M
ATEMÁTICAS
M
M
M
M
X
X
I
I
V
V
Algunos conceptos de matemática: teoría de conjuntos,
funciones, límite, continuidad, derivadas e integrales.
C
ÁTEDRA DEB
IOESTADÍSTICA YM
ATEMÁTICA.
F
ACULTAD DEC
IENCIASV
ETERINARIAS.
ÍNDICE
Teoría de conjuntos 3
Conjuntos numéricos 3
Potencias 5
Raíces 6
Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 7
Razón y proporciones 8
Límite de una función 12
Límites laterales 12
Límite de una función en un punto 13
Límites infinitos 13
Operaciones con límites de funciones 14
Cálculo de límites de funciones (i) 15
Cálculo de límites de funciones (ii) 17
Ejercicios 20
Continuidad 21
Operaciones con funciones continuas 21
Propiedades de las funciones continuas 21
Clasificación de puntos de discontinuidad 22
Derivada de una función 25
Regla de la cadena 34
Diferencial de una función en un punto 37
Ejercicios 38
Integrales 39
Integral indefinida 39
Integral definida 43
Introducción a la Integral definida 45
Integral de Riemann 47
Teorema fundamental del cálculo 49
Aplicaciones de la integral 50
Ejercicios 52
Simbología Utilizada 56
Tabla de derivadas e integrales 57
TEORÍA DE CONJUNTOS
Concepto de pertenencia: “”
Sea el conjunto A = a, b a A, b A c A
Concepto de subconjunto: “”
A B x A x B, xdonde A, A A A, A
Conjuntos especiales
Conjunto Vacío:
Conjunto Universo: “U”, es aquel formado por todos los elementos involucrados en el proble-ma.
Conjunto Potencia: “P(A)”, es el formado por todos los subconjuntos del conjunto A. P(A) = 2n; siendo n el número de elementos de A.
Operaciones
Unión: A B = x / x A x B
Intersección: A B = x / x A x B donde A B = A A B y A B = A B son disjuntos.
Diferencia: A – B = x / x A x B
Complemento: Ac = x / x A x Udonde (A Ac) = U, (A Ac) = c = U, Uc = Ac = U – A
CONJUNTOS NUMÉRICOS Diagrama de conjuntos
IN: Naturales Q*: Irracionales INo: Cardinales IR: Reales
Z: Enteros I: Imaginarios Q: Racionales C: Complejos
IN INo Z Q IR C Q Q* =; Q Q* = IR IR I =; IR I = C Dado un conjunto A, se define Ac como complemento de A, al conjunto de elementos del uni-verso que a A.
Números Enteros Conjunto Z
Siendo Z = Z Z+
l l l l l
...-2 -1 0 1 2...
- +
Z- Z+= IN
I R
Z Q
I N o IN
Q* I
Consecutividad numérica
Paridad e Imparidad
Números Pares:Son de la forma: 2n (n IN) Números Impares:Son de la forma: 2n – 1 (n IN)
Números Primos:Un número p 1 se llama primo si es divisible sólo por 1 y por p. Algunos primos conocidos: 2 - 3 - 5 - 7 - 11 - 13 - 17 - 19 - 23 - …
Nota: El cero no se define como par ni como impar y el 1 no es primo.
Prioridad de operaciones
1º Potencias
2º Multiplicación y/o división 3º Suma y/o resta
Calcular el M.C.M. entre 6, 9 y 12.
Se realizan divisiones sucesivas por los factores primos hasta lograr un 1 en cada columna.
M.C.M. = 2 x 2 x 3 x 3 = 36
Se realizan divisiones sucesivas por sólo los factores primos que dividan a todos los números. Esto se realiza sucesivamente hasta lograr en las columnas números primos entre sí.
Primos entre sí M.C.D. = 2 x 3 = 6
Números racionales: definición
Q = x = a/b a b Z, b 0 donde: a = numerador; b = denominador y x = cociente
l l l
n - 1 n n + 1 antecesor sucesor
enteros consecutivos
6 9 12 2 3 9 6 2 3 9 3 3 1 3 1 3 1 1 1
36 18 24 2 18 9 12 3 6 3 4
Racionales
Fracciones Comunes
Decimales
Propia Impropia Número Mixto
Finito Periódico Semiperiódico
Amplificación y simplificación
Amplificación: n IN
n b
n a b a
;
Simplificación: n IN
n b n a
b
a
,
Comparación de 2 fracciones
7 5 4 3 20 5 4 21 7 3 ,
7 5 4 3
, y como fracciones
dos Dadas
Igualación de denominadores (2 o más fracciones)
Sean las siguientes fracciones:
56 39 , 14 11 , 7 5
M.C.M. entre 7, 14 y 56 es 56; luego, amplificando tenemos:
56 39 7 5 14 11 56 39 , 56 44 , 56 40
Operatoria con fracciones
Suma y Resta:
d b
c b d a d
c b a
Multiplicación:
d b
c a d c b a
División:
c b
d a c d b a d c b a
:
Decimal Finito:
10 25 5 , 2 ; 1000
125 125
,
0
Decimal Periódico:
9 23 9
2 25 5 , 2 ; 99 12 12 , 0 121212 ,
0
Decimal Semiperiódico:
90 229 90
25 254 4
5 , 2 ; 9900 2122 9900
21 2143 43
21 , 0 214343 ,
0
POTENCIAS
Definición:
veces n
a a a a a
an
Propiedades y ejemplos
anam an m x5x4 x9
an:am an m a0 x5x4 x a0 1, a 0 60 1
a
a a
n n
1
0 y
y
3 3
1
anbn abn 2434 64
a b a
b b
n: n n
0 64:34 24
Potencias de 10
Aplicación de las Potencias de 10 Ej. 1: 3400 = 34 x 102 = 3,4 x 103
Ej. 2: 0,0043 = 43 x 10–3 = 4,3 x 10–4
Signo de una Potencia:dado an, si n es par el resultado de la potencia es positivo; si n es im-par, el resultado depende del signo de a.
RAÍCES
Definición:
a
a
m;
m
0
n
m n
Propiedades: n
a
nb
nab
;
(b0)b a b
a n n n
;
na
n
b
a
nb
;
n ma
nma
Álgebra
Término algebraico: 3 2 ;2 ;3 ;
y x a b x
Expresión algebraica:
y x a b
x 2 3
3 2
Clasificación:
Monomio: 3x2b; Binomio: 3x2b + 2a; Trinomio: 3x2b + 2a – 2xb; ...
Suma y Resta:3x + (8x – 5xy) = 3x + 8x – 5xy = 11x – 5xy
Multiplicación:
2abb
1a
2ab12abab1baab2a2bbProductos Notables:
i. Cuadrado de binomio:
2 2 22xy y x
y
x
ii. Suma por diferencia:
x y
xy
x2y2iii. Binomio por binomio:
xa
xb
x2
ab
xabiv. Cubo de binomio:
3 3 2 2 33
3x y xy y
x y
x
v. Cuadrado de trinomio:
x yz
2 x2 y2 z2 2xy2xz2yzFactorización:
i. Sacar factor común: 18x2y2 3x3y2 3x2y2
6yx
ii. Por agrupación:
ax
bx
ay
by
x
.
a
b
y
.
a
b
a
b
.
x
y
iii. Binomio por binomio: x2 3x10
x2
. x5
iv. Suma y diferencia de cubos: x3 y3
x y
.
x2 xy y2
v. División:
x yy x y x y x
y x y x y
x
y xy x
. . 2
2 2
2 2
n 10n
n < 0 0 000 , 01
n ceros
n = 0 1
Determinación del M.C.D. y M.C.M.
Entre términos algebraicos
M.C.D.:Equivale el factor común con su menor exponente.
2 2 2
2 2 5 3
2 . . . 4
;
2x y x y z M CD x y
M.C.M.:Menor término que contiene a todos. Todos los factores con su mayor exponente.
3 5 3 2
2 2 5 3
4 . . . 4
;
2x y x y z MCM x y z
Entre expresiones algebraicas: Aquí es recomendable factorizar previamente las expresiones.
M.C.D.:
x y
x y
x y
MCD
x y
y x y x
. . . .
; ; 2
2 2 2
M.C.M.:
x y
x y
x y
MCM
x y
x y
y x y x
2
2
2 2 2
. . . .
; ;
ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
Ecuaciones
Como ejemplo, se resolverá:
15 3 2 10
3 5 3 2 10
3 15
3 5
3
x x x
x
Multiplico y divido ambos miembros por 30:
3 22 9
66 66
9 6 60 9
18x x x x x
Sistemas de ecuaciones: métodos de resolución
Método de eliminación por reducción
ax + by = c dx + ey = f
Igualar los coeficientes de la variable que se desea eliminar
Sumar (restar) las ecuaciones
Resolver la ecuación resultante para la ecuación que queda
Reemplazar el resultado obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones originales
Resolver la ecuación resultante
4x -2y = 6 x + 2y = 4 (+)
5x = 10
x 10
5 2
2 2 - y = 3
Observación Dado el sistema:
Si (a e) – (b d) 0 tiene una solución.
Si (a e) – (b d) = 0 no tiene solución o tiene infinitas soluciones.
Método de eliminación por sustitución
RAZONES Y PROPORCIONES
Razón: División entre dos cantidades homogéneas.
Proporción: Igualdad de dos razones.
Proporción directa:X es directamente proporcional a Y si X k.Y,k cte
Proporción inversa:X es inversamente proporcional a Y si k cte
Y k
X ,
Intervalos
Dados dos números reales a y b tales que a < b, definimos:
A) Intervalo abierto de extremos a, b: (a, b) = {x IR / a < x < b}. Observemos que los extremos a, b (a, b).
B) Intervalo cerrado de extremos a, b:[a, b] = {x IR / a ≤ x ≤ b}. Observemos que en este caso los extremos pertenecen al intervalo.
ax + by = c dx + ey = f
ax + by = c dx + ey = f
Despejar una variable en alguna de las dos ecuaciones
Sustituir el resultado obtenido en la otra ecuación
Resolver la ecuación resultante
Reemplazar el valor obtenido en la relación resultante al
despejar la 1ª variable
Resolver la ecuación resultante
x = 4 - 2y
x = 2 2x - y = 3 x + 2y = 4
2 (4 - 2y)-y = 3
8 - 4y - y = 3 8 - 5y = 3 5y = 8 - 3 = 5 y = 1
x = 4 - 2 1
a b
c d
adbc
a b
a
c d
c
a b
b
c d
d
a b
a b
c d
c d
a b
c d
C) Intervalos semi-abiertos:
C.1) Cerrado a izquierda y abierto a derecha:[a, b) = {x IR / a ≤ x < b}
C.2) Abierto a izquierda y cerrado a derecha:(a, b] = {x IR / a < x ≤ b}
Función Cuadrática
Una función cuadrática o polinómica de segundo grado es de la forma:
y = f(x) = ax2 + bx + c, con a ≠ 0 y a, b, cIR
Dominio de la función: Es el conjunto de los números reales, en consecuencia, Dom f = IR
Gráfica de una parábola: y = ax2 (si a = 1)
Partimos de esta parábola y estudiamos la variación de las demás con relación a ella, para valores positivos o negativos de a.
Figura 1:
Figura 2:
Observamos que si a es positivo (a>0) las ramas de la parábola se extienden en el sentido positivo del eje y. (Figura 1)
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
X Y
y = x2
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
X Y
y = 3x2 y = x2 y = (1/3)x2
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1
X Y
y = -3x2
y = -x2
Si a > 1, la parábola se cierra y sus ramas se aproximan al semieje positivo de las y, a medida que a aumenta.
Si 0 < a < 1, la parábola se abre y sus ramas se aproximan al eje x a medida que a disminuye. Si la ecuación de la parábola es de la forma: y = ax2 + n, la parábola se desplaza n unidades hacia arriba o abajo según sea n > 0 ó n < 0 respectivamente.
Ejemplos de parábolas:
Si la ecuación de la parábola es de la forma: y = a(x – m)2, la parábola se desplaza a derecha o izquierda según sea, m, negativo o positivo respectivamente.
Ejemplos
Si la ecuación de la parábola es de la forma: y = a(x – m)2 + n, la misma está desplazada m uni-dades hacia la derecha o hacia la izquierda y n unidades hacia arriba o hacia abajo.
Ejemplos: y(x1)2 2; y2(x3)2 1; y2(x1)23
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
X Y
y = (x - 1)2 + 2
y = 2(x - 3)2 - 1
y = -2(x +1)2 + 3
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-1 1 2 3 4 5 6 7
X Y
y = (x - 2)2
y = 2(x - 2)2
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
X Y
y = (x + 2)2
y = -(x - 1)2
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X Y
y = x2 + 1
y = 2x2 + 1
y = x2 - 3
Hemos aprendido a representar funciones de la forma: ya(xm)2n. Trataremos de llevar a esta forma la expresión: yax2bxc
Por ejemplo, sea la función:y2x2 12x14, partimos de ya(xm)2n, y la desarro-llamos, obteniendo:
n am axm ax
y n m xm x
a
y ( 2 2 2) 22 2
El procedimiento de llevar la ecuación de la forma y = ax2 + bx + c, a la forma y = a(x – m)2 + n,se llama completamiento de cuadrados. Lo útil en este procedimiento es que nos permite graficar con suma facilidad la parábola.
En el punto de coordenadas (m, n) se llama vértice de la parábola y observando los gráficos ve-mos que allí cambia su crecimiento, es decir pasa de decreciente a creciente si a es positivo y creciente a decreciente si a es negativo.
Intersección de una recta con una parábola
Y1 = m.x + u; Y2 = ax2 + bx + c Y1 = Y2 m.x + u = ax2 + bx +c ax2 + (b – m). x + c – u = 0 Cuando las raíces son reales y distintas, la recta es “secante” a la curva; si las raíces son reales e iguales, la recta es “tangente” a la curva y si las raíces son complejas conjugadas, la recta no interseca la curva.
Funciones Homográficas
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
X Y
y = 1/x
Dominio: IR 0 Imágen: IR 0 Asíntota vertical: x = 0 Asíntota horizontal: y = 0
-3 -2 -1 1 2 3 4
-2 -1 1 2 3 4 5
X Y
y = 1/x2
Dominio: IR 0 Imágen: IR > 0 Asíntota vertical: x = 0 Asíntota horizontal: y = 0
-2 -1 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
X Y
y = 1/(x-2)
---Dominio: IR 2 Imágen: IR 0 Asíntota vertical: x = 2 Asíntota horizontal: y = 0
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2
X Y
y = -2/(x+3)2
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
El límite de una función, y = f(x), en un punto x0, es el valor al que tiende () la función en pun-tos muy próximos a x0, sin importar lo que ocurre exactamente en x0
Idea intuitiva de límite:Considérese la función lineal y = 2x + 1. ¿A qué valor se aproxima la fun-ción, cuando x se aproxima al valor 3?
Resolución:
* Si se quiere estudiar el límite de esta función cuando x 3, hay que ver los valores que toma la función en puntos muy próximos a 3
* Se observa que al tomar valores de x muy próximos a 3, ya sean mayores o menores que él, sus imágenes se aproximan al valor 7. Cuanto más se aproxima x a 3, mayor es la proximidad de f(x) a 7
Esto se expresa diciendo que, cuando x 3, el límite de la función y = 2x + 1 es 7, y se escribe: 7
) 1 2 ( lim
3
x
x
LÍMITES LATERALES
a) El límite por la izquierda de una función y = f(x), cuando x x0, es el valor al que tiende la función para puntos muy próximos (menores) a x0. Para expresar el límite por izquierda, se
escribe: lim ( )
0
x f x x
b) El límite por la derecha de una función y = f(x), cuando x x0, es el valor al que tiende la función para puntos muy próximos (mayores) a x0. Para expresar el límite por derecha, se
escribe: lim ( )
0
x f x x
Relación entre el límite y los límites laterales de una función
El límite de una función y = f(x) en el punto x0 existen los límites laterales y son iguales, es
decir: f x L f x f x L
x x x
x x
xlim 0 ( ) lim0 ( ) lim 0 ( )
Si se verifica esto, y L es un número finito, se dice que la función es convergente. En el ejemplo anterior los límites por la derecha y por la izquierda coinciden:
7 ) 1 2 ( lim ) 1 2 ( lim
3
3
x x x
x
Propiedades de los límites de funciones
Si una función f(x) tiene límite cuando x x0, el límite es único. En símbolos, si:
' '
) ( lim )
( lim
0 0
L L L x f y L x f
x x x
x
Ej. 1: Sea la función definida por
2 ,
7
2 )
(
2
x si
x si x x f
¿Cuál es su límite cuando x 2?
Resolución: para calcular el límite de la función cuando x 2, puede hacerse una tabla de valo-res para puntos de abscisa próximos a 2 y se observa que cuando x 2, tanto por la derecha como por la izquierda, la función tiende al valor 4. Por lo tanto,
4 ) ( lim 4
) ( lim ) ( lim
2 2
2
f x x f x x f x
Ej. 2: Sea la función
3 3, 2
3 ,
1 )
(
definida enIR
x si x
x si x
f
¿A qué valor se aproxima la función cuando x 3?
Resolución: cuando x 3, tanto por la izquierda como por la derecha, f(x) 1. Por lo tanto, 1
) ( lim
3
f x
x
Obsérvese cómo se pone de relieve que el valor del límite de una función en un punto es inde-pendiente del valor que la función tome en ese punto. En este ejemplo, el límite de la función en el punto 3 es 1 y sin embargo, la función ni siquiera está definida en él.
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
1. Se dice que una función f(x) converge en el punto x0, hacia el valor L, o que su límite en x0 es
L, y se escribe f x L
x
xlim 0 ( )
, cuando a valores muy próximos a x0 corresponden valores de
la función muy próximos a L
La definición anterior se puede concretar más:
2. Una función f(x) converge hacia L en x0, o tiene por límite L en x0, cuando entorno de L de radio , E(L, )=(L–, L+), hay un entorno de x0 de radio , E(x0, )=( x0–, x0+) para cual-quier x de E(x0, ), su imagen f(x) está en E(L, )
O bien:
3. Una función f(x) converge hacia L en x0, o tiene por límite en x0, cuando para cualquier >0, un >0 0<|x – x0|< |f(x) – L|<
LÍMITES INFINITOS
Una función es divergente cuando su límite es ∞ ó ∞
Se estudiarán los siguientes límites:
( ) ; lim ( ) ; lim ( )
lim
0
x f L
x f x
f
x x
x x
Caso 1:
( )
lim
0
x f x x
Sea la función 2
1 )
(x x
f
Para calcular el límite de esta función en el punto x0 = 0, hay que estudiar los valores que toman las imágenes de puntos próximos a 0. De la observación de la gráfica de la función se deduce que:
Para valores próximos (y menores) que 0, la función toma valores cada vez mayores. Esto
significa que
2
0
1
lim x
x
Para valores próximos (y mayores) que 0, la función toma valores cada vez mayores. Esto
significa que
2
0
1
lim x
x
Puesto que
2
0 2
0
1 lim 1
lim x x
x x
2
01
lim x
x
Para el caso de la función 2
1 )
(x x
g el límite de la función, cuando x 0 es ∞, puesto que para valores próximos a 0 y distintos de 0, tanto por derecha como por izquierda, los valores que toma la función son cada vez menores.
Caso 2: f x L
xlim ( )
Se ve como a medida que x toma valores cada vez mayores, la función se aproxima más a 1. Por lo tanto, el límite de la función cuando x∞ es 1 lim ( 1)1
x x
x
Se deduce que a medida que x toma valores cada vez menores, la función se aproxima más a 1. Por lo tanto, el límite de la función cuando x∞ es también 1 lim ( 1)1
x x
x
De lo anterior se concluye que lim ( 1)1
x x
x
Caso 3:
( )
lim f x
x
Sea la función f(x)x5
Se ve claramente que cuando x ∞, la función también ∞. Es decir, a valores cada vez mayores de x, corresponden valores cada vez mayores de la función. Por lo tanto
( 5)
lim x
x
Cuando x toma valores cada vez menores, la función también toma valores cada vez menores.
Por lo tanto,
( 5)
lim x
x
Si se estudian los límites en el infinito de g(x) = (x + 5), se tiene que:
( 5) lim x
x y
( 5)
lim x
x
Es decir, cuando x toma valores cada vez mayores, x ∞, la función toma valores cada vez menores es decir que g(x) ∞. Cuando x toma valores cada vez menores, x ∞, la función toma valores cada vez mayores, g(x) ∞
OPERACIONES CON LÍMITES DE FUNCIONES
Sean f y g dos funciones tales que: f x Ay g x B
x x x
xlim 0 ( ) lim 0 ( )
Límite de una suma (o resta) de funciones: el límite de una suma (o resta) de dos funciones convergentes, es igual a la suma (o resta) de los límites de cada una de ellas:
B A x g x
f x
g f
x x x
x x
xlim 0( )( ) lim 0 ( ) lim 0 ( )
Límite de un producto de funciones: el límite de un producto de dos funciones convergentes, es
igual al producto de los límites de cada una de ellas: f g x f x g x AB
x x x
x x
xlim0( . )( ) lim0 ( ).lim0 ( ) .
Límite de un cociente de funciones: el límite del cociente de dos funciones convergentes es igual al cociente de los límites de cada una de ellas, si el denominador es ≠ 0:
( 0)) ( lim
) ( lim ) ( lim
0 0 0
B siemprequeB
A x g
x f x
g f
x x
x x
x x
Ej.: Si f(x)x22 y g(x)1 x, calcular:
( )lim )
( ) . ( lim ), ( ) (
lim ), ( ) (
lim
3 3
3
3 f g x x f g x x f g x y x f g x
x
Resolución: lim ( ) lim( 2) 3 1 11 lim ( ) lim1 13
3 3
3 2
3
3
f x x x y x g x x x
x
lim( )( ) lim ( ) lim ( ) 11 13 34 3
3 3
3
f g x x f x x g x x
lim( )( ) lim ( ) lim ( ) 11 13 32 3
3 3
3
f g x x f x x g x x
lim( . )( ) lim ( ).lim ( ) 11 13 113
3 3
3
f g x x f x x g x x
lim( )( ) lim ( )/lim ( ) 11/1 3 33
3 3
3
CÁLCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES (i)
Cálculo del límite de funciones polinómicas
Una función polinómica es una función del tipo: n
nx a x
a x a a x
f 2
2 1 0
)
( . Para
estu-diar el cálculo de su límite, se distinguirán dos casos:
A.- Límite de una función polinómica en un punto x0 finito: el límite de una función polinómica en un punto x0 es igual al valor que toma la función en ese punto:
n n n
n x
x a a x a x a x a a x a x a x0
2 0 2 0 1 0 2
2 1
0 )
( lim
0
B.- Límite de una función polinómica en el infinito: el límite de una función polinómica en el infinito es ∞ ó ∞, dependiendo de que el coeficiente del término de mayor grado del po-linomio sea positivo o negativo:
0 ,
) (
lim 2
2 1
0
n n n
x a a x a x a x sia
0 ,
) (
lim 0 1 2 2
n n n
x a a x a x a x sia
Ej. 1: lim(4 3 3 2) 4( 1)3 3( 1) 2 4 3 2 3
1
x x
x
Ej. 2:
(3 4 )
lim x2 x5
x ya que el coeficiente del término de mayor grado es –4 (<0).
Ej. 3:
3 5 6
8
lim x3 x
x ya que el coeficiente del término de mayor grado es 8/3 (>0).
Cálculo de límites de funciones racionales
Una función racional es una función del tipo
) (
) ( ) (
x Q
x P x
f donde P(x) y Q(x) son polinomios.
Para estudiar el límite de una función racional, se distinguirán dos casos:
A.- Límite de una función racional en un punto x0 finito:
Puesto que una función racional es el cociente de dos polinomios, para calcular su límite puede aplicarse la regla para el cálculo del límite de un cociente de dos funciones
) ( lim
) ( lim
) (
) ( lim
0 0 0 Q x
x P
x Q
x P
x x
x x
x x
Tanto el límite del numerador como el del denominador son límites de funciones polinómicas, cuyo cálculo se explicó en el apartado anterior. Al efectuar estos límites pueden darse varias situaciones:
A.1.- El límite del denominador es 0: lim ( ) 0
0
x Q x x
Se calculan en este caso los límites de P(x) y Q(x) como funciones polinómicas y se halla su co-ciente.
A.2.- El límite del denominador es cero: lim ( ) 0
0
x Q x x
Si el denominador se anula en x0, puede ocurrir que el numerador también se anule en x0, o que el numerador no se anule en x0.
A.2.1.- El límite del numerador también es cero: lim ( ) 0 lim ( ) 0
0 0
x Q x y x x P x x
cociente P(x)/Q(x) se puede simplificar. Una vez hecha la simplificación, dividiendo P(x) y Q(x) por (x–x0), se vuelven a calcular los límites de los polinomios ya simplificados.
A.2.2.- El límite del numerador no es cero.
El límite del cociente da como resultado la indeterminación 0 ) ( lim 0 x P x x
Para resolver esta indeterminación es necesario estudiar los límites laterales de la función f(x)=P(x)/Q(x), en el punto x0. Si ambos límites laterales son iguales, la función tiene por límite su valor. Si no son iguales, la función no tiene límite.
Ej. 1: Calcular el límite de la función
4 3 1 2 ) ( 2 3 x x x
f cuando x 1
Resolución: 7 1 ) 4 3 ( lim ) 1 2 ( lim 4 3 1 2 lim 2 1 3 1 2 3
1
x x x x x x x
Ej. 2: Calcular el límite de la función
10 3 12 6 2 ) ( 2 2 3 x x x x x x
g cuando x 2
Resolución: 0 0 ) 10 3 ( lim ) 12 6 2 ( lim 10 3 12 6 2 lim 2 2 2 3 2 2 2 3
2
x x
x x x x x x x x x x x
Esta indeterminación se resuelve simplificando el cociente. Aplicando la regla de Ruffini o divi-diendo por (x – 2), se obtiene la descomposición de los polinomios P(x)x32x26x12 y
10 3 )
(x x2 x
Q
* Descomposición factorial de P(x), obtenemos: P(x)x32x26x12(x2)(x26)
* Descomposición factorial de Q(x), obtenemos: Q(x)x23x10(x2)(x5)
* El límite del cociente entre P(x) y Q(x) es:
7 2 ) 5 ( ) 6 ( lim ) 5 )( 2 ( ) 6 )( 2 ( lim 10 3 12 6 2 lim 2 2 2 2 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x
Ej. 3: Calcular el límite de la función
x x x x
h( ) 3 4
2
cuando x 0
Resolución: 0 0 lim ) 4 3 ( lim 4 3 lim 0 2 0 2 0 x x x x x x x x
es una indeterminación y la forma de salvarla es:
4 ) 4 3 ( lim ) 4 3 ( lim 4 3 lim 0 0 2
0
x x
x x x x x x x x
Ej. 4: Calcular: 2
3( 3)
1 lim x x Resolución: 0 1 ) 3 ( lim 1 ) 3 ( 1 lim 2 3 2
3
x x
x x
es una indeterminación y la manera de resolverla es
estudiar los límites laterales de la función alrededor del punto x = 3
0 1 ) 3 ( lim 1 ) 3 ( 1 lim 0 1 ) 3 ( lim 1 ) 3 ( 1 lim 2 3 2 3 2 3 2
3 x x y x x
x x
x x
cómo los límites laterales coinciden:
2 3 2
3 lim( 3)
Ej. 5: Calcular: ) 1 ( 1 lim 1 x x Resolución: 0 1 ) 1 ( lim 1 ) 1 ( 1 lim 1
1
x x
x
x es una indeterminación y la manera de resolverla es
estudiar los límites laterales de la función alrededor del punto x = 1
0 1 ) 1 ( lim 1 ) 1 ( 1 lim 0 1 ) 1 ( lim 1 ) 1 ( 1 lim 1 1 1
1 x x
y x x x x x x
Como los límites laterales no coinciden, la función propuesta no tiene límite cuando x 1
CÁLCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES (ii)
Límite de una función racional en el infinito
Las reglas de cálculo de límites de funciones cuando x, son las mismas que las empleadas para límites de sucesiones.
El límite de una función racional cuando x, es igual al límite del cociente de los términos de mayor grado del numerador y denominador. Si
m m n
nx y Q x b bx b x b x
a x a x a a x
P 2
2 1 0 2 2 1
0 ( )
) ( m m n n x m m n n x
x b x
x a x b x b x b b x a x a x a a x Q x P
lim lim
) ( ) ( lim 2 2 1 0 2 2 1 0
El valor de este límite depende del valor que tengan n y m:
Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador (n > m), el límite es , dependiendo de que los signos de los cocientes an y bm sean iguales o distintos
Si el grado del numerador es igual que el grado del denominador (n = m), el límite es el co-ciente an/bn
Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador (n < m), el límite es 0
Ej. 1: Calcular el límite de la función
4 5 2 3 ) ( 2 x x x x
f cuando x
Resolución: En este caso, el grado del numerador, 2, es mayor que el grado del denominador, 1, por tanto el límite es
1 3 lim 3 lim 4 5 2 3 lim 2 2 x x x x x x x x x
Ej. 2: Calcular el límite de la función
4 5 ) ( 2 3 x x x
g cuando x
Resolución: El grado del numerador es mayor que el grado del denominador, y los términos de mayor grado tienen signos distintos
4 lim lim 1
5 lim 2 3 2 3 x x x x x x x x
Ej. 3: Calcular:
4 4 5 2 3 lim 2 2 x x x x
Resolución: El grado del numerador es igual que el grado del denominador
Ej. 4: Calcular: 3 4 1 3 lim 3 2
x x
x x x
Resolución: El grado del numerador es menor que el grado del denominador
0 1 lim lim 3 4 1 lim 3 2 3 2
x x
x x x x x x x x
Cálculo de límites de funciones irracionales
Una función es irracional cuando la variable independiente aparece bajo el signo de raíz. Son funciones irracionales las siguientes:
. ; ) ( ; 1 1 ) ( ; 5 3 ) ( ; 3 )
(x x g x x x2 h x x x k x x x etc
f
El modo de calcular el límite de una función irracional es análogo al cálculo del límite de una sucesión irracional.
A. Cálculo del límite de una función irracional en un punto x0, finito
Estos límites se resuelven, en general, como si se tratara de una función racional. En el caso de que, calculando el límite aparezca una indeterminación, ésta suele resolverse multiplicando y dividiendo por el conjugado del numerador o del denominador.
Ej. 1: Calcular: lim 2
2
x
x
lim 2 2 2 0
2
x
x
Ej. 2: Calcular:
1 1 lim 1 x x x 0 0 1 1 1 1 1 1 lim
1
x x
x es una indeterminación y para resolverla
hay que multiplicar el numerador y el denominador, de la expresión anterior, por: x1
2 1 1 1 1 ) 1 ( 1 lim ) 1 )( 1 ( ) 1 ( lim ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( lim 1 1 lim 1 1 1
1 x x x
x x x x x x x x x x x
Ej. 3: Calcular:
5 5 lim 5 x x
x 0
0 5 5 5 5 5 5 lim
5
x x
x es una indeterminación y para
resol-verla hay que multiplicar el numerador y el denominador, de la expresión anterior, por: 5 x 5 2 1 5 5 1 ) 5 ( 1 lim ) 5 )( 5 ( ) 5 ( lim ) 5 )( 5 ( ) 5 )( 5 ( lim 5 5 lim 5 5 5
5
x x x
x x x x x x x x x x x
B. Cálculo del límite de una función irracional en el infinito
B.1. Límites indeterminados de la forma
Cuando al calcular el límite de una función irracional resulta la indeterminación ésta se resuelve aplicando la regla dada para la misma situación en funciones racionales.
Ej. 1: Calcular el límite de la función
3 2 4 ) ( 3 x x x
f cuando x
Resolución: 3 2 4 lim 3 x x
x es una indeterminación y cómo el grado del numerador es 3 (x
3 ) y el
grado del denominador es 1/2 ( 12
x
x ), por lo tanto:
3 2 4 lim 3 x x x
Ej. 2: Calcular el límite de la función
1 3 4 3 5 ) (
2
x x x x
Resolución:
4 3 1
3 5 lim 2 x x x
x es una indeterminación y cómo el grado del numerador es 1 y
el grado del denominador es 1 ( x2 x)
2 5 1 3 4 3 5 lim
2
x x
x x
Ej. 3: Calcular el límite de la función
2 4 6 2 ) ( 3 5 x x x x x
h , cuando x
Resolución:
4 2
6 2 lim 3 5 x x x x
x es una indeterminación y cómo el grado del numerador es 5/2
y el grado del denominador es 3 0
2 4 6 2 lim 3 5
x x
x x x
B.2. Límites indeterminados de la forma
Cuando al calcular el límite de una función irracional resulta la indeterminación ésta se resuelve, generalmente, multiplicando y dividiendo la función por su conjugada.
Ej. 1: Calcular el límite de la función y x23xx cuando x
Resolución:
( 3 )
lim x2 x x
x es una indeterminación se multiplica y se divide la
función por su conjugado, x23xx
2 3 1 1 3 3 3 lim 3 ) 3 )( 3 ( lim 2 2 2 2 2
x x x
x x x x x x x x x x x x x x
Ej. 2: Calcular el límite de la función y x3 x3 cuando x
Resolución:
3 3
lim x x
x es una indeterminación se multiplica y se divide la
función por su conjugado: x3 x3
0 3 3 6 lim 3 3 ) 3 ( ) 3 ( lim 3 3 ) 3 3 )( 3 3 ( lim
x x x x
x x x x x x x x x x x
Ej. 3: Calcular el límite de la función y x1xcuando x
Resolución:
x x
x 1
lim es una indeterminación se multiplica y se divide la función
por su conjugado: x1x
x x
EJERCICIOS
1)
5 7 lim
3
3
x
x x
x
2)
10 5
6 2
lim
2
x
x x
x
3)
1 1 lim
2
1
x
x x
x
4)
x x x x
x
2 2 lim
2 3
0
5)
4 2 4 2
18 15 3 lim 3 2
2
2
x x x
x x
x
6)
1 10
7 4 lim 3
3
x
x
x
7) 4 2
6
3 10 2 lim
x x
x x
x
8)
3 4 3 lim
6
x x
x
9)
6 2 4 lim 3
3
x
x x
x
10)
2 2 5 lim
2
x
x
x
11)
1 2 2
2 5 8 lim 3
2 3
x x
x x
x
12)
41 6 7
) 5 3 ).( 3 2 ( lim 2
x x
x x
x
13)
x x
x
2 2
lim 0
14)
2 16 lim
2
4
x
x
x
15)
1 2 3 lim
2
1
x
x x
x
16)
x x x
x
2 2
0
1 1
lim
17)
1 1 3 3 lim
1
x
x x
x
18)
x x
x x
x 3
lim
3
0
CONTINUIDAD
Función continua
Una función f es continua en un punto x0 cuando el límite de la función en x0 y coincide con el valor que toma la función en x0. Es decir que f es continua en x0 lim ( ) ( 0)
0
x f x f x
x
Para que una función sea continua en x0, se tienen que cumplir tres condiciones:
1.- Existir el límite de la función cuando xx0
2.- Estar definida la función en x0, es decir, existir f(x0)
3.- Los dos valores han de coincidir, es decir: lim ( ) ( 0)
0
x f x f x
x
Si alguna de las tres condiciones no se cumple, la función es discontinua en x0. Se dice que una función es continua en un intervalo cuando es continua en todos los puntos del intervalo.
Ej. 1: Probar que la función definida por:
3 ,
1
3 ,
2
x si
x si
y es discontinua x0 = 3
Resolución: para probar la discontinuidad de la función en x0 = 3, hay que ver cuál de las tres condiciones de continuidad no se cumplen.
2 ) ( lim 1
) ( lim
3
3
f x y x f x
x
En este caso es la primera, ya que no existe el límite de la función cuando x 3; los límites late-rales no coinciden, por lo tanto, la función es discontinua en x0 = 3
Ej. 2: Probar que la función definida por:
3 ,
2 3 ,
1 ) (
x si x
x si x
f es discontinua en x0 = 3
Resolución: En este caso el límite de la función cuando x 3, y es 1; los dos límites laterales coinciden:
1 ) ( lim 1
) ( lim
3 3
f x y x f x
x
Sin embargo, la función no está definida en x0 = 3; no existe f(3), por lo tanto, la función es dis-continua en x0 = 3
Ej. 3: ¿Es la función definida por:
2 ,
4
2 ,
1 )
(
2
x si
x si x
x
g es discontinua en el punto x0 = 2?
Resolución: el límite de la función cuando x 2, ya que los dos límites laterales coinciden:
3 1 2 ) ( lim 3
1 2 ) (
lim 2
2 2
2
f x y x f x
x
La función está definida para x = 2 y vale 5, es decir f(2) = 5. Sin embargo, el valor del límite de la función cuando x 2 no coincide con f(2):
5 ) 2 ( 3 ) ( lim
2
f x f
x , por lo tanto, la función es discontinua en x0 = 2
OPERACIONES CON FUNCIONES CONTINUAS
Suma (resta):La suma (resta) de dos funciones continuas en un punto es también una función continua en ese punto.
Demostración: sean f y g dos funciones continuas en un punto x0. Esto significa que )
( ) (
lim 0
0
x f x f x
x y lim0 ( ) ( 0)
x g x g x
x . Para probar que la suma (resta) f ± g es una función continua
en x0, es necesario demostrar que: lim( )( ) ( )( 0)
0
x g f x g f x
x
) )( ( ) ( ) ( ) ( lim ) ( lim ) )( (
lim 0 0 0
0 0 0 x g f x g x f x g x f x g f x x x x x
x
La demostración es válida para una suma (resta) de n funciones continuas en x0
Producto: El producto de dos funciones continuas en un punto es también una función continua en ese punto.
Producto de una función por un número:El producto de una función continua en un punto, por un número real, es otra función continua en ese punto.
Cociente: El cociente de dos funciones continuas en un punto es otra función continua en ese punto (siempre que el denominador no se anule).
Composición de funciones: Si f es una función continua en x0 y g es otra función continua en f(x0), la función g o f (g compuesta con f) es continua en el punto x0.
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS
Si una función es continua en un punto x0 es convergente en x0, es decir, el límite de la fun-ción cuando x x0. Si f(x) es continua en x0 lim ( ) ( 0)
0 x f x f x
x
Función constante:La función constante f(x) = k es continua en todos los puntos.
) ( ) ( lim ) ( lim ) ( lim 0 0 0 0
0 f x f x
k x f k k x f x x x x x
x
Función identidad:La función identidad f(x) = x es continua en todos los puntos.
) ( ) ( lim ) ( lim ) ( lim 0 0 0 0 0 0
0 f x f x
x x f x x x f x x x x x
x
Función potencial:La función potencial f(x) = xn es continua en todos sus puntos, salvo el caso en que n < 0 y x = 0, ya que en este caso se tendría una función racional con denominador nulo.
) ( ) ( lim ) ( lim ) ( lim 0 0 0 0 0 0
0 f x f x
x x f x x x f x x n n n x x x
x
Función polinómica:La función n
nx a x a x a a x
f 2
2 1 0
)
( es una función continua en todos
los puntos, por ser suma de funciones continuas en todos los puntos.
) ( ) ( lim ) ( ) ( lim 0 0 2 0 2 0 1 0 0 0 2 0 2 0 1 0 0
0 f x f x
x a x a x a a x f x a x a x a a x f x x n n n n x
x
Función racional: La función f(x) = P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son funciones polinómicas, es continua en todos los puntos, salvo en los que el denominador se anula, por ser cociente de dos funciones continuas.
Función exponencial:La función exponencial f(x) = ax, con a > 0, es continua en todos los pun-tos. ) ( ) ( lim ) ( lim ) ( lim 0 0 0 0 0 0
0 f x f x
a x f a a x f x x x x x x x x
x
) ( ) ( lim log
) (
log log
lim ) ( lim
0 0
0
0
0 0
0 f x f x
x x
f
x x
x f
x x a
a a
x x x
x
Ej. 1: Indicar en qué puntos, la función
3 3 2 ) (
2
x x x
f es discontinua.
Resolución: La función es continua en todos los puntos salvo en los que se anula el denomina-dor, ya que en éstos la función no estará definida; es decir, en x = 3 la función es discontinua.
Ej. 2: Realizar un estudio e indicar si la función
10 3
5 )
( 2
x x
x x
g es continua en los intervalos
(–3, 0) y (0, 2)
Resolución: La función es continua en todos los puntos, salvo en los que el denominador se anu-la. El denominador se anula en x = –2 y en x = 5
El punto x = –2 (–3, 0) luego, en éste intervalo, la función no es continua. Por otro lado, como x = –2 (0, 2) y x = 5 (0, 2), en este intervalo la función f(x) es continua.
CLASIFICACIÓN DE PUNTOS DE DISCONTINUIDAD
Para que una función f(x) sea discontinua (o no continua) en un punto x0, deberá darse, al me-nos, una de estas condiciones:
A.- No existe lim ( )
0
x f x x
o no existe lim ( )
0
x f x x
B.- Los límites laterales existen, pero lim ( ) lim ( )
0 0
x f x
f
x x x
x
C.- Existe lim ( )
0
x f x
x , perolim0 ( ) ( 0)
x f x f x
x
Dependiendo de qué condición se verifique, los puntos en los que una función no es continua se clasifican en puntos de discontinuidad evitable y en puntos de discontinuidad no evitable (o in-evitable).
Discontinuidad evitable: Una función presenta una discontinuidad evitable en un punto x0 cuando, existiendo el límite de la función en éste, no coincide con el valor que toma la función en el punto (caso C): x0 es un punto de discontinuidad evitable lim ( ) ( 0)
0
x f x f x
x
La discontinuidad se puede evitar asignando a la función, en el punto x0, el valor de su límite. En este caso a lim ( ) ( 0)
0
x f x f x
x se le denomina verdadero valor de la función en x0, y es el que hace
que la función sea continua en dicho punto.
Discontinuidad inevitable: Una función presenta una discontinuidadinevitable en un punto x0 cuando o bien no existe algún límite lateral (caso a) o bien los límites laterales existen pero son distintos (caso b), en cuyo caso no existe el límite.
x0 es un punto de discontinuidad inevitable
) ( lim
) ( lim
) ( lim
0 0 0
x f existe no o
x f existe no o
x f existe No
x x
x x
x x
Ej. 1: Estudiar la discontinuidad de la función
1 1
0 2
) (
x si
x si x x f
1 ) 1 ( 3 ) ( lim 3
) 2 ( lim ) ( lim
3 ) 2 ( lim ) ( lim
1 1
1
1
1
f x
f x
x f
x x
f
x x
x
x x
Si se asigna a f(1) el valor 3, valor del lim ( )
1f x
x ,se evita la discontinuidad y f(x) = x + 2 es
conti-nua en todos los puntos ya que el verdadero valor de la función en x = 1 es 3.
Ej. 2: Estudiar la discontinuidad (evitable o no) de la función
3 1
3 2
) (
x si
x si x
f
Resolución: f(x) es continua en todos los puntos salvo en x = 3
) ( lim ) ( lim 1
1 lim ) ( lim
2 2 lim ) ( lim
3 3
3 3
3 3
x f x
f x
f x f
x x
x x
x x
la discontinuidad es no evitable
Ej. 3: Estudiar y clasificar los puntos de discontinuidad de la función
2 4 )
(
2
x x x f
Resolución: La función es continua en todos los puntos salvo en los que se anule el denomina-dor: x = 2. Se procede a ver si la discontinuidad, en x0 = 2, es evitable o no.
4 ) 2 ( lim )
2 (
) 2 )( 2 ( lim 2
4 lim
2 2
2
2
x x
x x x
x
x x
x
El límite y es 4, por lo tanto la discontinuidad en x0 = 2 es evitable. El verdadero valor de la función en x0 = 2 es 4. Asignando a f(2) el valor 4, la función:
2 4
2 2
4 )
(
2
x si
x si x
x x
