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La complejidad del polinomio de tutte y el polinomio de jones por medio de matroides

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(1)

LA COMPLEJIDAD DEL POLINOMIO DE TUTTE Y EL POLINOMIO DE JONES POR MEDIO DE MATROIDES

Un trabajo por:

Mat´ıas Ruiz Vesga

Remitido a la Facultad de Ciencias de la Universidad de Los Andes como requisito

para optar al t´ıtulo de:

MATEM ´ATICO

Director de Tesis: C´esar Galindo

Universidad de los Andes

Facultad de Ciencias, Departamento de Matem´aticas Bogot´a, Noviembre 2016

(2)

´Indice

Introducci´on 2

1. Matroides 3

1.1. Caracterizaciones 3

1.1.1. Circuitos 3

1.1.2. Bases 6

1.1.3. Funci´on de rango 9

1.1.4. Clausura 12

1.2. La Matroide Dual 17

1.3. Observaciones adicionales 21

2. El polinomio de Tutte 29

3. Preliminares para el teorema principal 31

4. Nudos y enlaces 33

5. El polinomio de Jones 35

6. Teorema principal 37

Ap´endice A. Grafos 39

Ap´endice B. Teor´ıa de la complejidad 39

Referencias 41

(3)

Introducci´on

En la teor´ıa de nudos, los enlaces orientados son cuerdas entrelazadas que tienen una direcci´on espec´ıfica. En 1984 el matem´atico neozeland´es Vaughan Jones, descubri´o que a estas estructuras se les pod´ıa asignar un polinomio en la variable t12, raz´on por la cual obtuvo la medalla

Fields seis a˜nos mas tarde. Este polinomio, llamado el polinomio de Jones, conect´o dos ´areas de las matem´aticas que aparentaban ser muy distantes: la teor´ıa de nudos y la mec´anica estad´ıstica.

Aunque este hallazgo conmocion´o al mundo cient´ıfico, los matem´ ati-cos con el tiempo se dieron cuenta que calcular el polinomio de Jones era pr´acticamente una tarea sin fin. Fue en este momento cuando cuan-do surgi´o en la teor´ıa de la computaci´on la necesidad de entender que tan complejo podr´ıa llegar a ser este algoritmo.

El objetivo de este proyecto es comprender la complejidad de cal-cular el polinomio de Jones para un nudo alternante. Este trabajo se divide en cinco cap´ıtulos. En el primer cap´ıtulo se van a estudiar los conceptos b´asicos de la teor´ıa de matroides como una herramienta para mas adelante calcular el polinomio de Tutte. En el segundo cap´ıtulo se va a investigar el polinomio de Tutte y sus propiedades fundamentales. El cuarto y quinto cap´ıtulo estudian la teor´ıa de nudos y ciertos pre-liminares para el teorema principal. Finalmente en el s´eptimo cap´ıtulo se comprende la complejidad de calcular el polinomio de Jones. Es-te trabajo esta fundamentado en el art´ıculo On the computational complexity of the Jones and the Tutte polynomials. Para mas detalles ver [6].

(4)

1. Matroides

En esta secci´on se va a cubrir un resumen bastante profundo de la teor´ıa de matroides. Para m´as detalles en el tema matroides ver [7]. Definici´on 1(Matroide).UnamatroideM es un par ordenado(E,I)

en donde E es un conjunto finito e I es una colecci´on de subconjuntos de E que cumple las siguientes condiciones:

(I1) ∈ I.

(I2) Si I ∈ I y I’⊆I entonces I’∈ I.

(I3) Si I1, I2 ∈ I y |I1|<|I2| entonces existe e∈I2−I1 tal que

I1∪ {e} ∈ I.

SiM es la matroide (E,I), la colecci´onI ( tambi´en denotada I(M)) es llamada el conjunto de elementosindependientes deM. An´ aloga-mente E o E(M) es llamado el conjunto base de la matroide.

Un subconjunto de E que no este en I es llamado un elemento dependiente. La colecci´on deconjuntos dependientes minimales con-tiene todos los elementos dependientes cuyos subconjuntos propios son dependientes.

Ejemplo 1.1(Conjuntos dependientes y dependientes minimales). Sea

E = 1,2,3,4,5 e

I ={,{1},{2},{4},{5},{1,2},{1,5},{2,4},{2,5},{4,5}}.

El conjunto de elementos dependientes de la matroide es

{{3},{1,3},{1,4},{2,3},{3,4},{3,5}} ∪ {X ⊆E :|X| ≥3}.

El conjunto de conjuntos dependientes minimales es

{{3},{1,4},{1,2,5},{2,4,5}}. 1.1. Caracterizaciones.

1.1.1. Circuitos.

En esta secci´on se va a definir lo que es un circuito y se van a caracte-rizar las matroides por medio de estos.

Definici´on 2 (Circuitos). Sea M una matroide. Un conjunto indepen-diente minimal es llamado circuito. El conjunto de todos los circuitos se denotar´a por C o por C(M).

Ahora se va a mostrar como se pueden determinar I(M) a partir de

C(M) y viceversa. Se quiere ver que una matroide est´a completamente determinada por sus circuitos.

Proposici´on 1.2. I ={A⊆E :C*A ∀ C circuito}

(5)

Demostraci´on.

Se quiere ver que I ⊇ {A ⊆ E : C * A ∀ C circuito}. Sea A ∈ {A ⊆ E : C * A ∀ C circuito}. Se asume por contradicci´on que A es dependiente. Como A es dependiente necesariamente tiene que contener a alg´un circuito ya sea por contenencia propia o no. Como A contiene un circuito entonces por hip´otesis no puede pertenecer a

{A⊆E :C *A ∀ C circuito }. Se tiene queA es independiente.

Ahora se quiere ver la contenencia contraria. Sea I ∈ I. Se asume por contradicci´on que existeC circuito tal que C ⊆ I. Se sigue que I es dependiente porque si no lo fuera C ser´ıa independiente por (I2) y esto ser´ıa una contradicci´on. Esto es una contradicci´on dado que desde desde el comienzo se hab´ıa asumido que I era independiente entonces

se concluye queA ∈ I.

Ahora se van a exponer las propiedades de los circuitos de una ma-troide y se va a entender la relaci´on que existe entre los circuitos de una matroide y esta.

Propiedades de circuitos: Sea M una matroide, C su colecci´on de circuitos yC1, C2 elementos deC, entonces

(C1) ∈ C/ .

(C2) Si C1 ⊆C2 entoncesC1 =C2.

(C3) Si C1 6=C2 y e ∈ C1∩C2 entonces existe C3 ∈ C tal que C3 ⊆C1∪C2− {e}.

Demostraci´on. Se asume por contradicci´on que no existe C3 ∈ C tal que C3 ⊆ C1 ∪C2 − {e}. Esto quiere decir que C1 ∪C2 − {e} no es un conjunto dependiente, luego C1 ∪C1 − {e} ∈ I. Como C1 6= C2 por la propiedad (C2) se tiene que C1 −C2 6= ∅. Sea r ∈ C1 −C2.. Dado que r ∈ C1 y C1 es circuito entonces C1 − {r} ∈ I. Sea I un conjunto maximal con la propiedad de que es independiente y contiene a C1− {r}. Como C2 es circuito yC1− {r}es independiente entonces existe s ∈ C2 tal que s /∈ (C1 − {r}). Es claro que r 6= {s} dado que r /∈C2. Se tiene entonces que

|I| ≤ |(C1 ∪C2)− {f, g}|=|C1 ∪C2| −2<|(C1∪C2)− {e})|. TantoI como (C1∪C2)− {e}pertenecen aI entonces por la propiedad (I3) existe z ∈ ((C1∪C2)− {e})−I tal que (I∪ {z}) ∈ I y esto es una contradicci´on puesto queI se hab´ıa tomado maximal.

(6)

Teorema 1.3. Sea E un conjunto finito y C una colecci´on de subcon-juntos de E que cumplen las condiciones (C1)-(C3). SeaI la colecci´on de subconjuntos deE que no contienen ning´un elemento deC.Entonces el par (E,I) es una matroide y C son sus circuitos.

Demostraci´on. Primero se tiene que ver que (E,I) es una matroide y para esto se tiene que mostrar queI cumple las propiedades (I1)-(I3). (I1) Claramente no contiene ning´un elemento de C entonces∈ I.

(I2) Sea I2 ∈ I e I1 ⊆E tal que I1 ⊆I2. ComoI2 no contiene ning´un elemento de C entonces I1 no contiene ning´un elemento de C y por lo tanto I1 tambi´en es independiente.

(I3) Sea I1, I2 ∈ I tal que |I1| <|I2|. Se asume por contradicci´on que (I3) no se cumple es decir que∀x∈I2−I1 se tiene queI1∪{x}∈ I/ . Sea

D={G⊂I1∪I2 :G∈ I,|G|>|I1|}.D 6=∅ puesto que I2 ⊂I1∪I2. Como E es finito entonces D es finito y por lo tanto min{|I1 −D| : D∈ D} existe. Sea I3 ∈ D tal que |I1−I3|=min{|I1−D|:D∈ D}. Adicionalmente se sabe que I1 − I3 6= ∅ porque de lo contrario I1 ser´ıa subconjunto de I3 y como |I3| > |I1| esto implicar´ıa que existe d∈I3−I1 tal queI1∪ {d} ⊆I3. Mas a´un como se asumi´o queI1∪ {d} no es independiente entonces existir´ıa C ∈ C tal que C ⊆ I3 lo que es una contradicci´on. Se fija e ∈ I1−I3. Se sabe que I3 − I1 6= ∅ dado que |I3| >|I1|. Se define para cada f ∈I3−I1 el conjunto Tf = (I3 ∪ {e})− {f}. Tf ⊆ I1 ∪I2 puesto que I3 ⊆ I1 ∪I2. Se tiene que

|I1 −Tf| < |I1 −I3| porque e ∈ I1 y f /∈ I1. Como se hab´ıa dicho que I3 era minimal con esta propiedad y con la de ser independiente entonces Tf ∈ I/ . Por esta raz´on existe Cf ∈ C tal que Cf ⊆ Tf. Se sigue que f /∈Tf por lo cual f /∈Cf. Adicionalmentee∈Cf porque de lo contrario comoCf ⊆[(I3∪{e})−{f}] entoncesCf ser´ıa subconjunto deI3 y esto implicar´ıa por hip´otesis que I3 ∈ I/ .

Ahora se va a mostrar que (C3) no se cumple cuando se asume que (I3) no se cumple. Sea g ∈I3−I1. Se quiere ver que Cg∩(I3−I1)6=

∅. Se asume por contradicci´on que Cg ∩(I3−I1) = ∅. Como Cg ⊆ (I3∪ {e})− {g} se tiene queCg ⊆(I3 ∪ {e}). Comoe∈I1 entonces se tiene queCg∩[(I3∪ {e})−I1] =∅⇔Cg∩[(I3∪ {e})∩(I1)c] =∅. Por las dos afirmaciones anteriores se puede decir queCg ⊆[(I3∪ {e})∩I1]. Puesto que g /∈ Cg entonces Cg ⊆ [(I3 ∪ {e})∩I1]− {g} pero [(I3 ∪

{e})∩I1]− {g} ⊆ I1 y esto ser´ıa una contradicci´on dado que I1 ∈ I. Se concluye que Cg∩(I3−I1)6=∅. Seah ∈Cg∩(I3−I1). Por lo que

(7)

se hab´ıa probado antes h /∈Ch entonces Cg 6=Ch y como e ∈Cg∩Ch (C3) implica que existe C ∈ C tal que C ⊆ (Cg ∪Ch)− {e}. Como Cg∪Ch ⊆I3∪ {e}, (Cg∪Ch)− {e} ⊆I3 y se concluye queC ⊆I3, lo que es una contradicci´on. Por lo tanto se tiene que (I3) se cumple para el conjunto I.

Ahora falta demostrar que C es un circuito de la matroide (E,I) ⇔

C ∈ C. Para probar esto se quiere ver que las siguientes afirmaciones son iguales:

1. C es un circuito de (E,I). 2. C /∈ I y C−x∈ I ∀x∈C.

3. ∃C0 ∈ C tal queC0 ⊆C peroC0 no es un subconjunto propio de C.

4. C ∈ C.

1⇒2:SeaCun circuito de la matroide (E,I). Por definici´on de circuito Ces dependiente. AdicionalmenteC−xes un subconjunto propio deC para todox∈C. Por definici´on de circuito C−x es un independiente para todox∈C.

2⇒3: Por hip´otesis como C /∈ I entonces C es un subconjunto de E que contiene alg´un elemento C0 de C. Esta contenencia no puede ser propia porque de ser as´ı existir´ıax∈C−C0 tal queC0 ⊆C−{x}, pero por hip´otesis C − {x} ∈ I, lo que ser´ıa una contradicci´on. Se afirma que C =C0.

3⇒4: ComoC =C0 y C0 ∈ C entonces C ∈ C.

4⇒1: Como C ∈ C entonces C /∈ I, por lo cual C es dependiente. Ahora se quiere ver que todo subconjunto propio es independiente. Sea A subconjunto propio de C y suponga que A /∈ I. Entonces por hip´otesis existe C∗ ∈ C tal que C∗ ⊆ A. Esto implica que C∗ ⊂ C y que C∗ 6= C lo que contradice la condici´on (C3) entonces A ∈ I. Se concluye que C es un circuito de la matroide (E,I). Corolario 1.4. Sea C una colecci´on de subconjuntos de E. Entonces C es el conjunto de los circuitos de una matroide en E si y s´olo si C cumple (C1)-(C3).

1.1.2. Bases.

En esta secci´on se va a definir lo que es una base y se van a caracterizar las matroides por medio de estas.

(8)

Definici´on 3 (Base). Una base de una matroide M es un conjunto independiente maximal.

Ejemplo 1.5 (Bases). Tomando el Ejemplo 1.1, se tiene que las bases de la matroide (E,I) son los conjuntos:

{1,2},{2,4},{2,5},{4,5}.

A continuaci´on se encuentran las propiedades fundamentales de las bases las cuales son sencillas de verificar.

Lema 1.6. Sea M una matroide y B su conjuntos de bases. Si B1 y B2 son dos elementos de B entonces |B1|=|B2|.

Demostraci´on. Se asume por contradicci´on que |B1| < |B2|. Por la propiedad (I3) existeb∈B2−B1 tal queB1∪{b}Bpero esto contradice la maximalidad de B1. Se tiene que |B1| ≥ |B2|. An´alogamente |B1| ≤

|B2| y se concluye que |B1|=|B2|. Propiedades de bases: Sea M una matroide y B el conjunto las bases.Sea B1, B2 elementos de B, entonces

(B1) B 6=.

(B2) SiB1 6=B2 entonces existe x∈B1−B2 y y∈B2−B1 tal que (B1− {x})∪ {y} ∈ B.

El siguiente teorema caracteriza las matroides utilizando las propie-dades de las bases.

Teorema 1.7. Sea E un conjunto y B una colecci´on de subconjuntos de E que cumplen las propiedades (B1) y (B2). Sea

I ={S ⊆E :S ⊆B, B ∈ B}.

Entonces (E,I) es una matroide que tiene a B como su base.

Demostraci´on. Primero se quiere mostrar que (E,I) es una matroide. Para esto se quiere ver que (E,I) cumple (I1)-(I3).

(I1)Es claro que ∈ I porque el conjunto vac´ıo est´a contenido en cualquier conjunto, en espec´ıfico en todos los conjuntos que est´an en

B.

(I2) Sea I ∈ I y sea I0 ⊆ I. Por hip´otesis I ⊆ B para alg´un B ∈ B. Claramente I0 ⊆B entonces I0 ∈ I.

Lema 1.8. Los elementos de B tienen la misma cardinalidad.

(I3) Sea I1, I2 ∈ I tal que |I1| <|I2|. Se asume por contradicci´on que (I3) no se cumple es decir ∀x ∈I2−I1 se tiene que I1∪ {x}∈ I/ . Por

(9)

definici´on existeB1, B2 ∈ B tal que I1 ⊆B1 eI2 ⊆B2. Dado queE es un conjunto finitoB2 se puede escoger de tal manera que|B2−(I2∪B1)| es minimal. Ahora se quiere demostrar que

(1) I2−B1 =I2−I1.

Por un lado como I1 ⊆ B1 se tiene que I2 − B1 ⊆ I2 − I1. Por otro lado se quiere ver que x ∈ I2−I1 ⇒ x /∈ B1. Se asume por contradicci´on que existe y ∈ I2−I1 tal que y ∈ B1. Como I1 ⊆ B1 entonces I1 ∪ {y} ⊆ B1. Se puede concluir que I1 ∪ {y} ∈ I pero I1∪ {y}∈ I/ entonces se concluye quey /∈B1. Es claro que I2−I1 ⊆I2. Por lo que se acaba de probar se sigue que I2−I1 ⊆I2−B1 y se tiene la igualdad (1).

Ahora se quiere mostrar que B2 −(I2 ∪B1) = ∅. Se asume por contradicci´on que B2−(I2∪B1)6=∅. Sea y∈B2−(I2∪B1). Puesto que y /∈ B1, por la condici´on (B2) existe z ∈ B1−B2 tal que (B2 − {x})∪ {z} ∈ B. Comox∈B2 y y∈B1 se tiene que:

[(B2− {x})∪ {y}]−(I2∪B1)

=

(B2− {x})−(I2∪B1)

(B2− {x})−(I2∪B1)

<

B2−(I2∪B1)

.

Esto es una contradicci´on porque B2 se hab´ıa escogido de tal manera que |B2−(I2∪B1)| fuera minimal. Se tiene que B2−(I2∪B1) =∅ y esto implica que B2 ⊆ I2 ∪B1. Como I2 ⊆ B2 entonces B2−I2 ⊆ B1 y se tiene que B2−B1 =I2 −B1. Por (1) se tiene que,

(2) B2−B1 =I2−I1.

Ahora se quiere mostrar que B1−(I1∪B2) =∅. Suponga por

con-tradicci´on queB1−(I1∪B2)6=∅y seas∈B1−(I1∪B2). (B2) implica que existe r ∈ B2−B1 tal que (B1− {s})∪ {r} ∈ B. Como s /∈ I1 y I1 ⊆B1 entonces se tiene queI1∪{r} ⊆(B1−{s})∪{r}y por hip´otesis se puede decir queI1∪ {r} ∈ I. Comor ∈B2−B1 por (2) se tiene que r ∈ I2 −I1 y esto es una contradicci´on porque se hab´ıa asumido que (I3) no se cumpl´ıa entonces se concluye que B1−(I1 ∪B2) = ∅. Por lo anterior B1 ⊆ I1∪B2 y como I1 ⊆ B1 entonces B1 −I1 ⊆ B2 y se tiene que B1−B2 =I1−B2. Como I1 −B2 ⊆I2−I1 se concluye que

(3) B1−B2 ⊆I1−I2.

Por otro lado se tiene que,

B1 ={x∈B1 :x∈B2} ∪ {y∈B1 :x /∈B2} B2 ={x∈B2 :x∈B1} ∪ {y∈B2 :x /∈B1}

(10)

Como {x∈B1 :x∈B2} ∩ {y∈B1 :x /∈B2}= y

{x∈B2 :x∈B1} ∩ {y∈B2 :x /∈B1}=∅ entonces,

|B1|=|{x∈B1 :x∈B2}|+|{y∈B1 :x /∈B2}|

|B2|=|{x∈B2 :x∈B1}|+|{y∈B2 :x /∈B1}|.

Es claro que |{x ∈ B1 : x ∈ B2}| = |{x ∈ B2 : x ∈ B1}| y como

|B1| = |B2| por el Lema 1.8 entonces |{y ∈ B1 : x /∈ B2}| = |y ∈ B2 : x /∈ B1}|.Se concluye que |B1−B2| = |B2 −B1|. Por (2) y (3) se tiene que |I1 −I2| ≥ |I2−I1| y por lo tanto |I1| ≥ |I2|.Esto es una contradicci´on, entonces se puede concluir que I cumple (I3) y por lo tanto (E,I) es una matroide.

Ahora falta verificar que B es un base de la matroide (E,I)⇔B ∈ B. (⇐) Sea B ∈ B.Puesto que B ⊆ B entonces B ∈ I. Se asume que B ⊆ I donde I ∈ I entonces |B| ≤ |I|. Si |B| < |I| entonces I * B para cualquier B ∈ B por tanto I /∈ I, lo que ser´ıa una contradicci´on luego |B| =|I| y se concluye que B = I,es decir, B es maximal. (⇒) Sea B∗ una base de la matroide (E,I). Por definici´onB∗ es maximal e independiente. Entonces se tiene que B∗ ∈ I por lo cual existeB0 ∈ B

tal que B∗ ⊆ B0 pero como B∗ es maximal luego B∗ = B0, por tanto B∗ ∈ B.

Corolario 1.9. Sea B una colecci´on de subconjuntos de E. Entonces B es la colecci´on de bases de una matroide enE si y solo siB satisface (B1) y (B2).

1.1.3. Funci´on de rango.

En esta secci´on se va a definir la funci´on de rango de una matroide y se van a caracterizar las matroides por medio de esta.

Definici´on 4(Restricci´on de una matroide). Sea M la matroide(E,I)

y sea X ⊆ E. I|X = {I ⊆ X : I ∈ I}. La restricci´on de la matroide M a X es la matroide (X, I|X) y se va a denotar por

M|X.

Ahora se quiere ver que en efectoM|X es una matroide. Es claro que

∅∈ I|X entonces se cumple (I1). Por otro lado suponga que I ∈ I|X

y que I0 ⊆I entonces por definici´on se tiene queI ⊆X y I ∈ I. Como I0 ⊆ X e I0 ∈ I entonces I0 ∈ I|X por lo tanto se tiene (I2). Sea I1, I2 ∈ I|X tal que |I1| < |I2|. Por definici´on se tiene que I1 ⊆ X e I1 ∈ I eI2 ⊆X eI2 ∈ I. Por definici´on de la matroide (E,I) se tiene

(11)

que existe e∈I2 −I1 tal que I1∪ {e} ∈ I. Como e∈X,I1∪ {e} ⊆X entonces se tiene que I1∪ {e} ∈ I|X es decirM|X es una matroide. Definici´on 5 (Rango). Sea X ⊆ E entonces el rango ρ(X) de X es el tama˜no de una base de la matroide M|X.

Definici´on 6 (Funci´on de rango). Lafunci´on de rangoρ: 2E −→

N de M una matroide(E,I)es la funci´on que le asigna a cada subconjunto

X de E el tama˜no de cualquier base de la matroide M|X.

A continuaci´on se encuentran las propiedades de la funci´on de rango de una matroide las cuales son sencillas de verificar.

Propiedades de la funci´on de rango: Sea (E,I) una matroide, ρ su funci´on de rango y X, Y subconjuntos deE, entonces

(R1)0≤ρ(X)≤ |X|.

(R2) SiX ⊆Y ⊆E entonces ρ(X)≤ρ(Y). (R3) ρ(X∪Y) +ρ(X∩Y)≤ρ(X) +ρ(Y). Teorema 1.10. Sea E un conjunto finito y ρ : 2E −→

N una funci´on que satisface (R1)-(R3). Si I = {X ⊆ E : ρ(X) = |X|} entonces

(E,I) es una matroide con funci´on de rango ρ.

Demostraci´on. En primer lugar se quiere demostrar que I satisface (I1)-(I3).

(I1) Por definici´onρ() =max{|I|:I ⊆∧I ∈ I} y ||= 0. Como el ´unico subconjunto de vac´ıo es el mismo entoncesρ() = 0 y se tiene que ρ() =||. Por todo lo anterior∈ I.

(I2) SeaI ∈ I yI0 ⊆I. Se sabe por hip´otesis que ρ(I) =|I|. Por (R3) se sabe que

ρ[I0∪(I−I0)] +ρ[I0∩(I −I0)]≤ρ(I0) +ρ(I−I0) es decir

ρ(I) +ρ()≤ρ(I0) +ρ(I−I0) pero ρ() = 0 y ρ(I) =|I| entonces se tiene que

|I| ≤ρ(I0) +ρ(I−I0).

Por (R2) se sabe queρ(I0)≤ |I0|yρ(I−I0)≤ |I−I0|entonces se tiene que

|I| ≤ρ(I0) +ρ(I−I0)≤ |I0|+|I−I0|=|I|

(12)

ρ(I0) +ρ(I−I0) = |I0|+|I −I0|

y se tiene que ρ(I0) = |I0|. Se concluye que I0 ∈I.

Lema 1.11. Sea E un conjunto finito y ρ: 2E −→N una funci´on que satisface (R2) y (R3). Si X, Y ⊆ E y para todo z ∈ Y −X se tiene que ρ(X∪ {z}) =ρ(X) entonces ρ(X∪Y) = ρ(X).

(I3) Sea I1, I2 ∈ I tal que |I1| <|I2|. Se asume por contradicci´on que (I3) no se cumple es decir ∀z ∈I2−I1 se tiene que I1∪ {z} ∈ I/ . Sea z ∈ I2−I1. Por lo anterior se tiene que ρ(I1 ∪ {z}) 6= |I1∪ {z}|. Por (R1) se sabe que ρ(I1 ∪ {z})≤ |I1∪ {z}| entonces se puede decir que ρ(I1∪ {z}) ≤ |I1|+ 1. Adicionalmente por (R2) se sabe que ρ(I1) ≤ ρ(I1 ∪ {z}) y como ρ(I1) = |I1| entonces se tiene que |I1| = ρ(I1) ≤ ρ(I1∪ {z})<|I1|+ 1. Se puede concluir que ρ(I1∪ {z}) =|I1|. Por el Lema 1.11 se tiene que ρ(I1) = ρ(I1 ∪I2). Por otro lado por (R2) se tiene que ρ(I1∪I2)≥ρ(I2) entonces

|I1|=ρ(I1) = ρ(I1∪I2)≥ρ(I2) =|I2|

pero esto contradice la hip´otesis de contradicci´on entonces (I3) si se cumple. Se concluye que (E,I) es una matroide

Ahora falta mostrar que ρ efectivamente es la funci´on de rango de la matroide (E,I). Sea M la matroide (E,I) y sea ρM su funci´on de rango. Lo que se va a mostrar es que ρ(X) = ρM(X)∀X ⊆ E. Sea X ⊆I. Se tienen dos casos:

Caso 1. Suponga queX ∈ I. Por definici´on de I se tiene que ρ(X) =

|X|. Por otro lado I|X ={I ⊆ X : I ∈ I}. Claramente X ∈ I|X en-toncesX ser´ıa una base de la matroideM|X y por definici´onρM(X) =

|X|. Tenemos entonces que ρ(X) =ρM(X).

Caso 2. Suponga que X /∈ I. Sea B una base de la matroide M|X. X −B 6= porque de lo contrario X ser´ıa independiente y no lo es. Por definici´onρM(X) = |B|. Por otro lado como B es base entonces B es inpendiente, ρ(B) =|B| y se cumple que B∪ {x}∈ I ∀/ x∈X−B. Luego por (R1) se tiene que ρ(B∪ {x})<|B∪ {x}|. Por (R2) y todo lo anterior se tiene que,

|B|=ρ(B)≤ρ(B∪ {x})<|B ∪ {x}|=|B|+ 1

Esta ecuaci´on implica que ρ(B∪ {x}) = |B|=ρ(B). Por el Lema 1.11 se tiene que ρ(B ∪X) = ρ(B) =|B| y como B ⊆ X se concluye que ρ(X) =|B|. Finalmente se tiene queρ(X) =ρM(X) y se concluye que ρ es la funci´on de rango de la matroide M.

(13)

Corolario 1.12. Sea E un conjunto finito. ρ: 2E −→N es la funci´on de rango de una matroide en E si y solo si satisface las propiedades (R1)-(R3).

Proposici´on 1.13. Sea M una matroide (E,I) con funci´on de rango

ρ: 2E −→

N y X ⊆E(M). Entonces se tiene que

1. X ∈ I ⇐⇒ |X|=ρ(X).

2. X ∈ B ⇐⇒ |X|=ρ(X) = ρ(E).

3. X ∈ C ⇐⇒ X 6=y para todo x∈X, ρ(X− {x}) =|X| −1 = ρ(X).

Demostraci´on.

1.

⇒ Sea X ∈ I. Por definici´on de la matroide M|X, I|X = {I ⊆ X : I ∈ I} y X ∈ I|X. Es claro que X es maximal en I|X, es decir X es una base de M|X. Por definici´on de la funci´on de rango se tiene que ρ(X) =|X|.

⇐Sea X tal queρ(X) = |X|. Por definici´onρ(X) es el tama˜no de una base de la matroide M|X entonces existe una base B1 de la matroide M|X tal que B1 ∈ I|X y |B1| =|X|. Como B1 ⊆ X, por lo anterior se tiene que B1 =X y por lo tanto X ∈ I.

2.

⇒ SeaX ∈ B. Como X es independiente por la demostraci´on anterior se sabe que ρ(X) = |X|. Por definici´on de la funci´on de rango, ρ(E) es el tama˜no de una base de la matroide M entonces ρ(E) =|X| y se tiene que |X|=ρ(X) =ρ(E).

⇐ Sea X ⊆E tal que |X|=ρ(X) =ρ(E). Esto implica que una base de la matroideM|Xtiene el mismo tama˜no que una base de la matroide M. Adem´as por el punto anterior se sabe que X es independiente. Por definici´on de base X ⊆B para alg´unB base de la matroide M. Por lo anterior se puede afirmar que|B|=|X|por lo cualX =B, es decirX

es una base de M.

1.1.4. Clausura.

En esta secci´on se va a definir la clausura de un conjunto y se van a caracterizar las matroides a partir de esta.

Definici´on 7 (Clausura). Sea M una matroide con conjunto base E y funci´on de rango ρ. Sea X ⊆E, se define la clausura de X como

cl(X) ={x∈E :ρ(X∪ {x}) =ρ(X)} Es claro que la clausura cl es una funci´on cl: 2E 2E.

(14)

Propiedades de la clausura:Sea (E,I) una matroide,clsu clausura,ρ su funci´on de rango y X, Y subconjuntos deE, entonces

(CL1)X ⊆cl(X).

(CL2) Si X ⊆Y entonces cl(X)⊆cl(Y). (CL3)cl(cl(X)) = cl(X).

(CL4) Si x ∈ E y y ∈ cl(X∪ {x}) − cl(X) entonces x ∈

cl(X∪ {y}).

Demostraci´on. En la siguiente demostraci´on ρ es la funci´on de rango de la matroide (E,I)

(CL1) Sea X ⊆ E. Por definici´on se sabe que cl(X) = {x ∈ E : ρ(X∪ {x}) =ρ(X)}. Sea z ∈X. Es claro queX∪ {z}=X por lo cual se puede concluir que ρ(X∪ {z}) =ρ(X), es decir z ∈cl(X).

(CL2) Sean X ⊆Y ⊆E. Por definici´on se tiene que cl(X) ={x∈E :ρ(X∪ {x}) =ρ(X)}

cl(Y) ={y∈E :ρ(Y ∪ {y}) = ρ(Y)}

Sea x ∈ cl(X)−X y BX una base de la matroide M|X. Se quiere mostrar que ρ(Y ∪ {x}) = ρ(Y). Por definici´on se sabe que ρ(X ∪ {x}) =ρ(X), es decir cualquier base de M|X tiene el mismo tama˜no que cualquier base de M|X ∪ {x}. Usando lo anterior como BX ⊆ X∪ {x}yBX tiene el mismo tama˜no que cualquier base deM|X∪{x} entonces por la Proposici´on 1.13BX tambi´en es una base deM|X∪{x}. Es claro que BX ⊆ X entonces BX ∪ {x} ⊆ X∪ {x} y como x /∈ BX entonces BX ∪ {x} ∈ I|/ X∪ {x}. M´as espec´ıficamente BX ∪ {x} ∈ I/ . Por esta raz´on comoBX ⊆Y yBX ∈ Ientonces existe una baseBY∪{x}

de la matroide M|Y ∪ {x} que contiene a BX pero que no contiene a

{x}. Se puede deducir que BY∪{x} es una base de la matroide M|Y y

se concluye queρ(Y ∪ {x}) = ρ(Y), es decir cl(X)⊆cl(Y).

(CL3) Sea X ⊆ E. Por (CL1) se sabe que cl(X) ⊆ cl(cl(X)). Solo falta verificar la otra contenencia. Sea z ∈cl(cl(X)). Por definici´on se sabe que

(4) ρ(cl(X)∪ {z}) =ρ(cl(X))

Seay∈cl(X)−X. Por definici´on de clausura se sabe queρ(X∪{y}) = ρ(X). Por el Lema 1.11 se tiene que

(5) ρ(X) =ρ(X∪[cl(X)−X]) = ρ(cl(X)) Por (4) y (5) se tiene que

(6) ρ(X) =ρ(cl(X)∪ {z}) 13

(15)

y por (CL1) y a (R2) se tiene que

ρ(cl(X)∪ {z})≥ρ(X∪ {z})≥ρ(X).

Por (6) se deduce que ρ(X) =ρ(X ∪ {z}) y por lo tanto cl(cl(X)) ⊆

cl(X). Se concluye que cl(cl(X)) =cl(X).

Lema 1.14. SiX ⊆Eyx∈E entoncesρ(X)≤ρ(X∪{x})≤ρ(X)+1

Demostraci´on. Sea BX una base deM|X. Hay dos casos:

Caso 1. Se asume que ρ(X) = ρ(X ∪ {x}). Se tiene entonces que ρ(X∪ {x}) =ρ(X)≤ρ(X) + 1 y se cumple la desigualdad.

Caso 2. Se asume que ρ(X) < ρ(X ∪ {x}). Como X ⊆ X∪ {x} en-tonces existe una base BX∪{x} de M|X ∪ {x} tal que BX ⊂ BX∪{x} y |BX| <|BX∪{x}|. Es claro que x∈BX∪{x} porque o si no BX∪{x} ser´ıa

subconjunto deX independiente con un tama˜no mayor que la baseBX lo que ser´ıa una contradicci´on. Por este mismo argumento se puede afirmar queBX∪{x}− {x}=BX. Esto implica que BX∪{x} =BX ∪ {x} y por lo tanto ρ(X∪ {x}) = ρ(X) + 1. Se tiene entonces que ρ(X)< ρ(X∪ {x}) =ρ(X) + 1 y se cumple la desigualdad. (CL4) Sea X ⊆ E, x ∈ E y s ∈ cl(X∪ {x})−cl(X). Se quiere ver queρ(X∪ {s} ∪ {x}) = ρ(X∪ {s}). Por hip´otesis se puede afirmar que

ρ(X∪ {s} ∪ {x}) = ρ(X∪ {x}) (7)

ρ(X)< ρ(X∪ {s}). (8)

El Lema 1.14 implica que ρ(X) ≤ ρ(X ∪ {s}) ≤ ρ(X) + 1 y por (8) se puede deducir que ρ(X ∪ {s}) = ρ(X) + 1. Por el mismo lema se tiene que ρ(X ∪ {x})≤ ρ(X) + 1. Por la propiedad (R2) se tiene que ρ(X∪ {s} ∪ {x})≥ρ(X∪ {s}) =ρ(X) + 1 entonces por (7) se tiene que ρ(X∪ {x})≥ρ(X) + 1 y se puede afirmar queρ(X∪ {x}) =ρ(X) + 1. Por (7) se concluye queρ(X∪{s}∪{x}) =ρ(X)+1 y se tiene finalmente

que ρ(X∪ {s} ∪ {x}) =ρ(X∪ {s}).

Teorema 1.15. Sea E un conjunto y cl : 2E 2E una funci´on que

satisface (CL1)-(CL4). Sea I = {X ⊆ E : x /∈ cl(X− {x})∀x∈X} entonces se tiene que (E,I) es una matroide que tiene a cl como su clausura.

Demostraci´on. Para mostrar que (E,I) es una matroide se tiene que mostrar que I cumple las propiedades (I1)-(I3).

(16)

(I2) Sea I1, I2 ⊆E tal queI2 ∈E e I1 ⊆I2. Por hip´otesis se sabe que z /∈ cl(I2− {z}) para todo z ∈ I2. Mas espec´ıficamente se tiene que z /∈cl(I2− {z}) para todoz ∈I1. Por (CL2) se tiene quecl(I1−{z})⊆ cl(I2− {z}) para todo z ∈ I1 entonces por lo anterior es claro que z /∈cl(I1− {z}) para todo z ∈I1, es decir I1 ∈ I.

Lema 1.16. Sea X ⊆ E y s ∈ E. Si X ∈ I y X ∪ {s} ∈ I/ entonces

s∈cl(X).

Demostraci´on. Sea X ⊆E, s∈E. Se asume que X ∈ I. Como X ∈ I

se tiene que s /∈ cl(X− {s})∀s∈X. Se asume por contradicci´on que s /∈ cl(X). Por (CL3) s /∈ cl(X− {s}) entonces se puede deducir que X ∪ {s} ∈ I pero esto es una contradicci´on. Se concluye que s /∈

cl(X).

(I3) Sea I10, I20 ∈ I tal que |I10| <|I20|. Se asume por contradicci´on que (I3) no se cumple, es decir ∀z ∈I2−I1 se tiene queI1∪ {z}∈ I/ . Sea S = {(I, J) : I, J ∈ I,|I| <|J| e (I3) no se cumple}. Es claro por la hip´otesis de contradicci´on que S 6=. Sea (I1, I2) ∈ S de tal manera que |I1 ∩I2| es maximal. Como |I2| > |I1| entonces I2 −I1 6= ∅. Sea z ∈I2−I1. Se asume que I1 ⊆cl(I2− {z}). Por (CL2) y (CL3) se sabe que

cl(I1)⊆cl(cl(I2− {z})) =cl(I2− {z})

Como I2 ∈ I entonces z /∈ cl(I2− {z}) y por lo tanto z /∈ cl(I1). Por el Lema 1.16 se tiene que I1 ∪ {z} ∈ I y esto es una contra-dicci´on porque se hab´ıa asumido que (I3) no se cumpl´ıa. Se puede concluir que I1 * cl(I2− {z}). Sea t ∈ I1 tal que t /∈ cl(I2− {z}). Por (CL1) se tiene que t /∈ I2− {z} por lo tanto t /∈ I2 y se pue-de afirmar que t ∈ I1−I2. Otra vez por el Lema 1.16 se tiene que (I2− {z})∪ {t} ∈ I. Como (I1∩I2) ⊂ I1∩(I2− {z})∪ {t} entonces

|I1∩I2|<|I1∩(I2− {z})∪ {t}|. Esto implica por la maximalidad de

|I1∩I2| que (I1,(I2 − {z})∪ {t}) ∈/ S entonces (I1,(I2− {z})∪ {t}) cumple (I3), es decir existeb ∈(I2−{z})∪{t})−I1 tal queI1∪{b} ∈ I. ComoI2−I1 ⊇(I2− {z})∪ {t} −I1 entoncesb ∈I2 −I1 y se tiene que (I1, I2) cumple (I3)lo que es una contradicci´on. Se concluye que (I3) se cumple siempre y por lo tanto (E,I) es una matroide

Ahora solo falta verificar que efectivamente cl es la clausura de la ma-troide (E,I). Sea clM y ρM la clausura y la funci´on de rango de la matroide (E,I) respectivamente. Se quiere ver queclM(X) = cl(X).

⊆. Sea x∈clM(X)−X. Por definici´on de clausura se sabe que (9) ρM(X∪ {x}) = ρM(X)

(17)

Sea B una base de la matroide M|X. La ecuaci´on (9) y la propiedad (R2) implican la siguiente desigualdad

ρM(X∪ {x}) =ρM(X) = ρM(B)≤ρM(B∪ {x})≤ρM(X∪ {x}), es decir ρM(B) = ρM(B ∪ {x}). Lo anterior implica que B ∪ {x} ∈ I/ porque o si no de lo contrario por el Lema 1.14|B|ser´ıa igual a|B|+ 1 lo que ser´ıa una contradicci´on. Con el Lema 1.16 se puede concluir que x ∈ cl(B) pero por (CL2) se tiene que cl(B) ⊆ cl(X) entonces x ∈ cl(X). Por otro lado si x perteneciera a X por (CL1) x ser´ıa un elemento de cl(X). Se concluye que clM(X)⊆cl(X).

⊇. Sea s ∈cl(X)−X y B una base de la matroide M|X. En primer lugar, por (CL1) se tiene que B ⊆ cl(B). En segundo lugar se quiere ver que X −B ⊆ cl(B). Sea y ∈ X−B. B ∪ {y} ∈ I/ porque de lo contrario B ∪ {y} pertenecer´ıa a I y B no ser´ıa una base de M|X. Por todo lo anterior y por el Lema 1.16 se tiene que y ∈ cl(B) para todo y ∈ X−B, es decir X −B ⊆ cl(B). Se tiene que X ⊆ cl(B). Por (CL2) y (CL3) se tiene que cl(X) ⊆ cl(cl(B)) =cl(B) entonces cl(X) ⊆ cl(B). Por lo anterior s ∈ cl(B) puesto que s ∈ cl(X). Por hip´otesis se sabe que I ={X ⊆E :x /∈cl(X− {x})∀x∈X}entonces con lo anterior se puede deducir que B∪ {s}∈ I/ .A partir del segundo caso de la demostraci´on del Lema 1.14 se sabe que B es una base de la matroideM|X∪ {s}, de lo contrario B∪ {s} ser´ıa una base de esta matroide y por lo tanto B ∪ {s} pertenecer´ıa a I lo que ser´ıa una contradicci´on. Finalmente se puede decir que

ρM(X∪ {s}) =|B|=ρM(X)

y por lo tantos∈clM(X). Por (CL1) se tiene queX⊆clM(X) entonces

se concluye quecl(X)⊆clM(X).

Corolario 1.17. Sea E un conjunto finito. Una funci´on cl : 2E →2E

es la clausura de una matroide en E si y solo si cl satisface (CL1)-(CL4).

Definici´on 8(Espacio generado, Conjunto generador). Sea(E,I)una matroide, cl su clausura y X ⊆E:

cl(X) es el espacio generado por X. X es un conjunto generador si cl(X)=E.

Proposici´on 1.18. Sea M una matroide, E su conjunto base, cl su clausura, ρ su funci´on de rango y X ⊆E. Entonces X es un conjunto generador si y solo si ρ(X) = ρ(E).

(18)

Demostraci´on.

⇒Sea X es un conjunto generador entonces por definici´oncl(X) =E, es decir que ρ(X∪ {x}) = ρ(X) para todox∈E. Mas espec´ıficamente ρ(X∪{x}) =ρ(X) para todox∈E−X. Por el Lema 1.11,ρ(X∪E) = ρ(X), es decir ρ(E) =ρ(X).

⇐ Sea X tal que ρ(X) = ρ(E). Se quiere ver que E−X ⊆cl(X). Sea y∈E−X y B una base de la matroide M|X. Como B ⊆X entonces y /∈ B. Mas a´un B∪ {y} ∈ I/ dado que ρ(E) =|B|. Por el Lema 1.16, y∈cl(B) pero como B ⊆X entonces por (CL2), cl(B)⊆cl(X) lo que implica que y∈cl(X). Es claro que X ⊆cl(X) entonces E ⊆cl(X) y

por lo tanto E =cl(X).

Proposici´on 1.19. Sea M una matroide, E su conjunto base e I un conjunto independiente. Suponga que d es un elemento de E tal que

I ∪ {d} ∈ I/ . Entonces existe un ´unico circuito C(I,d) tal que C(I,d) ⊆ I∪ {d}.

Demostraci´on. Todo conjunto dependiente contiene un circuito enton-ces existe C ∈ C tal que C ⊆ I∪ {d}. Es claro d ∈C, de lo contrario C ser´ıa subconjunto deI y por lo tantoI no ser´ıa independiente lo que es una contradiccion. Se asume que existeC0 ∈ C tal que C0 ⊆I∪ {d}

y C 6=C0. Es claro que d∈C0 entonces por (C3) existe C00∈ C tal que C00⊆(C∪C0)− {d}. Por otro se sabe que (C∪C0)− {d} ⊆I entonces C00⊆I lo que es una contradicci´on, es decir C es ´unico. Corolario 1.20. Sea M una matroide, B una base y E su conjunto base. Si existe c∈E−B entonces B∪ {c} contiene un ´unico circuito

C(B,c).

1.2. La Matroide Dual.

En esta secci´on se va a definir la matroide dual. Intuitivamente esta es la matroide complemento. Mas a´un se van a mostrar todas las propiedades de esta matroide.

Lema 1.21. Sea B el conjunto de bases de una matroide M entonces B satisface la siguiente propiedad: (B2)∗ Si B1, B2 ∈ B y x∈B2−B1

entonces existe y∈B1−B2 tal que (B1− {y})∪ {x} ∈ B.

Demostraci´on. Sean B1, B2 ∈ B tal que existe x ∈ B2−B1. Es claro que B1 ∪ {x} ∈ I/ entonces por el Corolario 1.20 se tiene que existe un ´unico C(B1,x) ∈ C tal que C(B1,x) ⊆ B1∪ {x}. Como B2 ∈ I y

C(B1,x) ∈ I/ entonces C(B1,x) −B2 6= ∅. Sea y ∈ C(B1,x)−B2. Como

C(B1,x) ⊆B1∪ {x}entonces C(B1,x)−B2 ⊆(B1∪ {x})−B2 pero como

x∈B2 entonces (B1∪ {x})−B2 =B1−B2 y se tiene quey∈B1−B2. 17

(19)

Comoy∈C(B1,x),C(B1,x) 6= (B1− {y})∪ {x}y como (B1−{y})∪{x} ⊆

B1∪ {x} se concluye que (B1 − {y})∪ {x} no es dependiente por la unicidad deC(B1,x). Dado que (B1−{y})∪{x} ∈ Iy|(B1−{y})∪{x}|=

|B1| se tiene que (B1− {y})∪ {x} ∈ B. Teorema 1.22. Sea M una matroide,E el conjunto base,Bel conjunto de bases y B∗ = {E B : B ∈ B}. Entonces se tiene que Bes el conjunto de bases de una matroide sobre E.

Demostraci´on. Para probar este teorema, por el Corolario 1.9 solo bas-ta mostrar que B∗ satisface las condiciones (B1) y (B2).

(B1) Sabemos por definici´on que B 6= . Sea B ∈ B. Por definici´on E−B ∈ B∗ luego B6=

∅.

(B2) Se quiere mostrar que si B satisface (B2)∗ entonces B∗ satisface

(B2). Sea B1∗, B2∗ ∈ B∗ tal que existe x B

1 −B

2. Sea B1 = E−B1∗ y B2 = E − B2∗. Es claro que B

1 = E − B1 y B2∗ = E − B2 en-tonces x ∈ (E−B1)−(E−B2) es decir x ∈ (B1)c−(B2)c. Como (B1)c−(B2)c = B2−B1 se sigue que x ∈ B2−B1. Por (B2)∗ existe y∈B1 −B2tal que (B1−{y})∪{x} ∈ B. ComoB1−B2 =B2∗−B

1 por consiguiente existe y ∈ B2∗−B1∗ tal que E −[(B1− {y})∪ {x}]∈ B∗. Como E−[(B1 − {y})∪ {x}] = (B1∗− {x})∪ {y} entonces se cumple (B2) y se concluye que esta es la base de una matroide sobre E. Definici´on 9(Matroide dual). Sea M una matroide, E su conjunto ba-se B su conjunto de bases. La matroide con conjunto base E y conjunto de bases B∗ es la matroide dual de M y se denota por M.

Proposici´on 1.23. (M∗)∗ =M

Corolario 1.24. Sea B ⊆ P(E). Entonces B es la colecci´on de bases de una matroide sobre E si y solo si B satisface (B1) y (B2)∗.

Demostraci´on.

⇒ Sea B ⊆ P(E) la colecci´on de bases de una matroide entonces por el Corolario 1.9, B satisface (B1) y (B2). Por el Lema 1.21 B satisface (B2)∗ luego se cumple queB satisface (B1) y (B2)∗

⇐ Sea B ⊆ P(E) tal que satisface (B1) y (B2)∗. Sea B∗ = {EB :

B ∈ B}. Por la segunda direcci´on de la demostraci´on del Lema 1.21,

B∗ satisface (B2). Entonces Bsatisface (B1) y (B2) y por el Corolario

1.9 se tiene que B∗ es la colecci´on de bases de una matroide M sobre

E. Por consiguiente, por el Teorema 1.22, B es base de la matroide

(20)

Definici´on 10. Sea M una matroide:

Las bases de M∗ se denotan como las cobases de M.

Los circuitos de M∗ se denotan como los cocircuitos de M. Los conjuntos independientes de M∗ se denotan como los con-juntos coindependientes de M.

los conjuntos generadores deM∗ se denotan como losconjuntos cogeneradores de M.

Proposici´on 1.25. Sea M una matroide sobre un conjunto finito E y

X ⊆E,entonces

1. X es independiente en la matroide M si y solo si E − X es cogenerador de la matroide M.

2. X es generador si y solo si E−X es coindependiente.

3. X es base si y solo si E−X es cobase.

Demostraci´on. Para las siguientes demostracionescl,ρ,B,I es la clau-sura , la funci´on de rango , la colecci´on de bases y la colecci´on de conjuntos independientes de la matroide M respectivamente. Adicio-nalmentecl∗,ρ∗,B∗,Ies la clausura , la funci´on de rango , la colecci´on

de bases y la colecci´on de conjuntos independientes de la matroideM∗ respectivamente.

1.

⇒ Sea X∈ I. Se quiere ver que cl∗(E−X) =E. Como X ∈ I enton-ces existe BX ∈ B tal que X ⊆BX. Por lo anterior E−BX ⊆E−X. Se sabe por definici´on que E −BX ∈ B∗. Es claro que si z ∈ E−X entoncesρ∗((E−X)∪ {z}) = ρ∗(E−X). Sead∈X, por consiguiente d∈BX, es decird /∈E−BX. ComoE−BX es una base de la matroide M∗ y no puede haber conjuntos independientes en M∗ con un tama˜no mas grandes que el deE−BX entoncesρ∗(E−BX∪ {d}) =|E−BX|. Por otro lado se tiene que E −BX es independiente maximal en M∗ entoncesρ∗(E−BX) =|E−BX|. Comoρ∗(E−BX) = ρ∗(E−BX∪{d}) se concluye quecl∗(E−X) =E.

⇐ Sea X tal quecl∗(E−X) =E. Esto quiere decir queρ∗([E−X]∪ {y}) = ρ∗(E −X) para todo y ∈ E. Mas espec´ıficamente tenemos que ρ∗((E −X)∪ {y}) = ρ∗(E−X) para todo y∈X entonces por el Lema 1.11 se tiene que ρ∗((E−X)∪ {X}) =ρ∗(E−X) es decir que ρ∗(E) =ρ∗(E−X). Por lo anterior se sabe que existe un subconjunto deE−X que pertenece a I∗, que tiene el mismo tama˜no de cualquier

base de la matroide M∗, es decir es una base de la matroide M∗. Sea B∗ ∈ B∗ tal subconjunto. Por definici´on deB,B=EB para alg´un

B ∈ B. Esto quiere decir que E−B ⊆ E−X, por lo tanto X ⊆B y 19

(21)

como B ∈ I por (I2) se tiene queX ∈ I. 2.

⇒SeaX tal que quecl(X) =E, es decir ρ(X∪ {z}) = ρ(X) para todo z ∈E. M´as espec´ıficamente tenemos queρ(X∪ {z}) =ρ(X) para todo z ∈E−X. Por el Lema 1.11 se tiene que ρ(E) = ρ(X). Esto implica que existeB ∈ Btal que B ⊆X. Por lo anterior E−X ⊆E−B y co-moE−B ∈ B∗ entonces por la propiedad (I2) se tiene queEX ∈ I.

⇐ Sea X tal que E−X ∈ I∗. Por definici´on existe B∈ Btal que

E −X ⊆ B∗. Mas a´un B∗ = E−B para alg´un B ∈ B. Se sigue que E−X ⊆E−B y por consiguiente B ⊆ X. Sea r ∈ E−X entonces por (R1) y (R2)

|B| ≤ρ(B)≤ρ(X)≤ρ(X∪ {r})≤ρ(E) = |B|, es decir ρ(X∪ {r}) =ρ(X). Se concluye que cl(X) =E.

3. Se sigue directamente de la definici´on. Definici´on 11 (Circuito cerrado,Circuito cocerrado). Sea M una ma-troide, ρ su funci´on de rango y M∗ la matroide dual. Se dice que e es un circuito cerrado de M siρ(e) = 0 ye es un circuito cocerrado

de M si e es un circuito cerrado de M∗.

Lema 1.26. Sea M una matroide sobre un conjunto finito E. Sean I

e I∗ subconjuntos de E. SiI es independiente, I∗ es coindependiente e

I∩I∗ = entonces existe B base y B∗ cobase tal que I ⊆B, I∗ ⊆B∗

y B∩B∗ =.

Demostraci´on. Sea S = {B ∈ B : I ⊆ B}. S 6= dado que I es independiente. ComoI ⊆B para todoB ∈S entoncesE−B ⊆E−I para todo B ∈ S. Sea S∗ = {E −B : B ∈ S}. Por definici´on todos los elementos de S∗ son bases de la matroide M∗, mas a´un bases de la matroide M∗|E −I. Se asume por contradicci´on que existe B0 ∈ B

tal que E − B0 es base de M∗|E − I y B0 ∈/ S. De lo anterior se podr´ıa deducir que E−B0 ⊆ E−I es decir que I ⊆ B0 lo que ser´ıa una contradicci´on. Se tiene que el conjunto de bases de la matroide M∗|E−I son los elementos de S∗. Luego, como I ∩I∗ = entonces I∗ ⊆E−I y por lo tanto existe BI S tal queIEBI pero esto tambi´en quiere decir que I ⊆BI y se tiene lo que se quer´ıa probar.

Proposici´on 1.27. Sea M una matroide sobre un conjunto finito E,

(22)

Entonces,

ρ∗(X) =|X| −ρ(E) +ρ(E−X)

Demostraci´on. SeaBX∗ una base de la matroideM∗|XyBE−X una base de la matroide M|E −X. Es claro por definici´on que ρ∗(X) = |BX∗|

y ρ(E −X) = |BE−X|. Como BE−X ⊆ E−X y BX∗ ⊆ X entonces BX∗ ∩BE−X = ∅. Por el Lema 1.26 se tiene que existe B y B∗ una base y cobase de M respectivamente tal que BX∗ ⊆ B∗, BE−X ⊆ B y B ∩B∗ = . Por la demostraci´on del Lema se sabe que B∗ = E −

B. Como BE−X es una base de la matroide M|E −X entonces B ∩ (E−X) =BE−X, de lo contrario comoBE−X es subconjunto de (E− X)∩B y B∩(E−X) es independiente entonces existir´ıa un conjunto independiente de mayor tama˜no en la matroideM|E−X lo que ser´ıa una contradicci´on. An´alogamente se puede afirmar queB∗∩X =BX∗. ComoB = (B∩X)∪(B∩[E−X]) yB∩(E−X) =BE−X entonces B =BE−X ∪(B ∩X) y se tiene que |B| =|BE−X|+|B ∩X| es decir que|B∩X|=|B| − |BE−X|. ComoB∗ =E−B y|X|=|X∩B|+|X∩ (E−B)|se sigue por todo lo anterior que|X|=|B|−|BE−X|+|X∩B∗| es decir|X|=|B| − |BE−X|+|BX∗|. Se concluye que|B

X|=|X| − |B|+

|BE−X|.

1.3. Observaciones adicionales.

Definici´on 12 (Isomorfismo de matroides). Sean M, M0 matroides,

E, E0 sus conjuntos bases e I, I0 sus collecciones de conjuntos in-dependientes respectivamente. Se dice que M es isomorfo a M0 si existe una biyecci´on φ : E → E0 tal que φ0 : I → I0 definida como

φ0(I) ={φ(y) :y∈I} es una biyecci´on.

Definici´on 13 (Matroide coordinatizable). Sea (E,I) una matroide. Se dice que esta matroide es coordinatizable sobre un campo K si existe φ:E →V donde V es un espacio vectorial sobre K e I ∈ I s´ı y s´olo s´ıφ(I) es linealmente independiente.

A continuaci´on se va a exhibir la relaci´on entre grafos y matroides. Para mas detalles ver [1] y el Ap´endice A.

Proposici´on 1.28. Sea (V, A) un grafo en donde V son los v´ertices y A son las aristas. Sea F = {S ⊆ A : S no forma ciclos} entonces

(A, F) es una matroide.

Demostraci´on. Queremos ver queF satisface las propiedades (I1)-(I3). (I1)Claramente el conjunto sin v´ertices no tiene ciclos por este mismo hecho entonces ∈F.

(23)

(I2) Sean F1 y , F2 subconjuntos de A tales que F1 ⊆ F2 y F2 ∈ F. Por definici´onF2 es una colecci´on de aristas que no contiene ciclos. Por lo anterior cualquier subconjunto de F2 tampoco tiene debido a que ninguna subsucesi´on de este conjunto puede comenzar y terminar en el mismo v´ertice. Se concluye que F1 ∈F.

(I3)SeaI, J ∈F tal que|I|<|J|. Por la proposici´on A.1 del Ap´endice A se tiene que el grafo (V, I) tiene |V| − |I| componentes conexas. Se asume por contradicci´on que (I3) no se cumple, es decir para todo j ∈J −I se tiene queI∪{j}∈/ F. Esto implica que el grafo (V, I∪{j}) tiene el mismo numero de componentes conexas que el grafo (V, I). Como esto ocurre para cualquier elemento que se agregue de J − I entonces el grafo (V, I∪J) tiene|V|−|I|componentes conexas. Por otro lado el grafo (V, J) tiene por lo menos el mismo n´umero de componentes conexas que (V, I∪J) dado queJ ⊆(I∪J). Por A.1 se tiene que (V, J) tiene|V| − |J|componentes conexas y con lo anterior se puede afirmar que|V|−|J| ≥ |V|−|I|lo que implica que|J| ≤ |I|, una contradicci´on. Se puede concluir que (I3) se cumple y por lo tanto (V, F) es una

matroide.

Definici´on 14 (Matroide asosciada a un grafo). Sea (V, A) un grafo. Vamos a denotar por M(V,A) la matroide asosiada al grafo.

Definici´on 15 (Matroide c´ıclica). Sea (E, I)una matroide M. Se dice que M es c´ıclicasi existe un grafo (V, A)tal que la matroide M(V, A)

es isomorfa a M.

De ahora en adelante vamos a denotar una matroideM de la forma (E, ρ) dondeρ: 2E N es una funci´on que satisface (R1)(R3). Definici´on 16 (Eliminaci´on de un elemento de una matroide). Sea M una matroide (E, ρ), y e ∈ E. La eliminaci´on de e de la matroide M o M\e es la matroide (E − {e},ρb) donde ρb(A) = ρ(A) para todo

A⊆E− {e}.

Definici´on 17 (Contracci´on de una matroide). Sea M una matroide

(E, ρ) y e∈E. Se va a definir la contracci´on de e de la matroide M o M/e como la matroide (M∗\e)∗, es decir la matroide

E− {e},(ρd∗) ∗

.

(24)

Proposici´on 1.29. Si(M∗−{e})∗es la contracci´on deede la matroide M, entonces

d

(ρ∗)(A) = ρ(A∪ {e})ρ({e})

Demostraci´on. Sea A ⊆E − {e}. Por definici´on se tiene que ((ρd∗))∗(A) =|A|+(ρd∗)(E− {e} −A)−(ρd∗)(E− {e})

=|A|+ρ∗(E− {e} −A)−ρ∗(E− {e})

=|A|+|E− {e} −A|+ρ E −(E− {e} −A)−ρ(E)

− |E− {e}| −ρ E −(E− {e})+ρ(E) =|A|+|E− {e} −A|+ρ(A∪ {e})−ρ(E)− |E− {e}| −ρ({e}) +ρ(E) =|A|+|E− {e} −A| − |E− {e}|+ρ(A∪ {e})−ρ({e})

=|A| − |A|+ρ(A∪ {e})−ρ({e}) =ρ(A∪ {e})−ρ({e})

Definici´on 18 (Clase sucinta de matroides). Sea Σ un alfabeto, Σ∗

la colecci´on de las palabras finitas Σ, C una colecci´on de matroides e

i:C →Σ∗ una funci´on. Mas a´un para una matroide M ∈C |i(M)| es la cantidad de caracteres de la palabra i(M). C es una clase sucinta

de matroides si existe una tupla (C, Σ, i, p) tal que: i es inyectiva.

Cn={M ∈C, M = (E, ρ) :|E|=n}. i(n) = max{|i(M)|:M ∈Cn}.

p es un polinomio tal que i(n)≤p(n) para todon ∈N.

Proposici´on 1.30. Una clase C de matroides es sucinta si y s´olo si |Cn| es |O(2q(n))| para alg´un polinomio q.

Definici´on 19 (Dos-suma de matroides). Sean (E1, ρ1) y (E2, ρ2) dos

matroides tal que E1 ∩ E2 = ∅. Sean e1 ∈ E1 y e2 ∈ E2. Sea δ : (E1− {e1})×(E2− {e2})→ {0,1} definida como:

δ(A, B) =

1 si ρ1(A) =ρ1(A∪ {e1})∧ρ2(B) =ρ2(B∪ {e2}) 0 de lo contrario

Lados-suma de dos matroides de(E1, ρ1)y(E2, ρ2)es la matroide (E1∪E2)− {e1, e2}, ρ1,2

donde

ρ1,2(A∪B) = ρ1(A) +ρ2(B)−δ(A, B) +δ(∅) donde A⊆(E1− {e1}) y B ⊆(E2− {e2}).

(25)

Proposici´on 1.31. La funci´on ρ1,2 de la definici´on anterior es una

funci´on de rango.

Demostraci´on. Para ver esto se tiene que mostrar que ρ1,2 cumple las propiedades (R1)-(R3).

(R1) Sea A⊆(E1− {e1}) y B ⊆(E2− {e2}). Surgen dos casos:

Caso 1. Si δ(,) = 1 esto implica que ρ1({e1}) = 0 y ρ2({e2}) = 0. Por la propiedad (R3) se sabe que

ρ1(A∪ {e1})≤ρ1(A) ρ2(B ∪ {e2})≤ρ2(B) y por (R1) se sabe que

ρ1(A)≤ρ1(A∪ {e1}) ρ2(B)≤ρ2(B ∪ {e2}) entonces se tiene que

ρ1(A) =ρ1(A∪ {e1}) ρ2(B) =ρ2(B∪ {e2})

y por la definici´on de δ se tiene que δ(A, B) = 1. Se puede concluir que

0≤ρ1(A) +ρ2(B) =ρ1,2(A∪B)≤ |A|+|B|=|A∪B|

Caso 2.Siδ(,) = 0 entonces se tiene sin p´erdida de generalidad que ρ1({e1})6=∅. Por definici´on se sabe queI|{e1}={I ⊆ {e1}: I ∈ I}. Como ρ1({e1})6=∅ entonces {e1} es independiente y por lo tanto por la definici´on de funci´on de rango ρ1({e1}) = 1. Aqu´ı surgen otros dos casos:

Caso a. Si δ(A, B) = 0 entonces por (R1)

0≤ρ1,2(A∪B) =ρ1(A) +ρ2(B)≤ |A|+|B|=|A∪B|

Caso b. Si δ(A, B) = 1 se tiene que

ρ1(A) =ρ1(A∪ {e1}) ρ2(B) =ρ2(B∪ {e2})

(26)

Como {e1} es independiente y ρ1({e1}) = 1 por (R2) ρ1(A) =ρ1(A∪ {e1})≥ρ1({e1})≥1 Se concluye que

0≤ρ1,2(A∪B) =ρ1(A)+ρ2(B)−1≤ρ1(A)+ρ2(B)≤ |A|+|B|=|A∪B| Se concluye que ρ1,2 cumple la condici´on (R1).

(R2)SeanA, C ⊆(E1− {e1}) yB, D ⊆(E2− {e2}) tal que (A∪B)⊆ (C∪D) donde A ⊆C y B ⊆ D. Como A ⊆C y B ⊆ D por (R2) se tiene que

ρ1(A)≤ρ1(C) (10)

ρ2(B)≤ρ2(D) (11)

Surgen dos casos:

Caso 1.Siδ(A, B) = 1 en el peor de los casos se tiene que δ(C, D) = 1 entonces

ρ1(A) +ρ2(B)−δ(A, B) +δ(∅,∅)≤ρ1(C) +ρ2(D)−δ(C, D) +δ(∅,∅) por (10) y (11).

Caso 2. Si δ(A, B) = 0 entonces sin p´erdida de generalidad se puede asumir que ρ1(A∪ {e1})> ρ1(A). En el peor de los casosδ(C, D) = 1. Esto quiere decir que

ρ1(C∪ {e1}) =ρ1(C) ρ2(D∪ {e2}) =ρ1(D)

Se supone por contradicci´on que ρ1(C) = ρ1(A) entonces ρ1(A) = ρ(C ∪ {e1}) ≥ ρ(A∪ {e1}) lo que llevar´ıa a la contradicci´on de que ρ1(A) =ρ1(A∪ {e1}). Se concluye que ρ1(C)> ρ1(A). Por lo anterior ρ(C)−1≥ρ(A) y se puede concluir que:

ρ1(A) +ρ2(B)−δ(A, B) +δ(,)≤ρ1(C) +ρ2(D)−δ(C, D) +δ(,)

(R3)Seacl1 ycl2 las clausuras deρ1yρ2respectivamente. SeaA∪B ⊆

(E1 ∪ E2)− {e1, e2} tal que A ⊆ E1 − {e1} y B ⊆ E2 − {e2}. Sea C∪D⊆(E1∪E2)− {e1, e2} definido de la misma manera. Se definen

(27)

los valores X, Y, Z, W como: X =ρ1,2 (A∪C)∪(B∪D)

=

ρ1(A∪C) +ρ2(B∪D)−δ(A∪C, B∪D) +δ(,) Y =ρ1,2 (A∩C)∪(B∩D)

=

ρ1(A∩C) +ρ2(B∩D)−δ(A∩C, B∩D) +δ(∅,∅) Z =ρ1,2(A∪B) = ρ1(A) +ρ2(B)−δ(A, B) +δ(∅,∅)

W =ρ1,2(C∪D) =ρ1(C) +ρ2(D)−δ(C, D) +δ(∅,∅)

Para probar (R3) se quiere ver que:

X+Y ≤Z+W Surgen varios casos:

Caso 1. Si δ(A∩C, B∩D) = 1 esto quiere decir que por (CL2): e1 ∈cl1(A∩C), e2 ∈cl2(B∩D) =⇒

1. e1 ∈cl1(A)∧e2 ∈cl2(B)⇒δ(A, B) = 1 2. e1 ∈cl1(C)∧e2 ∈cl2(D)⇒δ(C, D) = 1

3. e1 ∈cl1(A∪C)∧e2 ∈cl2(B∪D)⇒δ(A∪C, B∪D) = 1 Teniendo esto en cuenta

X+Y =

ρ1(A∪C) +ρ1(A∩C) +ρ2(B∪D) +ρ2(B∩D)−2 + 2δ(∅,∅) Z +W =

ρ1(A) +ρ1(C) +ρ2(B) +ρ2(D)−2 + 2δ(∅,∅)

y como

ρ1(A∪C) +ρ1(A∩C)≤ρ1(A) +ρ1(C)

ρ2(B∪D) +ρ2(B∩D)≤ρ2(B) +ρ2(D) por (R3) entonces se tiene que

(28)

Caso 2. Suponga que δ(A∩C, B∩D) = 0 esto implica que ρ1 (A∩C)∪ {e1}

6

=ρ1 A∩C

o ρ2 (B∩D)∪ {e2}

6

=ρ2 B∩D

Sin p´erdida de generalidad se puede suponer queρ1 (A∩C)∪ {e1}

6

= ρ1 A∩C

Surgen dos casos:

Caso a.Si δ(A, B) = 1 y =δ(C, D) = 0. Esto quiere decir que e1 ∈cl1(A)

e2 ∈cl2(B) entonces por (CL2) se tiene que

e1 ∈cl1(A∪C) e2 ∈cl2(B∪D) y se puede concluir por la definici´on que

δ(A∪C, B∪D) = 1 Se sigue que

X+Y =ρ1(A∪C) +ρ1(A∩C) +ρ2(B∪D) +ρ2(B∩D)−1 + 2δ(∅,∅) Z+W =ρ1(A) +ρ1(C) +ρ2(B) +ρ2(D)−1 + 2δ(∅,∅)

y usando el mismo argumento de antes se concluye que X+Y ≤Z+W

Caso b. Si δ(A, B) = 1 =δ(C, D) entonces se sabe que ρ1(A∪ {e1}) =ρ1(A)

ρ1(C∪ {e1}) =ρ1(C) ρ2(B∪ {e2}) =ρ1(B) ρ2(D∪ {e2}) =ρ2(D) Como ρ1 (A∩C)∪ {e1}

6

=ρ1 A∩C

se concluye que (12) ρ1 (A∩C)∪ {e1}

> ρ1 A∩C

Ahora se va a mostrar por medio de contradicci´on que ρ1(A ∩C) + ρ1(A∪C)< ρ1(A) +ρ1(C). Se supone que

ρ1(A∩C) +ρ1(A∪C) =ρ1(A) +ρ1(C) 27

(29)

entonces

(13) ρ1(A∩C) = ρ1(A) +ρ2(C)−ρ1(A∪C) Como ρ1(A∪ {e1}) =ρ1(A) por (CL2) se tiene que

ρ1 (A∪C)∪ {e1}) = ρ1 (A∪C) Reemplazando en (13) se tiene que

ρ1(A∩C) = ρ1(A∩ {e1}) +ρ2(C∩ {e1})−ρ1 (A∪C)∪ {e1}) Por (12) se tiene que

ρ1 (A∩C)∪ {e1}

> ρ1(A∩ {e1}) +ρ2(C∩ {e1})−ρ1 (A∪C)∪ {e1}) y esto es una contradicci´on porque por (R3) se tiene que

ρ1 (A∩C)∪ {e1}

≤ρ1(A∩ {e1}) +ρ2(C∩ {e1})−ρ1 (A∪C)∪ {e1}) Se concluye que

ρ1(A∩C) +ρ1(A∪C)< ρ1(A) +ρ1(C) y esto implica que

(14) ρ1(A∩C) +ρ1(A∪C)≤ρ1(A) +ρ1(C)−1 Por otro lado

X+Y =ρ1(A∪C) +ρ1(A∩C) +ρ2(B∪D) +ρ2(B∩D)−1 + 2δ(∅,∅) Z+W =ρ1(A) +ρ1(C) +ρ2(B) +ρ2(D)−2 + 2δ(,) y por (14) y por (R3) se concluye que

X+Y ≤Z+W

(30)

2. El polinomio de Tutte

En esta secci´on se va a definir el polinomio de Tutte y se van a explicar sus propiedades principales.

Definici´on 20 (Funci´on Whitney generadora de rango). Sea M una matroide (E, ρ). La funci´on Whitney generadora de rango con respecto a la matroide M se define como

R(M;x, y) = X A⊆E

xρ(E)−ρ(A)y|A|−ρ(A)

Definici´on 21 (Polinomio de Tutte). Sea M una matroide (E, ρ). El

polinomio de Tutte con respecto a la matroide M se define como

T(M;x, y) = R(M;x−1, y−1) = X A⊆E

(x−1)ρ(E)−ρ(A)(y−1)|A|−ρ(A)

Propiedades del polinomio de Tutte:Sea M una matroide (E, ρ),

I la colecci´on de conjuntos independientes,B la colecci´on de bases yG

la colecci´on de conjuntos generadores, entonces (T1) T(M∗;x, y) =T(M;y, x)

(T2) T(M; 1,1) = |B|. (T3) T(M; 2,1) = |I|. (T4) T(M; 1,2) = |G|.

Demostraci´on. Para estas se va a utilizar la convenci´on que 00 = 1 y 0r = 0 si r6= 0.

(T1)

T(M∗;x, y) = R(M∗;x−1, y−1) = X A⊆E

(x−1)ρ∗(E)−ρ∗(A)(y−1)|A|−ρ∗(A)

=X

A⊆E

(x−1)|E−A|−ρ(E−A)(y−1)ρ(E)−ρ(E−A)

=X

A⊆E

(x−1)|A|−ρ(A)(y−1)ρ(E)−ρ(A)

=R(M;y−1, x−1) = T(M;y, x)

(T2) Por definici´on se tiene que T(M; 1,1) = X

A⊆E

0ρ(E)−ρ(A)0|A|−ρ(A)

Sea A ⊆ E. Si A es base entonces ρ(E)−ρ(A) = 0 y |A| −ρ(A) = 0 por lo que 0ρ(E)−ρ(A)0|A|−ρ(A) = 1 . Si A no es una base surgen dos

(31)

posibilidades. Si A es independiente ρ(E) −ρ(A) 6= 0 y si no lo es

|A|−ρ(A)6= 0 entonces 0ρ(E)−ρ(A)0|A|−ρ(A) = 0. Teniendo esto en cuenta T(M; 1,1) = X

A⊆E

0ρ(E)−ρ(A)0|A|−ρ(A) =|B|

(T3) Por definici´on se tiene que T(M; 2,1) = X

A⊆E

1ρ(E)−ρ(A)0|A|−ρ(A)

Sea A⊆E e I la colecci´on de conjuntos independientes. SiA es inde-pendiente |A| −ρ(A) = 0 por lo que

1ρ(E)−ρ(A)0|A|−ρ(A) = 1

SiA no es independiente se tiene que |A| −ρ(A)6= 0 por lo que 1ρ(E)−ρ(A)0|A|−ρ(A) = 0

Se concluye que

T(M; 2,1) = X A⊆E

1ρ(E)−ρ(A)0|A|−ρ(A) =|I|

(T4) Por definici´on se tiene que T(M; 1,2) = X

A⊆E

0ρ(E)−ρ(A)1|A|−ρ(A)

Sea cl la clausura de M. por definici´on G ={S ⊆E :cl(S) =E}. Sea A∈ G. Por la Proposici´on 1.18ρ(A) =ρ(E), entonces

0ρ(E)−ρ(A)1|A|−ρ(A) = 1.

SiA /∈ G entonces por la Proposici´on 1.18 ρ(E)−ρ(A)6= 0 entonces 0ρ(E)−ρ(A)1|A|−ρ(A) = 0.

Se puede conlcuir que

T(M; 1,2) = X A⊆E

0ρ(E)−ρ(A)1|A|−ρ(A)=|G|

(32)

3. Preliminares para el teorema principal

Observaci´on 3.1. Para una matroide M, T(M;x, y) el polinomio de Tutte, es un polinomio en dos variables. De ahora en adelante se va a considerar este polinomio sobre F2 donde F es una extensi´on alge-braica finita de los racionales. F se toma de esta manera puesto que el tama˜no del conjunto afecta la complejidad del problema. Un conjunto contable permite acotar polinomialmente los resultados de una m´aquina de Turing.

A continuaci´on se va a explicar muy superficialmente el producto tensorial entre dos matroides. Para mas informaci´on ver [3].

Definici´on 22 (Producto tensorial de matroides). Sean M = (E1, ρ1)

y N = (E2, ρ2) dos matroides tal que E1 ∩E2 = . Se va a denotar como la la matroide N puntuada en d para un d∈ E2 fijo por la tripla Nd= (E2, ρ2, d). Elproducto tensorial M⊗N es la matroide

que se obtiene al tomar la dos-suma de M y Nd de cualquier m ∈ E1

y d.

Observaci´on 3.2. Se puede demostrar que

T(M ⊗N;x, y) =TC(N;x, y)|E1|−ρ1(S)TL(N;x, y)ρ(S)T(M;X, Y)

donde

X = (x−1)TC(N;x,y)+TL(N;x,y)

TL(N;x,y) )

Y = TC(N;x,y)+(y−1)TL(N;x,y)

TC(N;x,y)

y donde TC yTL son polinomios que son determinados por las

ecuacio-nes

(x−1)TC(N;x, y) +TL(N;x, y) = T(N\d;x, y) TC(N;x, y) + (y−1)TL(N;x, y) =T(N/d;x, y)

Observaci´on 3.3. En el cambio de variables (x, y)→(X, Y)sobre F2

se tiene que

(X−1)(Y −1) = (x−1)(y−1) para todo(x, y)∈ Hα

donde α∈F es una constante y

Hα ={(x, y) : (x−1)(y−1) =α}

Definici´on 23 (Curva especial). Sea L : FF2 una curva. Sea pr1 :F2 →F y pr2 :F2 →F las proyecciones en la primera y segunda componente respectivamente. Sea x(s) = (pr1◦L)(s) y y(s) = (pr2◦

L)(s). L se llama una curva especial si (x(s)−1)(y(s)−1) =α para alg´un α∈F.

(33)

Definici´on 24 (Matroide uniforme). SeaE un conjunto tal que |E|= n donde n ≥1. La matroide uniforme Ur,n sobre E es la matroide

que tiene como bases los subconjuntos de E de tama˜no r.

Definici´on 25. (k-estiramiento, k-espesor) Sea M = (E, ρ) una ma-troide y Uk,k+1 una matroide uniforme. Se define a M ⊗Uk,k+1 el k-estiramiento de M y a M ⊗U1,k+1 elk-espesor de M.

Definici´on 26 (Colecci´on cerrada en expansiones). Sea C una colec-ci´on de matroides. Se dice que C es cerrada en expansiones si para toda M ∈C y para todo k ∈N se tiene que el k-estiramiento y el k-espesor pertenecen a C.

Definici´on 27 (Colecci´on polinomialmente cerrada). Una colecci´on sucinta de matroides C es polinomialmente cerrada si para toda

M ∈ C calcular el k-estiramiento y el k-espesor se logra en un tiempo polinomial que depende de k y del tama˜no del conjunto base de M.

Definici´on 28 (Colecci´on cerrada). Una colecci´on de matroides C es

cerrada si es cerrada en expansiones y polinomialmente cerrada.

Definici´on 29 (curva racional). Sea c : FF2 tal que c(s) = (x(s), y(s)). Se dice que c es una curva racional si x(s) = αβ((ss)) y

y(s) = δγ((ss)) donde α, β, δ, γ son polinomios en F[s].

Observaci´on 3.4. Sea C una clase sucinta de matroides. Los cuatro problemas que son relevantes para este trabajo son los siguientes:

π1[C]-input: M ∈C ⇒ output: El polinomio de Tutte de M. π2[C,(a, b)]-input:M ∈C ⇒ output:T(M;a, b)El polinomio de

Tutte de M en el punto (a, b)∈F2.

π3[C, L]-input: M ∈ C ⇒ output: T(M;x(s), y(s)) el polinomio

de Tutte en una curva racional (x(s), y(s)).

El siguiente teorema no se pretende demostrar. Es un hecho muy profundo y la demostraci´on es larga y complicada. Igualmente es muy importante mencionarlo dado que es fundamental para el teorema que se busca demostrar en este trabajo.

Teorema 3.5. π1[C] es un problema de complejidad #P.

Teorema 3.6. SeaC una colecci´on sucinta y cerrada de matroides. Sea

Luna curva racional y no especial. Entonces π1[C]es polinomialmente

(34)

4. Nudos y enlaces

En esta secci´on se va a comprender la estructura b´asica de los nudos y los enlaces. Mas aun se va a hacer explicita la relaci´on entre enlances y grafos para mas adelante comprender el polinomio de Jones. Para mas detalles sobre este tema ver [5] y [9].

Definici´on 30 (Nudo orientado). Un nudo es una n-tupla ordenada

(p1, ..., pn)de puntos enR3 donde la uni´on de los segmentos[p1, p2],[p2, p3], . . . ,[pn−1, pn] conforman una curva cerrada tal que:

∀i, j ∈ {1, .., n}, i 6= j se tiene que [pi, pi+1]∩[pj, pj+1] = ∅ a

menos de que i= 1, j =n−1 o j = 1, i=n−1

Observaci´on 4.1. Dos nudos orientados (α1, ..., αn) y(β1, ..., βn) son

iguales si existe una permutaci´onσ ∈Sntal que para todo i∈ {1, ..., n}

se tiene que αi =βσ(i) donde σ(i) = (i+k)mod(n) para alg´un k∈N Definici´on 31 (Enlace). Un enlace es una uni´on finita de nudos dis-juntos.

Definici´on 32(Enlace orientado). Unenlace orientadoes un enlace en el que todos sus nudos son orientados.

Definici´on 33 (Enlaces equivalentes). Dos enlaces K1, K2 son equi-valentes si existe una deformaci´on continua de K1 en K2.

Definici´on 34 (Grafo planar). Un grafo G se denota como un grafo planar si los v´ertices no tiene cruces entre ellos.

Para mas detalles en grafos planares ver [12]. A continuaci´on se va a exhibir como se puede proyectar un diagrama de un enlace alternante en un grafo planar. Para una descripci´on mas profunda de este hecho ver [9].

Definici´on 35 (Proyecci´on planar). Sea K un enlace cualquiera. Para comprender la proyecci´on planar primero hay que imaginarse un dibujo del enlace en dos dimensiones. Se comienza por sombrear una regi´on del enlace. Todas las regiones opuestas a esta deben ser sombreadas de la misma manera. Despu´es a cada una de las regiones sombreadas se les busca sus regiones opuestas hasta que no haya ninguna regi´on sombreada con regi´on opuesta sin sombrear. A cada regi´on sombreada se le asigna un v´ertice con peso de ±1 dependiendo de la convenci´on que mas adelante se mostrar´a. Finalmente se unen los nodos y esto forma un grafo planar con peso en las aristas. El grafo obtenido de esta proyecci´on se la proyecci´on planar del enlace K y se va a denotar por G(K). A continuaci´on se van a mostrar varios ejemplos de los

(35)

conceptos mencionados para que el lector pueda comprender con mas claridad.

Observaci´on 4.2(Convenci´on de cruces). En la Figura 1 se encuentra una representaci´on gr´afica de todos los tipos de cruce en un enlace.

(a)cruce

positi-vo

(b) cruce

nega-tivo

Figura 1. Tipos de cruces

Definici´on 36 (Enlace alternante). Un enlace alternante es aquel que el grafo planar producto de su proyecci´on planar en todos las aristas tiene un peso de +1.

Figura 2. Tr´ebol partido en regiones.

Ejemplo 4.3 (Nudo tr´ebol). Consideremos el nudo tr´ebol que consiste de tres cruces distintos y cinco regiones(Figura 2). Este nudo tiene dos proyecciones planares: ver Figura 3 y 4.

Definici´on 37 (Matriz de adyacencia). Sea G un grafo con n v´ertices y sea (1, ..., n) una enumeraci´on de estos. La matriz de adyacencia

de G

A(G) =

  

a1,1 a1,2 · · · a1,n a2,1 a2,2 · · · a2,n

..

. ... . .. ...

an,1 an,2 · · · an,n 

  

es una matriz donde ai,j es la cantidad de aristas que conectan al nodo i con el nodo j.

(36)

(a) sombreado

1

(b) proyecci´on

planar

Figura 3. Primera proyecci´on planar

(a) sombreado

2

(b) proyecci´on

planar

Figura 4. Segunda proyecci´on planar

Una explicaci´on mas profunda de la matriz de adyacencia se puede encontrar en [10]

Observaci´on 4.4. En el caso en que el el grafoGes planar la diagonal de la matriz contiene solo ceros dado que ninguna arista puede cruzarse consigo misma.

Ejemplo 4.5 (Matriz adyacente). Si se toma el grafo de la Figura 3 la matriz de adyacencia es:

0 1 1 1 0 1 1 1 0

Por otro lado si se toma el grafo de la Figura 4 la matriz de adyacencia es:

0 3 3 0

5. El polinomio de Jones

En esta secci´on se va a definir el polinomio de Jones para un enlace L. Luego se va a mostrar en un ejemplo dado que la defunci´on no es visualmente intuitiva.

(37)

Definici´on 38 (Polinomio de Jones). Sea L un enlace. El polinomio de Jones deL, V(L), es un poliniomio que sigue la siguiente relaci´on de madeja:

(t12 −t− 1

2)V(L0) =t−1V(L+)−tV(L)

donde

V() = 1

y L0, L+, L− son el mismo enlace L salvo en un cruce espec´ıfico, es decir

Para entender con mas claridad este polinomio se va a mostrar en el siguiente ejemplo c´omo se calcula el polinomio para el enlace de dos circulos anillados. Para mas detalles en el polinomio de Jones ver [11]. Ejemplo 5.1. Sea L en enlace de dos c´ırculos . Es claro en la imagen del enlace, que el tipo de cruce entre estos dos c´ırculos es L0.

Entonces usando la relaci´on de madeja se tiene que

(t12 −t− 1

2)V() = t−1V(α)−tV(β)

donde α yβ son los siguiente enlaces:

(a) enlaceα (b) enlaceβ

Es claro en los diagramas de α y β que estos son deformables en el c´ırculo. Esto implica que V(α) = 1 y V(β) = 1, entonces se tiene que

V() = t

−1t t12 −t−

1 2

=−t12 −t− 1 2.

(38)

6. Teorema principal

En esta secci´on se va a demostrar el teorema principal de este tra-bajo. Este teorema pretende comprender la complejidad de calcular el polinomio de Jones de un enlace alternante.

Teorema 6.1. Sea K un enlace alternante orientado y G(K) su grafo planar. El polinomio de Jones del enlace K se define como:

VK(t) = fK(t)T(M(G(K)) :−t,−1/t)

donde fK(t) es ±t 1 2.

En el siguiente teorema se va a demostrar la complejidad de calcular el polinomio de Jones. Para mas detalles en complejidad ver el Ap´endice B.

Teorema 6.2. Determinar el polinomio de Jones de un nudo alter-nante es un problema de complejidad #P.

Demostraci´on. Para probar este teorema se tiene que mostrar que la curva (x(t) = −t, y(t) = −1/t) es una curva racional no especial, C = {M(G(K)) : K es el diagrama de un enlace alternante} es una clase sucinta y cerrada.

(x(t), y(t)) es una curva racional no especial:

(x(t)−1)(y(t)−1) =x(t)y(t)−x(t)−y(t) + 1 =t+1t + 2.

y como t ∈F una extensi´on algebraica finita de los racionales es claro que esta funci´on en los racionales no es constante y por lo tanto no es constante en F.

C es una clase sucinta:

Para ver esto toca mostrar que existe una funci´on inyectivai:C →Σ∗ donde Σ es un lenguaje finito y Σ∗ es la colecci´on de palabras finitas de este lenguaje. Sea Σ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Sea i: C → Σ∗ la funci´on que a cada matroideM(G(K)) asociada a un nudo alternante la env´ıa a A(G(K) la matroide adyacente del grafo planar G(K). Si

(39)

G(K) es un grafo con n nodos entonces se la matriz

A(G(K)) =

  

a1,1 a1,2 · · · a1,n a2,1 a2,2 · · · a2,n

..

. ... . .. ... an,1 an,2 · · · an,n

  

se puede ver como la tupla

(a1,1, a1,2, a1,3, ..., a1,n, a2,1, a2,2, a2,3, .., an−1,n, an,1, an,2, an,3..., an,n) que es una palabra finita en el el lenguajeΣ por lo que pertenece aΣ∗.

Es claro intuitivamente que i es una funci´on inyectiva. Si K1 y K2 son dos representaciones graficas distintas de alg´un enlace entonces sus grafos planares van a ser distintos y por lo tanto la matriz de adyacen-cia tambi´en lo va a ser.

Por otro lado seaq:NNel polinomioq(n) =n2. SeaM(G(K))C. Se sabe por la Proposici´on 1.28 que M(G(K)) = (A, F) donde A es el conjunto de aristas de G(K) y F = {S ⊆ A : S no forma ciclos}. Es claro que |A| =n para alg´un n ∈N. Esto implica que i(M(G(K))) es una matrizn×n, es decir|i(M(G(K)))|=n2. ComoM(G(K)) es una matroide cualquiera i(n) =n2 q(n). Se concluye que C es una clase sucinta de matroides.

C es una clase cerrada: Esto no se pretende demostrar en este trabajo puesto que la demostraci´on es larga y complicada.

En conclusi´on, por el Teorema 3.6 se tiene que π1[C] es polinomial-mente reducible a π2[C,−t,−1/t] es decir que el segundo problema tiene al menos la misma complejidad del primer problema. Entonces por el Teorema 3.5, calcular T(M(G(K));−t,−1/t) es de compleji-dad #P. Adicionalmente por el Teorema 6.1 como calcular fk(t) es de complejidad polinomial se tiene que calcular Vk(t) es de complejidad

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