Núcleo y función de Shapley en juegos difusos

(1)

juegos difusos

David Orlando Alejandro Alem´

an Espinosa

Universidad de los Andes

Departamento de matem´

aticas

Asesor: Luis Jorge Ferro Casas

(2)

Firma

(3)

Abstract V

1. Introducci´on 1

2. Preliminares de juegos cooperativos 3

2.1. El n´ucleo . . . 4 2.2. Funci´on de Shapley . . . 5

3. Juegos difusos y extensión del núcleo 15 3.1. Núcleo de los juegos difusos . . . 16

4. Modelo de D.Butnariu, su núcleo y su función de Shapley 19 4.1. Juegos difusos con función de peso . . . 19 4.2. Función de Shapley . . . 21 4.3. Núcleo difuso . . . 30

5. Modelo de M.Tsurumi, su núcleo y su función de Shapley 35 5.1. Juegos difusos con forma de integral de Choquet . . . 35 5.2. Función de Shapley . . . 39 5.3. Núcleo difuso . . . 46

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En esta tesis extenderemos los conceptos de la teor´ıa cooperativa de juegos clásica a los juegos cooperativos difusos, los cuales permiten participaciones parciales de los jugadores en las coaliciones. Estudiaremos en particular los juegos difusos con función de peso y los juegos difusos con forma de integral de Choquet. Veremos como se extienden los conceptos clásicos de función de Shapley y de núcleo a los mismos, bajo nuevas axiomatizaciones.

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(7)

Introducci´

on

Los aspectos más importantes que se buscan solucionar en la teor´ıa cooperativa de juegos son responder a las preguntas de cómo se forman las coaliciones en relación a cómo estas mismas distribuyen su valor generado, entre sus integrantes [1]. En esta tesis veremos dos de las soluciones más fundamentales a la pregunta de cómo los integrantes de una coalición deber´ıan dividirse las ganancias. La primera de ellas es el núcleo; una solución que se asegura de que si el pago de los jugadores pertenece a este conjunto, entonces ninguna subcoalición de la coalición en cuestión puede separarse de esta y beneficiarse en el proceso. El núcleo puede ser tanto puntual, o no enumerable, o vac´ıo, dependiendo del juego que se esté considerando. Probaremos en particular que el núcleo no es vac´ıo para un tipo especial de juegos, llamados juegos convexos. En particular, la segunda solución que consideraremos va a pertenecer a este si el juego es convexo. Esta segunda solución recibe el nombre de valor de Shapley, la cual es la solución puntual más popular en los juegos cooperativos. El valor de Shapley, propuesto por primera vez por Lloyd Shapley en 1953 en un art´ıculo titulado .A _{value for n-persons games”[}₂_{], es} una solución que está basada en un conjunto de axiomas lógicos que la determinan. Se basa en la importancia de cada jugador en las coaliciones de las cuales puede hacer parte.

Clásicamente, la teor´ıa cooperativa de juegos considera que los jugadores en una coalición solo pueden tener participación total o nula. En esta tesis consideraremos los juegos cooperativos difusos, que son aquellos que consideran también que un jugador pueda tener una participación parcial en una coalición. Extenderemos los conceptos básicos de la teor´ıa clásica a los juegos difusos. Daremos un nuevo concepto de núcleo,

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propuesto por Xiaohui Yu y Qiang Zhang en ”The fuzzy core in games with fuzzy coalitions”[3] y veremos que la convexidad del juego implica nuevamente la no nulidad del núcleo. Estudiaremos dos modelos para este tipo de juegos: Juegos difusos con función de peso y juegos difusos en forma de integral de Choquet, propuestos en el 2007 por Dan Butnariu y Tomás Kroupa en ”Shapley mappings and the cumulative value for n-person games with fuzzy coalitions”[4] y por Masayo Tsurumi et al. en .A_shapley function on a class of cooperative fuzzy games”[5], respectivamente. Daremos nuevas axiomatizaciones en ambos casos, similares a la contraparte clásica, para encontrar los nuevos valores de Shapley. Finalmente, mostraremos que en los juegos difusos convexos el valor de Shapley de estos últimos dos juegos pertenece a el núcleo, mostrando as´ı que la relación más importante entre las dos soluciones se sigue manteniendo.

En el cap´ıtulo 2 veremos los conceptos básicos en la teor´ıa cooperativa de juegos clásica. Llamaremos juegos n´ıtidos a estos juegos para evitar ambigüedad. Definiremos el concepto de núcleo y demostraremos que la serie de axiomas de Shapley implican que el valor de Shapley existe y es único. Demostraremos también la contenencia de este en el núcleo si el juego es convexo; En el cap´ıtulo 3, definiremos los juegos cooperativos difusos y extenderemos las nociones básicas de los juegos n´ıtidos, incluido el concepto del núcleo; En el cap´ıtulo 4 estudiaremos el modelo de juegos difusos con función de peso, daremos una nueva caracterización para el valor de Shapley, veremos la forma expl´ıcita del núcleo y su relación con el valor de Shapley; En el cap´ıtulo 5 estudiaremos el modelo de juegos difusos con forma de integral de Choquet, cuya función caracter´ıstica es monótona no decreciente y continua con respecto a la tasa de participación de los jugadores, las cuales son dos propiedades de enorme valor que hacen que este modelo pueda ser aplicado de manera natural al extender un juego n´ıtido a uno difuso.

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Preliminares de juegos cooperativos

Comenzamos este cap´ıtulo con unas definiciones b´asicas correspondientes a la teor´ıa cooperativa de juegos cl´asica.

Definici´on 2.1. Un juego cooperativo n´ıtido es una pareja(N, ν)dondeN ={1, . . . , n}

denota el conjunto de jugadores y ν :P(N)7→ _R+ denota la funci´on caracter´ıstica del

juego, que le asigna un valor a cada subconjunto deN, que llamaremos coalici´on n´ıtida. Donde en particular se tiene que ν(∅) = 0.

Definici´on 2.2. Un juego cooperativo n´ıtido superaditivo es un juego (N, ν) tal que

ν(S∪T)≥ν(S) +ν(T)∀S, T ∈P(N), tal que S∩T =∅.

En esta tesis se considerar´an solo los juegos superaditivos ya que se asume que todos los jugadores son racionales y que por lo tanto dos coaliciones n´ıtidas disjuntas S, T

lograr´an siempre el m´aximo entre ν(S∪T) y ν(S) +ν(T).

Lo que quiere decir que cualquier juego cooperativo n´ıtido (N, ν) se puede volver superaditivo haciendo la transformaci´on ν(S ∪T) −→ m´ax{ν(S ∪T), ν(S) +ν(T)}, para todoS, T ∈P(N) disjuntos.

Denotaremos porG0(N) el conjunto de los juegos n´ıtidos superaditivos con n

juga-dores.

Definici´on 2.3. Un juego cooperativo n´ıtido convexo es un juego (N, ν) tal que ν(S∪ T) +ν(S∩T)≥ν(S) +ν(T)∀S, T ∈P(N).

Estos últimos son usados en una amplia variedad de aplicaciones. Como veremos en el lema 2.4 son básicamente juegos en los que el incentivo de que los jugadores se unan a una coalición aumenta a medida que el tamaño de la misma aumenta.

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2.1. El n´

ucleo

Dado que solo consideramos los juegos superaditivos, tenemos que es más eficiente para los jugadores formar la coaliciónN, llamada tambiénGran Coalición.

El interrogante ahora est´a en c´omo dividir el valorν(N) entre losN jugadores. Antes que nada hay que recalcar que estos pagos deben pertenecer al conjunto de imputaciones definido por I(ν) := {x∈_R+|

Pn

i=1xi =ν(N), xi ≥ν({i})}.

La primera condici´on, Pn

i=1xi = ν(N), nos dice que la suma de los pagos debe

ser igual a ν(N) como es de esperarse. La segunda condici´on nos dice que el pago del jugador i debe ser mayor a ν({i}) porque de lo contrario este se ver´ıa forzado a abandonar la gran coalici´on.

Una de las soluciones m´as conocidas es la del n´ucleo, definido por:

C :=

x∈_Rn

+

x∈I(ν),X

i∈S

xi ≥ν(S)∀S ∈P(N)

.

La condici´onP

i∈Sxi ≥ν(S),∀S ∈P(N) nos dice que ninguna coalici´on se opondr´ıa

en principio a la formación de la gran coalición ya que no hay manera de dividir ν(S) entre los miembros deS, de tal manera que todos reciban un mayor pago en comparación con el pago recibido al formar la gran coalición.

Note que el núcleo está definido por un número finito de desigualdades no estrictas. Por lo tanto el núcleo es un conjunto cerrado. Está contenido en la bola cerrada de radioν(N) centrada en el origen y por lo tanto es acotado. Es también compacto como consecuencia de estas dos últimas propiedades. Es además convexo ya que si x, y ∈ C y

t∈[0,1] entonces X

i∈N

xit+yi(1−t) = t

X

i∈N

xi+ (t−1)

X

i∈N

yi =tν(N) + (t−1)ν(N) = ν(N),

donde tambi´en se tiene que

(11)

y por ´ultimo si S∈P(N) entonces X

i∈S

txi+ (1−t)yi = t

X

i∈S

xi+ (1−t)

X

i∈S

yi

≥ tν(S) + (1−t)ν(S) = ν(S),

concluyendo quext+y(1−t)∈ C, y por lo tantoC es convexo. Por esto último se tiene que el núcleo o es vac´ıo, o es puntual, o es no enumerable. El siguiente teorema nos da una importante condición para el cual el núcleo no es vac´ıo.

Teorema 2.1. Si (N, ν) es un juego cooperativo n´ıtido convexo, entonces C 6=∅.

Probaremos este teorema al final de la siguiente secci´on.

Ahora, en la práctica el proceso de formación de coaliciones puede ser complicado y es factible que la formación de la gran coalición no tenga lugar. En este caso estar´ıamos interesados en encontrar los pagos de los jugadores para cualquier coaliciónS ∈P(N). Basados en esto definimos la restricción deν ∈G0(N) a S de la siguiente manera.

Definici´on 2.4. Sean ν ∈ G0(N), S ∈ P(N) y S 6= ∅. La restricci´on de ν a S es el

juego (S, νS₎ _donde _νS₍_T_{) =} _ν₍_T₎ _∀T _⊆_S_.

En este caso, y de manera an´aloga a lo anterior, estar´ıamos buscando los pagos en el conjunto de imputaciones restringido a S,

IS(ν) :=

x∈_Rn

+

n

X

i∈S

xi =ν(S), xi = 0 sii /∈S, xi ≥ν({i})∀i∈S

.

Notemos que S puede ser vista como la gran coalición relativa a T ⊆ S. El núcleo de (S, νS) se define análogamente como

C(νS) :=

x∈_Rn

+

x∈IS(ν),X

i∈T

xi ≥ν(T)∀T ⊆S

.

2.2. Funci´

on de Shapley

Lloyd Shapley propuso un concepto de solución puntual [2], conocido como el valor de Shapley, para el pago de los jugadores en la gran coalición que fuera lo más equili-brado posible y se basara en la importancia de cada jugador en el juego. En esta sección

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haremos unas ligeras modificaciones a las definiciones y axiomas hechos por Shapley ya que buscaremos tambi´en el valor de Shapley para todos los juegos restringidos (S, νS₎

deν ∈G0(N). Primero necesitaremos una definici´on:

Definici´on 2.5. Sean ν ∈G0(N) y S ∈P(N). Decimos que T ∈P(S) es un portador

en la coalici´onS siν(T∩W) =ν(W)∀W ∈P(S). Se denotar´a porC(S|ν) al conjunto de portadores en S para ν ∈G0(N)

Introducimos ahora la funci´on de Shapley en G0(N) que le asigna una soluci´on,

conocida como el valor de Shapley, a cada juego restringido deν ∈G0(N).

Definici´on 2.6. [5] Se dice que una funci´on ϕ:G0(N)7→ (Rn+)P(N) es de Shapley en

G0(N) si satisface los siguientes axiomas.

Axioma C1: Si ν ∈ G0(N) y S ∈ P(N), entonces

P

i∈Nϕi(ν)(S) = ν(S) y

ϕi(ν)(S) = 0 sii /∈S, dondeϕi(ν)(S) es la i-´esima coordenada de ϕ(ν)(S)∈Rn+.

AxiomaC2: Siν∈G0(N), S ∈P(N)yT ∈ C(S|ν), entoncesϕi(ν)(S) =ϕi(ν)(T)

∀i∈N.

Axioma C3: Si ν ∈ G0(N), S ∈ P(N), i, j ∈ S y se tiene que ν(T ∪ {i}) =

ν(T ∪ {j}) para todo T ∈P(S\{i, j}) entonces ϕi(ν)(S) = ϕj(ν)(S).

Axioma C4: Para todo ν1, ν2 ∈ G0(N), defina el juego ν1 + ν2 ∈ G0(N) por

(ν1+ν2)(S) =ν1(S) +ν2(S) para todo S ∈P(N). Si ν1, ν2 ∈G0(N) yS ∈P(N)

entonces ϕi(ν1+ν2)(S) =ϕi(ν1)(S) +ϕi(ν2)(S) ∀i∈N.

El axioma C1 nos dice simplemente que las soluciones para el juego restringido

de ν ∈ G0(N) a S ∈ P(N), se deben buscar como es de esperar en el conjunto de

imputaciones restringido a S, IS₍_ν_{). El axioma} _C

2 nos dice que si T ∈ C(S|ν) y i /∈T,

entonces ϕi(ν)(S) = 0 usando el axioma C1 y el hecho de que ν(S) = ν(T). Este

axioma es importante ya que si T ∈ C(S|ν) entonces los jugadores i ∈ S, i /∈ T, no tienen relevancia alguna en el valor de las coaliciones de (S, νS_{) y por lo tanto su pago}

debe ser cero. El axiomaC3 indica que si el valor de cada coalici´on en (S, νS) es sim´etrico

con respecto a los dos jugadoresi, j ∈Sentonces sus pagos deben ser iguales. El axioma

C4 nos da una condici´on de linealidad, como es de esperar, entre dos juegos distintos

ν1, ν2 ∈G0(N).

Es interesante ver que la funci´on de Shapley existe siempre para todo ν ∈G0(N) y

(13)

Teorema 2.2. [2][5] Defina la funci´on ϕ:G0(N)7→(Rn+)P(N) por

ϕi(ν)(S) :=

 

 P

T∈Pi(S)

(|T|−1)!(|S|−|T|)!

|S|! (ν(T)−ν(T\{i})) si i ∈S

0 de lo contrario

,

donde Pi(S) = {T ∈ P(S)|i ∈ T}. Esta función ϕ es la única función de Shapley en

G0(N).

Probaremos este resultado para el caso deϕ(ν)(N) primero, siguiendo una serie de lemas. Seguiremos la prueba de Owen [6].

Lema 2.1. Sea S ∈P(N), S 6=∅ y sea wS ∈G0(N) definido por

wS(T) :=

 



0 si S _*T

1 si S ⊆T.

Se tiene entonces que el ´unico valor de Shapley ϕi(wS)(N) viene dado por

ϕi(wS)(N) :=

 



1

|S| si i∈S

0 si i /∈S. .

Prueba. Es claro que los ´unicos portadores de wS en N son los superconjuntos de

S. En consecuencia, por el axioma C2 tenemos que ϕi(wS)(N) = 0 si i /∈ S. Ahora,

por el axioma C3 se tiene que ϕi(wS)(N) = ϕj(wS)(N) si i, j ∈ S. Por el axioma C1

concluimos que

ϕi(wS)(N) :=

 



1

|S| si i∈S

0 si i /∈S. .

Es adem´as claro que ϕi(wS)(N)satisface el axiomaC4. Concluimos que este es el ´unico

valor de Shapley dewS en N.

Tenemos como corolario inmediato que para todo c >0,

ϕi(cwS)(N) :=

 



c

|S| sii∈S

0 sii /∈S. .

(14)

Lema 2.2. Si ν ∈ G0(N), entonces existen 2n−1 reales cS para todo S ⊆ N, S 6= ∅,

tales que ν =P

S⊆NcSwS, donde cS =

P

T⊆S(−1)

|S|−|T|_ν₍_T₎_.

Prueba. Sean U ∈ P(N) y cS =P_T⊆S(−1)

|S|−|T|_ν₍_T₎ _{para todo} _S _∈ _P₍_N₎_{. Tenemos}

que

X

S⊆N

cSwS(U) =

X

S⊆U

cS

= X

S⊆U

X

T⊆S

(−1)|S|−|T|ν(T) !

= X

T⊆U



 

X

S⊆U T⊆S

(−1)|S|−|T| 



ν(T). (2.1)

Ahora, si fijamos U y T vemos que para cada c, |T| ≤c≤ |U|, hay |U_|_U|−|_|−T_c| conjuntos

S con c elementos tales que T ⊆S ⊆U. Por lo tanto, concluimos que

X

S⊆U T⊆S

(−1)|S|−|T| =

|U|

X

c=|T|

|U| − |T| |U| −c

(−1)c−|T|

=

|U|

X

c=|T|

|U| − |T| |U| − |T| −(|U| −c)

(−1)c−|T|

=

|U|

X

c=|T|

|U| − |T| c− |T|

(−1)c−|T|

=

|U|−|T|

X

i

_|U_{| − |T}_|

i

(−1)i.

Esta última expresión es la expansión binomial de (1−1)|U|−|T|, que es igual a cero para|T|<|U| e igual a1 para|U|=|T|. Tomando esto en cuenta en la ecuación (2.1)

concluimos que P

S⊆NcSwS(U) =ν(U).

Ya podemos encontrar el valor de Shapley ϕ(ν)(N).

(15)

ecuaci´on

ϕi(ν)(N) =

X

T∈P(N);i∈T

(|T| −1)!(n− |T|)!

n! (ν(T)−ν(T\{i})).

Prueba. Por el axioma C4 y los lemas anteriores tenemos que el valor de Shapley es

´

unico, donde

ϕi(ν)(N) =

X

S⊆N

ϕi(cSwS)

= X

S⊆N,i∈S

cS

|S| (2.2)

= X

S⊆N,i∈S

P

T⊆S(−1)

|S|−|T|_ν₍_T₎

|S|

= X

T⊆N

X

T⊆S,i∈S

(−1)|S|−|T|

|S|

!

ν(T) = X

T⊆N

fi(T)ν(T),

donde fi(T) := P_T⊆S,i∈S

(−1)|S|−|T|

|S| . Ahora, fije i ∈ N. Sea S ∈ P(N) tal que i ∈ S y

elija T0 ⊆ S\{i} donde denotamos T := T0 ∪ {i}. Es f´acil ver que fi(T0) = −fi(T) ya

que|S|−|T|+1 =|S|−|T0_|_y_{S|T0 _⊆_{S, i}_∈_S}₌_{S|T _⊆_{S, i}_∈_S}_{. Luego, tomando la}

suma sobreT yT0 =T\{i}, tenemos queϕi(ν)(N) =

P

T⊆N,i∈T fi(T)(ν(T)−ν(T\{i})).

Adem´as, tenemos que

fi(T) =

P

T⊆S,i∈S(−1)

|S|−|T|

|S|

=

n

X

|S|=|T|

(−1)|S|−|T|

n− |T| |S| − |T|

Z 1

0

x|S|−1dx

= Z 1

0

n

X

|S|=|T|

(−1)|S|−|T|

n− |T| |S| − |T|

x|S|−1dx

= Z 1

0

x|T|−1

n

X

|S|=|T|

(−1)|S|−|T|

n− |T| |S| − |T|

x|S|−|T|dx

= Z 1

0

x|T|−1





n−|T|

X

i=0

n− |T| i

(−x)i



(16)

= Z 1

0

x|T|−1(1−x)n−|T|dx,

donde esta integral es la funci´on Beta B(|T|, n− |T|+ 1), cuyo valor es

fi(T) =

(|T| −1)!(n− |T|)!

n! .

Concluimos que

ϕi(ν)(N) =

X

T⊆N,i∈T

(|T| −1)!(n− |T|)!

n! (ν(T)−ν(T\{i})).

Por el axioma C1 vemos que para encontrar los valores de Shapley ϕi(ν)(S), S ∈

P(N), se debe hacer una prueba exactamente igual a la anterior, aplicada al juego res-tringido (S, νS_{). Concluimos que existe una funci´}_{on de Shapley} _ϕ_:_G

0(N)7→(Rn+)P(N),

dada por

ϕi(ν)(S) :=

 

 P

T∈Pi(S)

(|T|−1)!(|S|−|T|)!

|S|! (ν(T)−ν(T\{i})) sii∈S

0 de lo contrario

,

donde Pi(S) = {T ∈ P(S)|i ∈ T}. Es interesante notar que si ν ∈ G0(N) es convexo,

entonces el valor de Shapley pertenece al n´ucleo como lo muestra el siguiente teorema.

Teorema 2.4. Sean ν ∈G0(N) convexo y S ∈P(N). Se tiene que ϕ(ν)(S)∈ C(νS).

Probaremos esto para el caso S = N. La generalización de la prueba para S ∈ P(N) es inmediata y exactamente análoga. Seguiremos parcialmente a R.Branzei[7] y M.Maschler[8] en esta demostración. Para probar esto primero definimos para cualquier permutaciónσ de N y para todoi∈N el conjunto Pσ₍_i_{) dado por}

Pσ(i) :={r∈N|σ−1₍_r₎_{< σ}−1₍_i₎_},

que es el conjunto de los predecesores de i con respecto al nuevo ordenamiento de los jugadores dado porσ. Definimos tambi´enν ∈G0(N),elvector de contribuci´on marginal

mσ₍_ν₎_∈

Rn con respecto a σ y ν de la siguiente manera:

(17)

que representa la ganancia adicional que el jugador i le aporta a la coalici´on Pσ(i).

Probamos ahora los siguientes lemas.

Lema 2.3. Sea ν ∈G0(N). El valor de Shapley ϕ(ν)(N) tambi´en viene dado por

ϕ(ν)(N) = 1

n! X

σ∈π(N)

mσ(ν),

donde denotamos por π(N) al conjunto de permutaciones de N.

Prueba. Tenemos que

1

n! X

σ∈π(N)

mσ(ν) = 1

n! X

σ∈π(N)

(ν(Pσ(i)∪ {i})−ν(Pσ(i))).

Note que en la sumatoria estamos considerando t´erminos de la forma ν(T ∪ {i})− ν(T), T ∈ P(N\{i}). Donde tenemos que hay |T|!(n −1− |T|)! permutaciones para las cuales Pσ₍_i_{) =} _T_{. El primer factor} _|T_|_! _{corresponde al n´}_{umero de ordenamientos}

de T y el segundo factor (n −1− |T|)! corresponde al n´umero de ordenamientos de

N\(T ∪ {i}). Con esta consideraci´on en mente tenemos que

1

n! X

σ∈π(N)

mσ(ν) = 1

n! X

σ∈π(N)

(ν(Pσ(i)∪ {i})−ν(Pσ(i))) = 1

n!

X

T∈P(N);i /∈T

|T|!(n−1− |T|)!(ν(T ∪ {i})−ν(T))

= 1

n!

X

T∈P(N);i∈T

(|T| −1)!(n− |T|)!(ν(T)−ν(T\{i})) = ϕi(ν)(N).

Lema 2.4. Sean ν ∈ G0(N) convexo, entonces para todo i ∈ N y S, T ∈ P(N) tales

queS ⊆T ⊆N\{i} se tiene que ν(S∪ {i})−ν(S)≤ν(T ∪ {i})−ν(T).

Prueba. Sean ν ∈ G0(N) convexo, i ∈ N y S, T ∈ P(N) tales que S ⊆ T ⊆ N\{i}.

(18)

convexidad de ν implica que

ν(T ∪ {i}) +ν(S)≥ν(S∪ {i}) +ν(T) =⇒ ν(S∪ {i})−ν(S)≤ν(T ∪ {i})−ν(T)

Lema 2.5. Seanν ∈G0(N)convexo yσ ∈π(N). Tenemos entonces quemσ(ν)∈ C(ν).

Prueba. Note que la σ(i)−esima coordenada de´ mσ₍_ν₎ _{viene dada por} _mσ

σ(i)(ν) =

ν({σ(1), . . . , σ(i)})−ν({σ(1), . . . , σ(i−1)}).Veamos primero queP

i∈Nmσi(ν) = ν(N).

Tenemos que

X

i∈N

mσ_i(ν) = X

i∈N

mσ_σ₍_i₎(ν)

= ν({σ(1)}) + (ν({σ(1), σ(2)})−ν({σ(1)})) +· · ·+ (ν({σ(1), . . . , σ(n)})−ν({σ(1), . . . , σ(n−1)})) = ν({σ(1), . . . , σ(n)})

= ν(N).

Ahora, probemos que para todo S ∈ P(N) se tiene P

i∈Sm σ

i(ν) ≥ ν(S). Sea S =

{σ(i1), . . . , σ(i|S|)}para algunosi1, . . . , i|S|∈N.Sin p´erdida de generalidad suponga que

i1 < i2 < . . . < i|S|. Se tiene entonces que {σ(i1), . . . , σ(ij−1)} ⊆ {σ(1), σ(2), . . . , σ(ij−

1)} para j ∈ {1,2, . . . ,|S|}. Por el lema 2.4 se tiene que

ν({σ(1), σ(2), . . . , σ(ij)})−ν({σ(1), σ(2), . . . , σ(ij −1)})

(19)

Por lo tanto

X

i∈S

mσ_i(ν) = X

σ(i)∈S

mσ_σ₍_i₎(ν)

= (ν({σ(1), σ(2), . . . , σ(i1)})−ν({σ(1), σ(2), . . . , σ(i1−1)})) +

(ν({σ(1), σ(2), . . . , σ(i2)})−ν({σ(1), σ(2), . . . , σ(i2−1)})) +· · ·+

(ν({σ(1), σ(2), . . . , σ(i|S|)})−ν({σ(1), σ(2), . . . , σ(i|S|−1)}))

≥ (ν({σ(i1)})−ν(∅) + (ν({σ(i1), σ(i2)})−ν({σ(i1)})) +· · ·+

(ν({σ(i1), σ(i2), . . . , σ(i|S|)})−ν({σ(i1), σ(i2), . . . , σ(i|S|−1)}))

= ν({σ(i1), σ(i2), . . . , σ(i|S|)})

= ν(S).

Concluimos que mσ₍_ν₎_{∈ C}₍_ν₎_.

Ya tenemos las herramientas para probar el teorema 2.4.

Prueba (del teorema 2.4). Por el lema 2.3 el valor de Shapley ϕ(ν)(N) es igual a

1

n!

P

σ∈π(N)m

σ₍_ν₎_._{Por el lema 2.5}_mσ₍_ν₎_{∈ C}₍_ν₎_{para todo}_σ_∈_π₍_N₎_{. Note que}_|π₍_N₎_|₌

n! y por lo tanto _n1_!P

σ∈π(N)m

σ₍_ν₎ _{es una combinaci´}_{on convexa de los vectores} _mσ₍_ν₎_.

Por lo probado anteriormente, el n´ucleo es un conjunto convexo. Concluimos que

ϕ(ν)(N) = 1

n! X

σ∈π(N)

(20)

(21)

Juegos difusos y extensi´

on del n´

ucleo

Como mencionamos en la introducci´on, los juegos cooperativos difusos fueron intro-ducidos con la idea de que los jugadores pudieran tener participaciones parciales en las coaliciones. En este sentido, una coalici´on difusa en un juego denjugadores es cualquier

S ∈ [0,1]n_{, donde} _S

i denota el grado de participaci´on del jugador i en la coalici´on U.

Denotaremos por F(N) := [0,1]n _{a el conjunto de todas las coaliciones difusas. Con}

esto en mente tenemos la siguiente definici´on.

Definici´on 3.1. Un juego cooperativo difuso es una pareja(N, ν)dondeN ={1, . . . , n}

denota el conjunto de jugadores y ν :F(N)7→ _R+ denota la funci´on caracter´ıstica del

juego, que le asigna un valor a cada coalici´on difusa de N. Donde en particular se tiene queν(~0) = 0.

La uni´on e intersecci´on de dos coaliciones difusas se define de la manera natural como

(S∪T)i = m´ax{Si, Ti},∀i∈N.

(S∩T)i = m´ın{Si, Ti},∀i∈N.

De manera an´aloga a los juegos cooperativos n´ıtidos, solo consideraremos los juegos cooperativos difusos superaditivos, donde estos vienen dados por la siguiente definici´on.

Definici´on 3.2. Decimos que un juego cooperativo difuso(N, ν)es superaditivo siν(S∪ T)≥ν(S) +ν(T),∀S, T ∈F(N), tales que S∩T =~0.

(22)

Denotaremos por GF(N) al conjunto de los juegos cooperativos difusos

superaditi-vos. También, y de manera análoga a los juegos n´ıtidos, tenemos la siguiente definición.

Definici´on 3.3. Decimos que un juego cooperativo difuso (N, ν) es convexo si ν(S∪ T) +ν(S∩T)≥ν(S) +ν(T),∀S, T ∈F(N).

De nuevo el problema ahora radica en encontrar la mejor forma de dividirν(U) entre los jugadores para todo U ∈ F(N). As´ı que definiremos el n´ucleo de un juego difuso que servir´ıa como posible conjunto de soluciones a este problema, y en los siguientes dos cap´ıtulos encontraremos las funciones de Shapley a los modelos de juegos difusos definidos por M.Tsurumi y D.Butnairu.

3.1. N´

ucleo de los juegos difusos

En esta secci´on seguiremos a X.Yu y Q.Zhang [3]. Antes de definir el n´ucleo de

ν∈GF(N), necesitaremos definir unos cuantos conceptos.

Considere dos coaliciones U, K ∈F(N). Decimos que K est´a contenido en U (K ⊆ U), si Ki ≤ Ui∀i ∈ N. Denotaremos por F(U) al conjunto de los subconjuntos de U.

Definimos tambi´en el soporte de U como Supp(U) := {i ∈ N|Ui > 0}. Por ´ultimo,

definimos SU ∈F(U) como

SU i =

 



Ui sii∈S

0 de lo contrario

,

para todoU ∈F(N) y S ∈P(N).

Note que podemos restringir ν ∈ GF(N) a una coalici´on difusa U ∈ F(N) de

la manera natural como (νU_{, U}_{) donde} _νU _: _F₍_U₎ _7→

R+ viene dada por νU(S) =

ν(S),∀S ∈ F(U). Esto con el fin de buscar cómo dividir ν(U) entre los jugadores en Supp(U), en el caso de que se forme la coalición difusaU. Con esto en mente tenemos finalmente la siguiente definición.

Definición 3.4. Sea U ∈F(N). El núcleo difuso del juego ν∈ GF(N) en la coalición

difusa U se define como el conjunto

˜

C(ν)(U) :=  



x∈_Rn₊

X

i∈N

xi =ν(U),

X

i∈Supp(SU)

xi ≥ν(SU) para todoS ∈P(N)

 

(23)

.

La primera condici´on P

i∈Nxi = ν(U), nos dice como es de esperar que al buscar

un pago de los jugadores cuando se forma la coalici´on difusa U, se debe tener que la suma de los pagos debe ser igual aν(U). La segunda condici´onP

i∈Supp(SU)xi ≥ν(SU),

nos dice que no hay un subconjunto de jugadores del soporte deU para los cuales sea beneficioso formar una coalici´on difusa con solo ellos en el soporte.

Es importante recalcar que en la práctica el cálculo de este conjunto es un problema complicado para el caso n´ıtido y mucho más para el caso difuso. En las siguientes dos secciones daremos la forma expl´ıcita del núcleo difuso para los modelos de Butnariu y Tsurumi, bajo ciertas condiciones.

Al igual que en los juegos n´ıtidos, el n´ucleo difuso puede ser vac´ıo. Es interesante el hecho que al igual que en estos el n´ucleo difuso no es vac´ıo si el juego es convexo. Para demostrar esto primero mostramos el siguiente lema.

Lema 3.1. Si ν ∈ GF(N) es convexo, entonces para todo i ∈ N y todo U ∈ F(N),

tenemos que ν(SU ∪ {i}U)−ν(SU)≤ν(TU ∪ {i}U)−ν(TU) para S ⊆T ⊆N\{i}.

Prueba. Si S ⊆ T ⊆ N\{i}, entonces (S ∪ {i})U ∩TU = SU y (S ∪ {i})U ∪TU =

TU∪{i}U. Ahora, dado queν ∈GF(N)es convexo, tenemos queν(TU∪{i}U)+ν(SU)≥

ν(S∪ {i}U) +ν(TU).

Teorema 3.1. Sean ν ∈GF(N) y U ∈F(N). Si ν es convexo, entonces C˜(ν)(U)6=∅.

Prueba. Considere el conjunto de jugadores N = {1, . . . , n}. Sea σ una permutaci´on de N. Recordemos que Pσ

i se defin´ıa como Piσ ={j ∈N|σ(j)< σ(i)}, i.e., el conjunto

de los jugadores que preceden a i en el orden dado por σ. Defina tambi´en xσ

i ∈R+ por

xσ_i :=ν((P_iσ∪ {i})U)−ν((Piσ)U),∀i∈N

.

Veamos que xσ _{:= (}_xσ

(24)

Tenemos que

X

i∈N

xσ_i = X

i∈N

ν((P_iσ ∪ {i})U)−ν((Piσ)U)

= ν(NU)−ν(∅U)

= ν(NU)

= ν(U). (3.1)

Por otro lado, sean i1, . . . , is tales que S = {i1, . . . , is} y σ(i1) < σ(i2) < . . . < σ(is),

para S ∈ P(N), donde s = |S|. Tenemos por lo tanto que {i1, . . . , ij−1} ⊆ Piσj para j = 1, . . . , s.

Por el lema anterior tenemos que

ν((P_iσ

j ∪ {ij})U)−ν((P

σ

ij)U)≥ν({i1, . . . , ij}U)−ν({i1, . . . , ij−1}U), (3.2)

paraj = 1, . . . , s.

Sumando las desigualdades en (3.2) y usando la ecuaci´on (3.1), tenemos que

P

i∈Supp(SU)x

σ

i ≥ν(SU) y que P_i∈Nx σ

(25)

Modelo de D.Butnariu, su n´

ucleo y su

funci´

on de Shapley

Es la pr´actica, es un problema complicado establecer una funci´on caracter´ıstica

ν ∈ GF(N) para un juego difuso. Por esta raz´on se suelen construir las funciones

caracter´ısticas a partir de la restricción de las mismas en el juego n´ıtido, para luego extenderlas al juego difuso [3]. Con este ánimo estudiaremos en este cap´ıtulo una función caracter´ıstica extendida desde P(N) a F(N), definida por D.Butnairu y T.Kroupa, y veremos sus propiedades relativas al núcleo difuso y una nueva función de Shapley basada en ciertos axiomas. En las siguientes dos secciones seguiremos a [4].

4.1. Juegos difusos con funci´

on de peso

Antes de definir estos juegos vamos a denotar por At _:= _{i _∈ _N_|A

i = t}, t ∈

[0,1], A ∈ F(N), el conjunto (n´ıtido) de los jugadores de N cuya participaci´on en la coalici´on difusa de A es igual a t. Ahora, si tenemos un juego n´ıtido ν ∈G0(N) y una

funci´on Ψ : [0,1] 7→ _R tal que (Ψ(t) = 0 ⇐⇒ 0) y Ψ(1) = 1 podemos extender ν a

GF(N) de la siguiente manera

νΨ(A) := X

t∈[0,1]

Ψ(t)ν(At), A∈F(N) .

Note primero que la sumatoria est´a bien definida ya que At =∅ para todo t∈[0,1] excepto finitos valores, y por lo tanto ν(At_{) =} _ν₍_∅_{) = 0 para todo} _t _∈ _[0_,_{1] excepto}

(26)

finitos valores. Note también que la condición Ψ(1) = 1, Ψ(0) = 0 debe ser cierto para que el valor de ν(A) coincida con el del juego restringido a P(N). La condición (Ψ(t) = 0−→ t= 0) se da para que no hayan niveles de participaciónt ∈(0,1) en los jugadores, que no tengan valor; que en principio no ser´ıa lógico.

Llamaremos funciones de peso a las funciones Ψ : [0,1] 7→ _R tales que (Ψ(t) = 0 ⇐⇒ t = 0) y Ψ(1) = 1. Denotaremos a su vez como G[Ψ]⊆ GF(N), a el conjunto

de juegos difusos que satisfagan

ν(A) = X

t=[0,1]

Ψ(t)ν(At), A∈F(N).

Note queν(A) puede ser negativo. Por lo cual en este cap´ıtulo permitimos que el ran-go deν sean todos los reales. No hay ning´un cambio significativo en los planteamientos hechos hasta ahora si el rango de ν es _R.

En el siguiente ejemplo vemos una motivaci´on para definir los juegos difusos con funci´on del peso.

Ejemplo 4.1. [4] Suponga que N es un conjunto de inversionistas donde denotamos por ci al capital de cada inversionista i ∈ N. En este caso las coordenadas de una

coalición difusa A ∈ F(N) denotar´ıan el porcentaje del capital de cada inversionista que este esté dispuesto a invertir en la organización conformada por los jugadores en el soporte de A. Esta forma de definir a A es ventajosa ya que Ai refleja el riesgo que el

jugador i está dispuesto a tomar, as´ı como su nivel de compromiso con la organización y su nivel de interés en la inversión en cuestión. Puede que los jugadoresiyj inviertan la misma cantidad, pero si el jugador i invirtió todo su capital mientras el jugador j

solo una pequeña fracción, Ai y Aj reflejar´ıa la diferencia en el interés de cada jugador

y su posible futuro esfuerzo.

Ahora, suponga que se tiene una funci´ong :_R+ 7→Rque estima la posible ganancia

g(c) obtenida al invertir una cantidad c en el entorno en el que el juego ν ∈ G0(N)

tiene lugar, y asuma que si se invierte una fracción t del capital c, la ganancia ser´ıa multiplicativamente proporcional i.e., g(tc) = tg(c), t ∈ [0,1]. Pero, dado que estamos teniendo en cuenta también el nivel de riesgo que cada jugador está tomando, suponga a su vez que existe una funciónχ: [0,1]7→_R que está determinada por las condiciones en las que el juego tiene lugar y que indica la recompensa para cada nivel de riesgo

t∈ [0,1]. De tal manera que si el jugador i decidiera invertir una cantidad c=tci, su

(27)

que el jugador toma es 1, su ganancia es el valor estimado original g(c); por lo que asumimos queχ(1) = 1.

Con lo anterior en mente podemos definir el juego difuso ν∈GF(N), en el cual se

le asigna a A ∈ F(N) la suma de las ganancias estimadas de los grupos de jugadores en distintos niveles de riesgo i.e.,

ν(A) = X

t∈[0,1]

χ(t)g tX

i∈At ci

!

= X

t∈[0,1]

χ(t)tg X

i∈At ci

!

.

Ahora, definiendo Ψ(t) := χ(t)t y notando que g P

i∈Atci

es la ganancia en el respec-tivo juego n´ıtido de los jugadores en At_{, por lo que} _g P

i∈Atci

= ν(At₎_{, tendr´ıamos}

finalmente que

ν(A) = X

t∈[0,1]

Ψ(t)ν(At).

Por lo que un juego de este tipo podr´ıa ser modelado por el modelo de Butnariu.

Ahora, como siempre la cuesti´on del asunto es determinar la mejor forma de dividir

ν(A) entre sus participantes, por lo que definiremos una funci´on de Shapley para estos juegos con funci´on de peso.

4.2. Funci´

on de Shapley para

G

[

Ψ

]

Antes de definir una funci´on de Sjapley en este contexto, necesitamos la siguiente definici´on.

Definici´on 4.1. Sea ν ∈GF(N) y sean A, B ∈ F(N). Decimos que B es un portador

difuso deA si se satisfacen las siguientes dos condiciones: (i) Bt⊆At,∀t ∈(0,1];

(ii) Si C ∈ F(N) es tal que Ct _⊆ _At _{para todo} _t _∈ ₍₀_,_1]_, _entonces _ν₍_Bt _∩_Ct_{) =}

ν(Ct₎_,_∀t_∈₍₀_,_1]_.

Consideremos ahora una permutaci´onπdeN, A∈F(N) yν ∈GF(N). Definiremos

(28)

una funci´onA:N 7→[0,1]n. Note que si ν ∈G[Ψ] entonces πν ∈G[Ψ] tambi´en, ya que

πν(A) =ν(π−1A) = X

t∈[0,1]

Ψ(t)ν({i∈N|ν(π−1A) =t})

= X

t∈[0,1]

Ψ(t)ν({i∈N|πν(A) =t}) = X

t∈[0,1]

Ψ(t)πν(At).

Con estos conceptos en mente, damos la siguiente definici´on.

Definición 4.2. Sea Ψ una función de peso. Decimos que un mapa de Shapley es una función lineal Φ : G[Ψ] 7→ (_Rn₎F(N) _{que satisfaga los siguientes axiomas para todo}

ν∈G[Ψ] y todo A∈F(N).

Axioma B1: P_i∈NΦi(ν)(A) =ν(A) y si Aj = 0, entonces Φj(ν)(A) = 0.

Axioma B2: Para todo portador difuso B ∈F(N) de A se tiene que

P

i∈N;Bi>0Φi(ν)(A) =ν(B).

Axioma B3: Si π es una permutaci´on de N, entonces Φπ(i)(πν)(πA) =Φi(ν)(A),

∀i∈N.

Notemos la semejanza entre los axiomas B1, B2 y B3 con los axiomas C1, C2 y

C3 del cap´ıtulo 2, respectivamente. Los axiomas C1 y B1 nos dan una condici´on de

repartici´on de ν(A) entre los jugadores que tienen participaci´on en A. Los axiomas C2

yB2 nos dan la llamada condici´on de eficiencia coalicional. Y los axiomasC3 y B3 dan

una condici´on de simetr´ıa. La relaci´on con C4 es inmediata ya que se asume de entrada

queΦ es una funci´on lineal.

De nuevo, tenemos el interesante resultado de que el mapa de Shapley Φ siempre existe y es ´unico como lo enuncia el siguiente teorema:

Teorema 4.1. SeaΨ una funci´on de peso. Se tiene que existe un ´unico mapa de Shapley

Φ:G[Ψ]7→(_Rn₎F(N) _{que viene dado por}

Φi(ν)(A) =

 



Ψ(t)P

S∈Pi(At)

(|S|−1)!(|At|−|S|)!

|At_|! (ν(S)−ν(S\{i})) siAi =t >0

0 de lo contrario

,

(29)

Una vez más la demostración vendrá tras una serie de lemas. Primero que todo recordemos del cap´ıtulo 2 que la función wS : P(N) → {0,1}, S ∈ P(N), con S 6= ∅

ven´ıa definida por

wS(A) =

 



1 siS ⊆A,

0 siS _*A,

y que adem´as estas 2n ₋_{1 funciones eran una base del espacio lineal} _G

0(N), donde

toda ν ∈ G0(N) pod´ıa ser escrita como ν =

P

S∈P(N);S6=∅cS(ν)wS, donde cS(ν) =

P

T∈P(N);T⊆S(−1)

|S|−|T|_ν₍_T_).

Empezamos la demostraci´on del teorema con el siguiente lema:

Lema 4.1. Si ν∈G[Ψ], entonces ν =P

S∈P(N);S6=∅cS(ν)wΨS.

Prueba. Sean ν ∈G[Ψ], A∈F(N). Tenemos que

ν(A) = X

t∈[0,1]

Ψ(t)ν(At) = X

t∈[0,1]

Ψ(t) X

S∈P(N);S6=∅

cS(ν)wS(At)

= X

S∈P(N);S6=∅

cS(ν)

X

t∈[0,1]

Ψ(t)wS(At)

= X

S∈P(N);S6=∅

cS(ν)wΨS(A).

Donde notamos que dado que dado quewΨ_S(A) = P

t∈[0,1]Ψ(t)wS(A

t_{) y dado que} _S

solo puede pertenecer a lo sumo a uno de los conjuntos disjuntosAt_{, se tiene que}

wΨ_S(A) =  



Ψ(t) siS⊆At_{para alg´}_un_t_∈₍₀_,_1]

0 de lo contrario

. (4.1)

Teniendo esto en cuenta y notando del lema anterior queG0[Ψ] :={wΨS|S ∈P(N), S 6=

∅}es una base de G[Ψ], pasamos a probar el siguiente lema: Lema 4.2. Sea Φ:G0[Ψ]7→(Rn)F(N) la funci´on definida por

Φi(wΨS)(A) =

 



Ψ(t)

|S| sii∈S ⊆A

t_{para alg´}_un_t_∈₍₀_,_1]

0 de lo contrario

(30)

Entonces Φ es una funci´on que satisface los axiomas B1,B2 y B3.

Prueba. Sea S ∈P(N), S =6 ∅ y A∈F(N). Veamos que:

Φ satisface B1: De la definici´on de Φ tenemos que si Aj = 0 para alg´un j ∈ N,

entonces Φj(wΨS)(A) = 0. Adem´as si S * At para ning´un t ∈ (0,1] entonces

Φi(wΦS)(A) = 0,∀i∈N y por lo tanto

P

i∈NΦi(wSΦ)(A) = 0 =wΨS(A). Si por otro

lado se tiene que S ⊆ At para alg´un t ∈ (0,1], entonces Φi(wΦS)(A) = Ψ(t)

|S| para

todo i∈S, yΦi(wSΦ)(A) = 0 parai /∈S. Por lo tanto

P

i∈NΦi(wSΦ)(A) =

|S|Ψ(t) |S| =

Ψ(t) = w_SΦ(A). Concluimos que Φ satisface B1.

Φ satisface B2: Sea B un portador difuso de A para la funci´on wΨS. Si S * At

entonces S _*Bt_,_∀t _∈₍₀_,_1] _{y se tendr´ıa trivialmente que}P

i∈N;Bi>0Φi(w

Φ

S)(A) =

0 = wΨ S(B).

Ahora, si S ⊆ At _{para alg´}_un _t _∈ ₍₀_,_1] _{entonces debemos tener que} _S _⊆ _Bt _ya

que wΨ

S(A) = wSΨ(B). Por lo tanto, y teniendo en cuenta que si i ∈ S entonces

Φi(wΦS)(A) = 0, tenemos que

X

i∈N;Bi>0

Φi(wSΦ)(A) =

X

i∈S

Φi(wSΦ)(A) =

X

i∈S

Ψ(t)

|s| =Ψ(t) =w

Φ S(B),

probando que Φ satisface B2.

Φ satisface B3: Sea π una permutaci´on de N. Tenemos por lo tanto que

πw_SΨ(A) =wΨ_S(π−1A) =  



Ψ(t) siS ⊆π−1Atpara alg´unt∈(0,1] 0 de lo contrario

.

Teniendo en cuenta que S⊆π−1At si y solo si πS ⊆At, tenemos que

πwΨ_S(A) =wΨ_πS(A). (4.2)

Ahora, sea i∈N. Tenemos que

Φπ(i)(πwΨS)(πA) = Φπ(i)(wΨπS)(πA)

=  



Ψ(t)

|πS| siπ(i)∈πS ⊆πA

t_, _{para alg´}_un_t_∈₍₀_,_1]

0 de lo contrario

(31)

Por ´ultimo, teniendo en cuenta que |πS| = |S| y que π(i) ∈ πS, πS ⊆ πAt si y solo si i∈SparaS ⊆At_{, tenemos que} _Φ

π(i)(πwSΨ)(πA) =Φi(wΨS)(A).

Veamos ahora que Φ es la ´unica funci´on de G0[Ψ] a (Rn)F(N) que satisface los 3

axiomas.

Lema 4.3. Si Φ0 : G0[Ψ] 7→ (Rn)F(N) satisface los axiomas B1,B2 y B3 entonces

Φ0 =Φ.

Prueba. Sean S ∈P(N), S =6 ∅ y A∈F(N). Caso 1: S ⊆At0 _{para alg´}_un _t

0 ∈(0,1]. Defina SA al igual que en cap´ıtulo 3 como

(SA)i :=

 



Ai sii∈πS

0 de lo contrario

.

Es claro que S = St0

A y que S t

A ⊆ At,∀t ∈ (0,1] ya que SAt = ∅ para (0,1]\{t0}.

Ahora, sea C ∈ F(N) tal que Ct ⊆ At,∀t ∈ (0,1]. Tenemos que (S ⊆ (Ct0 _∩

St0

A) = (Ct0 ∩ S) ↔ S ⊆ Ct0). De esta y de la ecuaci´on (4.1) tenemos que

wΨ

S(SAt ∩Ct) = wSΨ(Ct),∀t ∈ (0,1]. Luego, SA es un portador difuso de A para

WΨ

S. Por lo tanto, del axioma B2 tenemos que:

X

i∈S

Φ0_i(wΨ_S)(A) = X

i∈N;(SA)i>0

Φ0_i(wΨ_S)(A) = w_SΨ(SA) = Ψ(t0)6= 0. (4.3)

Veamos ahora que Φ0_i(wΨ

S)(A) = Φ

0

j(wΨS)(A),∀i, j ∈ S. Si |S| = 1 es claro, y si

|S|>1 tome i, j ∈S tales que i6=j. Considere la permutaci´on π de N dada por la transposici´on (i, j). Es claro que πS =S y que πA=A. Luego, por el axioma

B3 y la ecuaci´on (4.2) tenemos que

Φ0_i(w_SΨ)(A) = Φ0_j(πw_SΨ)(πA) =Φ0_i(wΨ_πS)(πA) =Φ0_j(wΨ_S)(A).

Juntando este resultado y la ecuaci´on (4.3) tenemos que

Φ0_i(wΨ_S)(A) = Ψ(t0)

(32)

Por lo tanto, tenemos que

Φ0_i(w_SΨ)(A) =Φi(wSΨ)(A),∀i∈S. (4.4)

Ahora, para j /∈S defina B ∈F(N) como

Bi =

 



Ai si i∈S∪ {j}

0 de lo contrario

.

Esta definici´on implica, por lo anterior, que B es un portador difuso de A para

wΨ_S. Luego, por el axioma _B2 y la ecuaci´on (4.3) tenemos que

X

i∈S

Φ0_i(w_SΨ)(A) = w_SΨ(B)

y por lo tanto, usando el axioma B2 de nuevo, tenemos que

wΨ_S(B) = X

i∈N;Bi>0

Φ0_i(wΨ_S)(A) = X

i∈S∪{j}

Φ0_i(wΨ_S)(A).

Comparando esta ecuaci´on con la anterior concluimos queΦ0_j(wΨ

S)(A) = 0∀j /∈S.

Juntando este resultado con la ecuaci´on (4.4) deducimos que

Φ0_i(w_SΨ)(A) = Φi(wΨS)(A)

en este caso.

Caso 2: S _*At,∀t∈(0,1]. Veamos que en este caso Φ0(wΨ

S)(A) = Φ(wSΨ)(A) = 0. Sea j ∈ N. Si Aj = 0

tenemos por el axiomaB1 queΦ0i(wΨS)(A) = 0. Si Aj 6= 0, definaB ∈F(N)como

Bi :=

 



Aj si i=j

0 de lo contrario

.

Es claro que Bt ⊆ At, ∀t ∈ (0,1]. Tenemos que si C ∈ F(N) es tal que Ct ⊆ At∀t ∈(0,1], entonces no existe t ∈(0,1] tal que S ⊆ Ct ya que esto implicar´ıa que S ⊆ At_{. Por lo tanto tenemos que} _wΨ

(33)

usando la ecuaci´on (4.1). Por lo tanto, B es un portador difuso de A para wΨ_S. Del axioma B1 y la definici´on de Φ tenemos que

Φ0_j(wΨ_S)(A) = X

i∈N;Bi>0

Φ0_i(wΨ_S)(A) =wΨ_S(B) = 0 =Φj(wΨS)(A).

Juntando los resultados del caso 1 y caso 2 concluimos que Φ0 =Φ.

Por el lema 4.1, tenemos que es posible extender la funci´onΦdeG0[Ψ] a G[Ψ] de la

siguiente forma:

Φi(ν)(A) =

X

S∈P(N):S6=∅

cS(ν)Φi(wSΨ)(A),∀i∈N. (4.5)

Veamos que esta expresi´on define el ´unico mapa de Shapley sobre G[Ψ].

Lema 4.4. La función extendida Φ:G[Ψ]7→(_Rn)F(N) de la ecuación (4.5) es el único mapa de Shapley sobre G[Ψ].

Prueba. Del lema 4.1 tenemos que la ´unica manera de extender aΦ:G0[Ψ]7→(Rn)F(N)

(la única función que satisface los tres axiomas de Shapley) a una función con dominio enG[Ψ], de tal forma que esta extensión sea una función lineal es como la expresión de la ecuación (4.5). Por lo tanto, y usando el lema 4.3 tenemos que si existe un mapa de Shapley, este ser´ıa único y vendr´ıa dado por esa expresión. De tal manera que solo hace falta probar que la expresión de la ecuación (4.5) satisface los tres axiomas de Shapley. Veamos que en efecto los satisface.

Φ satisface el axioma B1: Esto es inmediato del lema 4.1 y la ecuaci´on (4.5).

(34)

de A para ν ∈G[Ψ]. Tenemos por lo tanto que:

X

i∈N;Bi>0

Φi(ν)(A) =

X

i∈N;Bi>0

X

S∈P(N);S6=∅

cS(ν)Φi(wSΨ)(A)

= X

i∈N;Bi>0

X

S∈Pi(ABi) cS(ν)

Ψ(Bi)

|S|

= X

i∈N;Bi>0 Ψ(Bi)

X

S∈Pi(ABi) cS(ν)

1

|S|

= X

t∈[0,1]

Ψ(t)X

t∈Bt

X

S∈Pi(At) cS(ν)

1

|S|, (4.6)

donde recordemos que Pi(At) = {T ⊆ N|i ∈ T, T ⊆ At}. Ahora, para t ∈ (0,1]

definaut ∈G0(At)porut(S) = ν(S), ∀S ∈P(At), y ahora considereϕ(ut)∈RA

t

; el valor de Shapley definido en el teorema 2.2. De la ecuaci´on (2.2) tenemos que

ϕ(ut) =

P

S∈Pi(At)cS(ν)

1

|S|,∀i∈A

t_.

Ahora, dado que B es un portador difuso de A, tenemos que Bt _{es un portador}

de At_{(ver definici´}_{on 2.5)} _∀t_∈₍₀_,_1]_{. Teniendo en cuenta los axiomas} _C

1 yC2 de

la definici´on 2.6 tenemos que

X

i∈Bt

ϕi(ut) =ut(Bt).

Combinando esta expresi´on con la ecuaci´on anterior, tenemos que

X

i∈Bt

X

S∈Pi(At) cS(ν)

1

|S| =ut(B

t_{) =} _ν₍_Bt₎_.

Por último, combinando esta expresión con la ecuación (4.6) tenemos que

X

i∈N;Bi>0

Φi(ν)(A) =

X

t∈[0,1]

Ψ(t)ν(Bt) = ν(B).

Concluimos por lo tanto que Φ satisface el axioma B2.

(35)

que

cS(πν) =

X

T∈P(N);T⊆S

(−1)|S|−|T|πν(T) = X

T∈P(N);T⊆π−1_S

(−1)|S|−|T|ν(π−1T) = cπ−1_S(ν),

para cualquier permutaci´on π de N, y teniendo en cuenta adem´as que Φsatisface el axioma B3 cuando se restringe a wSΨ, obtenemos que

Φπ(i)(πν)(πA) =

X

S∈P(N);S6=∅

cS(πν)Φπ(i)(wSΨ)(πA)

= X

S∈P(N);S6=∅

cπ−1_S(ν)Φ_π₍_i₎(π(π−1w_SΨ))(πA) = X

S∈P(N);S6=∅

cπ−1_S(ν)Φ_i(π−1w_SΨ)(A) = X

S∈P(N);S6=∅

cπ−1_S(ν)Φ_i(wΨ_π−1_S)(A) = X

S∈P(N);S6=∅

cS(ν)Φi(wΨS)(A)

= Φi(ν)(A),∀i∈N,

donde en la cuarta igualdad usamos el hecho de que

π−1w_SΨ(T) = w_SΨ(πT) =

 



1 si S ⊆(πT)t _{para alg´}_un _t _∈₍₀_,_1]

0 de lo contrario

=  



1 si π−1S ⊆(T)t _{para alg´}_un _t _∈₍₀_,_1]

0 de lo contrario

= w_πΨ−1_S(T),∀T ∈F(N).

Concluimos que Φsatisface tambi´en el axiomaB3 y por lo tanto es el ´unico mapa

de Shapley Φ:G[Ψ]7→(_Rn)F(N).

(36)

Lema 4.5. La función Φ está definida en la ecuación (4.5) también está definida por

Φi(ν)(A) =

 



Ψ(t)P

S∈Pi(At)

(|S|−1)!(|At_|−|_S_|)!

|At_|! (ν(S)−ν(S\{i})) siAi =t >0

0 de lo contrario

.

Prueba. Sean A∈F(N), i∈N yt :=Ai. Tenemos dos casos.

Caso 1: Si t = 0, entonces Φi(wΨS)(A) = 0 para cualquier S ∈ P(N), S 6= ∅, por

el axioma B1. De la ecuaci´on (4.5) deducimos que Φi(ν)(A) = 0.

Caso 2: Si t∈(0,1], entonces

Φi(ν)(A) =

X

S∈P(N);S6=∅

cS(ν)Φi(wΨS)(A)

= X

S∈Pi(At)

cS(ν)Φi(wΨS)(A)

= Ψ(t) X

S∈Pi(At) cS(ν)

1

|S|,

donde en la segunda y tercera igualdad usamos la definici´on deΦi(wSΨ)(A). Ahora,

por la ecuación (2.2) tenemos que esta última expresión es igual a

Ψ(t)(ϕi(ν)(At)) =Ψ(t)

X

S∈Pi(At)

(|S| −1)!(|At_{| − |S|}_)!

|At_|_! (ν(S)−ν(S\{i})).

Con este lema concluimos la prueba del teorema 2.2. En la siguiente sección estu-diaremos el núcleo difuso de este modelo y veremos su relación con el mapa de Shapley.

4.3. N´

ucleo difuso de

ν

∈

G

[

Ψ

]

Recordemos del cap´ıtulo 3 que para U ∈ F(N), el n´ucleo difuso de ν ∈ GF(N) en

la coalici´on difusa de U ven´ıa dado por

˜

C(ν)(U) :=  



x∈_Rn₊

X

i∈N

xi =ν(U),

X

i∈Supp(SU)

xi ≥ν(SU) para todoS ∈P(N)

 



(37)

Antes de ver cómo es la forma del núcleo difuso en estos juegos, consideremos unas cuantas cosas. Seaν ∈G[Ψ] para alguna función de peso Ψ y sean U ∈F(N), Q(U) :=

{Ui|Ui >0, i∈N}yq(U) := |Q(U)|. Escribamos ahora los elementos deQ(U) en orden

creciente de la siguiente forma: t1 < . . . < tq(U). Con esto en mente, podemos escribir

el n´ucleo difuso en la coalici´on difusaU como ˜

C(ν)(U) :=  



x∈_Rn₊

X

i∈N

xi = q(U)

X

m=1

Ψ(tm)ν(Utm),

X

i∈Supp(SU) xi ≥

q(U)

X

m=1

Ψ(tm)ν(S_Utm),∀S ∈P(N)

 



,

donde, siguiendo la notaci´on anterior, (SU)i =

 



Ui sii∈S

0 de lo contrario

, y (SU)tm ={i∈

N|(SU)i =tm}.

En el siguiente teorema daremos la forma general de ˜C(ν)(U) cuando C(ν(Utm))6=∅

para m = 1,· · ·q(U), donde C(·) denota el n´ucleo n´ıtido y ν(Utm₎

es la funci´on carac-ter´ıstica restringida a la coalici´on n´ıtida Utm_{. Haremos unas ligeras modificaciones a}

la prueba de X.Yu y Q.Zhang [3] ya que ellos solo probaron el teorema para el caso particular en el queΨ(t) =t, que fue el modelo original de Butnariu [9].

Teorema 4.2.Seanν ∈G[Ψ]para alguna funci´on de pesoΨ yU ∈F(N). SiC(ν(Utm)₎₆₌

∅ para m= 1, . . . , q(U), entoncesC˜(ν)(U)6=∅ y

˜

C(ν)(U) = y y=

q(U)

X

m=1

Ψ(tm)xm =





q(u)

X

m=1

Ψ(tm)xm1 , . . . ,

q(U)

X

m=1

Ψ(tm)xmn



,

∀xm = (xm₁ , . . . , xm_n)∈ C(ν(Utm)), m= 1, . . . , q(U)

Prueba. SeanU ∈F(N)yν∈G[Ψ]. Suponga queC(ν(Utm))6=∅param= 1, . . . , q(U). Haremos esta demostraci´on mostrando primero que si tomamos cualesquiera xm ∈ C(ν(Utm₎

)∀m, entonces y := Pq(U)

m=1Ψ(tm)x

m _∈ _C_˜₍_ν₎₍_U₎_, _{y luego mostramos que si}

y∈C˜(ν)(U) entonces esta es de la forma y=Pq(U)

m=1Ψ(tm)x

m _para_xm _{∈ C}₍_ν(Utm₎

). To-memos entonces unxm _{∈ C}₍_ν(Utm₎

) para todom. Tenemos por lo tanto queP

i∈Nx m i =

ν(Utm₎ _{y esto implica que}

X

i∈N

yi =

X

i∈N q(U)

X

m=1

Ψ(tm)xmi = q(U)

X

m=1

Ψ(tm)

X

i∈N

xm_i

! =

q(U)

X

m=1

(38)

De manera que la primera condici´on P

i∈Nyi = ν(U) para pertenecer a C˜(ν)(U) se

satisface.

Ahora, notemos que de la definici´on de Utm _{tenemos que} _{Ut1_{, . . . , U}tq(U)} _{es una}

partici´on de Supp(U). Notando adem´as el hecho de que si xm _{∈ C}₍_ν(Utm₎

) entonces

xm

i = 0 ∀i /∈ Utm, tenemos que

P

i∈Supp(SU)x

m i =

P

i∈(SU)tmx

m

i , ∀S ∈ P(N) y esto

implica que

X

i∈Supp(SU) yi =

X

i∈Supp(SU)

q(U)

X

m=1

Ψ(tm)xmi

=

q(U)

X

m=1



Ψ(tm)

X

i∈Supp(SU) xm_i





=

q(U)

X

m=1



Ψ(tm)

X

i∈(SU)tm xm_i





≥

q(U)

X

m=1

Ψ(tm)ν((SU)tm)

= ν(SU),

donde en la desigualdad usamos el hecho de quexm ∈ C(ν(Utm)) implica queP

i∈T x m i ≥

ν(T),∀T ⊆Utm_{; donde en particular} ₍_S

U)tm ⊆Utm.

Concluimos queysatisface la segunda condici´on para pertenecer aC˜(ν)(U)tambi´en, y pot lo tanto y∈C˜(ν)(U).

Ahora, suponga que y∈C˜(ν)(U). Defina xm _por

xm_i =  



yi

Ψ(tm) si i∈U

tm

0 de lo contrario, m= 1, . . . , q(U).

Notemos que yi =

Pq(U)

m=1Ψ(tm)xmi ∀i∈N, ya que xmi = 0∀i /∈Utm. Veamos que en

efecto xm ∈ C(ν(Utm)). Dado que y∈C˜(ν)(U), tenemos en particular que

X

i∈Supp((Utm₎_U₎

(39)

y que

q(U)

X

m=1

X

i∈Supp((Utm₎_U₎ yi =

X

i∈N

yi = q(U)

X

m=1

Ψ(tm)ν(Utm).

Estas dos ecuaciones implican que

X

i∈Supp((Utm₎ U)

yi =Ψ(tm)ν(Utm),

lo que a su vez implica que

X

i∈Supp((Utm₎ U)

yi

Ψ(tm)

= X

i∈Utm yi

Ψ(tm)

=ν(Utm₎_,

donde por la definici´on de xm _{tenemos que} P

i∈Utmxm_i = ν(Utm). Por lo tanto xm

satisface la primera condici´on para pertenecer a C(ν(Utm)₎_{. Ahora, la segunda condici´}_on

se satisface tambi´en ya que por hip´otesis de que y∈C˜(ν)(U) se tiene ∀S∈P(N) X

i∈(SU)tm yi

X

i∈Supp(((SU)tm)U)

yi ≥ν(((SU)tm)U) =Ψ(tm)ν((SU)tm),

que implica que P

i∈(SU)tm

yi

Ψ(tm) =

P

i∈(SU)tmx

m

i ≥ ν((SU)tm). Notando el hecho de

que todos los subconjuntos n´ıtidos de Utm _{pueden ser escritos como} ₍_S

U)tm para alg´un

S ∈ P(N), concluimos que xm _{∈ C}₍_ν(Utm)₎_{, m} ₌ _t

1, . . . , tq(U) y queda demostrado el

teorema.

Por último, vemos una relación interesante entre el núcleo difuso y el mapa de Shapley, análoga con los juegos n´ıtidos. Donde de nuevo modificamos ligeramente la prueba de S.Yu y Q.Zhang que solo prueba el resultado para Ψ(t) =t.

Teorema 4.3. Suponga que ν ∈ G[Ψ] es convexo. Entonces para todo U ∈ F(N) se tiene que C˜(ν)(U) 6= ∅, donde en particular Φ(ν)(U) ∈ C˜(ν)(U), donde Φ denota el mapa de Shapley descrito en la secci´on anterior.

Prueba. Por lo probando en la anterior secci´on tenemos que P

i∈NΦ(ν)(U) = ν(U).

Luego, solo falta probar que para todo S∈P(N) se tiene que

X

i∈Supp(SU)

Φi(ν)(U)≥ν(SU) = q(U)

X

m=1

(40)

Comparando la funci´on de Shapley ϕ para los juegos n´ıtidos con el mapa de Shapley Φ

paraG[Ψ] tenemos que

Φi(ν)(U) =

 



Ψ(tm)ϕi(ν(U

tm₎

) si i∈Utm_{, t}

m ∈Q(U)

0 de lo contrario

.

Por lo tanto

X

i∈Supp(SU)

Φi(ν)(U) = q(U)

X

m=1

X

i∈(SU)tm

Φi(ν)(U)

=

q(U)

X

m=1



 X

i∈(SU)tm ϕi(νU

tm

) 

Ψ(tm).

Es claro que la restricción de ν a cualquier coalición, n´ıtida o difusa, debe ser con-vexa también. Por lo tanto, usando el teorema 2.4 tenemos que

q(U)

X

m=1



 X

i∈(SU)tm ϕi(νU

tm

) 

Ψ(tm) ≥ q(U)

X

m=1

ν(Utm)((SU)tm)Ψ(tm)

=

q(U)

X

m=1

(41)

Modelo de M.Tsurumi, su n´

ucleo y su

funci´

on de Shapley

En este cap´ıtulo revisaremos el modelo de juegos difusos desarrollado por M.Tsurumi [5]. Estos juegos tienen un par de propiedades importantes, que una gran parte de los juegos difusos con función de peso de Butnairu carece i.e., que las funciones caracter´ısti-cas del juego difuso sean monótonas no decrecientes y continuas con respecto a la tasa de participación de los jugadores. Estas dos propiedades hacen que este modelo pueda ser aplicado a una extensa cantidad de juegos, y que los juegos cooperativos n´ıtidos puedan ser extendidos de manera muy natural a los juegos difusos. Tsurumi también modifica en cierto grado los axiomas de Shapley de Butnairu para que estas sean un poco más lógicas y consistentes. En las siguientes dos secciones seguiremos a Tsurumi [5].

5.1. Juegos difusos con forma de integral de

Cho-quet

Antes de definir estos juegos necesitamos una definici´on. SeaS ∈F(N). Denotamos por [S]h :={i∈N|Si ≥h} para todoh∈[0,1], a el conjunto de las coordenadas de S

con un valor mayor ah. Definimos ahora los nuevos juegos difusos.

Definici´on 5.1. Sean S ∈F(N), Q(S) ={Si|Si >0, i∈N} y q(S) =|Q(S)|.

(42)

juego difusoν ∈GF(N) tiene forma de integral de Choquet si y solo si:

ν(S) =

q(S)

X

`=1

ν([S]h`)(h`−h`−1),

dondeho := 0, y dondeν restringido aP(N)es un juego n´ıtido superaditivo.

Denotare-mos por GF C(N) a el conjunto de los juegos difusos con forma de integral de Choquet.

Estos juegos difusos llevan este nombre ya que la ecuación tiene la forma de la integral de Choquet de una funciónS con respecto aν. Estas integrales están fuera del ´

ambito de esta tesis. El lector interesado es referido a [10]. Es claro de la definici´on que si ν ∈ G0(N) es superaditivo entonces la funci´on caracter´ıstica extendida a GF C(N)

tambi´en.

Antes de probar las propiedades de continuidad y monoton´ıa no decreciente de la funci´on, probemos el siguiente lema.

Lema 5.1. Sean ν ∈ GF C(N), S ∈ F(N) y 0 ≤ κ1 < . . . < κm ≤ 1, tales que

Q(S)⊆ {κ1, . . . , κm}. Entonces

ν(S) =

m

X

`=1

ν([S]κ`)(κ`−κ`−1),

donde κ0 = 0.

Prueba. Escriba los elementos de Q(S) en orden creciente como h1 < . . . < hq(S). Si

h`−1 = κj` < κj`+1 < . . . < κj`+p` =h` para cualesquiera `, ji, pi entonces tenemos que

[S]h` = [S]κ_j`+1 =· · ·= [S]κ_j`+_p`. Por lo tanto

m

X

`=1

ν([S]κ`)(κ`−κ`−1) =

q(S)

X

`=1

ν([S]κ`)((κj`+p`−κj`+p`−1) +· · ·+ (κj`+l−κj`))

=

q(S)

X

`=1

ν([S]κ`)(κj`+p`−κj`)

=

q(S)

X

`=1

ν([S]κ`)(h`−h`−1)

(43)

Teorema 5.1. Sea ν ∈ GF C(N). Entonces ν es mon´otona no decreciente y continua

con respecto a la tasa de participaci´on de los jugadores, i.e.,

i) ν(S)≤ν(T)∀S, T ∈F(N), tales que S⊆T.

ii) ν es continua con respecto a la m´etricadenF(N)dada pord(S, T) = m´axi∈N |Si−

Ti| ∀S, T ∈F(N).

Prueba.

i) Tenemos para S, T ∈F(N) que

S ⊆T ⇐⇒ Si ≤Ti,∀i∈N

⇐⇒ [S]h ⊆[T]h,∀h∈[0,1]

=⇒ ν([S]h)≤ν([T]h),∀h∈[0,1],

ya que ν|P(N) es superaditiva y por lo tanto es mon´otona no decreciente. Ahora, si

consideramos el conjunto Q(S)∪Q(T) = {κ1, . . . , κm}, κ1 < . . . < κm. Tenemos

del lema anterior que

ν(S) =

m

X

`=1

ν([S]κ`)(κ`−κ`−1)

≤

m

X

`=1

ν([T]κ`)(κ`−κ`−1)

= ν(T).

ii) Sea S ∈ F(N), δ > 0 lo suficientemente peque˜no y T ∈ F(N) tal que d(S, T) = m´axi∈N|Si −Ti| < δ. Veamos que l´ımδ→0ν(S) = ν(T). Sean Q0(S) := {Si|i ∈

N} y q0(S) = |Q0₍_S₎_|. _{Consideremos los elementos de} _Q0₍_S₎ _{en forma}

crecien-te κ1 < . . . < κq0₍_S₎. Considere el conjunto Q0((Skm)_T) = {T_i|i ∈ Skm}, que

por simplicidad escribiremos como T[m]. Considere los elementos de T[m] en forma creciente k₁m < . . . < km_t_[_m_], donde t[m] := |T[m]|. Considerando δ lo suficientemente peque˜no; en particular δ < m´ın1<i≤q0₍_S₎ κi−κi−1

2

, tenemos que

tm−1 ≤ tm para todo m ≥ 2, tm ∈ T[m] y tm−1 ∈ T[m −1]. Veamos la raz´on

(44)

Si1 =κm, Ti1 =tm, Si2 =κm−1 y Ti2 =tm−1. Dado que d(S, T)< δ tenemos que

κm−tm < δ

=⇒ κm−κm−1 < δ+tm−κm−1

=⇒ 2δ < δ+tm−κm−1

ya que δ < κm−κm−1

2

=⇒ δ < tm−κm−1

=⇒ δ < tm−1−κm−1(ya que tm−1 > tm).

Pero esto es una contradicci´on con el hecho de que d(S, T) < δ. Concluimos que

tm−1 ≤ tm para todo m ≥ 2, tm ∈ T[m], tm−1 ∈ T[m−1]. En particular se tiene

que κm_t_[_m−1_−1] ≤ κm₁ ,∀m ≥ 2. Teniendo en cuenta esto y el lema anterior tenemos que

ν(T) =

q0(S)

X

m=1

t[m]

X

p=1

ν [T]κm p

(κm_p −κm_p₋₁), (5.1)

donde κ1

0 := 0 y κm0 :=κt[m−1], para m ≥ 2. Tomando una vez m´as en cuenta la

consideraci´on anterior, tenemos que paraδlo suficientemente peque˜noν [T]κm

1

=

ν([S]κm) para todo m. Por lo tanto para todo m se tiene que

t[m]

X

p=1

ν [T]κm p

(κm_p −κm_p−1) =ν([S]κm) (κ

m

1 −κ

m−1

t[m−1]) +

t[m]

X

p=2

ν [T]κm p

(κm_p −κm_p−1),

(5.2)

donde κ0

t[0] = 0. Ahora, dado que |κm −κ

m

1 | < δ y |κm−1−κm_t_[_m−1_−1]| < δ∀m ≥ 2,

tenemos que

κm−κm−1−2δ < κm₁ −κm_t_[_m−1_−1]< κm−κm−1+ 2δ. (5.3)

Tambi´en dado que |κm −κmp | < δ y |κm −κmp−1| < δ, para p ≥ 2, se tiene por

desigualdad triangular que

(45)

Por las ecuaciones (5.2), (5.3) y (5.4) se tiene que

ν([S]κm)(κm−κm−1−2δ) < ν([S]κm)(κ

m

1 −κ

m−1

t[m−1])

≤

t[m]

X

p=1

ν([T]κm p)(κ

m

p −κmp−1)

= ν([S]κm)(κ

m

1 −κ

m−1

t[m−1])

+

t[m]

X

p=2

ν([T]κm p)(κ

m p −κ

m p−1)

< ν([S]κm)(κm−κm−1+ 2δ) +

t[m]

X

p=2

ν([T]κm p )2δ

Por lo tanto, en el l´ımite δ→0 se tiene que

t[m]

X

p=1

ν([T]κm p)(κ

m p −κ

m

p−1)→ν([S]κm)(κm−κm−1),∀m.

Comparando esto con la ecuaci´on (5.1) deducimos que en el l´ımite δ →0

ν(T) =

q0(S)

X

m=1

t[m]

X

p=1

ν([T]κm p)(κ

m p −κ

m p−1)

→

q0(S)

X

m=1

ν([S]κm)(κm−κm−1)

= ν(S).

Concluimos que ν es continua con respecto a la m´etrica d.

Veamos ahora una caracterizaci´on de la funci´on de Shapley para estos juegos.

5.2. Funci´

on de Shapley en

G

_{F C}

(

N

)

Primero damos una nueva definici´on de portador difuso. Le cambiaremos el nombre para que no haya ambig¨uedad con los portadores definidos en el cap´ıtulo 4.

(46)

Definici´on 5.2. Seanν ∈GF(N)yU ∈F(N). Decimos queS ∈F(U)es un f-portador

de U para ν si

ν(S∩T) =ν(T)∀T ∈L(U).

Donde denotaremos por F C(U|ν) al conjunto de los f-portadores de U paraν.

La razón por la que Tsurumi da esta nueva definición de portador en juegos difusos es que esta está basada en la inclusión estándar entre conjuntos, mientras que los portadores definidos por Butnariu están basados en una inclusión no estándar. Se hace esto para redefinir el axioma de Shapley concerniente a los portadores.

Adicionalmente, para U ∈ F(N) y i, j ∈ N definimos para todo S ∈ F(U), S_ijU ∈ F(U) dado por

(S_ijU)κ =

    

   

m´ın{Si, Uj} siκ=i

m´ın{Sj, Ui} siκ=j

Sκ de lo contrario

.

Definimos tambi´en para todo S ∈ F(N) el conjunto Pij[S] dado por πS donde π

es la transposici´on (i, j). Donde adem´as es claro queSU

ij,Pij[S]∈L(U).

Definimos ahora la nueva funci´on de Shapley.

Definici´on 5.3. Sea G0_F(N) ⊆ GF(N). Decimos que Θ : G0F(N) 7→ (R

n₎F(N) _{es una}

funci´on de Shapley en G0_F(N) si se satisfacen los siguientes axiomas. Axioma F1: Si ν ∈G0F(N) y U ∈F(N) entonces

X

i∈N

Θi(ν)(U) = ν(U),

Θi(ν)(U) = 0,∀i /∈Supp(U).

Axioma F2: Si ν ∈G0F(N), U ∈F(N) y T ∈F C(U|ν) entonces

Θi(ν)(U) =Θi(ν)(T) ∀i∈N.

Axioma F3: Si ν ∈ G0F(N), U ∈ F(N), UijU ∈F C(U|ν) y ν(S) = ν(Pij[S]) para

todo S∈F(UU

ij) entonces