algebra lineal

(1)

Álgebra Lineal

Ma1010

Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial

Departamento de Matemáticas

(2)

Introducci ´on

Transpuesta Ejemplo 1 Propiedades Matriz Invertible Singularidad Motivaci ´on Algoritmo de Inversi ´on Ejemplo 2 Comentario Propiedades Ecuaciones Matriciales Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Complejidad

Introducción

En esta lectura veremos la matriz transpuesta y la

matriz inversa a una matriz dada (En caso de que

la matriz inversa a ella exista). Revisaremos las

propiedades que tienen el tomar la inversa o la

transpuesta de una matriz así como un método

eficiente de inversión. Terminaremos con la

(3)

Introducci ´on

Transpuesta

Ejemplo 1 Propiedades Matriz Invertible Singularidad Motivaci ´on Algoritmo de Inversi ´on Ejemplo 2 Comentario Propiedades Ecuaciones Matriciales Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Complejidad

Transpuesta

La

matriz transpuesta

de una matriz

A

_n

_×

_m

_es

una matriz con dimensiones

m

×

n

cuyo elemento

(4)

Introducci ´on

Transpuesta

La

matriz transpuesta

de una matriz

A

_n

_×

_m

_es

una matriz con dimensiones

m

×

n

cuyo elemento

(5)

Introducci ´on

Transpuesta

La

matriz transpuesta

de una matriz

A

_n

_×

_m

_es

una matriz con dimensiones

m

×

n

cuyo elemento

(

i, j

)

es precisamente el elemento

(

j, i

)

de la

matriz

A

_{. A esta matriz se le simboliza}

A

T

_{. Una}

forma fácil de construir

A

T

_{es tomar los renglones}

(6)

Introducci ´on Transpuesta

Ejemplo 1

Propiedades Matriz Invertible Singularidad Motivaci ´on Algoritmo de Inversi ´on Ejemplo 2 Comentario Propiedades Ecuaciones Matriciales Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Complejidad

Ejemplo

Determine

A

T

_si

A

₌

"

1 2 3

4 5 6

(7)

Introducci ´on Transpuesta

Ejemplo 1

Propiedades Matriz Invertible Singularidad Motivaci ´on Algoritmo de Inversi ´on Ejemplo 2 Comentario Propiedades Ecuaciones Matriciales Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Complejidad

Ejemplo

Determine

A

T

_si

A

₌

"

1 2 3

4 5 6

#

.

Soluci ´

on

Siguiendo la indicación de tomar los renglones de

A

_{como columnas para}

_A

T

_tenemos:

A

T

₌







1

4

2

5

3

6 

(8)

Introducci ´on Transpuesta Ejemplo 1

Propiedades

Matriz Invertible Singularidad Motivaci ´on Algoritmo de Inversi ´on Ejemplo 2 Comentario Propiedades Ecuaciones Matriciales Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Complejidad

Propiedades de la transpuesta

1. La transpuesta de la transpuesta de una matriz

(9)

Propiedades

Propiedades de la transpuesta

1. La transpuesta de la transpuesta de una matriz

A

_{es otra vez}

A

_:

A

T

₌

A

_.

(10)

Propiedades

Propiedades de la transpuesta

1. La transpuesta de la transpuesta de una matriz

A

_{es otra vez}

A

_:

A

T

₌

A

_.

2. La transpuesta de una suma es la suma de las

transpuestas:

(

A

₊

B

₎

T

₌

A

T

₊

B

T

_.

(11)

Propiedades

Propiedades de la transpuesta

1. La transpuesta de la transpuesta de una matriz

A

_{es otra vez}

A

_:

A

T

₌

A

_.

2. La transpuesta de una suma es la suma de las

transpuestas:

(

A

₊

B

₎

T

₌

A

T

₊

B

T

_.

3. (

c

A

₎

T

₌

_c

A

T

_.

(12)

Propiedades

Propiedades de la transpuesta

1. La transpuesta de la transpuesta de una matriz

A

_{es otra vez}

A

_:

A

T

₌

A

_.

2. La transpuesta de una suma es la suma de las

transpuestas:

(

A

₊

B

₎

T

₌

A

T

₊

B

T

_.

3. (

c

A

₎

T

₌

_c

A

T

_.

4. (

A B

₎

T

₌

B

T

A

T

_.

(13)

Introducci ´on Transpuesta Ejemplo 1 Propiedades

Matriz Invertible

Singularidad Motivaci ´on Algoritmo de Inversi ´on Ejemplo 2 Comentario Propiedades Ecuaciones Matriciales Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Complejidad

Matrices invertibles

Se dice que una matriz

A

_cuadrada

_n

_×

_n

_{es una}

matriz invertible

, o que es una

matriz no singular

,

si existe una matriz

B

_n

_×

_n

_{, que llamaremos}

_la

matriz inversa

de

A

_{, que cumple:}

(14)

Introducci ´on Transpuesta Ejemplo 1 Propiedades

Matriz Invertible

Singularidad Motivaci ´on Algoritmo de Inversi ´on Ejemplo 2 Comentario Propiedades Ecuaciones Matriciales Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Complejidad

Una matriz invertible sólo tiene una inversa, es

decir,

la inversa es ´

unica

. La única inversa de una

matriz invertible

A

_{se representa por}

A

−

1 . Así

(15)

Introducci ´on Transpuesta Ejemplo 1 Propiedades Matriz Invertible

Singularidad

Motivaci ´on Algoritmo de Inversi ´on Ejemplo 2 Comentario Propiedades Ecuaciones Matriciales Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Complejidad

Como se puede ver

0 C

₌

0 _{, para cualquier matriz}

C

_{de dimensiones adecuadas, esto significa que}

existen matrices cuadradas que no pueden ser

invertibles (La matrix cuadrada

0 _{es una de ellas)}

este tipo de matrices se llama

matriz singular

o

(16)

Introducci ón Transpuesta Ejemplo 1 Propiedades Matriz Invertible Singularidad Motivaci ón Algoritmo de Inversi ón Ejemplo 2 Comentario Propiedades Ecuaciones Matriciales Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Complejidad

Motivación del algoritmo de inversión

Ejemplo

Determine la inversa de

A

₌





1 −

2

3 −

5 



Suponga que buscamos una matriz

B

_,

₂

_×

₂

_{tal que}

A B

₌

I

₂_×₂

_:





1 −

2

3 −

5 







b

11

b

12

(17)

Motivación del algoritmo de inversión

Ejemplo

Determine la inversa de

A

₌





1 −

2

3 −

5 



Suponga que buscamos una matriz

B

_,

₂

_×

₂

_{tal que}

A B

₌

I

₂_×₂

_:





1 −

2

3 −

5 







b

11

b

12

b

21

b

22





=





1

0

1 



Así se debe cumplir:

■

_{Para elemento (1,1) del producto:}

₁

_·

_b

₁₁

₋

₂

_·

_b

₂₁

_{= 1}

■

_{Para elemento (2,1) del producto:}

₃

_·

_b

₁₁

₋

₅

_·

_b

₂₁

_{= 0}

■

_{Para elemento (1,2) del producto:}

₁

_·

_b

₁₂

₋

₂

_·

_b

₂₂

_{= 0}

(18)

Introducci ´on Transpuesta Ejemplo 1 Propiedades Matriz Invertible Singularidad

Motivaci ´on

Algoritmo de Inversi ´on Ejemplo 2 Comentario Propiedades Ecuaciones Matriciales Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Complejidad

Esto conduce a dos sistemas de ecuaciones: uno en

b

11

y

b

21

y otro

b

21

y

b

22

con matrices aumentadas que al reducirse quedan:





1 −

2

1

3 −

5

0 



→





1

0 −

5

0

1 −

3 



y





1 −

2

0

3 −

5

1 



→





1

0

2

0

1

1 

(19)

Esto conduce a dos sistemas de ecuaciones: uno en

b

11

y

b

21

y otro

b

21

y

b

22

con matrices aumentadas que al reducirse quedan:





1 −

2

1

3 −

5

0 



→





1

0 −

5

0

1 −

3 



y





1 −

2

0

3 −

5

1 



→





1

0

2

0

1

1 



Y así

b

11

=

−

5 ,

b

21

=

−

3 ,

b

21

= 2

, y

b

22

= 1

. Quedando la inversa

como

A

−1

₌

B

₌





−

5

2 −

3

1 

(20)

Introducci ´on Transpuesta Ejemplo 1 Propiedades Matriz Invertible Singularidad

Motivaci ´on

Algoritmo de Inversi ´on Ejemplo 2 Comentario Propiedades Ecuaciones Matriciales Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Complejidad

Observemos que

■

_{Ambas matrices aumentadas tienen la misma matriz de}

coeficientes: exactamente

A

_.

■

_{Teniendo la misma matriz de coeficientes, los sistemas deben}

reducirse con las mismas operaciones de renglón.

■

_{En cada sistema, la columna de las constantes es una columna}

de

I

_.

■

_{Como las matrices aumentadas tienen las mismas matrices de}

coeficientes y las operaciones de renglón para la reducción son

las mismas, entonces el proceso se puede llevar a cabo

formando la matriz aumentada

[

A

_|

I

_]

_{y reduciendo.}

■

_{Después del proceso de reducción, la inversa queda}

(21)

Introducci ´on Transpuesta Ejemplo 1 Propiedades Matriz Invertible Singularidad Motivaci ´on

Algoritmo de Inversi ´on

Ejemplo 2 Comentario Propiedades Ecuaciones Matriciales Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Complejidad

Algoritmo para invertir una matriz

Para determinar

A

−

1 , si existe, haga los siguiente:

1. Construya la matriz aumentada

[

A

_|

I

_]

_.

(22)

Algoritmo para invertir una matriz

Para determinar

A

−

1 , si existe, haga los siguiente:

1. Construya la matriz aumentada

[

A

_|

I

_]

_.

Aquí

I

_{representa la matriz identidad}

_n

_×

_n

_.

2. Reduzca la matriz

[

A

_|

I

_]

_{. Digamos que se}

(23)

Algoritmo para invertir una matriz

Para determinar

A

−

1 , si existe, haga los siguiente:

1. Construya la matriz aumentada

[

A

_|

I

_]

_.

Aquí

I

_{representa la matriz identidad}

_n

_×

_n

_.

2. Reduzca la matriz

[

A

_|

I

_]

_{. Digamos que se}

obtenga

[

B

_|

C

_]

_.

(24)

Algoritmo para invertir una matriz

Para determinar

A

−

1 , si existe, haga los siguiente:

1. Construya la matriz aumentada

[

A

_|

I

_]

_.

Aquí

I

_{representa la matriz identidad}

_n

_×

_n

_.

2. Reduzca la matriz

[

A

_|

I

_]

_{. Digamos que se}

obtenga

[

B

_|

C

_]

_.

3. Si la matriz

B

_{es la matriz identidad, entonces}

A

_{sí es invertible y}

A

−

1 =

C

.

4. Si la matriz

B

_{no es la identidad, entonces}

A

_no

(25)

Introducci ón Transpuesta Ejemplo 1 Propiedades Matriz Invertible Singularidad Motivaci ón Algoritmo de Inversi ón

Ejemplo 2

Comentario Propiedades Ecuaciones Matriciales Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Complejidad

Ejemplo

Invierta las matrices:

A

₁

₌

"

1

3 −

2 −

7 #

y

A

₂

₌

"

1 2

2 4

(26)

Soluci ´

on

Para

A

₁

_:

[

A

₁

_|

I

_{] =}





1

3

1

0 −

2 −

7

0

1 



R2←R2+2R1

−−−−−−−−−→





1

3

1

0

0 −

1

2

1 



R2←−1R2

−−−−−−−→





1

3

1

0

1 −

2 −

1 



R1←R1−3R1

−−−−−−−−−→





1

0

7

3

0

1 −

2 −

1 

(27)

Soluci ´

on

Para

A

₁

_:

[

A

₁

_|

I

_{] =}





1

3

1

0 −

2 −

7

0

1 



R2←R2+2R1

−−−−−−−−−→





1

3

1

0

0 −

1

2

1 



R2←−1R2

−−−−−−−→





1

3

1

0

1 −

2 −

1 



R1←R1−3R1

−−−−−−−−−→





1

0

7

3

0

1 −

2 −

1 



Como en el resultado final

B

_{es la matriz identidad,}

A

₁

_{es una matriz invertible y}

A

₁−1

₌





7

3 −

2 −

1 

(28)

Para

A

₂

_:

[

A

₂

_|

I

_{] =}





1

2

1

0

2

4

0

1 



R2←R2−2R1

−−−−−−−−−→





1

2

1

0

0 −

2

1 



R2←−1₂ R2

−−−−−−−→





1

2

1

0

1 −

1 /

2 



R1←R1−R2

−−−−−−−−→





1

2

0

1 /

2

0

1 −

1 /

2 

(29)

Para

A

₂

_:

[

A

₂

_|

I

_{] =}





1

2

1

0

2

4

0

1 



R2←R2−2R1

−−−−−−−−−→





1

2

1

0

0 −

2

1 



R2←−1₂ R2

−−−−−−−→





1

2

1

0

1 −

1 /

2 



R1←R1−R2

−−−−−−−−→





1

2

0

1 /

2

0

1 −

1 /

2 



.

Como en el resultado final

B

_no

_{es la matriz identidad,}

A

₂

_no

_{es una matriz}

(30)

Para

A

₂

_:

[

A

₂

_|

I

_{] =}





1

2

1

0

2

4

0

1 



R2←R2−2R1

−−−−−−−−−→





1

2

1

0

0 −

2

1 



R2←−1₂ R2

−−−−−−−→





1

2

1

0

1 −

1 /

2 



R1←R1−R2

−−−−−−−−→





1

2

0

1 /

2

0

1 −

1 /

2 



.

Como en el resultado final

B

_no

_{es la matriz identidad,}

A

₂

_no

_{es una matriz}

invertible. Observe con cuidado que en cálculo para

A

₂

_{que no hace falta concluir}

(31)

Introducci ón Transpuesta Ejemplo 1 Propiedades Matriz Invertible Singularidad Motivaci ón Algoritmo de Inversi ón Ejemplo 2

Comentario

Propiedades Ecuaciones Matriciales Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Complejidad

Comentario

Recuerde que para una matriz

A

_n

_×

_n

_{la matriz inversa de ella se}

definió como una matriz

B

_n

_×

_n

_{que cumple}

A B

₌

I

_n

₌

B A

y en nuestra deducción del algoritmo sólo buscamos que se cumpla

A B

₌

I

_{. En los resultados teóricos de álgebra de matrices se tiene}

que

■

_Si

A

_{es una matriz cuadrada y existe una matriz cuadrada}

C

_tal

que

A C

₌

I

_{, entonces}

A

_{es invertible. Es decir, que es suficiente}

tener inversa lateral derecha para tener inversa por ambos lados.

■

_Si

A

_{es una matriz cuadrada invertible y si}

B

_{es una matriz}

cuadrada que cumple

A B

₌

I

_{, entonces}

A

−1

₌

B

_{. Es decir, que}

la inversa lateral derecha de una matriz cuadrada invertible

coincide con la inversa de la matriz.

(32)

Introducci ón Transpuesta Ejemplo 1 Propiedades Matriz Invertible Singularidad Motivaci ón Algoritmo de Inversi ón Ejemplo 2 Comentario

Propiedades

Ecuaciones Matriciales Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Complejidad

Propiedades de la inversa

1 Si la matriz

A

_,

_n

_×

_n

_{, puede invertirse, entonces}

el sistema

A x

₌

b

_{tiene solución única para}

cada vector

b

_{. Esta solución puede calcularse}

como

(33)

Propiedades

Propiedades de la inversa

1 Si la matriz

A

_,

_n

_×

_n

_{, puede invertirse, entonces}

el sistema

A x

₌

b

_{tiene solución única para}

cada vector

b

_{. Esta solución puede calcularse}

como

x

₌

A

−

1 b

2 Sean

A

_y

B

_{dos matrices cuadradas}

_n

_×

_n

invertibles cualquiera entonces

AB

_{es invertible}

y

(34)

Propiedades

Propiedades de la inversa

1 Si la matriz

A

_,

_n

_×

_n

_{, puede invertirse, entonces}

el sistema

A x

₌

b

_{tiene solución única para}

cada vector

b

_{. Esta solución puede calcularse}

como

x

₌

A

−

1 b

2 Sean

A

_y

B

_{dos matrices cuadradas}

_n

_×

_n

invertibles cualquiera entonces

AB

_{es invertible}

y

(

A B

₎

−

1 =

_B

₋

1 _A

₋

1 .

3 La inversa de una matriz invertible también es

una matriz invertible y

(35)

Propiedades

4 Si

c

es una constante cualquiera, pero diferente

de cero, entonces la matriz

c

A

_{también es}

invertible y

(

c

A

₎

−

1 =

1 c

A

(36)

Propiedades

4 Si

c

es una constante cualquiera, pero diferente

de cero, entonces la matriz

c

A

_{también es}

invertible y

(

c

A

₎

−

1 =

1 c

A

−

1 .

5 Si

k

es un número entero postivo, entonces

A

k

también es una matriz invertible y

(37)

Propiedades

4 Si

c

es una constante cualquiera, pero diferente

de cero, entonces la matriz

c

A

_{también es}

invertible y

(

c

A

₎

−

1 =

1 c

A

−

1 .

5 Si

k

es un número entero postivo, entonces

A

k

también es una matriz invertible y

A

k

−

1 ₌

A

−

1 k

.

6 La matriz

A

T

_{también es invertible y}

(38)

Introducci ón Transpuesta Ejemplo 1 Propiedades Matriz Invertible Singularidad Motivaci ón Algoritmo de Inversi ón Ejemplo 2 Comentario Propiedades

Ecuaciones Matriciales

Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Complejidad

Ecuaciones con matrices

Ahora pondremos en práctica nuestra álgebra con

matrices para resolver ecuaciones donde se

(39)

Introducci ón Transpuesta Ejemplo 1 Propiedades Matriz Invertible Singularidad Motivaci ón Algoritmo de Inversi ón Ejemplo 2 Comentario Propiedades Ecuaciones Matriciales

Ejemplo 4

Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Complejidad

Ejemplo

Resuelva para

X

(40)

Ejemplo 4

Ejemplo

Resuelva para

X

c

X

₊

A

₌

B

Soluci ´

on

(41)

Ejemplo 4

Ejemplo

Resuelva para

X

c

X

₊

A

₌

B

Soluci ´

on

Los pasos que se siguen son muy similares al

álgebra básica sumamos en ambos miembros la

matriz

−

A

_:

(42)

Ejemplo 4

Ejemplo

Resuelva para

X

c

X

₊

A

₌

B

Soluci ´

on

Los pasos que se siguen son muy similares al

álgebra básica sumamos en ambos miembros la

matriz

−

A

_:

(

c

X

₊

A

₎

₋

A

₌

B

₋

A

Como la suma / resta de matrices es asociativa se

pueden agrupar los sumando para dejar juntos

A

(43)

Ejemplo 4

(44)

Ejemplo 4

Siendo estos cálculos para suma y resta de

matrices tan similares a los del álgebra básica

usaremos la misma regla:

(45)

Ejemplo 4

Siendo estos cálculos para suma y resta de

matrices tan similares a los del álgebra básica

usaremos la misma regla:

Si en una igualdad entre expresiones con

matrices aparece sumando o restando una

matriz en un miembro la podemos pasar al

otro miembro restando o sumando:

(46)

Ejemplo 4

procedemos a multiplicar por el escalar

1 /c

:

X

_{= 1}

X

₌

1 c

c

X

₌

1 c

(

c

X

) =

1

(47)

Ejemplo 4

procedemos a multiplicar por el escalar

1 /c

:

X

_{= 1}

X

₌

1 c

c

X

₌

1 c

(

c

X

) =

1 c

(

B

−

A

)

Siendo estos cálculos para la multiplicación o

división

con escalares

tan similares a los del álgebra

(48)

Ejemplo 4

procedemos a multiplicar por el escalar

1 /c

:

X

_{= 1}

X

₌

1 c

c

X

₌

1 c

(

c

X

) =

1 c

(

B

−

A

)

Siendo estos cálculos para la multiplicación o

división

con escalares

tan similares a los del álgebra

básica usaremos la misma regla:

Si en una igualdad entre expresiones con

matrices aparece multiplicando (resp.

dividiendo) un escalar lo podemos pasar al

otro miembro dividiendo (resp.

(49)

Ejemplo 4

procedemos a multiplicar por el escalar

1 /c

:

X

_{= 1}

X

₌

1 c

c

X

₌

1 c

(

c

X

) =

1 c

(

B

−

A

)

Siendo estos cálculos para la multiplicación o

división

con escalares

tan similares a los del álgebra

básica usaremos la misma regla:

Si en una igualdad entre expresiones con

matrices aparece multiplicando (resp.

dividiendo) un escalar lo podemos pasar al

otro miembro dividiendo (resp.

multiplicando).

c

Z

₌

D

_→

Z

₌

1

(50)

Ejemplo 4

Por tanto, el valor de la incógnita

X

_es

X

₌

1

(51)

Introducci ón Transpuesta Ejemplo 1 Propiedades Matriz Invertible Singularidad Motivaci ón Algoritmo de Inversi ón Ejemplo 2 Comentario Propiedades Ecuaciones Matriciales Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Complejidad

Ejemplo

Asumiendo que la matriz

A

_{sea invertible, despeje}

la matriz

X

_{de la ecuación:}

(52)

Ejemplo 5

Ejemplo

Asumiendo que la matriz

A

_{sea invertible, despeje}

la matriz

X

_{de la ecuación:}

A X

₌

B

Soluci ´

on

(53)

Ejemplo 5

Ejemplo

Asumiendo que la matriz

A

_{sea invertible, despeje}

la matriz

X

_{de la ecuación:}

A X

₌

B

Soluci ´

on

Este tipo de problemas presenta a los alumnos

cierta dificultad en los primeros despejes de

ecuaciones matriciales. Se debe tener bien en

claro que la matriz

A

_{a eliminar está a la izquierda}

(54)

Ejemplo 5

Ejemplo

Asumiendo que la matriz

A

_{sea invertible, despeje}

la matriz

X

_{de la ecuación:}

A X

₌

B

Soluci ´

on

Este tipo de problemas presenta a los alumnos

cierta dificultad en los primeros despejes de

ecuaciones matriciales. Se debe tener bien en

claro que la matriz

A

_{a eliminar está a la izquierda}

(55)

Ejemplo 5

Es equivocado

hacer cancelar

A

pretendiendo

multiplicar por la derecha:

(56)

Ejemplo 5

Es equivocado

hacer cancelar

A

pretendiendo

multiplicar por la derecha:

X

₌

AXA

−

1 =

BA

−

1 Y

representa un error a ´

un m ´as grave

dividir entre

A

pretendiendo cancelar

A

_:

X

₌

AX

A

=

(57)

Ejemplo 5

Es equivocado

hacer cancelar

A

pretendiendo

multiplicar por la derecha:

X

₌

AXA

−

1 =

BA

−

1 Y

representa un error a ´

un m ´as grave

dividir entre

A

pretendiendo cancelar

A

_:

X

₌

AX

A

=

B

A

La regla válida para cancelar matrices cuando

éstas poseen inversas que multiplican es la

A X

₌

B

_→

X

₌

A

−

1 B

(58)

Introducci ón Transpuesta Ejemplo 1 Propiedades Matriz Invertible Singularidad Motivaci ón Algoritmo de Inversi ón Ejemplo 2 Comentario Propiedades Ecuaciones Matriciales Ejemplo 4 Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Complejidad

Ejemplo

Suponiendo que

A

_y

B

_{son matrices invertibles,}

despeje

X

_de:

(59)

Ejemplo 6

Ejemplo

Suponiendo que

A

_y

B

_{son matrices invertibles,}

despeje

X

_de:

ABX

₌

C

Soluci ´

on

Otro problema que los alumnos enfrentan en los

primeros despejes aparece en este tipo de

(60)

Ejemplo 6

Ejemplo

Suponiendo que

A

_y

B

_{son matrices invertibles,}

despeje

X

_de:

ABX

₌

C

Soluci ´

on

Otro problema que los alumnos enfrentan en los

primeros despejes aparece en este tipo de

problemas. Hay dos formas correctas de pensar el

problema. En la primera la ecuación original se

debe pensar agrupada de la siguiente manera:

(61)

Ejemplo 6

Ejemplo

Suponiendo que

A

_y

B

_{son matrices invertibles,}

despeje

X

_de:

ABX

₌

C

Soluci ´

on

Otro problema que los alumnos enfrentan en los

primeros despejes aparece en este tipo de

problemas. Hay dos formas correctas de pensar el

problema. En la primera la ecuación original se

debe pensar agrupada de la siguiente manera:

(

A B

₎

X

₌

C

En cuyo caso el despeje de

X

_{es directo por las}

reglas vistas:

(62)

Ejemplo 6

Otra manera correcta de plantear el problema es:

(63)

Ejemplo 6

Otra manera correcta de plantear el problema es:

A

₍

B X

_{) =}

C

De donde el despeje en dos pasos es haciendo

primero:

B X

₌

A

−

1 C

Para después obtener:

(64)

Ejemplo 6

Otra manera correcta de plantear el problema es:

A

₍

B X

_{) =}

C

De donde el despeje en dos pasos es haciendo

primero:

B X

₌

A

−

1 C

Para después obtener:

X

₌

B

−

1 A

−

1 C

Note que ambos resultados sin idénticos en vista

de la igualdad:

(

A B

₎

−

1 =

_B

−

1 A

−

1

(65)

Introducci ón Transpuesta Ejemplo 1 Propiedades Matriz Invertible Singularidad Motivaci ón Algoritmo de Inversi ón Ejemplo 2 Comentario Propiedades Ecuaciones Matriciales Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6

Ejemplo 7

Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Complejidad

Ejemplo

Despeje

x

_{de la ecuación:}

(66)

Ejemplo 7

Ejemplo

Despeje

x

_{de la ecuación:}

X

T

₌

A

Soluci ´

on

En este caso se debe tener presente la propiedad

(67)

Ejemplo 7

Ejemplo

Despeje

x

_{de la ecuación:}

X

T

₌

A

Soluci ´

on

En este caso se debe tener presente la propiedad

X

T

₌

X

_{. Por consiguiente, tomando la}

transpuesta en cada miembro:

(68)

Introducci ón Transpuesta Ejemplo 1 Propiedades Matriz Invertible Singularidad Motivaci ón Algoritmo de Inversi ón Ejemplo 2 Comentario Propiedades Ecuaciones Matriciales Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7

Ejemplo 8

Ejemplo 9 Ejemplo 10 Complejidad

Ejemplo

Despeje

x

_{de la ecuación:}

(69)

Ejemplo 8

Ejemplo

Despeje

x

_{de la ecuación:}

X

−

1 =

A

Soluci ´

on

En este caso se debe tener presente la propiedad

(70)

Ejemplo 8

Ejemplo

Despeje

x

_{de la ecuación:}

X

−

1 =

A

Soluci ´

on

En este caso se debe tener presente la propiedad

(

X

−

1 )

−

1 =

X

. Por consiguiente, tomando matriz

inversa en cada miembro:

(71)

Introducci ón Transpuesta Ejemplo 1 Propiedades Matriz Invertible Singularidad Motivaci ón Algoritmo de Inversi ón Ejemplo 2 Comentario Propiedades Ecuaciones Matriciales Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8

Ejemplo 9

Ejemplo 10 Complejidad

Ejemplo

Suponiendo que

A

_{es invertible y}

_c

₆

_{= 0}

_{, despeje}

X

_de:

(72)

Introducci ón Transpuesta Ejemplo 1 Propiedades Matriz Invertible Singularidad Motivaci ón Algoritmo de Inversi ón Ejemplo 2 Comentario Propiedades Ecuaciones Matriciales Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8

Ejemplo 9

Ejemplo 10 Complejidad

Ejemplo

Suponiendo que

A

_{es invertible y}

_c

₆

_{= 0}

_{, despeje}

X

_de:

A

₍

_c

X

₊

B

_{) +}

C

₌

D

Soluci ´

on

Procediendo como anteriormente:

A

₍

_c

X

₊

B

_{) =}

D

₋

C

c

X

₊

B

₌

A

−

1 (

D

−

C

)

c

X

₌

A

−

1 (

D

−

C

)

−

B

X

₌

1 c

(

A

(73)

Introducci ón Transpuesta Ejemplo 1 Propiedades Matriz Invertible Singularidad Motivaci ón Algoritmo de Inversi ón Ejemplo 2 Comentario Propiedades Ecuaciones Matriciales Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9

Ejemplo 10

Complejidad

Ejemplo

Suponiendo matrices invertibles donde se requiera

despeje

X

_de:

(74)

Ejemplo 10

Complejidad

Ejemplo

Suponiendo matrices invertibles donde se requiera

despeje

X

_de:

A

₍

BX

₎

−

1 +

_C

T

+

_D

=

_E

Soluci ´

on

(75)

Ejemplo 10

Complejidad

Ejemplo

Suponiendo matrices invertibles donde se requiera

despeje

X

_de:

A

₍

BX

₎

−

1 +

_C

T

+

_D

=

_E

Soluci ´

on

Este tipo de despejes requiere ser riguroso en el

orden: Pasando al segundo miembro

D

_:

(76)

Ejemplo 10

Complejidad

Ejemplo

Suponiendo matrices invertibles donde se requiera

despeje

X

_de:

A

₍

BX

₎

−

1 +

_C

T

+

_D

=

_E

Soluci ´

on

Este tipo de despejes requiere ser riguroso en el

orden: Pasando al segundo miembro

D

_:

A

₍

BX

₎

−

1 +

_C

T

=

_E

−

_D

Multiplicando por

A

−

1 por la derecha:

(77)

Ejemplo 10

Complejidad

Tomando la transpuesta en ambos miembros:

(78)

Ejemplo 10

Complejidad

Tomando la transpuesta en ambos miembros:

(

BX

₎

−

1 +

_C

=

_A

₋

1 (

_E

−

_D

)

T

Pasando al segundo miembro

C

_:

(79)

Ejemplo 10

Complejidad

Tomando la transpuesta en ambos miembros:

(

BX

₎

−

1 +

_C

=

_A

₋

1 (

_E

−

_D

)

T

Pasando al segundo miembro

C

_:

(

BX

₎

−

1 =

_A

₋

1 (

_E

−

_D

)

T

−

_C

Tomando inversa en ambos miembros:

BX

₌

A

−

1 (

E

−

D

)

T

−

C

(80)

Ejemplo 10

Complejidad

Finalmente, eliminando la matriz

B

_:

X

₌

B

−

1 A

−

1 (

E

−

D

)

T

−

C

−

1

(81)

Complejidad computacional de la inversión

Es importante notar que el proceso de Gauss

avanza dejando la matriz escalonada hasta la

columna de trabajo:

                             

a1,1 a1,2 · · · a1_,m₋1 a1,m · · · b1,1 . . . b1,n

0 _a₂_,₂ _{· · ·} _a₂

,m−1 a2,m · · ·

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 _{· · ·} _am

−1,m−1 am−1,m

. . . . . . . . . . . .

0 0 _{· · ·} 0 _am,m _{· · ·} _bm,₁ . . . _bm,n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 _{· · ·} 0 _an,m _{· · ·}

(82)

Introducci ón Transpuesta Ejemplo 1 Propiedades Matriz Invertible Singularidad Motivaci ón Algoritmo de Inversi ón Ejemplo 2 Comentario Propiedades Ecuaciones Matriciales Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10

Complejidad

1 Ciclo del paso 1 al 4

En el paso 3 hay que hacer cero debajo del

elemento

(

m, m

)

, para cada uno de los

m

−

n

renglones inferiores

R

i

; para ello habrá que

■

calcular el factor

f

=

a

_i,m

/a

_m,m

■

realizar la operación:

R

i

←

R

i

−

f R

m

.

2(2

n

−

m

) + 1 = 4

n

−

2 m

+ 1

.

entonces para realizar un ciclo desde el paso 1

hasta el paso 4 deben hacerse

(

n

−

m

) (4

n

−

2 m

+ 1)

FLOPS.

n

₋

1

(83)

Introducci ón Transpuesta Ejemplo 1 Propiedades Matriz Invertible Singularidad Motivaci ón Algoritmo de Inversi ón Ejemplo 2 Comentario Propiedades Ecuaciones Matriciales Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10