ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 1088
ACERCAMIENTOINTUITIVOALCONCEPTODEFUNCIÓNDERIVADA
JoséCarlosCortésZavala
FacultaddeFísicoMatemáticas,UniversidadMichoacana México [email protected]
Campodeinvestigación: TecnologíasAvanzadas Nivel: Medio
Resumen.Enelsiguienteartículoseproponeunacercamientonuméricoygráficoalconcepto dederivadaydefunciónderivada.Paraelloseproponeiniciarintroduciendolasideasde diferencias,incrementosyrazóndeincrementos.Elqueestoescribediseñoydesarrolloun softwaredeapoyoalaintroduccióndeestasideas.Paraabordarlatemáticaseexponenideas teóricas,unaexposicióndelopropuestoenelsoftwareyalgunosresultadosobtenidos.
Palabrasclave:derivada,tecnología,visualización
Introducción
Diversosinvestigadoresseñalanlaimportanciadeintroducirelconceptodederivadaa travésdelusoderazonesdecambio.Basadoenestáideainicialsediseñoydesarrolloun software,quehemosdenominado“FuncionesyDerivadas”.Enelsoftwarepropuesto (Cortés.2002)seincorporaronactividadesqueresaltanlosaspectosrelacionadoscon diferencias,incrementosyrazóndeincrementos,setomacomobaselasideasvisuales. Hughes(1990)haobservadoquemuchosestudiantespuedencalcularalgebraicamente lasderivadasdediversasfunciones,peronosoncapacesdedeterminarenunagráficaen quélugareslafuncióntienederivadapositivayencualesnegativa.Además,laautoranota quepocasvecesseutilizaunacercamientonuméricoparaenseñaresteconcepto.Confrey (1993) indicaque la presencia de tablasnuméricaspuede (1) iluminarlaconexión funcionaldelosvalorescontenidosenellasy(2)lapresentaciónalgebraica.Porsuparte Scher(1993)realizóunestudiosobrelautilizacióndemúltiplesrepresentacionespara conceptualizarladerivada.Elautorconcluyequeexistelanecesidaddepromovereluso detalesrepresentacionesparaqueelestudianteobtengaunentendimientoadecuadode losconceptosdelcálculo.Tambiénmenciona,porejemplo,que“lanociónderazónde cambiodebeseraccesibleparatodoslosestudiantes”(Scher,1993,p.16).
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Sabemos,conbaseendiversosestudios,queelconceptodederivadaestratadoparasu enseñanzaconmétodospuramentealgebraicosloscualesocultaninformaciónrelevante parasuaprendizaje.Eltratamientonuméricoygraficopocasvecesesusadoycuandolo essolamentesirvecomounaintroducciónalprocesoalgebraico.Propuestascomolade Duval(1988,1993y1995),Confrey(1993),Scher(1993),Mejía(1997),Hitt(2002)y Pluvinage(2005)mencionanlaimportancia,quetieneparaelaprendiz,elmanejográfico ynumérico.Losaspectosnuméricos,gráficosyalgebraicossonrepresentacionesdelos objetosmatemáticosycadaunodeellospresentaciertotipodeinformacióndelobjeto, ademáspermitenciertotipodeactividadescognitivasenelsujeto.Cuandosolamentese usauntipoderepresentaciónsecorreelriesgo,comolomencionaDuval(1988),de confundiralobjetoconlarepresentación,porloquecomometodologíadetrabajo,este investigador,proponeelusodemúltiplesrepresentacionesdeunobjeto.
Comoyasemenciono,enelpárrafoanterior,cadarepresentacióndejavisibleuntipode información,perotambiénocultaotraycadaunadeellasnospermiterealizarciertotipo deoperaciones.Por ejemplo:Sí tenemoslafuncióncuya representación algebraica es: f(x) x3 2x2 x2,sugráficaestárepresentadaenlafigura1yevaluadaen algunosvaloresnuméricosdacomoresultadolatabla1.
Figura1 Tabla1
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¿Encuáldeellasnosbasaríamosparaafirmarquelafuncióntienedosraíces complejas?
¿Cuáldeellasnospermitevisualizarenqueintervaloslafunciónesdecrecientey enquecreciente?
¿Cuáldeellasnospermiterealizarlasiguienteoperaciónlim f(x)
a
xo ?
¿Encuálpodemosvisualizarenformamásrápidaque f'(2)!0?
Paracontestaralgunasdeestaspreguntasesnecesariocontarconexperienciaenel manejodelregistroseleccionadoyestaseobtienedetrabajarencadarepresentación.Es enestesentidoqueDuval(1988)mencionaqueesnecesariorealizar“tratamiento”en cadasistemaderepresentaciónyconversiónentrerepresentacionesconlafinalidadde lograrunaarticulaciónentrerepresentacionesquenospermitiráacercarnosalconcepto
matemático.
Dentro del desarrollo de la presente experimentación se detectó que la idea de incrementodeunavariablenoesentendidafácilmenteporlosestudiantes,locual dificultaentenderlarazóndecambioyporsupuestoelconceptodederivada.
LaPropuesta
Elplanteamientopropuestoenelsoftwareseubicadentrodelateoríadesistemasde representaciónsemióticos,porloqueelsoftwaredeberápermitirlamanipulaciónde diferentesrepresentacionesrelativasadiferentesregistrosderepresentación,ademásde motivar las tareas de conversión entre representaciones; es decir, deberá permitir tratamiento de representaciones en cada uno de los registros y conversión entre representaciones.
ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 1091 Tratamientonumérico
Seproponeunacercamientonuméricoalconceptodederivada,atravésderazónde cambio.Unprimeracercamientoparalograrloesintroducirlasprogresionesaritméticasy motivaralestudianteadesarrollarestrategiasmanipulandoincrementosquelepermitan resolverlosejercicios.Elproponerunacercamientodiscretoalconceptodederivada(a travésderazonesdecambio)permitequeelestudiantetrabajeconelementosqueparaél sonconcretos;además,posteriormentesepuedeintroducirlapendientedeunarecta comolarazóndeincrementos,esdecir,darsignificadoaloquerepresentaunarazónde cambio.
ProgresionesAritméticasparaIntroducirlanocióndeDiferenciadedosdatos
EltemadeProgresionesAritméticasseabordaencuatroniveles(fig.2),conelobjetivode iniciarunacercamientonuméricoalconceptodeRazóndeCambio.
Figura2
ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 1092 IncrementosdeVariables
EneltemadeIncrementoselobjetivoesintroducirestanociónenlosestudiantes. Proponiendounprimeracercamientográfico(fig.3)yseabordaeltrabajoconcuatro niveles.
Figura3 RazonesdeCambio
Bajo este acercamiento discreto al concepto deRazóndeCambio selogra que el estudiantetrabajeconelementosqueparaélsonconcretos.Además,sepuedeintroducir despuéslapendientedeunarectacomolarazóndeincrementos,esdecir,darsignificado aloquerepresentaunarazóndecambio.LaopciónRazóndeCambioseabordacomoel cocientededosincrementos,obteniéndoseunanuevafunción.Sepuedenseleccionar diferentes tipos de funciones. Si se Selecciona una función cúbica de la forma,
d cx bx ax x
f( ) 3 2 segeneranaleatoriamentelosparámetrosa,b,cyd(fig.4y5).
ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 1093 TratamientoGráfico
Eltratamientogeométricoqueproponemosentornoalconceptodederivadasiempre partedeunaLíneaSecantequeseconvierteenLíneaTangente.Enrelaciónconloanterior Wenzelburguer(1993p.3)menciona:
“Normalmenteseusaelproblemadelatangentegeométricacomomotivaciónparaintroducirla derivada.Estemétodotienemuchasdesventajasporquenoesfácildeentenderqueellímitedela pendientedeunafamiliadesecanteseslapendientedelatangentealacualsellamaderivada. Además,noseveunaconexióninmediataentreunatangentegeométricaqueesunfenómeno estáticoyeldinamismodeunaderivadaquedescribeelcambiorelativodeunamagnitudcon respectoaotra.”
Lapropuestaqueaquíserealizavaenestesentidoyconsideramosqueuntratamiento gráficodelalíneasecante,delalíneatangentedelafunciónrazóndecambioydela funciónderivadaserviráparafranquearestabarrera.Acontinuaciónexponemosestas ideas:
Primeramenteintroducimosgráficasdefuncionesdelaformageneral,porejemplouna funciónpolinomialdelaforma f(x) ax3 bx2 cxd,enlacualtenemosparámetros manipulablesa,b,c,ydparamodificarlafunciónpolinomial.Podemosseleccionarel trazarunaLíneaSecante(Figura6)ounaLíneaTangente(Figura7)olaGráficadela FunciónRazóndeCambio(Figura8)olaGráficadeladerivada(Figura9)obteniendo,de acuerdoalaselección,latablacorrespondiente.
ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 1094 Figura8 Figura9
Atravésdelusodeestasactividadessepretendequeelestudiantecomprendalanoción deincremento,derazóndecambio,decómolalíneasecanteseencuentrarelacionada conlarazóndecambio,decómolatangenteserelacionaconlarazóndecambiocuando elincrementodexsehacepequeño,decómoalgraficarlaspendientesdelalíneasecante seobtienealgoparecidoalagráficadeladerivada,queasuvezeslagráficaobtenidade laspendientesdelalíneatangente.
Experimentación
Laexperimentaciónsepracticóconcincoestudiantesdebachilleratodurantedocehoras, repartidasencuatrosesiones.Setrabajóenunasalaequipadacontrescomputadoras,un pizarrónydoscámarasdevideo.Seformarontresequiposdetrabajo(doscondos estudiantesyunodeuno)ycadaunodeellostrabajóenunacomputadoraconel softwaredesarrollado.Enlaprimerasesiónsediounainstrucciónsobrelanavegaciónen elpaquete,paraqueenlassesionessiguienteselestudiantenavegaralibrementelos contenidospermitidosenelsoftware.Elinstructorsedesempeñóbásicamentecomoun observador pero podíaintervenir para contestar algunas preguntascuando le eran requeridasoparahacerpreguntasquepropiciaranquelosestudiantesencontraranporsí
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mismoslaestrategiacorrecta.Losestudiantespodíancomunicarselibrementelasideaso lasestrategiasdesolución,lascualesfuerongrabadasenvideo.
Seexperimentóconlapartedelsoftware correspondientealtratamiento numérico (progresiones,incrementosyrazóndecambio).Primeramente,setrabajóconelapartado deprogresionesaritméticas.Elsoftwaregenera,enformaaleatoria,unatablaenlacual sepresentanespaciosvacíos,siendolatareadelusuarioelllenarlos(figura1);elsoftware realizalaevaluacióndeldatointroducidoymuestrasiescorrectooincorrecto.Esta opciónpresentaunaintroducciónycuatroniveles.
Observacionesgenerales
Losintegrantesdelosequiposnotuvieronningúnproblemaenlanavegaciónconel softwareyentendieronrápidamentelatareapordesarrollar.Tuvieronalgunosconflictos paraencontrarlaestrategiaadecuada,peroalfinallolograron.
Análisisdelaexperimentaciónenrelaciónconloscontenidospresentados
Elanálisisde estaexperimentaciónsecentraráenexplicar, conbaseenlasvideoͲ grabaciones,silasideasdeincrementodeunavariableyderazóndecambiofueron entendidasporlosestudiantes.Asimismo,esteanálisisseráunprimercontactopara vislumbrarlaposibilidaddequeunacercamientopormediodelafunciónrazónde cambiopermitaalosestudiantestransitaralconceptodederivada.
Opcióndeprogresiones
En estaprimera tarea (u opción) del software, se presenta a los estudiantes una introducciónaloqueesunaprogresiónaritméticaycuatronivelesdeejercicios.Todoslos estudiantesentendieronbienlaintroducciónylatareapordesarrollar.ElnivelIynivelII nopresentaronningúnproblemaparaencontrarlasoluciónrequeridaencadacaso.Pero
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enelnivelIIIynivelIV,fuemuydifícilparalosestudiantesdarunarespuestaadecuadaal tipodeejerciciopropuesto.Sólounequipodetrabajoencontróunaestrategiapara resolverlorequeridoenelnivelIII.Acontinuaciónsedescribecómofueeldesempeñodel equipoconrespectoalatareasolicitada.
ElizabethyLeticiaestánintentandoresolverelsiguienteejercicio:
Posición 1 6 25 42 52 53 81 Valor 4 14 52
Elizabeth:veamoscuántoes.[comienzaaescribirensulibreta,haciendocuentas]son17por2que son34ylesumamos52.
Investigador:¿Meexplicascómoloobtuviste?
Elizabeth:Del1al6hay5espacios.Séquesi1esiguala4yhay2espaciosentreunoyotro,yseva incrementandode2en2entoncesson42menos25parasacarlosespacios;multiplicadopor2,yle sumoelvalorde52.
Leticia:Sacamoselespacioquehaydeunladoaotroy,comoyasabemosquevade2en2,de52a 53hayunespacioylomultiplicamospor2.
Investigador:Esenúmeroqueobtuvieronesmuyimportante(el2).¿Cómolosacaron? Elizabeth:Muestraunatablaymedaunaexplicaciónsobreella.
Posición 1 2 3 4 5 6 Valor 4 6 8 10 12 14
Llenaronlatablaconlosvaloresquefaltabandel1al6,ydeterminaronqueseva incrementandode 2 en2cadaposición.Selessugirióque revisaran laopción de incrementosyladefiniciónderazóndecambio.Despuésderevisarlaopciónyla explicacióndeloqueesunarazóndecambio,concluyeron:
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1097 Elizabeth:¡Ya!Loquepasaesqueconelincrementoqueledamos,lopodemossacaraldividirel
incrementodexentreelincrementodey. Leticia:Esalrevés.
Elizabeth:Yyanosahorramosloqueestábamoshaciendo.
Comopodráobservarseparalasolucióndeejerciciosdeestetipoesnecesarioutilizarla razóndecambio,locualfuelogradoporesteequipo.Entareasposterioresyateníanesta ideaylaaplicaron.
Amaneradeconclusión
Pormediodelusodetablasdevaloresdefuncionesesposiblequelosestudiantes entiendanyusenlarazóndecambio.Conesto,puedenempezaraconstruirunanueva funciónyapartirdeella,loseducadorespuedenintroducirlafunciónderivada.
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