Contenido
1. Funciones de
R
n1
Funciones de
R
n
a
R
1: Funciones, límites y continuidad
Una función de varias variables
R
2a
R
tiene la forma:
f
(
x, y
) =
z
donde
x, y
∈
D
⊆
R
2.
y x z y x z x y f(x, y) =x2+y23 y x z y x z x y f(x, y) = sin(x+ siny) y x z y x z x y f(x, y) =x2−y2 y x z y x z x y f(x, y) =−8y/(x2+y2+ 1)
Definición:seafuna función de dos variables con dominioD. Decimos queLes límite def(x, y)cuando(x, y)
se apróxima a(a, b), quedando escrito como l´ım
(x,y)→(a,b)f(x, y) =L, si para todoǫ >0, existeδ >0, tal que si
|(x, y)−(a, b)|< δ, entonces|f(x, y)−L|< ǫ.
Ejercicio:Mostrar que l´ım
(x,y)→(0,0)
x2−y2
x2+y2 no existe. Si nos aproximamos al(0,0)por el ejex, es deciry= 0,
entonces tenemos x
2−y2
x2+y2 =
x2
x2 = 1. Por el contrario si nos aproximamos al(0,0)por el ejey, es decirx= 0,
entonces tenemos x
2−y2
x2+y2 =
−y2
y2 =−1. Lo que significa que el(x,yl´ım)→(0,0)
x2−y2
x2+y2 no existe.
Ejercicio:Mostrar que l´ım
(x,y)→(0,0)
xy
x2+y2 no existe. En este caso si nos acercamos por los ejesxoyal(0,0)en
ambos casos 0
y2 = 0y
0
x2 = 0, pero si nos acercamos por la rectax=y
xy x2+y2 = x2 x2+x2 = 1 2, por lo tanto el
4
Ejercicio: Mostrar que l´ım
(x,y)→(0,0)
xy2
x2+y4 no existe. En este caso, para cualquier línea y = mx, tenemos
x(mx)2
x2+ (mx)4 =
m2x3 x2+ (mx)4 =
m2x
1 +m4x2 que tiende a0si(x, y) →(0,0). Pero si nos acercamos por la
pa-rábolax=y2, tenemos xy 2 x2+y4 = y4 x4+y4 = 1
2, esto quiere decir que el límite tampoco existe.
Definición:seaf una función de dos variables con dominioD. Decimos quef(x, y)es continua en(a, b) si
l´ım
(x,y)→(a,b)f(x, y) =f(a, b).fes continua enD, si es continua en todos los puntos deD.
2: Derivadas
Para funciones de varias variables existen diferentes derivadas: 1. Derivadas parciales.
2. Derivadas direccionales. 3. Derivada.
Derivadas Parciales
La derivada, al igual que en cálculo de una variable, es un límite. La derivada existe en un puntoa ∈ Den el dominio de la función si el límite existe. En el caso de varias variables, primero se considera el caso, de aproximarse por los ejesxyy, entonces decimos que existen las derivadas parciales, respecto axo ay. Sif(x, y)es la función, la derivada respecto ax, tomando aycomo constante, se denota comofx(x, y)ofxo∂f
∂x. Análogamente la derivada
parcial respecto ay, existe si el limite al aproximarse al punto considerado por el ejey. Denotamos a la parcial respecto aycomofy(x, y)ofyo∂f
∂y.
Por otra parte si nos aproximaos al punto en cuestión por una línea rectay = axo equivalentemente por la dirección del vectoru, entonces decimos que existe la derivada direccional defu(x, y). Por su puesto las derivadas parciales son las derivadas direccionales pori,jok.
Finalmente la derivada (a secas) de una función de varias variables existe, si existe el límite cuándo nos aproxi-mamos por cualquier lugar. Generalmente se denota porDf(x, y).
Hecho : sif(x) :R→R, entoncesL(x) =f(x0) +f′(x0)(x−x0), es decirL(x)es una línea que aproxima a
f(x)cerca dex0.
En el casoR2 →R,L(x, y)la derivada de una funciónf(x, y) :R2→Res la matriz
∂f ∂x, ∂f ∂y . En el casoR3 →R,L(x, y)la derivada de una funciónf(x, y, z) :R3→Res la matriz
∂f ∂x, ∂f ∂y, ∂f ∂z . En general para funciones deRn →
R,L(x1, .., xn)la derivada de una funciónf(x) : Rn →Res la matriz
∂f ∂x1 , ∂f ∂x2 , ..., ∂f ∂xn . El vector ∂f ∂x1 , ∂f ∂x2 , ..., ∂f ∂xn
también es llamado el gradiente defy denotado como∇f. Para el caso generalf:Rn→
Rmla derivada se convierte en la matriz Jacobiana. J(f) = ∂y1 ∂x1 · · · ∂y1 ∂xn .. . . .. ... ∂ym ∂x1 · · · ∂ym ∂xn
5 Ejercicio:Seaf(x, y) =xexy , entoncesfx=xyexy+exy . Notación:fxx= ∂ 2f ∂x2,fxy= ∂2f ∂y∂x,fyx= ∂2f ∂x∂y.
Teorema de Clairaut: Sifestá definida en el discoDy(a, b) ∈D. Si las funcionesfxy, fyxson continuas en
D, entoncesfxy(a, b) =fyx(a, b). Regla de la cadena en una variable: Sabemos que(f◦g)′ (x) =f′ (g(x))g′ (x)o df dx= df dy dy dxdondey=g(x).
Regla de la cadena en dos variable: Seaz=f(x, y), yx=g(t), y=h(t), todas diferneciables, entonces
dz dt = ∂f ∂x dx dt + ∂f ∂y dy dt
Ejercicio:SeaS(w, h) = 0,1091w0,425h0,725la función que relaciona la superficie (pies cuadrados) del cuerpo
de una persona en función de su pesow(el libras) y la alturah(en pulgadas). Encuentre la tasa a la cualScambia si
dw dt = 10lb/año y dh dt = 2,3pul/año,w= 100lb, yh= 60pul. ComodS dt = ∂S ∂w dw dt + ∂S ∂h dh dt = (0,1091)(0,425)w−0,575h0,725dw dt + (0,1091)(0,725)w 0,425h−0,275dh dt = (0,1091)(0,425)(100)−0,575(60)0,725(10) + (0,1091)(0,725)(100)0,425(60)−0,275(2,3) = 1,057
Regla de la cadena en dos variable: Seaz=f(x, y), yx=g(s, t), y=h(s, t), todas diferneciables, entonces
dz ds = ∂f ∂x ∂x ∂s + ∂f ∂y ∂y ∂s dz dt = ∂f ∂x ∂x ∂t + ∂f ∂y ∂y ∂t
Derivadas Direccionales
Sif(x, y, z)es diferenciable, la derivada direccional def en dirección del vector unitario u= (a, b, c)
es:
Duf(x, y) =∇(f)·u
Duf(x, y) =fxa+fyb+fzc
Regla de la cadena en dos variable: Supongamos quefes diferenciable. El valor valor máximo deDuocurre cuandoutiene la misma dirección que∇f, y el valor es|∇f|.
6
Máximos y mínimos
1. Una funciónf(x, y)tiene un máximo local, sif(x, y)≤f(a, b)en una vecindad de(a, b). 2. Una funciónf(x, y)tiene un mínimo local, sif(x, y)≥f(a, b)en una vecindad de(a, b).
Siftiene un máximo o mínimo local, entoncesfx(x, y) = 0.yfy(x, y) = 0
Supóngase que las segundas derivadas parciales de f son continuas en una vecindad de (a, b), y
fx(a, b) = 0yfy(a, b) = 0. D= fxx fxy fyx fyy Entonces: 1. SiD >0, yfxx>0,f(a, b)es unmínimo local. 2. SiD >0, yfxx<0,f(a, b)es unmáximo local. 3. SiD <0, yfxx>0,f(a, b)es unpunto silla.
Multiplicadores de Lagrange
Para encontrar los máximos o mínimos def(x, y, z)sujeto a la restriccióng(x, y, z) =k:
1. Encontrar los valoresx, y, zyλtales que:∇f(x0, y0, z0) =λ∇g(x0, y0, z0)yg(x, y, z) =k
2. Evaluar los puntos de paso anterior, el valor más grande es el máximo, el valor más pequeño es el mínimo.
