ALGEBRA LINEAL TEORÍA. Tablas de verdad. Donde P y Q son proposiciones. Conjuntos. Operaciones entre conjuntos. Números naturales

ALGEBRA LINEAL • TEORÍA

Se entiende por proposición una sentencia o expresión de la cual se puede predicar su veracidad o falsedad. Por ejemplo “si un mismo valor es divisible por 6, es también divisible por 3” es una proposición verdadera.

Tablas de verdad P Q P∧Q P∨Q P⇒ Q ¬(P∧Q) V V V V V F V F F V F V F V F V V V F F F F V V

Conjunción disyunción condicional negación Donde P y Q son proposiciones

Conjuntos

Llamamos conjuntos a cualquier colección de objetos, pudiendo ser éstos de carácter concreto o abstracto. Inclusión de conjuntos

A⊂B se lee “A incluye a B” y puede expresarse ∀x∈A ⇒ x ∈B

Conjunto vacío

El conjunto vacío , es decir , el conjunto que no tiene elementos, sedenota ∅ Operaciones entre conjuntos

Sean A y B dos conjuntos de un conjunto universal U , definimos :

• A∪B={x∈U : x ∈A∨x ∈B} (unión)

• A∩B={x∈U : x ∈A∧x ∈B} (intersección)

• A−B={x∈U : x∈A∧ x ∉B} (diferencia)

• A´={x∈U : x ∉A } (complemento, tambien denotado_{A o A}̄ c

) Números naturales

Definición: un subconjunto A , incluído en el conjunto de los números reales, sedice inductivosi cumple las siguientes condiciones :

• 1∈A

• x ∈A ⇒ x+1∈A Por ejemplo: {x∈ ℝ: x≥0 } es inductivo

Definición: los números naturalesson el menor subconjunto inductivodeℝ.

ℕ verifica : 1° es inductivo, 2° si hay un subconjunto A enℝque es inductivo, entonces ℕ ⊂A

Principio de inducción completa

Ante todo cabeseñalar que si un conjunto H essubconjunto de ℕ y es inductivo, entonces H= ℕ. El princi -- pio de inducción completa esutilizado tanto para definir conceptoscomo para demostrar propiedades sobre el conjunto de los números naturales(ℕ).

Principio: si P(n)es una función proposicional con dominio enℕ quetiene un valor de verdad (V o F) y supongamos que verifica :

• P(1)es V

• P(n)esV ⇒ P(n+1) es V Entonces podemosafirmar que P(n) es V.

Sumatoria de los n primeros términos, definición por inducción La sumatoria de los n primeros términos de la sucesión a₁, a₂, a₃,... , a_n simbolizada

∑

i=1 n

a_i se define por recurrencia de la siguiente manera :

∑

i=1 n ai=

{

∑

i=1 1 a_i=a₁

∑

i=1 n+1 a_i=

∑

i=1 n a_i+a_n+1 ∀n∈ ℕ

Productoria de los n primeros factores, definición por inducción La productoria de los n primeros factores de la sucesión a₁, a₂, a₃,... , a_nsimbolizada

_∏

i=1 n

a_i se define por recurrencia de la siguiente manera :

∏

i=1 n a_i=

{

∏

i=1 1 a_i=a₁

∏

i=1 n+1 ai=

∏

i=1 n ai⋅an+1 ∀n ∈ ℕ Casos particulares • Factorial den , n ∈ ℕsedenota n ! n !=

{

1!=1 (n+1)!=n !⋅(n+1) Definimos 0!=1

• Potencia de exponente natural: sea a un número real y n∈ ℕ,definimos inductivamente an

an=

{

a

1

=a an+1

=an⋅a n∈ ℕ

Definición: sean a∈ ℝ, a≠0,n∈ ℕ definimos a0=1 y a−n

=

(

a−1

₎

n

Propiedades de la potencia de exponente natural Dados a , b , c∈ ℝ ; m , n∈ ℕ

1) an⋅bn= (a⋅b)n 2) an⋅am=an+m

3) (an)m=an⋅m

Demostraremos 1) por inducción completa : P(n): an⋅bn= (a⋅b)n ∀n∈ ℕ 1° P(1): a1⋅b1= ? (a⋅b)1 a1⋅b1= def. a⋅b y (a⋅b)1= def. a⋅b  P(1)es V 2° P(n) ⇒V ?P(n+1)

Suponemos P(n) es V , ésta es la hipótesis inductiva (HI), se quiere saber si P(n+1)es V

P(n+1): an+1 ⋅bn+1 = ? (a⋅b)n+1 Partimosde (a⋅b)n+1: (a⋅b)n+1= def. (a⋅b)n⋅(a⋅b)1= HI an⋅bn⋅a⋅b=an⋅a⋅bn⋅b= def. an+1 ⋅bn+1 _ P(n+1)es V (1°∧ 2°) ⇒P(n) es V∀n ∈ ℕ

• Ejemplo 1: demostrar por criterio de inducción completa

_∑

i=1 n 2i =2n+1 −2 P(n):

∑

i=1 n 2i =2n+1₋₂ ∀n∈ ℕ 1° P(1):

∑

i=1 1 2i= ? 21+1 −2 •A

∑

i=1 1 2i=21=2 •B 21+1 −2=22−2=2 A=B P(1)es V 2° P(n) ⇒v ? P(n+1) Por hipótesis inductiva (HI)P(n):

∑

i=1 n

2i=2n+1

−2 es V. Debemos probar que P(n+1)también lo es.

P(n+1):

∑

i=1 n+1 2i= ? 2n+2 −2 P(n+1)=

_⏟

21+22+...+2n

∑

i=1 n 2i +2n+1 = def.

∑

i=1 n 2i+2n+1 = HI 2n+1 −2+2n+1 =2⋅2n+1 −2=2n+2 −2 P(n+1)es V Por 1 ° y por 2 ° P(n)es V∀n ∈ ℕ

• Ejemplo 2 : demostrar que para cualquier número natural , 2n+2₊₃2n+1 _{es múltiplo de 7}

En símbolos matemáticos : 2n+2 +32n+1 ∈ ˙7∀n∈ ℕ P(n): 2n+2 +32n+1 ∈ ˙7 ∀n∈ ℕ 1° P(1): 2n+2 +32n+1 ∈ ? ˙ 7 21+2 +32⋅1+1 =23+33=8+27= 35∈ ˙7 P(1)es V 2° P(n) ⇒V ? P(n+1) Suponemos P(n): 2n+2 +32n+1

∈ ˙7 es V. Debemos probar que P(n+1)es V P(n+1): 2n+3 +32n+3 ∈ ? ˙ 7 2n+3 +32n+3 =2⋅2n+2 +32⋅32n+1 =2⋅2n+2 +9⋅32n+1 =2⋅2n+2 + (7+2)⋅32n+1 =2⋅2n+2 +7⋅32n+1 + +2⋅32n+1 =2⋅2n+2 +2⋅32n+1 +7⋅32n+1 = 2⋅

(

2n+2 +32n+1

₎

⏟

(1) +7⋅32n+1

⏟

(2)  P(n+1)es V (1) Por hipótesis inductiva 2n+2₊₃2n+1

∈ ˙7 (2)n∈ ℕ ⇒ 32n+1

∈ ℕ  7⋅32n+1

∈ ˙7 (1°∧ 2°) ⇒P(n) esV ∀n∈ ℕ

Principio de inducción generalizada

Existen propiedades que sólo se verifican para un subconjunto de los números naturales a partir de un valor determinado. Para tal caso es útil el principio de inducción generalizada que definiremos a continuación.

Principio: sea n₀∈ ℕ cualquiera y supongamos que para cada número n∈ ℕ tenemos una afirmación P(n) acerca de él, de tal manera que se verifica :

1° P(n0)es V

2° P(n)es V ⇒ P(n+1)es V Entonces P(n) es V∀n ∈ ℕ:n≥n₀

• Ejemplo : probar que 2n<n !∀n∈ ℕ: n≥ 4

P(n): 2n<n !∀n∈ ℕ: n≥ 4 1° P(4): 24<

?

4! •A 24=16 •B 4!=4⋅3⋅2⋅1=24 •A<•B P(4)es V 2° P(n) ⇒V ? P(n+1) Suponemos que P(n): 2n<n ! es V. Ésta es la hipótesis inductiva (HI) Debemos probar que P(n+1)es V

P(n+1): 2n+1 < ? (n+1)! 2n+1 = 2⋅2n < HI 2n ! < (1) n !⋅(n+1)= (n+1)!  P(n+1)es V Notas : 2n<n ! ⇒ 2⋅2n<2n !;(1) n≥4 ⇒ 2<n<n+1 ⇒ 2n !< (n+1)⋅n ! Por 1 °y 2 ° P(n)es V∀n∈ ℕ IV

ℤ= ℕ ∪{0 }∪ ℕ− ℕ−={−a:a∈ ℕ} ℚ=

{

a b: a , b∈ ℤ, b≠0

}

I ℕ ⊂ ℤ ⊆ ℚ ℝ=I∪ ℚ x2+1=0 no tiene solución enℝ x2_{= −1}

Es necesario pensar en otro tipo de números que puedan servir para solucionar el problema anterior o para hallar los ceros de x3+1 por ejemplo.

Números complejos Definición:ℂ= ℝ × ℝ (productocartesiano) ℝ × ℝ=

{

(a ,b):a ,b ∈ ℝ

}

Igualdad (a , b)= (c , d) ⇔ a=c∧b=d Suma Definición:(a , b)+(c , d)= (a+c , b+d) Propiedades de la suma • Asociativa

[

(a ,b)+(c , d)

]

+(e , g)= (a , b)+

[

(c , d)+(e , g)

]

• Conmutativa (a , b)+(c , d)= (c , d)+(a , b)

• Elemento neutro : el número(0,0)esel elemento neutro para la suma. (a , b)+(0,0)= (a ,b) ∀(a , b) ∈ ℂ

• Elemento opuesto: ∀(a , b) ∈ ℂ existesu opuesto que es(−a ,−b)= −(a , b) tal que (a ,b)+(−a ,−b)= = (a+(−a), b+(−b))= (0,0)

Producto

Definición: (a , b)⋅(c , d) =

def.

(ac−bd , ad+bc) ej.: (1,3)⋅(2,8)= (2−24,8+6)= (−22,14) Propiedades del producto

• Asociativa

[

(a ,b)⋅(c , d)

]

⋅(e , g)= (a , b)⋅

[

(c , d)⋅(e , g)

]

• Conmutativa (a , b)⋅(c , d)= (c , d)⋅(a , b) • Elemento neutro (a , b)⋅(x , y)= (a ,b) ∀ (a ,b) ∈ ℂ (a , b)⋅(x , y)= def. (ax−by ;ay+bx) es un sistema de ecuaciones lineales V

{

a x−b y=a ay+b x=b =

{

a x−b y=a b x+ay=b Δs=

∣

a −b b a

∣

Δx=

∣

a −b b a

∣

Δy=

∣

a a b b

∣

x= Δx Δs=1 y= Δy Δs= ab−ba a2+b2= 0 a2+b2=0 el elemento neutro es (1,0) • Elemento inverso ∀ (a , b)≠ (0,0) ∃ (a ,b)−1= (x´, y´):(a ,b)⋅(a , b)−1= (1,0) (a , b)⋅(x´, y´)= (1,0) ⇒ (a x´−b y´, a y´+b x´)= (1,0)

{

a x´−b y´=1 a y´+b x´=0 =

{

a x´−b y´=1 b x´+a y´=0 Δs=

∣

a −b b a

∣

Δx´=

∣

1 −b 0 a

∣

Δy´=

∣

a 1 b 0

∣

x´= Δx´ Δs = 1⋅a−0⋅(−b) a2+b2 = a a2+b2 y´= Δy´ Δs = a⋅0−b⋅1 a2+b2 = −b a2+b2 Entonces(x´, y´)=

(

a a2 +b2; −b a2 +b2

)

= (a , b) −1 ∀ (a , b)≠0

• Propiedad distributiva del producto respectode la suma (a , b)⋅

[

(c , d)+(e , g)

]

= (a , b)⋅(c , d) + (a , b)⋅(e , g) Notación La notación usual para los números complejos es z= (a , b)

Definición: z= (a , b) tal que "a" esla parte real de z y se denota Re(z); y "b" esla parte imaginaria de

z y se denota Im(z). En adelante nos referiremosa la parte real del complejocon la notación ℜ(z)en tanto que , para hablar de la parte imaginaria del número complejo usaremos la notación ℑ(z)

Los números reales son números complejos con parte imaginaria cero ℑ(z)=0. Los números imaginarios purosson los complejos con parte real cero ℜ(z)=0

Caso particular (0,1)⋅(0,1)= (0⋅0−1⋅1,0⋅1+1⋅0)= (−1,0) z= (0,1) ⇒ ℜ(z)=0∧ ℑ(z)=1 ⇒ (0,1)=i (0,1)⋅(0,1)= (−1,0) i⋅i= −1 i2= −1 Forma binómica

La forma binómica de un número complejo(a , b) es a+b i ,dondeaybson números reales.

z= (a , b)=a+b i/ a , b∈ ℝ

Suma de números complejos en forma binómica (a+b i) + (c+d i)= (a+c) + (b+d)i

Producto de números complejos en forma binómica

Teniendo en cuenta quei2= −1 expresaremos el producto de dos números complejos en la forma binómica (a+b i)⋅(c+d i)=ac+ad i+bc i+bd i2

=ac+(ad+bc)i+(−bd)= (ac−bd)+(ad+bc) i

Cociente de números complejos en forma binómica

a+b i c+d i= a+b i c+d i⋅1= a+b i c+d i ⋅ c−d i c−d i (c+d i)−1 = ac−ad i+bc i+bd c2+d2 = (ac+bd)+(bc−ad)i c2+d2

Conjugado de un número complejo

Definición: sea z=a+b i un número complejo, llamamos conjugado de z y lo notamos ̄z alcomplejo ̄z=a−bi

• Ejemplos : z= 2+3i ⇒ ̄z=2−3i z=3 ⇒ ̄z=3 z=8−i ⇒ ̄z=8+i z=3i ⇒ ̄z= −3i

Diagrama de Argand

Para representar gráficamente los números complejos usaremos un plano llamado plano de Argand, que es similar al plano de dos dimensiones donde existen los ejes de abscisas y ordenadas (plano coordenado). En esta nueva representación, el eje de abscisas será la recta donde se encuentren los números reales, y lo llamaremos eje real. Además el eje de ordenadas será considerado eje imaginario, siendo la recta donde se hallan los imaginarios, en realidad la parte imaginaria del número complejo.

Propiedades del conjugado

Demostraciones:

• z+z´= ̄z+z´ Sean z=a+b i y z´=c+d i ; z+z´= (a+c)+(b+d)i⇒ z+z´= (a+c)−(b+d)i

Además̄z=a−bi y z−1

=c−d i  ̄z+z−1

=a−bi+c−d i=a+c+(−b i−d i)= (a+c)−(b+d)i

Finalmente queda demostrado que z+z´= ̄z+z´

• z≠0⇒ z−1 = ̄z−1 z≠0 ⇒ ∃ z−1 : z⋅z−1 =1 conjugando setiene : z⋅z−1 = ̄1 ⇒ z⋅z−1 =1⇒(1) ⇒(1) ̄z⋅z−1 =1 ⇒ z−1 =1 ̄z ⇒ z −1 = ̄z−1 _{(1) por • z} ⋅z´= ̄z⋅z´ VII Dados z , z´∈ ℂ • z+z´= ̄z+z´ • z⋅z´= ̄z⋅z´ • ̄z=0⇔ z=0 • ̄z=z ⇔ z ∈ ℝ • z+̄z=2ℜ(z) • z−̄z=2iℑ(z) • z≠0 ⇒ z−1 = ̄z−1 _• ̄z=z

Ejercicio: determinar todos los complejos z=a+b i que satisfacen z= −̄z Graficar

z= −̄z ⇒ a+b i= −(a−bi) ⇒ a+b i= −a+b i ⇒(2) a= −a ∧b=b⇒ a=0 Los complejosque cumplen esta condición son todos los que pueden representarse sobre el eje imaginario.

(2) por definición de igualdad entre complejos

Norma de un número complejo

Definición: sea z=a+b i llamamos noma de z al elemento N(z)= z⋅̄z= (a+b i)⋅(a−b i)=a2+b2

Propiedades de la norma

• N(z⋅z´)=N(z) ⋅N(z´) • z≠0 ⇒ N

(

z−1

₎

=

(

N(z)

)

−1 • N(z)≥

(

ℜ(z)

)

2∧N(z)≥

(

ℑ(z)

)

2

• N(z)= N(̄z)

Módulo de un número complejo

Definición: si z ∈ ℂllamamos módulo de z al número real∣z∣=

_√

N(z) Recordamos N(z)=z⋅̄z z=a+b i⇒ N(z)=a2 +b2_∣z∣=

_√

_a2 +b2_(Fig.1) Ejemplos : ∣1+3i∣=

√

12+32=

√

10 ∣1−3i∣=

√

12+(−3)2=

√

10 ∣2i∣=

√

02+22=2 ∣−2i∣=

√

02+(−2)2=2 ∣0∣=0 Propiedades del módulo

Dados z y z´∈ ℂ

•∣z∣≥0 ;∣z∣=0⇔ z=0 •∣z⋅z´∣=∣z∣⋅∣z´∣ •∣̄z∣=∣z∣ • z≠0 ⇒∣z∣−1=

∣

z−1

_∣

•∣z∣≥∣ℜ(z)∣≥ ℜ(z) ∧ ∣z∣≥∣ℑ(z)∣≥ ℑ(z) • z≠0∧ z−1

= ̄z ⇔ ∣z∣=1 •∣z+z´∣≤ ∣z∣+∣z´∣ Demostraciones:

•∣z⋅z´∣=∣z∣⋅∣z´∣ Para demostrar esto probaremos que∣z⋅z´∣2=∣z∣2⋅∣z´∣2 tenemos :∣z⋅z´∣2=N(z⋅z´)= =z⋅z´⋅z⋅z´= (1) z⋅z´⋅̄z⋅z´= z⋅̄z⋅z´⋅z´=N(z)⋅N(z´)=∣z∣2⋅∣z´∣2 ⇒∣z⋅z´∣=∣z∣⋅∣z´∣ •∣z∣= ∣̄z∣ z=a+b i ⇒ ∣z∣=

√

a2+b2 ̄z=a−b i ⇒ ∣̄z∣=

√

a2+(−b)2=

√

a2+b2 ∣z∣= ∣̄z∣ • z≠0⇒

∣

z−1

_∣

=∣z∣−1 z≠0 ⇒ ∃ z−1 : z⋅z−1 =1 tomamos módulo:

∣

z⋅z−1

_∣

=∣1∣ ⇒ ∣z∣⋅

∣

z−1

_∣

=1⇒ ⇒

∣

z−1

_∣

= 1 ∣z∣=∣z∣ −1 VIII

Forma trigonométrica y polar

Otro modo de expresar un número complejoes mediante la forma trigonométrica , considerando que el núme-- rocomplejo es un puntoen el plano de Argand. Haciendo uso delconcepto de vector , también ideado por el matemáticosuizo , podemos emplear el módulo de ese vector que señala al puntoy el ánguloque forma la recta que contiene al vector con el semieje real positivo. Ampliemosestos conceptos.

Argumento principal de un número complejo

Se llama argumento principal a la medida del ánguloque determina el eje positivo real y la semirrecta que tiene origen en el punto (0,0) y que pasa por el puntoque define alcomplejo. Este argumentoes un ánguloθ que cumple 0≤ θ<2π cos(θ)= a ∣z∣ sen(θ)= b ∣z∣ Forma binómica: z=a+b i

Forma trigonométrica :z=∣

_⏟

z∣cos(θ)

a

+∣

_⏟

z∣sen(θ)

b

i

Forma polar : z=∣z∣θ=∣z∣_θ=∣z∣cisθ

La forma polar es una manera abreviada de escribir un número complejoen forma trigonométrica. Es útil la notación con subíndice y también se emplea la notación "cis"que hace referencia a "cos(θ)+i sen( θ)"

Es necesario destacar que la forma trigonométrica z=∣z∣cos(θ)+∣z∣sen(θ) isuele escribirse normalmente

z=∣z∣ (cosθ +i senθ)

• Ejemplo: representar al complejo z=1−i en forma polar. 1° ∣z∣=

√

12+(−1)2=

√

2 2° 0≤ θ<2π; cos(θ)= 1

√

2 ∧sen(θ)= − 1

√

2 como cos(θ)>0 y

sen(θ)<0 , se tiene que θ está en el tercer cuadrante del plano de Argand. Además, se puede deducir que es un múltiplo del ángulo π

4 cuyo coseno esel mismoque el de θ. θ= 7

4π  z=1−i=

√

2  7 4π

Unicidad del argumento principal La unicidad del argumento principal esconsecuencia de :

sen(θ)=sen(ϕ) ∧cos(θ)=cos(ϕ) ⇔ θ≡ ϕ mod(2π) θ − ϕ=2kπ,k∈ ℤ

Clases de congruencia

α≡ β mod(2π) ⇔ ∃ k∈ ℤ:α − β=2kπ Un ánguloα escongruente con un ánguloβ módulo 2π si y sólamente si existe un número k entero cualquiera tal que α − βesigual a 2kπ

Observación : 0 rad o 0 ° no tiene argumento

• Ejemplo : 9 4π≡ x mod(2π) 9 4π − π4=2π  9 4π≡ π4 mod(2π) IX

Producto de complejos dados en forma trigonométrica Sea z=∣z∣ (cosθ+i senθ) y z´=∣z´∣ (cosθ´+i senθ´)

z⋅z´=∣z∣ (cosθ+i senθ) ⋅∣z´∣ (cosθ´+i senθ´)=∣z∣⋅∣z´∣⋅(cosθcosθ´+i cosθ senθ´+i senθ cosθ´ +i2 senθ senθ´)=∣z∣⋅∣z´∣⋅((cosθ cosθ´−senθ senθ´) +i(cosθ senθ´+senθcosθ´))=

=∣

⏟

z∣⋅∣z´∣ (1)

⋅(cos(θ+θ´)

_⏟

(2)

+i sen(θ+θ´))

(1) productode sus módulos (2) suma de los argumentos osu congruente menor que un giro Cociente de complejos dados en forma trigonométrica

z1, z2∈ ℂ, z2≠0 z1=

∣

z1

∣

θ1 z2=

∣

z2

∣

θ2 z₁ z2 = z3⇒

∣

z₁

∣

∣

z2

∣

=

∣

z3

∣

z1= z2⋅z3 θ1≡ θ2+θ3 mod(2π) ⇒ θ3≡ θ1− θ2 mod(2π)

Entoncesel cociente tiene por módulo al cocientede los módulos y por argumentola diferencia de los argumentos o su congruente menor que un giro.

z₁ z₂=

∣

z₁

∣

∣

z₂

∣

θ1− θ2 ,(θ1− θ2)argumento principal

Potencia de exponente natural de un complejo dado en forma trigonométrica

z=∣z∣θ; zn=∣z∣nnθ

Demostración por inducción P(n): zn=

? ∣z∣nnθ ∀n∈ ℕ 1° P(1):z1= ? ∣z∣11⋅ θ • z1=z= ∣z∣ θ •∣z∣11⋅θ= ∣z∣ θ  P(1)es V 2° P(n)⇒v ? P(n+1) Suponemos P(n): zn

=∣z∣nnθ es V. Debemos probar que P(n+1)es V. P(n+1): zn+1 = ? ∣z∣n+1(n+1)θ • zn+1_=zn_⋅z=HI_∣z∣n_{ n} θ ⋅∣z∣θ=∣z∣n⋅∣z∣nθ+θ=∣z∣n+1(n+1)θ ⇒ ⇒ P(n+1) es V  P(n)es V ∀n∈ ℕ Ejemplo : z=1+i calcular z10 ∣z∣=

√

ℜ2(z) + ℑ2(z)=

√

12 +12 =

√

2 cos(θ)= ℜ(z) ∣z∣ = 1

√

2 sen(θ)= ℑ(z) ∣z∣ = 1

√

2

(

cos(θ)>0 ∧ sen(θ)>0

)

⇒ θ ∈I cuadrante del plano de Argand θ= π 4  z=

√

2 π 4 z 10 =∣z∣1010⋅ π 4=∣

√

2∣ 10  5 2π=

(

√

2

)

10  5 2π=

(

2 1 2

)

10  5 2π=2 5_ 5 2π= 32 5 2π X

Igualdad de dos números complejos dados en forma polar

Definición: si z₁=

∣

z₁

∣

(cos(θ₁)+i sen(θ₁))y z₂=

∣

z₂

∣

(cos( θ₂)+i sen(θ₂))diremosque z₁=z₂

si

_∣

z₁

_∣

=

_∣

z₂

_∣

∧ θ₁≡ θ₂ mod(2π) Si z1=

∣

z1

∣

θ1 , z2=

∣

z2

∣

θ2 ,..., zn=

∣

zn

∣

 θn entonces z1⋅z2⋅...⋅zn=

∣

z1

∣

⋅

∣

z2

∣

⋅...⋅

∣

zn

∣

 θ1+...+ θn ⇒ ⇒

∏

i=1 n zi=

∏

i=1 n

∣

zi

∣



∑

i=1 n

θi Hacer demostración por inducción completa...

Cálculo del inverso de un número complejo dado en forma polar Si z≠ 0, z=∣z∣θ,entonces z−1 = 1 z= 1 0 ∣z∣ θ= 1 ∣z∣ 0− θ=∣z∣ −1 −θ= ∣z∣−1 2π − θ Potencias enteras de un número complejo

Si z=∣z∣ θ, p∈ ℕ, z≠0 entonces z−p =

[

(∣z∣θ)−1

]

p= (∣z∣−1−θ)p=

(

∣z∣−1

)

p p(−θ)=∣z∣−p−pθ Fórmula de De Moivre z ∈ ℂ, k ∈ ℤ, z=∣z∣ θ ⇒ zk =∣z∣kkθ Ejemplo : z=2 5 4π calcular z −3₌₂−3_−3⋅5 4π= 1 8− 15 4 π= 1

8 π4 siqueremos expresarloen forma binómica tenemos : 1 8

(

cos π 4 +i sen π 4

)

=

√

2 16 +

√

2 16 i

Resumen de las propiedades de argumento

Seanz y z´∈ ℂ

En términos de congruencia En términos de igualdad

arg(z⋅z´)≡arg(z) +arg(z´) mod(2π) arg(z⋅z´)=arg(z) +arg(z´) +2kπ

arg(z : z´)≡arg(z) −arg(z´)mod(2π) arg(z : z´)=arg(z) − arg(z´) +2kπ

arg(zn

)≡n arg(z) mod(2π) arg(zn

)=n arg(z) +2kπ en particular arg

(

z−1

₎

= −arg(z) mod(2π)ó arg

(

z−1

₎

=−arg(z) +2π Argumento del conjugado de un número complejo

arg(̄z)=? Recordamos :∣z∣2=z⋅ ̄z tomemosargumento : arg

(

∣z∣2

)

=arg(z) +arg(̄z) +2kπ ⇒ ⇒ 0=arg(z) +arg(̄z) +2kπ  arg(̄z)≡ −arg(z)mod(2π)ó arg( ̄z)=−arg(z) +2π

Ejemplo : Determinar y representar en el planocomplejo todos los z talesque arg(z)=arg

(

3̄z2

)

y∣z∣=2 XI

z=a+b i⇒ ∣z∣=

√

a2+b2=2⇒ a2+b2=4 arg(z)=arg(3̄z2) ⇒ arg(z)=arg(3) +arg(̄z2) +2kπ

arg(z)=arg(3) +arg(̄z2) +2kπ ⇒ arg(z)=0+2 arg(̄z) +2kπ ⇒ arg(z)=2(−arg(z)) +2kπ ⇒ ⇒ arg(z)= −2 arg(z) +2kπ ⇒ 3arg(z)=2kπ ⇒ arg(z)= 2kπ

3 , k=0 ⇒ arg(z)=0 , k=1 ⇒ ⇒ arg(z)= 2

3π , k=2⇒ arg(z)= 4 3π

Respuesta : los z que cumplen las condiciones anteriores son : z0=2 0 , z1=2

2

3π y z2=

4

3π gráficamente se pueden ver estos complejos a la derecha en el dibujo.

Raíces n-ésimas de un complejo

Definición : Sea w∈ ℂ, n>1,n ∈ ℕ sedenomina raíz n-ésima de w a todocomplejo z tal que zn=w

Cálculo de todas las raíces n-ésimas de un complejo w dado en forma polar

z=∣z∣ ϕ zn=

(

∣z∣ ϕ

)

n=∣w∣θ son incógnitas∣z∣y ϕ Aplicando De Moivre tenemos:∣z∣n nϕ =∣w∣θ

{

∣z∣n=∣w∣ ⇒ ∣z∣=

√

n∣w∣ nϕ= θ+2kπ ⇒ ϕ_k=θ+2kπ n ϕ₀= θ n ; ϕ1= θ+2π n ; ϕ2= θ+4π n ; ... ; ϕn−1= θ+2(n−1)π n ; ϕn= θ+2nπ n

⏟

≡ ϕ0 = θ n +2π

Por lo tantosólo hay nargumentos no congruentes, ya que ϕ_n no cuenta , pues escongruente con ϕ₀("se repite")

Las raíces n-ésimasde w son:

z0= n

√

∣w∣_ θ n , z1= n

√

∣w∣_ θ+2π n , z2= n

√

∣w∣_ θ+4π n , ... , zn−1= n

√

∣w∣_ θ+2 (n−1)π n

Cada una de ellas elevadas a la ndan w Ejemplo 1: calcular las raíces cúbicas de 1

z3 =1⇒ z3 =10 ∣z∣=

√

n∣w∣,n=3 ,∣w∣=1 ∣z∣=

√

31 ϕ_k= 0+2kπ 3 ϕ0= 0+ 2⋅0⋅π 3 =0 XII

ϕ₁= 0+2⋅1⋅π 3 = 2 3π ϕ2= 0+2⋅2⋅π 3 = 4 3π Rta.: son raíces cúbicas de 1 : z0=10 , z1=1

2

3π , z2=1

4 3π Ejemplo 2 : Calcular las raícescuartas de−1

(

∣z∣_ϕ

)

4= ∣w∣_θ ⇒

(

∣z∣_ϕ

)

4=1 π ∣z∣

_√

4 1=1 ϕk= θ +2kπ 4 ϕ0= π4 , ϕ1= 3 4π , ϕ2= 5 4π,ϕ4= 7 4π Rta.: z₀= 1 π 4 , z1=1 3 4π , z2=1 5 4π , z3=1 7 4π Ejemplo 3: Calcular las raíces cúbicas de−1+i

z3_{= −1+i} ∣z∣=

√

3

√

2= 6

√

2 −1+i=

√

2 3 4π ϕ_k= 3 4π +2kπ 3 ϕ0= π₄ ,ϕ1= 11 12π ,ϕ2= 19 12π Rta.: Z₀=

√

62 π 4 ,Z1= 6

√

2 11 12π ,Z2= 6

√

2 19 12π

Demostración de la desigualdad de Minkowski Sea z , z´ ∈ ℂ ∣z+z´∣≤∣z∣ +∣z´∣

Probaremos:∣z+z´∣2≤

(

∣z∣ +∣z´∣

)

2 ∣z+z´∣2= (z+z´)⋅(z+z´)= (z+z´)⋅(̄z+z´)= z̄z+ z z´+ +z´̄z +z´z´=∣z∣2+ z z´+ z´̄z+∣z ´∣2=∣z∣2+z z´+ ̄z z´+∣z ´∣2=∣z∣2+∣z ´∣2+2ℜ(z z´) ≤

≤∣z∣2+∣z ´∣2+ 2∣z z´∣=∣z∣2+∣z ´∣2+2∣z∣∣z´∣=∣z∣2+ ∣z ´∣2+2∣z∣∣z´∣=

(

∣z∣ +∣z´∣

)

2⇒ ∣z+z´∣2≤

(

∣z∣+ ∣z´∣

)

2

∣z+z´∣≤∣z∣ +∣z´∣

El conjunto de los complejos no es ordenado

Demostración: para demostrar esto suponemosque ℂsí es ordenado(demostración por absurdo). Consideramos 0 ei , ambos en el conjunto de los complejos, 0≠i Sisuponemos queℂ es ordenado, entonces valela propiedad de tricotomía , y comose tiene que 0≠i las posibilidades son : i<0 ó i>0

i>0⇒ i⋅i>0⋅i ⇒i2

>0⇒ −1>0 # ("# " o bien "!!" significan "es absurdo") Por otrolado , sii<0 ⇒ i⋅i>0⋅i ⇒i2>0 ⇒ −1>0 # por lotanto ℂ no es ordenado.

Estructuras algebraicas (A , +) A es un conjunto y "+" una operación

Definimos:(A ,+)es un grupo si + es asociativa , tiene elemento neutro y tiene elemento opuesto en el conjunto.

Definición:(A ,+,⋅)es anillosi(A ,+)es grupoabeliano(es decir , si es un grupoconmutativo)y⋅es asociativa y distribuye con respectoa la suma.

Definición:(A ,+,⋅)es anilloconmutativo si(A ,+,⋅) es anillo y⋅es conmutativa.

Definición:(A ,+,⋅)es anilloconmutativo con unidad si(A ,+,⋅) es anillo conmutativo y⋅tiene neutro.

Definición:(A ,+,⋅)es cuerposi(A ,+,⋅)es anillo conmutativocon unidad y todoelemento distinto de cero en A poseeinverso en A.

Anillo de polinomios

Definición: sea K un anillo conmutativo con unidad (ej.:ℤ,ℚ,ℝ, ℂ)se llama anillode polinomios en una indeterminada xcon coeficientes en K , al anillo K[x] cuyos elementos son de la forma P(x)=b₀+b₁x+ +b₂x2+...+b_mxmcon cada uno de los b_i∈K(0≤i≤m)

Nota : los b_i se llamancoeficientes del polinomio P(x). Ejemplo : en ℝ [x]: P(x)=3+4x+

√

2x3, Q(x)= x2+1 en ℤ [x]: Q(x)= x2_{+1 P(x} )=3+4x+

√

2x3 ∉ ℤ[x] Grado de un polinomio Si P(x)=

∑

i=0 n a_ixi

∈K[x]y si P(x)≠0, llamamos grado de P(x) (lodenotamos gr(P(x)))al máximo {i: a_i≠0 }

Observaciones :

gr(P(x))=n∧ gr(Q(x))=m ⇒ gr(P(x) +Q(x))≤máx.

{

gr(P(x)); gr(Q(x))

}

y gr(P(x)⋅Q(x))= =gr(P(x)) +gr(Q(x))

Si an=1 diremosque P(x)es mónico(ancoeficiente principal)

Nota : los números reales no nulos en ℝ[x]son polinomios de grado 0 Igualdad de polinomios

Dos polinomios P(x) y Q(x)son igualessi verifican una de lassiguientes condiciones :

{

1) no tienen grado

2) tienen igual gradoy los coef. respectivosson iguales

Divisibilidad

Si K es un cuerpo(por ej.:ℂ,ℝ,ℚ)y sean P(x), Q(x) ∈K[x] diremos que P(x)divide a Q(x) (en sím -- bolos P(x)│Q(x) )si existeotro polinomio T(x) ∈K[x] tal que Q(x)=P(x) ⋅T(x)

Raíz de un polinomio

Sea K un cuerpo , P(x) ∈K[x] y k ∈K , se dice que k es raíz de P(x)si P(k)=0 Ejemplo : P(x)= x2_{−1 P(1)=1}2₋₁₌₀ ⇒ 1 esraíz de P(x). Teorema: P(x) ∈K[x] ∧P(k)=0 ⇔ (x−k)│P(x) Demostración: • Demuestro P(x) ∈K[x] ∧P(k)=0 ⇒ (x−k)│P(x) P(x)= (x−k)⋅C(x) +R(x)donde gr(R)=0 ó R=0 gr(R)=0⇒ R≠0 ⇒ P(x)= (x−k)⋅C(x) + +R x=k ⇒ P(k)=0⇒ (k−k)⋅C(k) +R ⇒ 0=R #  R=0∧P(x)= (x−k) ⋅C(x) esdecir (x−k)│P(x) • Demuestro(x−k)│P(x) ⇒ P(k)=0

Sabemos que P(x)es divisible por (x−k)queremos probar que k es raíz de P(x)

∃T(x) ∈K[x]: P(x)= (x−k)⋅T(x) especializo: P(k)= (k−k)⋅T(k)=0 k es raíz de P(x) Así queda demostrado el teorema.

Teorema del resto

El resto de dividir a un polinomio P(x) por otro de la forma (x−a)coincide con el valor de P(a). Demostración : P(x)= (x−a)⋅C(x) +R ⇒ P(a)= (a−a)⋅C(a) +R ⇒ P(a)=R

Ejemplo : hallar el resto del cociente P(x)

Q(x) P(x)= x

3

+2x2_{+1 Q}

(x)= (x−2) R=P(2)=23+2⋅22+1=17

Algoritmo de la división en un cuerpo K

Sea K un cuerpo , entonces, para todo par de polinomios P(x),Q(x) ∈K[x],Q(x)≠0, existen únicos polinomios C(x) y R(x) ∈K[x] talesque P(x)=Q(x)⋅C(x) + R(x)con R(x)=0∨gr.(R(x))< <gr.(Q(x)) C(x)es el cociente y R(x)es el resto.

Ejemplos :

P(x)=x2_{−1 Q(x}

)= x+1 C(x)=... Rta. : x−1 R(x)=... Rta. : 0

1 -1 -3 5 -2 1 1 0 -3 2 1 0 -3 2 0 1 1 1 -2 1 1 -2 0 1 1 2 1 2 0 1 1 1 3 P(x)=x2−1 Q(x)= x+2 C(x)=... Rta. : x−2 R(x)=... Rta. : 3 P(x)=x+2 Q(x)= x3+1 C(x)=... Rta.: 0 R(x)=... Rta. : x+2

Especialización o valor numérico Si P(x)=

∑

i=0 n

a_ixi

∈K[x], k ∈K,se llama especialización de P(x)en x=k al valor P(k)=

∑

i=0 n

a_iki

Raíces distintas de un polinomio en un cuerpo K

Si k₁, k₂, k₃,... , k_n son raícesdistintas de P(x) ∈K[x],entonces P(x) esdivisible por (x−k₁)⋅(x−k₂)⋅ ⋅(x−k₃)⋅...⋅(x−k_n)ó , loque esequivalente P(x) esdivisible por

_∏

i=0 n

x−k_i

Puede demostrarse esto por inducción matemática.

Raíz múltiple

Definición: sea P(x) un polinomioen K[x],se dice que k es raíz de multiplicidad m de P(x)si P(x) es divisible por (x−k)m y no loes por(x−k)m+1

Ejemplo : averiguar la multiplicidad de 1 como raíz de P(x)= x4

−x3

−3x2_+5x−2

Por loque se desprende de aplicar la regla de Ruffini , tenemos que 1 es raíz de multiplicidad 3. Además, el monomiocociente (x+2)nos dice que−2 es raíz del polinomioen cuestión. Por lo tanto P(x)puede reescribirseen forma factorizada como P(x)= (x−1)3

(x+2)

Raíces de polinomios reales

Sea P(x) ∈ ℝ [x], un polinomiode grado n , z∈ ℂes raíz de P(x) si y sólosi ̄z es raíz de P(x) Demostración: ⇒) P(x)=

∑

i=0 n a_ixi a_i∈ ℝ, 0≤i≤n , a_n≠0 como z es raíz de P(x), P(z)=0=

∑

i=0 n a_izi

Conjugamos ambos miembros : ̄₀₌

_∑

i=0 n aizi ⇒ 0=

∑

i=0 n aizi ⇒ 0=

∑

i=0 n ̄ ai zi ⇒ 0=

∑

i=0 n ai zi=P(̄z) ̄z es

raíz del polinomio P(x) ⇐) P( ̄z)=0=

∑

i=0 n a_izi conjugando:̄₀₌

_∑

i=0 n a_izi⇒ 0=

∑

i=0 n a_izi ⇒ 0=

∑

i=0 n ̄ a_izi⇒ 0=

∑

i=0 n a_izi  z es raíz de P(x)

es decir , por lo probadoen ⇒), si w∈ ℂes raíz de P(x) w también lo es , en particular vale si w= ̄z. Luego w= z= z es raíz de P(x)

Corolario1: todo polinomio de grado nimpar y de coeficientes realesadmite al menos una raíz real.

Corolario2 : si z ∈ ℂes raíz de multiplicidad m de P(x) ∈ ℝ[x], entonces ̄z es también raíz de multipli -- cidad m del polinomio.

Teorema fundamental del álgebra

Proposición: todo polinomio P(x) ∈ ℂ[x]de grado>0 admite una raíz enℂ

Corolario: para todo polinomio P(x)de grado n>0 existen complejos z1, z2 ,... , zn tales que si an es el

coeficiente principal de P(x)=a_n(x−z₁)(x−z₂)...(x−z_n)=

∏

i=1 n

(

x−z_i

₎

Ejemplos : Ejercicio 1: determinar un polinomio P(x) ∈ ℝ [x]cuyas raícessean z₁=2, z₂=1+i y coeficiente principal 3.

3(x−2)(x−(1+i))(x−(1−i))

Ejercicio2 : determinar un polinomio G(x) ∈ ℂ[x] cuyas raíces sean z₁=2, z₂=1+i y coef. ppal. 3 G(x)=3(x−2)(x−(1+i))

Ejercicio3 : determinar un polinomio T(x) ∈ ℂ[x]que tenga a i como raíz doble. T(x)=z(x−i)2 , z∈ ℂ

Ejercicio 4: determinar un polinomio S(x) ∈ ℝ[x]que tenga a i como raíz doble. S(x)=a(x−i)2(x+i)2 , a∈ ℝ

Ejercicio5 : determinar un polinomio P(x) ∈ ℝ[x]que tenga a i como raíz doble y P(1)=2. P(x)=a(x−i)2(x+i)2 ∧ P(1)=2 a(x−i)2(x+i)2=a

(

x2_{−2i x} +i2

₎

⋅

(

x2_{+2i x} +i2

₎

=x4_{+2i x}3 +i2_x2 −2i x3_−4i2_x2_−2i3_x +i2_x2_+2i3_x +i4 =x4 +i2_x2_−4i2_x2 +i2_x2 +i4 = x4 −x2_+4x2 −x2_+1=x4 +2x2₊₁ P(x)=a(x4_+2x2_{+1) P(1)=2} ⇒ a(14_+2⋅12₊₁₎₌₂ ⇒ ⇒ a⋅4=2⇒ a= 2 4 ⇒ a= 1 2  P(x)= 1 2 (x 4_+2x2₊₁₎₌ x4 2+x 2 +1 2

Ejercicio6 : determinar un polinomioen ℚ[x] tal que 1 y

√

3 son raíces de P(x) y P(2)=4 P(x)=a(x−1)(x−

√

3)(x−(−

√

3)) ⇒ P(x)=a(x−1)(x−

√

3)(x+

√

3) ⇒ P(x)=a(x−1)(x2

−3) P(2)=4 ⇒ a (2−1)(22

−3)=4⇒ a⋅1⋅1=4⇒ a=4  P(x)=4(x−1)(x2₋₃₎

Proposición: dado Q(x) ∈ ℚ [x]si a+b

√

p(a , b , p∈ ℚ) p>0,

√

p∉ ℚ es raíz de Q(x) entonces

a−b

√

p también loes.

Ejercicios: hallar las raíces del polinomio P(x)=i x2+(1−i)x−1...

Cálculo de raíces de un polinomio de grado 2 P(x)=a x2

+b x+c , a , b , c ∈ ℂ a x2

+b x+c=0 multiplico ambos miembros por 4a

4a a x2+4a b x+4a c=0⇒ ⇒ 4a2_x2 +2⋅2⋅a x b= −4a c ⇒ (2a x)2+2⋅2⋅a x b= −4a c ⇒(1)(2a x)2+2⋅2⋅a x b+b2 =b2_{−4a c} ⇒ ⇒ (2a x)2+ 2(2a x)b+b2 =b2 −4a c ⇒ (2a x +b)2=b2

−4a c secalculan las raíces cuadradas de (1) sesuma b2 _{a ambos miembros}

la expresiónb2−4a c las cuales son y1=2a x+be y2=2a x+b  x1=

−b+y₁

2a ∧ x2=

−b+y₂

2a

final-- mente , las raíces del polinomio P(x)son x₁ y x₂.

En el ejemplo anterior a=i , b=1−i , c= −1 entonces tenemos que b2−4a c= (1−i)2−4i⋅(−1)= = (1−i)2+4i=2i

Luego tenemosque (2a x +b)2=2i debemos hallar las raíces cuadradas de 2i diremos que∃ w∈ ℂ tal que w2=2i

Ahora calculamos las raíces cuadradas de 2i haciendo uso de la fórmula de De Moivre ∣w∣=

√

∣2i∣=

√

2 cos(θ)=0∧ sen(θ)=2 2=1 ⇒ θ= π2 2ϕ= π2 +2kπ= (1+4 k) π 2 ⇒ ⇒ ϕk= 1 2⋅ (1+4 k)π 2 ⇒ ϕk= (1+4k)π 4 ϕ0= π4 , ϕ1= 5 4π w0=

√

2 π 4 w1=

√

2 5 4π w₀=

√

2

(

cos

₍

π 4

)

+i sen

(

π4

)

)

=

√

2

(

√

2 2 +i

√

2 2

)

=1+i w1=

√

2

(

cos

(

5 4π

)

+i sen

(

5 4π

)

)

=

√

2

(

−

√

2 2 −

√

2

2 i

)

= −1−i usemos ahora las fórmulas anteriores Calculemos finalmente losceros del polinomio: x₁= (−1+i) + (1+i)

2i x2= (−1+i) + (−1−i) 2i x₁=1 , x₂=−2 2i = −2 2i ⋅ (−2i) (−2i)= 4i (−4i2 )= 4i 4 =i

Teoremade Gauss : Si p y q sonenteros no nulos, primosentre si tales que el número racional p

q esraíz de

P(x)=

∑

i=0 n

a_i xi∈ ℝ [x],gr.(P(x))=n con a₀, a₁, a₂,..., a_n∈ ℤ, a₀≠0 entonces p∣a₀ y q∣a_n

Ejercicio: determinar , en caso que existan , las raíces racionales de P(x)=8x3+10x2−11x+2 Es aplicable el teorema de Gauss porque loscoeficientes de P(x)son enteros.

divisores de a₀: { 1,−1, 2,−2 } divisores de a_n: {1,−1, 2,−2, 4,−4, 8,−8 } Posibles raícesracionales :

{

1,−1, 1 2 ,− 1 2, 1 4,− 1 4, 1 8,− 1 8,2,−2

}

P(1)=8+10−11+2≠0⇒ 1 no escero de P(x) P(−2)=0⇒ −2 escero de P(x) ... P(1/2)=0 ⇒1/2 esraíz de P(x) P(1/4)=0 ⇒1/4 escero de P(x)

Nota: nosiempre es aplicableel teorema de Gauss , por ejemplo Q(x)= x2+1 es un polinomio de coefi -- cientesenteros pero no tiene raíces racionales. Sus raíces(o ceros) son: {i ,−i}

Ejercicio: hallar los ceros racionales de Q(x) en casode que existan. Q(x)=4x3+5x2−11

2 x+1

No se puedeaplicar el teorema de Gauss , ya que hay un coeficiente no entero (el coeficiente lineal de Q(x)). sin embargo se puede llevar la expresión polinómica dada a otra que sí tenga todos suscoeficientesenteros. En este caso bastará con multiplicar el polinomio Q(x) por 2 y así tendremos un polinomio nuevo :

P(x)=2 Q(x)=8x3_+10x2_−11x+2

Demostración del teorema de Gauss para raíces polinómicas P(x)=

∑

i=1 n a_i xi _{, a} i∈ ℤ,gr.(P(x))=n , an≠0 si p

q escero racional de P(x),entonces p∣a0 y q∣an

Demostración : P

(

p q

)

=0 ⇒

∑

_i=0 n a_i

(

p q

)

i =0 ⇒ a₀+ a₁

(

p q

)

1 +a₂

(

p q

)

2 + ...+ a_n

(

p q

)

n =0 multiplico por qn _{la última ecuación : a} 0 q n +a₁ p qn−1 + a₂ p2 _qn−2 +...+a_n pn =0 (1) ⇒ ⇒ a₀ qn+ p

(

a₁ qn−1 +a₂ p qn−2 +...+a_n pn−1

)

⏟

=s =0⇒ a₀ qn+ ps=0 ,s∈ ℤ ⇒

⇒ a₀ qn= −ps ⇒ a₀ qn= p(−s) p∣a₀ qn pero p∤qn (p y q no tienen divisores comunes) p∣a₀

Volviendoa la ecuación (1)extraemosfactor común q:

a_n pn+ q

(

a₀ qn−1 +a₁ p qn−2 +a₂ p2 qn−3 +...+a_n−1 pn−1

)

⏟

=k =0⇒ ⇒ a_n pn +q k=0 , k ∈ ℤ ⇒ a_n pn =q(−k) q∣a_n pn _{, q} ∤ pn _{ q} ∣a_n XIX

Definición: sea K un cuerpo (ej.: ℚ, ℝ, ℂ), P(x) ∈K[x]es irreducible si: 1) gr.(P(x))>0 2) Q(x) ∈K[x]: gr.(P(x))>gr.(Q(x))>0∧Q(x) ∣P(x)

Ejemplo : P(x)=x2+1 P(x)= (x−i)(x+i) P(x) es reducibleenℂ[x], peroes irreducibleenℝ[x]

Teorema: si K esun cuerpo, P(x) ∈K[x], 0<gr.(P(x))≤3 entonces P(x) es irreducible en K[x]sii P(x) no posee ninguna raíz en K.

Demostración : probaremosque P(x)es irreducibleen K[x] ⇔ P(x) poseealguna raíz en K. ⇒) P(x)=Q(x)⋅T(x) /Q(x), T(x) ∈K[x] gr.(Q(x))=1 ∨ gr.(T(x))=1

Supongo que gr.(Q(x))=1 ⇒Q(x)=a x+b , a , b∈K, a≠0 ⇒ P(x)= (a x+b) ⋅T(x)

a x+b= 0⇒ x=−b

a ∈K, es cero de P(x)

⇐) Como P(x)posee una raíz en K , sea k la raíz , entonces P(x)= (x−k)⋅T(x)con locual prueboque es reducible en K[x]

Nota: si K es un cuerpo, todo polinomio de grado1 en K[x]esirreducible en K[x]

Ejercicio: a) Determinar todaslas raíces de P(x)= x6_−4x5_+3x4_+4x3_−6x2_{+8x−8 sabiendo que i es}

raíz de P(x) .

b) Factorizar P(x)en producto de polinomios irreduciblesen ℚ[x] , ℝ[x]y ℂ[x]. Justificar a) P(x)esdivisible por(x−i)(x+i)=x2_{+1 podemos dividir a P(x}

)por x2₊₁ x6 −4x5 +3x4 +4x3 −6x2 +8x −8 x2 +1 x6 _{─ x}4 _x4 _−4x3 _+2x2 _{+8x −8} 0 −4x5 _+2x4 _+4x3 _−6x2 _{+8x −8} ─ −4x5 −4x3 0 +2x4 +8x3 −6x2 +8x −8 ─ _+2x4 +2x2 0 +8x3 _−8x2 _{+8x −8} ─ +8x3 +8x 0 −8x2 0 −8 ─ −8x2 −8 0 0

Vemos que aplicando la regla de Ruffini tenemos que 2 es raíz doble

Además, el último polinomio cociente T(x)=x2−2 tiene las últimas dos raíces que faltan hallar de P(x)

Raíces de T(x):

√

2 y−

√

2

XX

busco lasraíces de Q(x)

Q(x)=x4_−4x3_+2x2_+8x−8

Aplicando el teoremade Gauss tengo así que las posibles raícesson :

{−1, 1, 2,−2, 4,−4, 8,−8}

Q(1)≠0 Q(−1)≠0

Q(2)=0 0 es raíz deQ(x)

Veremosla multiplicidad de esta raíz

1 -4 2 8 -8 2 2 -4 -4 8 1 -2 -2 4 0 2 2 0 -4 1 0 -2 0 2 2 4 1 2 2

b) En ℂ[x] P(x)= (x−i)(x+i)(x−2)2

(

x−

√

2

)(

x+

√

2

)

sonirreducibles porser polinomios de grado1 En ℝ[x] P(x)= (

_⏟

x2+1) (1) (x−2)2

(

x−

√

2

)(

x+

√

2

)

⏟

(2)

(1) esirreducible enℝ [x]por ser de grado 2 y no tener raícesenℝ (2) irreducible por ser de grado 1

En ℚ[x] P(x)= (

_⏟

x2+1) (3)

(x−2)2(

_⏟

x2−2) (3)

(3) irreducible en ℚ[x] por ser de grado2 y no tener raíces en ℚ

Observación : P(x)=x4+2x2+1= (x2+1)2= (x2+1)(x2+1) tiene grado 4 y es irreducibleen ℝ[x] y no tiene raíces enℝ.

Matrices y determinantes

Definición: se llama matriz m×n a un cuadrode elementos de K dispuestosen m filas y n columnas. A=

(

a11 a12 a13 ⋯ a1n a₂₁ a₂₂ a₂₃ ⋯ a_2n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a_m1 a_m2 a_m3 ⋯ a_mn

)

a_{i j} ∈K,1≤i≤m , 1≤ j≤n

Abreviemos A: A= (a_{i j})1≤i≤m , 1≤ j≤n Si m=n decimosque la matriz es cuadrada

Nota: al conjunto de todas las matrices de m filas×ncolumnas con coefcientes en K la simbolizamos Mm×n(K). Si m=nsimbolizamos Mn(K)al conjunto de todas las matrices de n filas por n columnas con

coeficientes en K .

Ejercicio: construir matrices que cumplan : A= (a_{i j}) ∈M₂(ℝ): a_{i j}=i2−2 j+1 A=

(

a11 a12 a₂₁ a₂₂

)

a₁₁=12_{−2⋅1+1=0 a} 12=1 2_{−2⋅2+1= −2 a} 21=2 2₋₂ ⋅1+1=3 a₂₂=22_−2⋅2+1=1  A=

(

0 −2 3 1

)

Igualdad de matrices

Definición: diremos que dos matrices A= (a_{i j}) y B= (b_{i j}) ∈M_m×n(K)son iguales, y escribiremos : A= =B, si∀i , j , 1≤i≤m ,1≤ j≤n a_{i j}=b_{i j}

Ejemplo :

(

1 2

0 −1

)

=

(

10 −1

√

4

)

Suma de matrices

Definición: si A= (a_{i j}) y B= (b_{i j}) ∈M_m×n(K)se llamasuma de A y B y se nota A+B a la matriz C C= (ci j) ∈Mm×n(K)tal que ci j=ai j+bi j 1≤i≤m , 1≤ j≤n

Ejemplo : A=

(

2 1 1

3 0 −1

)

∈M2×3(ℝ) B=

(

3₀ −1 1_{−1 0}

)

∈M2×3(ℝ) A+B=

(

5_{3 −1}0 ₋₁2

)

Propiedades de la suma Sean A , B, C∈M_m×n(K) entonces :

♦ S1 (A+B)+C=A+(B+C) asociatividad ♦ S2 A+B=B+A conmutatividad

♦ S₃ La matriz 0=

(

0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0

)

∈M_m×n(K)es tal que A+0=0+A=A ∀A∈M_m×n(K)se

llama matriz nula.

♦ S4 Dada A= (ai j), la matriz B= (−ai j)es tal que A+B=0, esta sellama matriz opuesta.

Ejemplo : A=

(

2 1 1

3 0 −1

)

∈M2×3(ℝ) B=

(

−2₋₃ −1₀ −1₁

)

A+B=0

Ejercicio: resolver si es posible

(

a+b −a

a+b b+c

)

+

(

0 −b b+2c 0

)

=

(

3 −2 1 −2

)

⇒

(

a+b −a−b a+2b+2c b+c

)

= =

(

3 −2 1 −2

)

⇒

{

a+b=3 −a−b= −2 ...

pero a+b=3⇒ −(a+b)=−a−b= −3≠−2  no hay solución y no puede hallarse valor alguno para a , b , c de tal modoque lasuma sea

(

3 −2

1 −2

)

Nota: la diferencia entre una matriz y otra es la suma entre la primer matriz y la opuesta de la segunda: C−D=C+(−D).

Producto de matrices

Definición: dadas A= (a_{i j}) ∈M_m×n(K)y B= (b_{i j}) ∈M_n×t(K) se llama producto de A⋅B a la matriz C= (ci j) ∈Mm×t(K)donde ci j=

∑

k=1 n

ai k⋅bk j

Observación : el producto de matrices se define siel número de columnasde A es igual al número de filas de B

A continuación veremos casos generales y ejemplos de producto de matrices

• Primer caso

_⏟

(a₁₁ a₁₂ a₁₃ ... a_1n) 1×n ⋅

(

b11 b₂₁ b31 ⋮ b_n1

)

⏟

n×1 =a₁₁⋅b₁₁+a₁₂⋅b₂₁+a₁₃⋅b₃₁+...+a_1n⋅b_n1 Ejemplo :

(

_⏟

1 2 4

)

1×3 ⋅

(

−1 3 2

)

⏟

3×1 =1⋅(−1) +2⋅3+4⋅2=13 • Segundo caso

(

a₁₁ a₁₂ ⋯ a_1n a₂₁ a₂₂ ⋯ a_2n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a_m1 a_m2 ⋯ a_{m n}

)

m×n ⋅

(

b₁₁ b₂₁ ⋮ b_n1

)

n×1 =

(

a₁₁⋅b₂₁+a₁₂⋅b₂₁+ ⋯ + a_1n⋅b_n1 a21⋅b11+a22⋅b21+ ⋯ + a2n⋅bn1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a_m1⋅b₁₁+a_m2⋅b₂₁+ ⋯ +a_{m n}⋅b_n1

)

n×1 Ejemplo :

(

1 20 2 −11 3 1 1

)

3×3 ⋅

(

1 2 −1

)

3×1 =

(

1+4+(−1)⋅(−1) 0+4−1 3+2−1

)

3×1 =

(

6 3 4

)

• Tercer caso

(

a11 a12 ⋯ a1n a₂₁ a₂₂ ⋯ a_2n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a_m1 a_m2 ⋯ a_{m n}

)

m×n ⋅

(

b11 b12 ⋯ b1t b₂₁ b₂₂ ⋯ b_2t ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b_n1 b_n2 ⋯ b_{n t}

)

n×t =

(

c11 c12 ⋯ c1t c₂₁ c₂₂ ⋯ c_2t ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ c_m1 c_m2 ⋯ c_{m t}

)

m×t c11= a11⋅b11+a12⋅b21+...+a1n⋅bn1 c12=a11⋅b12+a12⋅b22+...+a1n⋅bn2 c_1t=a₁₁⋅b_1t+a₁₂⋅b_2t+...+a_1n⋅b_{n t} c21= a21⋅b11+a22⋅b21+...+a2n⋅bn1 c22=a21⋅b12+a22⋅b22+...+a2n⋅bn2 c_2t=a₂₁⋅b_1t+a₂₂⋅b_2t+...+a_2n⋅b_{n t} cm1=am1⋅b11+am2⋅b21+...+am n⋅bn1 cm2=am1⋅b12+am2⋅b22+...+am n⋅bn2 cm t=am1⋅b1t+am2⋅b2t+...+am n⋅bn t Ejemplo :

(

2 −1 3 0 −1 4 0 3

)

⋅

(

3 −2 5 −1

)

=

(

1 −3 9 −6 17 −2 15 −3

)

XXIII

Propiedades del producto

♦ Si m=n ,en M_n(K)el producto siempre está definido.

♦ Si A , B, C∈Mn(K): • A⋅(B⋅C)= (A⋅B)⋅C (asociatividad) • A⋅(B+C)=A⋅B+A⋅C (B+C)⋅A=B⋅A+C⋅A (distributividad) • Idn=

(

1 0 0 ⋯ 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1

)

es tal que A⋅Idn=Idn⋅A=A ∀A∈Mn(K) Ejemplo : Id₂=

(

1 0 0 1

)

Id3=

(

1 0 0 0 1 0 0 0 1

)

"Id" es " matrizidentidad" Observaciones : 1) Sea A=

(

1 0 0 0

)

y B=

(

0 0

1 0

)

calcular A⋅B y calcular B⋅A A⋅B=

(

1 0 0 0

)

⋅

(

0 0 1 0

)

=

(

0 0 0 0

)

B⋅A=

(

0 0 1 0

)

⋅

(

1 0 0 0

)

=

(

0 0 1 0

)

}

⇒ A⋅B≠B⋅A  el producto no es conmutativo 2) El producto puedeser nulosin que ninguno de los factoressea nulo.

Producto de un escalar por una matriz Sea A= (a_{i j}) ∈M_m×n(K)y λ ∈K , sedefine λ⋅A como sigue.

λ ⋅A=

(

λa₁₁ λa₁₂ λa₁₃ ⋯ λa_1n λa₂₁ λa₂₂ λa₂₃ ⋯ λa_2n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ λa_m1 λa_m2 λa_m3 ⋯ λa_{m n}

)

Ejemplo : A=

(

2 3 4 5

)

2 A=

(

2⋅2 2⋅3 2⋅4 2⋅5

)

=

(

4 6 8 10

)

Propiedades del producto de un escalar por una matriz Sea A , B∈M_m×n(K)y λ, λ´∈K

1) λ (A+B)= λA+ λB 2) (λ + λ´)⋅A= λA+ λ´ A 3) (λ ⋅ λ´)⋅A= λ ⋅( λ´⋅A)

D(A)=

∣

a11 a12 ⋯ a1n

a₂₁ a₂₂ ⋯ a_2n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

a_n1 a_n2 ⋯ a_{n n}

∣

4) 1⋅A=A 5) Siademás A⋅B estuviera definido,( λ⋅A)⋅B=A⋅(λ⋅B)= λ ⋅(A⋅B) Matriz traspuesta

Definición: si A= (ai j) ∈Mm×n(K), sellama matriz traspuesta de A (se nota At)a la matriz pertenecien

-- te a Mn×m(K): At= (bi j): bi j=aj i 1≤i≤n ,1≤ j≤m Ejemplo : A=

(

2 3 1 4 5 6

)

At=

(

2 1 5 3 4 6

)

Propiedades de la matriz traspuesta

1)

(

At

)

t=A 2) (A+B)t=At+Bt 3) (λ⋅A)t= λ ⋅At λ ∈ K 4) (A⋅B)t=Bt⋅At≠At⋅Bt Clase de una permutación

Dados los números 1, 2, 3, ... ,n sabemos que hay n ! permutaciones de los mismos. Así , si n=3, hay 3!=6 permutaciones que son : 123, 213, 312 , 132, 231 , 321. La permutación 1, 2, ...n en que los números figuran en el orden natural será llamada permutación principal, en el ejemplo, 123es la permuta -- ción principal.

En una permutación de orden ndiremosque los números i, j forman una inversión si j figura a la izquierda de i, siendo i< j.

Ejemplo : En la permutación de orden 5, 34215 los números 3 y 2 forman una inversión ; 3 y 1forman otra inversión; 4 forma dos inversiones con 2 y con 1; 2 forma una inversión con 1... El número totalde inversio-- nes de una permutación es la suma del númerode inversiones que forma cada númeroen la misma. Sieste número es par/impar la permutación sedice de clase par/impar. En el ejemploanterior , el número total de inversioneses 2+2+1=5es decir , es de clase impar.

Determinantes

Sea A= (a_{i j}) una matriz de orden nconsideremos todos los productos de nelementos de la matriz A de modoque loselementos que intervienen en cada producto pertenezcan a filas y columnas diferentes. Por ejemplo:

Si A=

(

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a21 a22 a23

a₃₁ a₃₂ a₃₃

)

todosestos productos son: a₁₁a₂₂a₃₃; a₁₁a₂₃a₃₂ ;a₁₂a₂₁a₃₃; a₁₂a₂₃a₃₁ ;

a₁₃a₂₁a₃₂; a₁₃a₂₂a₃₁

En una matriz de orden n, cada uno de esos productos puedeescribirse como: a_1α1⋅a_2α2⋅a_3α3⋅...⋅a_nαn

donde α₁,α₂, ..., α_n es una permutación de orden n.

A cada uno de estos productos los precedemosde un signo + o − considerando para cada producto (−1)k a1α₁⋅a2α₂⋅...⋅anα_n donde k es el número de inversiones de la permutación α1,α2, ..., αn.

La suma de todos estos productos es , por definición , el determinante de la matriz A. Lo notaremosdet(A)o D(A).