MATEMÁTICA FINANCIERA

Descuento

El descuento es un tipo de financiamiento respaldado en título valores: letras de cambio y pagarés.

Cualquier cliente de un banco que tiene letras por cobrar que no se han vencido, puede convertirlo en dinero en efectivo a través del descuento al obtener un importe menor a la suma de los valores

nominales.

El interés calculado y deducido con anticipación del valor nominal se denomina descuento y constituye la diferencia entre el valor nominal o monto de una

deuda a su vencimiento y su respectivo importe recibido en el presente.

Descuento que puede ser racional o

bancario, que a su vez puede ser

simple o compuesto.

Valor nominal del título valor, valor futuro.

Tasa anticipada nominal aplicable sobre

S

.

Descuento comercial.

Valor presente del título valor en el

descuento racional. Valor líquido en el

descuento bancario.

Tasa anticipada efectiva aplicable sobre

S

.

Número de periodos de tiempo

comprendido entre la fecha de descuento

y la fecha de vencimiento del título valor.

Precio rebajado en el descuento comercial.

Precio de venta en el descuento

comercial.

Número de subhorizontes.

Tasa de interés efectiva vencida

aplicable sobre

P

.

Descuento

Clases de descuento:

Descuento

SIMPLE

COMPUESTO

SIMPLE

COMPUESTO

UNITARIO

SUCESIVO

SISTEMA BANCARIO

SISTEMA NO BANCARIO

DESCUENTO RACIONAL

DESCUENTO BANCARIO

DESCUENTO COMERCIAL

Descuento

D = S - P

La fórmula calcula el descuento y es válida para el

descuento racional y para el descuento bancario, sean

éstos simple o compuesto.

Descuento racional simple

Descuento con tasa j constante

El descuento racional simple calculado sobre el valor

nominal de un título valor es el mismo que el interés

simple calculado sobre su respectivo valor presente, y

que se deduce de ese valor nominal en la fecha en

que la entidad anticipa el pago de título valor.

La fórmula calcula el descuento racional simple

cuando la tasa de descuento, que es una tasa vencida

nominal o tasa de interés simple, no sufre variaciones

durante el plazo del descuento.

1

1 + jn

-Descuento racional simple

Descuento con tasa j constante

Sjn

1 + jn

D =

S = P[1+jn]

1

1 + jn

P = S

Fórmulas del descuento racional simple, del valor

nominal y del valor presente de un título valor con

tasa nominal vencida constante.

Descuento racional simple

Descuento con tasa j constante

Ejemplo. Una letra de cambio que tiene un valor nominal de 5,000 se descontó en el Banco Continental cuando faltaba 90 días para su vencimiento. Se quiere conocer el importe del descuento racional simple sabiendo que el banco aplicó como tasa de descuento una TNM de 1,5%

Solución:

D= ? S= 5,000

n= 90 TNM = 1.5% 0

Con los datos:

S =5,000

j = 0.015

n = 90/30

aplicamos la fórmula:

D = 5,000 x 0.015 x 90/30 = 215.31

1+ (0.015x90/30)

Descuento racional simple

Descuento con tasa j constante

Ejemplo. Una letra de cambio cuyo valor nominal es 4,800 y con fecha de vencimiento el 26 de agosto se descuenta en el Interbank el 18 de julio del mismo año a una TNA de 24%. Se quiere calcula el importe del descuento racional simple que se efectuó al valor nominal del documento.

Solución:

D= ? S=4,800

18/7 j = 0.24% 26/8

Con los datos:

S = 4,800

j = 0.24

n = 39/360

aplicamos la fórmula:

D = 4,800 x 0.24 x 39/360 = 121.63

1+ (0.24x39/360)

Descuento racional simple

Descuento con tasa j constante

Ejemplo. Una letra de cambio cuyo valor nominal es 10,000 que fue girada el 1 de abril y descontada el 7 de abril por el Banco de Crédito, con una TNA de 18% tienen como fecha de

vencimiento el 6 de julio del mismo año. Calcular:

a) el importe del descuento racional simple; b) el importe que abonó el banco en la cuenta corriente del descontante; c) el

interés simple que genera la operación.

Solución:

Con los datos:

S = 10,000

j = 0.18

n = 90/360

a) cálculo del importe del descuento:

D = 10,000 x 0.18 x 90/360 = 430.62

1+ (0.18x90/360)

b) cálculo del valor presente:

P = 10,000 – 430.62 = 9,569.38

c) cálculo del interés simple:

Descuento racional simple

Descuento con tasa j constante

Ejemplo. ¿Porqué valor nominal deberá aceptarse un pagaré que vence el 26 de mayo?. El pagaré será descontado el 22 de marzo del mismo año, en un banco que aplica una TNA de 18% y el descontante requiere que le sea abonado un

importe de 16,000 en la fecha del descuento.

Solución:

Con los datos:

P = 16,000

j = 0.18

n = 65/360

Aplicamos la fórmula:

S = 16,000 [1+(0.18 x 65/360)] = 16,520

S = P[1+jn]

Descuento racional simple

Descuento con tasa j constante

Ejemplo. El 13 de abril la empresa Estilos efectuó con el BCP un descuento racional simple de un pagaré con valor nominal de 9,000 y fecha de vencimiento el 12 de julio del mismo

año. Calcular el importe que abonó el banco en la cuenta

corriente de Estilos en esa fecha, con una TNA de 16%

Solución:

Con los datos:

S = 9,000

j = 0.16

n = 90/360

Aplicamos la fórmula:

P = 9,000

1

= 8,653.85

1+(0.16 x 90/360)

1

1 + jn

P = S

Descuento racional simple

Descuento con tasa j variable

Cuando en una operación de descuento racional simple o compuesto:

 La magnitud o los plazos de la tasa de descuento (tasa

vencida nominal o tasa vencida efectiva) son variables dentro del plazo de descuento.

 El plazo de descuento puede dividirse en z subhorizontes en

cada uno de los cuales la tasa de descuento, así como su plazo se mantienen constantes.

Dado:

 La tasa de descuento j_k e i_k aplicables al descuento simple y

al descuento compuesto respectivamente, vigentes durante el k-ésimo subhorizonte; y

 n_k el número de períodos de la tasa i_k en el k-ésimo

subhorizonte, pueden derivarse las fórmulas de descuento racional simple y compuesto cuando la tasa de descuento sufre variaciones durante el plazo de descuento.

Descuento racional simple

Descuento con tasa j variable

Fórmulas de descuento racional simple, valor nominal y valor presente de un título valor a interés simple cuando existen variaciones de la tasa nominal durante el plazo del descuento.

P =

S

z

1+

Σ

j

n

k=1

z

S = P

[

1+

Σ

j

n

]

k=1

1

z

1+ Σ j

n

k=1

1

-D = S

Descuento racional simple

Descuento con tasa j variable

Ejemplo. Se quiere calcular el descuento racional simple que debe efectuarse a un pagaré con un valor nominal de 5,000 que vencerá el 30 de setiembre y se descontará por el Banco Continental el 2 de julio del mismo año. En la fecha de

descuento la TNA fue de 24%, la cual cambiará a 22% a partir del 15 de julio y a 20% a partir del 16 de setiembre hasta el vencimiento del plazo del descuento.

Solución:

h₂= 63 días h₁=14 días

2/7 F₃=360 días 15/7 F₂=360 días 16/9 F₁=360 días 30/9

Con los datos:

S = 5,000 j₁=0.20 j₂=0.22 j₃=0.24 n₁=14/360 n₂=63/360 n₃=13/360 D =5,000 1- 1 = 1+0.20x14/360+0.22x63/360+0.24x13/360 D = 260.41 h₃= 13 días

Descuento racional simple

Descuento con tasa j variable

Ejemplo. Una empresa descontó el 26 de marzo un pagaré con valor nominal de 2,000 y con vencimiento dentro de 90 días en un banco que aplica una tasa vencida de interés

nominal que cambiará conforme al siguiente cronograma:

Solución:

Con los datos:

S = 2,000 j₁=0.021 j₂=0.065 j₃=0.24 n₁=24/30 n₂=31/90 n₃=35/360 D =2,000 1- 1 = 1+0.021x24/30+0.065x31/90+0.24x35/360 D = 117.68 Se requiere calcular el

descuento racional simple que se aplicará al pagaré

Descuento racional simple

Descuento con tasa j variable

Ejemplo. Un empresario solicitó al Banco Azteca un crédito de 10,000, el cual será otorgado con el descuento de un

pagaré que estará sujeto a las siguientes tasas nominales:

Solución:

h₁=35 días

24/6 F₂=360 días 11/7 F₁=90 días 15/8

Con los datos:

P = 10,000 j₁=0.038 j₂=0.16 n₁=35/90 n₂=17/360 S = 10,000 [1+0.038 x 35/90 + 0.16x17/360] S = 10,223.33 h₂= 17 días TNA₂= 16% TNT₁ = 3.8%

¿Cuál será el valor nominal del pagaré si el descuento racional simple se realiza el 24 de junio, fecha en que se requiere disponer de 10,000 y el pagaré vencerá el 15 de

Descuento racional simple

Descuento con tasa j variable

Ejemplo. La empresa Lotus requiere conocer el importe que le abonará el BCP por el descuento racional simple de un pagaré con valor nominal de 7,000 que se realizará el 3 de noviembre y vencerá el 9 de enero del próximo año. En el plazo se

aplicarán las siguientes tasas nominales como descuento:

Solución:

Con los datos:

S = 7,000 j₁=0.0158 j₂=0.14 n₁=24/30 n₂=43/360 P = 7,000 = 1+0.0158x24/30+0.14x43/360 P = 6,800.33

¿Cuál será el importe que le abonará el BCP a Lotus el 3 de noviembre?

tasa a partir del TNA 14.0% 03-Nov TNM 1.58% 16-Dic