FUNDAMENTOS F´ISICOS DE LA INGENIER´IA. CURSO 2002/2003. PRIMERO INGENIERO DE TELECOMUNICACI ´ON.
TERCERA PRUEBA DE SOBRENOTA: RELATIVIDAD SOLUCI ´ON DETALLADA
1. Dos tipos distintos de part´ıculas elementales, A y B, se lanzan por la misma tuber´ıa. Las part´ıculas de cada tipo se lanzan a la vez, y se mide cu´antas sobreviven al llegar a la salida del tubo. La semivida de A es el doble de la B. El n´umero de part´ıculas del tipo A que se lanza es el mismo que el n´umero de part´ıculas del tipo B. Tambi´en ocurre que el n´umero de part´ıculas del tipo A que llega al final del tubo es el mismo que el n´umero de part´ıculas de tipo B que llega al final del tubo. Sea vA la velocidad con la que se lanzan las part´ıculas A y vB la velocidad con la que se lanzan las part´ıculas B. Entonces:
× 2vA> vB 2vA< vB 2vA=vB Soluci´on.
La ley de desintegraci´on de part´ıculas elementales es exponencial. SiNoes el n´umero de part´ıculas inicial y N(t) el n´umero en el instante t, entonces:
N(t) =Noe−αt, (1)
dondeαes una constante para cada especie de part´ıculas denominada constante de desintegraci´on. La semivida (t1/2) es el tiempo que tiene que transcurrir para que se desintegren la mitad de las part´ıculas. Es decir: No →t1/2→ No 2 → (1)→ No 2 =Noe −αt1/2 =⇒t 1/2 = ln 2 α .
En nuestro problema nos dicen que tA1/2 = 2tB1/2 y NoA =NoB. Tambi´en nos dicen que el n´umero de part´ıculas del tipo A que llega al final del tubo es el mismo que el de tipo B.
Podemos usar (1) para relacionar este n´umero con el de part´ıculas iniciales; para ello hay que tener en cuenta que dicha ley s´olo es v´alida para un sistema de referencia en el que las part´ıculas est´an en reposo (sistema propio), por lo que, si denominamostA(tB) al tiempo propio de viaje de las part´ıculas de tipo A (B), tendremos:
N(tA) = Noe−t A ln 2 tA1/2 N(tB) =Noe−t B ln 2 tB1/2 =⇒ Noe −tA ln 2 tA1/2 =Noe−t B ln 2 tB1/2 , (2)
ya que en el enunciado nos dicen que N(tA) =N(tB).
Finalmente, veamos como est´an relacionadastAy tB con las velocidadesvAyvB y con la longitud del tubo (llamemos La su longitud propia).
Para las part´ıculas de tipo A (B) el tubo viaja con velocidad vA (vB), y tiene una longitudL/γA (L/γB).
vA= L/γA tA =⇒ t A = L γAvA, vB = L/γB tB =⇒ t B = L γBvB,
que sustituidas en (2) dan:
e− L γAvA2ln 2tB1/2 =e− L γBvBtBln 21/2 =⇒ γBvB = 2γAvA. (3) De aqu´ı deducimos que si vB > vA entonces γB > γA, y dividiendo (3) entre γA:
2vA = γB
γAvB > vB .
2. Los sistemas de referencia S y S’ est´an en la configuaraci´on est´andar. En los puntos de S’ de coordenadas (0,0,0) y (0,1,0) ocurren simult´aneamente dos sucesos. ¿Son tambi´en simult´aneos en S?
× S´ı, porque los puntos se encuentran situados sobre el eje O’Y’ y el movimiento relativo se da a lo largo del eje OX.
No, aunque los puntos se encuentren situados sobre el eje O’Y’ y el movimiento relativo se d´e a lo largo del eje OX.
Necesitar´ıamos conocer la velocidad relativa de S respecto de S’ para responder la pregunta. Soluci´on.
Llamemos A y B a los dos sucesos que son simult´aneos en S’: A: xA= 0, yA = 0, zA = 0, tA =τ.
B : xB = 0, yB = 1, zB = 0, tB=τ.
Usemos ahora la transformaci´on de Lorentz para calcular sus coordenadas en S: tA =γ(tA+cv2xA) =γτ
tB =γ(tB+ cv2xB) =γτ
=⇒ tA =tB .
Vemos que si A y B eran simult´aneos en S’, para que lo sean en S basta que tengan la misma x, aunque la y o/y la z sean distintas pues el movimiento relativo entre los sistemas S y S’ se produce en la direcci´on del eje x.
3. Dos espejos, uno frente al otro, pueden servir de curioso reloj. Para ello, un pulso de luz se genera en la proximidad de uno de ellos, de suerte que si sus superficies son paralelas, el pulso de luz estar´a yendo y viniendo de un espejo a otro indefinidamente; as´ı, las sucesivas reflexiones marcan el ritmo del reloj. Tres relojes id´enticos de este tipo se sit´uan: uno de ellos en la estaci´on, y los otros dos viajan en un tren. El que est´a en la estaci´on tiene las superficies de sus espejos normales a las v´ıas. Uno de los que va en el tren tiene la misma orientaci´on que el de la estaci´on, mientras que el otro que va en el tren es perpendicular el primero. ¿Cu´al retrasa m´as respecto al de la estaci´on?
El paralelo. × Los dos igual.
El perpendicular. Soluci´on.
Para el observador del tren es evidente que los dos “relojes” que viajan con ´el funcionan sin-cr´onicamente. Como la dilataci´on del tiempo es un fen´omeno que no depende de la ubicaci´on de los relojes en cada sistema, sino s´olo del movimiento relativo de los sistemas, concluimos que nuestros dos relojes (ya los podemos escribir sin entrecomillar) atrasar´an lo mismo.
Ahora lo veremos num´ericamente. Llamemos t⊥(t) al tiempo que tarda un pulso de luz en ir de un espejo a otro y volver (periodo del reloj) en el reloj cuyos espejos son perpendiculares (paralelos) a las v´ıas, medido por el observador del tren. Si L es la separaci´on propia entre los espejos:
t⊥ =t =
2L
c . (4)
Ambos tiempos son tiempos propios(miden la separaci´on temporal entre dos sucesos que ocurren en el mismo punto), por tanto, el periodo de cada reloj observado desde la estaci´on ser´a:
t⊥=γt⊥
t =γt
=⇒(4) t⊥=t . Por tanto, ambos relojes atrasan lo mismo.
4. *****************************************************************
5. Los sistemas referencia S y S’ tienen sus ejes paralelos y coincidentes en el instante inicial (seg´un ambos). El eje OY desliza respecto a O’Y’ en el sentido de las Y’ negativas con celeridad v. Entonces:
x=γx
× t=γ(t+ cv2y) y =γ(y−vt) Soluci´on.
La configuraci´on est´andar que nos describen en el enunciado es la de la figura (1). Sin embargo, nosotros conocemos las ecuaciones de la configuraci´on est´andar dada por un movimiento relativo en el sentido del eje OX tal y como muestra la figura (2):
S y x x´ y´ S´ figura (1)
¿?
O´ O v S y x x´ y´ S´ figura (2) v O´ OObservamos en las figuras que si en la configuraci´on est´andar de la figura (2) intercambiamos los nombres de lasx con los de las y obtendremos la configuraci´on est´andar de la figura (1). As´ı:
x =γ(x−vt) t =γ(t− cv2x) y =y ⇐⇒ x=γ(x+vt) t=γ(t− cv2x) y =y.
Y, tras hcer el cambio en la transformaci´on de Lorentz reflejada en la figura (2): y =γ(y−vt) t =γ(t− cv2y) x =x ⇐⇒ y=γ(y+vt) t=γ(t− cv2y) x=x.
Obtenemos as´ı la respuesta a la cuesti´on ya que s´olo una de las respuestas verifica estas expresiones, las dem´as ser´an falsas. ´Esa es:
t=γ(t− v c2y
).
6. Los sistemas referencia S y S’ tienen sus ejes paralelos pero no coincidentes en el instante inicial de S’. El eje O’X’ desliza respecto a OX en el sentido de las X positivas con celeridad v. En el instante inicial de S’ el eje O’Y’ se encuentra a una distancia d de OY, seg´un el sistema de referencia ligado a S, estando el origen de S’ sobre un punto de eje OX de coordenada X negativa. Entonces:
× x=γ(x+vt)−d x=γ(x+vt) x=γ(x+d+vt) Soluci´on.
Nos dicen que en el instante en que S’ pone sus relojes “a cero” (t=0) un observador en S observa el origen O’ de S’ en un punto de coordenadas x = −d, y = 0 (ver figura, que representa una “foto” correspondiente al instante inicial de S’. Si se pudieran ver en la foto, todos los relojes de S’ marcar´ıan “cero”, mientras que los relojes de S marcar´ıan un tiempo distinto en cada posici´on de la foto). S y x x´ y´ S´ O´ O d
Aunque cada reloj de S marcar´a un tiempo distinto seg´un su posici´on en la foto, el enunciado no dice nada acerca de cu´ando o c´omo se pusieron a cero los relojes de S.
Supondremos que S pone sus relojes a cero cuando observa que el reloj de S’, que pasa por su origen (el reloj de S’ que est´a en A. Ver figura), marca cero.
S y x x´ y´ S´ O´ O A
Como los sistemas S y S’ no est´an en la configuraci´on est´andar (ya que sus or´ıgenes no coinciden en el instante t = 0), no podemos usar la transformaci´on de Lorentz directamente. Lo que haremos es introducir un nuevo sistema (S”), que como observador coincide con S’ (est´a r´ıgidamente unido a ´el), pero con origen en el punto A de la figura anterior cuya coordenada en S’ la llamaremos: xA=a.
Los relojes de S” los pondremos a cero a la vez que en S’, y como entre S’ y S” no hay movimiento, para cualquier suceso se tendr´a:
x =x−a,
t =t. (5)
As´ı que tenemos:
suceso coordenadas en S coordenadas en S coordenadas en S A x =a; t = 0 x= 0 ; t = 0 x= 0 ; t= 0 B x = 0 ; t = 0 x=−a; t = 0 x=−d;t =τ
Donde hemos denominado τ al instante, medido en S, en que el reloj de S’ en su origen marca cero (aunque los sucesos A y B sean simult´aneos en S’, la “relatividad de la simultaneidad” nos advierte que no ocurrir´a as´ı en S).
Nuestra elecci´on de S” nos garantiza que se encuentre en la configuraci´on est´andar respecto a S. Por tanto, las coordenadas de sus sucesos estar´an ligadas entre s´ı por medio de la transformaci´on de Lorentz. En concreto:
Si ahora particularizamos (6) para el suceso B obtenemos la relaci´on que hay entre a y d: −d=γ(0−a+v·0) =⇒ a= d
γ, que llevado a (6) nos da finalmente:
x=γ(x+vt)−d .
7. Un tren viaja en l´ınea recta a velocidad v sobre las v´ıas. Un revisor recorre el tren desde el vag´on de cola hasta la m´aquina pidiendo los billetes. El tiempo que tarda el revisor en hacer su trabajo es t seg´un el sistema de referencia ligado a las v´ıas, y t seg´un el sistema de referencia ligado al tren. Entonces la relaci´on entre t y t es:
t =t/ 1− vc22 t =t/ 1− vc22
× Ninguna de las anteriores. Soluci´on.
Llamaremos τ al tiempo que el revisor tarda en recorrer el tren cuando lo mide el propio revisor (tiempo propio), lo llamaremos tR cuando lo mide un observador en la estacion y tR cuando lo mide un observador en el tren. La f´ormula de dilataci´on del tiempo nos dice que:
tR =γRτ ; γ1R =
1− v2R
c2 ; vR=velocidad del revisor respecto a la estacion.´
tR=γR τ ; γ1
R =
1− v2R
c2 ; vR=velocidad del revisor respecto al tren.
Por tanto, tR = (γRtR)/γR , que no coincide con ninguna de las dos primeras respuestas del enunciado (en ´este se denominat y t a lo que nosotros llamamostR y tR respectivamente).
8. Un cilindro recto tiene igual altura que di´ametro de la base. Se pone en movimiento respecto a S, sufriendo el efecto relativista de la contracci´on de la longitud. Consid´erense dos casos:
A) Que el movimiento lleve la misma direcci´on que el eje del cilindro B) Que el movimiento sea perpendicular al eje del cilindro
¿En que caso el volumen del cilindro medido porS habr´a disminuido m´as? En A.
En B.
× En los dos igual. Soluci´on.
Caso A.
El cilindro se transforma en otro cilindro de la misma base, pero cuya longitud se ve contraida en el factor γ (ver figura).
S y x z Dirección del movimento a/( a
Por tanto, el nuevo volumen ser´a: π(a/2)2(a/γ) = πa3/4γ, donde a representa el di´ametro de la base (dos veces el radio) y la altura (propios del cilindro).
Caso B. Ahora la longitud del cilindro no se ve afectada, pero la base se deforma como conse-cuencia de la contracci´on en la direcci´on del movimiento (ver figura).
S y x z Dirección del movimento a a/( =⇒ S y x O Dirección del movimento A vt x z
El sistema S se ha elegido de manera que el eje z coincida con el eje del cilindro en el instante t=0. Dividamos la base en segmentos paralelos a la direcci´on del movimiento (eje OX). En la figura, x e y fijan la posici´on de uno de estos segmentos, y z marca la posici´on del mismo segmento sin deformar. La contracci´on viene dada por el factor γ:
x−vt= z−vtγ (z−vt)2+y2 =a2(de la figura) =⇒ [γ(x−vt)]2+y2 =a2 ⇐⇒ (x−vt) 2 (a/γ)2 + y2 a2 = 1. As´ı vemos que la base quedar´a deformada en forma de elipse cuyo semieje mayor ser´a de longitud a y el menor de a/γ.
Por tanto el ´area de la base ser´a: π(a/2)(a/2γ) =πa2/4γ. Que al multiplicarla por la altura nos queda: πa3/4γ.
Por lo que, en conclusi´on, en los dos casos el volumen disminuye en igual medida.
9. Una pista tiene forma de tri´angulo equil´atero. Sobre el v´ertice A hay un reloj siempre en reposo respecto a la pista, R. En una carrera de relevos, el corredor 1 va de A a B, el corredor 2 de B a C, y el corredor 3 de C a A, todos ellos movi´endose siempre de forma inercial. En cada v´ertice, el “testigo” que un corredor le pasa al otro es simplemente la lectura del reloj que cada uno porta. Entonces:
1, 2 y 3 dicen que el reloj R va m´as lento que cada uno de los suyos, de forma que a la llegada de 3, el reloj R marcar´a un tiempo menor.
A la llegada de 3 su reloj marcar´a el mismo tiempo que R.
× 1,2 y 3 dicen que el reloj R va m´as lento que cada uno de los suyos, pero que incluso as´ı, a la llegada de 3, el reloj R marcar´a un tiempo mayor.
Llamemos ∆ti a la duraci´on propia de la carrera del corredor i. Y llamemos ti al tiempo que marca el cron´ometro del corredor i al terminar su carrera.
De acuerdo con el enuciado tendremos:
t1 = ∆t1 ; t2 = ∆t1+ ∆t2 ; t3 = ∆t1+ ∆t2+ ∆t3.
Llamemos ahoratij a la duraci´on de la carrera deiaj medida por un reloj ligado a la pista (reloj R). La teor´ıa de la Relatividad nos dice que:
tij =γi∆ti, es decir : tAB =γ1∆t1, tBC =γ2∆t2, tCD =γ3∆t3.
Por tanto, el tiempo que el reloj R marcar´a cuando el corredor 3 llegue a A ser´a: tR =tAB+tBC +tCA =γ1∆t1+γ2∆t2+γ3∆t3 .
Y as´ı: tR> t3 = ∆t1 + ∆t2+ ∆t3 , puesto que γ1, γ2, γ3 >1.
10. Un tren pasa a velocidadc/2,por delante de la estaci´on de un pueblo. Para saludar a los viajeros, los lugare˜nos se sit´uan a lo largo de la v´ıa, y agitan sus pa˜nuelos hacia arriba y hacia abajo (una sola vez). Si desde el sistema de referencia ligado al tren, todos los pa˜nuelos suben y bajan simult´aneamente. ¿C´omo se mueven los pa˜nuelos, observados desde la estaci´on?
Tambi´en todos a la vez.
Como una “ola”, corriendo a velocidad c/2. × Como una “ola”, corriendo a velocidad 2c. Soluci´on.
Sea S ligado a la estaci´on y S’ ligado al tren, ambos en la configuraci´on est´andar. Cada lugare˜no quedar´a definido por su coordenada en S. Llamemosi al suceso consistente en que el lugare˜no xi agita su pa˜nuelo. Las coordenadas de este suceso ser´an:
i≡(xi, ti)S ≡(xi, τ)S, donde τ es igual para todo i seg´un el enunciado.
Ambas coordenadas est´an ligadas por la transformaci´on de Lorentz: xi =γ(xi−vti);
ti =τ =γ(ti− cv2xi) =⇒ ti = τγ +cv2xi.
(7)
De (7) deducimos que en S cada lugare˜no (xi) agita su pa˜nuelo en un tiempo distinto (ti). Para saber c´omo se suceden las diferentes agitaciones consideremos en S dos instantes muy pr´oximos (infinitamente pr´oximos)ti yti+dti. Despejandoxi en la expresi´on (7) podemos hallar la relaci´on entre la posici´on del lugare˜no “i” y el instante ti en que agita su pa˜nuelo:
xi = c
2
v (ti− τ γ).
Y la velocidad con la que se desplaza en S el “frente” de agitaci´on de pa˜nuelos ser´a: vp = dxi
dt = c2
v , y, como en el enunciado se dice que v =c/2, nos quedar´a:
vp = c
2
c/2 = 2c , es decir, el frente se desplazar´a como una ola de velocidad 2c.