LECTURA 06: INTERVALOS DE CONFIANZA Y TAMAÑO DE MUESTRA (PARTE II) TEMA 12: INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA PROPORCION POBLACIONAL

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LECTURA 06: INTERVALOS DE CONFIANZA Y TAMAÑO DE MUESTRA (PARTE II)

TEMA 12: INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA PROPORCION POBLACIONAL

1. INTRODUCCION

Muchas veces las decisiones dependen de parámetros que son binarios, parámetros con solo dos posibles categorías dentro de las cuales pueden clasificarse las respuestas. En este caso el parámetro de interés es la proporción poblacional o porcentaje de la población que cumple cierta característica. Por ejemplo una empresa distribuidora de computadoras puede estar interesada en estimar el porcentaje de clientes que pagan al crédito. Una empresa productora de software informáticos puede estar interesa en estimar el porcentaje software defectuosos, o que porcentaje de clientes compran software estadísticos.

Donde:

P: Proporción poblacional de éxitos o proporción de elementos de la población que tienen cierta característica.

población la de elementos de Número tica caracteris cierta tienen que población la de elementos de Número N X P= =

Q: Proporción poblacional de fracasos o proporción de elementos de la población que no tienen cierta características.

población la de elementos de Número tica caracteris cierta tienen no que población la de elementos de Número N X Q= ' = Además: P+ Q= 1 entonces Q= 1− P

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Generalmente la proporción poblacional se desconoce y tiene que ser estimado a través de la proporción muestral. Entonces:

p: Proporción muestral de éxitos o proporción de elementos de la muestra que tienen cierta característica.

muestra la de elementos de Número tica caracteris cierta tienen que muestra la de elementos de Número n x p= =

q: Proporción muestral de fracasos o proporción de elementos de la muestra que no tienen cierta característica.

muestra la de elementos de Número tica caracteris cierta tienen no que muestra la de elementos de Número n x q= ' = Además: p 1 q entonces 1 q p+ = = − 2. DEFINICION

Es el rango dentro del cual se encuentra la proporción poblacional con un nivel de confianza dado. L1 P L2 fig. 16

[

L ≤ P≤ L

]

= 1− α P | 2 1 - α α/2 α/2

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Para hallar los intervalos de confianza para la proporción poblacional usaremos la estadística Z para muestras grandes (n ≥ 30). Entonces los límites de confianza serán: n q p Z p s Z p L1 = − 0× p = − 0× ×

3. ERROR ESTÁNDAR DE LA PROPORCIÓN

Si el tamaño de la muestra es suficientemente grande (n ≥ 30). Si el muestreo es con o sin sustitución en una población infinita (o con sustitución en una población finita de tamaño N), el error estándar es:

n ) P 1 ( P p − × =

σ que se estima por:

n

)

p

1

(

p

s

p

=

×

Si el muestreo es sin sustitución en una población finita de tamaño N el error estándar para la proporción poblacional esta dado por:

1 N n N n Q P P = × × −

σ que se estima por

1 N n N n q p sp − − × × = Donde: 1 N n N − −

es el factor de corrección para población finita.

n q p Z p s Z p L2 = + 0 × p = + o × ×

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Ejemplo 1:

Un fabricante asegura que el porcentaje de ordenadores defectuosos es el 5%. El distribuidor decide comprobar la afirmación del fabricante seleccionando 100 ordenadores al azar y probándolos ¿Deberá sospechar el distribuidor de la afirmación del fabricante si se descubren un total de 19 unidades defectuosas de la muestra? Utilice un nivel de confianza del 99%.

Solución:

• Se desea estimar la proporción de ordenadores defectuosos

• Observamos que la proporción muestral de ordenadores defectuosos es:

81 . 0 q 19 . 0 100 19 p= = ⇒ =

• Para un nivel de confianza del 99% el valor de Z0 = 2.576

• El error estándar de la proporción muestral es:

04 . 0 100 81 . 0 19 . 0 n q p sp = × = × =

• Los límites de confianza para P son:

29 . 0 04 . 0 576 . 2 19 . 0 n q p Z p L 09 . 0 04 . 0 576 . 2 19 . 0 n q p Z p L 0 2 0 1 = × + = × × + = = × − = × × − =

• El distribuidor si debe sospechar de la afirmación del fabricante ya que el porcentaje de unidades defectuosas varía entre 9% y 29% con una confianza del 99%.

Ejemplo 2:

Se desea conocer la opinión de los alumnos de la Uladech en relación con la aceptación o no de la pena de muerte para los terroristas en el Perú. Para ello se ha tomado una muestra aleatoria simple de tamaño 500. Si las respuestas afirmativas han sido 100, encontrar un intervalo de confianza aproximado del 95%.

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Solución:

• Se desea estimar la proporción de alumnos de la Uladech que están de acuerdo con la pena de muerte para los terroristas en el Perú.

• Observamos también que la proporción muestral de personas que están a favor de la pena de muerte es:

80 . 0 q 20 . 0 500 100 n x p= = = ⇒ = .

• Para un nivel de confianza del 95%el valor de Z0 = 1.96.

• El error estándar de la proporción muestral es:

02 . 0 s 500 80 . 0 20 . 0 n q p s p p = × = × =

• Los límites de confianza para P son:

24 . 0 02 . 0 96 . 1 20 . 0 n q p Z p L 16 . 0 02 . 0 96 . 1 20 . 0 n q p Z p L 0 2 0 1 = × + = × × + = = × − = × × − =

• Se tiene una confianza del 95% que el porcentaje de estudiantes de la Uladech que afirman estar de acuerdo con la pena de muerte varía entre el 16% y 24%. Ejemplo 3:

En una investigación de mercadotecnia se logró determinar que, sobre una base de 1400 amas de casa entrevistadas de una población de 10000, 420 afirmaron que deserian tener Internet en su hogar. Establezca un intervalo de confianza del 99% para estimar el porcentaje de amas de casa que desearían tener Internet en su hogar.

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Solución:

• Se desea estimar la proporción de amas de casa que desearían tener Internet en su hogar.

• Observamos que N = 10000 y n = 1400

• Observamos también que la proporción muestral de amas de casa que desearían tener Internet en su hogar es:

70 . 0 q 30 . 0 1400 420 n x p= = = ⇒ = .

• Para un nivel de confianza del 99% el valor de Zo=2.576.

• El error estándar de la proporción muestral es:

01 . 0 s 1 10000 1400 10000 1400 70 . 0 30 . 0 s 1 N n N n q p s p p p = − − × × = − − × × =

• Los límites de confianza para P son:

33 . 0 01 . 0 576 . 2 30 . 0 s Z p L 27 . 0 01 . 0 576 . 2 30 . 0 s Z p L p 0 2 p 0 1 = × + = × + = = × − = × − =

• Se tiene una confianza del 99% que el porcentaje de amas de casa que desearían tener Internet en su hogar varia ente el 27% y 33%.

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TEMA 13: TAMAÑO DE MUESTRA CUANDO EL PARAMETRO ES LA PROPORCION PROBLACION USANDO EL MUESTREO ALEATORIO SIMPLE 1. CALCULO DEL TAMAÑO MUESTRAL USANDO EL MUESTREO ALEATORIO SIMPLE.

Característica de la Población Tamaño de la muestra

Tamaño de la población infinita o desconocido.

2 2 2 1 e Q P Z n= −α × ×

Tamaño de la población finita.

) 1 N ( e Q P Z N Q P Z n 2 2 2 / 1 2 2 1 − × + × × × × × = α − α − Donde: n Tamaño de la muestra. N Tamaño de la población. Z1-α/2

Valor correspondiente a la distribución de Gauss

Z0.975 = 1.96 para α = 0.05 y Z0.995 = 2.576 para α = 0.01.

(Utilizar Tabla II).

P Proporción poblacional de éxitos. En caso de no conocerse se estima por la proporción muestral (p) a través de una muestra piloto. En el caso más desfavorable se considera P=0.5

Q Proporción poblacional de fracasos.

e Error que se prevé cometer.

L1 P

p

L2

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Ejemplo 4:

Se sabe que 25 de cada 1000 objetos elaborados por una empresa son defectuosos. ¿De que tamaño conviene tomar una muestra para que la proporción estimada de defectuosos no difiera de la verdadera en mas de un 5% con un nivel de confianza del 95%?

Solución:

La proporción poblacional está dada por: 975 . 0 Q 025 . 0 1000 25 N X P= = = ⇒ =

• Para el nivel de confianza 1 – α = 0.95 el valor de Z0.975 = 1.96.

• e = 0.05

• La población es infinita o desconocida. La formula a utilizar será la siguiente:

Ejemplo 5:

Tomando como referencia el Ejemplo 2 ¿Que tamaño de muestra se debería tomar si se desea una precisión del 2.5%?

Solución:

• Sabemos que la proporción muestral de alumnos que están a favor de la pena de muerte es: 2 2 2 1 e Q P Z n = −α × × 2 2 05 . 0 975 . 0 025 . 0 96 . 1 n= × × objetos 37 44 . 37 n= ≅

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80 . 0 q 20 . 0 500 100 n x p= = = ⇒ = .

• Para un nivel de confianza del 95% el valor de Z0.975 = 1.96 • e = 0.025

• La población es infinita o desconocida. La formula a utilizar será la siguiente:

Ejemplo 6:

Se desea saber la proporción de jóvenes que piensan votar a un determinado partido político en la comunidad “X” de 5000 jóvenes en edad de votar, con una confianza del 99% y un error de la estimación máximo permitido de 3.5%. Determine el tamaño de la muestra en la hipótesis más desfavorable. (P=0.5)

Solución:

• La proporción poblacional de jóvenes que piensan votar por un partido político está dado por:

50 . 0 Q 50 . 0 P= ⇒ =

• Para un nivel de confianza del 99% el valor de Z0.995 = 2.576.

• e = 0.035

• La población es finita N=5000. La formula a utilizar será la siguiente:

) 1 N ( e Q P Z N Q P Z n 2 2 2 / 1 2 2 1 − × + × × × × × = α − α − ) 1 5000 ( 035 . 0 50 . 0 50 . 0 576 . 2 5000 50 . 0 50 . 0 576 . 2 n 2 2 2 − × + × × × × × = . jóvenes 1066 79 . 1065 n= ≅ 2 2 2 1 e q p Z n = −α × ×

Figure

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Referencias

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