Función exponencial
Función exponencial
Habilidades a desarrollar
Al terminar el presente tema, usted estará en
capacidad de:
1) Graficar funciones exponenciales.
Función exponencial
Problema motivador
El INEI utiliza una fórmula similar a para predecir la población,
donde
N
es la cantidad de peruanos en miles y
t
es el tiempo
en años a partir del año 2013.
De acuerdo con las proyecciones, en el año 2021, año del
Bicentenario de la Independencia Nacional, seremos 33
millones 149 mil habitantes.
Función exponencial
Definición [Función exponencial]
Una función se denomina función exponencial de base si:
donde es una constante positiva distinta de 1.
Características:
𝐷𝑜𝑚
(
𝑓
)
=
ℝ
Función exponencial
Grafica de la función exponencial
Caso 1: cuando
Ejemplo. Graficar
Resolución
Vamos empezar a tabular
𝑥
𝑓
(
𝑥
)
=
2
𝑥−
2
1
0
1
2
2
−2=
0,25
2
−1=
0,5
2
0=
1
2
1=
2
2
2=
4
Características: (1) Grafico
creciente.
(2) Corta al eje Y en el punto (0; 1) (3) Su grafica esta
Función exponencial
Grafica de la función exponencial
Caso 2: cuando
Ejemplo. Graficar
Resolución
Vamos empezar a tabular
𝑥
𝑓
(
𝑥
)
=(
1
/
2
)
𝑥−
2
1
0
1
2
(
1
/
2
)
−2=
4
(
1
/
2
)
−1=
2
(
1
/
2
)
0=
1
(
1
/
2
)
1=
0,5
(
1
/
2
)
2=
0,25
Características: (1) Grafico
decreciente.
(2) Corta al eje Y en el punto (0; 1) (3) Su grafica esta
Función exponencial
Ejemplo. Graficar
donde
Ejemplo. Graficar
Función exponencial
Ejemplo. Graficar
Resolución
Vamos empezar a tabular
𝑥
𝑓
(
𝑥
)
=
2
𝑥+
3
−
2
1
0
1
2
2
−2+
3
=
3,25
2
−1+
3
=
3,5
2
0+
3
=
4
2
1+
3
=
5
2
2+
3
=
7
Características: (1) Grafico
creciente. (2) Su Asíntota
Función exponencial
Ejemplo. De
+1
se observa que su A.H es .
Ejemplo. Graficar
se observa que su A.H es
Si , donde y son cualquier número real, y es cualquier número positivo pero diferente de 1.
Función exponencial
Observaciones
2) Si
Ejemplo: Si
1) Si
𝒚
=
𝐥𝐧
(
𝑷
)
𝐥𝐧
(
𝒃
)
→
2
𝑥
=
ln
(
10
)
→ 𝑥= ln (210) ≈1 ,15129Ejemplo:
Si
→
𝑥
−
4
=
ln
(
7
)
ln
(3
)
→
𝑥
=
ln
(7
)
Función exponencial
Ejemplo. El INEI utiliza una fórmula similar a para predecir la población, donde N es la cantidad de peruanos en miles y t es el tiempo en años a partir del año 2013.
De acuerdo con las proyecciones, en el año 2021, año del Bicentenario de la Independencia Nacional, seremos 33 millones 149 mil habitantes.
a) ¿Está usted de acuerdo con esa proyección? b) ¿En qué año seremos 46 896 342 habitantes?
Resolución
Parte a)
Por condición se considera al año 2013 como .
Para el año 2021, se tiene Evaluando
Por lo tanto, estamos de acuerdo con lo señalado por el funcionario
Parte b)
Para ser 46 896 342 habitantes, se cumple que
entonces
𝑒0,010513𝑡
=46 896,342/30 475
0,010513𝑡=ln(46 896 ,342/30 475)
𝑡
≈
41
Función exponencial
Conclusiones.
De la función exponencial
(1) La base de la función exponencial es siempre positiva pero diferente de uno.
(2) Si , la gráfica de la función exponencial es siempre creciente.
(3) Si , la gráfica de la función exponencial es siempre decreciente.
Función exponencial
Bibliografía
• [1] Arya, Jagdish C. (2009) Matemática aplicada a la Administración.
Ed 5. México, D.F. Pearson.
