1.- Simulación aleatorios

Texto completo

(1)
(2)

Estimar p

1° Lanzar dardos que caen

aleatoriamente dentro cuadrado Total ensayos NT

2° NS caen dentro del sector, el resto fuera.

3° La Razón es proporcional

a las áreas, luego p = * 4

4 Estimación mejora cuando NT

NS NT

Area Rectángulo = 1 Area Sector = p/4

NS NT

8

(3)

• Estimar p (George Louis Leclerc, c. 1733)

• Lanzar una aguja de longitud l sobre una mesa dónde se ha dibujado líneas separadas a una distancia igual a

d ( d >l)

Probabilidad que la aguja cruce una línea =

• Repetir; contar = proporción de veces aguja cae sobre

2l

d

p

(4)

• El problema parece un poco tonto...

¡Ahora! .... Pero tiene algunas características importantes de simulación

– Se experimenta para estimar algo difícil de calcular exactamente (en 1733)

Aleatoriedad, de modo que la estimación no será exacta; estimar el error de este estimador

Replicas (mientras más mejor) para reducir el error

Muestreo Secuencial para controlar el error; seguir lanzando hasta que el error probable sea lo

“suficientemente” pequeño

(5)

Ejercicio

1. Oficina Bancaria

2. Temperatura

3. Edificio

4. País

5. Empresa

1. Termómetro

2. Mapa

3. Plano

4. Organigrama

5. Diagrama Causal

Relaciona las siguientes dos listas.

Identificar qué modelo(s) se usa(n) para representar los siguientes aspectos de la realidad.

Indicar el tipo de modelo.

(6)

Tipos de Sistemas de Simulación

Sistemas Continuos.

• Contiene variables preponderantemente de tiempo-continuo (pueden cambiar en cualquier momento).

• Los cambios se expresan mediante ratios, uso de

ecuaciones diferenciales o de diferencias. • Uso de resultados en el largo plazo.

Sistemas Discretos (Eventos).

• Contiene variables preponderantemente de tiempo-discreto (pueden cambiar en momentos tiempo-discretos del tiempo).

• Interesa el seguimiento de los cambios de estado del sistema como consecuencia de la ocurrencia de sucesos o eventos.

(7)
(8)

Universidad Alas Peruanas Ingeniería de Sistemas

Ejemplo de Simulación Discreta

Llegada TLL Salida

REPRESENTACIÓN DEL SISTEMA

Entidades Atributos Actividades

Personas Tiempo de arribo Llegada a la oficina Alejarse.

Formar cola frente a recepción. Ocupar al recepcionista (servidor 1). Permanecer bloqueado en recepción. Formar cola para llenar formulario tipo A Ocupar al servidor 2.

Permanecer bloqueado en estación 2. Formar cola para llenar formulario tipo B Ocupar al servidor 3.

Salir del sistema. Recepcionista Tiempo de servicio Atender clientes.

(Servidor 1) Esperar clientes.

Permanecer bloqueado. Servidor 2 Tiempo de servicio Llenar formularios tipo A.

Esperar personas. Permanecer bloqueado. Servidor 3 Tiempo de servicio Llenar formularios tipo B.

COLA 1

Abandono por cola llena

(9)

estocástico

determinístico

estático dinámico

tiempo-discreto

(10)

Diga a qué tipo de sistema de simulación

corresponden los siguientes sistemas:

1. Cadena de producción.

2. Contaminación atmosférica. 3. Dinámica poblacional.

4. Entradas y/o salidas de una sala de emergencia. 5. Entradas y/o salidas de un almacén.

6. Flujo de caja.

7. Colas de un banco.

(11)

Mapa Conceptual

Modelado y Simulación

Simulación X Eventos Proyectos

Simulación

Colas en Serie Colas con un servidor

Colas en Paralelo

Inventarios Series de

Nro. Aleato

(12)

Mapa Conceptual

Fenómenos Físicos Procedimientos Matemáticos

Números Aleatorios

Validación de Series de NA

Variables U (0,1)

Variables Aleatorias Tabla de Nros.

aleatorios

(13)

Generación de Números Aleatorios

• Rol preponderante en el proceso de simulación.

• Para simular necesitamos de números aleatorios como semillas para generar muestras de V.A.

• Características de un generador de nros aleatorios:

• 1) Muestrea valores de Distribución Uniforme.

(14)

Algunas Propiedades de Nros Aleatorios

1. Distribución Uniforme.

Cualquier número que

pertenezca al rango de interés

debe tener la misma

probabilidad de resultar sorteado.

2. NO Correlación Serial.

(15)

Ejemplo

La sucesión 1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5...

es uniforme

pero

está correlacionada.

(16)

Series de números aleatorios

• No tiene sentido el concepto de “número aleatorios”. • Se usa el concepto de “serie de números aleatorios”

“Una sucesión de números es aleatoria si no puede reproducirse eficientemente mediante un programa más corto que la propia seria”

“Una sucesión de números es aleatoria si nadie que utilice recursos computacionales razonables en tiempo razonable puede distinguir entre la serie y una sucesión verdaderamente aleatoria de una forma mejor que tirando una moneda fiel para decidir cuál es cuál”

(17)

Serie de Números Aleatorios

(18)

Propiedades deseables

1. Uniformemente distribuidos.

2. Estadísticamente independientes (no correlación).

3. Periodo largo (sin repetición).

4. Reproducibles y mutables.

5. Sencillo en su implementación.

6. Portabilidad.

7. Método rápido de generación.

(19)

Mecanismos de generación

• Tablas de números aleatorios

– RAND (1955), 100,000 números aleatorios (ruido electrónico)

• Fenómenos físicos

– Ruido blanco producido por circuitos electrónicos

– Recuento de partículas emitidas – Lanzamiento de monedas

– Rueda de la fortuna

• Procedimientos matemáticos

– Se usa algoritmos para la generación de

números aparentemente aleatorios, se entrega una semilla y se generan los sucesores

1. Uniformemente distribuidos.

2. Estadísticamente independientes.

3. Periodo largo (sin repetición).

4. Reproducibles y mutables.

(20)

Generación de Series de # Aleatorios

• Es un proceso fundamental en la simulación.

• ¿Por qué?

• Para simular el comportamiento de variables

aleatorias.

– El comportamiento de un sistema depende del comportamiento de sus variables (variables aleatorias).

(21)
(22)

Método del cuadrado medio

• Fue propuesto inicialmente por Von Newman y

Metrópolis en el año 1946.

• Para generar el siguiente número pseudo-aleatorio,

se toman los n dígitos centrales del cuadrado del

número anterior de n dígitos.

(23)

Análisis

• El problema con este método es que tiende a degenerar rápidamente. Dependiendo del valor inicial el método puede degenerar al cabo de ≈20 términos.

• Por ejemplo, supóngase que se quiere generar una serie de números pseudo-aleatorios de cuatro dígitos y se tiene como i-ésimo termino generado es 3500, luego se tendrá:

• Se puede observar que hemos llegado a una condición

n R(n) R(n)2 M.R(n)2 Random 1 Random 2

(24)

Método del Producto Medio

• Este método es muy similar al anterior ya que se

tomará como número aleatorio siguiente de la

serie, a los

n

dígitos centrales del resultado de una

multiplicación previa.

(25)

Método del Producto Medio

n R(n) R(n+1) R(n)2 M.R(n)2 Val 1 Val 2

0 151 155 23,405 340 340 0

1 155 340 52,700 270 270 0

2 340 270 91,800 180 180 0

3 270 180 48,600 860 860 0

4 180 860 154,800 5,480 548 480

5 860 548 471,280 7,128 712 128

6 548 712 390,176 9,017 901 017

7 712 901 641,512 4,151 415 151

8 901 415 373,915 7,391 739 391

9 415 739 306,685 668 668 0

10 739 668 493,652 9,365 936 365

11 668 936 625,248 2,524 252 524

(26)

Análisis

• Una modificación para este método consiste en utilizar un multiplicador constante, en lugar de dos números aleatorios como se muestra a continuación:

Rn+1 = K * Rn

• Estos métodos son similares al cuadrado medio.

• Sin embargo los dos tienen periodos más extensos y los números parecen estar distribuidos uniformemente.

• Este método tiende a degenerar a un valor constante.

(27)

GENERADORES

(28)

Generadores Congruenciales

(29)

Método Congruencial Lineal (MCL)

• Los generadores congruenciales lineales generan una serie de números pseudo - aleatorios de tal forma que se puede generar el siguiente a partir del ultimo número derivado, es decir, que el número Xn+1 es generado a partir de Xn.

• La relación de recurrencia para el método congruencial mixto es:

Xn+1 = (aXn + c) mod m

(30)

Método Congruencial Lineal (MCL)

• Si se quiere obtener números Uniformes (0,1) se normaliza el resultado:

Un = Xn / m

• En el MCL, si se repite un número ya se repite toda la secuencia.

• Ventajas:

1. utiliza poca memoria y es muy rápido.

(31)

Ejemplo

a c m

1 7 13

n X(n) a*X(n)+c [a*X(n)+c] mod m

0 7 14 1

1 1 8 8

2 8 15 2

3 2 9 9

4 9 16 3

5 3 10 10

6 10 17 4

7 4 11 11

8 11 18 5

9 5 12 12

10 12 19 6

(32)

• Si no se escogen los valores adecuados de los parámetros el período del generador de números pseudo – aleatorios, será menor que m.

• En la Tabla A se muestra los valores obtenidos para un generador con parámetros: a = 7, c = 9, X0 = 5 y m = 11. Como puede apreciarse en la tabla el período del generador es 10 que es menor que el módulo que es 11.

• Si bien este caso no es crítico si lo es el que se presenta en la Tabla B donde los parámetros toman los valores de a = X0 = c = 7 y m=10 cuyo período es de 4, que es un caso muy critico que nos puede llevar a resultados no deseables y poco confiables

(33)

Tabla A

a c m

7 9 11

n X(n) a*X(n)+c [a*X(n)+c] mod m

0 5 44 0

1 0 9 9

2 9 72 6

3 6 51 7

4 7 58 3

5 3 30 8

6 8 65 10

7 10 79 2

(34)

Tabla B

a c m

7 7 10

n X(n) a*X(n)+c [a*X(n)+c] mod m

0 7 56 6

1 6 49 9

2 9 70 0

3 0 7 7

4 7 56 6

5 6 49 9

(35)

Selección de

m

, a, c, X

0

a) Selección de módulo (m). Existen dos opciones que son las siguientes:

a.1) Escoger al azar el módulo m.

a.2) Tomar m de tal manera que sea el número primo más

grande posible y además que sea menor que pd-1, donde p

(36)

b) Selección de a.

• El valor de a debe ser un número entero impar, que no deberá

ser divisible por 3 ó 5. Pero además, para asegurarnos que el

generador tenga período completo, el valor que se tome para a deberá escogerse según el siguiente criterio:

(a-1) mod 4 = 0 si 4 es un factor de m.

(a-1) mod b = 0 si b es un factor primo de m.

• Generalmente se toma a igual a 2k + 1 cuando se trabaja en el sistema binario. En ambos casos el valor que se asigne a k deberá ser mayor o igual que 2.

(37)

c) Selección de c.

• Este parámetro puede tomar cualquier valor. Pero

para asegurarnos de tener buenos resultados se

deberá seleccionar según la siguiente regla:

c mod 8 = 5

• En consecuencia c deberá tomar un valor entero

(38)

d) Selección de X

0

• Se tiene que para el generador

congruencial el valor que tome X

0

es

irrelevante y tiene poca o ninguna

influencia

sobre

las

propiedades

estadísticas de las series de números

pseudo - aleatorios que se generen.

(39)

Método Congruencial Lineal (MCL)

• Para terminar esta parte se debe señalar que existen otras

formas matemáticas de representar este generador, que

son las siguientes:

X

n

= [a

n

X

0

+ c{(a

n

- 1)/(a - 1)}] mod m

(40)

Método Congruencial Multiplicativo

• En forma semejante al método anterior el generador congruencial multiplicativo genera el próximo número pseudo - aleatorio a partir del último número calculado, siguiendo la siguiente relación de recurrencia:

Xn+1 = aXnmod m

(41)

Selección de m, a, X0

• Para trabajar en el sistema binario los valores de los parámetros deberán escogerse siguiendo las siguientes reglas:

– El valor de X0 debe ser un número entero impar y relativamente primo a m.

– El valor de a debe ser obtenido a partir de la siguiente expresión: a = 8t ± 3

Donde t es cualquier entero.

– El valor de m puede ser 2d .

• Si m = 2d el período del generador es 2d-2 ó m/4.

(42)

Tabla C

a m

5 32

n X(n) a*X(n)

[a*X(n)] mod m

0 5 25 25

1 25 125 29

2 29 145 17

3 17 85 21

4 21 105 9

5 9 45 13

6 13 65 1

7 1 5 5

8 5 25 25

9 25 125 29

(43)

Tabla D

Parámetros

a b m xo

6 0 13 1

7 0 13 10

5 0 13 5

7 0 11 5

6 0 11 3

Caso Salidas

1 6 10 8 9 2 12 7 3 5 4 11 1 6 10

2 5 9 11 12 6 3 8 4 2 1 7 10 5 9

3 12 8 1 5 12 8 1 5 12 8 1 5 12 8

5 Caso

(44)

caso otro en 0 si 1 ) , ( ) (      =

=U a b b a a x b x

p

Distribución de probabilidad uniforme U(a,b)

Área = 1

)

(x

p

x

1

b a

a b

Función de densidad de probabilidad:

 

=

x

x

dt

t

p

x

F

(

)

(

)

=

b

x

b

x

a

a

b

a

x

a

x

x

F

1

0

)

(

Recordemos que la función de distribución se define como:

(45)

1/12 V(x) 2 / 1 ) ( = = x E

Números aleatorios Si a=0 y B=1

Distribución de probabilidad uniforme U(0,1)

Media y Varianza de los números aleatorios

Área = 1

)

(x

p

x

1

0 1

0,6 0,7 0,8 0,9 1 Uniformidad Prueba ChiCuadrado Prueba de Hipótesis

(46)

Prueba Media de la serie de números aleatorios

Ho: µ=1/2

Ha: µ≠1/2 𝑟 = 1𝑛 𝑟𝑖

𝑛

𝑖=1

𝐿𝑖𝑚𝐼𝑛𝑓 = 1

2 − 𝑍1−𝛼/2

1 12𝑛 𝐿𝑖𝑚𝑆𝑢𝑝 = 1

2 + 𝑍1−𝛼/2

1 12𝑛

Si el Valor r promedio se encuentra entre los límites del intervalo de confianza se acepta la Hipótesis que la media es 0,5 en caso Contrario se rechaza

Donde

α= Error Tipo I

(47)

Ver Video

(48)

Prueba Varianza de la serie de números aleatorios

Ho: 𝜎2=1/12

Ha: 𝜎2≠1/12

Si el Valor V(r) se encuentra entre los límites del intervalo de confianza se acepta la Hipótesis que la varianza es 1/12 en caso Contrario se rechaza

Donde

α= Error Tipo I

N: Total de números aleatorios

𝑉 𝑟 = 1

𝑛 − 1 (𝑟𝑖−𝑟 )2

𝑛 𝑖=1 𝐿𝑖𝑚𝐼𝑛𝑓 = 𝑋𝛼 2,𝑛−1 2

12(𝑛 − 1)

𝐿𝑖𝑚𝑆𝑢𝑝 = 𝑋1−𝛼/2,𝑛−1

2

(49)

Ver Video

(50)

Prueba de Uniformidad (Chicuadrado)

Ho: 𝑟𝑖~U(0,1)

Ha: 𝑟𝑖 no son uniformes

Se divide el intervalo [0,1] en m intervalos luego se clasifica cada ri en los m intervalos Se tabulan los datos observados (Oi) y se estima los frecuencias esperadas (Ei) = n/m y se debe determinar el estadístico

𝑋02 = (𝐸𝑖 − 𝑂𝑖)2 𝐸𝑖

𝑚

𝑖=1

(51)

Prueba de Uniformidad (Chicuadrado)

Ho: 𝑟𝑖~U(0,1)

Ha: 𝑟𝑖 no son uniformes

Frequency Distribution - Quantitative

Data cumulative

lower upper midpoint width Oi percent frequency percent Ei

0,0000 < 0,1000 0,0500 0,1000 12 12,0 12 12,0 10 0,4 0,0000 < 0,2000 0,1500 0,1000 5 5,0 17 17,0 10 2,5 0,0000 < 0,3000 0,2500 0,1000 8 8,0 25 25,0 10 0,4 0,0000 < 0,4000 0,3500 0,1000 12 12,0 37 37,0 10 0,4 0,0000 < 0,5000 0,4500 0,1000 10 10,0 47 47,0 10 0 0,0000 < 0,6000 0,5500 0,1000 10 10,0 57 57,0 10 0 0,0000 < 0,7000 0,6500 0,1000 7 7,0 64 64,0 10 0,9 0,0000 < 0,8000 0,7500 0,1000 15 15,0 79 79,0 10 2,5

(52)

Prueba de Independencia (Corridas arriba y abajo) Ho: Los números del conjunto 𝑟𝑖 son independientes

Ha: Los números del conjunto 𝑟𝑖 no son independientes

 El procedimiento consiste en determinar una secuencia de números (S) de “1” y “0” de acuerdo a una comparación entre ri y r1-1. (“se coloca un cero si el número ri es <= ri anterior en caso contrario se coloca 1 “

 Luego se determina el número de corridas Co

 Una corrida es una secuencia de “1” o “0” consecutivos

 Luego se halla la media, varianza y Zo de acuerdo a las siguientes fórmulas:

𝜇𝑐𝑜 = 2𝑛 − 1 3

𝜎𝑐𝑜2 = 16𝑛 − 29 90

(53)

Figure

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Referencias

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