Programa para la caracterización inelástica de rótulas plásticas en elementos de concreto reforzado

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(1)Universidad de los Andes Departamento de ingeniería Civil y am biental. Programa para la caracterización inelástica de rótulas plásticas en elementos de concreto reforzado. Proyecto de grado. Jairo Andrés Valcárcel Torres Asesor: Juan Carlos Reyes Bogotá, enero 2005.

(2) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería Civil y am biental. Programa para la caracterización inelástica de rótulas plásticas en elementos de concreto reforzado. Proyecto de grado. Jairo Andrés Valcárcel Torres Asesor: Juan Carlos Reyes Bogotá, enero 2005.

(3) Agradecimientos.. Al profesor Juan Carlos reyes por su interés y sus continuas correcciones que permitieron la conformación del proyecto; A Tere, Jairo Hernán, Mery, Germán y Juan Manuel que fueron fuerza y aliento permanentes. A mis compañeros y amigos que fueron un gran apoyo durante la carrera..

(4) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. Tabla de contenido Tabla 1. 2. 3. 4. a.. 4.2. de contenido...........................................................................................................i INTRODUCCIÓN....................................................................................................1 OBJETIVO. ...........................................................................................................2 DESCRIPCIÓN GENERAL DEL PROGRAMA ANDES_CR.....................................3 DESCRIPCIÓN DE LAS RUTINAS DE CÁLCULO DEL PROGRAMA ANDES_CR ..4 Viga Rectangular ..................................................................................................4 4.1.1 Viga unitaria .............................................................................................¡Error! Marcador no definido. 4.1.1.1 Objetivos del módulo. ...............................................................................6 4.1.1.2 Fundamento teórico ..................................................................................6 4.1.1.3 Esquema del algoritmo: Solución para altura, momento, Fy y As............7 Esquema del algoritmo: Solución para Fc ............................................................7 Esquema del algoritmo: Solución para b ..............................................................8 4.1.1.4 Modo de empleo.......................................................................................8 4.1.2 Crear tabla: Nuev o proyecto....................................................................9 4.1.2.1 Objetivo ....................................................................................................9 4.1.2.2 Modo de empleo.......................................................................................9 4.1.3 Cargar proyecto........................................................................................11 4.1.3.1 Objetivo ....................................................................................................11 4.1.3.2 Modo de empleo.......................................................................................11 4.1.4 Crear formato ...........................................................................................12 4.1.4.1 Objetivo ....................................................................................................12 4.1.4.2 Modo de empleo.......................................................................................12 4.1.5 Importar Datos..........................................................................................12 4.1.5.1 Objetivo ....................................................................................................12 4.1.5.2 Modo de empleo.......................................................................................12 Cálculos de viga rectangular: Modelo de Kent y Park ...........................................14 4.2.1 Objetivos del módulo ................................................................................14 4.2.2 Fundamento teórico: Realización de diagramas momento curvatura........14 4.2.2.1 Definiciones generales: Relaciones entre momento, curvatura y rigidez. ..14 4.2.2.2 Capacidad y demanda de ductilidad ........................................................15 4.2.2.3 Descripción del diagrama momento curvatura ..........................................16 4.2.2.4 Descripción del comportamiento del acero ...............................................17 4.2.2.5 Procedimiento para la realización del diagrama M-φ : Cálculo de fuerzasen la sección ..................................................................................................................18 4.2.2.6 Tensión en el concreto..............................................................................18 4.2.2.7 Tensión y compresión en el acero.............................................................18 4.2.2.8 Descripción del modelo de Kent y Park para el concreto reforzado ...........19 4.2.2.8.1 ..................................................................................................................Parámetr os α y γ para secciones confinadas y no confinadas..................................20 4.2.2.8.2 ................................................................................................................Fuerza de compresión en el concreto para viga no confinada ..............................25 4.2.2.8.3 ................................................................................................................Fuerza de compresión en el concreto para secciones confinadas .........................26 4.2.2.8.4 ................................................................................................................Carga de toda la zona con esfuerzos de concreto no confinado ...............................26. i.

(5) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6 4.7. 4.8. 5 6 7. 4.2.2.8.5 ................................................................................................................Descarga de la zona confinada con esfuerzos de concreto no confinado .................26 4.2.2.8.6 ................................................................................................................Recarga de la zona confinada con esfuerzos de concreto confinado ......................26 2.2.3.1 Esquema del algoritmo Viga confinada ....................................................27 Esquema del algoritmo Viga confinada (continuación).........................................¡Error! Marcador no definido. 4.2.3.2 Esquema del algoritmo Viga no confinada ...............................................29 Esquema del algoritmo Viga no confinada (continuación)....................................¡Error! Marcador no definido. Cálculos de viga rectangular: Modelo de Mander.................................................31 4.3.1 Objetivos del modulo ................................................................................31 4.3.1 Fundamento teórico ..................................................................................31 4.3.1.1 Realización de diagramas momento curvatura .........................................31 4.3.1.2 Descripción general del modelo de Mander para el concreto reforzado....31 4.3.1.3 Fuerza de compresión en el concreto para secciones confinadas..............32 4.3.2 Esquema del algoritmo .............................................................................33 Esquema del algoritmo Continuación ...................................................................¡Error! Marcador no definido. Resultados viga Rectangular: Diagrama Momento Curvatura (M-φ).......................35 4.4.1 Resultados en tabla...................................................................................35 4.4.2 Resultados gráficos del programa..............................................................36 4.4.3 Copiar y pegar resultados..........................................................................37 4.4.4 Exportar resultados....................................................................................37 4.4.5 Archivo S2K para SAP 2000 V7. ...............................................................37 Viga T ...................................................................................................................40 4.5.1 Viga unitaria .............................................................................................¡Error! Marcador no definido. 4.5.1.1 Objetivos del módulo ................................................................................41 4.5.1.2 Fundamento teórico ..................................................................................41 4.5.1.3 Esquema del algoritmo: Solución para d, Fy, As,hf...................................42 4.5.1.4 Modo de empleo.......................................................................................43 4.5.2 Nuev o proyecto........................................................................................43 4.5.2.1 Objetivo ....................................................................................................43 4.5.2.2 Modo de empleo.......................................................................................43 Calculos de viga T: Modelo de Mander ................................................................44 4.6.1 Fundamento teórico ..................................................................................44 Columna: Diagrama de interacción.......................................................................45 4.7.1 Objetivos del módulo ................................................................................45 4.7.2 Modo de empleo.......................................................................................45 4.7.3 Fundamento teórico ..................................................................................46 4.7.4 Esquema del algoritmo .............................................................................47 . Resultados del módulo de columna: Diagrama de interacción ...........................48 4.8.1 Resultados gráficos del programa..............................................................48 4.8.2 Exportar resultados....................................................................................48 4.8.3 Copiar y pegar resultados..........................................................................48 Alcance y limitaciones del Proyecto......................................................................49 Conclusiones.........................................................................................................50 Anexos..................................................................................................................1 Viga Rectangular ..................................................................................................1 Viga T 6. ii.

(6) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado Caracterización inelástica .................................................................................................¡Error! Marcador no definido. Viga rectangular: Modelo de Kent y Park..............................................................¡Error! Marcador no definido. Viga rectangular: Modelo de Mander....................................................................22 Diagramas de interacción..................................................................................................22 Referencias.......................................................................................................................29. iii.

(7) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. 1. INTRODUCCIÓN. El desarrollo de algoritmos para la solución de variables sujetas a relaciones conocidas es una herramienta que es deseable en cualquier campo del conocimiento. En particular, en la ingeniería civil, existen procesos que debido a su carácter cíclico, la creación de esquemas de solución los agiliza y facilita. Dichos algoritmos se pueden clasificar internamente por una entrada de datos, un proceso o rutina de cálculos y una salida de datos o resultados. Por lo tanto, la valoración de la efectividad de un algoritmo está determinada por estos tres factores: La facilidad y claridad para el usuario respecto al ingreso y tipo de datos; El procesamiento de los datos según su duración y precisión y finalmente, los datos de salida, su organización y presentación. El diseñador de estos mecanismos de solución debe, además de enfocarse en los pasos mencionados, dar a conocer los alcances y limitaciones del algoritmo, buscando que el usuario juzgue la aplicabilidad del esquema de cálculo para sus problemas particulares. Mediante esta práctica y compromiso de las dos partes, se logra un una mayor conciencia en la solución de los problemas de ingeniería. Una forma de conocer los alcances de los algoritmos es la comparación de sus resultados con otros que ya hayan sido aceptados y trabajen bajo condiciones similares. Esta práctica permite conocer la precisión y dar una medida de la calidad de los procesos de entrada y salida de datos y la metodología de cálculos. A partir de la valoración de las características internas y las limitaciones del algoritmo, es posible el desarrollo de nuevas versiones que superen las fallas presentes en los esquemas existentes. Este proceso requiere un ciclo de experiencia que contemple desde la posición del usuario las posibles mejoras o aspectos deseables en los procesos de solución. Con este conjunto de ideas se enfocó el desarrollo del programa ANDES_CR (algoritmo para la caracterización inelástica de rótulas plásticas) cuya descripción, bajo los temas mencionados, se hace a lo largo de este documento.. 1.

(8) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. 2. OBJETIVO. El objetivo general del programa ANDES_CR es conformar una herramienta de diseño para estructuras de concreto reforzado que facilite al diseñador los procesos de entrada de datos, procesamiento y presentación de resultados en el cálculo de rotaciones plásticas y características de secciones de concreto reforzado para que los datos de salida del programa puedan ser utilizados como una nueva entrada para otros esquemas de cálculo y solución. Los objetivos específicos del programa ANDES_CR son los siguientes: •. Soluciones de las características de la sección, refuerzo y propiedades de los materiales a partir del momento nominal para vigas con sección rectangular y T.. •. Generación del diagrama de interacción para columnas. •. Exportar, copiar y pegar los resultados del diagrama de interacción en otros documentos (archivos de Excel, Word, procesadores de texto o numéricos). •. Cálculo de las rotaciones plásticas para vigas rectangulares y vigas T. •. Generación del diagrama de momento – curvatura. •. Exportar, copiar y pegar los resultados del diagrama de momento curvatura y las rotaciones plásticas a otros documentos.. •. Creación del texto a ser exportado al archivo S2K de SAP 2000 V8 para la caracterización de rótulas plásticas según los límites establecidos en el documento FEMA 273 (Seguridad de la vida, Ocupación inmediata, prevención de colapso).. 2.

(9) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. 3. DESCRIPCIÓN GENERAL DEL PROGRAMA ANDES_CR. Figura 1: Entrada al programa ANDES_CR El programa ANDES_CR se puede clasificar en cuatro subconjuntos según los procesos de cálculos y resultados. Estos son: los cálculos de las variables de la sección, las propiedades de los materiales y las características del refuerzo según el momento nominal; la caracterización inelástica de rótulas plásticas para vigas de sección rectangular y sección T y el cálculo del diagrama de interacción para columnas. (ver Figura 1) El primer subconjunto busca calcular una variable de una sección a partir de otras conocidas mediante un proceso iterativo en el cual se asume un valor inicial de la incógnita y luego se ajusta según el momento nominal requerido De esta manera,, se pueden calcular las dimensiones de la sección, el área del refuerzo, y las propiedades del acero y del concreto La caracterización inelástica de rótulas plásticas busca calcular los momentos y las curvaturas para los puntos de agrietamiento, fluencia y último con el fin de esquematizar el diagrama de momento-curvatura y calcular la rotación plástica correspondiente a cada rótula. Este proceso se realiza a través del equilibrio de fuerzas en la sección, determinada por una deformación dada y la respectiva profundidad del eje neutro. Para el cálculo de la fuerza de compresión en el concreto se pueden utilizar dos modelos: El modelo de Kent y Park y el modelo de Mander que más adelante se describirán. Para la caracterización inelástica es necesario tener como datos de entrada las dimensiones de la sección, la resistencia del concreto y del acero, el diámetro (expresado en unidades de pulgada) del refuerzo a flexión y cortante, la cantidad de barras del refuerzo a flexión positivo y negativo, ramas y espaciamiento del refuerzo transversal y como datos para el procesamiento del archivo a exportar a SAP 2000 V7, el cortante y momento gravitacional de la rótula. Los datos pueden ser ingresados a partir de la creación de una tabla con los campos mencionados o a partir de tablas existentes con los datos y campos correspondientes. Estas tablas pueden estar en formato mdb (las cuales ya tienen los campos necesarios) o ser hojas de Excel siempre y cuando los campos y datos estén organizados debidamente. Para evitar confusiones y errores en la introducción de tablas desde Excel, el programa ofrece al usuario la posibilidad de crear el formato requerido en una hoja de un archivo de Excel existente para que luego a partir de este archivo se tomen los datos de entrada para los cálculos respectivos. Finalmente, el cálculo del diagrama de interacción busca generar una matriz de datos con los valores de fuerza axial y momento para diferentes puntos a lo largo de la sección de la columna y en los sentidos x y y especificados. Para este procedimiento es necesario conocer las dimensiones de la columna, las propiedades del acero y del concreto, el diámetro de las varillas de refuerzo y su cantidad.. 3.

(10) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. 4. DESCRIPCIÓN DE LAS RUTINAS DE CÁLCULO DEL PROGRAMA ANDES_CR 4.1 Viga Rectangular. Figura 2. Formulario de entrada a las opciones par viga rectangular En el formulario de viga rectangular (ver Figura 2) se ofrecen las opciones mencionadas anteriormente para el cálculo de las variables de la sección y la caracterización inelástica. Los botones dispuestos a la derecha permiten acceder a los procesos de entrada de datos de cada uno de los algoritmos de cálculo. Las opciones para el acceso a cada uno de los subconjuntos del programa también están disponibles en el menú. A través del botón “ Capacidad de la sección” se accede al formulario de cálculos de las variables de resistencia a flexión y cortante para la sección definida por el usuario. Los demás botones hacen parte del proceso de datos para el cálculo de rotaciones plásticas. El botón “ crear tabla” permite al usuario generar una tabla en formato mdb con los campos necesarios para ingresar los datos del cálculo. El botón “ Cargar proyecto” abre una tabla en formato mdb existente y el botón “ Importar datos” lee desde un archivo en formato xls y definido por el usuario los datos. 4.

(11) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. 4.1.1 Capacidad de la sección Entrada al formulario de cálculos de variables de la sección. Botón para crear una nueva tabla. Botón para Importar datos desde Excel. Botón para cargar una tabla existente Figura 3 Formulario de entrada a los cálculos de viga unitaria de sección rectangular. 5.

(12) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado Cuadro de lista para la selección de variables. Botón para realizar los cálculosde la variable seleccionada.. Cuadros de texto para el ingreso de los datos y salida de resultados. Figura 4 Formulario de entrada de datos y cálculos de las variables de la sección rectangular.. 4.1.1.1. Objetivos del módulo.. Tal como se mencionó, en este procedimiento se busca calcular cualquiera de las variables de la sección a partir de la función del momento nominal y cálculo de la fuerza cortante. 4.1.1.2. Fundamento teórico. El proceso iterativo expuesto en la descripción general se realiza a partir de las relaciones de las variables en la ecuación. ⎛. φMn = φρf ybd 2 ⎜⎜ 1− 0.59 ⎝. ρf y ⎞ ⎟ f `c ⎟⎠. (1). En donde Mn representa el momento nominal, ρ la cuantía, b, el ancho de la sección, d la altura, fy y f’c la resitencia del acero y el concreto respectivamente [Ver referencia 1]. De esta manera, cualquiera de las variables que se tome como incógnita se introduce en esta relación con un valor supuesto de entrada y se ajusta según el momento requerido.. 6.

(13) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. 4.1.1.3. Esquema del algoritmo: Solución para altura, momento, Fy y As S elecc ión de la variable a c alc ular y almac enamiento de datos : Fc ,Fy ,A s ,A s -, Mn,b,h. V ariable = Mn No Si. Mn= f (Fc ,Fy ,A s ,A s ',b,h). Mn=dato de entrada. Imprimir Mn h=10. Mn1= f ( Fc ,Fy ,A s ,A s' ,b,h). Variables: Mn=Momento Nominal Fc=Res istencia del concreto Fy=Res istencia del Acero b=Ancho de la sec ción h=altura de la sección As=Area del refuerz o inferior As-=Area del refuerz o superior. Mn1< Mn Si No. h=h+1. h=h. Imprimir h. Diagrama 1 Esquema de cálculo de As, d, Fy para viga rectangular.. Esquema del algoritmo: Solución para Fc Selección de la variable a calcular y almac enamient o de datos : Fc ,Fy, As, As -, Mn,b,h. Mn=dato de ent rada. Fc= f (Mn, Fy,As, As',b, h). Imprimir Fc. Diagrama 2 Esquema de cálculo de Fc para viga rectangular.. 7.

(14) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. Esquema del algoritmo: Solución para b. Se supone un valor inicial de 10 para iniciar la iteración. Selección de la variable a calcular y almacenamiento de datos: Fc,Fy,A s,As-, Mn,b,h. Mn=dato de entrada. b=10. Mn1= f (Fc,Fy,As,As',b,h). Mn1< Mn Si No. b=b b>100 Si No Imprimir b b=b+1. b=100; h=h+1. Diagrama 3 Esquema de solución para b en viga rectangular.. 4.1.1.4. Modo de empleo. 1. El usuario debe introducir las variables diferentes a la incógnita en las cajas de texto correspondientes. (Ver Figura 4) 2. Luego seleccionar en el cuadro de opciones la variable incógnita 3. Oprimirr el botón “ calcular” para generar los resultados.. 8.

(15) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. 4.1.2 Crear tabla: Nuevo proyecto. Figura 5 Formulario de entrada para la creación de una nueva tabla de datos para la caracterización inelástica. 4.1.2.1. Objetivo. En esta disponible en el formulario de viga rectangular (ver figura Figura 5) opción se ofrece al usuario la creación de una tabla en formato .mdb para el acceso de los datos necesarios para los cálculos de las rotaciones plásticas.. 4.1.2.2. Modo de empleo. Al ejecutar desde el menú o a través del botón “ Crear tabla” se genera un cuadro de diálogo (ver Figura 6) para asignar el nombre de la nueva tabla de datos que se va a generar:. 9.

(16) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. Figura 6: Selección y/o asignación del nombre de la nueva tabla de datos. Luego de definir el nombre de la base de datos aparece en la pantalla el formulario con la nueva tabla de datos (ver Figura 7) para ser utilizada en los procedimientos de cálculo de las rotaciones plásticas. Las unidades y significado de los cálculos se presentan en la Tabla 1:. Figura 7 Esquema de la nueva tabla de datos.. 10.

(17) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. Nombre del campo Nombre Fc Fy Fys Base Altura Longitud No#pos No#neg As#v Ramas As#v EspaciamientoAs#v Cortante Gravitacional Momento Gravitacional. Tabla 1: Descripción de los campos y sus respectivas unidades Descripción Nombre de la rótula Resistencia del concreto Resistencia del acero Resistencia del acero del refuerzo transversal confinamiento Base de la viga Altura de la viga Distancia entre rótulas adyacentes Cantidad de varillas del número definido(#) en el refuerzo positivo Cantidad de varillas del número definido(#) en el refuerzo negativo Diametro del refurzo transversal(#) Número de ramas en la sección transversal Espaciamiento entre barras transversales Cortante de la rótula debido a fuerzas gravitacionales Momento de la rótula debido a cargas gravitacionales. Unidades Sin unidades Mpa MPa MPa mm mm mm Cantidad Cantidad Número de la barra Cantidad mm KN KN.m. 4.1.3 Cargar proyecto 4.1.3.1. Objetivo. En esta opción se busca cargar una tabla de datos creada anteriormente para calcular las rotaciones plásticas de las rotulas definidas en la tabla.. Figura 8 Esquema de una tabla de datos ya creada.. 4.1.3.2. Modo de empleo. Al seleccionar cargar un proyecto o datos desde el menú o desde el botón, aparece un cuadro similar al presentado para la creación de una nueva tabla (ver Figura 6) para la selección de la base de datos origen. Luego de la selección aparece la tabla de datos (ver Figura 8) con los registros guardados en esta.. 11.

(18) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. 4.1.4 Crear formato 4.1.4.1. Objetivo. El objetivo de esta opción (Ver Figura 9) es generar en un archivo existente de Excel los campos de la tabla de datos origen para los cálculos de la caracterización inelástica y su definición.. 4.1.4.2. Modo de empleo. Al seleccionar esta opción aparece un cuadro de diálogo (Ver Figura 11) en el cual se deberá escoger el archivo de Excel destino para la creación de los campos. Finalmente, aparecerá un cuadro de diálogo en el cual se pide guardar los cambios. Al aceptar, el archivo destino de Excel en la hoja 1 tendrá los campos necesarios y su definición a través de un comentario.(Ver Figura 10). Figura 9 Menú: Crear formato. Figura 10 Esquema de los campos creados en los archivos de Excel seleccionados.. 4.1.5 Importar Datos 4.1.5.1. Objetivo. En esta opción se busca cargar los datos de entrada desde un archivo de Excel que contenga la información necesaria y con los campos requeridos en el orden establecido.. 4.1.5.2. Modo de empleo. Luego de dar inicio a la opción “ importar datos” aparecerá un cuadro a en el cual se podrá escoger el archivo origen de datos (Ver Figura 11.). 12.

(19) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. Figura 11 Cuadro para la selección del archivo origen de datos Luego de seleccionar el archivo origen, aparece un mensaje (Ver Figura 12), en el cual se pide al usuario que defina el número de rótulas que desea calcular. Con esta definición se busca que el algoritmo establezca cuantas filas deberá leer en el archivo y el número de cálculos que deberá realizar.. Figura 12: cuadro de diálogo para definir el número de rótulas de cálculo Una vez establecidos el número de rótulas (o determinado los valores de los campos en una nueva tabla o en una tabla existente a través de las opciones “ crear tabla” o “ cargar proyecto”) es posible desarrollar los cálculos requeridos para el diagrama de momento curvatura y las rotaciones plásticas.. 13.

(20) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. 4.2 Cálculos de viga rectangular: Modelo de Kent y Park. Figura 13 Menú: selección de cálculos bajo el modelo de Kent y Park. 4.2.1 Objetivos del módulo En esta opción (Ver Figura 13) se permite al usuario seleccionar el modelo de Kent y Park para calcular la fuerza de compresión del concreto en el equilibrio de fuerzas establecido según los niveles de deformación y profundidad del eje neutro correspondientes.. 4.2.2 Fundamento teórico: Realización de diagramas momento curvatura A continuación se van a presentar las definiciones y conceptos básicos del diagrama momento curvatura y los modelos de comportamiento del acero y del concreto según Kent y Park.. 4.2.2.1. Definiciones generales: Relaciones entre momento, curvatura y rigidez.. La relación entre el momento aplicado a una sección y la curvatura resultante está definida por el análisis de flexión bajo los supuestos de secciones planas, deflexiones pequeñas y materiales linealmente elásticos, que hacen posible determinar la distancia al centro de giro y la deformación.. Figura 14 Esquema de la relación entre momento y curvatura [Ver referencia 2]. 14.

(21) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado Usando las definiciones de la Figura 14 se puede establecer la longitud (∆x + ∆u) de la sección respecto al ángulo θ y la deformación asociada a la flexión (∆u).. ∆x + ∆ u = ∆ θ (ρ + y ) (2) ∆u = ∆θ . y (3) Al conocer la longitud y deformación, La deformación unitaria de la sección estaría definida como sigue:. ε=. ∆u ∆θ = y (4) ∆x ∆x. Aplicando el límite cuando ∆x tiende a cero, se obtiene la siguiente relación:. ε =. du dθ 1 (5) =y = yφ = y dx dx ρ. en la cual φ representa la curvatura originada por el momento aplicado. Según las anteriores definiciones, el esfuerzo σ en cualquier fibra de la sección se puede determinar con la siguiente relación:. σ = Eε = E.y.φ. (6). El momento aplicado se puede determinar utilizando las anteriores ecuaciones como sigue:. M = ∫ σ . y.dy = ∫ E. y 2 .φ .dy = φ .E ∫ y 2 dy = φ .E .I (7) De la anterior definición se encuentra la relación del momento con la curvatura y la rigidez. Así, la pendiente de la relación entre el momento aplicado y la curvatura resultante representa la rigidez de la sección. 4.2.2.2. Capacidad de ductilidad. Ductilidad es la capacidad de un material de resistir deformaciones más allá del límite elástico sin presentar falla. La capacidad de ductilidad de curvatura se define como la razón entre la curvatura última y la curvatura de fluencia (φu/ φy) obtenidas en un diagrama de momento-curvatura.. 15.

(22) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. 4.2.2.3. Descripción del diagrama momento curvatura. Figura 15 Esquema de un diagrama de momento curvatura: [Ver referencia 2] A medida que se aumenta el momento aplicado a la sección, la relación entre el momento y la curvatura sigue la gráfica mostrada en la Figura 15. A partir del origen, esta relación es lineal hasta el punto donde se excede la resistencia a la tensión del concreto en la fibra inferior. Este punto se define como el momento de agrietamiento, Mcr. La rigidez en este punto corresponde a la rigidez no fisurada de la sección, EIg . La disminución en momento después de la figuración depende de la cuantía de refuerzo, siendo más marcada en secciones con poco refuerzo. Luego del punto de agrietamiento, se desarrolla un aumento aproximadamente lineal de la curvatura con un aumento del momento. Esto se mantiene hasta que se llega a la fluencia del acero a tensión, correspondiendo al momento de fluencia. La forma de la relación momento-curvatura está influenciada por parámetros tales como la cuantía, el refuerzo a compresión, el refuerzo de confinamiento y la carga axial, entre otros. Tabla 2 Factores que influyen en la capacidad de ductilidad Factor Impacto en la capacidad de ductilidad Dimensiones de la sección (b,h) Directamente proporcional Resistencia del concreto Directamente proporcional Resistencia al acero Inversamente proporcional (No lineal) Refuerzo a tensión Inversamente proporcional (No lineal) Cuantía Inversamente proporcional (No lineal) Refuerzo a compresión Directamente proporcional (No lineal). 16.

(23) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. 4.2.2.4. Descripción del comportamiento del acero. Figura 16 Esquema de la Gráfica esfuerzo deformación para el acero. [Ver referencia 2] Según la Figura 16, las relaciones entre esfuerzo y deformación en el acero se puede determinar en las siguientes cuatro regiones: Región A-B (εs <=εy) Rango elástico.. fs = E sε s (8). Región B-C (εy<=εs <=εsh) fluencia Región C-D (εsh<=εs <=εu) Endurecimiento por deformación. ⎡ m(ε s − ε sh ) + 2 (ε s − ε sh )(60 − m)⎤ + fs = fy ⎢ ⎥ (9) 2(30r + 1)2 ⎦ ⎣ 60(ε s − ε sh ) + 2. (f m=. / f y )(30r + 1) − 60r − 1 2. su. 15r 2. (10). r = ε su − ε sh (11). 17.

(24) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. Región D-E (εs >εsu) Resistencia última fs=0 (12) Deformaciones límite según el diámetro de la barra. εmax = 0.14 para barras No. 3 (3/8”) a No. 6 (3/4”) εmax = 0.12 para barras No. 7 (7/8”) a No. 11 (1-3/8”) εmax = 0.10 para barras No. 14 (1-3/4”) y No. 18 (2-1/4”) Para εsu εsu = 0.12 para barras No. 3 (3/8”) a No. 6 (3/4”) εsu = 0.10 para barras No. 7 (7/8”) a No. 11 (1-3/8”) εsu = 0.09 para barras No. 14 (1-3/4”) y No. 18 (2-1/4”) Para εsh εsh = 0.016 para barras No. 3 (3/8”) a No. 6 (3/4”) εsh = 0.012 para barras No. 7 (7/8”) a No. 11 (1-3/8”) εsh = 0.006 para barras No. 14 (1-3/4”) y No. 18 (2-1/4”) Valor del parámetro r según el diámetro de la barra: r = 0.104 para barras No. 3 (3/8”) a No. 6 (3/4”) r = 0.088 para barras No. 7 (7/8”) a No. 11 (1-3/8”) r = 0.054 para barras No. 14 (1-3/4”) y No. 18 (2-1/4”). 4.2.2.5. Procedimiento para la realización del diagrama M-φ : Cálculo de fuerzas en la sección. El procedimiento general para calcular los puntos del diagrama de momento curvatura es realizar un equilibrio de las fuerzas aplicadas en la sección, determinado por las deformaciones y profundidades del eje neutro y a partir de estos parámetros calcular el momento y la curvatura correspondientes. A continuación, las dimensiones de la sección, base y altura se representan por las variables b y d; k representa la profanidad del eje neutro, Ec el módulo de elasticidad del concreto,Es el módulo de elasticidad del acero, fr el modulo de fisuración del concreto, As, el área del refuerzo longitudinal inferior, As-, el área del refuerzo longitudinal superior. 4.2.2.6 Tc = 0.5 4.2.2.7. Tensión en el concreto fr 2 kd b (13) Ec.ε Tensión y compresión en el acero. Las fuerzas de tensión y compresión en el acero están determinadas según el esfuerzo correspondiente al nivel de deformación dado para cada una de las regiones presentadas en el comportamiento del acero. Así, las fuerzas de tensión se calculan con el producto del esfuerzo establecido y el área del refuerzo.. 18.

(25) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. 4.2.2.8. Descripción del modelo de Kent y Park para el concreto reforzado. Figura 17 Esquema del modelo de Kent y Park para el concreto reforzado. [Ver referencia 2] Las relaciones entre la deformación y el esfuerzo para el concreto reforzado bajo este modelo se pueden clasificar en las siguientes regiones (Ver Figura 17): Región A-B, ε. c. ≤ 0 002. 2 ⎡ 2ε c ⎛ ε ⎞ ⎤ − ⎜ c ⎟ ⎥ (14) f c = f 'c ⎢ ⎢⎣ 0.002 ⎝ 0.002 ⎠ ⎥⎦. La parábola de segundo grado indica que el acero de confinamiento no tiene influencia en la forma de la curva en este rango. Solo empieza a afectar para deformaciones unitarias mayores de 0.002. Por lo tanto su forma es igual a la de concreto no confinado. El esfuerzo máximo alcanzado es igual al de un cilindro en este modelo. Región B-C 0.002<εχ<=ε20χ. f c = f 'c [1 − z (ε c − 0.002 )] (15) z=. 0.5 ε 50 u + ε50 h − 0.002. (16). 19.

(26) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. ε 50 u =. η + 0.002 f ' c f 'c − β. ε 50 h = 0.75ρ x ε 20 c =. 0.8 z. b' ' sh. + 0.002. (17). (18). (19) Deformación última.. f ′ = resistencia a la compresión del concreto medida en cilindros de 15 por 30 cm. ρ s = cuantía volumétrica de refuerzo transversal. Relación del volumen de refuerzo transversal al volumen de concreto confinado por este refuerzo transversal, midiendo el volumen de concreto hasta la parte exterior del estribo de confinamiento. b’’ = ancho del núcleo confinado, medido fuera-fuera de los estribos. s h = espaciamiento centro a centro de los estribos. Los parámetros α y β toman los valores presentados en Tabla 3 dependiendo del sistema de unidades: Tabla 3 Valores de los parámetros β y η según el sistema de unidades Mpa η β. kgf/cm2 Psi 0,021 0,21 7 70. 3 1000. Región C-D εc >ε20c. f c = 0.2 f 'c (20) Para concreto no confinado, en esta última región, fc=0. 4.2.2.8.1 Parámetros α y γ para secciones confinadas y no confinadas. εc <=0.002. α=. εc εc2 − ε 0 3ε 02. γ =. 4ε 0 − ε c (22) 12ε 0 − 4ε c. (21). 0.002<=εc <=ε20χ. 20.

(27) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. α = 1−. ε0 ε2 ε ⎞ ⎛ + z⎜⎜ ε 0 − 0 − c ⎟⎟ 3ε c 2ε c 2 ⎠ ⎝. (23). 1⎡ ε 02 ⎛ ε 0 ε c ε 03 ⎞ ⎤ γ = 1 − ⎢ 0.5 − + z⎜⎜ − − 2 ⎟⎟ ⎥ (24) α ⎣⎢ 12ε 2 c ⎝ 2 3 6ε 0 ⎠ ⎦⎥ εχ>=ε20χ Concreto no confinado. α=. 1 ⎛ 2ε 0 0.48 ⎞ + ⎜ ⎟ z ⎠ εc ⎝ 3. γ =1 −. (25). 1 ⎡ 5ε 02 0.48ε 0 0.448 ⎤ + + ⎢ ⎥ αεc2 ⎣ 12 Z 3z 2 ⎦. (26). εχ>=ε20χ Concreto confinado. α=. 1.4ε 0 0.32 + + 0.2 3ε c zε c. γ =1 −. (27). 1 ⎡ 3.8ε 02 0.32ε 0 0.256 ⎤ + + + 0.1ε c 2 ⎥ 2 ⎢ 2 αεc ⎣ 12 3z z ⎦. (28). 21.

(28) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. Tabla 4 Valores de α concreto no confinado [Ver referencia 2]. 22.

(29) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. Tabla 5 Valores de γ concreto no confinado [Ver referencia 2]. 23.

(30) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. Tabla 6 Valores de α concreto confinado [Ver referencia 2]. 24.

(31) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. Tabla 7 Valores de γ concreto confinado [Ver referencia 2]. 4.2.2.8.2 Fuerza de compresión en el concreto para viga no confinada Cc = α u f 'c bkd. (29). La resultante está localizada a una distancia γ kd de la fibra extrema en compresión (Ver Figura 18). Figura 18 Esquema de deformaciones, esfuerzos y fuerzas en la sección según el modelo[Ver referencia 2 ]. 25.

(32) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. 4.2.2.8.3 Fuerza de compresión en el concreto para secciones confinadas Para calcular la fuerza de compresión en el concreto para secciones confinadas es necesario dividir la sección en concreto confinado y no confinado y a cada una de estas aplicar los esfuerzos correspondientes. Un procedimiento para lograr este objetivo consiste en cargar toda la sección con esfuerzos de concreto no confinado, luego descargar la zona confinada con esfuerzos de concreto no confinado y por último cargar nuevamente la zona confinada con esfuerzos de concreto confinado. Para realizar este procedimiento es necesario conocer la deformación unitaria en la parte superior del refuerzo transversal de confinamiento (εcc ) con el fin de identificar la deformación a la cual es necesario calcular los parámetros αy γ en la carga y descarga del núcleo confinado.. 4.2.2.8.4 Carga de toda la zona con esfuerzos de concreto no confinado Ccut = α u f 'c bkd. (30). 4.2.2.8.5 Descarga de la zona confinada con esfuerzos de concreto no confinado Ccuc = − (kd − recubrimiento )b' ' fc'α u (ε cc ). (31). 4.2.2.8.6 Recarga de la zona confinada con esfuerzos de concreto confinado Cccc = (kd − recubrimiento)b' ' fc'α c (ε cc ) (32). 26.

(33) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. 2.2.3.1. Esquema del algoritmo Viga confinada Le ctu ra y a lma cena miento de d atos * Nueva tabla * Cargar tabl a * Importar datos Defini ción y cálculo de modulos de elasticidad del acero (Es) y elasticidad(Ec) y ruptura (fr) del concreto Cal cul ar locali zación del eje neutro (cb) y Momento de i nercia(Ig) para la secci ón no agrietada Calcul ar Momento de agrietami ento Mcr= f(Ig,cb) Calcul ar curvatura de agrietami ento φcr= f(fr,cb,Ec). Calcular deformaciones en los puntos de fluencia y últi mo. Cálculo de l a deformación en el concreto( ε c) a l a deformación de fl uenci a del acero( εy) (Punto de fluencia) Profundi dades del eje neutro supuestas: k1=0,k2=1; en equili bri o de fuerzas:ke=(k1+k2)/2. Deformaci ón en equilibrio εe= (ke*εy)/(1-ke). Calculo de fuerzas en la secci ón para las profundi dades del eje neutro(ke) y deformaci ones ( εe) dadas Tensi ón en el acero Ts=f(ke, εe) Tensión en el concreto Tc= f(ke,ε e) Compresi ón en el acero Cs= f(ke,ε e). Carga de toda la zona a compresión con esfuerzos de concreto no confi nado Ccut= f(ke,d,b,Fc, αu(ε e)). Descarga la zona confinada con esfuerzos de concreto no confinado Ccuc=f(ke,d,b,Fc, αu( ε cc(ke, εe)). Recarga l a zona confinada con esfuerzos de concreto confinado Cccc= f(ke,d,b,Fc, αc( εcc(ke, ε e)). Diagrama 4 Esquema de solución del diagrama momento curvatura utilizando Kent y Park.. 27.

(34) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. Equilibrio(ke, εe)=f(Ts,Tc, Cs,Ccut, Ccuc,Cccc). Equilibrio<1 Si No Equilibrio>0 Si No. ε cy=ε e k2=ke. k=ε cy/(ε cy+ε y). k1=ke. ke=(k1+k2)/2. ke=(k1+k2)/2. Mom ento de fluencia (k, εcy) Mom ento=f(Ts,Tc,Cs, Ccut ,Ccuc,Cccc) Curvat ura de fluencia curvat ura=f(k, ecy,d). Cálculo de la profundidad del eje neut ro a una deformación unitaria dada (deformación última ε cu) Profundidades del eje neutro supuest as: k1=0,k2=1; en equilibrio de fuerzas:ke=(k1+k2)/2. Equilibrio(ke,ε cu=f(Ts, Tc,Cs,Ccut , Ccuc,Cccc). Equilibrio<10 Si No. Mom ento último (ke, εcu) Mom ento=f(Ts, Tc,Cs, Ccut, Ccuc,Cccc). Curvat ura de fluencia curvatura=f(k, εcu,d). Equilibrio>0 Si No. k2=ke. ke=(k1+k2)/2. k1=ke. ke=(k1+k2)/2. Diagrama 5 Continuación del esquema de solución utilizando Kent y Park.. 28.

(35) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. 4.2.3.2. Esquema del algoritmo Viga no confinada Lectura y alma ce namien to de d atos * Nueva tabla * Cargar tabla * Importar datos Definición y cálculo de modulos de elasticidad del acero (Es) y elasticidad(Ec) y rupt ura (fr) del concreto Calcular localización del eje neutr o (cb) y Momento de inercia(Ig) par a la sección no agrietada Calcular Momento de agrietamiento Mcr= f(Ig,cb) Calcular curvatura de agrietamiento φ cr= f(fr, cb,Ec). Calcular deformaciones en los puntos de fluencia y último Cálculo de la deformación en el concr eto(εc) a la deformación de fluencia del acero(εy) (Punto de fluencia) Profundidades del eje neutro supuestas: k1=0,k2= 1; en equilibrio de fuerzas:ke=(k1+k2)/2. Deformación en equilibrio εe= (ke*εy)/(1-ke). Calculo de fuerzas en la sección para las profundidades del eje neutro(ke) y deformaciones ( εe) dadas Tensión en el acero Ts=f(ke,ε e) Tensión en el concret o Tc=f( ke,εe) Compresión en el acer o Cs=f(ke,εe). Carga de toda la zona a compresión con esfuerzos de concreto no confinado Ccut=f(ke,d,b,Fc,αu(εe)). Diagrama 6 Esquema de solución para viga no confinada utilizando el modelo de Kent y Park.. 29.

(36) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. Equilibrio(k e,εe)=f(Ts,Tc,Cs,Ccut , Cc uc, Cccc ). Equilibrio<1 Si No Equilibrio>0 Si No. εc y=εe k 2=ke. k =εcy/ (εcy+εy). k 1=ke. ke=(k1+k2)/2. k e=(k1+k2)/ 2. Moment o de fluenc ia (k,εcy) Moment o=f(Ts, Tc, Cs, Ccut ,) Curvatura de fluenc ia curvat ura=f(k,ecy,d). Cálculo de la profundidad del eje neut ro a una deformación unitaria dada (deformación últ ima εc u) Profundidades del eje neut ro supues tas: k1=0,k2=1; en equilibrio de fuerzas :ke=(k1+k2)/2. Equilibrio(ke,εcu=f(Ts ,Tc, Cs, Cc ut ,Cc uc,Cccc ). E quilibrio<10 Si No. Moment o últ imo (ke, εcu) Moment o=f(Ts, Tc, Cs, Ccut ,Cc uc,Cccc ). Curvatura de fluenc ia c urvat ura=f(k,εcu, d). E quilibrio>0 Si No k 2=ke. k e=(k1+k 2)/ 2. k 1=ke. ke=(k1+k 2)/ 2. Diagrama 7 Continuación del esquema de solución para viga no confinada.. 30.

(37) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. 4.3. Cálculos de viga rectangular: Modelo de Mander. Figura 19 Menú: Cálculos a partir del modelo de Mander.. 4.3.1 Objetivos del modulo En esta opción se busca calcular la fuerza de compresión en el concreto a través de la integración numérica del esfuerzo del concreto en el núcleo confinado dado por las ecuaciones de Mander y verificar el equilibro de la sección para las deformaciones y profanidades del eje neutro dadas.. 4.3.1 Fundamento teórico 4.3.1.1. Realización de diagramas momento curvatura [Ver referencia 4 ]. Para la realización del diagrama de momento curvatura se siguen los mismos procedimientos utilizados y explicados en el modelo de Kent y Park, a diferencia del cálculo de la fuerza de compresión en el concreto. Las fuerzas de tensión y compresión en el acero y tensión en el concreto están definidas de la misma manera. Por tal razón, en esta descripción del modelo sólo se va a mencionar el cálculo de la fuerza a compresión.. 4.3.1.2. Descripción general del modelo de Mander para el concreto reforzado. En el modelo de Mander se propone un acercamiento mediante una ecuación continua del esfuerzo del concreto confinado, aplicable a secciones tanto circulares como rectangulares, envueltas por refuerzo transversal. La ecuación del esfuerzo en el concreto es la siguiente:. fc =. f 'cc xr (33) r − 1 + xr. donde f’cc es el esfuerzo de compresión de concreto confinado.. x=. εc ε cc. (34). donde, εc es la deformación longitudinal de compresión en el concreto. ⎡. ⎛ f 'cc ⎞⎤ − 1⎟⎟ ⎥ (35) ⎝ f 'c0 ⎠ ⎥⎦. ε cc = ε co ⎢1 + 5⎜⎜ ⎢⎣. 31.

(38) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado donde f’ c0 es el esfuerzo de concreto no confinado.. r=. Ec (36) Ec − E sec. Ec = 5000 f 'co (MPa) (37) Ec es el módulo tangente de elasticidad del concreto.. E sec =. f cc. (38). ε cc. ⎛ 7.94 f ' l f 'l f ' cc = f ' c0 ⎜ − 1.254 + 2.254 1 + −2 ⎜ f ' c0 f ' c0 ⎝. ⎞ ⎟ (39) ⎟ ⎠. Donde f’l es la presión de confinamiento lateral debida al refuerzo de confinamiento. Para efectos del proyecto, se hizo una simplificación al modelo, al ignorar un aumento significativo en la resistencia a la compresión del concreto debido al confinamiento.. 4.3.1.3. Fuerza de compresión en el concreto para secciones confinadas. El cálculo de la fuerza de compresión en el concreto según este modelo se realiza a través de la integración numérica de la función del esfuerzo del concreto entre cero y la deformación correspondiente según el punto del diagrama (fluencia, último) y multiplicada por la profundidad del eje neutro, la base y la altura de la sección. ε1. Cc = bkd ∫ fc(ε ) dε (40) ε0. 32.

(39) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. 4.3.2 Esquema del algoritmo Lectura y almacenamiento de datos * Nueva tabla * Cargar tabla * Importar datos Definic ión y cálc ulo de modulos de elasticidad del ac ero (Es ) y elasticidad(E c) y ruptura (fr) del c oncreto Calc ular loc aliz ac ión del eje neutro (cb) y Momento de inercia(Ig) para la secc ión no agrietada Calc ular Momento de agrietamiento Mc r= f(Ig,c b) Calc ular c urvatura de agrietamiento φ cr= f(fr,c b,E c). Calcular deformaciones en los puntos de fluenc ia y último Cálc ulo de la deformac ión en el conc reto(εc) a la deformación de fluenc ia del ac ero(εy) (P unto de fluencia) P rofundidades del eje neutro s upuestas: k 1=0,k2=1; en equilibrio de fuerz as :ke=(k1+k2)/2 Deformac ión en equilibrio εe= (ke*εy )/(1-k e). Calc ulo de fuerzas en la s ec ción para las profundidades del eje neutro(ke) y deformac iones (εe) dadas Tensión en el ac ero Ts =f(k e, εe) Tensión en el conc reto Tc=f(ke, εe) Compresión en el ac ero Cs=f(ke, εe) Compresión en el conc reto Cc=f(ke,d,b,Fc, εe). Diagrama 8 Esquema de solución del diagrama de momento curvatura utilizando el modelo de Mander.. 33.

(40) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. Equilibrio(k e,εe)=f(Ts,Tc ,Cs ,Cc ut, ). Equilibrio<1 Si No Equilibrio>0 Si No. εcy =εe k 2=k e. k =εcy /(εcy +εy). k 1=k e. ke=(k 1+k 2)/2. ke=(k1+ k2)/2. Momento de fluencia (k ,εc y) Momento=f(Ts ,Tc,Cs, Cc ut) Curvatura de fluencia curvatura=f(k,ec y,d). Cálc ulo de la profundidad del eje neutro a una deformac ión unitaria dada (deformación última εcu) Profundidades del eje neutro s upuestas : k1=0,k 2=1; en equilibrio de fuerz as :k e= (k 1+k 2)/2. Equilibrio(ke,εc u=f(Ts ,Tc,Cs,Cc ut ). Equilibrio<10 Si No. Mom ento último (k e,εcu) Mom ento=f(Ts,Tc ,Cs, Ccut). Curvatura de fluencia curvatura=f(k,ε cu,d). Equilibrio>0 Si No k 2=k e. ke=(k1+k2)/2. k1=k e. ke=(k1+k2)/2. Diagrama 9 Continuación del esquema de solución utilizando el modelo de Mander.. 34.

(41) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. 4.4 Resultados viga Rectangular: Diagrama Momento Curvatura (M-φ) 4.4.1 Resultados en tabla En esta opción (Ver Figura 20 y Figura 21) se presentan los momentos y curvaturas correspondientes para los puntos de agrietamiento, fluencia y último del diagrama, al igual que los resultados de las rotaciones plásticas positivas y negativas determinadas por los refuerzos positivos y negativos de la sección de la rótula.. Figura 20 Menú: Resultados en tabla. Figura 21 Tabla de resultados. 35.

(42) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. 4.4.2 Resultados gráficos del programa En esta opción (Ver Figura 22) se presenta al usuario el diagrama de Momento -Curvatura de las rótulas calculadas. Se ofrece al usuario la posibilidad de escoger la rótula que desea graficar a través de la caja de opciones y graficarla al oprimir el botón “ Ver gráfico”.(Ver Figura 23) Es posible que en el mismo gráfico se presenten varios diagramas al seleccionar cada una de las rótulas y dar la orden de ejecución al oprimir el botón mencionado. El botón “ limpiar datos” ofrece al usuario la posibilidad de dejar la gráfica en blanco para la realización de una nueva a través de la selección de una nueva rótula o un nuevo conjunto de estas. En la leyenda a la derecha del gráfico se muestran los nombres de cada una de las rótulas de los diagramas. La gráfica puede presentar hasta 15 diagramas de momento curvatura; Si no existen tantas rótulas, las series estarán vacías y así aparecen denominadas en la leyenda.. Figura 22 Menú Resultados en gráfica. Cuadro de lista para seleccionar rótula a graficar. Botón para ejecutar el gráfico según la selección. Botón para dejar la gráfica sin valores. Leyenda de series según rótulas. Figura 23 Gráfica de resultados. 36.

(43) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. 4.4.3 Copiar y pegar resultados La gráfica ofrece la opción de copiar los resultados del diagrama al hacer doble clic sobre esta. Al pegar los resultados en un documento de Excel o Word, aparecerán por defecto los valores de momento y curvatura de la gráfica. Si se establece la opción pegado especial, mapa de bits o cualquier otra opción gráfica, se pegará la gráfica con los diagramas. 4.4.4 Exportar resultados. Figura 24 Menú: exportar resultados Mediante la opción exportar resultados (Ver Figura 24) se guardan en un archivo existente de Excel (Si se usaron como datos de origen tablas en formato mdb se pide al usuario el archivo destino, mientras que si los datos origen se tomaron desde un archivo de Excel, en este mismo se escribirán los resultados) los resultados de los puntos de agrietamiento, fluencia y último de los diagramas de momento curvatura y las rotaciones plásticas de las rótulas respectivas. Además de los anteriores valores, en la opción de exportar resultados se genera el texto para introducir en el archivo S2K de SAP 2000 V7 para la caracterización de rótulas según los parámetros de seguridad de la vida, ocupación inmediata y prevención de colapso (Ver Figura 26).. 4.4.5 Archivo S2K para SAP 2000 V7.∗ El conjunto de datos que se generan en esta opción parten de los resultados de las rotaciones plásticas positivas y negativas, de los valores de cortante y momento gravitacionales, características de la sección (base, altura, refuerzo) y distancia entre rótulas consecutivas, ingresados por el usuario. Con estos datos, se desarrollan los cálculos de momentos nominales de la viga y el cortante de plastificación. Vp =. Mn(+ ) + Mn(− ) + Vg (41) Luz _ viga. En donde Vp es el cortante de plastificación, Mn(+) y Mn(-) son los momentos nominales calculados según las características del refuerzo y Vg es el cortante gravitacional. Con los anteriores datos y usando los parámetros dados en el documento FEMA 273, capítulo 6, se calculan los parámetros de ocupación inmediata, seguridad de la vida y prevención de colapso.. ∗. El cálculo de los parámetros de seguridad de la vida, ocupación inmediata y prevención de colapso descritosen el documento FEMA 273 capítulo 6, fue tomado y adaptado de un proceso de cálculo del profesor Juan CarlosReyes.. 37.

(44) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. Figura 25 Parámetros de modelación y criterios de aceptación numérica para procedimientos no lineales de vigas de concreto reforzado. [Ver referencia 5]. 38.

(45) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. Figura 26 Esquema de los resultados del archivo a ser exportado en SAP 200 V8. 39.

(46) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. 4.5 Viga T. Entrada al formulario de cálculos de variables de la sección. Botón para crear una nueva tabla. Botón para Importar datos desde Excel. Botón para cargar una tabla existente Figura 27 Formulario de entrada a los procedimientos de viga T En este formulario (Ver Figura 27) se ofrecen las opciones para el cálculo de las variables de la sección y la caracterización inelástica∗ . Los botones dispuestos a la derecha permiten acceder a los procesos de entrada de datos de cada uno de los algoritmos de cálculo. Las opciones para el acceso a cada uno de los subconjuntos del programa también están disponibles en el menú. Los procedimientos de cálculo para la determinación de las variables de la sección son semejantes a los explicados en la viga de sección rectangular y se explican a continuación.. ∗. La caracterización inelástica para vigas de sección T no está aún definida. Sin embargo se tiene losprocedimientos para almacenamiento de datos de entrada.. 40.

(47) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. 4.5.1 Resistencia de la sección. Cuadros de texto para el ingreso de los datos y salida de resultados. Cuadro de lista para la selección de variables. Botón para realizar los cálculosde la variable seleccionada. Figura 28 Formulario de entrada de datos, cálculo y resultados de las variables de viga T. 4.5.1.1. Objetivos del módulo. El objetivo del módulo es determinar una variable determinada como incógnita por el usuario a partir de otras conocidas, siguiendo las relaciones de la ecuación de momento nominal.. 4.5.1.2. Fundamento teórico. El proceso iterativo expuesto en la descripción general se realiza a partir de las relaciones de las variables en ecuación del momento nominal:. ⎛ ⎝. φMn = Asf fy⎜ d −. hf 2. a⎞ ⎞ ⎛ ⎟ + (As − Asf ) fy⎜ d − ⎟ ( 42) 2⎠ ⎠ ⎝. 41.

(48) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. Asf = a=. 0.85 f ' c (b − bw )hf fy. ( As − Asf ) f y 0.85 f 'c bw. (43). (44). En donde Mn es el momento nominal, As es el área del refuerzo a tensión, fy y fc son la resistencia del acero y el concreto respectivamente, bw es el ancho de la aleta, b es el ancho del alma y d es la altura de la sección. [Ver referencia 1] De esta manera, cualquiera de las variables que se tome como incógnita se introduce en esta relación con un valor supuesto de entrada y se ajusta según el momento requerido.. 4.5.1.3. Esquema del algoritmo: Solución para d, Fy, As,hf Selec ción de la variable a calcular y almacenamiento de datos: Fc ,Fy, As, As-, Mn,b,bw,hf. Variable = Mn No Si Mn= f (Fc,Fy, As, As ',b, bw,hf,d). Mn=dat o de entrada. Imprimir Mn. h=10. Mn1= f. Mn1< Mn Si No. h=h+1. h=h. Imprimir h. Diagrama 10 Esquema de solución para d,b,h, Fy de viga T. 42.

(49) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. Selecc ión de la variable a calcular y almacenamiento de datos: Fc,Fy,As,As-, Mn,b,h. Mn=dato de entrada. Fc= f (Mn,Fy,As,As',b,bw,hf,d). Imprimir Fc. Diagrama 11 Esquema de solución para Fc en viga T. 4.5.1.4. Modo de empleo. 1.El usuario debe introducir las variables diferentes a la incógnita en las cajas de texto correspondientes.(Ver Figura 28) 2 Luego seleccionar en el cuadro de opciones la variable incógnita 3. Oprimir el botón “ calcular” para generar los resultados.. 4.5.2 Nuevo proyecto 4.5.2.1. Objetivo. El objetivo de esta opción es generar una tabla nueva en formato mdb con el fin de establecer la fuente de datos para los cálculos necesarios en la caracterización inelástica.. 4.5.2.2. Modo de empleo. Al seleccionar la opción nuevo proyecto en el menú o crear tabla en la ventana de entrada a la viga T, se genera un cuadro de diálogo en el cual se almacena el nombre de la base de datos que será creada. Luego aparecerá la tabla de datos en blanco para que el usuario introduzca los valores requeridos.. 43.

(50) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. 4.6 Calculos de viga T: Modelo de Mander Aunque en la versión 1.0.0 no se incluyen estos módulos, se presentan a continuación las posibles formas de solución al problema. 4.6.1 Fundamento teórico El fundamento teórico es similar al seguido en la viga de sección rectangular en el cual se calcula la fuerza de compresión del concreto a través de la integración numérica de la función de esfuerzo del concreto dada por el modelo de Mander, a lo largo de la sección, para deformaciones y profundidades del eje neutro correspondientes. En este caso, debe tenerse en cuenta la variación del ancho de la sección para el cálculo de la fuerza a compresión.. 44.

(51) Universidad de los Andes Departamento de ingeniería civil y ambiental Proyecto de Grado Jairo Andrés Valcárcel Torres Programa para la caracterización inelástica de rotulas plásticas en elementos de concreto reforzado. 4.7 Columna: Diagrama de interacción.. Cuadros de texto para introducir las dimensiones de la sección y distancias del recubrimiento. Cuadros de texto para introducir la cantidad de varillas en cada eje. Botones para la selección del tipo de arreglo de barras de refuerzo. Cuadros de texto para introducir la resistencia del concreto y el acero. Botón para realizar los cálculosdel diagrama. Figura 29 Formulario de entrada y cálculos del diagrama de interacción para columnas.. 4.7.1 Objetivos del módulo El objetivo de este subconjunto es calcular los valores de carga y momento del diagrama de interacción para columnas con arreglos de barras de diámetros iguales o diferentes en los ejes establecidos (Ver Figura 29.. 4.7.2 Modo de empleo 1.. El usuario debe introducir en las cajas de texto las dimensiones de la columna, al igual que las distancias del recubrimiento y la resistencia del concreto y el acero.(Ver Figura 29). Si se tiene una sección con barras de diámetro uniforme: 2. El usuario debe llenar las cajas de texto correspondientes al número de varillas en los 2 sentidos 3. Oprimir el botón “ barras iguales” e introducir el diámetro de las varillas en la caja de texto emergente 4. Una vez introducidos los datos, el usuario puede calcular los resultados desde el menú u oprimiendo el botón “ Calcular valores”.. 45.