Estadística, Física y Matemáticas Primer Curso ÁLGEBRA LINEAL I. Juan A. Navarro González

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Estad´ıstica, F´ısica y Matem´

aticas

Primer Curso

´

ALGEBRA LINEAL I

Juan A. Navarro Gonz´

alez

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(3)

´

_{Indice general}

1. Preliminares 1 1.1. Relaciones de Equivalencia . . . 1 1.2. N´umeros Complejos . . . 2 1.3. Permutaciones . . . 4 1.4. Matrices . . . 6 2. Espacios Vectoriales 9 2.1. Espacios Vectoriales y Subespacios Vectoriales . . . 9

2.2. Teor´ıa de la Dimensi´on . . . 11 2.3. Suma Directa . . . 15 3. Aplicaciones Lineales 17 3.1. Aplicaciones Lineales . . . 17 3.2. Teorema de Isomorf´ıa . . . 19 3.3. Cambio de Base . . . 22

4. Geometr´ıa Eucl´ıdea 23 4.1. Producto Escalar . . . 23

4.2. Espacios Vectoriales Eucl´ıdeos . . . 26

4.3. Bases Ortonormales . . . 28

5. Endomorfismos 29 5.1. Polinomios . . . 29

5.2. Valores y Vectores Propios . . . 30

5.3. Diagonalizaci´on de Endomorfismos . . . 31

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Cap´ıtulo 1

Preliminares

1.1. Relaciones de Equivalencia

Definición:Dar unarelación≡en un conjuntoX es dar una familia de parejas ordenadas de X, y pondremos x≡y cuando la pareja (x, y) esté en tal familia. Diremos que es una relación deequivalenciasi tiene las siguientes propiedades:

1.Reflexiva: Para todox∈X se tiene quex≡x. 2.Sim´etrica: x, y∈X,x≡y ⇒ y≡x.

3.Transitiva: x, y, z∈X,x≡y,y≡z ⇒ x≡z.

Ejemplo: Sean un n´umero natural,n≥2. Diremos que dos n´umeros enteros a, b∈Zson

congruentesm´oduloncuandob−aes m´ultiplo den:

a≡b (m´od.n) cuando b−a=cn para alg´unc∈Z.

La relación de congruencia módulones una relación de equivalencia en el conjuntoZ: Reflexiva: Para todoa∈Zse cumple quea≡a(mód.n) porquea−a= 0·n.

Sim´etrica: Si a, b ∈ Z y a ≡ b (m´od. n), entonces b−a = cn, donde c ∈ Z; luego

a−b= (−c)n, y por tanto b≡a(m´od.n).

Transitiva: Seana, b, c∈Z. Sia≡byb≡c (m´od.n), entoncesb−a=xnyc−b=yn, dondex, y∈Z; luego c−a= (c−b) + (b−a) =yn+xn= (y+x)n, ya≡c(m´od.n).

Esta relaci´on de equivalencia tiene adem´as la siguiente propiedad:

a≡b(m´od.n) ⇒ a+c≡b+c y ac≡bc(m´od.n) c∈Z

pues sib=a+xn, dondex∈Z, entonces b+c=a+c+xnybc=ac+xcn.

Definici´on: Dada una relaci´on de equivalencia ≡ en un conjunto X, la clase de equi-valencia de un elemento x∈X es el subconjunto de X formado por todos los elementos relacionados conx, y se denota

¯

x= [x] :={y∈X:x≡y}.

Diremos que un subconjuntoC⊆X es una clase de equivalencia de la relación≡si es la clase de equivalencia de algún elemento x∈X; es decir, siC= ¯xpara algúnx∈X.

Elconjunto cocientedeX por una relaci´on de equivalencia≡es el conjunto formado por las clases de equivalencia de≡, y se denotaX/≡.

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2 CAP´ITULO 1. PRELIMINARES

Teorema 1.1.1 Si ≡ es una relaci´on de equivalencia en un conjunto X, en el conjunto cocienteX/≡ s´olo se identifican los elementos equivalentes:

[x] = [y] ⇔ x≡y ; x, y∈X .

Demostraci´on:Si [x] = [y], entoncesy∈[y] = [x]; luegox≡y.

Rec´ıprocamente, six≡y, veamos que [y]⊆[x]. En efecto, siz∈[y], entoncesy≡z, y por la propiedad transitiva x≡z; luegoz∈[x].

Ahora bien, six≡y, entoncesy≡x; luego tambi´en [x]⊆[y], y [x] = [y].

Corolario 1.1.2 Cada elementox∈X está en una única clase de equivalencia de≡. Demostración:xestá en [x], porquex≡x, y six∈[y], entoncesy≡x; luego [y] = [x].

Ejemplo: Cuando en Z consideramos la relaci´on de congruencia m´odulo n, la clase de equivalencia dea∈Zes

[a] ={b∈Z:b=a+cnpara alg´unc∈Z}={a+cn; c∈Z}=a+nZ,

y coincide con la clase [r] del resto de la divisi´on deaporn, puesa=cn+r. Por tanto el conjunto cociente, que se denotaZ/nZ, tienenelementos:

Z/nZ = {[1], [2], . . . ,[n] = [0]}.

1.2. N´

umeros Complejos

Definición:Los númeroscomplejos son las parejas de números realesz =x+yi (donde

x ∈ R se llama parte real de z e y ∈ R se llama parte imaginaria) que se suman y multiplican con las siguientes reglas (i2₌₋_1):

(x1+y1i)+(x2+y2i) := (x1+x2) + (y1+y2)i

(x1+y1i)·(x2+y2i) := (x1x2−y1y2) + (x1y2+x2y1)i

El conjunto de todos los números complejos se denotaC. Elconjugadode un número complejoz=x+yies el número complejo ¯z:=x−yi, y elmódulodezes el número real

|z|:=√z·z¯=√x2₊_y2_≥_{0. Las siguientes propiedades son de comprobaci´}_{on sencilla:}

z+u= ¯z+ ¯u zu= ¯zu¯ z¯¯=z |z|=|z¯|

|z|= 0⇔z= 0 |zu|=|z| · |u| z+ ¯z≤2|z| |z+u| ≤ |z|+|u|

excepto la ´ultima. Para demostrarla bastar´a ver que |z+u|2≤(|z|+|u|)2:

|z+u|2= (z+u)(z+u) = (z+u)(¯z+ ¯u) =|z|2+|u|2+zu¯+ ¯zu

=|z|2+|u|2+zu¯+zu¯≤ |z|2+|u|2+ 2|zu¯|

=|z|2+|u|2+ 2|z| · |u¯|=|z|2+|u|2+ 2|z| · |u|= (|z|+|u|)2.

Si un n´umero complejoz=x+yino es nulo, tenemos quez¯z=|z|2 ₌_x2₊_y2_>_{0, as´ı}

que su inverso z−1 _{existe, es de m´}_odulo_|_z−1_|₌_|_z_|−1_{, y es}

1 z = ¯ z |z|2 = ¯ z z·z¯= x x2₊_y2 − y x2₊_y2i .

(7)

1.2. N ´UMEROS COMPLEJOS 3

Exponencial Compleja

Definici´on:Si t∈R, pondremoseti_{:= cos}_t₊_i_sen_t_{, donde el seno y coseno se consideran}

en radianes para que _dd_t(eit_{) =}_ieit_{. Tenemos la}_f´_{ormula de Euler}_(1707-1783)

e2πi= 1 y en general e2πni_{= 1 para todo n´}_{umero entero}_n_.

El n´umero complejoeti _{es de m´}_odulo _|_eti_|₌√_cos2_t_{+ sen}2_t _{= 1, y todo n´}_umero

com-plejo de m´odulo 1 eseθi _{para alg´}_{un n´}_{umero real}_θ_.

Siz∈Ces de m´oduloρ= 0, el m´̸ odulo dez/ρes 1, as´ı que z/ρ=eθi _y

z=ρeθi=ρ(cosθ+isenθ)

para algún número real θ = argz que llamamos argumento de z (bien definido salvo la adición de un múltiplo entero de 2π).

Cuandoz=x+yi; x, y∈R, tenemos que

cosθ=x/ρ , senθ=y/ρ , tanθ=y/x .

Ejemplos: Si ρ es un n´umero real positivo, argρ = 0, arg (ρi) = π/2, arg (−ρ) = π y arg (−ρi) = 3π/2 porque

ρ=ρe0, ρi=ρeπ2i , −ρ=ρeπi, −ρi=ρe 3π

2i.

Por otra parte, las f´ormulas del seno y coseno de una suma expresan que

etiet′i=e(t+t′)i etiet′i= (cost+i sent)(cost′+isent′) =

=((cost)(cost′)−(sent)(sent′))+i((cost)(sent′) + (sent)(cost′)) = cos(t+t′) +isen(t+t′) =e(t+t′)i ;

y la igualdad (ρeθi₎₍_ρ′_eθ′i_{) =} _ρρ′_e(θ+θ′)i _{muestra que}

arg (z·z′) = (argz) + (argz′)

de modo que arg (z−1) =−argz, al ser argz−1+ argz= arg (z−1z) = arg 1 = 0. Ahora, siu∈Cyun=z=ρeiθ, entonces

|u|n=|un|=|z|=ρ

narg (u) = arg (un) = argz=θ+ 2πk , k∈Z

Luego|u|= √n_ρ_{y arg (}_u_{) =} θ

n +

2kπ

n , y claramente basta tomark= 0, . . . , n−1.

Todo número complejo no nulo z=ρeiθ tienen ra´ıcesn-ésimas complejas (que forman un pol´ıgono regular den vértices, inscrito en el c´ırculo de radio √n_ρ _{centrado en el 0)}

n

√

ρ e(θ+2nkπ)i₌ √n_{ρ e}nθie

2kπ n i

En particular, las ra´ıcesn-´esimas de la unidad complejas son

e2kπn i _;_k_{= 1}_{, . . . , n,}

y vemos que las ra´ıcesn-ésimas de un número complejo no nulo se obtienen multiplicando una de ellas por las ra´ıcesn-ésimas de la unidad.

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Ejemplos:Las ra´ıces n-´esimas de la unidad complejas, cuandon= 2,3,4,6 y 8, son:

n= 2; e22πi=eπi=−1,e 4π 2i=e2πi= 1. n= 3; e23πi=−1 2 + √ 3 2 i,e 4π 3i=−1 2− √ 3 2 i,e 6π 3i= 1. n= 4; e24πi=i,e 4π 4i =−1,e 6π 4i=−i, e 8π 4 i= 1. n= 6; e26πi= 1 2+ √ 3 2 i, e 4π 6i=−1 2+ √ 3 2 i, e 6π 6i=−1, e86πi=−1 2− √ 3 2 i,e 10π 6 i= 1 2− √ 3 2 i,e 12π 6 i = 1. n= 8; e28πi= √1 2+ 1 √ 2i,e 4π 8i =i, e68πi=−√1 2+ 1 √ 2i, e 8π 8i=−1, e108πi=−√1 2− 1 √ 2i, e 12π 8 i=−i, e148πi=−√1 2− 1 √ 2i, e 16π 8 i= 1.

Por ´ultimo, si z = x+yi pondremos ez = exeyi = ex(cosy+iseny), de modo que

ez′+z =ez′ez para cualesquiera n´umeros complejosz′, z.

Cuandoeu=z, decimos queues ellogaritmo neperianodez, y ponemosu= lnz. El logaritmo neperiano dez=ρeθi₌_ρe(θ+2kπ)i₌_elnρ_e(θ+2kπ)i₌_elnρ+(θ+2kπ)i _es

lnz= lnρ+ (θ+ 2kπ)i.

1.3. Permutaciones

Definición:SeanX eY dos conjuntos. Dar unaaplicación f: X →Y es asignar a cada elementox∈X un único elementof(x)∈Y, llamadoimagen dexpor la aplicaciónf.

Sig:Y →Z es otra aplicación, llamaremoscomposicióndeg yf a la aplicación

g◦f:X −→Z, (g◦f)(x) :=g(f(x)).

Laidentidad de un conjuntoX es la aplicaci´on IdX:X→X, IdX(x) =x.

Seaf:X→Y una aplicaci´on. SiA⊆X, ponemos

f(A) :={y∈Y:y=f(x) para alg´unx∈X}={f(x); x∈A} ⊆Y

y siB⊆Y, ponemosf−1₍_B_{) :=}_{_x_∈_X_: _f₍_x₎_∈_B_{} ⊆}_X_.

Si y ∈Y, puede ocurrir quef−1₍_y_{) no tenga ning´}_{un elemento o tenga m´}_{as de uno, de}

modo que, en general,f−1 _{no es una aplicaci´}_{on de}_Y _en_X_.

Diremos quef:X →Y esinyectivasi elementos distintos tienen im´agenes distintas:

x, y∈X, f(x) =f(y) ⇒ x=y

(i.e., cuando, para caday∈Y se tiene quef−1₍_y_{) tiene un elemento o ninguno) y diremos}

quef esepiyectiva si todo elemento deY es imagen de alg´un elemento deX:

y∈Y ⇒ y=f(x) para alg´unx∈X ,

es decir, cuandof(X) =Y o, lo que es igual, cuando para caday∈Y se cumple quef−1(y) tiene al menos un elemento.

Diremos quef:X →Y esbiyectivacuando es inyectiva y epiyectiva; es decir, cuando cada elementoy ∈Y es imagen de un ´unico elemento de X, de modo quef−1₍_y_{) tiene un}

´

unico elemento, y en tal casof−1_:_Y _→_X _{s´ı es una aplicaci´}_{on, llamada aplicaci´}_on_inversa

def porquef−1_◦_f _{= Id}

X yf◦f−1= IdY.

Definici´on:Laspermutacionesdenelementos son las aplicaciones biyectivas

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1.3. PERMUTACIONES 5 El conjunto de todas las permutaciones denelementos se denotaSn, y est´a claro que su

cardinal es n! =n·(n−1)·. . .·2·1. El producto de permutaciones es la composición de aplicaciones, y como son aplicaciones biyectivas, toda permutaciónσtienen una permutación inversa σ−1_{, de modo que}_σ−1₍_j_{) =}_i_cuando_σ₍_i_{) =}_j_{. Adem´}_{as, (}_στ₎−1₌_τ−1_σ−1_.

Definici´on:Dadosa1, . . . , ad∈ {1, . . . , n} distintos, (a1. . . ad) denota la permutaci´onσ∈

Sn tal que σ(ai) =ai+1, entendiendo que σ(ad) =a1, y deja fijos los restantes elementos.

Diremos que (a1. . . ad) es unciclode longitudd, y los ciclos (a1a2) de longitud 2 se llaman

trasposiciones. El inverso de un ciclo σ= (a1. . . ad) es σ−1= (ad. . . a1).

Diremos que dos ciclos (a1. . . ad) y (b1. . . bk) sondisjuntos cuando ai ̸=bj para todo

par de ´ındicesi, j; en cuyo caso conmutan:

(a1. . . ad)(b1. . . bk) = (b1. . . bk)(a1. . . ad).

Toda permutaci´on descompone en producto de ciclos disjuntos, y tambi´en en producto de trasposiciones, porque todo ciclo es producto de trasposiciones:

(a1a2a3. . . ad) = (a1a2)(a2a3)· · ·(ad−1ad). (1.1)

Signo de una permutaci´

on

Definici´on:Consideremos el siguiente polinomio con coeficientes enteros:

∆(x1, . . . , xn) =

∏ 1_≤i<j_≤n

(xj−xi)

Dada una permutaci´onσ∈Sn, los factores de ∆(xσ(1), . . . , xσ(n)) = ∏

i<j(xσ(j)−xσ(i))

coinciden, eventualmente salvo el signo, con los de ∆(x1, . . . , xn). Luego ambos polinomios

coinciden o difieren en un signo, ∆(xσ(1), . . . , xσ(n)) =±∆(x1, . . . , xn), y llamaremossigno

deσal n´umero entero sgn(σ) =±1 tal que

∆(xσ(1), . . . , xσ(n)) = sgn(σ)·∆(x1, . . . , xn). (1.2)

Llamaremosparesa las permutaciones de signo 1, e imparesa las de signo –1.

Teorema 1.3.1 El signo de cualquier producto de permutaciones es el producto de los signos de los factores: sgn(τ σ) = (sgnτ)(sgnσ).

El signo de las trasposiciones es –1, y el signo de los ciclos de longituddes (−1)d−1_.

Demostraci´on: Sean σ, τ ∈ Sn. Aplicando τ a los ´ındices de las indeterminadas x1, . . . , xn

en la igualdad 1.2, obtenemos que

∆(x(τ σ)(1), . . . , x(τ σ)(n)) = (sgnσ)·∆(xτ(1), . . . , xτ(n))

= (sgnσ)(sgnτ)·∆(x1, . . . , xn).

Luego sgn(τ σ) = (sgnσ)(sgnτ) = (sgnτ)(sgnσ).

Un c´alculo directo demuestra que el signo de la trasposici´on (12) es –1.

Si (ij) es otra trasposici´on, tomamos una permutaci´onτ tal queτ(1) =i, τ(2) =j, de modo que (ij) =τ·(12)·τ−1_{, y concluimos que}

sgn(ij) = sgn(τ)·sgn(12)·sgn(τ−1) =−sgn(τ)·sgn(τ−1) =−sgn(τ·τ−1) =−1.

Por ´ultimo, cuandoσ= (a1. . . ad) es un ciclo de longitudd, se sigue directamente de 1.1

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1.4. Matrices

En adelante pondremosK=Q,R´oC, y llamemosescalaresa los elementos de K. Dada una matrizA= (aij) de mfilas y ncolumnas (donde el sub´ındice iindica la fila

y el sub´ındice j la columna), su matriz traspuesta es At _{= (}_a

ji), que tiene n filas y m

columnas. Si B = (bjk) es otra matriz de n filas y r columnas, su producto AB es una

matriz m×rcuyo coeficientecikde la fila iy columnak es

cik= n

∑

j=1

aijbjk=ai1b1k+ai2b2k+. . .+ainbnk .

El, producto de matrices es asociativo, aunque no conmutativo, y (AB)t₌_Bt_At_.

La matriz unidadIn es la matrizn×ncon todos sus coeficientes nulos, salvo los de la

diagonal, que son la unidad. Si Aes una matrizm×n, entoncesImA=A yAIn =A.

Una matriz cuadradaA de n columnas se dice que esinvertible si existe otra matriz cuadradaB dencolumnas tal queAB=In=BA, en cuyo caso tal matrizB es ´unica y se

poneB =A−1_{. Si}_A_y_B _{son matrices invertibles}_n_×_n_{, entonces (}_AB₎−1₌_B−1_A−1_.

Determinantes

Definici´on:El determinantede una matriz cuadrada A= (aij) denfilas y columnas es |A| := ∑

σ∈Sn

(sgnσ)a1σ(1). . . anσ(n)

y tiene las siguientes propiedades (que se probar´an en el curso de ´Algebra Lineal II): 1. |A|=|At|.

2. Es lineal en cada columna (y por tanto en cada fila):

|A1, . . . , Ai+Bi, . . . , An|=|A1, . . . , Ai, . . . , An|+|A1, . . . , Bi, . . . , An|, |A1, . . . , λAi, . . . , An|=λ|A1, . . . , Ai, . . . , An|. 3. |Aσ(1), . . . , Aσ(n)|= (sgnσ)|A1, . . . , An|. 4. a11 a12 . . . a1n 0 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . 0 . . . 0 ann = a11. . . ann , |In|= 1. 5. |AB|=|A| · |B| , |A−1_|₌_|_A_|−1_.

Luego el determinante es 0 cuando dos columnas (o dos filas) son iguales y

|A1, . . . , Ai, . . . , An| = |A1, . . . , Ai+λAj, . . . , An| , i̸=j .

Definici´on:El adjunto Aij de una matriz A es (−1)i+j por el determinante de la matriz

que se obtiene eliminando la filaiy la columnaj de la matrizA.

El determinante deApuede calcularse desarrollando por cualquier fila o columna:

|A|=ai1Ai1+. . .+ainAin , |A|=a1jA1j+. . .+anjAnj .

Si el determinante de una matrizAno es nulo, entoncesAes invertible, y su inversa es

A−1= 1 |A|  A. . .11 . . .. . . A. . .n1 A1n . . . Ann  

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1.4. MATRICES 7 (N´otese que el coeficiente de la filaiy columnaj es el adjuntoAji, noAij). Por tanto, una

matriz cuadradaA es invertible si y s´olo si su determinante no es nulo.

Definición:Elrango(por columnas) de una matriz Aes el máximo número de columnas deAlinealmente independientes, y se denota rgA.

El rango por filas de una matrizAes el rango (por columnas) de su traspuestaAt_.

Losmenoresde ordenrde una matrizAson los determinantes de las matrices formadas con los coeficientes derfilas yrcolumnas deA(obviamenterno ha de superar el n´umero de columnas ni de filas deA).

Teorema del Rango:El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo.

Como los menores de A yAt son los mismos, el rango por filas de cualquier matrizA

coincide con su rango por columnas.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Regla de Crámer(1704-1752):SiAes una matriz cuadrada invertible, entonces el sistema de ecuaciones linealesAX=B tiene una única solución, que es

xi = |

A1, . . . , B, . . . , An|

|A1, . . . , Ai, . . . , An|

donde A1, . . . , An denotan las columnas de la matrizA.

Demostración: Si Aes invertible, la única solución de AX=B esX =A−1_B_{. Adem´}_{as, si}

x1, . . . , xn es la soluci´on del sistema, entoncesx1A1+. . .+xnAn=B y por tanto: |A1, . . . , B, . . . , An|=

∑

jxj|A1, . . . , Aj, . . . , An|=xi|A1, . . . , Ai, . . . , An|

porque la matriz (A1, . . . , Aj, . . . , An) tiene dos columnas iguales (las columnasiyj) cuando

i̸=j. Luego xi=|A1, . . . , B, . . . , An|/|A1, . . . , Ai, . . . , An| es la ´unica soluci´on del sistema.

Teorema de Rouché-Frobënius(1832-1910, 1849-1917):Un sistema de ecuaciones linea-lesAX=B es compatible si y sólo si rgA= rg(A|B).

Si un sistema de ecuaciones linealesAX =B es compatible y X0 es una soluci´on

par-ticular, AX0 = B, entonces todas las soluciones se obtienen sum´andole las soluciones del

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Cap´ıtulo 2

Espacios Vectoriales

2.1. Espacios Vectoriales y Subespacios Vectoriales

Definici´on:Dar una estructura deK-espacio vectorialen un conjuntoE(cuyos elementos llamamos vectores o puntos) es asignar a cada par de vectores e1, e2 ∈ E otro vector

e1+e2∈E, y a cada escalarλ∈K y cada vectore∈E, otro vectorλe∈E, de modo que:

1. e1+ (e2+e3) = (e1+e2) +e3 para cualesquiera vectorese1, e2, e3∈E.

2. e1+e2=e2+e1 para cualesquiera vectorese1, e2∈E.

3. Existe un vector 0∈E tal quee+ 0 =epara todo vectore∈E. 4. Para cada vector e∈E existe un vector−etal quee+ (−e) = 0. 5. λ(e1+e2) =λe1+λe2para todoλ∈K,e1, e2∈E.

6. (λ1+λ2)e=λ1e+λ2epara todoλ1, λ2∈K,e∈E.

7. (λµ)e=λ(µe) para todo λ, µ∈K,e∈E. 8. 1·e=epara todo vectore∈E.

Nota:Sie, v∈E, ponemosv−e:=v+ (−e), y decimos que−ees elopuestodel vectore. En los espacios vectoriales son v´alidas las reglas usuales del c´alculo vectorial:

e+v=e′+v ⇒ e=e′ e+v=v ⇒ e= 0

e+v= 0 ⇒ v=−e

0·e= 0 , λ·0 = 0 , −0 = 0

λ·(−e) = (−λ)e=−(λe) , −(−e) =e , (−1)e=−e λ(e−v) =λe−λv , (λ−µ)e=λe−µe

λe= 0 ⇒ λ= 0 ´o e= 0

Definici´on:Un subconjuntoV de un espacio vectorialE es un subespacio vectorialde

E cuando la suma de vectores y el producto por escalares de E definan tambi´en enV una estructura deK-espacio vectorial; es decir, cuando

1. v1+v2∈V, para todov1, v2∈V.

2. λv∈V, para todoλ∈K yv∈V. 3. 0∈V.

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10 CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES

Ejemplos:

1. En la Geometr´ıa eucl´ıdea, los segmentos orientados con origen en un punto prefijado

O forman un espacio vectorial real. Subespacios vectoriales de este espacio vectorial son el origenO, las rectas y planos que pasan por el origen, y el espacio.

2. Kn =K×_{. . .}n _×_K₌_{₍_λ

1, . . . , λn), dondeλ1, . . . , λn ∈K} es unK-espacio vectorial.

SiAes una matrizm×ncon coeficientes enK, las soluciones del sistema de ecuaciones lineales homog´eneoAX= 0 forman un subespacio vectorial deKn.

3. Fijados dos n´umeros naturales positivosmyn, la suma de matrices y el producto de matrices por escalares definen una estructura de K-espacio vectorial en el conjunto

Mm×n(K) de todas las matrices demfilas yncolumnas con coeficientes enK.

4. Ces unC-espacio vectorial, y tambi´en es unR-espacio vectorial y unQ-espacio vecto-rial. Estas tres estructuras de espacio vectorial sobreC son bien distintas, porque en cada caso los escalares son diferentes.

5. Un espacio vectorial E nunca puede ser el conjunto vac´ıo, porque el axioma 3 impo-ne la existencia del vector nulo. El espacio vectorial que tieimpo-ne un ´unico vector (que necesariamente ha de ser el vector nulo) se denota 0.

6. Todo espacio vectorialE admite los subespacios vectoriales triviales 0 yE. 7. SeanV yW dos subespacios vectoriales de un espacio vectorialE.

Su intersecci´onV ∩W :={e∈E: e∈V ye∈W} es el mayor subespacio vectorial deE contenido enV y enW, y susuma

V +W :={e∈E:e=v+wpara alg´unv∈V, w∈W}={v+w; v∈V, w∈W}

es el menor subespacio vectorial deEque contiene aV y a W.

8. Si e es un vector de un espacio vectorialE, el menor subespacio vectorial de E que lo contiene es ⟨e⟩ =Ke := {v ∈ E: v =λepara alg´unλ ∈ K} = {λe; λ ∈ K}, y diremos que es el subespacio vectorial deE generado por el vectore.

9. Sie1, . . . , en son vectores de un espacio vectorialE, entonces

⟨e1, . . . , en⟩=Ke1+. . .+Ken={λ1e1+. . .+λnen; λ1, . . . , λn∈K}

es el menor subespacio vectorial deEcontiene a los vectorese1, . . . , en, y diremos que

es el subespacio vectorial deE generadopore1, . . . , en.

10. SiE yF son dosK-espacios vectoriales, su producto directoE×F es unK-espacio vectorial cuando la suma y el producto por escalares se definen del siguiente modo:

(e, f) + (e′, f′) := (e+e′, f+f′) , λ(e, f) := (λe, λf).

11. Diremos que un subconjuntoX de un espacio vectorialEes unasubvariedad lineal

si existe un subespacio vectorialV deE y alg´un puntop∈E tales que

X =p+V :={e∈E: e=p+v para alg´unv∈V}={p+v;v∈V}.

En tal caso diremos queV es ladirecci´ondeX, y queX es la subvariedad lineal que pasa porpcon direcci´onV. Diremos que dos subvariedades linealesp+V yq+W son

paralelassi sus direccionesV yW son incidentes (V ⊆W ´o W ⊆V).

12.Espacio Vectorial Cociente:Cada subespacio vectorialV de unK-espacio vecto-rialE define una relaci´on de equivalencia enE (llamadacongruencia m´oduloV):

(15)

2.2. TEOR´IA DE LA DIMENSI ´ON 11 i) Para todo vectore∈Etenemos quee≡e, porquee−e= 0∈V.

ii) Sie, e′∈E ye≡e′, entoncese′−e∈V; luegoe−e′ =−(e′−e)∈V ye′ ≡e. iii) Sean e, e′, e′′ ∈ E. Sie ≡ e′ y e′ ≡ e′′, entoncese′−e, e′′−e′ ∈ V, de modo que

e′′−e= (e′′−e′) + (e′−e)∈V ye≡e′′.

La clase de equivalencia [p] = p+V de p∈ E es la subvariedad lineal de direcci´onV

que pasa porp. Por tanto, si una subvariedad lineal X=p+V de direcciónV pasa por un puntoq, entonces p≡q(mód.V) y por tanto tambiénX =q+V.

El conjunto cociente (que se denota E/V) es el conjunto de todas las subvariedades lineales de E de direcci´on V, y las siguientes operaciones definen en el conjuntoE/V una estructura deK-espacio vectorial (compru´ebense los 8 axiomas) y diremos que es elespacio vectorial cociente deE porV:

[e1] + [e2] := [e1+e2]

λ·[e] := [λe]

Veamos que estas definiciones no dependen de los vectores elegidos en las clases: Si [e1] = [e′1] y [e2] = [e′2], entonces e′1−e1, e′2−e2∈V; luegoe′1+e2′ −(e1+e2)∈V y

por tanto [e1+e2] = [e′1+e′2].

Si [e] = [e′], entoncese′−e∈V; luegoλe′−λe=λ(e′−e)∈V y por tanto [λe] = [λe′]. Con esta estructura de espacio vectorial que hemos de definido enE/V, el opuesto de un vector ¯e∈E/V es [−e], y el vector nulo deE/V es precisamente la clase de 0∈E, de modo que ¯e= 0 precisamente cuandoe≡0 (m´oduloV):

[e] = 0⇔e∈V (2.1)

Nota 2.1.1 Sie∈Ke1+. . .+Ken, entonces ¯e∈Ke¯1+. . .+Ke¯n.

En efecto, si e=λ1e1+. . .+λnen, entonces ¯e= [λ1e1+. . .+λnen] =λ1e¯1+. . .+λn¯en.

2.2. Teor´ıa de la Dimensi´

on

Definici´on:Diremos que unos vectores e1, . . . , en de un espacio vectorial E lo generan, o

que forman unsistema de generadoresdeEcuando todo vector deEes una combinaci´on lineal dee1, . . . , en con coeficientes enK:

Ke1+. . .+Ken =E .

Diremos que e1, . . . , en sonlinealmente dependientes si existen escalaresλ1, . . . , λn

tales queλ1e1+. . .+λnen = 0 y alg´unλi ̸= 0, de modo queei es combinaci´on lineal de

los restantes vectores. En caso contrario diremos que son linealmente independientes. Es decir,e1, . . . , en son linealmente independientes cuando la ´unica combinaci´on lineal nula

es la que tiene todos los coeficientes nulos:

λ1e1+. . .+λnen= 0 ⇒ λ1=. . .=λn= 0 ; dondeλ1, . . . , λn ∈K.

Diremos que una sucesi´on de vectores e1, . . . , en de un espacio vectorialE es unabase

deE cuando tales vectores sean linealmente independientes y generenE. En tal caso, cada vectore∈E se escribe de modo ´unico como combinaci´on lineal con coeficientes enK

e = x1e1+. . .+xnen,

(16)

12 CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES En efecto, sie=x1e1+. . .+xnen =y1e1+. . .+ynen, entonces

(x1−y1)e1+. . .+ (xn−yn)en=x1e1+. . .+xnen−(y1e1+. . .+ynen) =e−e= 0 ;

luegoyi−xi= 0 para todo ´ındicei, porquee1, . . . , en son linealmente independientes.

Ejemplos 2.2.1

1. Seane1, . . . , en vectores de un espacio vectorialE. Si alguno es nulo,ei= 0, entonces

son linealmente dependientes, porque 0 = 0·e1+. . .+ 1·ei+. . .+ 0·en.

An´alogamente, si hay un vector repetido,ei =ej coni̸=j, tambi´en son linealmente

dependientes, pues 0 = 0·e1+. . .+ 1·ei+. . .+ (−1)·ej+. . .+ 0·en.

2. Sea e un vector no nulo. Como λe = 0 ⇒ λ = 0; tenemos que e es linealmente independiente, y por tanto define una base del subespacio vectorialKe=⟨e⟩. Adem´as, si otro vectorv no est´a enKe, entoncese, vson linealmente independientes, de modo que forman una base del subespacio vectorialKe+Kv=⟨e, v⟩.

3. Los vectores e1 = (1,0, . . . ,0), e2 = (0,1, . . . ,0), . . . , en = (0, . . . ,0,1) forman una

base deKn_{, llamada}_{base usual} _de_Kn_{. Las coordenadas de un vector}_e_{= (}_a

1, . . . , an)

deKn _{en esta base son precisamente (}_a

1, . . . , an), porquee=a1e1+. . .+anen.

4. Las matrices m×n que tienen todos sus coeficientes nulos, excepto uno que es la unidad, definen una base deMm×n(K), base que est´a formada pormn matrices. Las

coordenadas de una matriz en tal base son precisamente los coeficientes de la matriz.

Lema Fundamental: Seane1, . . . , en vectores de un K-espacio vectorialE. Si rvectores

v1, . . . , vr∈Ke1+. . .+Ken son linealmente independientes, entoncesr≤n.

Demostraci´on: Procedemos por inducci´on sobre r. Si r = 1, entonces v1 ̸= 0 porque es

linealmente independiente. LuegoKe1+. . .+Ken ̸= 0 y concluimos quen≥1 =r.

Si r > 1, comovr ̸= 0, reordenando e1, . . . , en tendremos vr =λ1e1+. . .+λnen con

λn̸= 0. Despejando, vemos queen∈Ke1+. . .+Ken−1+Kvr, y por tanto

v1, . . . , vr−1∈Ke1+. . .+Ken ⊆ Ke1+. . .+Ken−1+Kvr.

De acuerdo con 2.1.1, en el espacio vectorial cocienteE/(Kvr) tendremos que

¯

v1, . . . ,¯vr−1∈Ke¯1+. . .+Ke¯n−1+K¯vr = Ke¯1+. . .+K¯en−1.

Veamos que ¯v1, . . . ,v¯r−1 son linealmente independientes:

Si una combinaci´on lineal de estos vectores es nula,

0 = λ1v¯1+. . .+λr₋1¯vr₋1 = [λ1v1+. . .+λr₋1vr₋1],

entonces∑r_i₌₁−1λivi∈Kvrseg´un 2.1, y

∑r₋1

i=1λivi=λrvrpara alg´un escalarλr.

Comov1, . . . , vr son linealmente independientes, tenemos queλ1=. . .=λr−1= 0.

Ahora, por hip´otesis de inducci´on,r−1≤n−1, y concluimos quer≤n.

Teorema 2.2.2 Todas las bases de un espacio vectorial tienen igual n´umero de vectores. Demostraci´on:Si e1, . . . , en y v1, . . . , vr son dos bases de un espacio vectorialE.

Como v1, . . . , vr ∈ E =Ke1+. . .+Ken son linealmente independientes, por el lema

fundamental tenemos que r≤n. Comoe1, . . . , en ∈E =Kv1+. . .+Kvr son linealmente

(17)

2.2. TEOR´IA DE LA DIMENSI ´ON 13

Definici´on:Si un espacio vectorialE ̸= 0 admite una base, llamaremosdimensi´onde E

al n´umero de vectores de cualquier base de E, y lo denotaremos dimKE; o sencillamente

dimEcuando no induzca a confusión. También diremos que el espacio vectorialE= 0 tiene dimensión 0 y que su base es el vac´ıo. Diremos que un espacio vectorialE tiene dimensión infinita cuando ninguna familia finita de vectores deE sea una base deE.

La dimensión de una subvariedad linealX =p+V es la de su direcciónV. Las subva-riedades lineales de dimensión 1 y 2 se llamanrectasyplanosrespectivamente.

Ejemplos 2.2.3

1. Seg´un los ejemplos 2.2.1, para todo vector no nuloetenemos que dimK(Ke) = 1; y si

adem´as v /∈Ke, entonces dimK(Ke+Kv) = 2.

Tambi´en, dimKKn =n y dimKMm×n(K) =mn.

2. En particular dim_CC = 1; aunque dim_RC = 2, porque 1, i forman una base de

C=R+RicomoR-espacio vectorial.

3. SiEes unQ-espacio vectorial de dimensi´on finitan, cada basee1, . . . , endefine una

bi-yecci´onϕ:Kn_→_E_,_ϕ₍_λ

1, . . . , λn) =

∑

iλiei, y por tanto el conjuntoEes numerable.

ComoRyCno son numerables, vemos que dim_QR= dim_QC=∞.

4. El K-espacio vectorialK[x], formado por todos los polinomios con coeficientes en K

en una indeterminadax, tiene dimensi´on infinita, porque los polinomios 1, x, . . . , xn

son linealmente independientes.

El subespacio vectorial Pn :=K+Kx+. . .+Kxn, formado por los polinomios de

grado≤ncon coeficientes enK, admite la base 1, x, . . . , xn_{; luego dim}_P

n=n+ 1.

Proposici´on 2.2.4 Todo sistema finito de generadores{e1, . . . , en}de un espacio vectorial

E̸= 0 contiene una base deE. Por tanto n≥dimE, y si adem´asn= dimE, entonces los vectores e1, . . . , en ya forman una base de E.

Demostraci´on:Veamos que{e1, . . . , en} contiene una base deE, por inducci´on sobren.

Sin= 1, e1̸= 0 porqueKe1=E̸= 0; luegoe1 es ya una base deE=Ke1.

Sin >1, y los vectores e1, . . . , en son linealmente independientes, forman ya una base

deE. Si son linealmente dependientes, tendremos alguna relaci´on∑n_i₌₁λiei = 0 con alg´un

coeficiente λi no nulo. Reordenando los vectores e1, . . . , en podemos suponer queλn ̸= 0.

Despejandoen tenemos queen∈Ke1+. . .+Ken₋1. LuegoE=Ke1+. . .+Ken₋1, y por

hip´otesis de inducci´on{e1, . . . , en₋1}contiene una base deE.

Por ´ultimo, si n = dimE, entonces los vectores e1, . . . , en ya forman una base de E;

porque una base deE no puede tener menos denvectores seg´un 2.2.2.

Lema 2.2.5 Sie1, . . . , en∈E son linealmente independientes, y no se pueden ampliar con

un vector de E de modo que lo sigan siendo, entonces ya forman una base deE.

Demostraci´on:Si e∈E, entoncese1, . . . , en, eson linealmente dependientes,

λ1e1+. . .+λnen+λe= 0,

con alg´un coeficiente no nulo. Si λ= 0, entonces e1, . . . , en son linealmente dependientes,

en contra de la hip´otesis. Luego λ̸= 0 y despejando vemos quee∈Ke1+. . .+Ken.

Luego los vectores e1, . . . , en generan E, y como son linealmente independientes por

(18)

14 CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES

Proposici´on 2.2.6 SeaEun espacio vectorial de dimensi´on finita. Toda familia{e1, . . . , er}

de vectores de E linealmente independiente se puede ampliar hasta obtener una base de E. Por tanto r ≤dimE, y si adem´as r = dimE, entonces los vectores e1, . . . , er ya forman

una base de E.

Demostraci´on:A˜nadimos vectores deEhasta obtener una familia linealmente independiente

e1, . . . , er, e′1, . . . , e′s que ya no pueda ampliarse de modo que lo siga siendo (el proceso

termina porque, sin= dimE, en virtud el lema fundamental enE no puede haber m´as de

nvectores linealmente independientes, as´ı que siempre r+s≤n). Ahorae1, . . . , er, e′1, . . . , e′sya es base deE por el lema anterior.

Por ´ultimo, si r = dimE, entonces los vectores e1, . . . , er ya forman una base de E;

porque una base deE no puede tener m´as dervectores seg´un 2.2.2.

Teorema 2.2.7 Sea V subespacio vectorial de un espacio vectorial de dimensi´on finitaE.

1. dimV ≤dimE y s´olo se da la igualdad cuandoV =E. 2. dim (E/V) = dimE−dimV .

Demostración: Veamos primero que la dimensión de V también es finita. Tomemos en V

una familia{v1, . . . , vr}linealmente independiente que ya no pueda ampliarse con un vector

deV de modo que lo siga siendo (existe porque, si n= dimE, por el lema fundamental en

E no puede haber m´as de nvectores linealmente independientes).

Por el lema anterior v1, . . . , vr forman una base de V, de modo quer= dimV.

Ahora 2.2.6 permite ampliarla hasta obtener una base v1, . . . , vr, e1, . . . , es deE.

Luego dimV =r≤r+s= dimE; y si se da la igualdad, entoncess= 0 y v1, . . . , vr ya

es base deE, de modo queE=Kv1+. . .+Kvr=V.

En cuanto a la segunda afirmaci´on, basta probar que ¯e1, . . . ,¯es es una base de E/V.

Como v1, . . . , vr, e1, . . . , es generanE, y enE/V tenemos que ¯v1=. . .= ¯vr= 0, se sigue que

E/V =Ke¯1+. . .+Ke¯s. Veamos por ´ultimo que ¯e1, . . . ,e¯sson linealmente independientes:

Si 0 =∑s_i₌₁λie¯i = [

∑s

i=1λiei], entonces ∑s

i=1λiei∈V de acuerdo con 2.1, as´ı que

λ1e1+. . .+λsee = µ1v1+. . .+µrvr

para ciertos escalares µ1, . . . , µr. Luego

∑s

i=1λiei−

∑r

j=1µjvj = 0, y como los vectores

v1, . . . , vr, e1, . . . , es son linealmente independientes, concluimos queλ1=. . .=λs= 0.

Corolario 2.2.8 Sea e1, . . . , en una base de un espacio vectorialE. Si Aes la matriz que

tiene por columnas las coordenadas de v1, . . . , vm∈E en tal base deE, entonces

dim (Kv1+. . . +Kvm) = rgA .

Demostraci´on:Pongamos r= rgAyd= dim (Kv1+. . . +Kvm).

Como {v1, . . . , vm} genera Kv1+ . . . +Kvm, de acuerdo con 2.2.2 contiene una base

vi1, . . . , vid deKv1+. . . +Kvm, as´ı que las columnas i1, . . . , id de la matrizA son

lineal-mente independientes y por tantod≤r(pues unos vectores son linealmente independientes precisamente cuando sus coordenadas son linealmente independientes en Kn_).

Por otra parte, como la matriz A tiene r columnas linealmente independientes, hay r

vectores vj1, . . . , vjr linealmente independientes en Kv1 + . . . +Kvm, y de acuerdo con

(19)

2.3. SUMA DIRECTA 15

Ejemplos:

1. Con las notaciones del corolario anterior, tenemos que

v1, . . . , vm son linealmente independientes ⇔ rgA=m= node columnas deA .

v1, . . . , vmgeneranE ⇔ rgA= dimE= no de filas deA .

En particular, la condici´on necesaria y suficiente para quev1, . . . , vmformen una base

deE es que m=ny el determinante de la matrizAno sea nulo.

2. Dados n vectores v1 = (a11, . . . , an1), . . . , vn = (a1n, . . . , ann) en Kn, la condici´on

necesaria y suficiente para que formen una base de Kn _{es que el determinante de la}

matrizA= (aij) no sea nulo.

3. Por dos puntos distintospyq=p+epasa una ´unica recta p+Ke, formada por los puntosp+te=tq+ (1−t)p, donde t∈K. El puntop+1₂e= p+₂q recibe el nombre depunto medio entrepyq.

4. Dados tres puntos distintos no alineadosa, b=a+e, c=a+vpasa un ´unico plano, que esa+Ke+Kv. En efecto, tenemos quee=b−a̸= 0,v=c−a̸= 0, yv /∈Keporque

c=a+vno está en la rectaa+Keque pasa porayb. Luego dim (Ke+Kv) = 2, y el planoa+Ke+Kvpasa por los tres vértices. Y es el único, si otro planoP =p+V

pasase por ellos, entonces b, c∈ P =a+V; luegoe=b−a, v =c−a∈ V, as´ı que

Ke+Kv⊆V, y ambos subespacios vectoriales coinciden porque son de dimensión 2. 5. SeanX =p+V,Y =q+W dos subvariedades lineales paralelas de igual dimensión. Como dimV = dimW, y además V ⊆W o´ W ⊆V, 2.2.7.1 afirma que V =W: dos subvariedades lineales paralelas de igual dimensión tienen la misma dirección.

Teorema de Rouché-Frobënius(1832-1910, 1849-1917):Un sistema de ecuaciones linea-lesAX=B es compatible si y sólo si rgA= rg(A|B).

Demostraci´on:SeanA1, . . . , An las columnas deA, de modo que el sistemaAX=B puede

escribirsex1A1+. . .+xnAn=B, y la condici´on de que sea compatible significa que enKm

tenemos queB∈ ⟨A1, . . . , An⟩; es decir, que⟨A1, . . . , An⟩=⟨A1, . . . , An, B⟩. Ahora bien, el

teorema 2.2.7.1 afirma que

⟨A1, . . . , An⟩=⟨A1, . . . , An, B⟩ ⇔ dim⟨A1, . . . , An⟩= dim⟨A1, . . . , An, B⟩

y, de acuerdo con 2.2.8, esta ´ultima condici´on significa que rgA= rg (A|B) .

2.3. Suma Directa

Definici´on:Diremos que la sumaV1+. . .+Vr de unos subespacios vectorialesV1, . . . , Vr

de un espacio vectorialE esdirectasi cada vectore∈V1+. . .+Vr descompone de modo

´

unico en la formae=v1+. . .+vr, dondevi ∈Vi; es decir, si la aplicaci´on

s:V1×. . .×Vr −→ V1+. . .+Vr , s(v1, . . . , vr) =v1+. . .+vr ,

(que siempre es epiyectiva, por definici´on de suma de subespacios vectoriales) tambi´en es inyectiva. En tal caso, el subespacio vectorialV1+. . .+Vr se denotaV1⊕. . .⊕Vr.

Teorema 2.3.1 La condici´on necesaria y suficiente para que la suma de dos subespacios vectorialesV yW de un espacio vectorial E sea directa es queV ∩W = 0.

Demostraci´on:Si la suma deV yW es directa y e∈V ∩W, entonces 0 = 0 + 0 = e+ (−e),

donde 0, e∈V y 0,−e∈W. La unicidad de la descomposici´on del vector 0 en suma de un vector deV y otro deW implica quee= 0. LuegoV ∩W = 0.

(20)

16 CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Rec´ıprocamente, siV ∩W = 0 y un vectore∈V +W admite dos descomposiciones

e=v+w=v′+w′ ; v, v′∈V, w, w′ ∈W

entonces v′−v =w−w′ ∈W. Comov′−v∈V, se sigue quev′−v ∈V ∩W = 0. Luego 0 = v′−v = w−w′, y concluimos que v =v′ y w= w′. Es decir, tal descomposici´on es ´

unica, as´ı que la suma deV yW es directa.

Definici´on:Diremos que dos subespacios vectorialesV yW de un espacio vectorialE son

suplementarios(o queW es un suplementario deV enE, o queV es un suplementario de

W enE) cuandoE=V ⊕W; i.e., cuando cada vector deE descompone, y de modo ´unico, en suma de un vector de V y otro deW; es decir, cuandoV +W =E yV ∩W = 0.

Ejemplos:

1. Si e1, . . . , en es una base de un espacio vectorial E, entonces cada vector e∈E

des-compone de modo ´unico como combinaci´on lineale=λ1e1+. . .+λnen; luego

E=Ke1⊕. . .⊕Ken

y vemos as´ı que un suplementario de V = Ke1⊕. . .⊕Ker en E es el subespacio

vectorialW =Ker+1⊕. . .⊕+Ken.

2. Para hallar un suplementario de un subespacio vectorial V de E basta ampliar una basev1, . . . , vrdeV hasta obtener una basev1, . . . , vr, w1, . . . , wsdeE, porque en tal

casoW =Kw1+. . .+Kwses un suplementario deV enE.

3. Seanp+V yq+W dos subvariedades lineales de un espacio vectorialE. Dar un punto de corte es dar vectoresv∈V,w∈W tales quep+v=q+w; es decir,q−p=v−w. Por tanto, la condici´on necesaria y suficiente para que se corten es queq−p∈V+W, y el punto de corte es ´unico cuando la sumaV ⊕W es directa.

(21)

Cap´ıtulo 3

Aplicaciones Lineales

3.1. Aplicaciones Lineales

Definici´on: Diremos que una aplicaci´on f:E → E′ entre dos K-espacios vectoriales es

K-lineal, (o simplemente lineal, siK se sobrentiende) cuando

f(e+v) =f(e) +f(v) para todoe, v∈E f(λ·e) =λ·f(e) para todoλ∈K, e∈E

Toda aplicaci´on linealf:E →E′ verifica que f(0) = 0, que f(−e) =−f(e), y tambi´en quef(λ1e1+. . .+λnen) =λ1f(e1) +. . .+λnf(en).

En efecto, f(0) = f(0·0) = 0·f(0) = 0, f(−e) = f((−1)e) = (−1)f(e) = −f(e) y

f(λ1e1+. . .+λnen) =f(λ1e1) +. . .+f(λnen) =λ1f(e1) +. . .+λnf(en).

Proposición 3.1.1 Si dos aplicacionesf:E→E′ yh: E′ →E′′ sonK-lineales, entonces su composición hf:E→E′′,(hf)(e) =h(f(e)), también esK-lineal.

Demostraci´on:Para todoλ∈K y todoe, v∈E tenemos que

(hf)(e+v) =h(f(e+v))=h(f(e) +f(v))=h(f(e)) +h(f(v)) = (hf)(e) + (hf)(v) (hf)(λe) =h(f(λe))=h(λ·f(e))=λ·h(f(e)) =λ·(hf)(e)

Proposici´on 3.1.2 Seaf:E→E′ una aplicaci´on lineal. Sun´ucleo Kerf :=f−1(0) ={e∈E:f(e) = 0}

es un subespacio vectorial deE, y suimagen

Imf :=f(E) ={e′∈E′:e′ =f(e) para alg´une∈E}={f(e); e∈E}

es un subespacio vectorial deE′.

Demostraci´on: Veamos que Kerf es un subespacio vectorial deE. Tenemos que 0∈Kerf

porquef(0) = 0. Ahora, sie1, e2∈Kerf, por definici´onf(e1) =f(e2) = 0, as´ı que

f(e1+e2) =f(e1) +f(e2) = 0

f(λe1) =λf(e1) = 0

Luegoe1+e2∈Kerf yλe1∈Kerf, as´ı que Kerf es un subespacio vectorial deE.

(22)

18 CAP´ITULO 3. APLICACIONES LINEALES Veamos ahora que Imf es un subespacio vectorial deE′:

Tenemos que 0∈Imf porque 0 =f(0). Ahora, si e1′, e′2 ∈Imf, por definici´on existen

vectores e1, e2∈E tales quee′1=f(e1) ye′2=f(e2), as´ı que

e′₁+e′₂=f(e1) +f(e2) =f(e1+e2)∈Imf

λe′1=λf(e1) =f(λe1)∈Imf

y concluimos que Imf es un subespacio vectorial deE′.

Proposición 3.1.3 Una aplicación linealf:E→E′ es inyectiva si y sólo si Kerf = 0. Demostración:Si f es inyectiva ye∈Kerf, entonces f(e) = 0 =f(0); luego e= 0.

Rec´ıprocamente, supongamos que Kerf = 0. Si f(e) =f(v), dondee, v ∈E, entonces

f(v−e) =f(v)−f(e) = 0; luegov−e∈Kerf = 0 y por tantoe=v; i.e., f es inyectiva.

Ejemplos:

1. Una aplicaci´on linealf:E→E′ es epiyectiva si y s´olo si Imf =E′.

2. Sea V un subespacio vectorial de un espacio vectorial E. La inclusi´on i: V → E,

i(v) =v, es una aplicaci´on lineal inyectiva y su imagen es Imi=V.

La proyección canónicaπ:E→E/V,π(e) = [e], es una aplicación lineal epiyectiva y su núcleo es Kerπ=V de acuerdo con 2.1 (v. página 11).

3. Cada matrizA∈Mm×n(K) define una aplicaci´on linealf:Kn→Km, f(X) =AX,

cuyo núcleo Kerf está formado por todas las soluciones de la ecuación homogénea

AX= 0. Por otra parte, la condici´onB∈Imf significa que el sistema demecuaciones lineales conninc´ognitasAX=B es compatible.

4. Cada familia{e1, . . . , en}de vectores de unK-espacio vectorialEdefine una aplicaci´on

f:Kn−→E , f(λ1, . . . , λn) =λ1e1+. . .+λnen ,

que siempre esK-lineal. La imagen de esta aplicaci´on lineal es Imf =Ke1+. . .+Ken,

as´ı quef es epiyectiva cuandoe1, . . . , en generanE.

Adem´as la condici´on de que e1, . . . , en sean linealmente independientes significa que

Kerf = 0, de modo que en tal caso la aplicaci´on lineal f es inyectiva. Por tanto, cuandoe1, . . . , en forman una base deE, esta aplicaci´on linealf es biyectiva.

Matriz de una Aplicaci´

on Lineal

Definición:Seaf:E→E′una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales de dimensión finita. Si fijamos una base e1, . . . , en deE y una base e′1, . . . , e′m deE′, tendremos que

f(ej) =a1je′1+. . .+amje′m , 1≤j≤n (3.1)

para ciertos escalares aij ∈ K, y diremos que A = (aij) es la matriz de la aplicaci´on

linealf en las bases e1, . . . , en deEy e′1, . . . , e′m deE′.

Por definición, la columnaj-ésima de la matrizAestá formada por las coordenadas del vectorf(ej) en la base e′1, . . . , e′m deE′.

Ahora, para cada vectore=x1e1+. . .+xnen ∈Etendremos que su imagenf(e) es

f(e) = n ∑ j=1 xjf(ej) = n ∑ j=1 m ∑ i=1 xjaije′i= m ∑ i=1 (∑n j=1 aijxj ) e′_i .

(23)

3.2. TEOREMA DE ISOMORF´IA 19 Es decir, siX denota las coordenadas del vector een la base e1, . . . , en, puestas en

co-lumna, entonces las coordenadasX′ def(e) en la base e′₁, . . . , e′_m se obtienen multiplicando

X por la matrizAdef en las bases consideradas:

X′ = AX (3.2)

Proposici´on 3.1.4 SiA es la matriz de una aplicaci´on linealf:E→E′, entonces

dim (Imf) = rgA

Demostraci´on:Sea e1, . . . , en una base deE. Comof(

∑

iλiei) =

∑

iλif(ei), la imagen de

f est´a generada por los vectoresf(e1), . . . , f(en):

Imf =⟨f(e1), . . . , f(en)⟩,

y tenemos que dim⟨f(e1), . . . , f(en)⟩= rgAde acuerdo con 2.2.8 y 3.1.

3.2. Teorema de Isomorf´ıa

Definición:Diremos que una aplicación K-lineal f: E →E′ es un isomorfismo cuando es biyectiva, y en tal caso la aplicación inversa f−1_:_E′ _→ _E _tambi´_{en es} _K_{-lineal (y por}

supuesto biyectiva, as´ı quef−1 _tambi´_{en es un isomorfismo).}

En efecto, sie′, v′∈E′, entoncese′ =f(e) yv′=f(v), dondee, v∈E, de modo que

f−1(e′+v′) =f−1(f(e) +f(v))=f−1(f(e+v))=e+v=f−1(e′) +f−1(v′)

f−1(λe′) =f−1(λf(e))=f−1(f(λe))=λe=λ·f−1(e′).

Diremos que dosK-espacios vectorialesEyE′sonisomorfossi existe alg´un isomorfismo

K-linealf:E →E′, en cuyo caso pondremosE≃E′.

Ejemplos:

1. Si una matriz A ∈ Mn_×n(K) es invertible, la aplicaci´on que induce f:Kn → Kn,

f(X) =AX, es un isomorfismo, y el isomorfismo inverso f−1_: _Kn _→_Kn _es

precisa-mente el que define la matriz inversaA−1_{; es decir,} _f−1₍_X_{) =}_A−1_X_.

2. SiV1, . . . , Vn son subespacios vectoriales de un espacio vectorialE, la aplicaci´on

s:V1×. . .×Vn→V1+. . .+Vn , s(v1, . . . , vn) =v1+. . .+vn ,

es lineal y epiyectiva. Adem´as esta aplicaci´on linealses inyectiva precisamente cuando la suma es directa, de modo que en tal casoV1×. . .×Vn ≃V1⊕. . .⊕Vn.

3. Si e1, . . . , en es una base de unK-espacio vectorialE, entonces la aplicaci´on lineal

f:Kn−→E , f(x1, . . . , xn) =x1e1+. . .+xnen ,

es un isomorfismo. El isomorfismo inversof−1: E→Kn asigna a cada vector e∈E

sus coordenadas (x1, . . . , xn) en la base e1, . . . , en.

Por tanto,todo espacio vectorial de dimensi´onn es isomorfo aKn_.

4. Los isomorfismos transforman vectores linealmente independientes en vectores lineal-mente independientes, y sistemas de generadores en sistemas de generadores (com-pru´ebese); luego bases en bases. Por tanto, siE≃E′, entonces dimE= dimE′.