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Prueba de sistemas ópticos en eje y fuera de eje, integrando perfiles de frente de onda obtenidos por la ecuación del transporte de irradiancia (ETI)

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(1)

Prueba de sistemas ópticos en eje y fuera de eje,

integrando perfiles de frente de onda obtenidos por

la ecuación del transporte de irradiancia (ETI)

por

M. C. Luis Rodríguez Castillo

Tesis sometida como requisito parcial

para obtener el grado de

Doctor en Ciencias en la especialidad de Óptica

en el

Instituto Nacional de Astrofísica,

Óptica y Electrónica.

Junio 2011 Tonantzintla, Puebla

Supervisada por

Dr. Fermín S. Granados Agustín

Dr. Alejandro Cornejo Rodríguez

INAOE

Dra. Eva Acosta Plaza

©

(2)

RESUMEN

Se presenta el estudio de una prueba óptica para obtener el frente de onda de superficies con simetría esférica y no esférica a través de la integración directa de la ecuación uni-dimensional del transporte de irradiancia (ETI, derivada por Teague). Para resolver la ETI (bidimensional) el método usa la distribución de irradiancia, en dos planos; cercanos a la pupila de salida para aproximar la variación axial de la intensidad del sistema óptico bajo prueba. Esta técnica, en nuestro caso, se realiza en un banco nodal de laboratorio. Los resultados experimentales se compararon con los derivados al realizar la prueba óptica con un Interferómetro de Difracción por Punto (IDP, inventado por Linnik). También el método desarrollado con el IDP, permite fácilmente obtener un perfil de frente de onda. Además; el presente trabajo muestra la investigación y desarrollo de un instrumento basado en el interferómetro de difracción por punto para realizar pruebas ópticas a componentes oculares e intraoculares de manera bidimensional. El instrumento se desarrollo para analizar el sistema bajo prueba no solo por reflexión sino también por transmisión. Además de haber analizado la calidad óptica de ambas superficies de las componentes oculares e intraoculares; el instrumento también permite medir distancias focales. Se presentan los resultados experimentales de algunas de las componentes analizadas y otros resultados relacionados con el instrumento. Un ejemplo de componente estudiada y analizada fue el cristalino en la forma denominada “in vitro”.

(3)

ABSTRACT

A optical testing study is shown to retrieve a wave-front shape of spherical non spherical symmetry surface from a direct integration of one-dimensional Irradiance Transport Equation (ITE, derived by Teague). To solve the ITE the method uses the irradiance distribution from two planes close to the exit pupil in order to fit the axial irradiance change of the optical system under test. This technique is supported by the use of a lab nodal slide bench. The experimental results were compared with those reached by a Point Diffraction Interferometer (PDI, invented by Linnik). The method developed with the PDI also presents an easier way to obtain a wave-front shape. Besides the present work shows the research and develop of a instrument based on the point diffraction interferometer to perform optical test on intraocular and ocular components. The instrument was developed to analyzing the system under test for reflection and transmission mode. The optical quality of both surfaces of the intraocular and ocular element were analyzed and his effective focal length was measured. Some experimental results of the components analyzed are shown and related results of the instrument. One example of component studied and analyzed was a lens in vitro.

(4)

DEDICATORIA

Para mi hija e hijo:

Melissa Rodríguez Sosa.

Leonardo Rodríguez Sosa.

Especialmente

Para mi esposa:

Marissa Sosa Silverio.

y

Para

(5)

AGRADECIMIENTOS

Al Dr. Fermín Salomón Granados Agustín y al Profesor Dr. Alejandro Cornejo Rodríguez por su asesoría y apoyo para el desarrollo del presente trabajo. Además por su confianza y amistad mostrada durante mi estancia en el INAOE.

A la Profesora y Dra. Eva Acosta Plaza por su asesoría y amistad durante mi estancia en su laboratorio de la USC.

Al Dr. Rufino Díaz, al Dr. José Alberto Delgado Atencio, a la Dra. Perla Carolina García Flores, al Dr. Alfonso Padilla Vivanco y al Dr. Manuel Fernández Guasti por aceptar ser sinodales; pero sobre todo, por sus valiosas observaciones, excelentes comentarios y buenas sugerencias para la mejora de esta tesis.

Al grupo de Instrumentación Óptica del INAOE por brindarme su apoyo durante el tiempo que estuve en el programa de doctorado.

A las instituciones INAOE y CONACyT por permitirme el acceso a sus instalaciones, y apoyo económico respectivamente para realizar mis estudios de Doctorado en Ciencias.

A mis compañeros del ITSA que siempre me han mostrado su apoyo y sincera amistad.

(6)

ÍNDICE

RESUMEN i

DEDICATORIA iii

AGRADECIMIENTOS iV

Capítulo 1 INTRODUCCIÓN 01

Capítulo 2 MARCO TEORICO 03

2.1 Pruebas Ópticas 03

2.2 Modelo teórico para medir el frente de onda 04 con la ETI

2.3 Modelo teórico para medir el frente de onda 24 con el IDP

2.3.1 Método para el ajuste del frente de onda con el IDP 28

Capítulo 3 TRABAJO EXPERIMENTAL 30

3.1 Arreglo para la ETI-1D 32

3.2 Arreglo para la ETI-1D e IDP 34

3.3 Arreglo IDP 36

3.4 Procedimiento para la alineación 42

3.5 Procedimiento para la captura de imágenes 48

3.5.1 Para la ETI-1D 48

3.5.2 Para el IDP 49

3.6 Análisis del ruido en la prueba 50

3.6.1 Ruido en la ETI 50

(7)

3.8 Implicaciones en la prueba óptica a través de la

ETI por el ruido 51

3.9 Características practicas para conocer el ruido en el

detector CCD 52

3.10 Otra alternativa para determinar la curva de

transferencia del fotón 63

3.11 Ruido por el IDP 69

3.12 Alineado del interferómetro 69

3.13 Procedimiento para la preparación de corneas y

cristalinos 71

Capítulo 4 RESULTADOS EXPERIMENTALES 82

4.1 Resultados usando la ETI-1D 82

4.1.1 Recuperación del frente de onda con el IDP y la ETI-1D 86

4.2 Resultados usando el IDP 87

4.2.1 Para componentes ópticos analizados

por transmisión 87

4.2.2 Para componentes ópticos analizados

por reflexión 89

4.3 Resultados experimentales adicionales obtenidos

con el IDP 96

4.3.1 Medición de espesores 96

4.3.2 Medición de índice de refracción 100 4.3.3 Medición de distancias focales 103

(8)

APENDICES

Apéndice A ECUACION DEL TRANSPORTE DE IRRADIANCIA 108

Apéndice B INTERFEROMETRO DE DIFRACCION POR P. 110

Apéndice C ABERRACIONES 117

Apéndice D SUTURAS DEL OJO 126

Apéndice E PROGRAMA DESARROLLADO 134

Apéndice F TRABAJO DE TEAGUE PUBLICADO EN 1985 137

Apéndice G TRABAJO DE LINNIK PUBLICADO EN 1933 146

LISTA DE FIGURAS 150

LISTA DE TABLAS 160

BIBLIOGRAFÍA 161

(9)

CAPITULO 1

INTRODUCCIÓN

Actualmente las técnicas de sensado de superficies ópticas y trabajos experimentales para medir las superficies con calidad óptica siguen apareciendo y actualizándose, Malacara et. al. [1], tal es el caso que se expone en este escrito al medir el frente de onda mediante dos técnicas. Las ventajas son obvias: Las técnicas ópticas sean interferométricas o no interferométricas; no alteran ni dañan la superficie que está siendo investigada para conocer su calidad óptica; principalmente aquellas que son de fabricación única. Desde este punto de vista, éstas técnicas ópticas se clasifican como no destructivas.

Se presenta el estudio y resultado de la prueba óptica que permitió obtener el frente de onda de una superficie sin simetría esférica a través de la técnica denominada integración directa de la ecuación uni-dimensional del transporte de irradiancia (ETI-1D), basada en la ETI derivada por Teague en 1983 [2], como un paso adicional al trabajo experimental realizado por Rodríguez et. al. en el 2005 [3], en pruebas ópticas. Cabe mencionar que el trabajo teórico de esta propuesta se basa también en los trabajos de Teague del año 1985 [4] y Guasti et. al. del 2003 [5].

(10)

Para resolver la ETI-1D, el método usa la distribución de irradiancia en dos planos cercanos a la pupila de salida para aproximar la variación axial de la intensidad, del sistema óptico bajo prueba, tomando en cuenta el ruido de detección o lectura en la CCD y la distribución de la intensidad de referencia.

Esta técnica se realiza en un banco nodal de laboratorio que permite evaluar el sistema óptico bajo estudio en eje y fuera de eje óptico.

Además, se presenta una breve introducción al interferómetro de difracción por punto (IDP, propuesto por primera vez por Linnik [6]). El IDP se utilizó para comparar los resultados obtenidos con el banco nodal del laboratorio de instrumentación óptica del INAOE a una lente de Álvarez (sistema óptico sin simetría esférica y de naturaleza astigmática usado por Humphrey et. al. [7]); con la técnica de integración directa de la ecuación uni-dimensional del transporte de irradiancia (ETI-1D).

Se presentan algunos resultados experimentales de la aplicación de la ETI-1D y su comparación con los derivados al realizar la prueba óptica con el Interferómetro de Difracción por Punto. Además como paso adicional al trabajo realizado por Acosta et. al. [8] se presenta el desarrollo de un arreglo experimental implementado para probar superficies oculares e intraoculares (lentes de Polymethylmethacrylato); es decir, IOLs de PMMA por reflexión con la técnica del IDP. Dos ejemplos de componentes oculares analizados con este arreglo, fueron el cristalino y la córnea en la forma denominada en vitro, cuyos resultados también se presentan.

(11)

CAPITULO 2

MARCO TEORICO

2.1 Pruebas ópticas.

Las pruebas ópticas de componentes y sistemas ópticos, permiten la evaluación de sistemas, superficies y materiales ópticos mediante métodos no invasivos para conocer su calidad en la producción de las mismas, y sus aberraciones a través de un análisis matemático. Por ejemplo, la interferometría destaca por su confiabilidad para medir la calidad óptica de elementos tales como lentes, espejos o sistemas más complejos que combinan una buena cantidad de lentes y/o espejos. Sin embargo también las técnicas no interferométricas como lo es la prueba de Ronchi y la prueba de la navaja son altamente efectivas, especialmente en talleres de construcción de componentes ópticas. Por otro lado las pruebas ópticas basadas en la ecuación de transporte de irradiancia van incrementando su uso; aunque con especial interés en los sensores de frente de onda que también podrían considerarse parte de pruebas ópticas, recientemente Soto et. al. [9] toma en cuenta el ruido de detección para establecer los planos de medida que permiten resolver la ETI en su contexto de sensor de curvatura y extiende aun más su trabajo y propone un sensor multi plano para la

(12)

corrección de aberraciones causadas por turbulencia atmosférica, tomando en cuenta el ruido de detección.

Para la medición de las aberraciones ópticas, parte esencial de las pruebas que se realizan en general, se pueden emplear distintos tipos de interferómetros; como por ejemplo, el interferómetro de desplazamiento lateral, el interferómetro de Michelson o Mach-Zenhder; pero en algunos debido a la necesidad de crear una onda de referencia, prácticamente imposible, su implementación en un taller de superficies ópticas, se hace más difícil. Sin embargo, los interferómetros de camino común, por lo contrario, son candidatos idóneos para resolver el problema de la sensibilidad a la vibración y la robustez necesaria para un taller de óptica. Entre ellos, el interferómetro de difracción por punto (IDP) propuesto por Linnik y analizado posteriormente por Smartt et. al. [10], permite generar ondas esféricas ideales de referencia mediante la difracción producida por un agujero extremadamente pequeño, comúnmente denominado punto. Situado en una capa de espesor con dimensión nanométrica. La capa es depositada con la tecnología de películas delgadas y es además semitransparente. La película es depositada en un substrato transparente como el vidrio óptico BK7. La capa también puede ser hecha con la tecnología de fotolitografía empleada en la fabricación de circuitos integrados. Una descripción de lo que acontece en el IDP se encuentra en el apéndice B.

2.2 Modelo teórico para medir el frente de onda con la ETI.

En primer lugar, exponemos el modelo teórico de la ETI unidimensional sin considerar el ruido de la señal de entrada para calcular la derivada axial de la intensidad y posteriormente nos referimos al modelo que tomará en cuenta el ruido de la señal.

(13)

En el modelo teórico para medir el frente de onda con la ETI consideramos que la fase, φ(x,y,z)esta relacionada con el frente de onda w(x,y,z)por la siguiente ecuación:

) , , (x y z w k = φ (0) ) , , (x y z I

I = es la intensidad en el punto(x,y,z), k =2π/λ es el número de onda; yλ es la longitud de onda del haz; al substituir la Ec. (0) en la ecuación (6) del apéndice A y realizar algunos pasos algebraicos encontraremos la ETI en función de la intensidad y el frente de onda, obteniéndose la siguiente expresión: 0 2 = ∇ + ∇ ⋅ ∇ + ∂ ∂ w I w I z I t t

t . (1)

El primer término es la variación axial de la intensidad, el segundo término w

I t t ⋅∇

∇ representa las variaciones de intensidad causadas por la inclinación del frente de onda y es llamado el término de prisma. El tercer término,I tw

2 ∇

se interpreta como las variaciones de intensidad causadas por la convergencia o divergencia del haz y es llamado el término de lente, según Ichikawa et. al. [11].

La ETI en su forma unidimensional la podemos obtener a partir de la ecuación (1), es decir, si rescribimos la ecuación (1) de la siguiente forma

z I w I w I t t

t ∂ − = ∇ + ∇ ⋅

∇ 2 , (2)

donde el término tI tw I tw

2 ∇ + ∇ ⋅

∇ se expresa en forma compacta de la forma:

(

)

z I w I t t ∂ − = ∇ ⋅ ∇ (3)

si consideramos una dimensión transversal ; indistintamente para x o y, toma la siguiente forma:

(14)

z

I

y

w

I

y

=





(4)

si integramos una vez la Ec. (4) obtenemos

dy

z

I

y

w

I

=

(5)

si integramos nuevamente la Ec. (5) obtenemos la ecuación

dy

dy

z

I

I

w

=

1

, (6)

La ecuación (6) es la que se propone para hallar un perfil del frente de onda de nuestro sistema óptico bajo prueba. Sin embargo, si se desea obtener información bidimensional, a partir de la información unidimensional en varias posiciones, se deben integrar las informaciones parciales.

Si tuviéramos una fuente puntual ideal, la intensidad que emerge de acuerdo a la siguiente expresión tan2

r te cons

I = , Ec. (36) en la referencia [12] página

117, considerando simetría rotacional, dado que una fuente puntual generalmente se asume esférica. Pero si consideramos solo el eje z, la intensidad tendría por ecuación la siguiente:

2 0

z I

I = (7)

al sustituir la ecuación (7) en (6), podemos encontrar el frente de onda fácilmente; es decir,

(

I

z

)

dy

dy

z

I

w

=

2

0

/

1

, (8)

(15)

dy

z

y

I

z

I

dy

dy

z

I

I

w

=

 −

=

03

2 0 3

0

1

2

2

1

, y (9)

z

y

z

y

w

2 2

2

2

=

=

(10)

La gráfica de la ecuación (10) resultante, muestra el frente de onda ideal para una fuente puntual con z=200 u.l, ver figura 2.1;(u.l) significa unidades de longitud, además la intensidad está normalizada, es decir I0 =1

Figura 2.1.Frente de onda ideal para una fuente puntual. Cuando se considera z=200 u.l. e intensidad normalizada.

En nuestro caso la variación axial de la intensidad debe ser conocida para poder obtener el frente de onda. Como sabemos en muchas aplicaciones es común aproximar la cantidad o una función de interés por la suma de una gran cantidad de valores asociados por alguna característica y que comúnmente se representa por una serie de Taylor según Snieder [13].

Consideremos la intensidad que se recibe en el detector en función de una de sus coordenadas transversales. El perfil de intensidad está claramente descrito por la posición y su respectivo valor I(y)en nivel de gris, es decir la

(16)

intensidad en función de la posición esta descrita. Por ejemplo, en cuatro diferentes perfiles de intensidad, como los que se muestran en la figura 2.2.

El más simple de los perfiles es el que se muestra en la figura 2.2 (a), en este caso el valor de la intensidad es constante:

0

)

(y I

I = , (11)

El valor del parámetro I0 en y=0, inmediatamente da el valor de

) 0 (

0 I

I = . (12)

Figura 2.2. Cuatro diferentes clases de intensidad a lo largo de una hilera de pixeles en la dirección transversal y del detector.

En la gráfica Fig. 2.2 (b) la situación muestra que la intensidad es lineal en función de la posición:

Perfil de intensidad constante

(a

Perfil de intensidad lineal

(b

Perfil de intensidad cuadrático

(c)

Perfil de intensidad cúbico

(d

I(y)

y I(y)

y

I(y)

y

I(y)

(17)

y y dy dI I y I      = +

= ( 0)

)

( 0 , (13)

Consideremos ahora el caso cuadrático (c):

2 2

2

0 ( 0)

2 1 ) 0 ( )

( y y

y d I d y y dy dI I y I      = +       = +

= , (14)

Este resultado refleja el hecho de que el valor del coeficiente del último término tiene que ser la segunda derivada de la intensidad respecto de la posición.

Consideremos ahora el perfil de intensidad representado por la gráfica (d), donde claramente se aprecia que la intensidad no es una función lineal y tampoco una función cuadrática de y, por lo que se puede representar por una serie

∝ = = + + + + = 0 3 3 2 2 1 0 ) ( n n ny I y I y I y I I y

I  , (15)

Donde la intensidad queda expresada por una suma de términos y la variable independiente va incrementando su potencia; los coeficientes In, se pueden encontrar a través de evaluar el resultado en y=0; es decir,

). 0 ( ! 1 = = y y d I d n I n n n

Desde luego, uno puede encontrar una serie de Taylor para cualquier función, como se muestra a continuación:

∝ = + = + = + = = = 0 2 2 2 ) 0 ( 2 1 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ! ) ( n n n n x x d f d x x dx df x f x x d f d n x x

f  (16)

(18)

Por supuesto la expansión en serie de Taylor se puede también hacer para un valor arbitrario; es decir, debemos cambiar xh, 0→ x y la expansión resultante

∝ = + + + = = + 0 2 2 2 ( )

2 1 ) ( ) ( ) ( ! ) ( n n n n x d x f d h dx x df h x f x d x f d n h h x

f , (17)

También la serie no se restringe para una sola variable o dimensión. Para dos variables, e igualmente para el caso de un valor arbitrario en x o y, se representa por  + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + = + + 2 2 2 2 2 2 2 ) , ( 2 1 ) , ( 2 1 ) , ( 2 1 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( y y x f h y x y x f h h x y x f h y y x f h x y x f h y x f h y h x f y y x x y x y x (18)

Tomando en cuenta lo anterior podemos expresar la variación axial de la intensidad que nos involucra para resolver la ETI, basada en la ecuación (18), y queda expresada de la siguiente forma:

 + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + = + + 2 2 2 2 2 2 2 ) , ( 2 1 ) , ( 2 1 ) , ( 2 1 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( z z y I h z y z y I h h y z y I h z z y I h y z y I h z y I h z h y I z z y y z y z y (19)

Desde luego esta serie esconde un resultado muy interesante. Es decir, la intensidad I(y,z)esta descrita por todos los valores de su argumento cuando sus derivadas son conocidas en un punto arbitrario. Esto significa que el comportamiento global de la intensidad está completamente contenido a partir de las derivadas en un solo punto, como lo refiere Snierder . Este hecho no siempre es verdad si la función de interés cambia, de forma rápida o de forma abrupta.

(19)

En nuestro caso se propone la siguiente expresión: z z y I h y z y I h z y I h z h y

I y z y z

∂ ∂ + ∂ ∂ + = + + , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , (20)

Para hallar la variación axial de intensidad respecto a z. Entonces se puede tener por expresión, cuando no hay variación respecto a y, la siguiente:

z z y h z y I h z h y I z z y

I( , ) = ( + , + )− ( , )

∂ ∂

, (21)

donde hz y hy son las distancias necesarias para calcular la variación.

La importancia de la integración numérica se pone de manifiesto cuando no es posible realizar una integral exacta y de forma analítica o bien cuando se tienen una serie de datos que representan el integrando. Por ejemplo, si ecuación (6); en términos de x en lugar de y, su integrando f(x) podría ser conocido por una serie discreta de datos f(xi).

{ }

=

b a

dx x f f

INT ( ) . (22)

Por lo que es posible aproximar el valor de la integral definida en un intervalo finito

[ ]

a,b , entonces la ecuación 22 puede reescribirse como

{ }

= = n i i i

n f f x

INT

1

) (

α . (23)

La ecuación (23) generalmente es llamada cuadratura numérica [14] o fórmula de integración numérica. Donde n es el número de puntos, xison los puntos de cuadratura o nodos y αi son los coeficientes de cuadratura.

Entonces el problema básico en la integración numérica que nos involucra, recae en escoger adecuadamente los coeficientes de cuadratura tal que

{ }

f

(20)

cuadratura En

{ }

f sea mínimo o cero. Una formula particular para definir el error de cuadratura es la ecuación (24).

{ }

f INT

{ }

f INT

{ }

f

En = − n . (24)

Evidentemente si se tiene una ecuación f(x) conocida es posible integrar en forma analítica y no es necesario hacer alguna aproximación por algún método. Sin embargo, si se tiene la función f(x) pero no es posible obtener una integración exacta entonces en este caso también es recomendable ocupar algún método de integración numérica.

Por otro lado es importante señalar que la integración que deseamos obtener es unidimensional y debido a la naturaleza de nuestros datos sólo nos concentraremos en aquellos métodos numéricos que usen un conjunto de valores discretos que representen el integrando.

Los métodos considerados como simples (trapecio, simpson, etc) y los no tan simples (Gauss, Romberg) se apoyan del uso de la computadora para realizar el cálculo más rápido. En el caso de integración numérica aplicada en algunos problemas de óptica discutidos por Bermúdez [15]; señala que la mayor frecuencia del uso de la integración numérica es en la teoría de la difracción. En las integrales de difracción; el integrando es altamente oscilatorio. Entonces el uso de cualquier de los métodos de integración requieren de un gran número de valores o bien puntos de cuadratura. Por ejemplo el método de Filón que usa la regla de Simpson , donde se aproxima el integrando por una parábola en el intervalo que se desea integrar.

En nuestro caso lo que haremos es usar distintos puntos de cuadratura para ver el comportamiento de nuestro modelo. La simplicidad que presenta la formulación de Newton Cotes (N-C), aceptada para valores discretos equidistantes [16]; entonces se propone por la medición experimental tener un conjunto de valores discretos y equidistantes. La formulación de N-C usa

(21)

un polinomio de colocación de grado n. En la figura 2.3 se muestra gráficamente el número de puntos de cuadratura y la forma del polinomio al que se refiere dicha cuadratura. Se muestran los casos cuando n=1 conocido como la regla de trapecio y para n=2, polinomio parabólico

Como deseamos resolver la ecuación (5) y lo único que tenemos son los valores de intensidades en dos planos; en el eje de propagación es decir

) , (y z0

I i y I(yi,z1) en forma discreta a lo largo del eje transversal; donde y va desde cero hasta el valor máximo de la ubicación del último píxel de la CCD. También tenemos la diferencia z1−z0 cuyo valor es numérico y corresponde a la separación que hay entre las dos imágenes que se capturan, la distancia que se refiere corresponde a la distancia de propagación y es muy pequeña. Por lo que para resolver la Ec (6) debemos primero encontrar la variación de la intensidad respecto a z. Después encontrar las integrales que se refieren en la ecuación (6).

Figura 2.3. Función colocada para la cuadratura numérica.

Debido a la naturaleza de los datos de intensidad equidistantes por la constitución de nuestro detector, es decir nuestra CCD tiene una matriz de píxeles los cuales sensan la intensidad que emerge de nuestro sistema

X2

X0 X1

X0 X1

(22)

óptico. Es necesario aproximar la diferenciación o variación de la intensidad respecto a la propagación a partir de la ecuación (21), pero en forma discreta y constante en el eje transversal y. Por lo que proponemos que el primer integrando de la ecuación (6) o (21) tome la siguiente forma

0 1

0 1) ( , )

, (

z z

z y I z y I z

I i i

− − ≈

∂ ∂

(25)

donde yi va con i=0n , n es la cantidad de valores discretos y 0

1 z z

hz = − , sin embargo más adelante se detallará sobre este hecho.

El método numérico para la Integración necesaria para resolver la Ecuación Unidimensional del Transporte de Irradiancia.

Como sabemos no es posible integrar la ETI-1D en su forma exacta a partir de la ecuación

∫ ∫



= dy dy

z I I

w 1 , (26)

dado que el integrando f(y)=∂I/∂z en la ecuación (22) es conocido por una serie de datos f(yi) entonces se calcula el frente de onda por:

{ }

f INT

w= (27)

o bien expresado por la ecuación

{ }

f y dy dy

I f

INT

∫ ∫

i

  

  −

= 1 ( ) . (28)

Entonces es posible aproximar el valor de la primera y segunda integral de la ecuación (26) por una cuadratura, las cuales están definidas en el mismo intervalo

[ ]

0,n para las dos integrales. Por lo que la nueva expresión para efectuar el cálculo es la siguiente,

(23)

{ }

i n i n i i i i i i i n z z z y I z y I y I f INT

w

= =               − − − = =

1 1 1 0

0 1) ( , ) ,

( )

(

1 α

β (29)

A la ecuación (29) le llamaremos cuadratura numérica para el frente de onda o fórmula de integración numérica para el frente de onda. Donde n es el número de puntos, yison los puntos de cuadratura o nodos y αii son los coeficientes de cuadratura.

Entonces el problema básico en la integración numérica recae en escoger adecuadamente los coeficientes de cuadratura tal que INTn

{ }

f sea lo más aproximado a INT

{ }

f . Es decir que el error de cuadratura En

{ }

f sea mínimo o cero.

{ }

f =INT

{ }

fINT

{ }

f =0

En n . (30)

El método numérico para resolver la ETI-1D y encontrar el perfil de frente de onda se encuentra en el apéndice E y está programado en Mathcad versión 2001. Es importante destacar que existen una gran variedad de métodos para integrar y van de acuerdo a la aplicación. Nosotros nos referimos a los más sencillos, es decir N-C. Además de que consideramos la misma cuadratura; es decir, αii.

Hasta este punto podríamos decir que el resultado corresponde al frente de onda visto de forma ideal y con un valor exacto para una superficie óptica; sin embargo, debemos incluir la intensidad de referencia 1/I de la ecuación por una lado y por otro el ruido de detección.

(24)

dy

dy

z

I

I

w

=

1

. (31)

Por lo que proponemos un principio de medición que incluya una nueva solución a partir de una relación de intensidades como una solución a la ecuación paraxial de onda. Es decir, donde se incluya la intensidad de referencia. En el esquema de la figura 2.4 se muestra como la relación de intensidades tienen lugar para el principio que se propone. La intensidad de referencia (haz de referencia) es capturada por el detector en la posición (x0,y0,z0), y se representa como I0(x,y,z), colocando el sistema bajo prueba en la trayectoria del haz de referencia se obtiene la intensidad I(x,y,z).

Figura 2.4. Principio de medición para ETI-1D.

Cabe aclarar que la relación I(x,y,z)/4I0(x,y,z) en el principio propuesto fue considerada tomando en cuenta el cálculo de la intensidad para una rendija iluminada con luz coherente según R. Simon [17 ].

) , , ( 4 / ) , ,

(x y z I0 x y z

I

Detector

Sistema

Óptico. bajo prueba

Detector

) , , (

0 x y z I

) , , (x y z I

Haz de referencia

Haz de referencia

(25)

Entonces iniciamos primero con la ecuación paraxial de onda, de forma compleja 0 2 2 =       ∂ ∂ − ∇ ψ z k

i ó 2 2 =0

     ∂ ∂ + ∇ ψ z k

i , (32)

y realizando similar método algebraico al utilizado por Teague en su artículo de 1983; pero proponiendo, por un lado una función compleja cuya amplitud sea una relación de intensidades; y por el otro que sea solución de (32).

La relación de intensidades antes mencionadas tiene la forma:

[

( , , )/4 ( , , )

]

exp

[

( , , )

]

) , ,

(x y z I x y z I0 x y z 1/2 iφ x y z

ψ = , basada en el principio

planteado, y omitiendo el valor de fase constante asociado a la intensidad del haz de referencia en la exponencial.

El método algebraico de Teague, realiza las derivadas parciales correspondientes a ψ(x,y,z) y al complejo conjugado ψ*(x,y,z); se sustituyen en la Ec. (32), después se realiza el álgebra correspondiente en ambas ecuaciones. Posteriormente se multiplican por su complejo conjugado y finalmente se restan; es decir, como se indica a continuación,

0 2 2 * * 2 * 2 =       ∂ ∂ − ∇ −       ∂ ∂ −

∇ψ ψ ψ ψ ψ ψ

z k i z

k

i , (33)

si además se propone que φ(x,y,z)=kw(x,y)+kz, se obtiene un función compleja con su parte real y su parte imaginaria de la forma,

(

)

( / ) 0

) ( ) ( 2 0 0 2 0 0 =       ∂ ∂ + ∇ ⋅ ∇ + ∇ +       i z I I w I I w I I k I I t t t (34)

donde k =2π λ , y w(x,y) es el frente de onda, y 2 t

es el Laplaciano

(26)

0 2 ) / ( 2 0 2 0 0 =               +         ∂ ∂ +       ∇ ⋅ ∇ k I I z I I w I I t

t , (35)

entonces se puede desarrollar por una serie para obtener una aproximación

 +       ∂ ∂ +       ∇ ⋅ ∇       −       ∂ ∂ +       ∇ ⋅ ∇       +       ≈       +         ∂ ∂ +       ∇ ⋅ ∇ 4 0 0 3 0 2 0 0 0 0 2 0 2 0 0 ) / ( 2 8 1 ) / ( 2 2 1 2 2 ) / ( z I I w I I k I I z I I w I I k I I k I I k I I z I I w I I t t t t t t (36)

Si además se considera una dimensión transversal indistintamente para x o y, al usar tal aproximación a tres términos. Entonces su resultado se iguala a cero, obteniendo finalmente la siguiente expresión:

. 0 ) / ( 2 8 1 ) / ( 2 2 1 2 4 0 0 3 0 2 0 0 0 0 =         ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂       −         ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂       +       z I I y w I I y k I I z I I y w I I y k I I k I I (37)

Ahora bien, si definimos

2 0 0 ) / (       ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ = z I I y w I I y

p entonces podemos

(27)

[ ]

[ ]

0 2 8 1 2 2 1

2 3 2

0 0 0 =       −       +       p k I I p k I I k I

I (38)

Reordenando la última ecuación para simplificar

[ ]

[ ]

0 2 8 2 8 2 2 1 2 8 1 2 8 2 2 3 0 3 0 0 3 0 3 0 0 =             −             +             p k I I k I I p k I I k I I k I I k I I

, (39)

se aprecia que podemos encontrar los valores para p, a partir de

[ ]

4 2

[ ]

8 2 0 4 0 2 0 2 =       −       − k I I p k I I

p ; (40)

Y con la ayuda de:

( )

) 1 ( 2 2 8 1 4 2 4 2 4 4 0 2 2 0 2 0               − −               − ±               − − = k I I k I I k I I

p . (41)

Entonces los valores de p son igual a

) 3 8 8 ( 3 8 8 2 0 2 0 2 0 ±       =       ±       = k I I k I I k I I p (42) como 2 0 0 ) / (       ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ = z I I y w I I y

p , entonces volvemos a substituir el valor de

(28)

(

8

8

3

)

)

(

2 0 2 0 0

±





=

+





k

I

I

z

I

I

y

w

I

I

y

(43)

Reescribiendo la Ec. (43) obtenemos,

(

8

8

3

)

)

(

2 0 0 0

±





±

=

+





k

I

I

z

I

I

y

w

I

I

y

, (44)

al reordenar esta ecuación se puede decir, que encontramos la ecuación de Teague para la relación de intensidades; pero con un término de más, que es el radical del lado derecho, si sólo consideraremos la parte real del

argumento, ya que puede ser negativo y reordenamos la ecuación; se obtiene lo siguiente:

k

I

I

z

I

I

y

w

I

I

y

0 0 0

3

2

2

2

)

(

±

+

=





(45)

Si desarrollamos la expresión de la derecha de la Ec. (45), entonces obtenemos:

.

k

I

I

I

Z

I

I

I

Z

I

I

y

w

I

I

y

02 0

0 2 0 0 0

3

2

2

2

/

/

±

+





=





(46)

Como nos interesa que la intensidad de referencia no varíe con la

propagación y como 0 0

I

I

, significa que podríamos restringir para que

valores los términos adicionales se minimicen tal que tiendan a cero, por lo que, proponemos

(29)

0 3

2 2

2 0

0 ± + =

∂ ∂ I k z I

, (47)

donde z I ∂ ∂ 0

depende de k =2π/λ, es decir de la longitud de onda. Pero la

pregunta importante es, ¿la dependencia adicional de la longitud de onda en la ecuación (47) es de consideración o simplemente es despreciable?. Si resolvemos la ecuación (47) y la graficamos; figura 2.5, claramente se aprecia que para valores de z cercanos a cero la variación es casi constante para una determinada longitud de onda.

Figura 2.5. Variación de la intensidad de referencia I0 respecto a z , tomando en cuenta la longitud de onda del haz de referencia.

De lo anterior se deduce que el término adicional puede ser despreciado para valores de z cercanos a cero, entonces nos queda

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10

6 4 2 0 2 4 6 5.691 5.691 − e 4.675

− 2π

λ

  ⋅z

e 4.675 2π

λ

  ⋅z

z e

4.675 2π

λ

  ⋅z d

d

z e

4.675

− 2π

λ

  ⋅z

d d

10 10

(30)

z

I

I

I

y

w

I

I

y

=





2 0 0 0 (48)

si integramos una vez la Ec. (48) , obtenemos 1 2 0 0 0

c

dy

z

I

I

I

y

w

I

I

+

=

(49)

Obtenemos la derivada del frente de onda; donde aparentemente no depende de la intensidad de referencia y de una constante,

Sin embargo si consideramos una distribución de intensidad Gaussiana en nuestro haz de referencia ,con parámetro de truncamiento σ e intensidad a, igual a ,

2

0

y

ae

I

=

−σ , (50)

donde para distribución uniforme σ =0, entonces I0 =a, por lo que si sustituimos e integramos otra vez obtenemos:

2 1 1 c y c dydy z I I

w + +

∂ ∂ −

=

∫ ∫

(51)

Desde luego podemos omitir los términos adicionales según Teague en su artículo de 1985, lo que resulta:

∫ ∫

∂ − = dydy z I I

w 1 (52)

Es decir, para obtener un perfil de frente de onda con un haz de referencia, se hace necesario considerar la intensidad de referencia y la variación axial de la intensidad.

(31)

Si la variación axial de la intensidad se aproxima nuevamente por:

2 1

2 1) ( , )

, ( z z z y I z y I z

I i i

− − ≈ ∂ ∂ (53)

donde yi va i=0n , siendo n cantidades de valores discretos por la naturaleza de nuestra detección, por lo que el valor de la primera y segunda integral de la ecuación (52) se aproxima por una cuadratura definida en el mismo intervalo

[ ]

0,n , resulta entonces la expresión :

i n i n i i i i i i i i z z z y I z y I y I

w

= =             − − − =

1 1 1 2

2 1) ( , ) , ( ) 0 , ( 1 α β (54)

Por lo que, nuevamente, le llamaremos cuadratura numérica para el frente de onda o fórmula de integración numérica para el frente de onda. Donde n es el número de puntos, yison los puntos de cuadratura o nodos y αii son los coeficientes de cuadratura. Nuevamente los métodos de integración, que usaremos serán los más sencillos, es decir N-C. Y además consideraremos la misma cuadratura; es decir, αii.

Al considerar ruido aditivo en los tres datos i1,i2 e i3 asociados a la intensidad de referencia, a la intensidad en el primer y segundo plano a lo largo de z; respectivamente, nuestra ecuación toma la forma de la Ec. (55).

i n i n i i i i i i i i z z z i y I z i y I i y I

w

= =             − + − + + − =

1 1 1 2

2 2 1 1 3 ) , ( ) , ( ) 0 , ( 1 α

β (55)

Para minimizar los efectos del ruido sugerimos tomar en cuenta las implicaciones respecto al ruido en el contexto de esta tesis. Para mayor detalle ver el siguiente capítulo.

(32)

2.3 Modelo teórico para medir el frente de onda con el IDP.

Como señalamos anteriormente el IDP está basado en la interferencia de dos haces de trayectorias comunes, en esta parte solo revisaremos la ecuación que describe la interferencia de dos ondas validas en la región paraxial de interés. Una descripción detallada de lo que acontece en el IDP se encuentra en el apéndice B. El modelo teórico que describe la interferencia de dos haces es bien conocido y explicado de forma excelente en el libro de Born & Wolf ; pero esta vez, suponemos una función de onda compleja, similar a la del tratamiento teórico de la ETI, valida en la región paraxial, de la forma

[

( , , )

]

exp

[

( , , )

]

) , , ( 1 2 / 1 1

1 x y z I x y z iφ x y z

γ = (56)

y otra

[

( , , )

]

exp

[

( , , )

]

)

, ,

( 2 1/2 2

2 x y z I x y z iφ x y z

γ = (57)

con similar validez; de tal forma que la suma de las dos ondas se puede expresar como: ) , , ( ) , , ( ) , , ( 2

1 x y z γ x y z γ x y z

γ + = , (58)

y el módulo al cuadrado de la superposición será

[

][

]

* 2 1 2 1 2 ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , ,

(x y z γ x y z γ x y z γ x y z γ x y z

γ = + + , (59)

ó bien de la siguiente forma

[

( , , ) ( , , )

]

[

( , , ) ( , , )

]

)

, ,

( *2

* 1 2 1 2 z y x z y x z y x z y x z y

x γ γ γ γ

γ = + + . (60)

Realizando el algebra correspondiente obtenemos;

) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( * 2 2 * 1 2 * 2 1 * 1 1 2 z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x γ γ γ γ γ γ γ γ γ + + + = (61)

(33)

sustituyendo ( , , ); ( , , ); ( , , ); ( , , ) * 2 2 * 1

1 x y z γ x y z γ x y z γ x y z

γ de las ecuaciones

(56) y (57),

[

]

[

]

{

}

{

[

]

[

]

}

[

]

[

]

{

}

{

[

]

[

]

}

[

]

[

]

{

}

{

[

]

[

]

}

[

]

[

]

{

( , , ) exp ( , , )

}

{

[

( , , )

]

exp

[

( , , )

]

}

) , , ( exp ) , , ( ) , , ( exp ) , , ( ) , , ( exp ) , , ( ) , , ( exp ) , , ( ) , , ( exp ) , , ( ) , , ( exp ) , , ( ) , , ( 2 2 / 1 2 2 2 / 1 2 1 2 / 1 1 2 2 / 1 2 2 2 / 1 2 1 2 / 1 1 1 2 / 1 1 1 2 / 1 1 2 z y x i z y x I z y x i z y x I z y x i z y x I z y x i z y x I z y x i z y x I z y x i z y x I z y x i z y x I z y x i z y x I z y x φ φ φ φ φ φ φ φ γ − + − + − + − = (62) Simplificando un poco,

[

]

[

]

{

}

[

]

[

]

{

}

[

]

[

]

{

}

[

]

[

]

{

( , , ) ( , , ) exp ( , , ) ( , , )

}

. ) , , ( ) , , ( exp ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( exp ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( exp ) , , ( ) , , ( ) , , ( 2 2 2 / 1 2 2 1 2 2 / 1 1 2 2 1 2 / 1 2 1 1 1 2 / 1 1 1 2 z y x i z y x i z y x I z y x I z y x i z y x i z y x I z y x I z y x i z y x i z y x I z y x I z y x i z y x i z y x I z y x I z y x φ φ φ φ φ φ φ φ γ − + − + − + − = (63) Reordenando los términos de la Ec. (63),

[

]

[

]

{

}

[

]

[

]

{

}

; ) , , ( ) , , ( ) , , ( exp ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( exp ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( 2 1 2 2 / 1 1 2 2 1 2 / 1 2 1 1 2 z y x I z y x i z y x i z y x I z y x I z y x i z y x i z y x I z y x I z y x I z y x + − + − + = φ φ φ φ γ (64) agrupando

[

]

[

]

{

}

[

]

[

]

{

( , , ) ( , , ) exp ( , , ) ( , , )

}

.

) , , ( ) , , ( exp ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( 2 1 2 / 1 2 1 1 2 2 / 1 1 2 2 1 2 z y x i z y x i z y x I z y x I z y x i z y x i z y x I z y x I z y x I z y x I z y x φ φ φ φ γ − + − + + = (65)

Reordenando nuevamente la Ec. (65)

[

]

[

]

[

]

{

exp ( , , ) ( , , ) exp ( , , ) ( , , )

}

) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( 2 1 1 2 2 / 1 2 1 2 1 2 z y x i z y x i z y x i z y x i x z y x I z y x I z y x I z y x I z y x φ φ φ φ γ − + − + + = ; (66)

(34)

si θ(x,y,z)=φ2(x,y,z)−φ1(x,y,z) podemos simplificar un poco más, la Ec. (54), hasta obtener

[

]

[

]

[

]

{

}

2 ) , , ( exp ) , , ( exp 2 ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , ,

( 2 1 2 1 2 1/2

z y x i z y x i x z y x I z y x I z y x I z y x I z y x θ θ γ − + + + = (67)

Si γ(x,y,z)2 la definimos como la intensidad total I(x,y,z), y además suponemos θ(x,y,x)=constante, entonces por definición podemos usar la identidad

[

exp

( )

iθ +exp

(

iθ

)

]

/2=cos(θ), entonces la intensidad de la superposición de las dos ondas toma la forma,

[

( , , ) ( , , )

]

cos

[

( , , )

]

2 ) , , ( ) , , ( ) , ,

(x y z I1 x y z I2 x y z I1 x y z I2 x y z 1/2 x y z

I = + + θ . (68)

Si I1(x,y,z)=I2(x,y,z)=I0(x,y,z) en la zona de interferencia, obtendremos:

[

( , , ) ( , , )

]

cos

[

( , , )

]

2 ) , , ( ) , , ( ) , ,

(x y z I0 x y z I0 x y z I0 x y z I0 x y z 1/2 x y z

I = + + θ

. (69)

Simplificando y realizando el algebra correspondiente, en la Ec. (69),

[

( , , )

]

cos ) , , ( 2 ) , , ( 2 ) , ,

(x y z I0 x y z I0 x y z x y z

I = + θ

, (70)

Agrupando entonces se obtiene

{

1 cos( )

}

) , , ( 2 ) , ,

(x y z = I0 x y z + θ I

. (71)

Si rescribimos la ecuación (71) usando la identidad cos(θ 2)=± 1+cos(θ) 2

encontramos,

[

]

2 0( , , ) cos( /2) 4

) , ,

(x y z I x y z  θ

(35)

Si definimos a θ =2π λ0 DCO y lo substituimos en la ecuación (72), donde

0

λ es la longitud de onda de la fuente de intensidad y DCO es la diferencia

de camino óptico expresado en cantidades de longitud de onda, obtenemos la ecuación de interferencia que se reporta en la mayoría de los libros de texto de óptica,

) (

cos ) , , ( 4 ) , , (

0 2

0 x y z DCO

I z y x I

λ π 

= (73)

pero, debe tomarse en cuenta que el argumento de la función coseno permite valores positivos y negativos de la DCO, y es aquí donde el IDP cobra importancia; es decir. La posibilidad de poner el micro agujero del IDP fuera de foco mediante avance circular (de-foco inducido por mover el micro agujero axialmente) y/o avance lineal (inclinación inducida por mover el micro agujero del IDP en un plano perpendicular al eje de propagación) según Acosta et. al. en su artículo del 2006. Además estos avances son fácilmente introducidos y controlados, lo que permiten elegir un buen interferograma con franjas bien contrastadas en la región de interés o bien se pueden grabar varios interferogramas controlando las dimensiones que se derivan por mover el IDP.

La curva obtenida en cada franja representa una región de fase constante en el plano de observación. Dos curvas consecutivas están separadas por una longitud de onda tal y como lo describe la ecuación (73) . Por lo que resta es realizar el ajuste de las franjas para conocer el frente de onda.

En la figura 2.6 se muestran algunos interferogramas típicos en pruebas ópticas. Para su posterior análisis de franjas y procesado de ajuste del frente de onda.

(36)

a) b) c)

Figura 2.6. Interferogramas clásicos obtenidos en pruebas ópticas para el análisis del frente de onda: a) interferograma de un sistema óptico libre de aberraciones, b) interferograma con 0.25λ0de aberración de de-foco en el sistema óptico bajo estudio y c) interferograma con 0.25λ0de aberración de esfericidad.

2.3.1 Método para el ajuste del frente de onda por el IDP.

Con los valores (x,y) y su correspondiente número entero de valor que representa de las curvas obtenidas de los interferogramas, se realiza un ajuste directo con una combinación lineal de polinomios de Zernike mediante el método de mínimos cuadrados. Previo al seguimiento de las franjas, es posible conocer el signo de la aberración de de-foco al observar la forma de la franja central del interferograma, cuando se cambia el avance (lineal y/o circular) del IDP.

Con la información recabada, se realiza el ajuste y mantenemos el signo de todos los coeficientes; de tal forma que si el signo del de-foco derivado del ajuste coincide con el que se observó; o bien cambiamos el signo de todos los coeficientes si no corresponde.

El método anteriormente descrito requiere de práctica pero es efectivo y nos exime de utilizar alguna técnica de corrimiento de fase y/o desenvolvimiento

(37)

de la fase según Acosta et. al. [18]. Por lo que nos entusiasmamos de que siendo un método directo, permite visualizar las franjas de fase constante fácilmente y decidimos utilizarlo para contrastar los resultados con la ETI-1D.

(38)

CAPITULO 3

DESARROLLO EXPERIMENTAL

En el trabajo inicial de doctorado usamos un banco nodal de laboratorio implementado por Rodríguez en el 2005 para sensar con el planteamiento de la ETI un sistema óptico sin simetría esférica o rotacional como el que se muestra en la figura 3.1, En la Universidad de Santiago de Compostela usamos el interferómetro de difracción por punto (IDP) para el sensado de componentes ópticas. Entonces con la experiencia adquirida en la USC sobre el IDP, nos propusimos modificar el banco nodal del laboratorio de INAOE para integrarle el IDP y poder contrastar los resultados alcanzados con la ETI-1D.

Por lo que parte del trabajo de tesis fue implementar diversos arreglos experimentales para someterlos a prueba y después emplearlos en el sensado de las componentes ópticas planteadas. Puede afirmarse que fueron varios los realizados tanto en INAOE como en USC, hasta conseguir los más adecuados para que nos permitieran aproximar en lo posible el modelo teórico al experimento. Así como también, nos permitiera obtener la mejor calidad de datos para la obtención y análisis de un perfil de frente de onda o un mapa bidimensional de frente de onda.

(39)

Figura 3.1. Lente de prueba sin simetría rotacional, denominada lente de Álvarez.

Como resultado final, se tuvieron diferentes versiones de arreglos experimentales que mejores resultados podrían ofrecernos para ser usados. A continuación se listan en orden de aparición en el presente capítulo:

1. Arreglo experimental ETI-1D para el sensado por transmisión usando la ETI-1D.

2. Arreglos experimentales ETI-1D e IDP para el sensado por transmisión usando la ETI-1D y el IDP.

3. Arreglos experimental IDP para el sensado por transmisión o por reflexión.

Cabe aclarar que la secuencia de cómo se presentan no corresponde a la secuencia de su implementación cronológica ni tampoco corresponden a un orden de importancia, es decir todos son importantes y tienen su aportación. Además de que en este capítulo describiremos brevemente las componentes que contienen los arreglos utilizados, plantearemos consideraciones sobre el procedimiento de alineación, la captura de las imágenes, el ruido en la intensidad, la calibración del interferómetro y por último el procedimiento de preparación de las componentes oculares para su sensado con el IDP.

(40)

3.1 Arreglo para la ETI-1D

El arreglo implementado en el laboratorio de instrumentación se aprecia en la figura 3.2 y sus elementos son: Como fuente de luz un láser de He-Ne con 632.8 nm de longitud de onda, un filtro circular de densidad óptica variable, un objetivo de microscopio, un micro orificio de diámetro de 5 µm para la limpieza del haz, una lente colimadora provista de una montura mecánica acanalada para guiarla sobre un riel, una montura mecánica giratoria provista

Figura 3.2. Diagrama esquemático (parte superior) y fotografía (parte inferior) del arreglo ETI usado para el sensado de superficies con simetría rotacional en eje y fuera de eje por transmisión en forma unidimensional.

Láser

Filtro Objetivo de

microscopio

Filtro espacial Lente bajo

prueba Lente colimadora

Rendija

Sistema de enfoque

Cámara CCD

(41)

de una platina en dirección z para trasladar y girar la lente bajo prueba y permita la búsqueda de los puntos nodales del elemento bajo prueba, en la figura 3.3 se aprecia esta montura con mayor detalle, una cámara CCD C2400 del fabricante Hamamatzu provista con un sistema de enfoque y soportada en una platina con desplazamiento en la dirección z, una tarjeta de video NI-1410 del fabricante National Instruments, una PC para la captura de las imágenes y procesado de la información, un riel fijado en una mesa de trabajo.

Figura 3.3. Montura para la lente de prueba.

Los elementos ópticos y mecánicos del arreglo nos permiten tener la fuente en eje y fuera de eje sin modificarlo apreciablemente. Es decir, si nos apoyamos de los puntos nodales del propio sistema óptico a evaluar, en el caso de que fuera de simetría esférica; entonces se puede analizar un perfil del frente de onda cuando la fuente esta en eje y fuera de eje. Aspecto por demás importante, porque la mayoría de los sistemas de prueba siempre lo hacen cuando la fuente está en eje.

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Para usar la ETI-1D es necesario calcular la variación de la intensidad respecto al eje de propagación, entonces debemos tomar intensidades en dos distintos planos a lo largo de z; por lo que el detector debe desplazarse estrictamente en esa dirección, por lo que la alineación del arreglo es muy importante y decisiva para obtener resultados correctos; más adelante se describe el procedimiento de alineación en la siguiente sección 3.2 que asegura esta restricción.

3.2 Arreglo para la ETI-1D e IDP

El arreglo ETI-1D e IDP para el sensado por transmisión unidimensional contiene los componentes del arreglo anteriormente descrito, más un divisor de haz; un IDP soportado por una platina x-y-z y atra cámara CCD. En este arreglo, la rendija está soportada en una montura x-y para que permita escanear la superficie bajo prueba; un arreglo esquemático y una fotografía de lo implementado se encuentra en la figura 3.4.

Cabe destacar que ambas cámaras CCD son Sony modelo XC-ST50 y están conectadas en una tarjeta National Instrumets modelo NI 1407; Sin embargo, es posible solo integrar el IDP para contrastar los dos métodos, en la figura 3.5 se muestran un diagrama esquemático y una fotografía de cómo puede ser implementado con una sola cámara. Es decir este arreglo es similar al primero pero sin la lente de enfoque en la CCD y con un IDP. En la fotografía se omite la parte de la fuente y filtrado para mostrar el IDP y su respectiva platina x-y-z.

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Figura 3.4. Diagrama esquemático (parte superior) y fotografía (parte inferior) del arreglo ETI-1D e IDP para el sensado por transmisión.

Láser Objetivo de

microscopio

Filtro espacial Lente bajo

prueba Lente

colimadora Rendija Sistema de

enfoque

Cámara CCD Cámara

CCD

Divisor de haz

Referencias

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