Contraste de Hipótesis

(1)

(2)

Ejemplo

El peso de plantines de un arbusto forrajero, almacenado a temperatura y humedad relativa ambientes, obtenido a los 20 días desde la germinación es en promedio de 50 mg.

Se supone que la ventilación forzada del ambiente de almacenamiento aumentaría el vigor de los plantines y esto se debe reflejar en un aumento del peso.

(3)

La idea es: establecer su veracidad (o no). hipótesis estadística herramientas estadísticas hipótesis científica

tomar una decisión

Introducción

la ventilación forzada

aumentaría el vigor de los plantines

(4)

 Supongamos un modelo para

explicar la variación observada de la variable respuesta i i

Y

 

 

error aleatorio media de la distribución de la variable Y peso seco del i-ésimo

plantín observado en un experimento en el que se almacena con ventilación forzada

(5)

Bajo condiciones ambientales de almacenaje la variable peso de plantines tiene



=50mg.

¿cómo podría ser el valor de



bajo otra condición?

Construcción de una prueba

estadística de hipótesis

(6)

H₀:   50 vs. H₁:  > 50 H₀:   50 vs. H₁:  < 50

Las hipótesis a plantear dependen de lo que

esperamos que ocurra bajo la nueva condición. Así: El peso promedio será diferente a 50 mg El peso promedio será mayor a 50 mg El peso promedio será menor a 50 mg H₀:  = 50 vs. H₁:  ≠ 50

Construcción de una prueba

estadística de hipótesis

(7)

Las hipótesis:

H₀:   50 vs. H₁:  > 50 El peso promedio será mayor a 50 mg

Construcción de una prueba

estadística de hipótesis

 _{Son proposiciones sobre uno o más}

parámetros de la distribución de la variable aleatoria en estudio.

Hipótesis nula

Hipótesis

alternativa _H

(8)

¿Cómo validar el modelo?

experimentación observación

¿lo observado tiene diferencias significativas

con lo esperado según el modelo propuesto?

procedimiento de decisión

(9)

Construcción de una prueba estadística de hipótesis

 Planificar el experimento o el esquema

muestral para obtener datos que permitan la validación (o no) de la hipótesis sometida a prueba.

(10)

 Experimento:

Se registra el peso de 25 plantines obtenidos de semillas mantenidas bajo las nuevas condiciones de

almacenamiento.

Construcción de una prueba

estadística de hipótesis

(11)

 De la muestra de tamaño n=25 es

posible estimar la media y la varianza de la distribución de pesos.

 _{Supongamos que la media y}

varianza muestral son iguales a 53 y 16, respectivamente.

Construcción de una prueba

estadística de hipótesis

(12)

Construcción de una prueba

estadística de hipótesis

 Seleccionar o construir un

estadístico cuya distribución queda completamente especi-ficada bajo la hipótesis nula (*)

(*) Se supone que lo que se especifica en H₀ es cierto

(13)

 El estadístico apropiado para el

contraste debe involucrar al

estimador y al valor del parámetro de interés.

Construcción de una prueba

estadística de hipótesis

2 ~ (0;1) Y Z N n     ₁ 2 ~ n Y T t S n    

(14)

 Queremos identificar, a partir de la distribución del estadístico,

cuando la hipótesis nula es cierta, los valores usuales del mismo bajo muestreo reiterado.

Construcción de una prueba

estadística de hipótesis

(15)

 _El_estadístico_{apropiado, suponiendo}

que el tamaño de muestra es n=25 y que la varianza (2) desconocida es estimada desde la muestra por S2, es el estadístico T de Student:

53 50

16 25

T  

Construcción de una prueba

estadística de hipótesis

(16)

Construcción de una prueba

estadística de hipótesis

La distribución del estadístico especificada bajo H₀ permite asignar probabilidades a la ocurrencia de valores del estadístico.

-5.22 -2.61 0.00 2.61 5.22 Variable 0.00 0.10 0.20 0.30 0.39 D e n si d a d Función de densidad Tt ₂₄

(17)

Construcción de una prueba

estadística de hipótesis

¿Cómo decidir sobre la H₀ en base a los valores del estadístico?

Se hace necesario establecer una regla de decisión

(18)

Construcción de una prueba

estadística de hipótesis

¿Cuáles son los eventos que conducen a

no rechazar (aceptar) o a rechazar la H₀?

Es necesario establecer el nivel de significación () de la prueba.

Usualmente = 0.05 o 0.01 Nivel de significación

(19)

Construcción de una prueba

estadística de hipótesis

Región o zona de aceptación de H₀ Región o zona de rechazo de H₀

De acuerdo a las hipótesis planteadas y al nivel de significación elegido, se de-terminan los valores del estadístico que conducen a no rechazar (aceptar) o a rechazar la H₀

(20)

Tomando =0.05 y dado que:

Construcción de una prueba

estadística de hipótesis

H₀:   50 vs. H₁:  > 50

La zona de rechazo de H₀ se encuentra en la cola derecha de la distribución del estadístico

Contraste unilateral

(21)

-3.00 -2.57 -2.14 -1.71 -1.29 -0.86 -0.43 0.00 0.43 0.86 1.29 1.71 2.14 2.57 3.00 Variable 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 D e n si d a d T Student(24): p(evento)=0.0500

Distribución del estadístico bajo H₀

Zona de aceptación de H₀

Construcción de una prueba

estadística de hipótesis

Contraste unilateral derecho Punto crítico  1 - 

(22)

¿Cómo decidir sobre la H₀?

Comparando el valor del estadístico calculado en base a los datos de la

muestra, con el punto crítico

establecido según el valor de  y el tipo de contraste.

Construcción de una prueba

estadística de hipótesis

(23)

 El valor del estadístico con los

datos de la muestra es:

53 50 3 15 3.75 4 ₄ 16 5 25 T     



Dado que 3.75 supera al punto crítico 1.71, se rechaza la hipótesis nula.

Construcción de una prueba

estadística de hipótesis

(24)

Construcción de una prueba

estadística de hipótesis



El rechazo de la H

₀

conduce

a proponer el uso de

ventilación forzada para el

almacenamiento de las

(25)

Valor p

 Utilizando la distribución teórica se

puede obtener la probabilidad de observar en la experiencia valores del estadístico iguales o más extremos que el resultado obtenido a partir de los datos experimentales, dado que H₀ es verdadera

Construcción de una prueba

estadística de hipótesis

(26)

Valor p

 _{Si el valor p es menor que el nivel de}

significación (), se rechaza la hipótesis nula. En caso contrario se concluye que los datos no contradicen la hipótesis nula.

Construcción de una prueba

estadística de hipótesis

(27)

 _{La probabilidad de obtener un}

valor T igual o mayor al observado, si se cumple la hipótesis nula de que el peso medio es igual a 50, es:

P(T>3.75) = 0.00049 = Valor p. Valor p en el ejemplo dado

Construcción de una prueba

estadística de hipótesis

(28)

 Como 0.00049 < 0.05, se

rechaza la hipótesis nula.

 Los datos contradicen H₀.

Valor p en el ejemplo dado

Construcción de una prueba

estadística de hipótesis

(29)

Planteadas las hipótesis, elegido el estadístico y fijado el nivel de

significación, se determinan la

zona de no rechazo y la zona de rechazo de H₀

Construcción de una prueba

estadística de hipótesis

(30)

H₀:  = 50 vs. H₁:  ≠ 50 Contraste bilateral Tipos de contrastes H₀:   50 vs. H₁:  > 50 Contraste unilateral derecho H₀:   50 vs. H₁:  < 50 Contraste unilateral izquierdo

Construcción de una prueba

estadística de hipótesis

(31)

Zona de aceptación de H₀ Zona de rechazo

Punto crítico 1 Punto crítico 2 ₀ /2 1 -  Zona de rechazo /2 H₀:  = ₀ H₁:  ≠ ₀ Distribución del estadístico bajo H₀ Contraste bilateral

Construcción de una prueba

estadística de hipótesis

(32)

Distribución del estadístico bajo H₀ Contraste unilateral izquierdo Zona de aceptación de H₀  Zona de rechazo 0 H₀:   ₀ H₁:  < ₀ Punto crítico

Construcción de una prueba

estadística de hipótesis

(33)

H₀:   ₀ H₁:  > ₀ Distribución del estadístico bajo H₀ Contraste unilateral derecho  Zona de rechazo Zona de aceptación de H₀ ₀ 1 -  Punto crítico

Construcción de una prueba

estadística de hipótesis

(34)

En resumen...

 Una hipótesis estadística es una proposición sobre los parámetros de un modelo estadístico para la variable de respuesta

 La hipótesis estadística que se somete a prueba se conoce como hipótesis nula y se simboliza con H₀

 Cuando la hipótesis nula se rechaza, se concluye a favor de la hipótesis alternativa que se simboliza con H₁

Construcción de una prueba

estadística de hipótesis

(35)

Tanto cuando no se rechaza la hipótesis nula como cuando se rechaza, es

posible cometer errores

(36)

Contraste de Hipótesis

Frente a una hipótesis nula se toma una decisión

o Aceptar H0 Es correcto si H₀ es verdadera pero incorrecto si fuese falsa Rechazar H₀ Es correcto si H₀ es falsa pero incorrecto si fuese verdadera Errores

(37)

Contraste de Hipótesis

 La hipótesis nula es cierta y se

rechaza erróneamente

 _{La probabilidad de cometer este}

tipo de error está bajo control del experimentador. Su máximo valor se simboliza con  y recibe el

nombre de nivel de significación

(38)

 En el ejemplo de los plantines el error

de tipo I tiene una probabilidad máxima de 0.05

(39)

 _{La hipótesis nula es}_falsa_y_{no se}

rechaza

 La probabilidad de cometer este

tipo de error se denomina



(40)

 La probabilidad de cometer este

tipo de error queda determinada por:

 el nivel de significación  el tamaño muestral

 _la _{magnitud de la discrepancia}

entre la hipótesis postulada y la situación verdadera.

(41)

 _{Para calcular la probabilidad de}

cometer este tipo de error se debe suponer el verdadero valor para la media de la población

(42)

Punto crítico 1 Punto crítico 2 Zona de aceptación de H₀ Zona de rechazo 0 /2 1 -  Zona de rechazo /2  ( -₀)/(/n) Contraste de Hipótesis

(43)

Potencia

 _{Se define a la potencia como:}

 Esta probabilidad es una medida de

la potencialidad que se tiene en un experimento para detectar que la

hipótesis nula es falsa.

 = 1- 

(44)

Potencia

 En la planificación de un

experimento, ¿cuál debería ser el tamaño de la muestra (o número de repeticiones) para tener una alta

probabilidad de detectar una

diferencia dada entre la media verdadera y la postulada en la hipótesis nula?

(45)

Potencia

 ¿Cuál es el tamaño muestral (o

número de repeticiones)

necesario para detectar una

diferencia entre la media

verdadera y la postulada en la hipótesis nula, con una potencia

de por ejemplo 0.8 o más?