TEMA 2: ANÁLISIS VECTORIAL Y TRIGONOMETRÍA.
2.1 MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES.
Existen magnitudes como la masa, el tiempo, la distancia recorrida por un atleta, la temperatura, etc., que quedan perfectamente especificadas con un número y una unidad. Este tipo de magnitudes se denominan magnitudes escalares.
Sin embargo, existen otras magnitudes como la fuerza que aplicamos contra el suelo al correr, la velocidad, la aceleración etc., que, además de un número y una unidad, precisan de una dirección, un sentido y un punto de aplicación. Este tipo de magnitudes se denominan magnitudes vectoriales.
La forma de expresar cualquier magnitud vectorial es mediante lo que llamamos vector, que es un segmento orientado que consta de módulo (longitud del segmento), dirección (la de la recta que lo contiene), sentido (el que indica la punta de la flecha) y punto de aplicación (que coincide con el origen del vector).
Para indicar que una magnitud tiene carácter vectorial se coloca una flecha sobre el símbolo utilizado, aunque a veces también se suele indicar escribiendo el símbolo en negrita. El módulo de un vector se representa por el símbolo del vector acotado por las barras de valor absoluto.
Existen tres tipos de vectores en Física, según su punto de aplicación:
● Vectores fijos: son los que tienen un punto de aplicación perfectamente determinado, como el peso de un cuerpo.
● Vectores deslizantes: son los vectores cuyos puntos de aplicación pueden desplazarse sobre la recta que los contiene. Un ejemplo es la fuerza aplicada sobre un objeto cuando queremos desplazarlo en una dirección determinada.
● Vectores libres: son los vectores cuyo punto de aplicación puede ser cualquier punto. La velocidad de un móvil se representa mediante vectores libres.
X
O
Y
v
Para representar un vector se representa el punto correspondiente y se une dicho punto con el origen del sistema de coordenadas mediante una flecha que representa dicho vector. Normalmente haremos un tratamiento bidimensional (dos coordenadas), aunque a veces, de forma muy básica, utilizaremos tres dimensiones (tres coordenadas).
EJERCICIO 1. Representar en el plano los vectores A
(3,3); v
(-3,4) y x
= 4i−2j.
2.2 CONCEPTO DE RADIÁN.
Al realizar cálculos en los que aparezcan ángulos se pueden utilizar varios sistemas de medida. Aunque el grado es la unidad más utilizada normalmente, en Física, es muy común expresar los ángulos en otra unidad denominada radián. Un radián es el ángulo que abarca el mismo arco que el radio de la circunferencia con el que ha sido trazado. Por tanto, para medir un ángulo en radianes (φ), bastará dividir la longitud de su arco (S) por el radio (r).
r S
=
ϕ
Si queremos saber el ángulo en radianes que corresponde a la totalidad de la circunferencia:
radianes r
r radio
ncia circunfere la
de longitud
π π
ϕ = = 2 =2
Por tanto, media circunferencia (180º) serán π radianes y un cuarto de circunferencia (90º) serán π/2 radianes.
EJERCICIO 2. ¿Qué ángulo, en radianes, corresponde a un arco de 23cm si el radio de la circunferencia a la que pertenece es de 9cm?
EJERCICIO 3. Pasar a radianes los siguientes ángulos medidos en grados:
a) 135º b) 236º
2.3 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS. FÓRMULA FUNDAMENTAL.
Una razón es un cociente entre dos valores. Supongamos el siguiente triángulo rectángulo:
h
α
90º
y
h y hipotenusa
opuesto cateto
sen
α
= =h x hipotenusa
contiguo cateto
= =
α
cos
Las razones trigonométricas tienen las siguientes propiedades:
■ No dependen de los valores de los lados del triángulo, sino únicamente del valor del ángulo.
■ Son adimensionales, es decir, no tienen dimensiones.
■ El valor del seno y del coseno está siempre comprendido entre -1 y 1.
El seno y el coseno de un mismo ángulo cumplen una relación que se conoce con el nombre de fórmula fundamental de la trigonometría:
sen2αααα + cos2αααα = 1
Existen tres razones trigonométricas inversas a las anteriores, pero son relativamente poco utilizadas:
1 cosec
sen
α
α
= sec 1
cos
α
α
= cotg 1
tg
α
α
=
EJERCICIO 4. En un triángulo rectángulo los catetos miden 9cm y 11cm y la hipotenusa mide 14,21cm. Calcular los valores de las razones trigonométricas de los ángulos no rectos.
EJERCICIO 5. En un triángulo rectángulo los catetos miden 15cm y 20cm. Calcular mediante el teorema de Pitágoras el valor de la hipotenusa y, una vez hallado, calcular también las razones trigonométricas de los ángulos no rectos.
EJERCICIO 6. Utilizando la calculadora indica los valores de las razones trigonométricas de los ángulos 35º y 48º.
EJERCICIO 7. Sabiendo que el seno de un ángulo es 0,5, calcular dicho ángulo.
EJERCICIO 8. Sabiendo que la tangente de un ángulo es 2,75, calcular dicho ángulo.
EJERCICIO 9. A Manuel le ha recomendado su médico que, para relajar bien los lumbares mientras duerme, haya un ángulo de al menos 8º entre la horizontal y el fémur. Por ello, Manuel ha decidido colocar un cojín en el hueco poplíteo. Sabiendo que la longitud del fémur de Manuel es de 55cm, ¿podrías decirle qué altura mínima debería tener el cojín?
x y contiguo cateto
opuesto cateto
2.4 ANÁLISIS VECTORIAL. OPERACIONES CON VECTORES.
• Suma (y resta) de vectores: el resultado de sumar o componer gráficamente dos vectores es otro vector que se calcula con la regla del paralelogramo. Si tenemos los vectores en función de sus coordenadas, se suman coordenada a coordenada.
u=(3,5, 2)−
v= −( 1, 4,3)
• Vector que une dos puntos: el vector que une un punto A con uno B se obtiene restando a las coordenadas de B las de A.
A (3,4,2)
B (2,0,5)
• Producto por un escalar: el producto de un vector por un escalar k es otro vector de módulo k veces el módulo del primero, de la misma dirección y del mismo sentido si k es positivo y de sentido contrario si k es negativo.
) 2 , 5 , 3 ( − = u
2 · u
= (6,10,-4)
• Producto escalar: el producto escalar de dos vectores es un escalar (número) resultado de multiplicar el módulo del primero por el módulo del segundo y por el coseno del ángulo que forman. Si tenemos los vectores en función de sus coordenadas también puede calcularse multiplicando las coordenadas una a una y sumándolas.
α
cos
⋅ ⋅ =
⋅v u v
u
) , , (ux uy uz u =
) , , (vx vy vz v =
Igualando y despejando:
• Módulo de un vector: el módulo (longitud) de un vector, puede calcularse a partir de sus coordenadas.
) , , (ux uy uz u =
u = ux2+uy2+uz2
u
v
v
u
+
) 3 , 4 , 1 (− − = AB (2,9,1) u+v=u
u
2
u
2
−
z z y y xx v u v u v
u v
u⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅
v u v u v u v u v u v
u x x y y z z
EJERCICIO 10. Dados los vectores a =(5,−7)
y b i j
6 3 + −
= , calcular:
a) Sus módulos. b) Su producto escalar. b) El ángulo que forman.
EJERCICIO 11. Dados los vectores u=(3,−2,−1)
y v i j k
3 2 − +
= , calcular:
a) u v
+
b) u v
−
c) u 2 d) u v
+
4
e) Sus módulos. f) Su producto escalar. g) El ángulo que forman.
TEMA 2: ANÁLISIS VECTORIAL Y TRIGONOMETRÍA. BOLETÍN DE PROBLEMAS.
1) Representar en el plano los siguientes vectores:
a) u (2,5)
b) v =(−3,−3)
c) x i j 5 2 + −
= d) w i j
− =4
2) ¿Qué ángulo, en radianes, corresponde a un arco de 37cm si el radio de la circunferencia a la que pertenece es de 15cm? ¿Y si el radio fuese 22cm?
3) Pasar a radianes los siguientes ángulos medidos en grados:
a) 68º b) 112º c) 1230º
4) Calcular las razones trigonométricas de los ángulos de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 22cm y 31cm y cuya hipotenusa mide 38cm.
5) Dadas las siguientes razones trigonométricas, calcular el ángulo correspondiente:
a) sen α = 0,91 b) cos β = -0,42 c) tg γ = 0,73
6) Dados los puntos A(2,5,2); B(-3,4,1) y C(3,-2,-1), calcular el vector que une los siguientes puntos:
a) A y B b) A y C c) B y C
7) Dados los vectores u =(5,−2,2)
y v i j k
2 2
4 + −
−
= , calcular:
a) u v
+
b) u v
−
c) u 4 d) u v
2 3 +
e) Sus módulos. f) Su producto escalar. g) El ángulo que forman.
8) Estamos grabando en vídeo una carrera de salto de vallas. Las coordenadas del centro articular de la rodilla delantera y de la trasera son, (54, 85) cm y (-39, 64) cm, respectivamente. Si las coordenadas del centro articular de la cadera son (0, 110) cm, ¿podrías calcular el ángulo de apertura de la misma?
9) Apoyamos el codo sobre una mesa, de forma que el hombro, el codo y la muñeca quedan en la posición que se representa en el siguiente dibujo. Calcular las distancias horizontales x e y.
M
H
10) Una deportista de gimnasia rítmica está abriéndose de piernas frontalmente. Podemos suponer que sus piernas se asemejan a un compás. Si las piernas miden 90 cm y se ha quedado a una distancia del suelo de 20 cm, calcula el ángulo de apertura de las piernas.
11) En determinado momento las coordenadas espaciales de los centros articulares de la muñeca, del hombro y del codo de un atleta son, respectivamente, M(20,20,-8); C(0,10,10) y H(-5,23,25) centímetros. Calcular el ángulo de apertura de la articulación del codo.
