0.01 m x1∗= 2.52562885 x2∗= 25.2562885 x3∗= 252.562885

ut1*= 0.31311382 ut2*= 6.857900525 ut3*= 26.68789204

d) Comparación:

x, m Implícito, ut; m/s Web, ut; m/s Explícito, ut; m/s

1e-4 0.00801 0.0081 0.0079

1e-3 0.17193 0.156056 0.17386

1e-2 0.66448 0.743485 0.67660

4.2.4. Velocidad terminal para partículas no esféricas. Régimen de Stokes

Hemos ya visto que la fuerza de arrastre puede calcularse como lo expresa la ecuación (4.6), donde se dejó en claro que el valor del tamaño que se debe usar es el dV. La ecuación (4.6) puede reescribirse como sigue:

(

)

3 V f p D gd 6 F = π ρ −ρ (4.24)

Recordemos también que la fuerza de arrastre está relacionada con el factor de arrastre según la ecuación ya vista (4.7):

p 2 f D D C u A 2 1 F = ρ (4.7)

donde Ap es el área proyectada de la partícula. La definición del área proyectada

merece una atención especial. La ecuación (4.7), para partículas no esféricas, debe expresarse como sigue:

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ π ρ = 4 d u C 2 1 F 2 d 2 f D D (4.25)

donde dd es el diámetro equivalente de una esfera que posee el área proyectada de la

partícula en la dirección perpendicular al movimiento. Como ya se mencionara en el capítulo 2, las partículas en régimen laminar se mueven al azar, mientras que en régimen turbulento se orientan en la dirección que ofrece la mayor resistencia. El diámetro de arrastre (dd) es prácticamente imposible de ser determinado. Sin embargo,

en régimen laminar, el diámetro dd tiende a ser igual al dS (diámetro de una esfera

equivalente que posee igual área externa que la partícula

2 / 1 S S d ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π = ). Igualando las expresiones (4.24) y (4.25) se obtiene:

4.10

(

)

2 d 2 f 3 V f p D d u d g 3 4 C ρ ρ − ρ = (4.26)

Si se verifica el régimen laminar

p D

Re 24

C = . El Rep para partículas no esféricas, Allen

(2003) propone calcularlo en el régimen laminar como

μ ρ = f S p ud Re ; reemplazando

la expresión de Cd para flujo laminar, la nueva definición de Reynolds en la ecuación (4.26) resulta:

(

)

s 3 V f p d 18 d g u μ ρ − ρ = (4.27)

Recordemos que la esfericidad la podíamos calcular como:

S V 2 S V d d o ; d d = ψ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ψ (4.28)

Por lo tanto, la ecuación (4.27) también puede escribirse como:

(

)

μ ψ ρ − ρ = 18 d g u 2 V f p

Régimen de Stokes, partícula no esférica! (4.29)

El diámetro de Stokes que definimos en el Capítulo 2 era:

(

)

2 / 1 f p St _g u 18 d ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ρ − ρ μ = (2.8)

Por lo tanto el diámetro de Stokes representa: 2 / 1 s 3 St d dv d ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = (4.30)

4.2.5. Velocidad terminal de una partícula que está influenciada por otras

Cuando muchas partículas fluyen en un fluido, el movimiento de cada partícula está influenciado por la presencia de las otras. La velocidad terminal obtenida para una partícula que cae en un fluido “limpio” no es válida para modelar la caída de una partícula cuando la rodea una suspensión.

Para una suspensión de partículas en un fluido la velocidad terminal de una partícula disminuye por cambios de propiedades del fluido. Es necesario definir la viscosidad y densidad del fluido efectivas:

Viscosidad efectiva: μ_e =μ/f

( )

ε (4.31)

Densidad de la suspensión efectiva: ρ_fe =ερ_f +

(

1−ε

)

ρ_p (4.32) donde ε representa la porosidad (volumen ocupado por el fluido dividido el volumen total). Por ejemplo, para el régimen de Stokes, el coeficiente de arrastre debe calcularse como sigue:

x u 24 Re 24 C fe te e e p D _ρ μ = = (4.33)

Si se reemplazan las propiedades efectivas en lugar de las del fluido en la ecuación (4.13), resulta:

(

)

( )

μ ε ε ρ − ρ = 18 f x g u 2 f p t Esfera! (4.34)

Muchos autores han encontrado que:

( )

m

f ε =ε (4.35)

Si tenemos en cuenta las definiciones (4.34) y (4.35), resulta:

( )

n t t e t u f u u = ε ε = ε (4.36)

De la ecuación (4.36) resulta claro que la velocidad terminal efectiva será menor que la de una partícula aislada (recordar que la porosidad es siempre menor que 1 y que los exponentes n resultan mayores que 1). La Tabla 4.1 muestra los valores obtenidos por la correlación de Richardson-Zaki:

Tabla 4.1. Valores del coeficiente n (ecuación 4.26). Fuente: Seville et al. (1997).

Rep N

Rep≤0.2 4.6

0.2<Rep<1.0 4.4 Rep-0.033

1.0≤Rep<500 4.4 Rep-0.1

4.12 El Rep se calcula utilizando las propiedades del fluido (sin considerar las

partículas).

Recordemos que determinamos la velocidad terminal de una partícula seleccionada, sólo que en este caso se encuentra rodeada por otras.

4.3. Fluidodinámica de sistemas particulados. Lechos Fijos

La sección anterior se refirió exclusivamente a partículas individuales. Sin embargo, como ya se ha comentado en capítulos anteriores es frecuente la existencia de sistemas particulados. Por esta razón, a continuación se discutirán aspectos fluidodinámicos relacionados con sistemas de múltiples partículas, con especial énfasis en lechos empacados con sólidos.

Un lecho empacado, o también denominado lecho fijo, se refiere a un dado recipiente (de cualquier forma o volumen) donde se ha “empacado” material sólido. La Figura 4.6 muestra un ejemplo de un lecho fijo, donde se han empacado sólidos en una unidad de geometría cilíndrica. El flujo de fluidos líquidos o gaseosos puede circular en cualquiera de las direcciones. El ejemplo más sencillo de lechos fijos, relacionado con nuestra vida cotidiana, es el filtro de agua potable. Algunas de las propiedades relevantes de lechos fijos se presentan en el Anexo A.

4.3.1. Ley de Darcy

El francés Darcy realizó una serie de experimentos de filtración de aguas en 1856. En la Figura 4.7 se muestra un esquema del aparato usado para calcular las leyes de flujo de agua a través de arena pura.

Arena

h

₁

h

₂

L

Δ

h

Línea

de referencia

Figura 4.7. El experimento de Darcy

Darcy descubrió que la velocidad con que circulaba el agua por el lecho de arena era directamente proporcional a la diferencia de alturas (carga hidráulica) e inversamente proporcional a la longitud del lecho de arena. La expresión resultante es:

L h K 0 L h h K u _c 2 1 _c Δ Δ − = − − − = (4.37)

donde, u= velocidad superficial (caudal/área transversal del tubo o lecho), m/s Kc=conductividad hidráulica o permeabilidad, m/s

Δh=h2-h1= cambio de carga en la distancia L, m

El signo menos de la ecuación (4.37) indica que el fluido fluye en el sentido contrario al aumento de altura. El caudal puede expresarse como:

L h h A K Q=− _c 2− 1 (4.38) donde, Q= caudal, m3/s

A=área transversal (sin contar los sólidos!), m2

L h h₂− ₁

= gradiente hidráulico

Planteemos la ecuación de Bernoulli para los puntos 1 y 2 de la Figura 4.7: 1

4.14 f 2 2 f 2 2 2 1 f 1 1 H g 2 v g p h g 2 v g p h − = ρ − − + ρ + (4.39)

donde Hf representa las pérdidas de energía por fricción.

La Ley de Darcy es válida sólo para bajas velocidades de líquidos (flujo laminar), por lo tanto puede asumirse que los términos de energía cinética son despreciables frente a los de energía potencial y presión. Por lo tanto la ecuación (4.39) se reduce a: f f 2 2 f 1 1 H g p h g p h = ρ − − ρ + (4.40)

Para el ejemplo de la Figura 4.7, las presiones manométricas en los puntos 1 y 2 son 0, de modo que la ecuación (4.40) se reduce a :

f 2

1 h H

h − = (4.41)

El cambio de carga (h2-h1) de la ecuación (4.38) puede interpretarse como la

energía perdida como resultado de la fricción del agua que fluye a través del medio poroso. La velocidad de Darcy, como ya dijimos es válida para líquidos circulando por lechos fijos a muy baja velocidad. No es válida para gases a bajas o altas velocidades, ya que se asume que la densidad del fluido no cambia en la ecuación (4.40).

La Kc es función de las propiedades del medio poroso, del tamaño de

partículas y de las propiedades del fluido. A modo de ejemplo se introducen las Tablas 4.2 y 4.3 donde se muestra la variación de los valores de Kc para distintos sólidos y

Tabla 4.2. Valores típicos de permeabilidad. Fluido: Agua.

Material Permeabilidad, m/día

Arcilla 0.0004 Arena 40 Grava 4000

Grava y arena 400

Granito 0.0004

Tabla 4.3. Conductividades hidráulicas de diferentes compuestos en un mismo tipo de suelo.

Compuesto Kc, m/s ( en arcilla natural) Agua 7x10-7 Anilina 2.1x10-6 Acetona 1.1x10-7 Heptano 2.6x10-7 Xileno 3.3x10-7

La Ley de Darcy en su fórmula original es muy restringida y no es muy útil. Por esta razón surgieron a partir del experimento de Darcy varios investigadores que trataron de dar correlaciones que ampliaran la aplicabilidad de la Ley de Darcy. Antes de discutir una de las correlaciones más usada, se trabajará sobre la definición de distintas velocidades en medios porosos.

4.3.2. Velocidad Superficial vs. Intersticial

La pregunta básica que nos podemos hacer es ¿es la velocidad de Darcy la que posee el fluido cuando circula por el medio poroso?. Consideremos la Figura 4.8, donde se observa la sección transversal de un lecho fijo.

4.16 Figura 4.8. Flujo en medios porosos

El caudal que pasa por el área transversal del volumen de control debe ser igual al caudal que pasa por los espacios libres entre las partículas, en otros términos:

Qsección vacía=Qárea libre de paso (4.42)

La ecuación (4.42) se puede reescribir como:

u A=up Ap (4.43)

donde u es la velocidad superficial (basada en el área del lecho A), mientras que up es

la velocidad intersticial (basada en el área libre de paso Ap; área negra en la Figura

4.8). Si la ecuación (4.43) se multiplica por el largo del lecho (L), resulta:

u A L=up Ap L (4.44)

Teniendo en cuenta que (A L) es el volumen del lecho (V), y (Ap L) es el volumen de fluido contenido en el lecho resulta:

u =up εB (4.45)

donde εB es la porosidad del lecho, que posee unidades de m3_f /m3_B. Por lo tanto las

unidades estrictas de la velocidad intersticial (up) son m4_f /m_B3 s o genéricamente

(m/s).

4.3.3. Ecuación de Ergun

Luego de varias correlaciones que evolucionaron de la Ley de Darcy (1856), Ergun casi cien años después (1952) obtuvo una correlación que incorpora la porosidad del lecho a los efectos de contabilizar la velocidad real del fluido en el medio poroso. Esta correlación es ampliamente usada y sólo deja de ajustar datos experimentales para valores de Reynolds muy elevados. La ecuación de Ergun para un sistema como el

mostrado en la Figura 4.9 constituido por partículas de igual tamaño, está dada por la expresión (4.45):

p

₁

p

2

L

p

₁

p

2

p

₁

p

2

L

Figura 4.9. Definiciones de presiones en un lecho empacado

Para partículas de una misma medida, sistemas monodispersos:

(

)

(

)

SV 2 f 3 B B 2 SV 3 B 2 B 1 2 d u 1 75 . 1 d u 1 150 L p p L P ρ ε ε − + μ ε ε − = − = Δ − (4.45)

donde u es la velocidad superficial del fluido, μ y ρf la viscosidad y densidad del fluido,

εB la porosidad del lecho, p2 y p1 las presiones a la salida y entrada del lecho

respectivamente y dSV el diámetro de una esfera que posee la misma relación de

área/volumen que la partícula original. Con las definiciones del capítulo 2, es posible verificar que:

V

SV d

d =ψ (4.46)

Por lo tanto, la ecuación (4.45) suele expresarse también en términos de la esfericidad y el dV (diámetro de una esfera que posee igual volumen que la partícula).

(

)

(

)

(

)

V 2 f 3 B B 2 V 3 B 2 B 1 2 d u 1 75 . 1 d u 1 150 L p p L P ψ ρ ε ε − + ψ μ ε ε − = − = Δ − (4.47)

Dos lechos, uno relleno con partículas esféricas y otro con irregulares, tendrán igual caída de presión si se conserva el área total superficial y la misma fracción de vacíos (que es lo mismo que mantener el volumen de sólidos si la geometría del lecho está definida). Por esta razón el diámetro equivalente que debemos usar es el dSV.

4.18

Para partículas de distinto tamaño, sistemas particulados generales:

(

)

(

)

SV 2 f 3 B B 2 SV 3 B 2 B 1 2 x u 1 75 . 1 x u 1 150 L p p L P ρ ε ε − + μ ε ε − = − = Δ − (4.48)

donde xSV es el diámetro que mantiene la relación S/V de la población, también

llamado media aritmética en superficie o diámetro Sauter. Este diámetro también coincide con el medio armónico determinado a partir de una distribución en volumen o masa.

El primer término del lado derecho de la ecuación de Ergun representa el componente laminar al gradiente de presión. El segundo término corresponde al régimen turbulento. De manera que, en flujo laminar el gradiente de presión aumenta de manera lineal con la velocidad. En cambio en el régimen turbulento, la caída de presión aumenta de manera cuadrática y es independiente de la viscosidad del fluido.

Ejemplo 4.2

Una solución de densidad 1100 Kg/m3 y viscosidad 2E-3 Pa s fluye a través de un lecho empacado. El diámetro del lecho es de 0.2 m y tiene un largo de 0.5 m. Las partículas son cilíndricas con un diámetro de 1 mm y una longitud de 2 mm. La porosidad del lecho es del 30%.

a) La bomba que impulsa el fluido admite una caída de presión total de alrededor de 1 atmósfera, estime cual es el caudal máximo que puede hacer circular por este lecho.

b) Dibujar la caída de presión en función de la velocidad superficial del fluido.

Datos ρf= 1100 Kg/m3 μf= 2.00E-03 Pa s dcilindro= 0.001 m Lcilindro= 0.002 m Dlecho= 0.2 m Llecho= 0.5 m εB= 0.3 Calculo del dSV S cilindro= 7.85398E-06 m2 V cilindro= 1.5708E-09 m3 S/V= 5000 m-1 dsv= 0.0012 m S V 6 dSV=

( ) ( ) SV 2 f 3 B B 2 SV 3 B 2 B 1 2 x u 1 75 . 1 x u 1 150 L p p L P ρ ε ε − + μ ε ε − = − = Δ − 0 100 200 300 400 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 u, m/s AP /L , AP/L completo AP/L laminar AP/L turbulento Cálculo del delta P como función de la velocidad

u, m/s (-AP/L), KPa/m laminar turbulento 0.001 3.822453704 3.7808642 0.04158951 0.003 11.71689815 11.3425926 0.37430556 0.005 19.94405864 18.904321 1.03973765 0.007 28.50393519 26.4660494 2.0378858 0.009 37.39652778 34.0277778 3.36875 0.011 46.62183642 41.5895062 5.03233025 0.013 56.17986111 49.1512346 7.02862654 0.015 66.07060185 56.712963 9.35763889 0.017 76.29405864 64.2746914 12.0193673 0.019 86.85023148 71.8364198 15.0138117 0.021 97.73912037 79.3981481 18.3409722 0.023 108.9607253 86.9598765 22.0008488 0.025 120.5150463 94.5216049 25.9934414 0.027 132.4020833 102.083333 30.31875 0.029 144.6218364 109.645062 34.9767747 0.031 157.1743056 117.20679 39.9675154 0.033 170.0594907 124.768519 45.2909722 0.035 183.277392 132.330247 50.9471451 0.037 196.8280093 139.891975 56.936034 0.039 210.7113426 147.453704 63.2576389 0.041 224.927392 155.015432 69.9119599 0.043 239.4761574 162.57716 76.8989969 0.045 254.3576389 170.138889 84.21875 0.047 269.5718364 177.700617 91.8712191 0.049 285.11875 185.262346 99.8564043 0.051 300.9983796 192.824074 108.174306 0.053 317.2107253 200.385802 116.824923 0.055 333.755787 207.947531 125.808256

4.20 APÉNDICE A: PROPIEDADES DE PARTÍCULAS INDIVIDUALES Y SISTEMAS

PARTICULADOS

A.1. Densidad de la partícula (ρp)

La Figura A.1 muestra una partícula irregular con poros internos. La densidad de la partícula se define como:

p p p V m = ρ (A.1)

donde m es la masa de la partícula (g), _p V es el volumen de la partícula completo _p (sin restarle los poros) (cm3partícula) y ρp es la densidad de la partícula y tiene unidades de g/ cm3partícula.

Figura A.1. Partícula irregular porosa.

A.2. Densidad del sólido (ρs)

La densidad del sólido se define como:

s p s V m = ρ (A.2)

donde m es la masa de la partícula (g), _p V es el volumen de la partícula sólida _s (descontando los poros) (cm3sólido) y ρ_s es la densidad del sólido y tiene unidades de g/

A.3. Porosidad de la partícula (εp)

La porosidad de la partícula representa la fracción del volumen total de la partícula que ocupan los poros, se define como:

p s p p V V V − = ε (A.3)

La porosidad de la partícula tiene unidades de cm3vacíos /cm3partícula. Esta variable

permite relacionar la densidad de la partícula con la del sólido:

(

p

)

s p=ρ 1−ε

ρ (A.4)

A.4. Densidad del lecho (ρB)

En la Figura A.2 se muestra un tubo empacado con partículas sólidas, esta configuración se denomina lecho empacado o lecho fijo.

Figura A.2. Esquema de un tubo relleno con partículas sólidas porosas (lecho fijo o empacado).

4.22 3 B B m Kg = ρ (A.5)

donde mB representan metros del lecho (bed). Esta densidad es el peso del sólido por

unidad de volumen de la unidad donde se encuentran empacados los sólidos. Una manera práctica de determinar esta densidad es empacar la unidad seleccionada con las partículas (puede lograse diferentes grados de compactación, por ejemplo golpeando las paredes del recipiente) y luego pesar la unidad empacada. Haciendo el cociente del peso del material sólido dividido el volumen interno de la unidad se establece la densidad del lecho.

A.5. Porosidad del lecho (εB)

3 B 3 partícula B 3 B 3 f 3 B 3 vacios B m m 1 m m m m = ε − = = ε (A.6)

La porosidad del lecho se define como el volumen vacío de la unidad respecto al volumen total de la misma. La Figura A.3 ilustra en la zona gris el volumen de vacíos del lecho.

Figura A.3. La zona gris representa el volumen de vacíos del lecho

De acuerdo a las definiciones anteriores, surgen la siguiente relación entre las densidades del lecho y partícula con la porosidad del lecho:

(

)

₃ B 3 partícula 3 B 3 partícula P B B m Kg m Kg m m 1−ε ρ = = = ρ (A.7)

A.6. Cálculo de porosidad del lecho para sistemas particulados (εB)

La porosidad del lecho para partículas de igual tamaño y con formas regulares ha logrado correlacionarse con cierto éxito, sin embargo cuando el lecho está relleno con partículas irregulares y de distinto tamaño es difícil obtener correlaciones adecuadas. En la medida de lo posible conviene determinarla experimentalmente, por ejemplo conociendo la densidad de la partícula y la del lecho (ver ecuación A.8).

Para comprender el problema de la porosidad observemos las Figura A4a y b que representan las porosidades de un lecho empacado con esferas de igual tamaño y con una mezcla binaria de esferas de distinto tamaño. Puede observarse, que para el volumen de control seleccionado, la porosidad del lecho es mayor para el caso que se utilizan partículas de igual tamaño. Cuando se combinan partículas de diferente diámetro la porosidad desciende. Sin embargo, esta conclusión aparentemente clara debe analizarse con cuidado ya que la segregación de partículas es factible.

Figura A.4a. Sistema monodisperso Figura A.4a. Sistema bidisperso

ε

_s

ε

_b

X

_b,min

,

ε

_av,min

ε

_av

X

_b

0

1

ε

_s

ε

_b

X

_b,min

,

ε

_av,min

ε

_av

X

_b

0

1

4.24 La Figura A.5. muestra la porosidad promedio de un lecho en función de Xb

que representa la fracción volumétrica de las partículas de mayor tamaño. Las porosidades εs y εb indican las porosidades del lecho si estuviera relleno solamente

con partículas pequeñas o grandes, respectivamente. Cuando Xb<Xb,min las partículas

grandes están distribuidas al azar junto con las pequeñas, se considera que el estado del lecho es de mezclado completo. Sin embargo cuando Xb>Xb,min, disminuye la

cantidad de las partículas pequeñas, las cuales pueden segregar ocasionando un aumento de la porosidad promedio.

Hasta el momento hemos visto sólo la complejidad que introduce mezclar sólo esferas de dos tamaños distintos. Ahora tengamos en cuenta el grado de compactación del lecho. Si el lecho no se hace vibrar o asentar, la porosidad del lecho será mayor. Cuando se somete el lecho a un proceso de vibración, se permitirá el acomodamiento de las partículas, y exceptuando que la segregación sea de importancia, la porosidad disminuirá.

Podemos concluir claramente que es muy difícil contar con valores de porosidad del lecho confiables de correlaciones disponibles de la literatura. Como se ha dicho, será conveniente la evaluación de la porosidad de manera experimental, ya sea por la ecuación de Ergun o por la relación A8.

Aquí sólo se incluirá las correlaciones para esferas de un solo tamaño. Dixon en 1988 presentó las siguientes relaciones:

536 . 0 D d 1 D d 2 D d 667 . 0 1 536 . 0 D d 5 . 0 5 . 0 D d 464 . 2 528 . 0 5 . 0 D d D d 412 . 0 D d 05 . 0 4 . 0 p 5 . 0 p 3 p B p p B p 2 p p B > ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ε ≤ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ≤ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + = ε ≤ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = ε − (A.8)

donde dp es el diámetro de la esfera y D es el diámetro del lecho.

La Figura A.6 muestra la porosidad de un lecho de D=0.2 m para distintos tamaños de partículas. Puede observarse que aunque el lecho esté lleno de partículas monodispersas y esféricas, cuando el diámetro de las partículas se acerca al diámetro del ducto, la porosidad es menor que en el caso que el lecho se empacara con partículas pequeñas. La Figura A.7 ayuda a comprender este fenómeno.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 d/D P o ro si d a d co n m o n o d is p er sas

Figura A.6. Representación de la ecuación (A.8) para distintos tamaños de partículas esféricas y para un único D=0.2 m.

Figura A.7. Ductos empacados con partículas de diámetro próximo a D vs lechos rellenos con partículas pequeñas.