Análisis Matemático. Ejercicios Resueltos. Estudios de Funciones - Problemas de Máximos y Mínimos

(1)

1)

Estudio de la función : F ( x ) =

1 2 2 − x x Cuadro de resultados Dominio : x -_∞ -1 0 1 +_∞ F (x) + - 0 - + F’ (x) + + 0 - - F’’ (x) + - +

Observaciones Función par (simétrica respecto del eje y); x=1 y x=-1 A.

Verticales; y=1 A. Horizontal; Máximo: (0;0)

1. Dominio de F:

DF = ℜ − −= ℜ − −= ℜ − −= ℜ − −

{{{{

1;1

}}}}

2. Intersección con ejes:

Intersección con eje y:

(((( ))))

2 2 0 0 0;0 0 1 0 0 F F    ====  −−−−     ==== 

Intersección con eje x:

(((( ))))

2 2 2 1 2 0 1 0 0;0 0 x x x x x    ====  −−−− ___{} ====     = = == == = = ___   

3. Paridad:

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))

2 2 2 2 1 es par 1 x F x x F x F x F x F x x    −−−− ___ − = −− == − =    − − − − − − − − ___ ₌₌₌₌ ₋₋₋₋ _∴_∴_∴_∴    − = −− == − =  −−−− 

Análisis Matemático

♦

Aplicaciones de la Derivada

Ejercicios Resueltos

(2)

4. Asíntotas:

Verticales: 2 2 1 1 es Asíntota Vertical 1 x x x x

lím

→ → → → = ∞ → = = ∞ → = = ∞ → = = ∞ → = −−−− 2 2 1 1 es Asíntota Vertical 1 x x x x

lím

→− →− →− →− = ∞ → = − = ∞ → = − = ∞ → = − = ∞ → = − −−−− Horizontal: 2 2 1 1 es Asíntota Horizontal 1 x x y x

lím

→∞ →∞ →∞ →∞ = → = = → = = → = = → = −−−− Oblícua:

(((( ))))

2 3 0 No Existe A. Oblicua x x F x x m x x x

lím

→∞ →∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞ →∞ = = = ∴ == == == ∴∴ = = = ∴ −−−−

5. Puntos Críticos:

(((( ))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

2 2 2 2 2 2 2 1 2 ₂ ´ 1 1 x x x x _x F x x x ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ − −− − ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ _{− ⋅}_{− ⋅}_{− ⋅}_{− ⋅} = = == == = = − − − − − − − −

(((( ))))

´ 0 2 0 0 Punto Crítico F x ==== → − ⋅ =→ − ⋅ =→ − ⋅ =→ − ⋅ =x →→→→ x====

6. Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento:

((((

))))

(((( ))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

(((( ))))

; -1 : ´ 2 0 Creciente 1 1 ; 0 : ´ 0 Creciente 2 1 0 ; 1 : ´ 0 Decreciente 2 0 ; + : ´ 2 0 Decreciente F F F F −∞ − > ↑ −∞−∞ − >− > ↑↑ −∞ − > ↑       − − > ↑ −− −− >> ↑↑ − − > ↑               < ↓ < ↓ < ↓ < ↓                 ∞ < ↓ ∞ < ↓ ∞ < ↓ ∞ < ↓

7. Máximos y Mínimos

Por Criterio de la Derivada Primera. Observamos en el ítem anterior que la función alcanza un Máximo en el punto ( 0 ; F (0) ) dado que es creciente a izquierda y decreciente a derecha.

Máximo : ( 0 ; 0 )

8. Intervalos de Concavidad y Puntos de Inflexión:

(((( ))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

2 2 2 ₂ 4 3 2 2 2 1 2 2 1 2 ₆ ₂ ´´ 1 1 x x x x _x F x x x − ⋅ − − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅− ⋅ −− − − ⋅ ⋅− − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅− ⋅ ⋅ − ⋅ − − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ _⋅_⋅_⋅_⋅ ₊₊₊₊ = = == == = = − − − − − − − −

(3)

(((( ))))

2 2 1

´´ 0 6 2 0 absurdo en reales. 3

F x ==== →→→→ ⋅⋅⋅⋅x + =+ =+ =+ = →→→→ x = −= −= −= −

No existen posibles puntos de Inflexión.

((((

))))

(((( ))))

((((

))))

(((( ))))

((((

))))

(((( ))))

; -1 : ´´ 2 0 Cóncava Positiva 1 ; 1 : ´´ 0 0 Cóncava Negativa 1 ; + : ´´ 2 0 Cóncava Positiva F F F −∞ − > −∞−∞ − >− > −∞ − > − < −− << − < ∞ > ∞ > ∞ > ∞ >

9. Gráfico:

2)

Estudio de la función : F ( x ) =

3 2 1 x x −−−− Cuadro de resultados Dominio : x -_∞ - 3 -1 0 1 3 +_∞ F (x) 3 3 2 −−−− _{+ 0 - 3 3} 2 F’ (x) + 0 - - 0 - - 0 + F’’ (x) - + 0 - +

Observaciones Función impar (simétrica respecto del origen de coordenadas); x=1

y x=-1 A. Verticales; y=x A. Oblicua.

1. Dominio de F:

DF = ℜ − −= ℜ − −= ℜ − −= ℜ − −

{{{{

1;1

}}}}

(4)

(((( ))))

3 2 0 0 0;0 0 1 0 0 F F    ====  −−−−     ==== 

(((( ))))

3 2 3 1 2 3 0 1 0 0;0 0 x x x x x x    ====  −−−− ___{} ====     = = == == = = ___ ==== _{}

3. Paridad:

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))

3 2 3 2 1 es impar 1 x F x x F x F x F x F x x    −−−− ___ − = − = − = − =    − − − − − − − − ___ ₋₋₋₋ _{= −}_{= −}_{= −}_{= −} _∴_∴_∴_∴    −−−− − = − = − = − =  −−−− 

4. Asíntotas:

Verticales: 3 2 1 1 es Asíntota Vertical 1 x x x x

lím

→ → → → = ∞ → = = ∞ → = = ∞ → = = ∞ → = −−−− 3 2 1 1 es Asíntota Vertical 1 x x x x

lím

→− →− →− →− = ∞ → = − = ∞ → = − = ∞ → = − = ∞ → = − −−−− Horizontal: 3

2 No Existe Asíntota Horizontal

1 x x x

lím

→∞ →∞ →∞ →∞ = ∞ ∴ = ∞ ∴= ∞ ∴ = ∞ ∴ −−−− Oblícua:

(((( ))))

3 3 1 1 : pendiente x x F x x m m x x x

lím

→∞ →∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞ →∞ = = = ∴ = == == == ∴∴ == = = = ∴ = −−−−

[[[[

]]]]

3 2 2 ( ) 1 0 1 1 x x x x x b F x m x x x x

lím

→∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞       = − ⋅ = − ⋅ = = = − ⋅ = − ⋅ = = = − ⋅ = − ⋅ = = = − ⋅ =  − ⋅ = = − − − − − − − −       Asíntota Oblicua: y= ⋅ += ⋅ += ⋅ += ⋅ +1 x 0 →→→→ y==== x

5. Puntos Críticos:

(((( ))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

2 2 3 ₄ ₂ 2 2 2 2 3 1 2 ₃ ´ 1 1 x x x x _x _x F x x x ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ − −− − ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ _{− ⋅}_{− ⋅}_{− ⋅}_{− ⋅} = = == == = = − − −− −− − −

(((( ))))

4 2 2 2 ´ 0 3 0 0 3 0 F x ==== →→→→ x − ⋅− ⋅− ⋅− ⋅x ==== →→→→ x ==== ∨∨∨∨ x − =− =− =− = 1 2 0 3 3 4 3 Puntos Críticos. x ====x ==== ∨∨∨∨ x = += += += + ∨∨∨∨ x = −= −= −= −

(5)

6. Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento:

((((

))))

(((( ))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

; - 3 : ´ 2 0 Creciente 3 3 ; -1 : ´ 0 Decreciente 2 1 1 ; 0 : ´ 0 Decreciente 2 1 0 ; 1 : ´ 0 Decreciente 2 1 ; + 3 F F F F −∞ − > ↑ −∞ − > ↑ −∞ − > ↑ −∞ − > ↑         − − < ↓ − − < ↓ − − < ↓ − − < ↓               − − < ↓ −− −− << ↓↓ − − < ↓               < ↓ << ↓↓ < ↓                

((((

))))

(((( ))))

3 : ´ 0 Decreciente 2 + 3 ; + : ´ 2 0 Creciente F F         < ↓ << ↓↓ < ↓                 ∞ > ↑ ∞ > ↑ ∞ > ↑ ∞ > ↑

7. Máximos y Mínimos

Por Criterio de la Derivada Primera. Observamos en el ítem anterior que la función

alcanza un Máximo en el punto

((((

−−−− 3;F

(((( ))))

−−−− 3

))))

dado que es creciente a izquierda y

decreciente a derecha. Y, un Mínimo en el punto

((((

3;F

(((( ))))

3

))))

ya que es decreciente

a izquierda y creciente a derecha. En un entorno de Cero la función no cumple la condición suficiente para la existencia de extremos.

Máximo : 3 ; 3 3 2        ₋₋₋₋  −−−−                         y Mínimo : 3 3 3 ; 2                                

8. Intervalos de Concavidad y Puntos de Inflexión:

(((( ))))

((((

)))) ((((

))))

((((

))))

((((

))))

2 3 2 4 2 2 2 4 3 2 2 4 6 1 3 2 1 2 2 3 ´´ 1 1 x x x x x x x x x F x x x ⋅ − ⋅ ⋅ − − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = = == == = = − − − − − − − −

(((( ))))

((((

2

))))

´´ 0 2 3 0 F x ==== →→→→ ⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅x x ++++ ====

2 2⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =x 0 ∨∨∨∨ x + =+ =+ =+ =3 0 2 2

0 posible punto de inflexión 3 0 3 absurdo en reales.

(6)

((((

))))

(((( ))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

(((( ))))

; -1 : ´´ 2 0 Cóncava Negativa 1 1 ; 0 : ´´ 0 Cóncava Positiva 2 1 0 ; 1 : ´´ 0 Cóncava Negativa 2 1 ; + : ´´ 2 0 Cóncava Positiva F F F F −∞ − < −∞−∞ − <− < −∞ − <         − − > −− −− >> − − >                <<<<               ∞ > ∞ > ∞ > ∞ >

El punto

((((

0;F

(((( ))))

0

))))

es Punto de Inflexión de F pues cumple las condiciones

necesaria (anular la derivada segunda) y suficiente (cambiar la concavidad a derecha e

izquierda) para la existencia de un punto de inflexión.

Punto de Inflexión:

((((

0 ; 0

))))

9. Gráfico:

3)

Estudio de la función : F ( x ) =

₂ 1 x x ++++ Cuadro de resultados Dominio : x -_∞ - 3 -1 0 1 3 +_∞ F (x) - 3 4 -1/2 0 1/2 34 F’ (x) - 0 + 0 - F’’ (x) - 0 + 0 - 0 +

Observaciones Función impar (simétrica respecto del origen de coordenadas); A.

Horizontal : y=0.

(7)

2. Intersección con ejes:

(((( ))))

2 0 0 0 1 0;0 0 0 F F    ====  ++++     ==== 

(((( ))))

2 0 1 0;0 0 x x x    ====  ++++ ___       ==== ___   

3. Paridad:

(((( ))))

2 2 1 es impar 1 x F x x F x F x F x F x x −−−−  − = − = − = − = ___ − + − + − + − +  − = − ∴ − = − ∴ − = − ∴ − = − ∴    −−−−  − = − = − = − = ___ ++++ 

4. Asíntotas:

Vertical: No presenta. (No existe a tal que el límite de F para x tendiendo a a sea infinito).

Horizontal: ₂ 0 0 es Asíntota Horizontal 1 x x y x

lím

→∞ →∞ →∞ →∞ = ∴ = == ∴∴ == = ∴ = ++++

Oblícua:

(((( ))))

₃ 0 No existe Asíntota Oblicua.

x x F x x m x x x

lím

→∞ →∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞ →∞ = = = ∴ == == == ∴∴ = = = ∴ ++++

5. Puntos Críticos:

(((( ))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

2 ₂ 2 2 2 2 1 2 ₁ ´ 1 1 x x x _x F x x x + − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ₋₋₋₋ = = == == = = + + ++ ++ + +

(((( ))))

2 ´ 0 1 0 1 1 Puntos Críticos. F x ==== →→→→ −−−−x ==== →→→→ x==== ∨∨∨∨ x= −= −= −= −

(8)

((((

))))

(((( ))))

((((

))))

(((( ))))

((((

))))

(((( ))))

; 1 : ´ 2 0 Decreciente 1 ; 1 : ´ 0 0 Creciente 1 ; + : ´ 2 0 Decreciente F F F −∞ − − < ↓ −∞ −−∞ − − <− < ↓↓ −∞ − − < ↓ − > ↑ −− >> ↑↑ − > ↑ ∞ < ↓ ∞ < ↓ ∞ < ↓ ∞ < ↓

7. Máximos y Mínimos

alcanza un Máximo en el punto

((((

1;F

(((( ))))

1

))))

dado que es creciente a izquierda y

decreciente a derecha. Y, un Mínimo en el punto

((((

−−−−1;F

(((( ))))

−−−−1

))))

ya que es decreciente

a izquierda y creciente a derecha.

Máximo : 1 ; 1 2                   y Mínimo : 1 1 ; -2         −−−−                

8. Intervalos de Concavidad y Puntos de Inflexión:

(((( ))))

((((

)))) ((((

))))

((((

))))

((((

))))

2 2 2 2 2 4 3 2 2 2 1 1 2 1 2 2 3 ´´ 1 1 x x x x x x x F x x x − ⋅ ⋅ + − − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅− ⋅ ⋅ ++ − −− − ⋅⋅ + ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ −− − ⋅ ⋅ + − − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = = == == = = + + ++ ++ + +

(((( ))))

((((

2

))))

´´ 0 2 3 0 F x ==== →→→→ ⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅x x −−−− ====

2 2⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =x 0 ∨∨∨∨ x − =− =− =− =3 0

0 3 3 Posibles Puntos de Inflexión.

x==== ∨∨∨∨ x==== ∨∨∨∨ x= −= −= −= −

((((

))))

(((( ))))

((((

))))

(((( ))))

((((

))))

(((( ))))

((((

))))

(((( ))))

; 3 : ´´ 2 0 Cóncava Negativa 3 ; 0 : ´´ 1 0 Cóncava Positiva 0 ; 3 : ´´ 1 0 Cóncava Negativa 3 ; + : ´´ 2 0 Cóncava Positiva F F F F −∞ − − < −∞ − − < −∞ − − < −∞ − − < − − > − − > − − > − − > <<<< ∞ > ∞ > ∞ > ∞ >

Los puntos

((((

−−−− 3 ; F

(((( ))))

−−−− 3

))))

, 0 ;

((((

F

(((( ))))

0

))))

y

((((

3 ; F

(((( ))))

3

))))

cumplen las

condiciones necesaria y suficiente para la existencia de Punto de Inflexión.

Puntos de Inflexión : 3 ; 3 , 0 ; 0 y

((((

))))

3 ; 3 4 4                 − − − − − − − −                                                

(9)

9. Gráfico:

4)

Estudio de la función : F ( x ) =

((((

2

))))

2 1−−−−x ⋅⋅⋅⋅e Cuadro de resultados Dominio : x -_∞ - 3−−−−2 - 2−−−−1 -1 3−−−−2 0 2−−−−1 1 +_∞ F (x) -0,31 -0,43 0 0,71 1 1,25 0 - F’ (x) - 0 + 0 - F’’ (x) - 0 + 0 -

Observaciones Función impar (simétrica respecto del origen de coordenadas); A.

Horizontal : y=0.

1. Dominio de F:

DF = ℜ= ℜ= ℜ= ℜ

2. Intersección con ejes:

Intersección con eje y: F

(((( ))))

0 = −= −= −= −

((((

1 02

))))

⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =e0 1 →→→→ 0 ; 1

((((

))))

((((

))))

((((

))))

2 1 0 1 1 ; 0 y 1 ; 0 1 1 x x x x    − = −− == − =    = − = − = − =  −    = − ∨ = = − ∨= − ∨ == = − ∨ = ___

(10)

3. Paridad:

(((( ))))

2 2 1 no es par, ni impar. 1 x x F x x e F x F x e −−−−        − = − − ⋅ − = − − ⋅ − = − − ⋅ − = − −____ ____⋅ ___ ∴ ∴ ∴ ∴    −−−− ___ − = − = − = − =   

4. Asíntotas:

Vertical: No presenta. (No existe a tal que el límite de F para x tendiendo a a sea infinito). Horizontal:

((((

))))

((((

))))

2 2

1 0 0 (eje negativo) es Asíntota Horizontal

1 (Tener en cuenta Función exponencial) x x x x x e y x x e

lím

→−∞ →−∞ →−∞ →−∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ − ⋅ = ∴ = − ⋅ = ∴ = − ⋅ = ∴ = − ⋅ = ∴ = − ⋅ = −∞ − ⋅ = −∞ − ⋅ = −∞ − ⋅ = −∞

Oblícua: No existe Asíntota Oblicua para esta función.

5. Puntos Críticos:

Tener en cuenta que la exponencial es siempre positiva.

(((( ))))

((((

2

))))

´ x 2 1 F x = − ⋅= − ⋅= − ⋅= − ⋅e x + ⋅ −+ ⋅ −+ ⋅ −+ ⋅ −x

(((( ))))

2 ´ 0 2 1 0 2 1 2 1 Puntos Críticos. F x ==== →→→→ x + ⋅ − =+ ⋅ − =+ ⋅ − =+ ⋅ − =x →→→→ x= −= −= −= − −−−− ∨∨∨∨ x==== −−−−

6. Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento:

((((

))))

(((( ))))

((((

))))

(((( ))))

((((

))))

(((( ))))

; 2 1 : ´ 3 0 Decreciente 2 1 ; 2 1 : ´ 0 0 Creciente 2 1 ; + : ´ 1 0 Decreciente F F F −∞ − − − < ↓ −∞ − − − < ↓ −∞ − − − < ↓ −∞ − − − < ↓ − − − > ↑ − − − > ↑ − − − > ↑ − − − > ↑ − ∞ < ↓ − ∞ < ↓ − ∞ < ↓ − ∞ < ↓

7. Máximos y Mínimos

alcanza un Máximo en el punto

((((

2−−−−1;F

((((

2−−−−1

))))

dado que es creciente a

izquierda y decreciente a derecha. Y, un Mínimo en el punto

((((

−−−− 2−−−−1;F

((((

−−−− 2−−−−1

))))

(11)

Máximo :

((((

2−−−−1 ; 1, 25

))))

y Mínimo :

((((

−−−− 2−−−−1 ; −−−−0, 43

))))

8. Intervalos de Concavidad y Puntos de Inflexión:

(((( ))))

((((

2

))))

´´ x 4 1 F x = − ⋅= − ⋅= − ⋅= − ⋅e x + ⋅ ++ ⋅ ++ ⋅ ++ ⋅ +x

(((( ))))

2 ´´ 0 4 1 0 F x ==== →→→→ x + ⋅ + =+ ⋅ + =+ ⋅ + =+ ⋅ + =x

x==== 3−−−−2 ∨∨∨∨ x= −= −= −= − 3−−−−2 Posibles Puntos de Inflexión.

((((

))))

(((( ))))

((((

))))

(((( ))))

((((

))))

(((( ))))

; 3 2 : ´´ 4 0 Cóncava Negativa 3 2 ; 3 2 : ´´ 1 0 Cóncava Positiva 3-2 ; : ´´ 0 0 Cóncava Negativa F F F −∞ − − − < −∞ − − − < −∞ − − − < −∞ − − − < − − − − > − − − − > − − − − > − − − − > + ∞ < + ∞ < + ∞ < + ∞ <

Los puntos

((((

−−−− 3−−−−2 ; F

((((

−−−− 3−−−−2

))))

y

((((

3−−−−2 ; F

((((

3−−−−2

))))

cumplen las

condiciones necesaria y suficiente para la existencia de Punto de Inflexión.

Puntos de Inflexión :

((((

−−−− 3−−−−2 ; −−−−0, 31 y

)))) ((((

3−−−−2 ; 0,71

))))

9. Gráfico:

5)

Halle el área del rectángulo más grande que se pueda inscribir en un

triángulo rectángulo con catetos cuyas longitudes son de 3 cm. y 4 cm.,

(12)

respectivamente, si dos de los lados del rectángulo se encuentran a lo largo

de los catetos. [Ingreso U.T.N. Regional Buenos Aires]

Podemos representar el triángulo rectángulo en un par de ejes cartesianos de la como muestra la figura:

El siguiente paso es hallar la ecuación de la función lineal que incluye a la hipotenusa del triángulo rectángulo. A partir de los datos (intersecciones con los ejes) podemos escribir la ecuación segmentaria de la recta:

(((( ))))

4

1 que luego, al despejar , se transforma en : 4

3 4 3 x y y y f x x + = = = − ⋅ + + = = = − ⋅ + + = = = − ⋅ + + = = = − ⋅ +

Sabemos que el área del rectángulo se calcula efectuando el producto base por altura. Considerando que el rectángulo en cuestión tiene como base x unidades, la altura del mismo estará dada por f(x) dado que el vértice se encontrará sobre la hipotenusa. De esta forma escribimos la función Área que depende de x:

(((( ))))

2 4 . 4 3 4 4 3 A x x f x A x x x A x x x = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅         = − ⋅ + = − ⋅ + = − ⋅ + = − ⋅ +          = − ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅

A continuación debemos buscar el máximo relativo de esta función calculando

A´(x) = 0. (Para luego aplicar el criterio de la derivada segunda en la solución).

(((( ))))

8 ´ 4 3 8 4 0 3 8 4 3 3 2 A x x x x x = − ⋅ + = − ⋅ += − ⋅ + = − ⋅ + − ⋅ + = − ⋅ + = − ⋅ + = − ⋅ + = − ⋅ = − − ⋅ = − − ⋅ = − − ⋅ = − ==== 3 4 ● x y y x

(13)

Si para x = 3/2 resulta menor que cero la derivada segunda, entonces tendremos que

3/2 es la longitud de la base del rectángulo de mayor área.

(((( ))))

8 ´´ 3 3 8 ´´ 0 2 3 A x A = − = − = − = −        = − < = − < = − < = − <              

Luego las dimensiones del rectángulo son:

Base: x = 3/2 [ unidades ] Altura: 3 4 3 4 2 2 3 2 f  _{ }_{ }_{ }_{ }    = − ⋅= − ⋅= − ⋅= − ⋅ ++++ ====         [ unidades ] y el Área : 3 2 2 2 u 3 u 2 A==== ⋅⋅⋅⋅ ==== [ u2 : unidades cuadradas ]

6)

Una ventana normanda tiene forma de rectángulo rematado por un

semicírculo. Si el perímetro de la ventana es de 30 pies [ equivalencia :

1 metro = 3,2809 pies ]; encuentre las dimensiones de la ventana de modo

que admita la mayor cantidad de luz posible.

x

y

El perímetro de esta figura es la suma de dos veces la altura del rectángulo, más la base, más la longitud de media circunferencia de diámetro igual a la base del rectángulo.

Para que la ventana admita la mayor cantidad de luz posible al ambiente debemos considerar la construcción de la figura de mayor área que respete el perímetro dado. El área de esta figura será el resultado de la suma del producto de la base por la altura del rectángulo y el área del semicírculo.

(14)

Perímetro

Área

2 30 2 2 1 30 2 y x y x y

ππππ

⋅⋅⋅⋅ ⋅ + + = ⋅ + + = ⋅ + + = ⋅ + + =       ⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + =      

(((( ))))

2 2 1 2 2 60 4 1 30 2 2 2 2 y Área x y x x A x x

ππππ

π

        = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅          − ⋅ − ⋅ − ⋅− ⋅ − ⋅− ⋅ − ⋅  − ⋅  = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅  + + ++ ++ +  +  30 2 1 2 60 4 2 x y x y

ππππ

− ⋅ − ⋅− ⋅ − ⋅ ==== ++++ − ⋅ − ⋅− ⋅ − ⋅ ==== ++++

(((( ))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

(((( ))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

(((( ))))

((((

))))

((((

))))

2 2 2 2 2 2 2 2 4 120 450 2 2 2 4 4 120 ´ 2 2 ´ 0 4 4 120 0 2 30 4 A x x x A x x A x x x

ππππ

π

ππππ

π

ππππ

− ⋅ + − ⋅− ⋅ ++ − ⋅ + ⋅⋅⋅⋅ = ⋅ + ⋅ + == ⋅⋅ ++ ⋅ +⋅ + = ⋅ + ⋅ + + + + + + + + + + + + + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + = ⋅ + = ⋅ + = ⋅ + = ⋅ + + + + + + + + + ==== − ⋅ + ⋅ + − ⋅− ⋅ + ⋅ ++ ⋅ + − ⋅ + ⋅ + ==== ++++ ==== ++++

Si para el valor de x hallado resulta negativa la derivada segunda de la función área, podremos afirmar que es el valor de la altura para una ventana de área máxima.

Resulta que

(((( ))))

((((

))))

((((

))))

2 4 4 ´´ 0 2 F x

ππππ

− ⋅ + − ⋅− ⋅ ++ − ⋅ + = < == << = <

++++ para cualquier valor de x , luego

comprobamos lo expresado en el párrafo anterior.

Ahora resta hallar, a partir del valor hallado de x, el correspondiente valor de y haciendo:

((((

))))

((((

)))) ((((

))))

((((

))))

((((

)))) ((((

))))

30 60 4 4 2 60 4 120 2 4 60 2 2 4 60 4 y y y y

ππππ

π

ππππ

π

ππππ

− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ++++ ==== ++++ + − + − + − + − ==== + ⋅ + ++ ⋅⋅ ++ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ==== + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + ==== ++++

Luego la respuesta al problema es:

Base del Rectágulo: 60 pies. 4

ππππ++++

Altura del Rectángulo: 30 pies. 4

ππππ++++ : Diámetro del Semicírculo

7)

Dos móviles se desplazan en línea recta por caminos perpendiculares. El

móvil 1 con rapidez de 30 km/h y se aproxima al cruce de ambos caminos.

Cuando el móvil 1 se encuentra a 120 km de la intersección , el móvil 2,

(15)

que viaja a 40 km/k cruza dicha intersección. Determinar en qué

momento, luego de que el móvil 2 pasa por el cruce, están ambos móviles

lo mas cerca uno del otro.

De los datos podemos deducir la siguiente información:

Móvil 1 Móvil 2 1 30 km v h ==== v2 ====40 km_h 1 120 30 km e km t h = − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ e2 ====40 km_h⋅⋅⋅⋅t

Visualicemos la situación en la siguiente figura:

Por Teorema de Pitágoras, la distancia D se calcula como:

((((

)))) ((((

2

))))

2 120 30 40 D==== −−−− ⋅⋅⋅⋅t ++++ ⋅⋅⋅⋅t 2 2500 7200 14400 D==== ⋅ −⋅ −⋅ −⋅ −t ⋅ +⋅ +⋅ +⋅ +t

Si llamamos F( t ) al radicando y lo minimizamos, también minimizamos la distancia, luego:

(((( ))))

2 2500 7200 14400 F t ==== ⋅ −⋅ −⋅ −⋅ −t ⋅ +⋅ +⋅ +⋅ +t

(((( ))))

´ 5000 7200 F t ==== ⋅ −⋅ −⋅ −⋅ −t

(((( ))))

´ 0 F t ==== 7200 1.44 1 26 24 5000 t==== h==== h==== h m s

Si la derivada segunda de F es positiva para t = 1.44 podremos afirmar que es el tiempo en que tendrá lugar la distancia mínima entre ambos móviles.

(((( ))))

´´ 5000 0 F t ==== >>>> M2 0 M1 D _● _●

(16)

Posición del Móvil 1: a 76,8 km. del cruce. (de reemplazar t=1,44 en e1)

Posición del Móvil 2: a 57,6 km. del cruce. (de reemplazar t=1,44 en e2)

8)

De una lámina de hojalata de 120 cm. por 75 cm. se desea construir una

caja sin tapa de mayor volumen posible, encuentre las dimensiones para

construir la caja de mayor volumen posible. Cuál es el volumen máximo

que puede contener.

Podemos pensar, como se ilustra en la figura, en recortar en cada esquina de la hoja cuadrados iguales de lado x .

x x

75 cm.

120 cm. De esta forma las dimensiones de la caja se pueden expresar como:

Ancho: ( 75 – 2.x ) cm. ; Largo: ( 120 – 2x ) cm. y Alto: x cm.

y el Volumen en función de x :

(((( ))))

(120 2 )

((((

75 2

))))

V x ==== − ⋅ ⋅− ⋅ ⋅− ⋅ ⋅− ⋅ ⋅x − ⋅ ⋅− ⋅ ⋅− ⋅ ⋅− ⋅ ⋅x x

(((( ))))

3 2 4 390 9000 V x = ⋅= ⋅= ⋅= ⋅x −−−− ⋅⋅⋅⋅x ++++ ⋅⋅⋅⋅x

Derivamos V e igualamos a cero para obtener los puntos crítcos:

(((( ))))

2 ´ 12 780 9000 V x ==== ⋅⋅⋅⋅x −−−− ⋅ +⋅ +⋅ +⋅ +x V´( x ) = 0 50 15 x==== ∨∨∨∨ x====

Observar que el primer valor hallado no tiene sentido para nuestro objetivo, los valores posibles de x pertenecen al intervalo ( 0 ; 37,5 ).

Ahora debemos comprobar que la derivada segunda de V es negativa para x = 15 y entonces hace máxima la función.

(((( ))))

´´ 24 780 V x ==== ⋅ −⋅ −⋅ −⋅ −x

(((( ))))

´´ 15 24 15 780 420 0 V ==== ⋅ −⋅ −⋅ −⋅ − = −= −= −= − <<<<

(17)

Ancho: 45 cm. ; Largo: 90 cm. y Alto: 15 cm.

9)

Encontrar dos números positivos cuya suma sea 144 y su producto sea

máximo.

Si llamamos x e y a los números buscados, tendremos que maximizar la función:

P( x ) = x . y

como esta función depende de dos variables, reemplazamos a una de ellas en función de la otra ya que sabemos que: x + y = 144 , entonces y = 144 – x

P( x ) = x . (144 – x)

P( x ) = 144 . x – x2

Calculamos la derivada primera de P y la igualamos a cero:

P´( x ) = 144 – 2 . x 144 – 2 . x = 0

x = 72

Verificamos si P´´ es negativa para x = 72 ,

P´´( x ) = - 2 < 0

Luego podemos afirmar que para los números x = 72 e y = 72 cuya suma es 144 resulta máximo el producto de ellos e igual a 5184.

10)

Se lanza una pelota hacia arriba, desde una altura de 60 m. a una

velocidad inicial de 34,3 m/seg . Aceleración de la gravedad: 9,81 m/seg

2

.

Calcular: la altura máxima que alcanza la pelota respecto del piso; el

tiempo que tarda subiendo; bajando y durante todo el recorrido; la

velocidad al chocar con el piso; la altura y velocidad por cada segundo que

transcurre hasta caer al piso.

La ecuación que representa el movimiento de la pelota es:

(((( ))))

1 2 60 34, 3 2 e t ==== ++++ ⋅ −⋅ −⋅ −⋅ −t ⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅g t

(((( ))))

2 60 34, 3 4, 9 e t ==== ++++ ⋅ −⋅ −⋅ −⋅ −t ⋅⋅⋅⋅t

Al hacer la derivada del espacio respecto del tiempo, obtenemos la velocidad:

(((( ))))

´ 34, 3 9, 8

e t ==== −−−− ⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =t V

La igualamos a cero, (en la parte más alta la velocidad es nula):

34, 3 9, 8−−−− ⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =t 0 3, 5

(18)

La derivada segunda del espacio respecto al tiempo, es la derivada de la velocidad, y es también la aceleración.

(((( ))))

´´ 9, 8

e t = −= −= −= − ====a

Al ser negativa la segunda derivada, hay un máximo en t = 3.5 seg.

Esto significa que la pelota tarda 3.5 segundos en llegar a la parte más alta, que es:

e = 60 + 34, 3 . 3,5 - 4,9 . (3.5)2 = 120.025 m

La altura máxima de la pelota con respecto al piso es de 120.025 m.

Para calcular el tiempo que tarda bajando, consideramos la ecuación a partir del punto más alto:

(((( ))))

2 2 4, 9 4, 9 120025 4, 95 e t t t t seg = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ====

Todo el trayecto se recorre en 3,5 seg. + 4,95 seg. = 8,45 seg. La velocidad al caer al piso se puede obtener:

a partir del momento que se lanza:

V = 34,3 – 9,8 . t = 34,3 – 9, 8 . (8,45) = - 48.5 m/seg.

y el signo negativo señala que la pelota va hacia abajo, o bien, a partir del punto más alto:

V = 9,8 . t = 9,8 . (4.95) = 48.5 m/seg.

11)

Un hombre está en un punto A sobre una de las riberas de un río recto que

tiene 3 km. de ancho y desea llegar hasta un punto B, 8 km. corriente

abajo en la ribera opuesta, tan rápido como le sea posible. Podría remar

en su bote, cruzar directamente el río hasta un punto C y correr hasta B,

podría remar hasta B o, en última instancia, remar hasta algún punto D,

entre C y B, y luego correr hasta B. Si puede remar a 6 km/h y correr a

8 km/h, ¿Dónde debe desembarcar para llegar a B tan pronto como le sea

posible.

3 km. A C D B 8 km.

(19)

Sea x la distancia desde C hasta D . Entonces la distancia por correr es

8

DB = −= −= −= −x y el Teorema de Pitágoras da la distancia por remar como AD ==== x2++++9 .

Si suponemos que la velocidad del agua es de 0 km/h . y aplicamos la ecuación:

distancia rango

tiempo====

Entonces el tiempo que tiene que remar es:

2

9 6

x ++++

y el tiempo que debe correr

es: 8

8

x −−−−

de modo que el tiempo total T, como es función de x, es:

(((( ))))

2 9 8

6 8

x x

T x ==== ++++ ++++ −−−−

El Dominio de esta función es [ 0 ; 8 ] . Adviertan que, si x=0, rema hacia C y, si

x=8, rema directamente hasta B. La derivada de T es:

(((( ))))

₂ 1 ´ 8 6 9 x T t x = − == −− = − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

De este modo, si se aplica el concepto de que x≥≥≥≥0 , tenemos:

(((( ))))

((((

))))

2 2 2 2 2 2 1 ´ 0 8 6 9 8 6 9 4 3 9 16 9 9 7 81 9 9 7 7 7 x T x x x x x x x x x x = ⇔ = = ⇔ = = ⇔ = = ⇔ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅⋅ = ⋅ ++ ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅⋅ = ⋅ ++ ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅⋅⋅⋅ = = == == = =

Para comprobar si realmente el punto crítico es el mínimo evaluemos T en x = 0,

en x = 8 y en 9 7 7 x==== ⋅⋅⋅⋅ :

(((( ))))

0 1, 5 9 7 1 7 1, 33

(((( ))))

8 73 1, 42 7 8 6 T T T       = = + ≅ = ≅ == = += + ≅≅ == ≅≅ = ____ ____= + ≅ = ≅      

Dado que el menor valor de T se alcanza en el punto crítico podemos concluir que

el hombre debe remar hasta el punto 9 7

7

D==== ⋅⋅⋅⋅ corriente abajo del punto de partida y

seguir corriendo hasta B.

“Las matemáticas comparan los fenómenos más diversos y descubren las analogías secretas que los unen” – Joseph Fourier. Matemático Francés (1768 – 1830)

El párrafo siguiente es una ilustración del hecho de que parte del poder de la matemática descansa en su abstracción. Un solo concepto (como la derivada) puede tener interpretaciones diferentes en cada ciencia; así por ejemplo:

(20)

La velocidad, la densidad, la corriente, la potencia y el gradiente de temperatura, en Física. La velocidad de reacción y la compresibilidad, en Química. La tasa de crecimiento y la velocidad de la sangre, en Biología. El costo marginal y la utilidad marginal, en Economía. La razón del flujo del calor, en Geología. La razón de mejora del rendimiento, en Psicología. La velocidad de esparcimiento de un rumor, en Sociología.

Ejercicios Propuestos

1. Un granjero tiene 2400 pies de cerca y desea cercar un campo rectangular que limita

con un río recto. No necesita cercar a lo largo del río. ¿Cuáles son las dimensiones del campo que tiene área más grande? (Rta.: 600 pies de ancho y 1200 pies de largo)

2. Se necesita fabricar una lata cilíndrica de 350 cm3 de capacidad utilizando la menor

cantidad de hojalata posible. ¿Qué dimensiones debe tener la lata? (Rta.: radio aproximado de la base y la tapa 3,82 cm y altura aproximada 7,64 cm.)

3. Realiza Estudio completo de las siguientes funciones. El gráfico se ofrece como

orientación para que verifiques tus resultados analíticos.

(((( ))))

2

(((( ))))

3 3 1 a) 1 b) c) 1 x x f x x x g x h x x x −−−− = + − = = = + − = = = + − = = = + − = = −−−− a) b) c)