El impacto de shocks
contractivos de política
monetaria en un modelo
DSGE estimado con
métodos Bayesianos para
Chile.
Universidad Torcuato di Tella
Maestría en Econometría
Autor
Sebastián Piña
Tutor
Prof. Francisco Ciocchini
1 “Del mismo modo que un sistema financiero saludable promueve el crecimiento, las condiciones financieras adversas pueden evitar que una economía logre alcanzar su potencial. Un sistema bancario débil luchando con préstamos imperfecto y capital insuficiente, donde la solvencia de las empresas se vea erosionada debido a la disminución del valor de sus activos producto del alto apalancamiento, son ejemplos de las condiciones financieras que podrían perjudicar el crecimiento”
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Resumen
El presente modelo corresponde a un New Keynesian Model DSGE estimado mediante métodos Bayesianos intentando explicar el impacto que presenta un shock contractivo de política monetaria sobre el ciclo real de la economía Chilena. Al igual que Gerali, A. et. Al. (2010), trabajo que utilizamos como base, incorporamos un sector financiero imperfectamente competitivo y con rigideces nominales (tasas de interés inflexibles) a lo Calvo (1983). Mediante ello estimamos el comportamiento de los principales agregados macroeconómicos comparando con el que efectivamente presentaron desde del tercer trimestre de 2008, momento en el cual se exterioriza la Crisis Financiera Internacional, encontrando que esta característica de la economía genera una persistencia mayor en los efectos del shock, que los mismos se ven magnificados por una alta exposición al riesgo en crédito corporativo, y que existe por parte del Banco Central de Chile una ponderación relativamente mayor a la hora de hacer frente a los desvíos de la inflación respecto al target establecido en su regla de política monetaria, en relación a otros indicadores macroeconómicos.
Palabras claves: Bancos; shocks de política monetaria; fricciones financieras; riesgo de crédito.
Abstract
This paper introduces a New Keynesian DSGE Model estimated with a Bayesian approach and trying to explain the impact of a contractionary monetary policy shock on the real business cicle of the Chilean economy. As of Gerali, A. et. Al. (2010), we incorporate an imperfectly competitive financial sector and nominal rigidities (inflexible interest rates) as Calvo (1983). We estimate the behavior of the main macroeconomic aggregates comparing to the presented since the third quarter of 2008, moment at which time the International Financial Crisis was externalized. We can find that this feature of the economy generates more persistence on the effects of the shock, that this are magnified by high exposure to corporate credit risk, and that the monetary policy reacts in an more aggressive way when inflation inflation deviates from its target set in by the monetary policy rule, in comparison to other indicators.
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Índice
1. Introducción ……….…….4
2. Repaso histórico, motivación y fundamento teórico………..………..7
3. Construcción y solución de los modelos DSGE……….………11
4. Modelo ………17
1. Familias y Empresas………17
1.Familias pacientes………..………18
2.Familias impacientes………..……….18
3.Empresas………..19
4.Demanda de préstamos y depósitos……….………21
5.Mercado Laboral……….22
2. Bancos……….……….22
1.Banco mayorista – wholesale-………..………23
2.Banco minorista – retailer-………..………24
3. Empresa ratailer……….24
4. Productores de bienes de capital………..26
5. Política monetaria……….26
6. Equilibrio……….………27
5. Estimación……….27
1. Metodología y datos………31
2. Calibración……….…31
3. Las funciones prior………..………….…33
4. Las funciones posterior……….…33
6. Propiedades del modelo estimado………..………34
1. Shock contractivo de política monetaria………..36
7. Resumen y conclusiones……….………37
8. Referencias bibliográficas………..39
9. APENDICE A. Estimación de parámetros……….……….43
10. APENDICE B. Análisis gráfico……….…..………46
11. APENDICE C. Datos………..52
12. APENDICE D. Condiciones de primer orden y determinación del equilibrio………..53
13. APENDICE E. Representación del modelo……….………..56
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1 Introducción
Reconocidas crisis internacionales tales como la Gran Recesión de 1930 y la crisis de préstamos y ahorros de la década del 1980 originadas en EE.UU, extendiéndose a las recesiones de Finlandia y Japón en la década de 1990, han sido una suficiente evidencia histórica de que el rol de los bancos en la economía puede afectar significativamente su funcionamiento.
La crisis financiera internacional de 2008 introdujo a los bancos nuevamente en centro de atención debido al desencadenamiento de grandes pérdidas producto de la alta exposición al riesgo en crédito, y nuevamente, una grave recesión a nivel mundial. Chile no fue la excepción, y desde la caída del Banco Lehman Brothers en Septiembre 2008 enfrentó una contracción en su economía durante 4 trimestres, recuperando su valor luego de 2 años.
Explicar los ciclos reales de la economía ha estado durante décadas en el centro de la investigación macroeconómica. Su evolución se vincula desde los modelos Keynesianos desarrollados en la década del 1960 y 1970, y que por su larga escala e inflexibilidad cayeron bajo la crítica en sus fundamentos teóricos y de identificación por Lucas (1978) y Sims (1980) principalmente, lo que fue un paso intermedio para el origen del contemporáneo método de estimación micro fundamentado mediante modelos DSGE - Dynamic Sthocastic General Equilibrium por su sigla en inglés- introducidos inicialmente por Kydland y Prescott (1982). Estos buscan explicar los ciclos reales desde una perspectiva estructural, donde los agentes económicos adoptan comportamientos optimizadores y beneficiados de expectativas racionales. Estos modelos desembocan en los modernos New Keynesian DSGE models - Modelos NKM DSGE de ahora en adelante- surgidos en la década del 1990 y diferenciándose al incorporar estructuras de precios y de mercado más rígidas, como por ejemplo sticky prices a lo Calvo (1983).
En paralelo a la evolución del terreno teórico, los grandes avances también se adjudicaron al aparato econométrico aplicado a estos modelos. Así, el método de estimación Bayesiano surge como una de las herramientas más prometedoras para estimar y evaluarlos, con reconocidas ventajas en cuanto a su consistencia teórica y poder de explicación en comparación a otros métodos de estimación tales como los Vector Autoregressions (VAR), Vector Error Correction Models (VECM), o Bayesian Vector Autoregressions (BVAR), entre otros1.
El modelo que se desarrolla en el presente trabajo es un NKM DSGE estimado con métodos Bayesianos. Puesto que combinan un sólido marco teórico con un buen ajuste empírico, esta metodología se posiciona como una de las herramientas más atractivas en la estimación econométrica, siendo utilizadas no solo en el ámbito académico sino también en importantes
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5 instituciones de política económica como lo son el Fondo Monetario Internacional (FMI), Banco Central Europeo (ECB) o las Reseras Federales (FED).
La introducción de fricciones en los mercados financieros y aplicados en los modelos DSGE se origina con Bernanke, Gertler y Gilchrist (1999) y Iacovello (2005), pero en este caso los bancos no cumplen aun un rol de intermediación. A diferencia de ello, y tomando como referencia la estructura propuesta por Gerali et al. (2010) para la Unión Europea, y por ende basado en Christiano et al. (2005) y Smets y Wouters (2003), este trabajo incorpora al sector bancario como intermediario financiero con poder monopolístico y rigidez en la determinación de tasas. El fin es poder comprender el rol de los bancos en el ciclo real de la economía mediante el mecanismo de transmisión que ejercen ante shocks de política monetaria, y por ende conocer el impacto que esto genera sobre ellos como sector.
Más específicamente, en la economía propuesta podemos encontrar dos tipos de familias diferenciadas en base a su grado de paciencia, y las empresas. Las primeras consumen, trabajan y acumulan stock de viviendas, en tanto que las empresas producen un bien intermedio homogéneo utilizando capital – adquirido de los productores de capital – y demandan trabajo ofrecido por los individuos mediante sindicatos.
El rol de los bancos es el siguiente: operan en un régimen de competencia monopolística fijando las diferentes tasas para las empresas y los individuos con un ajuste - variable en el tiempo y que depende del costo marginal de producción de préstamos y el costo del capital - aplicado sobre la tasa interbancaria, que a su vez es determinada por una regla de política monetaria llevada a cabo por el Banco Central. La demanda de préstamos está limitada por el valor de garantía de las viviendas para los hogares impacientes y de capital para los empresarios. La financiación de los bancos se origina ya sea mediante el mercado interbancario a una tasa establecida por la autoridad monetaria, recogiendo depósitos de los hogares pacientes - a una tasa establecida por los propios bancos -, o reinvirtiendo ganancias de capital propio.
Los trabajadores representan la oferta laboral mediante sindicatos, los cuales determinan los salarios en orden de maximizar la utilidad de sus miembros sujeto a costos de ajuste de tipo inflacionarios o friccionales. El mecanismo planteado consta en vender las horas de trabajo vinculadas a una amplia gama de servicios a un mercado competitivo representado como agencias de trabajo -que funciona como empacador de trabajo- y que luego las ofrece a favor de las empresas como producto unificado.
Encontramos a su vez dos sectores productivos adicionales: retailers vinculados a un mercado con competencia monopolística, y un sector productor de capital en competencia perfecta.
Si bien es de nuestro conocimiento que los países de Latinoamérica y el Caribe tienen el desafío de lograr un mayor desarrollo de sus sistemas financieros2, encontramos en la región una
2 Véase CEPAL " El sistema financiero en América Latina y Caribe: Una caracterización", Serie Financiamiento
6 distribución desigual en la que Chile se posiciona con superioridad al resto de los países, y en línea con algunos del primer mundo. Esto queda fundamentado al considerar que al año 2011 el 42% de la población mayor a 15 años presentaba cuenta en instituciones financieras, que existía una profundidad del sector bancario de 65% en relación al PBI, una participación de 70% del crédito domestico dirigido al sector privado medido en termino de producto, un ratio de 1.62 en la creación de préstamos mediante depósitos, y ser el único con una capitalización bursátil superior al 100% del PBI. En cuanto a estas características expuestas se basa nuestra motivación para aplicar el modelo en desarrollo a este país latinoamericano.
El modelo es estimado mediante métodos Bayesianos basados en el trabajo de Gerali et.al., (2010) y tomando como referencia trabajos de investigación previamente aplicados en la economía Chilena como lo es Medina, J.P. y C. Soto (2007)3. A su vez, no guiamos mediante evidencias empíricas4 y estimaciones propias5 utilizando datos trimestrales entre los años 1998:Q1 y 2015:Q4.
De esta forma encontramos que nuestros resultados se encuentran en línea a dichos autores, destacando que en Chile existe una alta exposición al riesgo de crédito corporativo, incluso mayor a la estipulada, y una regla de Taylor aplicada por el Banco Central que presenta una ponderación relativamente más alta sobre la inflación en relación a otros agregados de interés, como por ejemplo el crecimiento. Esto genera que un shock contractivo de política monetaria presente un impacto mayor en la volatilidad de los préstamos a empresas a pesar de que el efecto inmediato sobre los créditos destinados a las familias sea mayor, como a su vez una reacción inmediata por la política monetaria con el fin de evitar una caída prolongada en la inflación o desvío de su target. En cuanto al sector Bancario, si bien registra un aumento en su capital al corto plazo inmediato, el mismo se convierte en negativo y recupera su estado estacionario luego de un considerable periodo de tiempo. Cabe destacar que como consecuencia de la estructura planteada, la persistencia de un shock de política monetaria es alta.
El trabajo continua de la siguiente manera. En la segunda etapa presentamos la motivación y fundamento teórico. En la tercera generamos un desarrollo teórico sobre la construcción de los modelos DSGE, en la cuarta presentamos nuestro modelo, luego en la quinta se encuentra el fundamento y resultados de la estimación realizada, y continuamos con la sexta etapa del trabajo donde realizamos el análisis de las funciones de impulso y respuesta como a su vez las propiedades del modelo, y finalizamos en la séptima sección con las conclusiones y resumen.
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Principalmente Medina, J.P. y C. Soto (2007), Christiano et al. (2007) y Good-friend y McCallum (1997).
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Véase en el apéndice bibliográfico las revistas consultadas para FMI y CEPAL.
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2 Repaso histórico, motivación y fundamento
En el siguiente apartado presentamos una descripción de la literatura más relevante como así hechos sobresalientes y vinculados al desarrollo de modelos DSGE que inspiraron nuestra elección como objeto de estudio.
Durante los años 1960 y 1970, los modelos macroeconométricos fueron la principal herramienta disponible para análisis macroeconómico aplicado. Estos se componían por cientos de ecuaciones que vinculaban a las variables de interés con factores explicativos tales como indicadores de política económica. La elección de estos se asociaba a motivos puramente empíricos basados en datos históricos.
A fines de la década de 1970 y principios de 1980, estos modelos fueron objeto de duras críticas. Desde un punto de vista empírico, se enfrentaron con la aparición de procesos de estanflación, lo cual era incompatible con la descendente curva de Phillips tradicional incluida en ellos. Otra crítica fuerte en el aspecto empírico se origina por Sims (1980), quien puso en duda la práctica usual de incorporar variables exógenas, es decir, determinadas fuera del modelo ya que se consideraba un supuesto ad-hoc que excluía mecanismos de retroalimentación entre las variables incluidas en los modelos.
No obstante, la crítica principal se origina por el lado teórico y proviene de Lucas (1976), quien señaló que la estanflación era sólo un reflejo de un problema teórico más general, señalando que los agentes se comportan de acuerdo a un enfoque de optimización dinámica y formación racional de expectativas, considerando las condiciones económicas del pasado, presente y futuro utilizando toda la información disponible. A diferencia de ello y por estar sesgados exclusivamente al pasado, los modelos tradicionales no podían explicar el papel de las expectativas en el comportamiento de agentes económicos, y por lo tanto originando una imperfección a la hora de predecir.
Como respuesta a estas críticas, en la década de 1980 existió un cambio de paradigma cuya génesis se puede encontrar en el trabajo de Kydland y Prescott (1982). En este artículo, las decisiones de los agentes económicos se fundamentaban de forma micro estructural, en el marco de un modelo DSGE, incorporándose expectativas sobre todos los hechos futuros posibles. El modelo de la economía era perfectamente competitivo y sin fricciones, con precios y cantidades con ajuste a su valor de a largo plazo -los niveles óptimos- luego de un shock la impactara. Esto se pretendía describir mediante funciones de impulso y respuesta.
8 Sin embargo, pronto fue objeto de críticas. Una de sus principales limitaciones era que, con precios totalmente flexibles, bajo ciertas condiciones cualquier decisión por parte de la autoridad monetaria no tendría ningún impacto sobre las variables reales y, por tanto, quedaba en duda la existencia del rol de la política monetaria6. Ante las fluctuaciones cíclicas como respuesta óptima de la economía a los shocks exógenos, las políticas de estabilización no serían necesarias e incluso podrían ser contraproducentes ya que desviarían la economía de dicha respuesta óptima, lo que a su vez genera un contraste con la visión keynesiana de generar correcciones por medio de políticas económicas orientadas a la expansión de la demanda agregada.
Las insuficiencias de los modelos RBC comenzaron a ser superadas en la década de 1990 cuando, conservado su estructura original, se comenzaron a introducir algunas hipótesis de lo que sería la denominada Macroeconomía Neokeynesiana, una nueva escuela de pensamiento. Esta escuela comparte el enfoque de modelo RBC en cuanto a que la macroeconomía requiere de microfundamentos rigurosos, como también del uso de modelos DSGE como instrumento principal. Sin embargo, asume que la economía se encuentra sujeta a una variedad de imperfecciones y rigideces, siendo estos los elementos clave para comprender la dinámica del mundo real. Basado en este punto de vista, se introdujo la competencia monopolística y varios tipos de rigideces nominales y reales, así como un conjunto más amplio de perturbaciones aleatorias. Algunos ejemplos notables son la incorporación de precios rígidos siguiendo los estudios referentes como Calvo (1983); los costos de ajuste de capital por Rey (1991); y shocks por el lado de la demanda como en Rotemberg y Woodford (1995).
Entre la literatura relevante donde se destacan las mejoras de los modelos DSGE encontramos los desarrollos recientes vinculados a la pegajosidad nominal a los salarios por Erceg, Henderson y Levin (2000); la introducción de hábitos en la formación de consumo dentro de la función de utilidad por Abel (1990); el precio y la indexación de los salarios y la inclusión de los costos de ajuste en la inversión como en Christiano, Eichenbaum y Evans (2005).
La evolución paralela en la teoría de la econometría
Los principales avances que se lograron con respecto al aparato econométrico han ido de la mano con los modelos DSGE. De hecho, numerosos procedimientos se han propuesto para parametrizar y evaluarlos. En cuanto a ello, y como sugiere Geweke (2006), pueden clasificarse de acuerdo con una interpretación débil o fuerte.
En cuanto a la interpretación débil, encontramos el enfoque vinculado con la calibración. Este método fue propuesto originalmente por Kydland y Prescott (1982), y consta del proceso mediante el cual se atribuyen valores a los parámetros basados en información de estudios previos o desde el conocimiento general, y cuyo fin es obtener un modelo con la mayor capacidad
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9 de replicar determinados hecho estilizados. Otro enfoque incluido en la interpretación débil es el método generalizado de momentos (GMM), aplicado en el caso de Christiano y Eichenbaum (1990), donde los parámetros se eligen de manera tal que las ecuaciones de equilibrio seleccionadas se verifiquen tan precisamente como sea posible.
En lo que respecta a los puntos fuertes sobre la interpretación econométrica de los modelos DSGE encontramos el hecho de tomar en cuenta todo el conjunto de implicancias, tratando de obtener estimaciones que son capaces de proporcionar una caracterización completa de las observaciones. Estos métodos, denominados métodos de información completa, incorporan todas las características posibles en la estimación. Por lo contrario, los modelos vinculados a la interpretación débil se denominan métodos con información limitada, justamente por esta limitación.
Existen básicamente dos métodos dentro de la categoría de interpretación fuerte: el método clásico, y el método Bayesiano para la estimación por máxima verosimilitud (MLE). Ambos métodos se basan en la especificación de una estructura probabilística para el modelo que permite la construcción de una función que expresa la probabilidad de observar un determinado conjunto de datos en base a los parámetros del modelo subyacente. Esta es calculada mediante diferentes combinaciones de parámetros con el fin de encontrar aquella que logra el conjunto de datos considerado más probable – maximiza la función de probabilidad-.
En su versión clásica, las estimaciones de los parámetros se obtienen directamente a partir de este proceso, siendo simplemente valores encontrados para producir el valor máximo de dicha función de probabilidad o verosimilitud. Entre sus aplicaciones vinculadas a modelos DSGE, destacamos autores tales como Kim (2000) e Irland (2001).
En cuanto al método bayesiano de máxima verosimilitud, se incorpora una función adicional denominada a priori – prior de ahora en adelante-, y que representa la probabilidad ex ante que un investigador le atribuye a posibles y diferentes valores de los parámetros. Para ello se fundamenta en consideraciones previas en base a la observación de los datos, estudios anteriores, o en sus creencias personales. Esta información ex ante se combina luego con la información de la verosimilitud, y la función resultante puede ser maximizada con respecto a los parámetros de una manera similar a la descrita previamente, hasta que la combinación de ellos produce el valor más alto de la función objetivo. La aplicación de estas técnicas de estimación en un modelo DSGE se realizó inicialmente por De Jong et al. (2000) y desde entonces han sido adoptadas por varios investigadores.
10 El método de estimación Bayesiana es el más popular dentro de los categorizados como modelos de información completa. En cuanto a sus ventajas relativas, destacamos que la estimación no es sensible al valor estimado de cada parámetro ya que cada uno de ellos es estimado independientemente del valor particular de los otros A su vez, permite incorporan formalmente el uso de información a priori originaria de estudios previos o simplemente reflejada en las opiniones personales del investigador – las funciones prior-, y producen automáticamente una gran gama de información útil y enfocada en lo que es el análisis y la predicción, como por ejemplo, distribuciones de probabilidad para los parámetros, las funciones de impulso respuesta, previsiones, descomposición de varianza, etc.
El desarrollo de un marco econométrico más profundo ha permitido a los modelos DSGE ampliar considerablemente su ámbito de aplicación. Incluso, en muchos casos superan a las herramientas más tradicionales como los VAR, VECMs, BVAR, y paseos aleatorios, entre otros.7
La posibilidad de combinar un fuerte marco teórico con un buen poder explicativo de la evidencia empírica ha convertido modelos NKM DSGE en una de las herramientas más atractivas para la modelización macroeconómica moderna y ha llevado a su uso generalizado. Son objeto de atención no sólo en el ámbito académico, sino también en una serie de instituciones de política económica. Algunos ejemplos destacados entre los organismos que los utilizan son: el FMI ( Fondo Monetario Internacional), cuyo modelo fue presentado en Kumhof y Laxton (2007) y se ha utilizado, por ejemplo, para analizar los efectos de la política fiscal sobre la economía de Estados Unidos; el Banco de Suecia basado en Adolfson, Laséen, Lindé and Villani (2007) para realizar estudios de análisis y predicción; el banco de Finlandia con el modelo AINO desarrollado por Kilponen and Ripatti (2006) y que es utilizado como el modelo principal para realizar predicciones en dicho país; y como último ejemplo destacamos el New Area Wide Model, expuesto por Christiano el et al. (2008), y utilizado por el Banco Central Europeo (ECB).
En cuanto a lo expuesto, los modelos NKM DSGE y su estimación, es ciertamente uno de los campos más interesantes y prometedores en la investigación macroeconómica moderna y que ningún país debe dejar de lado. En Sudamérica, para Argentina, Escude (2009) desarrolla un modelo DSGE que se caracteriza por considerar dos reglas de política monetaria: una para administrar la tasa de interés y otra para reflejar la intervención del Banco Central en el tipo de cambio nominal. Para Brasil, Castro (2011) desarrolla un modelo DSGE, con sector externo, rigideces nominales e inferencia Bayesiana. En el caso de Chile, algunos ejercicios que se han realizado utilizando modelos DSGE, a saber son: Soto y Medina (2007), quien utiliza una versión estimada del Modelo de Análisis y Simulaciones (MAS), un modelo DSGE con rigideces nominales y reales, para describir las fuentes de las fluctuaciones del ciclo económico ante shocks externos.
Sin embargo, no encontramos registros previos de alguna estimación de un modelo NKM DSGE aplicado a Chile cuyo enfoque implica un sistema financiero friccionado y con poder monopólico.
7 Para una mayor amplitud, véase Smets y Wouters (2003), Fernández-Villaverde y Rubio-Ramírez (2004),
11 Por consiguiente, consideramos que se trata de una tarea no sólo legítima sino necesaria, por su contribución, la cual ha llevado al desarrollo del presente estudio.
3 Construcción y solución de los modelos DSGE
En la siguiente sección tenemos como objetivo describir como se estructuran los modelos DSGE, desde su elección, determinación de ecuaciones y métodos para lograr la solución, y así luego poder continuar con la presentación de nuestro modelo.
Asumiendo que su construcción se lleva adelante mediante una receta, podemos decir que un modelo DSGE se inicia con la especificación de las características de la economía que se desea modelar, considerando su entorno, los agentes, sus preferencias, tecnologías y restricciones, como a su vez un conjunto de perturbaciones estructurales a las cuales la economía pueda estar sujeta. Luego se obtienen las soluciones a los problemas de optimización intertemporal de los agentes, lo cual se refleja en un conjunto de condiciones de primer orden que definen sus conductas óptimas de decisión. Luego, las ecuaciones obtenidas a partir de este proceso se someten a los procedimientos de agregación para obtener un conjunto de ecuaciones que describen el comportamiento de los agentes económicos en su conjunto, es decir, a nivel macroeconómico. Además, se especifica una serie de condiciones de equilibrio del mercado para asegurar que todos ellos dentro de la economía se encuentren equilibrados periódicamente.
Combinando las ecuaciones que reflejan decisiones en el comportamiento de los agentes, reglas de política económica y restricciones a nivel agregado junto con las condiciones de equilibrio del mercado y los shocks, se obtiene un sistema de ecuaciones que expresa las variables endógenas del modelo en cada periodo en función del valor pasado, presente y futuro esperado de parámetros que cuantifican las relaciones entre las variables, como también de los shocks exógenos estructurales que afectan a la economía en cada período. Estas ecuaciones, que caracterizan nuestro modelo DSGE, son el punto de partida de un conjunto de operaciones que finalmente permiten lograr el cálculo de una solución única y estable del modelo. A continuación, proporcionamos una descripción de los principales pasos necesarios para lograr esto.
El primero de ellos es la presentación de todas las variables incorporadas en su estado estacionario. Este debe encontrarse bien definido de forma tal que todas ellas regresen a su origen después de que la economía sea golpeada por uno o más shocks temporales.
12 Una vez obtenido el set de ecuaciones que definen el estado estacionario, estas pueden ser expresadas genéricamente en la siguiente expresión matricial:
𝐸𝑡{𝑓(𝑦̂𝑡+1, 𝑦̂𝑡, 𝑦̂𝑡−1, 𝑒𝑡+1, 𝑒𝑡)} = 1 (1)
Aquí, 𝑦̂𝑡 es el vector que contiene las variables endógenas del modelo en su estado estacionario, 1 es un vector de 1´s y 𝑒𝑡es un vector que incorpora los shocks estructurales y exógenos del modelo, los cuales son asumidos como procesos ruido blanco satisfaciendo las siguientes propiedades:
𝐸(𝑒𝑡) = 0; 𝐸(𝑒𝑡𝑒𝑡´) = Σ𝑒; 𝐸(𝑒𝑡𝑒𝑠´) = 0, 𝑡 ≠ 𝑠; 𝑒𝑡~𝑁(0, Σ𝑒)
Lo que buscamos es obtener la solución de modelo, es decir, el sendero óptimo sobre el cual se mueven las variables endógenas cada periodo, siendo consistente con nuestros supuestos y estructuras. Para ello, debemos definir cada variable endógena en función de toda la información disponible. Esto puede ser formalizado mediante la categorización de las variables endógenas como variables de estado o predeterminadas (state), y no predeterminadas (forward – looking). Las primeras son variables que en el momento 𝑡 han sido determinadas, es decir, totalmente conocidos al final del periodo 𝑡 + 1, mientras que la segunda categoría son las variables que sólo se conocen en el periodo 𝑡 + 1. Ahora bien, lo que queremos es expresar las variables endógenas en el momento 𝑡 hacia el futuro como una función del conjunto de información disponible y compuesta por variables endógenas predeterminadas y los shocks que se producen en ese período. Formalmente, deseamos obtener una función 𝑔(. ), llamada policy function, de tal manera que:
𝑦̂𝑡 = 𝑔(𝑦̂𝑡−1, 𝑒𝑡) (2)
De esta forma, podemos reescribir como:
𝑦̂𝑡+1= 𝑔(𝑦̂𝑡, 𝑒𝑡+1) = 𝑔(𝑔(𝑦̂𝑡−1, 𝑒𝑡), 𝑒𝑡+1) (3)
Y sustituyendo (2) y (3) en (1) podemos obtener:
𝐸𝑡{𝑓(𝑔(𝑔(𝑦̂𝑡−1, 𝑒𝑡), 𝑒𝑡+1), 𝑔(𝑦̂𝑡−1, 𝑒𝑡), 𝑦̂𝑡−1, 𝑒𝑡+1, 𝑒𝑡)} = 1 (4)
Lo ideal sería poder obtener la solución de nuestro modelo directamente mediante la manipulación de este sistema de ecuaciones. El problema es que por lo general presentan un alto grado de no linealidad, lo que hace que la tarea de encontrar la expresión exacta para 𝑔 (. ) sea muy difícil. En general, esto no es alcanzable y los investigadores suelen tratar de obtener aproximaciones mediante métodos numéricos. En nuestros próximos pasos, nos centraremos en una estrategia comúnmente utilizada y que corresponde a la aplicada por Dynare8.
Comenzamos definiendo el estado estacionario como aquel estado en el cual no existen shocks, y las variables no dependen del tiempo – no las identificamos con el sub índice 𝑡- asumiéndolas así
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13 constantes en cada periodo en cuanto a la verificación de (1) y (2). Definiendo 𝑦̂̅ como el estado estacionario de 𝑦̂𝑡, ahora podemos representar la situación previa de la siguiente forma:
𝑓(𝑦̂,̅ 𝑦̂,̅ 𝑦̂,̅ 0,0) (5)
𝑦̂̅ = 𝑔(𝑦̂̅, 0) (6)
Luego de haber calculado este estado de equilibrio, cada ecuación de (1) es aproximada por el valor esperado de la expansión de Taylor de primer orden de su logaritmo alrededor del estado estacionario. Como resultado, un nuevo conjunto de ecuaciones se obtiene definiendo un modelo linealmente aproximado cuyas variables endógenas corresponden a las desviaciones porcentuales de las variables originales desde su estado de equilibrio. Utilizando estas ecuaciones, (1) y (2) pueden ser aproximadas de la siguiente manera:
𝐸𝑡{𝑓𝑦𝑡+1𝑦̂̂𝑡+1+ 𝑓𝑦𝑡𝑦̂̂ + 𝑓𝑡 𝑦𝑡−1𝑦̂̂𝑡−1+ 𝑓𝑒+1𝑒𝑡+1+ 𝑓𝑒𝑒𝑡} = 0 (7)
𝑦̂̂ = 𝑔𝑡 𝑦−1𝑦̂̂𝑡−1+ 𝑔𝑒𝑒𝑡 (8)
Aquí, 𝑓𝑦𝑡+1, 𝑓𝑦𝑡e 𝑓𝑦𝑡−1son las matrices de derivadas de 𝑓(. ) con respecto a 𝑦̂𝑡+1, 𝑦̂𝑡 e
𝑦̂𝑡−1respectivamente, y evaluadas en el estado estacionario. Por su lado, 𝑓𝑒+1y 𝑓𝑒son las matrices de derivadas de 𝑓(. )con respecto a 𝑒𝑡+1y 𝑒𝑡, respectivamente, evaluadas en el estado estacionario; 𝑔𝑦−1 es la derivada de 𝑔(. ) respecto de 𝑦̂𝑡−1 en el estado estacionario y por ultimo 𝑔𝑒es la derivada de 𝑔(. )respecto de 𝑒𝑡evaluada en el estado estacionario. A su vez, 𝑦̂̂𝑡+1, 𝑦̂̂ 𝑡y 𝑦̂̂𝑡−1son los vectores que contienen los desvíos porcentuales de las variables endógenas en relación a su estado estacionario en los momentos 𝑡 + 1, 𝑡 𝑦̂ 𝑡 − 1.
La ecuación (7) constituye la forma general de la aproximación log- lineal del modelo y la ecuación (8) expresa las correspondientes variables endógenas forward-looking como una función de las variables de estado endógenas y los shocks, que es el análogo de (2) para la aproximación log-lineal del modelo. Esta se caracteriza como una policy function lineal y aproximada que depende de las matrices 𝑔𝑦−1 y 𝑔𝑒, que son a su vez una función de los parámetros estructurales del modelo, pero cuya composición exacta es aún desconocida. Estas últimas se denominan matrices feedback y feedforward, respectivamente. La primera caracteriza el impacto de las variables de estado endógenas sobre las variables endógenas futuras, mientras que la segunda caracteriza el impacto de los shocks en las variables endógenas futuras.
Una vez que hemos obtenido el comportamiento de las variables endógenas dentro del modelo de aproximación log- lineal, podemos encontrar sus valores originales multiplicando sus desviaciones respecto al estado estacionario por el correspondiente valor que presentan en el estado estacionario, adicionando a su vez este último al valor obtenido, lo que representamos de la siguiente forma:
14 Por lo tanto, y en tanto y en cuanto podamos resolver la aproximación lineal del modelo, es decir, obtener las 𝑔𝑦−1 y 𝑔𝑒 que caracterizan su policy function dada en (8), podremos obtener una solución aproximada para el modelo original mediante el uso de (9) y el estado estacionario calculado previamente. A su vez, somos capaces de encontrar 𝑔𝑦−1 y 𝑔𝑒 mediante la aplicación de alguna de las técnicas ya bien conocidas para la solución de modelos lineales con expectativas racionales (LRE).
Para obtener 𝑔𝑦−1 y 𝑔𝑒se requiere de una serie de complejos procedimientos algebraicos que describimos a continuación, y que para un mayor entendimiento y detalle pueden consultarse en Klein (2000) o Sims (2002).
Comenzamos utilizando (8) para definir:
𝑦̂̂ = 𝑔𝑡 𝑦−1𝑦̂̂𝑡−1+ 𝑔𝑒𝑒𝑡 = 𝑔𝑦−1(𝑔𝑦−1𝑦̂̂𝑡−1+ 𝑔𝑒𝑒𝑡) + 𝑔𝑒𝑒𝑡+1 = 𝑔𝑦−1𝑔𝑦−1𝑦̂̂𝑡−1+ 𝑔𝑦−1𝑔𝑒𝑒𝑡+ 𝑔𝑒𝑒𝑡+1 (10)
Utilizando (8) y (10) podemos reescribir (7) como:
𝐸𝑡{𝑓𝑦𝑡+1(𝑔𝑦−1𝑔𝑦−1𝑦̂̂𝑡−1+ 𝑔𝑦−1𝑔𝑒𝑒𝑡+ 𝑔𝑒𝑒𝑡+1 ) + 𝑓𝑦(𝑔𝑦−1𝑦̂̂𝑡−1+ 𝑔𝑒𝑒𝑡) + 𝑓𝑦𝑡−1𝑦̂̂𝑡−1+ 𝑓𝑒+1𝑒𝑡+1+
𝑓𝑒𝑒𝑡} = 0 ↔ (𝑓𝑦+1𝑔𝑦−1𝑔𝑦−1+ 𝑓𝑦𝑔𝑦−1+ 𝑓𝑦−1)𝑦̂̂𝑡−1+ (𝑓𝑦+1𝑔𝑦−1𝑔𝑒+ 𝑓𝑦𝑔𝑒+ 𝑓𝑒)𝑒𝑡 = 0
(11)
Esta ecuación se tiene que cumplir para cada 𝑦̂̂𝑡−1y 𝑒𝑡, por lo cual las expresiones dentro de los paréntesis deben anularse. Ahora las matrices 𝑔𝑦−1 y 𝑔𝑒 que buscamos deben satisfacer que:
𝑓𝑦+1𝑔𝑦−1𝑔𝑦−1+ 𝑓𝑦𝑔𝑦−1+ 𝑓𝑦−1 = 0 (12)
𝑓𝑦+1𝑔𝑦−1𝑔𝑒+ 𝑓𝑦𝑔𝑒+ 𝑓𝑒 = 0 (13)
Reorganizando la ecuación (11) tenemos:
𝑓𝑦+1𝑔𝑦−1𝑦̂̂𝑡+ (𝑓𝑦𝑔𝑦−1+ 𝑓𝑦−1)𝑦̂̂𝑡−1+ (𝑓𝑦𝑔𝑒+ 𝑓𝑒)𝑒𝑡 = 0 (14)
Ahora podemos expresar una aproximación lineal del modelo, caracterizado por (8) y (14) mediante la siguiente representación matricial:
𝐴𝑥𝑡+1+ 𝐵𝑥𝑡+ 𝐶𝑒𝑡 (15)
Donde,
𝐴 = [0 𝑓𝑦+1
𝐼 0 ] , 𝐵 = [
−𝑓𝑦−1 −𝑓𝑦
0 𝐼 ], 𝑥𝑡 = [ 𝑦̂̂𝑡−1
𝑔𝑦−1𝑦̂̂𝑡−1], 𝐶 = [
−(𝑓𝑦𝑔𝑒+ 𝑓𝑒)
𝑔𝑒 ]
15 parámetros expresados en forma reducida, que son funciones de los parámetros del modelo original. De las múltiples soluciones que presenta este modelo, nos interesa encontrar una única y estable, dado que luego de la introducción de un shock estocástico, queremos que las variables regresen a su estado estacionario mediante una única e identificada trayectoria. Siguiendo Blanchard y Kahn (1980) esto ocurre si la cantidad de autovalores en modulo mayor a 1 que presenta este sistema – denominados explosivos- es igual al número de variables no predeterminadas incluidas dentro del modelo.
Para encontrar los autovalores del sistema, aplicamos la descomposición de Schur a las matrices A y B, lo que produce:
𝐴 = 𝑄𝑇𝑍
𝐵 = 𝑄𝑆𝑍
Donde T y S son matrices triangular superiores en tanto que Q y Z son matrices unitarias.
Ahora podemos computar los autovalores generalizados de (A, B) que resuelven el problema generalizado de autovalores 𝜆𝐴𝑥𝑡 = 𝐵𝑥𝑡, donde 𝜆 es el vector de autovalores generalizados. El i-ésimo autovalor generalizado 𝜆𝑖es computado como el ratio del elemento de la diagonal de S sobre el correspondiente de T: 𝜆𝑖 =
𝑆𝑖𝑖
𝑇𝑖𝑖-.Una vez realizado esto, podemos identificar la condición
de Blanchard y Kahn (1980) en forma sencilla. Y en el caso que se satisfaga, podemos proceder con la identificación de la solución del modelo.
Reordenando las matrices (Q, T, Z, S) de forma que los pares (𝑆𝑖𝑖, 𝑇𝑖𝑖) sean organizados de forma tal que 𝜆𝑖 sea creciente en i, lo cual nos permite separar la parte inestable del sistema, ahora podemos re expresar nuestro sistema como:
𝑄𝑇𝑍𝑥𝑡+1 = 𝑄𝑆𝑍𝑥𝑡+ 𝐶𝑒𝑡 ↔ 𝑄−1𝑄𝑇𝑍𝑥𝑡+1 = 𝑄−1𝑄𝑆𝑍𝑥𝑡+ 𝑄−1𝐶𝑒𝑡 ↔ 𝑇𝑍𝑥𝑡+1 = 𝑆𝑍𝑥𝑡+ 𝑤𝑡
↔ [𝑇011 𝑇𝑇12 22] [
𝑍11 𝑍12
𝑍21 𝑍22] 𝑥𝑡+1 = [
𝑆11 𝑆12 0 𝑆22] [
𝑍11 𝑍12 𝑍21 𝑍22] 𝑥𝑡+ [
𝑤1,𝑡 𝑤2,𝑡]
↔ [𝑇011 𝑇𝑇12 22] [
𝑧1,𝑡+1 𝑧2,𝑡+1] = [
𝑆11 𝑆12 0 𝑆22] [
𝑧1,𝑡 𝑧2,𝑡] + [
𝑧1,𝑡+1 𝑧2,𝑡+1]
Aquí, 𝑇22 y 𝑠22 son las matrices cuya diagonal produce los 𝜆𝑖 > 1, es decir, la parte inestable del sistema.
De esta forma, utilizando el bloque inferior del sistema, podemos reescribir un sub sistema que contenga todos los autovalores explosivos:
𝑇22𝑧2,𝑡+1= 𝑆22𝑧2,𝑡+ 𝑤2,𝑡 (16)
16
𝑧2,𝑡 = 𝑃𝑧2,𝑡+1− 𝑆22−1𝑤2,𝑡 (17)
Tal que 𝑃 = 𝑆22−1𝑇22. Realizando sustitución recursiva para 𝑧2,𝑡+1, 𝑧2,𝑡+2,…,obtenemos:
𝑧2,𝑡 = 𝑃𝑖𝑧2,𝑡+𝑖− ∑𝑖=0∞ 𝑃𝑖𝑆22−1𝑤2,𝑡+𝑖 (18)
Ahora cabe destacar que 𝑃−1= 𝑇22−1𝑆22es la matriz diagonal que contiene los autovalores explosivos y por lo tanto su inversa, P, es una matriz diagonal que contiene la inversa de los autovalores.
De esta forma, 𝑃𝑡 converge a cero cuando t tiende a infinito, implicando:
𝑃𝑖𝑧
2,𝑡+𝑖 = 0 (19)
Por lo cual, 𝑧2,𝑡puede ser escrito como:
𝑧2,𝑡 = − ∑ 𝑃𝑖−1 ∞
𝑖=0
𝑆22−1𝑤2,𝑡+𝑖
Esto significa que 𝑧2,𝑡 puede ser expresado de forma independiente como una función de shocks futuros cuyo valor esperado en el momento t es cero, implicando:
𝑧2,𝑡= 0 ↔ [𝑍21 𝑍22]𝑥𝑡 = 0 ↔ [𝑍21 𝑍22] [ 𝑦̂̂𝑡
𝑔𝑦−1𝑦̂̂𝑡] ↔ 𝑍21𝑦̂̂𝑡+ 𝑍22𝑔𝑦−1𝑦̂̂𝑡 = (𝑍21+ 𝑍22𝑔𝑦−1)𝑦̂̂𝑡 = 0
Dado que tiene que ser válido para todo 𝑦̂̂𝑡,
(𝑍21+ 𝑍22𝑔𝑦−1) = 0 (21)
Luego, siendo invertible 𝑍22,
𝑔𝑦−1= −𝑍22−1𝑍21 (22)
Por lo cual, si la condición de Blanchard – Kahn como a su vez la de rango sobre 𝑍22 se cumplen, podemos encontrar la matriz 𝑔𝑦−1 de (22), lo cual produce una única y estable solución para el modelo.
Una vez recuperado 𝑔𝑦−1, de (13) resulta sencillo recuperar 𝑔𝑒,
𝑔𝑒= −(𝑓𝑦+1𝑔𝑦−1𝑔𝑒+ 𝑓𝑦)
−1𝑓
𝑒 (23)
Ahora podemos encontrar la solución a nuestro modelo remplazando las expresiones encontradas para 𝑔𝑒 y 𝑔𝑦−1 en (8),
17 Esta última ecuación representa en forma reducida un modelo DSGE, que si bien presenta la misma forma funcional de un modelo VAR, se diferencia en el hecho de que incorpora restricciones en los coeficientes de las matrices 𝑔𝑒 y 𝑔𝑦−1, los cuales se relacionan directamente con la estructura del modelo.
Luego de haber encontrado la forma matricial de 𝑔𝑒 y 𝑔𝑦−1simplemente tenemos que definir algunas condiciones iniciales para las variables endógenas, 𝑦̂̂0, y obtener los valores de los parámetros del modelo, y así poder utilizar el modelo para todo tipo de experimentos computacionales. Por razones que se aclararán posteriormente, imponemos el supuesto de que las condiciones iniciales se han extraído de una distribución normal.
Nuestro enfoque para encontrar las estimaciones de parámetros se basa en el método bayesiano estimado por máxima Verosimilitud (MLE). Por lo tanto, a lo largo las siguientes subsecciones nuestro foco se centrará en su explicación metodológica en cuanto a los procedimientos asociados a ella, y los análisis de resultados correspondientes. Pero previamente, procedemos con la introducción del modelo NKM DSGE aplicado en este trabajo a la economía Chilena.
4 Modelo
Tal como fue indicado en la introducción, el presente trabajo se lleva a cabo sobre la misma estructura propuesta por Gerali et. Al (2010) para la Unión Europea9, y a continuación procedemos a generar una descripción e interpretación sobre el modelo aplicado.
En la economía vamos a asumir que existen dos tipos de familias diferenciadas en base a su grado de paciencia, y las empresas. Las primeras consumen, trabajan y acumulan stock de viviendas, en tanto que las empresas producen un bien intermedio homogéneo utilizando capital – adquirido de los productores de capital – y demandan trabajo ofrecido por los individuos mediante sindicatos.
El rol de los bancos es el siguiente: operan en un régimen de competencia monopolística fijando las diferentes tasas para las empresas y los individuos con un ajuste -sobre la tasa interbancaria- que es variable en el tiempo y depende del costo marginal de producción de préstamos y el costo del capital. La demanda de préstamos está limitada por el valor de garantía de las viviendas para los hogares impacientes y de capital para los empresarios. La financiación de los bancos se origina ya sea mediante el mercado interbancario a una tasa establecida por la autoridad monetaria, recogiendo depósitos de los hogares pacientes - a una tasa establecida por los propios bancos -, o reinvirtiendo ganancias de capital propio.
Los trabajadores representan la oferta laboral mediante sindicatos, los cuales determinan los salarios en orden de maximizar la utilidad de sus miembros sujeto a costos de ajuste de tipo inflacionarios o friccionales. El mecanismo planteado consta en vender las horas de trabajo
9 Consecuentemente con lo expuesto, se sugiere al lector consultar el desarrollo teórico en el trabajo
18 vinculadas a una amplia gama de servicios a un mercado competitivo representado como agencias de trabajo -que funciona como empacador de trabajo- y que luego las ofrece a favor de las empresas como producto unificado.
Encontramos a su vez dos sectores productivos adicionales: retailers vinculados a un mercado con competencia monopolística, y un sector productor de capital en competencia perfecta.
4.1 Familias y Empresas
Recordamos nuevamente que existen dos tipos de familias diferenciadas por su grado de paciencia caracterizada por el factor de descuento 𝛽𝑃 (pacientes) y 𝛽𝐼 (impacientes), y a su vez las empresas 𝛽𝐸. Estos factores presentan un ordenamiento descendente en cuanto a su grado paciencia.
4.1.1 Familias pacientes
Este grupo de familias maximiza la siguiente función de utilidad esperada:
𝐸0∑ 𝛽𝑃𝑡𝜀𝑡𝑧 ∞
𝑡=0
[log(𝑐𝑡𝑃(𝑖) − 𝑎𝑃𝑐𝑡−1𝑃 ) + 𝜀𝑡ℎlog ℎ𝑡𝑃(𝑖) −
𝑙𝑡𝑃(𝑖)1+∅
1 + ∅ ]
La misma depende del consumo corriente 𝑐𝑡𝑃(𝑖) y el del periodo previo ajustados por el grado de formación de consumo 𝑎𝑃, servicios inmobiliarios ℎ𝑡𝑃(𝑖) y horas trabajadas 𝑙𝑡𝑃(𝑖), e incorpora dos shocks 𝜀𝑡𝑧 y 𝜀𝑡ℎ correspondientes a las preferencias y formación de vivienda10, respectivamente.
Esta decisión queda sujeta a una restricción presupuestaria, de forma tal que en términos reales el flujo de gastos compuesto por consumo, acumulación de vivienda y depósitos corrientes no exceda los ingresos salariares, intereses acumulados por ahorro en el periodo previo y transferencias recibidas en suma fija. Esta última incluye la membresía al sindicato, participaciones distribuidas por las empresas retailers 𝐽𝑡𝑅 y dividendos provenientes del sector bancario
(1 − 𝜔𝑏)𝐽𝑡−1𝐵
𝜋𝑡.
𝑐𝑡𝑃(𝑖) + 𝑞𝑡ℎ∆ℎ𝑡𝑃(𝑖) + 𝑑𝑡𝑃(𝑖) ≤ 𝑊𝑡𝑃𝑙𝑡𝑃(𝑖) +
(1+𝑟𝑡−1𝑑 )
𝜋𝑡 𝑑𝑡−1
𝑃 (𝑖) + 𝑇
𝑡𝑃 (25)
4.1.2 Familias impacientes
Análogamente, las familias impaciente - 𝛽𝐼 más pequeño- realizan una maximización similar, diferenciándose en que no son dueños de empresas retailers ni generan depósitos.
10
19
𝐸0∑ 𝛽𝐼𝑡𝜀𝑡𝑧 ∞
𝑡=0
[log(𝑐𝑡𝐼(𝑖) − 𝑎𝐼𝑐𝑡−1𝐼 ) + 𝜀𝑡ℎlog ℎ𝑡𝐼(𝑖) −
𝑙𝑡𝐼(𝑖)1+∅ 1 + ∅ ]
Su restricción en términos reales implica que el flujo de gastos compuesto por consumo, acumulación de vivienda y pagos de intereses de préstamos tomados en el periodo previo no exceda los ingresos salariares, nuevos préstamos y transferencias de suma fija – compuesto únicamente la membresía al sindicato-.
𝑐𝑡𝑃(𝑖) + 𝑞𝑡ℎ∆ℎ𝑡𝑃(𝑖) +
(1+𝑟𝑡−1𝑏𝐻)
𝜋𝑡 𝑏𝑡−1
𝐼 ≤ 𝑊
𝑡𝐼𝑙𝑡𝐼(𝑖) + 𝑏𝑡𝐼(𝑖) + 𝑇𝑡𝐼 (26)
Este grupo de individuos enfrenta a su vez a una nueva restricción a la hora de endeudarse cuya exigencia implica que el valor de las viviendas utilizadas como colaterales sea suficiente como para garantizar a los bancos prestadores un cierto valor ante la ocurrencia de default:
(1 + 𝑟𝑡𝑏𝐻)𝑏𝑡𝐼(𝑖) ≤ 𝑚𝑡𝐼[𝑞𝑡+1ℎ ℎ𝑡𝐼(𝑖)𝜋𝑡+1] (27)
En ella incluimos y definimos 𝑚𝑡𝐼 como un proceso estocástico de la forma 𝑚𝑡𝐼 = (1 − 𝜌𝑚𝐼)𝑚̅𝐼+
𝜌𝑚𝐼𝑚𝑡−1𝐼 + 𝑛𝑡 𝑚𝐼11
que representa el LTV value12 para hipotecas. Un supuesto que se realiza en este trabajo, y al igual que en Iacovello (2005), es que en ausencia de incertidumbre esta restricción presupuestaria y el shock al cual es susceptible no se transmite al otro grupo de individuos – familias pacientes-. A su vez, incorporar esta restricción resulta determinante para estudiar los efectos de las fricciones sobre la oferta de crédito en el ciclo real de la economía, hecho que origina la crisis financiera de 2008, por ejemplo.
4.1.3 Empresas
En esta economía encontramos infinidad de empresarios, quienes se preocupan por su propio consumo 𝑐𝑡𝐸(𝑖) y maximizan la siguiente función de utilidad:
𝐸0∑ 𝛽𝐸𝑡 ∞
𝑡=0
[log(𝑐𝑡𝐸(𝑖) − 𝑎𝐸𝑐𝑡−1𝐸 )]
Aquí 𝑎𝐸, al igual que en los casos previos, representa la formación de los hábitos de consumo y 𝛽𝑡𝐸 es asumido con un valor inferior al correspondiente de los individuos pacientes e impacientes, resultando así deudores netos.
11𝑛 𝑡 𝑚𝐼11
sigue un proceso normal, independiente e idénticamente distribuido con 𝑚̅𝐼calibrado para estado
estacionario.
12(1 − 𝑚 𝑡
𝐼) representa el costo proporcional de reposición para el banco considerando un default por parte
de los individuos. Ejemplo: si 𝑚𝑡𝐼 = 0.4, entonces la reposición para el banco es del 60% reconocido el
20 La función de producción corresponde a una Cobb-Douglas utilizada por Iacovello y Neri (2008) e incluye un stock físico de capital 𝑘𝑡𝐸, capacidad de utilización 𝑢(𝑖) y horas de trabajo 𝑙𝑡𝐸. A su vez, incluye un shock exógeno 𝑎𝑡𝐸13 sobre la productividad – shock tecnológico-.
𝑦̂𝑡𝐸(𝑖) = 𝑎𝑡𝐸[𝑘𝑡−1𝐸 (𝑖)𝑢(𝑖)]𝛼𝑙𝑡1−𝛼 (28)
El producto es vendido en un mercado competitivo a precio 𝑃𝑡𝑤y tienen acceso a contrato de préstamos 𝑏𝑡𝐸(𝑖). La restricción presupuestaria a la cual se enfrentan incluye gasto en mano de obra, el costo de capital expresado en términos de consumo, el costo de establecer un nivel de utilización14, todo ello expresado en términos reales tal que definimos 𝑥𝑡 =
𝑃𝑡
𝑃𝑡𝑊.
𝑐𝑡𝐸(𝑖) + 𝑊𝑡𝑙𝑡𝐸(𝑖) +
(1+𝑟𝑡−1𝑏𝐸) 𝜋𝑡 𝑏𝑡−1
𝐸 + 𝑞
𝑡𝑘𝑘𝑡𝐸(𝑖) + 𝜑(𝑘𝑡−1𝐸 (𝑖)𝑢(𝑖)) = 𝑦𝑡𝐸(𝑖)
𝑥𝑡 + 𝑏𝑡
𝐸(𝑖) + 𝑞 𝑡𝑘(1 −
𝑑)𝑘𝑡−1𝐸 (𝑖) (29)
Al igual que para los individuos impacientes, las empresas se enfrentan a una adicional restricción a la hora de endeudarse sujeta al valor de su colateral, que en este caso es el capital físico de su propiedad, y cuya acumulación queda sujeta al valor.
(1 + 𝑟𝑡𝑏𝐸)𝑏𝑡𝐸(𝑖) ≤ 𝑚𝑡𝐸𝐸𝑡[𝑞𝑡+1𝑘 (1 − 𝑑)𝑘𝑡𝐸(𝑖)𝜋𝑡+1] (30)
Definimos 𝑚𝑡𝐸 como el LTV value para empresas con análoga distribución, significado e impacto en su efecto amplificador en los shocks de política monetaria al correspondiente para individuos impacientes. Destacamos que tanto para familias como empresas, se presentan en el apéndice D las condiciones de primer orden.
13 Proceso AR (1) con errores distribuidos normal, independiente e idénticamente. 14𝜑(𝑢𝑡) = 𝜖
1 (𝑢𝑡− 1) + 𝜖2
2 (𝑢𝑡− 1)
21
4.1.4 Demanda de préstamos y depósitos
Siguiendo el marco de referencia llevado a cabo por Dixit-Stiglits en mercados bienes, Gerali et. Al. (2010) aplica al mercado financiero el supuesto de que los individuos deben demandar contratos de depósito (préstamo) de cada banco individual 𝑗 en orden de ahorrar (endeudar) una unidad de recurso, lo cual nos permite capturar la existencia de poder de mercado en la industria. A su vez suponemos que cada unidad de depósito y préstamos contratada por las familias y empresas a una determinada sucursal bancaria es parte de una canasta de productos diferenciados con elasticidades de sustitución 𝜺𝒕𝒅, 𝜺
𝒕 𝒃𝑯𝒚 𝜺
𝒕
𝒃𝑬, respectivamente. Estas últimas tres son definidas como procesos estocásticos y nos permite conocer el mecanismo de transmisión que ejerce el sector financiero dado el efecto sobre los ajustes en las tasas activas y pasivas que surgen en forma independiente a la de política monetaria, y por lo tanto el spread bancario, estudiando consecuentemente su efecto sobre la economía real.
Maximizando (minimizando) beneficios (rembolsos) y sujeto a condiciones tecnológicas y disponibilidad, presentamos a continuación las funciones de demanda de depósitos y préstamos.
Refiriéndonos nuevamente al marco de referencia llevado a cabo por Dixit-Stiglits, la demanda de un préstamo o depósito depende de la tasa de interés de un determinado banco 𝑗 relativa al promedio vigente en la economía. Considerando una familia impaciente, que busca tomar un préstamo 𝑏𝑡𝐻(𝑖), parte de minimizar la trayectoria del total a pagar 𝑚𝑖𝑛⏟
{𝑏𝑡𝐻(𝑖,𝑗)}
∫ 𝑟𝑡𝑏𝐻(𝑗)𝑏
𝑡𝐼(𝑖, 𝑗)𝑑𝑗 1
0
sujeto a [∫ 𝑏𝑡𝐻(𝑖, 𝑗)
𝜀𝑡𝑏𝐻−𝟏 𝜀𝑡𝑏𝐻 𝑑𝑗
1
0 ]
𝜀𝑡𝑏𝐻 𝜀𝑡𝑏𝐻−𝟏
≥ 𝑏𝑡𝐼(𝑖) , tal que 𝑏𝑡𝐼(𝑖) = 𝛾𝐼𝑏𝑡𝐼(𝑖) indica la demanda agregada
por préstamos en términos reales, y 𝛾𝑠, 𝑠 ∈ (𝑃, 𝐼; 𝐸) representa la unidad de medición de cada subconjunto de agente. En tanto que para el caso de las empresas el proceso es análogo, a la hora de generar un depósito por parte de la familia paciente proceso consta en maximizar 𝑚𝑎𝑥⏟
{𝑑𝑡𝑃(𝑖,𝑗)}
∫ 𝑟𝑡𝑑(𝑗)𝑑𝑡𝑃(𝑖, 𝑗)𝑑𝑗 1
0 sujeto a la tecnología agregada [∫ 𝑑𝑡 𝑃(𝑖, 𝑗)
𝜀𝑡𝑑−𝟏 𝜀𝑡𝑑 𝑑𝑗
1
0 ]
𝜀𝑡𝑑 𝜀𝑡𝑑−𝟏
≥ 𝑑𝑡𝑃(𝑖).
Ahora bien, generando una agregación de las condiciones de primer orden, obtenemos las funciones de demanda:
𝑏𝑡𝐻(𝑗) = ( 𝑟𝑡𝑏𝐻(𝑗)
𝑟𝑡𝑏𝐻 ) −𝜺𝒕𝒃𝑯
𝑏𝑡𝐼 (31) , 𝑑𝑡𝑃(𝑗) = ( 𝑟𝑡𝑑(𝑗)
𝑟𝑡𝑑 ) −𝜺𝒕𝒅
𝑑𝑡 (32) , 𝑏𝑡𝐸(𝑗) = ( 𝑟𝑡𝐸(𝑗)
𝑟𝑡𝐸 ) −𝜺𝒕𝒃𝑬
𝑏𝑡𝐸 (33)
Y sus respectivas tasas de interés:
𝑟𝑡𝑏𝐻(𝑗) = [∫ (𝑟𝑡𝑏𝐻(𝑗)) 1−𝜺𝒕𝒃𝑯 1
0 ]
1 1−𝜺𝒕𝒃𝑯
, (34) 𝑟𝑡𝑑(𝑗) = [∫ (𝑟𝑡𝑏𝐻(𝑗)) 1−𝑑 1
0 ]
1
22
4.1.5 Mercado Laboral
Tal como se describe en Gerali et. Al (2010) se asume que existe “n” tipos de servicios de trabajo prestados y cada uno de ellos es representado por dos tipos de sindicatos diferenciados según corresponde a los grupos de individuos pacientes e impacientes, previamente definidos. Cada sindicato determina el salario maximizando un promedio ponderado de las utilidades de sus integrantes sujeto a una elasticidad de sustitución constante 𝜺𝒕𝒍15, y un ajuste cuadrático en costos (ponderado por 𝜅𝑤) los cuales son cubiertos mediante el cobro de una suma fija a cada uno de sus miembros. Existe a su vez una indexación ajustada por 𝜄𝑤 a un promedio ponderado de inflación previa y de estado estacionario.
Asumimos que en equilibrio la decisión de oferta laboral de cada familia depende de un ajuste por expectativas mediante una curva de Phillips, y por el lado de la demanda asumimos que existen agencias laborales que compran estas horas diferenciadas a los sindicatos, luego las transforman en un producto homogéneo y luego las venden a las empresas productoras de bienes intermedios como insumo en mercado competitivo, resultando la siguiente demanda por trabajo para cada familia:
𝑙𝑡(𝑛) = ( 𝑊𝑡(𝑛)
𝑊𝑡 )
−𝜺𝒕𝒍
𝑙𝑡 (36)
Aquí, 𝑊𝑡es el salario agregado de la economía, y destacamos que la elasticidad de demanda de trabajo implica un proceso de ajuste 𝜂𝑡𝑙, que se distribuye de forma normal con media cero y desvío estándar 𝜎𝑙.
4.2
Bancos
Los bancos ocupan un rol central en nuestro modelo dado que bajo competencia monopolística, y mediante los instrumentos monetarios de depósitos y préstamos, son los únicos intermediarios entre los agentes. Como fue mencionado previamente, este tipo de mercado facilita la adopción de ajustes sobre las respectivas tasas de interés activas y pasivas antes shocks o ciclos reales de la economía, permitiéndonos asumir su efecto amplificador.
Estos intermediarios financieros enfrentan la siguiente identidad contable 𝐵𝑡 = 𝐷𝑡+ 𝐾𝑡𝐵, de forma que los préstamos otorgados deben ser financiados mediante depósitos que captura o su propio capital. A estos últimos los consideramos como sustitutos imperfectos con una relación no lineal, y que basados en una exógena relación de apalancamiento (capital – to assest), como a su vez restricciones de tipo Basilea II, optimiza sus recursos en la correspondiente determinación de fondeo de préstamos. En cuanto a lo expuesto, podemos identificar el origen de un ciclo del crédito que ubica a los bancos con un grado de influencia amplificadora del ciclo real de la
15
23 economía, ya que su capacidad de financiamiento depende de ingresos que obtiene, los cuales dependen de la etapa de expansión/retracción, generándose así un componente pro cíclico.
En orden de una mejor caracterización, asumimos cada banco del sector financiero está compuesto por dos unidades retail -o minorista -y una wholesale -mayorista o central-. Las dos primeras capturan depósitos y otorgan préstamos de forma independiente, la segunda controla la exposición al riesgo de crédito e interviene el mercado interbancario. En ambas situaciones existe poder monopólico en la determinación de tasas.
4.2.1 Banco mayorista – Wholesale-.
Estos presentan su patrimonio reflejado en el capital 𝐾𝑡𝑏, depósitos en sus pasivos y prestamos en los activos. Los costos que enfrentan se vinculan con el grado de apalancamiento – relación capital/activo=𝐾𝑡𝐵/𝐵𝑡, en la medida que se aleja del parámetro exógeno 𝑣𝑏 =0.0916. Aquí existe un trade off dado que a la hora de generar capital tienen incentivos a un alto grado de apalancamiento, lo cual genera simultáneamente un costo cuadrático al alejarse dicho umbral.
El capital es acumulado periódicamente -neto de ingresos retenidos- de la siguiente forma:
𝐾𝑡𝑏,𝑛(𝑗) = (1 − 𝑑𝑏)𝐾𝑡−1𝑏,𝑛(𝑗) + 𝑤𝑏𝐽𝑡−1𝑏,𝑛(𝑗) (37)
Donde 𝐾𝑡𝑏,𝑛(𝑗) es el capital de un Banco j, 𝐽𝑡𝑏,𝑛(𝑗) son los ingresos generados por las tres líneas bancarias, (1-𝑤𝑏)la política de distribución de dividendos y 𝛿𝑏la utilización de recursos en su conducción.
Ahora bien, la decisión a la que se enfrentan los bancos en su unidad mayorista es maximizar beneficios mediante la selección óptima del stock de préstamos y depósitos, utilizando como factor de descuento el correspondiente a las familias pacientes Λ𝑡0,𝐼, dado que son propiedad de ellas:
𝐸0∑ Λ𝑡0,𝐼 ∞
𝑡=0
[(1 + 𝑅𝑡𝑏)𝐵𝑡(𝑗) − (1 + 𝑅𝑡𝑑)𝐷𝑡(𝑗) − 𝐾𝑡𝑏(𝑗) −2 𝜅𝑘𝑏(𝐾
𝑡𝐵(𝑗)/𝐵𝑡(𝑗)𝑣𝑏) 2
𝐾𝑡𝑏(𝑗)]
Sujeto a 𝐵𝑡(𝑗) = 𝐷𝑡(𝑗) + 𝐾𝑡𝐵(𝑗)
La condición de primer orden resultante arroja una relación entre el spread de tasas activa 𝑅𝑡𝑏 y pasiva 𝑅𝑡𝑑 con el grado de apalancamiento, y asumiendo que los bancos pueden invertir sus excesos en depósitos en el Banco Central (o bono libre de riesgo) a una tasa 𝑅𝑡𝑑= 𝑟𝑡, se resume la determinación optima de préstamos sujeto a un stock de capital.
16
24
𝑆𝑡𝑊= 𝑅𝑡𝑏− 𝑟𝑡 = −𝜅𝑘𝑏( 𝐾𝑡𝐵
𝐵𝑡) 2
(𝐾𝑡𝐵
𝐵𝑡 − 𝑣
𝑏) (38)
4.2.2 Banco minorista – retailers-.
Una vez más se presenta competencia monopolística y la diferenciamos entre líneas que prestan y líneas que captan depósitos en forma independiente.
Bancos de préstamos: obtienen préstamos mayoristas de la banca mayorista a una tasa 𝑅𝑡𝑏 diferenciándolos sin costos marginales y aplicando respectivos ajustes de tasa en su colocación a individuos o empresas, lo cual genera costos cuadráticos parametrizados con 𝜅𝑏𝐻 y 𝜅𝐸𝐻 respectivamente.
Su proceso de maximización de funda en maximizar beneficios mediante la selección del vector de tasas 𝑟𝑡𝑏𝐻𝑦̂ 𝑟𝑡𝑏𝐸, siendo λ0,𝐼𝑃 el factor de descuento de las familias pacientes, de forma que:
𝑚𝑎𝑥⏟ 𝑟𝑡𝑏𝐻(𝑗),𝑟𝑡𝑏𝐸(𝑗)
𝐸0∑ λ0,𝐼𝑃 ∞
𝑡=0
[𝑟𝑡𝑏𝐻(𝑗)𝑏𝑡𝐻(𝑗) + 𝑟𝑡𝑏𝐸(𝑗)𝑏𝑡𝐸(𝑗) − 𝑅𝑡𝑏𝐵𝑡(𝑗) −2 𝜅𝑘𝐻
(𝑟𝑡 𝑏𝐻(𝑗)
𝑟𝑡𝑏𝐻(𝑗) − 1)
2 𝑟𝑡𝑏𝐻𝑏
𝑡𝐻
−𝜅𝑘𝐸
2 (
𝑟𝑡𝑏𝐸(𝑗) 𝑟𝑡𝑏𝐸(𝑗)
− 1) 2
𝑟𝑡𝑏𝐸𝑏𝑡𝐸]
Sujeto a
𝑏𝑡𝐻(𝑗) = ( 𝑟𝑡𝑏𝐻(𝑗)
𝑟𝑡𝑏𝐻 ) −𝜺𝒕𝒃𝑯
𝑏𝑡𝐻, 𝑏𝑡𝐸(𝑗) = ( 𝑟𝑡𝐸(𝑗)
𝑟𝑡𝐸 ) −𝜺𝒕𝒃𝑬
𝑏𝑡𝐸 tal que 𝑏𝑡𝐻(𝑗) + 𝑏𝑡𝐸(𝑗) = 𝐵𝑡(𝑗)
Resultando como condición de primer orden,
1 − 𝜀𝑡𝑏𝑠+ 𝜀𝑡𝑏𝑠 𝑅𝑡
𝑏
𝑟𝑡𝑏− 𝜅𝑏𝑠( 𝑟𝑡𝑏𝑠 𝑟𝑡−1𝑏𝑠 − 1)
𝑟𝑡𝑏𝑠
𝑟𝑡−1𝑏𝑠 + 𝛽𝑝𝐸𝑡{ λ1+𝑡𝑃
λ𝑡𝑃 𝜅𝑏𝑠( 𝑟𝑡+1𝑏𝑠
𝑟𝑡𝑏𝑠 − 1) ( 𝑟𝑡+1𝑏𝑠
𝑟𝑡𝑏𝑠) 2
𝑏𝑡+1𝐸
𝑏𝑡𝐸 } = 0 (39)
Considerando el caso de 𝜀𝑡𝑏𝑠 como proceso no estocástico, la versión log lineal nos permite determinar la tasa activa, y que depende de la trayectoria esperada de la tasa de mercado, como a su vez de en nivel de capitalización y la regla de política monetaria.
𝑟 𝑡𝑏𝑠 =
𝜅𝑏𝑠
𝜀𝑡𝑏𝑠−1+(1+𝛽𝑃)𝜅𝑏𝑠𝑟 𝑡−1
𝑏𝑠 + 𝛽𝑃𝜅𝑏𝑠
𝜀𝑡𝑏𝑠−1+(1+𝛽𝑃)𝜅𝑏𝑠𝐸𝑡𝑟 𝑡−1
𝑏𝑠 + 𝜀𝑡𝑏𝑠−1
𝜀𝑡𝑏𝑠−1+(1+𝛽𝑃)𝜅𝑏𝑠𝑅̂𝑡
𝑏 (40)
Al caso de tasas perfectamente flexibles definimos 𝑟𝑡𝑏𝑠 = 𝜀𝑡𝑏𝑠 𝜀𝑡𝑏𝑠−1𝑅𝑡
𝑏 (41), observando el ajuste
superior, y determinado su correspondiente spread 𝑆𝑡𝑏𝑠 = 𝑟𝑡𝑏𝑠− 𝑟𝑡 = 𝜀𝑡𝑏𝑠 𝜀𝑡𝑏𝑠−1𝑆𝑡𝑊+
25 A partir de ella podemos interpretar de forma clara el rol de los shocks aleatorios, expresados como procesos estocásticos, cuyo origen repercute directamente al spread, y por lo tanto, capital de los bancos.
Bancos de Deposito: Estos operan de forma análoga a los bancos de préstamos. Capturan depósitos por parte de las familias y generan un nuevo depósito en el banco mayorista, recibiendo a cambio una tasa 𝑟𝑡. Su problema de maximización radica en la selección de una tasa 𝑟𝑑𝑡(j), a la cual aplica el correspondiente ajuste por poder monopolístico:
𝑚𝑎𝑥⏟ 𝑟𝑡𝑑(𝑗),)
𝐸0∑ λ0,𝑡𝑃 ∞
𝑡=0
[𝑟𝑡𝐷𝑡(𝑗) − 𝑟𝑡𝑑(𝑗) 𝑑𝑡(𝑗) − 𝜅𝑑
2 (
𝑟𝑡𝑑(𝑗) 𝑟𝑡−1𝑑 (𝑗)− 1)
2 𝑟𝑡𝐷𝑡]
Sujeto a la demanda por depósitos 𝑑𝑡𝑃(𝑗) = ( 𝑟𝑡𝑑(𝑗)
𝑟𝑡𝑑 ) −𝜺𝒕𝒅
, tal que 𝜅𝑑parametriza el costo de ajuste
en la tasa de interés, la condición de primero orden resultante es:
1 − 𝜀𝑡𝑑− 𝜀 𝑡𝑑 𝑟𝑟𝑡
𝑡𝑑
− 𝜅𝑑( 𝑟𝑡𝑑 𝑟𝑡−1𝑑 − 1)
𝑟𝑡𝑑
𝑟𝑡−1𝑑 + 𝛽𝑝𝐸𝑡{
λ1+𝑡𝑃 λ𝑡𝑃 𝜅𝑑(
𝑟𝑡+1𝑑 𝑟𝑡𝑑 − 1) (
𝑟𝑡+1𝑑 𝑟𝑡𝑑)
2 𝑑𝑡+1
𝑑𝑡 } = 0 (42)
Considerando el caso donde 𝜀𝑡𝑑 es un proceso no estocástico, la versión log lineal nos permite determinar la tasa pasiva, que depende de la trayectoria esperada de la tasa de mercado, como a su vez en forma negativa en el grado de ajuste y de forma positiva en el grado de competencia en el mercado.
𝑟 𝑡𝑑 =
𝜅𝑑
𝜀𝑡𝑑+1+(1+𝛽𝑃)𝜅𝑑𝑟 𝑡−1
𝑑 + 𝛽𝑃𝜅𝑑
𝜀𝑡𝑑+1+(1+𝛽𝑃)𝜅𝑑𝐸𝑡𝑟 𝑡−1
𝑑 + 𝜀𝑡𝑑+1
𝜀𝑡𝑑+1+(1+𝛽𝑃)𝜅𝑑𝑟 𝑡 (43)
En el caso de tasas perfectamente flexibles, podemos indicar que 𝑟𝑡𝑑 = 𝜀𝑡𝑑 𝜀𝑡𝑑−1𝑟𝑡 =
|𝜀𝑡𝑑|
|𝜀𝑡𝑑|+1𝑟𝑡 (44), tal que 𝜀𝑡𝑑 < 0 .
4.3
Retailers
Estos cumplen un rol de intermediación ya que adquieren el bien intermedio por parte de las empresas a un precio 𝑃𝑡𝑊y lo convierten en bien final sin costo alguno, para luego venderlos en el mercado mayorista aplicando un ajuste en su precio. Su elasticidad de sustitución 𝜀𝑡𝑦 sigue un proceso autor regresivo AR (1)17, y asumimos que los precios se ajustan en base a una indexación combinada por la ponderación a una razón θ entre la inflación correspondiente al estado estacionario y la del periodo previo. En el caso que elijan ajustar sus precios por encima de lo que la indexación permite, se enfrentan a su vez un costo de ajuste adicional.
17
