Espacio afín

U n i d a d V I I : E s p a c i o a f í n

1 Espacio vectorial

Sea un conjunto V cuyos elementos llamaremos vectores y nombraremosv⃗1,v⃗2, … Definamos dos operaciones con estos elementos:

a) Suma de vectores: _v⃗1,v⃗2∈V → v⃗1+ ⃗v2∈V

b) Producto por un escalar (número): _v⃗1∈V y α∈ℝ→ α ⃗v₁∈V

Decimos que el conjunto V es un espacio vectorial si se cumplen las propiedades: • Conmutativa:_{v⃗1+ ⃗v2= ⃗v2+ ⃗v1}

• Asociativa : v⃗1+( ⃗v2+ ⃗v3)=( ⃗v1+ ⃗v2)+ ⃗v3 • Existe un elemento neutro: v⃗1+⃗0=⃗0+ ⃗v1= ⃗v1

• Existe un opuesto de cada elemento: v⃗1+(− ⃗v1)=(− ⃗v1)+ ⃗v1=⃗0 • Distributiva del producto respecto a la suma: α( ⃗v₁+ ⃗v₂)=α ⃗v₁+α ⃗v₂

• Distributiva de la suma respecto al producto: α(β ⃗v₁)=(α β) ⃗v₁

Ejemplos:

Forman espacio vectorial ✔ Vectores de ℝ2 ✔ Vectores de ℝ3 ✔ Matrices M_2x2

✔ Matrices M3x3

✔ Polinomios de 1er grado ✔ Polinomios de 2º grado

Ejercicios

1. Demuestra que ℝ2 es un espacio vectorial sobre ℝ.

2. Sea el conjunto V={x



5/x∈ℝ }. Demostrar que V es un espacio vectorial. 3. Demostrar que el conjunto ℝ3={a , b , c/a , b , c∈ℝ } es un espacio vectorial.

4. Demostrar que el conjunto S={a , b , c/a , b , c∈ℝ } de todos los elementos de ℝ3 que cumplen la relación a2b−3c=0 forman un espacio vectorial sobre ℝ_.

5. Si en el conjunto ℝ3 se definen las operaciones x , y , zx ' , y ' , z '=xx ' , yy ' , zz ' k⋅x , y , z=0,ky , kz ∀k∈ℝ

¿Es un espacio vectorial sobre ℝ?

Combinación lineal de vectores

Dependencia e independencia lineal de vectores

Se dice que un conjunto de vectores { v_1,v2,...,vn} es linealmente independiente o libre si la

relación: 0=₁v12v2….nvn se verifica únicamente cuando 1=2=…=n=0 .

En caso contrario, el conjunto se dice linealmente dependiente o ligado.

Ejercicios

6. Indica si el vector 1,3,6∈ℝ3 _{depende linealmente de los vectores0,1,2, 1,1,2 y} 3,−5,7.

7. Estudiar la dependencia del vector 1,2,−3∈ℝ3 _{respecto a 0,2,−1 y 1,0,5}

8. Demostrar que el vector −3,2 ,5∈ℝ3 depende linealmente de 1,0,0, 0,1,0 y0,0 ,1. 9. Hallar el valor de x para que el vector 11,−16,x dependa linealmente de los vectores

2,−1,3,−1,2 ,1.

Sistema generador

Se dice que un conjunto de vectores { v_1,v_2,...,v_n} _{es sistema generador de un espacio vectorial V si} todo vector de V es combinación lineal de ellos.

Ejemplo:

En ℝ2, los vectores v⃗1=

(

1

2,0

)

y v⃗2=

(

0, 1

3

)

forman un sistema generador ya que cualquier vector (x,y) se puede poner como combinación lineal de v⃗1 y v⃗2

(x , y)=α ⃗v1+β ⃗v2=α

(

1

2,0

)

+β

(

0, 1 3

)

→

α=2x

β=3y → (x , y)=(2x) ⃗v1+(3y) ⃗v2

Ejercicios:

10. Averiguar si el conjunto{1,2;−1,1y2,0} es un sistema generador de ℝ2 11. Averiguar si son sistema generador de ℝ3 los vectores 3,−1,2 y 1,0,−1 12. ¿Son los vectores un sistema generador de ℝ3?

Base de un espacio vectorial

Un conjunto de vectores { v_1,v2,...,vn} es base de un espacio vectorial V si es un sistema generador

y son linealmente independientes.

Todo vector del espacio se expresa de forma unívoca como combinación lineal de los vectores de la base.

Si_{b∈Ventonces} _{b=1⋅v12⋅v2...n⋅vn}

A los escalares _1,_2,… ,_n se les denomina componentes del _{b respecto a la base} { v_1,v2,...,vn}

Ejercicios

13. Estudiar si el conjunto de vectores{1,1,0;1,0 ,1;0,1 ,1}es base de ℝ3. 14. Discutir si es o no base de ℝ3 el conjunto {1,−2,−1;−3,0 ,2;0,−6,−1} 15. Discutir si es o no base de ℝ3 {2,1 ,1;−1,0 ,3;0,1,−2 }

16. Halla las coordenadas del vector 3,−2,1 respecto de la base

17. El conjunto P₃x _{de todos los polinomios de grado menor o igual que 3 es un espacio} vectorial.

a) ¿Son linealmente independientes los polinomios 3x−5 , x2 _{y 2x}3_{6x ?} b) ¿Se puede expresar x2_{−x−3 como combinación lineal de x}2_{−1 y 2x}2_x? c) ¿Es {1,x , x2,_x3_{} una base de P}

3x?

Subespacio vectorial

Cuando un subconjunto B del espacio vectorial V, cumple en sí mismo las propiedades de espacio vectorial, se dice que B es un subespacio vectorial de V. Se puede demostrar que:

B es subespacio vectorial de V si y sólo si se cumple:∀ α,β∈ℝ y ∀ ⃗v₁,v⃗2∈B → α ⃗v1+β ⃗v2∈B

Ejemplos:

• B={(a,0) / a∈ℝ} es un subespacio vectorial de ℝ2 • La recta 2x−y=0 es un subespacio vectorial deℝ2

2 - Espacio afín

Coordenadas cartesianas

Utilizando la estructura de espacio vectorial, vamos a construir otro espacio: el llamado espacio afín tridimensionalV₃. Todo éste espacio tridimensional forma un volumen infinito que, en última instancia, está compuesto por puntos.

Para situar éstos puntos en el espacio, elegimos arbitrariamente un punto del espacio que llamaremos origen O (0,0,0).

A partir de éste origen, se pueden asignar a cada punto tres valores llamados coordenadas cartesianas (en honor a René Descartes [s. XVII] que introdujo junto a Fermat la Geometría Analítica)

Entre dos puntos del espacio, A y B, se puede establecer un segmento orientado que llamaremos vector fijo. Un vector⃗_{AB fijo se caracteriza por:}

• Módulo: la longitud del segmento • Dirección: la de la línea que lo contiene

y sentido aunque distinto punto de aplicación. Ésta relación se llama de equipolencia y al representante de todos los vectores equipolentes lo llamamos vector libre.

Ejercicios

18. Halla las coordenadas del vector[AB] donde A1, 3, 2 y B−2, 4,1.

19. Dado el punto A2, 2,3, calcula las coordenadas de un punto B de manera que las coordenadas del vector [AB]sean 5,3,−1.

20. Determina las coordenadas de un punto D del espacio de manera que el cuadrilátero ABDC sea un paralelogramo, siendo: A1, 2, 0,B2, 0,3,C3, 3, 4.

21. Halla las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A1, 2,−3 y B3, 4,5. 22. Calcula las coordenadas de un punto M del segmento de extremos A2, 2,1 y B5,−1,7

en la razón: AM

AB =

1 3

Operaciones con vectores libres

Suma de vectores libres

Dados dos vectores libres⃗ay⃗b situados de forma que el origen de⃗_{bse encuentra en el extremo de} ⃗

a, se define su vector suma como el nuevo vector que se forma al unir el origen de ⃗a con el extremo de⃗b.

Producto de un número por un vector libre

Se define el producto de un número real α por un vector libre ⃗ucomo el vector libre α ⃗u cuyas características son:

• El módulo deα ⃗u es igual al valor absoluto deαpor en el módulo de⃗u • La dirección coincide con la dirección de ⃗u

• El sentido es igual al de⃗ucuando esα>0 y contrario siα>0

Los vectores libres deV₃con las operaciones suma y producto por un número tiene estructura de espacio vectorial.

Si tomamos tres vectores libres B ={v⃗1,v⃗2 yv⃗3} linealmente independientes formamos una Base de V₃. Cualquier otro vector⃗u∈V₃se puede expresar como combinación lineal de sus vectores de la base.

⃗

u=α ⃗v₁+β ⃗v₂+ γ ⃗v₃

Los coeficientes(α,β,γ)se llaman componentes de⃗u en la base B.

La expresión de un vector mediante componentes es una terna de números reales y pertenece por tanto al conjunto numéricoℝ3. Por éste motivo a veces se habla indistintamente deV3yℝ

3

Producto escalar de dos vectores

El producto escalar de dos vectores libres no nulos ⃗ay⃗bes el número real ⃗

Interpretación geométrica

El producto escalar de dos vectores es el producto del módulo de uno de ellos por el módulo de la proyección ortogonal del otro sobre él.

Propiedades de producto escalar

✗ ⃗a ·⃗a>0

✗ ⃗a ·⃗_{b=⃗b ·⃗a (Propiedad conmutativa)}

✗ ⃗a(⃗b+⃗c)=⃗a ·⃗b+⃗a ·⃗c (Propiedad distributiva)

✗ (k ·⃗a)·⃗b=k ·(⃗a ·⃗b)=⃗a(k ·⃗b) siendo k un número real

Condición de perpendicularidad

Dos vectores libres no nulos son perpendiculares si y solo si su producto escalar es nulo

Producto vectorial de dos vectores

El producto escalar de⃗ay⃗b(dos vectores libres no nulos) es un vector a⃗×⃗b=⃗a^⃗b cuyo:

Módulo:

∣

⃗a^⃗_b

_∣

₌

_∣

_⃗a

_∣

_·

_∣

⃗_b

_∣

_sinα

Dirección: Perpendicular a⃗ay a⃗b

Sentido: Es el que corresponde al avance de un tornillo cuando se va de⃗aa⃗b

Interpretación geométrica

El módulo del producto vectorial de dos vectores linealmente independientes es igual al área del paralelogramo determinado por ellos

Condición de paralelismo

Dos vectores libres no nulos son paralelos si y solo si su producto vectorial es nulo

Propiedades

✗ _⃗a^⃗_{b=−(⃗b^⃗a)} (Propiedad anticonmutativa) ✗ _{⃗a^(⃗b+⃗c)=⃗a^}⃗_b+⃗a^⃗c (Propiedad distributiva) ✗ _{(k ·⃗a)^}⃗_{b=⃗a^k ·}⃗_{b=k ·( ⃗a^}⃗_b)

Producto mixto de tres vectores libres

El producto mixto de tres vectores libres viene dado por _{⃗a ·(⃗b^⃗c)}

Interpretación geométrica

El valor absoluto del producto mixto es igual al volumen del paralelepípedo cuyas aristas son los tres vectores (o seis veces el volumen del tetraedro que definen).

∣

⃗_b^⃗c

_∣

es el área de la base y el producto escalar es la proyección del vector normal a la base

₍

⃗_b^⃗c

₎

sobre a, es decir, la altura del paralelepípedo. Su producto es el área de la base por la altura y por tanto el volumen.

Expresión de los tres productos en una base ortonormal

Supongamos la base ortonormal de_ℝ3 _{→ B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}={⃗i , ⃗}

j , ⃗k } y los vectores

⃗

a=(ax, ay, az)=ax⃗i+ay⃗j+az⃗k

⃗

b=(b_x, b_y,b_z)=b_x⃗_i+by⃗_j+bz⃗_k ⃗c=(c_x, c_y, c_z)=c_x⃗_i+c

y⃗j+cz⃗k

Producto escalar

⃗

a⃗b=(ax⃗i+ay⃗j+az⃗k)(bx⃗i+by⃗j+bzk⃗)=axbx⃗

⏟

i⃗i

1

+axby⃗

⏟

i⃗j

0

+axbz⃗

⏟

i⃗k

0

+aybx⃗

⏟

j⃗i

0

+ayby⃗

⏟

j⃗j

1

+aybz⃗

⏟

j⃗k

0 +

+a_zb_x⃗k

_⏟

⃗_i 0

+a_zb_y⃗k

_⏟

⃗_j 0

+a_zb_z⃗k

_⏟

⃗k 1

=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z

Por tanto

⃗

a⋅⃗b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z

Producto vectorial

⃗

a×⃗b=(a_x⃗_i+a

y⃗j+az⃗k)×(bx⃗i+by⃗j+bz⃗k)=axbx⃗

⏟

i×⃗i

⃗ 0

+a_xb_y⃗

_⏟

_i×⃗j ⃗

k

+a_xb_z⃗

_⏟

_i×⃗k −⃗j

+a_yb_x⃗

_⏟

_j×⃗i −⃗k

+

+a_yb_y⃗

_⏟

_j×⃗j ⃗0

+a_yb_z⃗

_⏟

_j×⃗k ⃗i

+a_zb_x⃗_k

_⏟

_×⃗i ⃗j

+a_zb_y⃗_k

_⏟

_×⃗j −⃗i

+a_zb_z⃗

_⏟

_k×⃗k ⃗0

Agrupando términos obtenemos que: ⃗a×⃗b=(a_yb_z– a_zb_y)⃗i−(a_xb_z– a_zb_x)⃗j+(a_yb_z– a_zb_y)⃗k _que

podemos reescribir en “forma” de determinante como:

⃗

a×⃗b=

∣

⃗_i ⃗_j ⃗_k

a_x a_y a_z b_x b_y b_z

∣

Producto mixto de vectores

Se puede demostrar que:

⃗

a(⃗b×⃗c)=

∣

a_x a_y a_z bx by bz

3 - Subespacios vectoriales de

ℝ

3

Rectas en

ℝ

3

Una recta es el lugar geométrico de los puntos alineados entre sí. Vamos a determinar las condiciones que deben cumplir los puntos del espacio que forman parte de la recta.

Dados dos puntos cualesquiera de la recta, se puede establecer entre ellos un vector que tendrá la misma dirección que la recta. A éste vector y a todos los que vayan en su misma dirección, los llamaremos vector director de la recta.

A partir de un punto de la recta (P'), se puede obtener cualquier otro (P) sumando al punto un número real de veces (λ ) el vector director (⃗v). Se obtiene así la ecuación vectorial de la recta:

P=P '+ λ ⃗v

(x , y , z)=(x ' , y ' , z')+λ (v_x, v_y, v_z)

Separando la ecuación por componente obtenemos las ecuaciones paramétricas

x=x '+λv_x y=y '+ λv_y

z=z '+ λv_z

}

Despejando λe igualando obtenemos las ecuaciones continuas de la recta:

x – x ' v_x =

y – y ' v_y =

z – z ' v_z =λ

Tomando dos de las continuas y operando con ellas se obtiene (en el caso más general posible) las ecuaciones implícitas o generales de la recta:

A x+B y+C z+D=0

A ' x+B ' y+C ' z+D '=0

}

Más adelante, veremos que cada una de estas ecuaciones representa un plano y su intersección es la recta.

Conviene manejar con soltura el cambio entre las ecuaciones de la recta. El cambio de general a continuas se hace fácilmente llamando λ a una de las incógnitas y resolviendo el sistema resultante.

Ejemplo:

Halla las ecuaciones continuas de la recta: x+2y+3z−1=0 2x−3y−z+1=0

}

Llamando z=λ

x+2y=−3λ+1

2x−3y=λ−1

}

→

(

1 2 −3λ+1

2 −3 λ−1

)

Resolviendo por Cramer →

∣

1 2

x=

∣

−3λ+1 2 λ−1 −3

∣

−9 =

(9λ−3)−2(λ−1)

−9 =

7λ−1 −9

y=

∣

1 −3λ+1 2 λ−1

∣

−9 =

(λ−1)−2(−3λ+1)

−9 =

(7λ−3) −9

z=λ

Ejercicios

23. Escribe las ecuaciones vectorial, paramétricas y continua de la recta que pasa por el punto

P2, 1, 3 y tiene vector directoru=3,3, 2. Determina cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la misma: A−1,−2,1 ,B8, 7,1,C3, 2, 0

24. Halla las ecuaciones vectorial, paramétricas y continua de la recta que pasa por los puntos

A3,−5, 2 y B0,1,−3.

25. Determina si están alineados los puntos A1, 3, 2, B2, 2,1, C3, 1,0. En caso afirmativo, ¿cuáles son las ecuaciones paramétricas de la recta que los contiene?

26. ¿Qué valores deben tener a y b para que los puntos A2, 2, 2, B1, 3, 5 y C1,a , b estén alineados?

27. ¿Cuáles son las ecuaciones de la recta paralela al eje OX que pasa por el punto P2, 1, 3? ¿Y las de la paralela al eje OY por el mismo punto? ¿Y al eje OZ?

28. Halla las ecuaciones continuas de la recta que pasa por el punto P1, 0,1 y es paralela a la recta intersección de los planos :3x−2yz−1=0 ':x3yz−5=0

29. ¿Cuáles son las ecuaciones de la recta que pasa por P2, 3, 2 y corta las rectas r y s? r: x3yz−2=0

2xy−3z=0

}

s:

x−2 3 =

y−2 2 =

z

3

Determina las coordenadas de un vector director de dicha recta.

Planos en

ℝ

3

Una superficie plana (plano) está determinado por un punto P' del espacio y dos vectores no paralelos⃗uy⃗vdel espacioℝ3contenidos en el plano.

Cualquier punto P(x,y,z) puede determinarse añadiendo al punto P' una combinación lineal de los vectores⃗uy⃗v.

P=P '+ λ ⃗u+μ ⃗v

Ecuación vectorial del plano

Ecuaciones paramétricas del plano

x=x '+λu_x+μv_x y=y '+ λu_y+μv_y z=z '+λu_z+μv_z

}

Ecuación general del plano

Si un punto (x,y,z) pertenece al plano, debe cumplir sus ecuaciones paramétricas, o sea el sistema:

x−x '=λu_x+μv_x y−y '=λu_y+μv_y z−z '=λu_z+μv_z

}

con incógnitasλyμ debe ser compatible determinado. Ésto solo sucede si

rango

(

x−x ' u_x v_x y−y ' uy vy

z−z ' u_z v_z

)

=rango

(

u_x v_x uy vy

u_z v_z

)

=2 cosa que se cumple cuando:

∣

x−x ' u_x v_x y−y ' uy vy

z−z ' u_z v_z

∣

=0

Desarrollando ésta expresión obtenemos la ecuación general del plano:

∣

x−x ' ux vx

y−y ' u_y v_y z−z ' u_z v_z

∣

=A x+B y+C z+D=0

Se puede demostrar que⃗n(A , B , C)es un vector perpendicular simultáneamente a ⃗uy⃗v (por ser su producto vectorial). A éste vector se le conoce como vector normal del plano.

Obtenemos pues otra forma de determinar la ecuación general del plano: si conocemos un punto y un vector normal al mismo.

Se puede ver ahora que la ecuación general de una recta es realmente la intersección de dos planos.

Ecuación del plano que pasa por tres puntos

Dados tres puntos del plano: a(a_x, a_y, a_z), b(b_x, b_y,b_z) y c(c_x, c_y, c_z) la ecuación del plano que pasa por los tres puntos es:

∣

1 x y z

1 ax ay az

1 b_x b_y b_z

1 cx cy cz

∣

Ejercicios

30. Halla las ecuaciones paramétricas y la ecuación general del plano determinado por el punto

P2, 1,−1 y los vectores u=1,3, 2 y v=2, 2,−3.

31. Un plano contiene los puntos A2, 2,5 y B−1, 0,3 y el vector u=1, 2,1 tiene un representante contenido en él. ¿Cuál es su ecuación general?

32. Calcula la ecuación general del plano determinado por los puntos A0, 1, 3, B2, 2,1 y

C−1,0,−2.

33. Determina la condición que deben cumplir ,  y  para que los puntos A1, 1,1,

B0,1, 1, C1, 1,0 y D,,  estén en un mismo plano.

34. Halla el valor de a para que los puntos A1, 0, 1, B2,1, 3, C0, 1, 2 y Da ,2a,−1 sean coplanarios.

35. ¿Cuál es la ecuación del plano que contiene el punto P2, 3, 4 y es paralelo al plano coordenado OXY? ¿Y el paralelo a OYZ? ¿Y el paralelo a OZX?

36. Halla la ecuación del plano paralelo a π: 2x+3y+2z−1=0 que contiene al punto

P(1, 3, 2).

37. Un plano contiene la recta: x−2 3 =

y+2 3 =

z−1

2 y el punto A(1, 3, 5). Calcula sus ecuaciones.

38. Halla la ecuación general del plano que contiene a la recta: x_2x−2y−_yz_z3=0_−l=0

}

y al punto

P1, 1,−2.

39. Halla la ecuación del plano que contiene al punto P1,−2, 4 y es paralelo a las rectas

x=3−2t

y=13t

z=3−t

}

y

2xy−2z3=0 3x2y−z−2=0

}

.

40. Halla la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y es paralelo al plano que determinan el punto P2,−1,3 y la recta que pasa por los puntos A0, 1, 2 y B2,1, 0. 41. Halla la ecuación del plano paralelo medio a los planos: :x2y−z4=0

':2x4y−2z−8=0

4 - Posición relativa de rectas y planos en el espacio

Estudiar la posición relativa de elementos en el espacio, se reduce a estudiar las soluciones que tienen las ecuaciones generales. De esta forma, solo estudiando el rango de las matrices del sistema, podemos averiguar su posición relativa.

Posición Relativa de Dos Planos

Si unimos las ecuaciones generales de los planos, obtenemos un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas:

a x+b y+c z+d=0

a ' x+b ' y+c ' z+d '=0

}

→

(

a b c ⋮ d a ' b ' c ' ⋮ d '

)

Planos secantes Planos paralelos Planos Coincidentes

rango(A)=rango(A|B)=2 rango(A)=1 y rango(A|B)=2 rango(A)=rango(A|B)=1 Se cortan en una línea recta SCI. No hay puntos comunes Son el mismo plano

Ejercicios

43. Comprueba que son secantes los planos: :3x−2yz−2=0 ':2x−yz3=0 y halla las ecuaciones continuas de la recta intersección de los mismos.

44. Determina la posición relativa de los planos

x=2 −3

y=1−2 

z=23−2

}

Posición Relativa de Un Plano y Una Recta

Uniendo las ecuaciones generales, se obtiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

a x+b y+c z+d=0

a ' x+b ' y+c ' z+d '=0

a ' ' x+b ' ' y+c ' ' z+d ' '=0

}

→

(

a 'a b 'b c 'c ⋮⋮ d 'd a ' ' b' ' c ' ' ⋮ d ' '

)

Recta contenida en el plano Recta paralela al plano Recta secante al plano

Infinitos puntos en común (SCI)

No hay puntos comunes (SI) Hay un solo punto común (SCD)

rango(A)=rango(A|B)=2 rango(A)=2 y rango(A|B)=3 rango(A)=rango(A|B)=3

Ejercicios

45. Determina la posición relativa de la recta:

x= 13t y=−2 t

z= 2−2t

}

y el plano

:x−yz5=0 .

46. Comprueba que la recta ₋x−2y_x3y−2z−3=0_z1=0

}

y el plano : 2x−y−3z−2=0 son secantes, y calcula las coordenadas del punto de intersección.

47. Determina las posiciones relativas de la recta: . 2xy−2z3=0

x−2y2z−1=0 y el plano

: 4xky2z1=0 para los diferentes valores del parámetro k. 48. Considera la recta r _xx−y3z1=0

2y−5z2=0

}

y el plano :axy−2zb=0 Discute para qué valores de a y b:

a) La recta y el plano son secantes. b) La recta está contenida en el plano. c) La recta y el plano son paralelos.

49. Halla para qué valores de k la recta: x2y−z−1=0

Posición Relativa de Dos Rectas

En forma general, dos rectas forman un sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas

(

a b c ⋮ d

a ' b ' c ' ⋮ d ' a ' ' b ' ' c ' ' ⋮ d ' ' a ' ' ' b ' ' ' c ' ' ' ⋮ d ' ' '

)

Se cruzan Secantes Rectas paralelas Rectas coincidentes

SI SCD SI SCI

rango(A)=3 rango(A|B)=4

rango(A)=3 rango(A|B)=3

rango(A)=2 rango(A|B)=3

rango(A)=2 rango(A|B)=2

Rectas que se cruzan Rectas secantes Rectas paralelas

Viendo las figuras, se nos ocurre otra forma de distinguir los casos. Sean ⃗u y⃗v y tomemos un punto A de la recta r y uno B de la recta s.

Si estudiamos:

rango(⃗u ,⃗v)=2 y rango(⃗u ,⃗v ,⃗AB)=3 → (SI) → Son rectas que se cruzan

rango(⃗u ,⃗v)=2 y rango(⃗u ,⃗v ,⃗AB)=2 → (SCI con 2 grados de libertad: plano) → Son secantes rango(⃗u ,⃗v)=1 y rango(⃗u ,⃗v ,⃗AB)=2 → (SI) → Son paralelas

rango(⃗u ,⃗v)=1 y rango(⃗u ,⃗v ,⃗AB)=1 → (SCI con 1 grado de libertad: recta) → Son coincidentes

Ejercicios

50. Estudia la posición relativa de las rectas:

x= t y=2− t z=13t

}

y x

=22t

y=−2t

z=76t

}

51. Comprueba que las rectas: _2yx−₋y_z₋1₃=₌0₀

}

y x−3 2 =

y−3 1 =

z1

52. Dadas las rectas: _yx_2z−1=0z3=0

}

_2x−x_yy2=0

za=0

}

calcula a para que las dos estén en un mismo plano. ¿Cuál es entonces su posición relativa?

53. Comprueba que las rectas: 2x_{x−3y2z−2=0}2y−3z4=0

}

x−₅3=y2

7 =

z−1

8 son coplanarias y

calcula la ecuación general del plano que las contiene.

54. Calcula el valor de a para que las dos rectas r y s sean coplanarias: r: x−a

5 =

y2 3 =

z−1

5 s:

x−3 2 =

y1 1 =

z1 2

a) Halla la ecuación del plano que las contiene.

55. Determina la posición relativa de las rectas x₁2=y−3

2 =

z1 3 y

x3y−z1=0 2x 3z−4=0

}

y la ecuación general del plano que contiene a t y es paralelo a s.

56. Dadas las rectas r: x2y−3z4=0 2x3yz5=0

}

y s:

x−1 2 =

y1 1 =

z−1 3 a) Determina su posición relativa.

b) Calcula las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P1, 0,0 y corta r y s.

c) Halla la ecuación general del plano que contiene a r y es paralelo a s y el que contiene a s y es paralelo a r. ¿Cuál es la posición relativa de estos dos planos?

57. Averigua para qué valores de k las dos rectas r y s son secantes: r: x2yz−k=0

2x−y−z2=0

}

s:

x−1 2 =

y1 3 =

z−4 5

a) Calcula la ecuación general del plano que las contiene para el valor hallado de k. 58. Determina la posición relativa de las rectas: _2xxyz−1=0

−yz−2=0

}

ax y− z−1=0

Posición Relativa de Tres Planos

En éste caso, se trata de un sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas. Dada la cantidad de casos posibles, estudiaremos según la compatibilidad del sistema.

1. Planos que se cortan en un punto: SCD

rango(A) = rango(A|B) = 3

2. Planos que tienen una recta en común: SCI (1 grado de libertad)

rango(A)=rango(A|B)=2

Dos situaciones:

a) Tres planos distintos

b) Dos coincidentes y otro secante

Para distinguir ambos casos hay que estudiar los vectores normales de los planos

3. Los tres planos son coincidentes: SCI (2 grados de libertad) rango(A)=rango(A|B)=1

4. Los tres planos no tienen puntos comunes: SI

a) Tres planos secantes: rango(A)=2 y rango(A|B)=3

b) Dos planos paralelos dos a dos y el tercero secante:

rango(A)=2 y rango(A|B)=3

Se distingue del anterior porque dos vectores normales son paralelos.

c) Tres planos paralelos: rango(A)=1 y rango(A|B)=2

d) Dos planos coincidentes y el tercero paralelo a ellos:

Ejercicios

59. Estudia la posición relativa de los tres planos , ' y ' ' en los siguientes casos: a) :3x−2z=0 ':xy = 0 ' ':9x3y−4z=0

b) :xyz=0 ':x−2y3z1=0 ' ': 2x−4y6z−1=0 c) :5x2y−z3=0 ':3x−yz−2=0 ' ':10x4y−2z1=0 60. Calcula el valor de k para que los planos:

: 2x−3y2z−5=0 ':3xy−3z2=0

' ':kx7y−7z12=0 tengan una recta común.

61. Discute la posición de los planos según los distintos valores del parámetro a: :x2ya1z4=0

':2x3yza=0

' ':3x2aly4z6=0

5 - Cuestiones varias

62. Si dos rectas en el espacio no tienen puntos comunes, ¿son necesariamente paralelas? 63. Si una recta tiene dos puntos comunes con un plano, ¿cuál es la posición relativa de ambos? 64. ¿Pueden dos planos cortarse en un único punto? Razona la respuesta.

65. Sea una recta r paralela a un plano  y P un punto de este plano, razona que existe una única recta s paralela a r, que pasa por P y está contenida en .

66. Dadas dos rectas paralelas r y s en el espacio, ¿cuántos planos que contienen a r son paralelos a s?

67. Razona por qué existe un único plano que contiene a un triángulo dado. 68. ¿Cuántos planos distintos pueden determinar cuatro puntos en el espacio?

69. Dado un paralelepípedo, analiza las posiciones relativas de todos los conjuntos de tres planos que contienen las caras del mismo.

70. Si dos rectas tienen vectores directores no proporcionales, ¿en qué casos serán coplanarias? 71. Si dos rectas r y s se cruzan en el espacio, ¿qué condiciones debe satisfacer un punto

cualquiera del espacio para que exista una recta que pasa por el mismo y corta a r y a s? En los casos en que existe dicha recta, ¿es siempre única?

72. Dos rectas paralelas, ¿pueden tener vectores directores distintos?

73. Si tres planos distintos tienen una recta común, ¿cómo es el sistema de ecuaciones formado por las tres ecuaciones generales de los mismos?

74. Tres planos son paralelos y distintos entre sí. ¿Cuáles son los rangos de las matrices asociadas al sistema que forman sus tres ecuaciones generales?

6 - Problemas de pruebas de acceso a la universidad

76. Estudie la posición relativa de las rectas siguientes:

x−1

−1 =

y−1 2 =

z−2 1

x−4 4 =

y−4 1 =

z−5 2

77. Consideremos las rectas: x−2

2 =

y1

−1 =

zm

2

x= 1−3a y=−14a z= 5− a

}

Determine m de manera que las rectas se corten (sean secantes). Halle también el punto de corte.

78. Considerar la recta en el espacio dada por las siguientes ecuaciones: x yz=1 −x−2yz=0

}

a) Determinar a para que el plano  _{de ecuación 2}xyaz=b _{sea paralelo a r.}

b) Decir para qué valor de b la recta está contenida en el plano.

79. Determinar el valor del parámetro k para que los puntos k ,−3, 2, 2, 3,k y 4, 6,−4 no pertenezcan a un único plano. ¿Se puede construir una recta con estos tres puntos para el valor de k encontrado? Encontrar la recta que contiene a los tres puntos, en caso afirmativo. 80. Dadas las rectas r: _axx₋₃−3_zy_3=06=0

}

y s: x−2a y_2y4a−1=0

− z−4=0

}

a) Averiguar si existe algún valor de a para el cual las rectas están contenidas en un plano. En caso afirmativo, calcular la ecuación de dicho plano.

b) Determinar, cuando sea posible, los valores de a para los cuales las rectas son paralelas y los valores de a para los que las rectas se cruzan.

81. Dadas las rectas: r : x

2=y−1=

z1

3 y s :

x−1 3 =y=

z−1

2 estudiar la posición relativa.

82. Dados los planos : xyz=1 ,: axy=1 y : xa1z=0 , determinar los valores de a para los cuales:

a) Los planos se cortan en un solo punto; b) Se cortan en una recta de puntos.

83. ¿Son coplanarios los puntos A1, 0, 0, B0,1, 0, C2, 1, 0 y D−1, 2,1?

84. Discute y resuelve, según los valores de m, la posición relativa de los siguientes planos, indicando las figuras geométricas que determinan:

₁:x−y=1

₂: 2x3y−5z=−16 ₃:xm y−z=0

85. Encuentre la recta que pasa por el punto 1,0,−1 y corta a las rectas L₁ y L₂ de

ecuaciones: 3₂x_x2y−z1=0 − yz4=0

}

y

86. Se consideran los cinco puntos cuyas coordenadas son: P₁1,−1, 2, P₂−2, 2, 3,

P₃−3, 3, 3, P₄−3, 3,0, P₅−3, 4,3. Contestar de forma razonada a la siguiente pregunta: ¿forman parte de un mismo plano?

87. Encontrar la ecuación del plano que contiene a los puntos P1, 2,1 y Q1, 2, 3 y al punto S intersección de la recta r y el plano  cuyas ecuaciones son:

r:

x=12t y=22t z=1−2t

}

y :xyz=0

88. Dadas la recta r: x y z−1=0

x−2y2z4=0

}

y la recta s,determinada por los puntos P1, 2, 0 y