VALORES PROPIOS (AUTOVALORES) VECTORES PROPIOS (AUTOVECTORES) Fernando di Sciascio (2017)

V

ALORES

P

ROPIOS

(A

UTOVALORES

) 

Y

V

ECTORES

P

ROPIOS

(A

UTOVECTORES

)

Los vectores propios o autovectores de una matriz A son todos

los vectores x_i¹0, a los que la transformación A convierte en

colineales o múltiplos de si mismo, esto es,

,

0

i

i i

i

Ax

=

l

x

x

¹

Las constantesvalores propios o lautovaloresi son los de la matriz A.

Para encontrar los autovectores la anterior se escribe como:

(

l

_i

I

-

A x

)

_i

=

0 ,

x

_i

¹

0

(

)

1

0

(

i

)

0

0

i i i

adj

I

A

x

I

A

I

A

l

l

l

-

-=

-

=

¹

-Como los autovectores son distintos de cero, existe solución si:

det(

)

0

i

I

A

i

I

A

l

-

=

l

-

=

Con esta ecuación se encuentran los autovalores l_i, y con la primera ecuación se obtienen los autovectores.

i i i i

Ax

=

l

x



x

Ejemplo:

los autovalores son

l=-2

y

l=-4

.

1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 3 1 3 2 2 1 3 3 2 1 1 x x x x x x x x x x x x é_- ù é ù é ù _{- + =} -ê ú ê ú _{= -} ê ú _{  = } ê _- ú ê ú ê ú _{- =} -ê ú ê ú ê ú é ù ê ú = ê ú ê ú ë ë û ë û ë û û x 3 1 1 3 A _{= ê}éê- ùú_ú -ê ú ë û 2 2 0 3 1 3 1 det( ) 0 1 3 1 3 ( 3) 1 6 8 0 I A l l l l l l l l é ù é_- ù é _{+ -} ù ê ú ê ú ê ú - = _{ê ú} - _{ê ú} = _{ê ú} - - + ê ú ê ú ê ú ë û ë û ë û = + - = + + = Reemplazando

l=-2

en

Ax

=l

x

1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 3 1 3 4 4 3 4 1 3 1 1 x x x x x x x x x x x x é_- ù é ù é ù _{- + =} -ê ú ê ú _{= -} ê ú _{  = - } ê _- ú ê ú ê ú _{- =} -ê é ù ê ú = ê ú -ú ê ú ê ú ë û ë û ë û êë úû x Reemplazando

l=-4

en

Ax

=l

x

Con

 

Matlab

Devuelve la matriz diagonal D con los autovalores y la matriz V cuyas columnas son los autovectores.

1 1 2 -1 1 2 V = éê_ê ùú_ú ê ú ë û

[V,D]=eig(A)

-4 0 0 -2 D _{= ê}éê ùú_ú ê ú ë û

Devuelve un vector e con los autovalores.

e=eig(A)

P=poly(e)

Devuelve el polinomio característico P.

-4 -2

e

_{= ê ú}é ùê ú ê ú ë û 1 6 8 P _{= ê}é_ë ù_úû

Polos, Autovalores y Estabilidad

Un sistema continuo LTI homogéneo (u(t)=0) es marginalmente

estable si tiene uno o más polos distintos en el eje imaginario (j), y todos los polos restantes tienen parte real negativa.

Vimos anteriormente que la función de transferencia

G

(

s

)

de un modelo expresado en el espacio de estados es:

-

-=

=

-

+

=

+

--

+

-=

-1

adj[

]

( )

( )

(

)

( )

C adj[

]

sI

A

Y s

G s

C sI

A

B

D

C

B

D

U s

sI

A

sI

A B

sI

A D

sI

A

Polos y Autovalores

y que el denominador de la Función de transferencia

|sI

-

A|

=0

es el polinomio característico del sistema.

( )

det[

]

0

Polos, Autovalores y Estabilidad

Luego, las raíces

s

_i

= l

_i

del polinomio característico

son los autovalores de la matriz

A

, pero también

sabemos que las raíces del polinomio característico

son los polos de la función de transferencia.

Observaciones del Algebra Lineal

·

Una matriz

A

de

n

x

n

es

definida negativa

cuando para

todo vector

x

se verifica:

0

T

x Ax

<

Si la desigualdad no es estricta (

) la matriz

A

es

semidefinida negativa

.

Obviamente la definición no es operativa porque no

podemos probar con infinitos vectores si cumple la

desigualdad. Existen varias maneras de verificar si una

matriz es semidefinida negativa, la más útil para el curso

es la que está relacionada con los autovalores:

0

T

x Ax £

Una matriz A es definida negativa si la parte

real de sus autovalores son negativas.

· Todo lo anterior vale para matrices definidas y

semidefinidas positivas:

0 ó

0

T T

x Ax

>

x Ax

³

Una matriz A es definida positiva si la parte real de sus autovalores son positivas.

0

Matriz definida positiva

0

Matriz semidefinida positiva

0

Matriz definida negativa

0

Matriz semidefinida negativa

A

A

A

A

> 

³ 

< 

£ 

· Para que una matriz sea semidefinida (positiva o negativa)

alguno de sus autovalores es nulo.

Símbolos de las matrices definidas

Observaciones del Algebra Lineal

Polos, Autovalores y Estabilidad

Autovalores de

A

=

Polos de ( )

G s

si la parte real de los autovalores

de A son negativa

Un sistema expresado en variables de estado es

ESTABLE

o

s

si

A es def

lo que es e

inida negat

q

i

uivale

va (A

nte

<0)

.

Vimos que:

·

Si

A

£

0 el sistema es marginalmente estable (uno o más

polos distintos en el eje

j

w

).

T

RANSFORMACIONES DE

S

EMEJANZA

1 2 1 1 2 2 x x x x x U x U x é ù ê ú = + _{= ê ú} ê ú ë û 1 2 1 1 2 2 z z z z z U z U z é ù ê ú = + _{= ê ú} ê ú ë û

Una Transformación de Similitud representa un cambio de coordenadas sin traslación (cambio de base del espacio vectorial).

1 2 1 1 2 2 x x

x

x

x U

x U

x

é

ù

ê

ú

=

+

_{= ê ú}

ê

ú

ë

û

1 2 1 1 2 2 z z

z

z

z U

z U

z

é ù

ê ú

=

+

_{= ê ú}

ê ú

ë û

1 1 2 2 1 2 11 21 12 22 z x x z x x

U

t U

t U

U

t U

t U

=

+

=

+

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 11 21 2 12 22 1 11 2 12 1 21 2 22 ( ) ( ) ( ) ( ) z z x x x x x x x z z U z U z t U t U z t U t U z t z t U z t z t U = = + = + + + = + + + 11 12 1 21 22 2

t

t

z

x

Tz

t

t

z

é

ù é ù

ê

ú ê ú

=

_ê

_{ú ê ú}

=

ê

ú ê ú

ë

û ë û

1

z

=

T x

-1 2 x x

con T

_{= ê}

é

_ë

U

U

ù

_ú

_û

Transformaciones de Semejanza

Como ya se ha señalado,

la elección de variables de

estado o realización para un sistema lineal

invariante dado no es única

. Concretamente

podemos tener un sistema con entrada

u

(

t

)

, salida

y

(

t

)

y dos elecciones o realizaciones diferentes

para el vector de estado:

x

(

t

)

y

z

(

t

)

Î



n

, con sus

matrices asociadas

{

A,B,C,D

}

y

{

A

_z

,B

_z

,C

_z

,D

_z

}

respectivamente.

Ambos

modelos

se

dicen

similares o equivalentes

y están relacionados

entre ellos por una

transformación de semejanza o

similitud

.

Propiedades Invariantes de las

Transformaciones de Semejanza

Una propiedad importante de las transformaciones de

semejanza es

la invarianza

:

●

La ecuación característica (polinomio característico).

●

Los valores característicos (autovalores).

●

Los vectores característicos (autovectores).

●

Las funciones de transferencia

Teorema: Supongamos un sistema cuyo vector de estado es

x

(

t

)

Î



n con matrices

{

A,B,C,D

}.

Si queremos pasar a otra realización o representación de estado equivalente con vector de estado

z

(

t

)

Î



n _{con matrices}

_{

_A

z

,B

z

,C

z

,D

z

}.

Entonces se debe elegir una matriz de transformación

T

Î



nxn _{no singular} (invertible) que define la relación entre los vectores de estado x

(

t

)

y

z

(

t

)

:

1

( )

( ) , ( )

( )

x t

=

Tz t

z t

=

T x t

-Entonces, el modelo de estado para la nueva realización queda determinado por las matrices:

1

_,

1

_,

_,

z z z z

A

=

T AT B

-

=

T B C

-

=

CT D

=

D

Transformaciones de Semejanza

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x t Ax t Bu t y t Cx t Du t = + = +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Tz t ATz t Bu t y t CTz t Du t = + = +     1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) z ( ) ( )z z z B A C D z t T AT z t T B u t y t CT z t D u t - -= + = +  _{} 1 ( ) ( ) ( ) ( ) Y s G s C sI A B D U s -= = - + 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) Y s G s CT sI T AT T B D U s - - -= = - +

Función de transferencia para La primera realización

Función de transferencia para la segunda realización

VEREMOS QUE LAS DOS FUNCIONES DE TRANSFERENCIA SON IGUALES

1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) Y s G s CT sI T AT T B D U s - - -= = - + 1 1 1 (MN)- = N M-

- -

1 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1

( )

(

)

(

)

T sI T AT I I sI sTT

C sI

A

G s

CT sI

T AT

T

B

D

C T sI

T AT T

B

D

C TsIT

TT

ATT

B

D

B

D

-- - -é _- ù ê ú ë û -- -- -

-=

-

+

é

ù

=

_ê

_ë

-

_ú

_û

+

é

ù

ê

ú

ê

ú

=

ê

-

ú

+

=

ê

ú

ê

ú

ê

ú

é

_-

ù

₊

ë

û

ë



û





Operamos sobre la segunda realización aplicando la propiedad de la inversa del producto de matrices

La función de transferencia es la misma.

1 1 1 1

( )

(

)

G s

=

CT sI

-

T AT

- -

T B

-

+

D

=

C sI

é

_ë

-

A

ù

_û

-

B

+

D

Luego para un sistema LTI (lineal invariante en el tiempo)

existe una función de transferencia e infinitas realizaciones o modelos de estado.

Transformación de las ecuaciones de estado

Recordemos que los autovalores de la matriz

A

en cada realización coincide con los polos del sistema. Como la función de transferencia es única esto significa que:

L

OS

A

UTOVALORES NO CAMBIAN EN LAS DISTINTAS REALIZACIONES

.

Transformación de las ecuaciones de estado

L

OS

A

UTOVALORES NO CAMBIAN EN LAS DISTINTAS REALIZACIONES

.

Todas las realizaciones equivalentes son estables o inestables, no algunas si y otras no.

Este resultado es lógico. Todas las realizaciones equivalentes están relacionadas por una transformación de similitud lo que representa un cambio de coordenadas. Desde el punto de vista de la física, un cambio de coordenadas se interpreta como un cambio en la posición del observador. El resultado de un experimento no puede variar si se observa en reposo desde lugares distintos.

F

ORMAS

C

ANÓNICAS DE LOS

M

ODELOS EN EL

E

SPACIO DE

E

STADO

C adj[

]

( )

( )

( )

( )

( )

G G

sI

A B

N s

Y s

G s

U s

D s

sI

A

-=

=

=

-( )

G

D s

=

sI

-

A

Recordemos que los polos de G(s) son las raíces del polinomio

denominador.

Para un modelo en el espacio de estados los ceros son las raíces de:

( )

0

c

P s

=

sI

-

A

=

El denominador de la Función de transferencia igualado a cero

|sI-A| = 0 es el polinomio característico del sistema.

Formas Canónicas de los Modelos de Estado

Como existen infinitas matrices de transformación no singulares TÎnxn existen infinitas realizaciones del sistema

LTI. Algunas de las realizaciones tienen significado físico, otras por su estructura simple se las denomina formas canónicas, otras por su estructura particular tienen nombre.

Todas son realizaciones mínimas.

Las realizaciones con nombre más conocidas son: · Formas Canónicas Companion

· Forma Canónica Modal o de Jordan

· Forma Canónica Diagonal (caso particular de la de Jordan) · Realizaciones balanceadas

Formas Canónicas Companion

En general, el cálculo del polinomio característico de una matriz requiere la expansión de |sI-A| = 0. Sin embargo, para

ciertas matrices el polinomio característico es evidente. Estas son las matrices en la

forma canónica companion

.

Las formas Canónicas Companion son:

· Formas Canónicas Controlables: Hay varias formas canónicas controlables, FCC1a (variables de fase), FCC1b, FCC2a, FCC2b.

· Forma Canónica Observable: Hay varias formas canónicas observables, FCO1a, FCO1b (es la que devuelve el comando

·

Representación en las Variables de Fase (FCC1a)

Este tipo de realización la vimos en la clase anterior, es la más común. Las variables de estado se asignan de la siguiente manera:   1 2 1 1 ₁ 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n d y t d y t dy t a a a y t b u t dt dt _x x d x t -- -+ +  + + =  La salida es:

x t

₁

( )

=

y t

( )

La forma general de la representación en variables de fase es para una función de transferencia con ceros es:

Representación en Variables de Fase (FCC1a) 1 1 2 2 1 1 0 1 2 1 ( ) 0 1 0 0 ( ) ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( n n n n n n x t x t x t x t x t x t x t a a a a x t A x t x - -- -é ù é ù é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ₌ ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê_{- - - -} ú ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë û ë û                  1 0 2 0 1 0 0 0 0 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 1 ( ) ) ( )

,

n n x t x t u t x t x t B t x t x -é ù é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú + ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë û =     1 2 0 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n x t x t y t b b b b x t C x t x t - -é ù ê ú ê ú ê ú ê ú é ù = _{êë ú ê ú} û ê ú ê ú ê ú ê ú ë û    

2 2 1 0 3 2 2 1 0 ( ) s b s b ( ) Y s U s a s a s a b s æ _{+ +} ö_÷ ç _÷ ç _÷ ç _÷÷ ç _{+ + +} è ø = 1 1 2 2 3 0 1 2 3 1 0 1 2 2 3 ( ) 0 1 0 ( ) 0 ( ) 0 0 1 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) x t x t x t x t u t x t a a a x t x t y t b b b x t x t ìé ù é ù é ù é ù ïïê ú ê ú ê ú ê ú ïê ú ê ú ê ú ê ú ï _{= +} ïê ú ê ú ê ú ê ú ïïê ú ê ú ê ú ê ú ï_{ê ú ê- - - ú ê ú ê ú} ïïë û ë û ë û ë û í _{é ù} ïï _{ê ú} ïï _{= é ù} ê ú ï _{ê ú ê ú} ï ë û ï _{ê ú} ï _{ê ú} ïïî ë û   

Las ocho formas Companion

FCC1a, FCC1b, FCC2a, FCC2b, FCO1a, FCO1b, FCO2a, FCO2b

Surgen de la Descomposición Directa de las funciones de transferencia cuyos polinomios no estén factorizados (deben estar en el formato tf, no en el formato zpk). 3 2 3 2 1 0 3 2 2 1 0 ( ) b s b s b s b G s s a s a s a + + + = + + +

Este tipo de realización es la que vimos anteriormente como variables de fase. Se utiliza para el caso de una entrada (lo normal en este curso).

Forma Canónica Controlable 2 (FCC2a)

3 2 3 2 1 0 3 2 2 1 0

( )

b s

b s

b s

b

G s

s

a s

a s

a

+

+

+

=

+

+

+

2 1 0 2 2 2 2 2 3 1 1 3 0 0 3 2 3

1

1

0

0

,

0

0

1

0

0

,

cc cc cc cc

a

a

a

A

B

C

b

a b

b

a b

b

a b

D

b

é

_-

_-

_-

ù

é ù

ê

ú

ê ú

ê

ú

ê ú

=

_ê

_ú

=

_{ê ú}

ê

ú

ê ú

ê

ú

ê ú

ë

û

ë û

é

ù

_{é ù}

=

_ê

_ë

-

-

-

_ú

_û

=

_{ë û}

3 2 3 2 1 0 3 2 2 1 0

( )

b s

b s

b s

b

G s

s

a s

a s

a

+

+

+

=

+

+

+

Forma Canónica Observable 2a (FCO2a)

2 2 2 3 2 1 2 1 1 3 0 0 0 3 2 2 3

1 0

0 1

,

0 0

1 0 0 ,

co co co co

a

b

a b

A

a

B

b

a b

a

b

a b

C

D

b

é

_-

ù

é

_-

ù

ê

ú

ê

ú

ê

ú

ê

ú

= -

_ê

_ú

=

_ê

-

_ú

ê

_-

ú

ê

_-

ú

ê

ú

ê

ú

ë

û

ë

û

é

ù

_{é ù}

=

_ê

_ë

_ú

_û

=

_{ë û}

Forma Canónica Modal o de Jordan

Este tipo de realización trata de diagonalizar la matriz A lo

más posible (en bloques). Si se puede diagonalizar la matriz A todas las variables de estado están desacopladas. Existen tres casos:

a) Todos los autovalores son reales y distintos

(este es el único caso en que la matriz A puede diagonalizarse)

.

b) Existen autovalores complejos conjugados.

a) Todos los autovalores son reales y distintos

·

Forma Canónica Diagonal

Este tipo de realización solo es

posible cuando todos los autovalores son reales y distintos ya que de lo contrario no es posible diagonalizar una matriz.

b) Autovalores complejos conjugados

1

,

2

,

3,4 1

j

1

,

5,6 2

j

2

Forma Canónica Modal o de Jordan con Matlab

1) El comando canon de Matlab con la opción modal

devuelve la forma canónica de Jordan.

G=zpk([],[-1+2i -1-2i -2 -2 -2 -3 -4],480); sys = canon(G,'modal') -2 2 0 0 0 0 0 0 -2 2 0 0 0 0 0 0 -2 0 0 0 0 0 0 0 -1 2 0 0 0 0 0 -2 -1 0 0 0 0 0 0 0 -3 0 0 0 0 0 0 0 -4 A é ù ê ê ê ê ê ê = ê ê ê ê ê ê êë ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú úû 14.21 -7.04 3.2 -1.307 0.2614 19.18 5.864 B é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú = ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ë û 3.75 0 0 -1.554 0.2825 -3.128 0.787 C _{= ë}é ù_û Ejemplo

Forma Canónica Modal o de Jordan con Matlab

2) El comando jordan del symbolic toolbox de Matlab devuelve la forma canónica de Jordan. Jordan puede computar numéricamente, pero se debe computar en simbólico. Numéricamente es un algoritmo terriblemente mal condicionado.

% jordan Jordan Canonical Form.

% jordan(A) computes the Jordan Canonical/Normal Form of % the matrix A.

% The matrix must be known exactly, so its elements must % be integers or ratios of small integers. Any errors in % the input matrix may completely change its JCF.

Formas Canónicas de los Modelos de Estado

·

Realizaciones Balanceadas