Topologia de lazos de orbidades para el producto simétrico de esferas

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(1)TOPOLOGIA DE LAZOS DE ORBIDADES PARA EL PRODUCTO SIMETRICO DE ESFERAS. por. David Ricardo Riveros Pacheco. Una tesis presentada al departamento de Matemáticas como parte de los requisitos para el grado de Matemático. Director: Bernardo Uribe. Universidad de los Andes Bogotá, Colombia Enero, 2007.

(2) Índice general 1. Preliminares 1.1. Nociones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Acciones de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Espacio de lazos libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3 3 5 11. 2. Cohomología Virtual 2.1. Definición del producto en homología . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Cálculo para las esferas pares . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Cálculo de la homología invariante de ΛG M para el n par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14 14 15. . . . . . . . . . . . . . . . . caso m = 3 y . . . . . . . .. 17. 3. Estr. anillo de los lazo libres prod.sim 3.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Conjetura Para el Caso de (S 1 )2 y (S n )3 , n par . . . . . . . . . . . . . .. 19 19 22. Bibliografía. 26.

(3) Introducción Consideramos M una variedad suave, compacta y con una orientación definida. Para ciertas aplicaciones por ejemplo las dadas en el campo de la física, es de particular interés considerar L(M ), el espacio de lazos asociado a M , es decir el espacio de funciones diferenciables de S 1 en M . Si además consideramos la acción de un grupo finito G sobre M podemos de manera natural pensar en investigar el conportamiento de dicho espacio bajo la acción natural de G que se induce sobre L(M ). Una eficiente y muy interesante vía para conocer y tratar todas las relaciones que se generan es la posibilidad de usar las herramientas algebraicas asociadas a una variedad topológica, en particular los grupos de cohomología y de homología. Sin embargo antes de proceder con tales herramientas, es pertimente y necesario dar un sentido concreto a las ideas de homología y cohomología para los espacios en cuestion, por ejemplo, qué podría ser una estructura cohomológica u homológica sobre los mismos. Es conocido que para una variedad compacta y finito dimensional, sus grupos de homología y cohomología son anillos por lo cual naturalemente querriamos que las estructuras definidas sobre L(M ) tengan unas propiedades similares, por supuesto eso hace necesaria la definición de un producto en una estructura homológica para L(M ). En 1999 Dennis Sullivan y Moira Chas, definieron en [C.S] un producto conmutativo en el espacio de lazos libre L(M ), para una variedad M suave, cerrada y orientable. Este producto induce en H∗ (L(M )) una estructura de álgebra de Gerstenhaber. En [C.S] el producto es definido a nivel de las cadenas. En 2002 Ralph Cohen, Jonh D.S. Jones y Jun Yan en [C.J.2], asumiendo M conexa logran describir el producto de Chas y Sullivan por medio de la sucesión espectral dada por la descomposición de L(M ) como el producto cartesiano de M con el espacio de lazos basados sobre la variedad Ω∗ (M ). El producto queda definido como el producto cup a nivel de las subvariedades de M con coeficientes en el anillo de Pontryagin H∗ (Ω∗ (M )), que para el caso en que M es una n-esfera resulta ser un anillo polinomial. En 2006 Ernesto Lupercio, Bernardo Uribe y Miguel A. Xicoténcalt en [L.U.X] toman el espacio de lazos del producto simétrico y generalizan la construcción de Cohen y Jones para este espacio. Los autores parten de una variedad suave, cerrada, compacta y orientable M dotada.

(4) §0.0. 2. con la acción de un grupo finito G y definen PG (M ) =. . g∈G Pg (M ). × g y Pg (M ) =. f : [0, 1] → M : f (0) · g = f (1), donde la acción de G sobre PG (M ) está dada por g · (f, h) = (fg , hg ) y fg (t) = f (t) · g. Con esta construcción demuestrá que la homología invariante bajo la acción del grupo G se descompone en tantas componentes como clases de conjugación de G junto con la acción de ciertos centralizadores del grupo. En nuestro trabajo estudiamos el caso particular en que M = (S 1 )m , bajo la acción del grupo de permutaciones en m elementos, dicha acción se da en el orden de las componentes. A lo largo del trabajo daremos las bases para probar que la homología del espacio de lazos del producto simétrico se descompone en dos partes: La primera de ellas corresponde  a H∗ ( g∈G M g × g) donde M g = {x ∈ M : x · g = x}, la segunda parte corresponde a la concatenación de los lazos. El escrito se divide en tres capítulos, en el primero de ellos mencionamos los resultados básicos Topología Álgebraica y de Toplogía de lazo que se requieren para poder comprender lo realizado en los siguientes dos capitulos. En el segundo capítulo nos concentramos en la homología de productos de esferas, junto con la acción del grupo de permutaciones. Hacemos la diferencia que existe en el caso de las esferas pares y en el de las esferas impares, finalizando con el calculo de la homología invariante bajo G cuando M es el producto de tres circulos. En el último capítilo se centra en el esrtudio de los espacios de lazos y se realizan dos cálculos explicito para dos y tres copias de circulos..

(5) Capítulo 1. Preliminares En este capítulo presentaremos algunos resultados sobre las homologías de ciertos espacios topológicos, que se usarán en los capítulos siguientes, también algunos ejemplos que ilustran dichos resultados. Varias demostraciones se omiten debido a lo extenso de las mismas o simplemente porque es posible hallarlas en varios textos básicos.. 1.1.. Nociones básicas. Todos los espacios que consideraremos tienen la estructura de CW-complejos, razón por la cual a continuación recordaremos la definición de los mismos. Definición 1.1.1. Se dice que un espacio topológico X tiene estructura de CW-complejo si puede ser construido inductivamente de la siguiente forma: i) Existe X 0 un subconjunto finito de X, que se denomina 0-esqueleto. ii) Inductivamente, dado un (n-1)-esqueleto X n−1 , se construye un n-esqueleto X n adjuntando n-celdas enα mediante funciones φα : S n−1 → X n−1 . Es decir que  X n es el espacio cociente de la unión disjunta X n−1 α Dαn bajo la identificación  x ≈ φα (x) para los x ∈ Sαn−1 . Entonces X n = X n−1 α enα donde cada enα es un n-disco abierto. iii) X =. . n≥1 X. n. donde A ⊂ X es abierto si para cada natural n, A ∩ X n es abierto. en X n . El típo de variedades que se estudiarán a lo largo de nuestro trabajo son n-esferas y producto de las mismas, naturalmente, estos espacios pueden ser dotados de una estructura de CW-complejo, esto nos permite estudiar en esta sección sus anillos de homología. Es conocido que estas homologías tienen una dependencia explícita de si n es par o impar. Daremos como lema la caracterización de dichos casos y lo probaremos para el caso en que se tiene el producto de dos copias de esferas pares y el producto dos de esferas.

(6) §1.1. 4. impares. Debido a que las esferas son variedades compactas conexas y orientables, el grupo H∗ ((S n )m ) puede dotarse de una estructura de anillo, mediante el producto definido por la intersección de transversal. Para una descripción más detallada de este producto el lector puede remitirse a [G.P] Lema 1.1.2. Sea M = (S n )m entonces se tiene que: ⎧ ⎨Λ [a , . . . , a ] 1 m H∗ (M ; Z) = ⎩Z [a , . . . , a ] / a2 , . . . , a2  1. 1. m. m. si n es impar si n es par. Para la demostración usaremos dos hechos conocidos. El primero de ellos es la dualidad de Poincaré, la cual dice lo siguiente: Teorema 1.1.3 (Dualidad de Poincaré). Sea M una variedad diferencial compacta y orientable de dimensión n, tenemos que para 0 ≤ k ≤ n existe un isomorfismo entre Hk (M ) → H n−k (M ) de la siguente manera. Para N ⊂ M con |N | ∈ Hk (M ), existe ω ∈ H n−k (M ) tal que para toda k-forma η, se tiene la siguiente igualdad:   η∧ω η= N. M. El segundo hecho es la fórmula de Künneth la cuál dice. H k (M × N ) ∼ =. (H p (M ) ⊗ H q (N )) p+q=k. Demostración. Se tiene que H∗ (S n × S n ) no es cero para los niveles 0, n y 2n ya que por la dualidad de Poincaré se tiene que: H0 (S n × S n ) ∼ = H 2n (S n × S n ) ∼ =Z Hn (S n × S n ) ∼ = H n (S n × S n ) ∼ =Z⊕Z H2n (S n × S n ) ∼ = H 0 (S n × S n ) ∼ =Z Por lo tanto, si a es un generador de H0 (S n × S n ), b, c son generadores de Hn (S n × S n ) y d es un generador de H2n (S n × S n ), geométricamente estos elementos se pueden ver de la siguiente forma: Sean x, y ∈ S n entonces d representa a S n × S n , b y c representan S n × {y} y {x} × S n respectivamente. Por último, a representa {x} × {y}. 1. Luego, si n es par tenemos las siguientes relaciones: d2 = d debido a que (S n × S n )  (S n × S n ) = S n × S n.

(7) §1.2. 5 db = bd = b pues (S n × S n )  (S n × {y}) = S n × {y} dc = cd = c ya que (S n × S n )  ({x} × S n ) = {x} × S n a = ad = a pues (S n × S n )  ({x} × {y}) = {x} × {y} b2 = 0 ya que (S n × {y})  (S n × {y}) = ∅ c2 = 0 debido a que ({x} × S n )  ({x} × S n ) = ∅ a2 = 0 pues ({x} × {y})  ({x} × {y}) = ∅ bc = cb = a ya que (S n × {y})  ({x} × S n ) = {x} × {y} Para este caso tenemos que todos los productos son conmutativos ya que la intersección transversal satisface que si |X| es la dimensión de la subvariedad X entonces X  Y = (−1)|X||Y | Y  X, la demostración de este hecho se puede encontrar en [G.P]. Luego, como las dimensiones de a, b, c y d son todas pares se obtiene la conmutatividad, de otro lado las relaciones anteriores muestrán que d actua como la identidad por lo cual se concluye que:   H∗ (S n × S n ) = Z [b, c] / b2 , c2 2. 2. El argumento para n impar es similar, la diferencia es que bc = (−1)n cb = −cb ya que n2 es impar, por lo que el producto de estos dos elementos es anticonmutativo, por lo cual se concluye que: H∗ (S n × S n ) = Λ [b, c]. 1.2.. Acciones de Grupos. Definición 1.2.1. Se dice que un grupo G actua sobre una variedad M si existe un homomorfismo φ : G → Diff(M ) tal que φ satisface las siguientes dos condiciones: i) Para todo x ∈ M , φ(e)(x) = x, donde e es el elemento identidad del grupo G. ii) Para todo g, h ∈ G y para todo x ∈ M , (φ(g) ◦ φ(h))(x) = φ(gh)(x)..

(8) §1.2. 6. Para simplificar la notación notaremos φ(g)(x) por g · x, por lo que las dos condiciones de la definición anterior se pueden reescribir como: i) e · x = x y ii) g · (h · x) = gh · x. Definición 1.2.2. Se dice que la acción de G sobre M es libre si dado x ∈ M tal que g · x = x esto implica que g = e. Se define para todo x ∈ M , el estabilizador de x como el conjunto Gx = {g ∈ G : g · x = x}. Es fácil ver que Gx es un subgrupo de G. Hay cierto tipo de espacios que surgen de acciones de grupos sobre variedades. Si un grupo G actua sobre una variedad M , se define la órbita de x por Orb(x) = {y ∈ M : g · x = y, para algún g ∈ G}, las órbitas de todos los elementos de M inducen una partición de la variedad. De otro lado se dice que x es un punto fijo bajo la acción de G si para todo g ∈ G, g · x = x, lo cual es equivalente a decir que Orb(x) = {x}. Definición 1.2.3. Sea M una variedad y G un grupo que actua sobre M , entonces definimos el espacio cociente M/G como el conjunto de las órbitas inducidas por la acción de G. La aplicación natural p : M → M/G que envia x en su órbita es sobreyectiva, por lo que M/G se puede ver como un espacio cociente de M con p como la función proyección. Parte importante de este trabajo será calcular la homología de ciertos espacios con acciones de grupos y de sus espacios cocientes. Para dar una idea de esto, presentamos a continuación un ejemplo que ilustrará las definiciones dadas anteriormente. Ejemplo 1.2.4. Sea M = S 1 × S 1 el Toro visto como el cociente de C por el retículo   Z + Z e2πi/6 , el cual se puede ver como:. Fig 1.1 El ángulo entre las rectas diagonales y las horizontales es π/3 y la longitud de cada uno de los segmentos de recta es de una unidad. Se define la siguiente acción de G = Z3 = {id, ρ1 , ρ2 } sobre el Toro, donde ρ1 rota a todo elemento del Toro 2π/3 radianes.

(9) §1.2. 7. alrededor del origen en el sentido opuesto de las manecillas del reloj, por lo tanto ρ2 rota a todo elemento 4π/3 radianes en el mismo sentido. Probaremos que la acción está bién definida, para esto podemos ver que este define una relación de equivalencia en C dada por: (x1 , y1 ) ∼ (x, y) ⇔ y1 = y + n sin (π/3) y x1 = x + n cos (π/3) + m : m, n ∈ Z Si rotamos 2π/3 radianes a un elemento de coordenadas (x, y) se obtiene (−x/2 − √ √ √ y 3/2, x 3/2 − y/2), mientras que al rotar (x + n/2 + m, y + n 3/2) se obtiene el √ √ √ punto con coordenadas (−x/2 − y 3/2 − m/2 − n, x 3/2 − y/2 + 3m/2), de donde se concluye que las imágenes de elementos de una misma clase de equivalencia caen en la misma clase de equivalencia. Queremos calcular la homología del cociente M/G para lo cual es necesario determinar los puntos fijos de la acción. No es dificil ver que hay tres puntos fijos, los cuales se muestran en la siguiente gráfica: B A O Fig 1.2 √ √ Las coordenadas de los puntos A y B son (1/2, 1/2 3) y (1, 1/ 3) respectivamente. Se puede tomar la triangulación de M que se muestra a continuación: O. O B. A O. O Fig 1.3. La anterior triangulación se puede proyectar a M/G y obtener una triangulación que consta de tres vértices O , A , B  , tres aristas y dos caras, por lo que podemos concluir que el número de Euler para M/G es 2, es decir que M/G es una superficie homotópica a S2. Para calcular H∗ (M )G , denominamos el conjunto de las caras por {α, β, γ, ψ, , φ} y al conjunto de las rectas por { 1 , . . . ,. 9}. (veanse las siguientes dos gráficas)..

(10) §1.2. 8. φ. ψ γ α β Fig 1.4. 2 9. 4. 1. 8. 7. 3. 6. 1. 5. 2. Fig 1.5. Tomamos entonces el complejo simplicial definido por la anterior triangulación de M . 0. ∂. - Z6. ∂-. Z9. ∂-. ∂. Z3. - 0. Donde ∂ es el operador frontera. Para calcular los generadores de la homología de M Ker∂ vemos que un generador para H2 (M ) es α + β + γ + φ + + ψ, mientras que como Im∂ los generadores de H1 (M ) son 1 y 2 y el de H0 (M ) puede ser el punto A. Es fácil ver que ρ1 envía a la cara α en la cara β y a la cara β en la cara γ, de igual forma ρ1 envía la cara en la cara ψ y a la cara ψ en la cara φ. De otro lado este mismo elemento envía a 9. 1. en. en. 8. 2,. a. ya. 2 8. en. en. 3 7.. ya. 3. en. 1.. Envía a. Al calcular H∗. (M )G ,. 4. en. 6,. a. 6. en. 5,. a. 5. en. 4,. a. 7. en. 9,. a. se tiene que como A y α + β + γ + φ + + ψ. son invariantes bajo la acción de G entonces H0 (M )G = H2 (M )G = Z. Por el contrario.

(11) §1.2. 9. ningún elemento en H1 (M ) es invariante, de esto se concluye que H1 (M )G = {0}. De lo anterior obtenemos que: H∗ (M )G = H∗ (S 2 ) = H∗ (M/G) Lema 1.2.5. Si G es un grupo finito que actua libremente sobre M , entonces H∗ (M/G : Q) ∼ = H∗ (M : Q)G . Demostración. Sea p : M → M/G la proyección natural, m = |G| y fijamos una triangulación para M/G. Si σ : ∆n → M/G es un n-simplex de la triangulación, por ser G finito y actuar libremente sobre M , se tiene que M es un espacio recubridor de M/G luego, existen m levantamientos σ̃i : ∆n → M . Debemos comprobar que estos levantamientos son efectivamente una triangulación para M . Sean σ y ρ dos n-simplex de M/G tal que la cara k-ésima del primero coincida con la cara l-ésima del segundo, esto se denotará por ∂k σ = ∂l ρ. Existen índices i y j tal que σ̃i ∩ ρ̃j = ∅, como ∂k σ̃i y ∂l ρ̃j son levantamientos de ∂k σ y ∂l ρ respectivamente, entonces ∂k σ̃i y ∂l ρ̃j deben coíncidir en M . Por último, notamos que si fijamos σ̃1 uno de los levantamientos de σ, el resto de ellos son de la forma g · σ̃1 para algún g ∈ G. Definimos un homomorfismo i∗ : H∗ (M/G) → H∗ (M )G de la siguiente manera: dado [σ] un generador de Hn (M/G) sea i∗ ([σ]) =. 1 m. g · [σ̃1 ] g∈G. Extendiendo linealmente obtenemos el homomorfismo deseado, no es dificil verificar la buena definición del homomorfismo, ya que para todo h ∈ G ⎞ ⎛ 1 1 1 g · [σ̃1 ]⎠ = hg · [σ̃1 ] = h·⎝ m m m g∈G. g∈G. g · [σ̃1 ]. g∈G. Por otra parte todo elemento de Hn (M )G debe ser una combinación de elementos de  la forma g∈G g · [σ̃] donde [σ] ∈ Hn (M/G), por lo que i∗ es sobreyectiva. Sea p∗ : H∗ (M )G → H∗ (M/G) el homomorfismo inducido por la proyección. Al componer estos dos homomorfismos se tiene que  (p∗ ◦ i∗ )([σ]) = p∗. 1 m. . m. [σ̃i ] i=1. =. 1 m. m. [p ◦˜ σ i ] = [σ] i=1. entonces i∗ : H∗ (M/G) → H∗ (M )G inyectivo, de donde se concluye que es un isomorfismo. A continuación se quiere probar que H∗ (M/G; Q) ∼ = H∗ (M ; Q)G , donde no es necesario que G actue libremente sobre M . Para esto hay que hacer la construcción de un espacio.

(12) §1.3. 10. topológico contráctil sobre el cual G actue de manera libre. La construcción de este espacio, que se denomina espacio clasificante de G se realiza de la siguiente forma. Se define EG(n) como el cociente:  Gn+1 × ∆n = (g0 , . . . , gn , t0 , . . . , tn ) : gi ∈ G, ti ∈ [0, 1] ,.  ti = 1. Donde. ⎧ ⎨t = t∗ ∀i i i (g0 , . . . , gn , t0 , . . . , tn )  (g0∗ , . . . , gn∗ , t∗0 , . . . , t∗n ) ⇔ ∗ ⎩ t = t∗ = i i  0 ⇒ xi = xi. Denotamos por [g0 , . . . , gn , t0 , . . . , tn ] a la clase de (g0 , . . . , gn , t0 , . . . , tn ). Claramente EG(n) se puede sumergir en EG(n + 1) mediante la siguiente identificación: [g0 , . . . , gn , t0 , . . . , tn ] → [g0 , . . . , gn , gn+1 , t0 , . . . , tn , 0] para cualquier gn+1 ∈ G. Luego, se define EG = lim −→EG(n). EG es un espacio contráctil.. definimos una acción de G sobre EG de la siguiente forma, g · [g0 , . . . , gn , t0 , . . . , tn ] =. [g · g0 , . . . , g · gn , t0 , . . . , tn ]. Esta acción es libre. Notamos por BG a EG/G. Definimos el espacio EG ×G M como el cociente (EG × M )/G donde la acción de G ∗ (M ) a H ∗ (EG × M ). sobre EG × G es la acción diagonal y por HG G. Teorema 1.2.6. Sea G un grupo finito que actua sobre un espacio M , entonces H∗ (M/G; Q) ∼ = H∗ (M ; Q)G . Daremos un esbozo de la prueba, para nosotros la mejor referencia es [G.G.K] pagina 197. En el lema 1.2.5 probamos que H∗ (M/G; Q) = H∗ (M ; Q)G en el caso en que la acción es libre. De manera similar se puede probar que H ∗ (M/G) = H ∗ (M )G . Tomando la proyección p : EG ×G M → M/G se obtiene una fibración sobre M/G donde p−1 ([x]) = BGx para todo x ∈ M . Usando la sucesión espectral de Leray para p, tenemos que esta colapsa en el segundo nivel, ya que Gx actua libremente en espacio EGx , de donde se concluye que H ∗ (BGx ) = H ∗ (EGx /Gx ) = H ∗ (EGx )Gx . Pero EGx es contractil, es decir, homotópico a un punto, por lo cual H 0 (BGx ) = Q y para todo k > 0, H k (BGx ) = 0. de lo anterior tenemos que E2pq = H p (M/G : H q (BGx )) = H p+q (EG ×G M ). Como resultado: H p (EG ×G M ) = H p (M/G : H 0 (BGx )) = H p (M/G : Q) Por otra parte H p (EG ×G M ) = H p (EG × M )G debido al lema 1.2.5. Usando la fórmula de Künneth y el hecho de que EG es contráctil a un punto H p (EG × M )G = H p (M )G ..

(13) §1.3. 1.3.. 11. Espacio de lazos libres. En esta última sección se dará el cálculo de la homología del espacio de lazos libres sobre las esferas de dimensión impar, para lo cual seguiremos la construcción dada en [C.J.J1] y usaremos la sucesión espectral de este mísmo artículo. Nos limitamos al caso de esferas de dimensión impar ya que son estas variedades con las que trabajaremos nuestros principales resultados concentrados en el último capítulo. Definimos el espacio de lazos para una variedad suave cerrada y orientable M de dimensión d, como L(M ) = C ∞ (S 1 : M ). Definimos la aplicación ev : L(M ) → M por: dado f ∈ L(M ), ev(f ) = f (0) y dada ∆ : M → M × M la inclusión diagonal, tenemos el siguiente diagrama: L(M ) × L(M ) ev×ev. M. ∆-. ?. M ×M. Denotemos por L(M )×M L(M ) al pullback del diagrama anterior y por ev∞ a la proyección de L(M ) ×M L(M ) a M por lo cual tenemos: ¯ ∆ -. L(M ) ×M L(M ). L(M ) × L(M ). ev∞. ev×ev. ?. M. ∆. ? - M ×M. ¯ es d. Un elemento Como la codimensión de la aplicación ∆ es d la codimensión de ∆ (f, g) ∈ L(M ) ×M L(M ) satisface f (0) = g(0) por lo que podemos definir: ⎧ ⎨f (2t) si 0 ≤ t < 1/2 f ∗ g(t) = ⎩g(2t − 1)si 1/2 ≤ t ≤ 1 De lo anterior tenemos que al tomar la construcción de Thom-Pontryagin para L(M ), existen aplicaciones H∗ (L(M ) × L(M )) → H∗−d (L(M ) ×M L(M )) y H∗−d (L(M ) ×M L(M )) → H∗−d (L(M )), y usando que H∗ (L(M ) × L(M )) ∼ = H∗ (L(M )) ⊗ H∗ (L(M )) obtenemos que la composición de las dos aplicaciones anteriores define un producto en H∗ (L(M )). El caso n = 1 es un poco más fácil que los demás así que este lo calculamos sin la necesidad de usar sucesiones espectrales. Ejemplo 1.3.1. Para el caso de S 1 tenemos que L(S 1 ) ≈ S 1 × Ω∗ (S 1 ) ≈ S 1 × Z.

(14) §1.3. 12. Debido a que todo elemento f ∈ L(S 1 ) está completamente determinado por f (0) ∈ S 1 y el número de vueltas que da f alrededor de S 1 tenemos que   H∗ (L(S 1 )) ∼ = H∗ (S 1 × Z) ∼ = H ∗ (S 1 ) ⊗ H∗ (Z) ∼ = Λ [a] ⊗ Z t, t−1 Otra forma de ver el producto en H∗ (L(M )) es definiendo inicialmente un producto sobre las cadenas y mostrando que este induce uno en homología, para lo cual seguiremos la notación del artículo [C.S]. Sea d = dim(M ), denotamos por Li el conjunto de las (i − d)-cadenas de L(M ) y  L∗ = i Li , si x ∈ Li este elemento se puede ver como una función de Kx → L(M ) donde para cada k ∈ Kx , x(k) : S 1 → M . Kx se denomina como el conjunto de los puntos marcados de x y es una subvariedad de M con dim(Kx ) = i. Dados x ∈ Li e y ∈ Lj definimos Kx•y como la intersección transversal de Kx y Ky . Ahora, definimos x • y : Kx•y → L(M ) por. ⎧ ⎨x(k)(2t) si 0 ≤ t < 1/2 x • y(k)(t) = ⎩y(k)(2t − 1) si 1/2 ≤≤ 1. Observamos que como dim(Kx ) = i y dim(Ky ) = j entonces dim(Kx•y ) = i + j − d por lo que x • y ∈ Li+j . Lema 1.3.2. Si x, y ∈ L∗ tenemos que ∂(x • y) = ∂x • y + (−1)|x| x • ∂y donde |x| es la dimensión de x. La demostración de este resultado se encuentra en [C.S]. Por el lema anterior se tiene que el producto definido en L∗ se extiende a homología pero su graduación es −d, por lo cual el producto se define Hi (L(M )) × Hj (L(M )) → Hi+j−d (L(M )). De otro lado defnimos el espacio de lazos basados sobre M de la siguiente manera: dado ∗ ∈ M , Ω∗ (M ) = {f ∈ L(M ) : f (0) = ∗}. Al tomar la función ev : L(M ) → M dada por ev(f ) = f (0) tenemos la siguiente fibración: Ω∗ (M ). - L(M ) ev. ?. M Esta fibración permite calcular H∗ (L(S n )) por medio de la sucesión espectral de Serre, la cual dependerá de H∗ (Ω∗ (S n )) y de H∗ (S n ), por lo que necesitaremos el siguiente resultado:. ⎧  ⎨Z t, t−1  si n = 1 n H∗ (Ω∗ (S ; Z)) = ⎩Z [t] si n > 1.

(15) §1.3. 13. Cabe mencionar que t ∈ Hn−1 (Ω∗ (S n )). Aplicando la sucesión espectral para la fibración que hemos obtenido y dualidad de Poincaré tenemos: E 2 ∼ = H p (S n ) ⊗ Hq (Ω∗ (S n )), y −p,q. como Hkn−k (Ω∗ S n ) ∼ = Z para cada k natural, el diagrama de la sucesión es el siguiente. para las esferas de dimensión impar. 3n − 3. H3n−3 (Ω∗ S n ). 2n − 2. Sn). H3n−3 (Ω∗ S n ) . H2n−2 (Ω∗. H2n−2 (Ω∗ S n ) . n−1. Hn−1 (Ω∗. Sn). Hn−1 (Ω∗ S n ) . 0. Z. Z. H 0 (S n ). H n (S n ). Todos los homomorfismos en la tabla son cero. Denotamos por i al generador de H n (S n ) y por σ al generador de H 0 (S n ). Usando la dualidad de Poincaré se puede considerar a i como la clase de un punto, mientras que σ se puede ver como S n . De otro lado tenemos que H∗ (Ω∗ (S n )) ∼ = Z [t] entonces denotamos por 1Ω la unidad de este anillo, el cual se puede considerar como el representante de los lazos constantes. Mientras tenemos que σ ⊗ 1Ω es la unidad, tambien tenemos que (i ⊗ 1Ω )2 = 0 ya que i2 = 0 debido a que la intersección tranversal de dos puntos en S n es vacía. Finalmente, vemos que (σ ⊗ t)2 = σ ⊗ t2 esto último es debido a que al intersectar transversalmente S n con S n resulta S n y el producto de t con t es t2 , por lo que si escribimos a = i × 1Ω y u = σ ⊗ t tenemos que estos dos elementos generan toda el algebra y por las relaciones antes mencionadas obtenemos: H∗ (L(S n )) = Λ [a] ⊗ Z [u].

(16) Capítulo 2. Cohomología Virtual 2.1.. Definición del producto en homología. La motivación para este trabajo se basa en el artículo [L.U.X], en el cual los autores generalizan las ideas de Chas y Sullivan presentadas en [C.S] para la homología del espacio de lazos libres de una variedad topológica. En este caso se trabajamos con un grupo finito G actuando sobre una variedad suave (diferenciable) cerrada y compacta M tal que al considerar el espacio cociente [M/G] y definir el espacio de lazos L [M/G] = [PG (M )],  donde PG (M ) = g∈G Pg (M ) × {g} y Pg (M ) = {f : [0, 1] → M : f (0)g = f (1)} sea posible definir una acción de G sobre PG (M ) por g(f, h) = (fg , hg ) donde fh (t) = f (t)g. Seguidamente, se prueba en [L.U.X] que tenemos: PG (M ) ×G EG ∼ =.   Pg (M ) ×C(g) EC(g) ∼ = L (M ×G EG) , (g). donde C(g) denota el centralizador de g y (g) denota la clase de conjugación de g, por lo cual tenemos que: H ∗ (LB [M/G] ; Q) = H ∗ (L(M ×G EG); Q) = H ∗ (L [M/G] ; Q) = H ∗ (PG (M ); Q)G . Estas consideraciones generaron el interés por determinar una estructura de anillo para la homología de PG (M ). La cual depende, en el caso particular que tratamos en el  capítulo 3, de la homología de g∈G M g × {g}, donde M g = {x ∈ M : x · g = x}, y de la  homología de los caminos sobre M . En este capítulo nos restringimos a g∈G M g × {g} que de ahora en adelante lo denotaremos por: ΛG M =.  g∈G. M g × {g} ..

(17) §2.1. 15. Para el caso en que M = (S n )m y G es el grupo de permutaciones en m elementos. A continuación damos la idea general para definir un producto en el conjunto H∗ (ΛG M ). Sean ([x] , g) ∈ H∗ (M g ) × {g} y ([y] , h) ∈ H∗ (M h ) × {h}, como M g ⊂ M y M h ⊂ M definimos: ([x] , g) · ([y] , h) = ([x  y] , gh) donde  denota la intesección transversal. Este producto está bien definido ya que al ser x ⊂ M g y y ⊂ M h tenemos que x  y ∈ M g ∩ M h ⊂ M gh . Para una mayor claridad, el lector puede remitirse a [L.U.X]. Como ya lo habíamos anticipado, trabajaremos con M = (S n )m y por las diferencias que implica la paridad de la dimensión, se debe tomar por separado el caso en que n es par del caso en que n es impar. De otro lado G es el grupo de permutaciones en m elementos y la acción de G sobre M está dada por: τ · (x1 , x2 , . . . , xm ) = (xτ (1) , xτ (2) , . . . , xτ (m) ). 2.1.1.. Cálculo para las esferas pares. Antes de dar el resultado haremos un calculo particular para ver las leves diferencias con respecto al caso en que n es impar, cabe mencionar que los producto definidos no se denotarán con cuñas ya que para las esferas pares el producto es conmutativo en virtud del lema 1.1.2. Ejemplo 2.1.1. Queremos estudiar el caso en que n es par y m = 3. Tomemos e = id, ρ1 = (1, 2, 3), ρ2 = (1, 3, 2), σ1 = (1, 2), σ2 = (1, 3) y σ3 = (2, 3), fi , ki generadores de Hn (S n ) y di , hi generadores de H0 (S n ). De allí tenemos que:   H∗ (M e ) ∼ = H∗ (S n × S n × S n ) ∼ = Q [(a; e), (b; e), (c; e)] / (a; e)2 , (b; e)2 , (c; e)2 Nuevamente es aquí donde se realizarán las intersecciones para poder definir el producto en el álgebra. Manteniendo la notación del ejemplo ?? sean (fi ⊗ fi ; σi ), (fi ⊗ di ; σi ), (di ⊗ fi ; σi ) y (di ⊗ di ; σi ) los generadores de H∗ (M σi ). Notamos que para σ1 , σ2 y σ3 tenemos las aplicaciones ∆i : S n × S n → S n × S n × S n . Por ejemplo para i = 1 dicha aplicación está definida por ∆1 (x, y) = (x, x, y); como H∗ (M σ1 ) ∼ = H∗ (S n × S n ), entonces esta aplicación induce un homomorfismo ∆1! H∗ (M σ1 ) → H∗ (M e ) donde ∆1! (f1 ⊗ f1 ; σ1 ) = (a + b; σ1 ), ∆1! (f1 ⊗ d1 ; σ1 ) = ((a + b)c; σ1 ), ∆1! (d1 ⊗ f1 ; σ1 ) = 2  (ab; σ1 ) = ∆1! (f1 ⊗ f1 ; σ1 ) /2 y ∆1! (d1 ⊗ d1 ; σ1 ) = (abc; σ1 ), por lo que se tiene que el generador para esta componente es (f1 ⊗ f1 ; σ1 ) el cual denotaremos por ασ1 . Observe. que la imagen bajo ∆1! de (ασ1 )2 es igual a (2ab; σ1 ). El mismo argumento se realiza.

(18) §2.1. 16. para σ2 y σ3 y se denotan los generadores por ασ2 y ασ3 respectivamente. Ahora bien, si tomamos ρ1 , como H∗ (M ρ1 ) ∼ = H∗ (S n ) denotamos los generadores de esta componente por (h1 ; ρ1 ) y (k1 ; ρ1 ), de nuevo tenemos que la aplicación ∆4 : S n → S n × S n × S n donde ∆4 (x) = (x, x, x), induce un homomorfismo ∆4! H∗ (M ρ1 ) → H∗ (M e ) donde ∆4! (h1 ; ρ1 ) = (ab + ac + bc; ρ1 ) y ∆4! (k1 ; ρ1 ) = (abc; ρ1 ). Tenemos que ∆4! (k1 ; ρ1 ) = ∆4! (h1 ; ρ1 )(c; e) = (ab + ac + bc; ρ1 )(c; e) = (abc; ρ1 ), por lo que el único generador para esta componente es (h1 ; ρ1 ) que denotaremos por αρ1 . Sin embargo, si tomamos ρ1 = σ1 σ2 tenemos que: ∆4! (h1 , ρ1 ) = (ab + ac + bc; ρ1 ) = ((a + b); σ1 )((a + c); σ2 ) = ∆1! (f1 ⊗ f1 , σ1 )∆2! (f2 ⊗ f2 , σ2 ) De lo anterior, un conjunto de generadores para el algebra es {a, b, c, ασ1 , ασ2 , ασ2 }. Debemos resaltar que tenemos las siguientes relaciones: ασ1 a − ασ1 b = ασ2 a − ασ2 c = ασ3 b − ασ3 c = 0 además, tenemos que como σ3 σ1 = σ1 σ2 , por lo tanto ασ3 ασ1 = ασ1 ασ2 . Podemos concluir que al tomar el ideal   I = a2k , (ασij )2 − 2ai aj , ασij ai − ασij aj , ασij ασjk − ασik ασij donde 1 ≤ k ≤ 3 y 1 ≤ i < j ≤ 3, el algebra se puede ver como: H∗ (ΛG M ) ∼ = Q [a, b, c, ασ1 , ασ2 , ασ3 ] /I Para el caso general se necesita la siguiente construcción algebraica. Dado G un grupo finito y A un anillo conmutativo con unidad, se denota por:   n ai gi : ai ∈ A, gi ∈ G. A [G] = i=1. Donde el producto y la suma se definen de forma natural, para mayor claridad remitirse a [S:L]. En nuestro caso existe un homomorfismo: φ : H∗ (ΛM G) → H∗ (S n )m [G] AL igual que en el ejemplo anterior sólo es necesario restringirse a las componentes de los M g donde g es una transposición, si los generadores para H∗ (M (i, j)) es (ai + aj ; (i, j)) es tiene que: φ(ai + aj ; (i, j)) = (ai + aj )(i, j)).

(19) §2.1. 17. Teorema 2.1.2. El anillo de homología de ΛG M para M = (S n )m , visto como subalgebra de H∗ (S n ) [G] tiene como conjunto de generadore a H∗ (S n )m [e] ∪ {ai + aj ; (i, j)} Demostración. Lo único que hay que demostrar es que para cualquier otro ciclo, el generador asociado es producto de los elementos dados. Esto se tiene por lo ssiguiente: Sea τ = (i1 , i2 , cdots, ij ) entonces el elemento generador de H∗ (M (i1 ,i2 ,cdots,ij ) )  es ( jk=1 ai1 ai2 . . . aˆik . . . aij ; (i1 , i2 , cdots, ij )) por lo que se tiene que j. (. ai1 ai2 . . . aˆik . . . aij ; (i1 , i2 , cdots, ij )) =. i=1. k=1. 2.1.2.. k  (ai1 + aik ; (i1 + ik )). Cálculo de la homología invariante de ΛG M para el caso m = 3 y n par. A continuación queremos dar el cálculo explícito de H∗ (ΛG M )G , para la misma elección de M y de G que en el ejemplo ??. Como hemos mencionado tomaremos a M = (S n )3 para n impar y G el grupo de permutaciones en 3 elementos. Recordamos que H∗ (ΛG M ) =. H∗ (M τ ). τ ∈G. Si se buscan los elementos invariantes bajo G de H∗ (ΛG M ), se deben tomar tres casos distintos, cuando el elemento está en H∗ (M e ), cuando está en H∗ (M σi ) y cuando está en H∗ (M ρi ). Empecemos por el último de los casos mencionados. Suponemos que x ∈ H∗ (M ρ1 ), es claro entonces que x es de la forma (y1 , ρ1 ) donde y1 es una combinación lineal de h1 y k1 (ver ejemplo ??) luego, dado τ ∈ G tenemos que (y1 , ρ1 ) · τ = (x2 · τ, ρτ1 ). Si variamos τ las posibilidades de ρτ1 son ρ1 o ρ2 , de allí que un elemento invariante debe ser la suma de dos elementos, uno en cada una de las componentes mencionadas. Recordando que bajo los homomorfismos definidos en el ejemplo ??, la imagen de (k1 ; ρ1 ) es ((a + b)(a + c); ρ1 ) y la de (h1 ; ρ1 ) es (abc; ρ1 ) mientras que las imágenes de (k2 ; ρ2 ) y ((h2 ; ρ2 ) son ((a + c)(a + b); ρ2 ) y (abc; ρ2 ) respectivamente. Entonces los elementos invariantes por la acción de G son x1 = (k1 ; ρ1 ) + (k2 ; ρ2 ) y x2 = (h1 ; ρ1 ) + (h2 ; ρ2 ) ya que sus imágenes en H∗ (M e ) son cero. Cualquier otra combinación involucra elementos de dimenciones distintas lo cual no es posible. Tomamos el caso de las componentes de las transposiciones. Por un argumento similar al anterior se puede concluir que todo elemento invariante debe ser la suma de elementos en cada una de las componentes correspondientes a las transposiciones, que sean todos.

(20) §2.1. 18. de la misma dimensión. Como las imágenes de (f1 , f1 ; σ1 ), (f2 , f2 ; σ2 ) y de (f3 , f3 ; σ3 ) son (a + b; σ1 ), (a + c; σ2 ) y (b + c; σ3 ) respectivamente, entonces al tomar la imagen de y1 = (f1 , f1 ; σ1 ) + (f2 , f2 ; σ2 ) + (f3 , f3 ; σ3 ) resulta invariante bajo la acción de G. Por argumentos similares tenemos que y2 = (f1 , d1 ; σ1 ) + (f2 , d2 ; σ2 ) + (f3 , d3 ; σ3 ), y3 = (d1 , f1 ; σ1 ) + (d2 , f2 ; σ2 ) + (d3 , f3 ; σ3 ) y y4 = (d1 , d1 ; σ1 ) + (d2 , d2 ; σ2 ) + (d3 , d3 ; σ3 ) son invariantes bajo la acción de G. Por último, revisamos el caso en que el elemento esta   en H∗ (M e ) = Q[a, b, c]/ a2 , b2 , c2 . Este debe ser z = a + b + c o la unidad que por el momento denotamos por z0 . Por lo tanto tenemos que: H∗ (ΛG M ) = z0 , z ⊕ y1 , y2 , y3 , y4  ⊕ x1 , x2  visto como módulo. Para finalizar deseamos ver qué tipo de relaciones existen entre los generadores, siguiendo las reglas del producto definidas en ??. Cálculando dichos productos tenemos las siguientes ecuaciones: z2 = 0 y1 z = y2 + 2y3 y12 = x1 y2 z = 2y3 y2 y1 = 3x2 y22 = 0 y3 z = y4 y3 y1 = x2 y3 yi = 0 si i = 2, 3, 4 y4 z = 0 y4 yi = 0 si i = 1, 2, 3, 4 x1 z = 3x2 x1 y1 = 4x2 x1 yi = 0 si i = 1, 2, 3, 4. x2 z = 0. x2 yi = 0 si i = 1, 2, 3, 4 x2 x1 = x22 = x21 = 0 por lo cual concluimos que si I es el ideal generado por las ecuaciones anteriores la estructura de anillo de H∗ (ΛG M )G está dada por: H∗ (ΛG M )G = z0 , z ⊕ y1 , y3  ⊕ x1 /I.

(21) Capítulo 3. Estructura de Anillo de Los Lazos Libres del Producto Simétrico Este capítulo se divide en dos partes, en la primera de ellas se estudiaremos el producto de lazos en PG (M ) para el caso en que M = (S n )m y G es el grupo de permutaciones en m elementos. Concluiremos con la representación de anillo de H∗ (PG (M )) para el caso en que M = (S 1 )2 y M = (S 1 )3 .. 3.1.. Definición. Sea M = (S n )m y G el grupo de permutaciones en m elementos donde la acción de G sobre M está dada por: (x1 , x2 , . . . , xm ) · g = (xg(1) , xg(2) . . . , xg(m) ) Recordemos la definición de PG (M ) dada en el capítulo anterior, así como la acción de G  sobre este espacio. PG (M ) = g∈G Pg (M )×{g} donde Pg (M ) = {f : [0, 1] → M : f (0) · g = g(1)}. La acción de G sobre PG (M ) se define de la siguiente forma, dado f ∈ Ph (M ) y g ∈ G, (f, h) · g = (f g , hg ) donde f g (t) = f (t) · g. Veamos que esta es una buena definición, para esto hay que verificar que f g ∈ Phg (M ) es decir que f g (0) · hg = f g (1). f g (0) · hg = (f (0) · g) · (g −1 hg) = f (0) · hg = f (1) · g = f g (1) Tomando f ∈ Pg (M ) entonces f : [0, 1] → M en el caso en que M = (S n )m , f se puede ver como (f1 , f2 . . . , fm ) donde fi : [0, 1] → S n , de otro lado todo elemento de G lo podemos ver como el producto de ciclos disjuntos, supongamos que g = g1 g2 · · · gk ,.

(22) §3.1. 20. entonces si gj = (i1 , i2 , . . . , ij ) se tiene que: ⎧ ⎨f gj (l) si l ∈ {i1 , i2 , . . . , ij } g fl j = ⎩f de lo contrario l. por lo que si consideramos las componentes de f con indices en {i1 , i2 , . . . , ij }, la acción de gj sobre estos nos permite ver que fi1 (1) = fi2 (0), fi2 (1) = fi3 (0), . . . , fij (1) = fi1 (0), es decir que si tomamos fi1 ∗ fi2 ∗ · · · ∗ fij este se puede ver como elemento de L(S n ). ∼ L((S n )k ) ≈ ×k L(S n ). De lo anterior se concluimos que Pg (M ) = i=1. Sabemos que existe en H∗ (L(M )) un producto definido en el capítulo 1, como los Pg (M ) son homotopicos a productos de L(M ), se desea inducir un producto en PG (M ) de manera similar. Para definir el producto en este espacio recordemos que PG (M ) =  g∈G Pg (M ) × {g} por lo que: H∗ (PG (M )) =. H∗ (Pg (M ) × {g}) g∈G. Definamos las siguientes dos aplicaciones ev0 : PG M → M y ev1 : PG M → M por ev0 (f ) = f (0) y ev1 (f ) = f (1) y sea ∆ : M → M × M la aplicación diagonal, entonces se tiene el siguiente diagrama: Pg (M ) × Ph (M ) ev0 ×ev1. M. ∆-. ?. M ×M. Sea Pg (M )ev0 ×ev1 Ph (M ) el pullback de la anterior fibración donde ev∞ : Pg (M )ev0 ×ev1 Ph (M ) → M es la proyección, entonces se tien el siguiente diagrama conmutativo: ¯ ∆ -. Pg (M )ev0 ×ev1 Ph (M ). ev0 ×ev1. ev∞. ?. M. Pg (M ) × Ph (M ). ∆. ? - M ×M. Como la codimensión de ∆ es igual a la dimensión de M lo mismo sucede con la codi¯ Tomando la construcción de Thom-Pontryagin se obtiene una aplicación mensión de ∆. de Hp (Pg (M ))⊗Hq (Ph (M )) → Hp+q−d (Pgh (M )) donde d es la dimensión de la variedad, esta aplicación define el producto en H ∗ (PG (M )). El siguiente ejemplo ilustra la forma en que se concatenan los lazos en PG (M ). Ejemplo 3.1.1. Sea G el grupo de permutaciones en 5 elementos y tomemos τ = (1, 2, 3)(4, 5), σ = (4, 3)(5, 2) y fτ ∈ Pτ (M ), gσ ∈ Pσ (M ), para poder concatenar fτ.

(23) §3.1. 21. y gσ se debe tener que fτ (0) = gσ (0) supongamos que fτ (0) = (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) y fτ = (f1 . . . , f5 ), gσ = (g1 . . . , g5 ) entonces podemos ver a estas dos funciones como los siguientes dos graficos respectivamente: x1. x2. x3. x4. x5. x1. x2. x3. x4. x5. Fig 3.1. x1. x2. x3. x4. x5. x1. x2. x3. x4. x5. Fig 3.2 Queremos concatenar estas dos funciones de tal forma que fτ ∗ gσ ∈ Pτ σ (M ), como τ σ = (1, 5, 3)(2, 4) tomemos fτ ∗ gσ = (f1 ∗ g2 , f2 ∗ g3 , f3 ∗ g1 , f4 ∗ g5 , f5 ∗ f4 ) esta nueva función se puede ver como la unión de los diagramas anteriores en cuyo caso nos queda: x1. x2. x3. x4. x5. x1. x2. x3. x4. x5. Fig 3.3.

(24) §3.2. 22. En general dados τ, σ ∈ G, fσ ∈ Pτ (M ), gσ ∈ Pσ (M ) y donde fτ = (f1 , f2 . . . , fm ), gσ = (g1 , g2 , · · · , gm ) donde fτ (0) = gσ (0) se define: fτ ∗ gσ = (f1 ∗ gτ (1) , f2 ∗ gτ (2) , . . . , fm ∗ gτ (m) ). El producto en H∗ (PG (M )) se puede ver de la siguiente manera, dados [X] ∈ H∗ (Pg (M )) e [Y ] ∈ H∗ (Ph (M )), tomamos (evg × evh ) ([X] , [Y ]) = (x, y), donde la aplicación evg toma un siplex de lazos en Pg (M ) y lo envia a el conjunto de los punto iniciales de cada lazo, paso seguido intersectamos tranversalmente a las subvariedades x e y lo cual se denotará por x  y y luego tomamos la imagen inversa de evgh tal que para todo z ∈ x  y se asigna la función fz ∗ gz donde fz ∈ Pg (M ) y gz ∈ Ph (M ), esto es lo que se denomina [X] ∗ [Y ]. H∗ (Pg (M )) × H∗ (Ph (M )). ∗-. evg ×evh. evgh. ?. H∗ (M ) × H∗ (M ) g. 3.2.. H∗ (Pgh M ). h. ? - H (M gh ) ∗. Conjetura Para el Caso de (S 1 )2 y (S n )3 , n par. Concluimos este trabajo con la conjetura del cálculo de H∗ (PG (M )) para los casos en que M es el producto de dos y tres copias de S 1 respectivamente. Ejemplo 3.2.1. Sean M = S 1 × S 1 y G el grupo de permutaciones en dos elementos, entonces se tiene que si (1, 2) = ρ, PG (M ) = Pe (M ) × {e}  Pρ (M ) × {ρ}, de un lado Pe (M ) ∼ = L(S 1 ) × L(S 1 ), mientras que Pρ (M ) ∼ = L(S 1 ), entonces tenemos que: H∗ (Pe (M ) × {e}) ∼ = H∗ (L(S 1 ) × L(S 1 )) ∼ = H∗ (L(S n )) ⊗ H∗ (L(S 1 ))       ∼ = Λ [a] ⊗ Q t, t−1 ⊗ Λ [b] ⊗ Q s, s−1   = Λ [a, b] ⊗ Q t, t−1 , s, s−1 De otro lado se tiene que H∗ (Pρ (M )) ∼ = H∗ (L(S 1 )). Consideraremos la estructura de módulo de la homología de PG (M ), para esto tenemos H∗ (L(S 1 ) = H∗ (S 1 ) ⊗ H ∗ (Ω∗ (S 1 )), donde H∗ (S 1 ) se está identificando con H∗ (M ρ ). Este espacio como modulo tiene dimensión 2 donde sus generadores están en los grados 0 y 1 de homología, siguiendo las mismas ideas del ejemplo ?? denotemos a estos por c y d respectivamente, por lo   que se tiene que H∗ (Pρ (M )) = c, d ⊗ Q u, u−1 . Ahora quremos definir el producto entre los generadores de estas dos componentes. Recordando de nuevo que a nivel de las variedades c2 = d2 = cd = 0, entonces hace falta cálcular el producto de.

(25) §3.2. 23. H∗ (Pe (M )) × H∗ (Pρ (M )) → H∗ (Pρ (M )). Sea f = (f1 , f2 ) ∈ Pe (M ) es decir (f1 , f2 ) : [0, 1] → S 1 × S 1 de tal forma que [(f1 , f2 )] = ti sj con i, j ∈ Z y sea g = (g1 , g2 ) ∈ Pρ (M ) es decir (g1 , g2 ) : [0, 1] → S 1 × S 1 tal que [(g1 , g2 )] = uk para k ∈ Z, entonces al tomar f ∗ g = (f1 ∗ g1 , f2 ∗ g2 ) ∈ Pρ (M ) se tiene que (f1 ∗ g1 ) ∗ (f2 ∗ g2 ) : [0, 1] → S 1 . Luego sólo hace falta ver el número de vueltas que da esta función sobre S 1 . Se tiene que son tantas como la suma de vueltas de cada una de las funciones por separado, ya que si tomamos f1 , f2 , g1 , g2 como elementos del grupo fundamental de S 1 , se tine que bajo nuestras hipotesis [(f1 ∗ g1 ) ∗ (f2 ∗ g2 )] = [f1 ] + [g1 ] + [f2 ] + [g2 ], es decir que [f ∗ g] = ui+j+k , de otro lado g ∗f = (g1 ∗f2 , g2 ∗f1 ) y por un argumento similar tenemos que [g ∗ f ] = [f ∗ g]. Podemos denotar a los generadores de H∗ (Pe (M )) por: ⎧ ⎪ ⎪ 1 ⊗ ti sj ⎪ ⎨ a ⊗ ti sj ⎪ ⎪ ⎪ ⎩b ⊗ ti sj Mientras que los generadores de H∗ (Pρ (M )) los podemos denotar por: ⎧ ⎨c ⊗ u k ⎩d ⊗ u k Empecemos por notar que (a⊗ti sj )(d⊗uk ) = (c⊗ui+j+k ), por lo que podemos limitarnos en H∗ (Pρ (M ) a los elementos de la forma d ⊗ uk , por lo visto en el ejemplo ?? tenemos las siguientes relaciones:. (1 ⊗ ti sj )(d ⊗ uk ) = (d ⊗ ui+j+k ) (a × ti sj )(d ⊗ uk ) + (b × ti sj )(d ⊗ uk ) = (c ⊗ ui+j+k ) + (−c ⊗ ui+j+k ) = 0 (d × uk )(d ⊗ us ) = (d2 ⊗ uk+s ) = 0 Estas relaciones definen el producto en H∗ (PG (M )), por lo que si I es el ideal generado   por d2 , ad + bd , se tien que     H∗ (PG (M )) = Λ [a, b] ⊗ Q t, t−1 , s, s−1 ⊕ d ⊗ Q u, u−1 /I Ejemplo 3.2.2. Tomemos M = (S n )3 y G el grupo de permutaciones en tres elementos, continuemos con la notación del ejemplo ?? sean e = id, σ1 = (1, 2), σ2 = (1, 3),.

(26) §3.2. 24. σ3 = (2, 3), ρ1 = (1, 2, 3) y ρ2 = (1, 3, 2), por lo que tenemos las siguientes igualdades:   H∗ (Pe (M )) = Q [a1 , a2 , a3 ] / a2 , b2 , c2 ⊗ Q [t1 , , t2 , , t3 ]   H∗ (Pσ1 (M )) = d1  ⊗ Q t(1,2)   H∗ (Pσ1 (M )) = d2  ⊗ Q t(1,3)   H∗ (Pσ1 (M )) = d3  ⊗ Q t(2,3)   H∗ (Pρ1 (M )) = e1  ⊗ Q t(1,2,3)   H∗ (Pρ2 (M )) = e1  ⊗ Q t(1,3,2) Conjeturamos que las ecuaciones que describen el producto son las siguientes: 1 +i2 +k i3 (1 ⊗ ti11 ti22 ti33 )(d1 ⊗ tk(1,2) ) = (d1 ⊗ ti(1,2) t3 ) 1 +i3 +k i2 (1 ⊗ ti11 ti22 ti33 )(d2 ⊗ tk(1,3) ) = (d2 ⊗ ti(1,3) t2 ) 2 +i3 +k i1 (1 ⊗ ti11 ti22 ti33 )(d3 ⊗ tk(2,3) ) = (d1 ⊗ ti(2,3) t1 ) 1 +i2 +i3 +k ) (1 ⊗ ti11 ti22 ti33 )(e1 ⊗ tk(1,2,3) ) = (e1 ⊗ ti(1,2,3) 1 +i2 +i3 +k ) (1 ⊗ ti11 ti22 ti33 )(e2 ⊗ tk(1,3,2) ) = (e2 ⊗ ti(1,3,2) 1 2 1 +k2 )(d2 ⊗ tk(1,3) ) = (d1 d2 ⊗ tk(1,2,3) ) (d1 ⊗ tk(1,2) 2 1 +k2 1 (d1 ⊗ tk(1,2) )(d3 ⊗ tk(2,3) ) = (d1 d3 ⊗ tk(1,3,2) ) 2 1 +k2 1 ) = (d2 d3 ⊗ tk(1,2,3) ) )(d3 ⊗ tk(2,3) (d2 ⊗ tk(1,3). di ej = 0 para i = 1, 2, 3; j = 1, 2 d2i = 0 para i = 1, 2, 3 Se puede deducir de las ecuaciones anteriores que H∗ (PG (M )) está completamente descrito por los elementos en la componente de la identidad y en las componentes de las transposiciones, más por lo visto en el cálculo final del capítulo 2, para hallar la parte invariante es necesario mantener todas las componentes. Nuestro objetivo es cálcular H∗ (PG (M ))G , para esto usamos el resultado del articulo [L.U.X] donde los autores prueban que H∗ (PG (M ))G =. H∗ (Pg (M ))C(g) (g). Donde (g) recorre las clase de conjugación mientras que C(g) es el centralizador de g, en nuestro caso se tiene que H∗ (PG (M ))G = H∗ (Pe (M ))G ⊕ H∗ (Pσ1 (M ))C(σ1 ) ⊕ H∗ (Pρ1 (M ))C(ρ1 )   Para cálcular los elementos invariantes de H∗ (Pe (M )) bajo G se tiene que en Q [a1 , a2 , a3 ] / a2 , b2 , c2 el elemento que generá es z = a1 + a2 + a3 , mientras que en Q [t1 , t2 , , t3 ] los invariantes.

(27) §3.2. 25. estan generados por α1 = t1 + t2 + t3 α2 = t1 t2 + t1 t3 + t2 t3 α3 = t1 t2 t3. Por lo que H∗ (Pe (M ))G = Λ[z] ⊗ Q [α1 , α2 , α3 ] De otro lado la parte invariante de las otras dos componentes sólo se ve afectada en la parte correspondiente a las subvariedades, es por esto que H∗ (Pσ1 (M ))C(σ1 ) = y1 , y3 Q[t(1,2) ] H∗ (Pρ1 (M ))C(ρ1 ) = x1 Q[t(1,2,3) ] Para concluir veamos el siguiente lema. Lema 3.2.3. Sea G grupo que actua sobre el anillo A y sea I un ideal de A, entonces (A/I)G ∼ = AG /I G , donde I G = {x ∈ G : x · g = x, para todo g ∈ G}. Demostración. Lo primero que hay que probar es que I G  AG , para lo cual tomemos y ∈ I G y x ∈ AG entonces xy ∈ I G de forma obvia. Definase el homomorfismo φ : AG → (A/I)G de la siguiente forma, φ(x) = [x], donde [x] denota la clase de x ∈ A/I, es claro que está bién definido, más aún este es un epimorfismo, por el teorema fundamental del homomorfismo, se tiene que: AG = ker(φ). A I. !G. Sea [x] ∈ Ker(φ), entonces para todo g ∈ G, g · x = x y x ∈ I, por lo que [x] ∈ I G , de otro lado se tiene de forma evidente que I G ⊂ Ker(φ), lo cual prueba el lema. En este caso tenemos que I G es el ideal dado en la ultima subsección del capítulo 2. Entonces se concluye que: H∗ (PG (M ))G = Λ[z] ⊗ Q[α1 , α2 , α3 , β1 , β2 , β3 ] ⊕ y1 , y3 Q[t(1,2) ] ⊕ x1 Q[t(1,2,3) ]/I G.

(28) Bibliografía [C.J.2] Cohen, Ralph. Jones, John D.S. A Homotopy Theoric Realization Of String Topology., Preprint:math.GT/0107187v2, 2002. [C.J.J1] Cohen, Ralph. Jones, John D.S. Yan,Jun The Loop Homology ALgebra Of Spheres and Projective Spaces., Preprint: math.AT/0210353v1, 2002. [C.S] Chas, Moira. Sullivan, Dennis. String Topology., Preprint: math.GT/9911159, 1999. [G.P] Guillemin, Victor. Pollack, Alan. Differntial Topology., Englewoods Cliffs, New Jersey, Prentice-Hall, 1974 [G.G.K] Guillemin, Victor. Ginzburg, Viktor. Karshon, Yael. Moment Maps, Cobordisms, and Hamiltonian Group Actions., American Mathematical Society, Mathematical Surveys and Monographs, Volume 98. 2002. 1975 [A:H] Hatcher, Allan. Algebraic Topology., Cambridge University Press, 2002. [L.U.X] Lupercio, Ernesto. Uribe, Bernardo. Xicoténcatl, Miguel. A. The Loop Orbifold Of The Symetric Product., Preprint:math.AT/0606573. [S:L] Serge, Lang. Algebra., Columbia University, New York, Addison-Wesley Publishing Company, 1971.

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