Solución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

(1)

V

Soluci´

on de Ecuaciones

Diferenciales Ordinarias

V.1 Introducci´

on

V.1.1 Problema

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función indeterminada y(t) y sus derivadasy0(t), y00(t), . . .junto concondiciones inicialeso defrontera. Una solución para la ecuación diferencial es una función que satisface la ecuación y las condiciones iniciales. Estas ecuaciones aparecen en el modelamiento matemático de todo tipo de sistemas. Por ejemplo, el ángulo θ que un péndulo forma con la vertical satisface la ecuación diferencial

d2_θ

dt2 +

g

Lsinθ = 0 con las condiciones iniciales

θ(0) =θ0, θ0(0) =θ00.

Aunque para algunas clases particulares de ecuaciones existen métodos para determinar soluciones, este no es el caso en general. Por lo tanto es importante la posibilidad de obtener soluciones numéricas. El objetivo aqu´ı es estudiar algunos métodos para la solución numérica de algunas clases importantes de ecuaciones diferenciales.

Aqu´ı inicialmente, y la mayor parte del tiempo, nos restringimos al problema de valor inicial

(PVI), de primer orden, de la forma y0(t) = dy(t)

dt =f(t, y(t)) con y(t0) =y0 (∗)

donde f es una función definida sobre un subcojunto apropiado de _R×_R y con valor en _R. Una solución para (∗) en el intervalo [t0, t0+T] es una funcióny: [t0, t0+T]→Rtal quey0(t) = f(t, y(t))

para t ∈[t0, t0+T] y y(t0) = y0. Geom´etricamente, f(t, y) especifica para cada (t, y) en el plano

t-y la pendiente que debe tener una soluci´on que pasa por ese punto. Ejemplo. Consideremos la ecuaci´on

dy

dt = 1−e

−t _con _y_{(0) =} _y

0.

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Como la parte derecha de la ecuaci´on depende s´olo de t, se puede integrar y se obtiene y(t) = t+e−t ₊_C _donde _C _{es una constante a determinar. Reemplazando} _t _{= 0, la condici´}_{on inicial}

implica que 1 +C=y0 y entonces la soluci´on es

y(t) = t+e−t+y0−1.

La siguiente figura, producida por el segmento de Matlab a continuación, muestra la curva solución y(t) para diferentes valores de la condición inicial y0. Bajo ciertas condiciones a ser

discutidas más adelante, para cada punto (t0, y0) existe una curva solución única que pasa por este.

Dos de estas curvas soluci´on son disyuntas o la misma.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 f=@(t,y0) t+exp(-t)+y0-1; figure; hold on; for i=0:5 fplot(@(t) f(t,.1*i),[0,1]); end

Note que la instrucción f=@(t,y0) t+exp(-t)+y0-1 define la función f de dos variables t y y0 como se desea. Por otra parte, el primer parámetro defplot, es la función@(t) f(t,.1*i)de una sóla variablet, la cual es la funciónf con la segunda variable igual a.1*i. Alternativamente, se podr´ıa haber empleado la instruccióninline.

V.1.2 Soluci´

on Num´

erica

Los métodos que consideramos producen una aproximación discreta de la solución: pares (ti, wi)

donde t0, t1, t2, . . . , tM con tM = t0 +T, es una discretizaci´on del intervalo de tiempo [t0, t0 +T]

y w0, w1, . . . , wM es una aproximaci´on de y0 = y(t0), y1 = y(t1), . . . , yM = y(tM). Usualmente

todos los subintervalos [tk, tk+1] tienen la misma longitud. M´as precisamente, tk = t0+kh para

k = 0, . . . , M y donde h =T /M. En general estudiaremos métodos de diferenciade primer orden en que wk+1 está dado expl´ıcitamente en términos de wk, k = 1,2, . . . , M, de la siguiente forma

(m´etodos expl´ıcitos de un paso)

wk+1 =wk+hΦ(tk, wk) (∗)

con condición inicial w0 = C0. La ecuación (∗) es llamada ecuación de diferencias ó también fórmula de avance. La función Φ es llamada la función incremental.

(3)

V.2. EXISTENCIA DE SOLUCIONES V.3

V.2 Existencia de Soluciones

Definición. Sea f(t, y) una función definida en el rectángulo R={(t, y)|a≤t≤b, c≤y≤d}.

Se dice quef satisface unacondici´on de Lipschitzcon respecto a la segunda variable si existeL >0, llamada la constante de Lipschitz, tal que para todo (t, y1),(t, y2)∈R se tiene que

|f(t, y1)−f(t, y2)| ≤L· |y1−y2|.

Sif satisface una condici´on de Lipschitz enR con respecto a la segunda variable con constante de Lipschitz L, entonces f es continua en la segunda variable: dado > 0, si tomamos δ = /L, entonces para todo (t, y1),(t, y2)∈Rcon|y1−y2| ≤δse tiene que|f(t, y1)−f(t, y2)| ≤L|y1−y2| ≤

Lδ≤. En lo que sigue, fy(t, y) denota la derivada parcial def con respecto a y.

Teorema V.1 Sea f(t, y) definida en un rect´angulo R como antes. Si existe L > 0 tal que para todo (t, y)∈R se tiene

|fy(t, y)| ≤L,

entonces f satisface la condici´on de Lipschitz en la variable y con constante L en R.

Para verificar este teorema, note que utilizando el teorema del valor medio podemos escribir, para y1, y2 con c≤y1 < y2 ≤dy alg´unξ ∈[y1, y2],

f(t, y1)−f(t, y2) =fy(t, ξ)(y1−y2)

y de aqu´ı

|f(t, y1)−f(t, y2)|=|f(t, ξ)(y1−y2)| ≤ |f y(t, ξ)| · |y1−y2|.

Puesto que |f y(t, ξ)| ≤Lentonces

|f(t, y1)−f(t, y2)| ≤L· |y1−y2|,

lo cual es la condici´on de Lipschitz. Ejemplo. Verifiquemos que

f(t, y) = 2 ty+t

2

et

satisface la condici´on de Lipschitz con respecto a la segunda variable para t ∈ [1,2]. Primero directamente, usando 2/t≤2 para t≥1,

|f(t, y1)−f(t, y2)|= 2 ty1+t 2_et₋ 2 ty2−t 2_et = 2 t|y1−y2| ≤2|y1−y2|

Alterativamentefy(t, y) = 2/ty entonces|fy(t, y)| ≤2 parat≥[1,2]. As´ı, por el teorema anterior,

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Ejemplo. Consideremosf(t, y) =|y|2/3_{. Esta funci´}_{on no satisface la condici´}_{on de Lipschitz con}

respecto a y en regiones que contengan puntos cony= 0 porque, con y2 = 0 yy1 >0 tenemos que

|f(t, y1)−f(t, y2)|=|y1|2/3, |y1−y2|=|y1|

y entonces no existe constante C > 0 tal que

|y1|2/3 =|f(t, y1)−f(t, y2)| ≤C|y1−y2|=C|y1|,

porque esta desigualdad implicar´ıa C ≥1/|y1|1/3 y 1/|y1|1/3 tiende a infinito cuando y1 tiende a 0

(recuerde que C debe ser idependiente de la selecci´on dey1, y2).

La importancia de la condición de Lipschitz condición radica en el siguiente teorema (y también se usa en el análisis del error de los métodos numéricos).

Teorema V.2 Sea f(t, y)continua en un rect´anguloR (como antes), que satisface la condici´on de Lipschitz con respecto a la segunda variable en R, y sea (t0, y0)∈R. Entonces el PVI y0 =f(t, y),

y(t0) =y0, tiene una solución única en un subintervalo [t0, t0+δ] para algún δ >0.

Ejemplo. Si la condici´on de Lipschitz no se satisface, es posible que la soluci´on al PVI no sea ´

unica. Considere por ejemplo

y0(t) =y2/3, y(0) = 0.

Este PVI tiene las soluciones y(t) = 0 y y(t) = (t/3)3 lo cual se puede verificar f´acilmente. Otro ejemplo en que ninguna soluci´on es trivial (zero) es

y0(t) = 1 2 np t2_{+ 4}_y₋_to_, _y_{(2) =}₋₁_, con soluciones y(t) =−(t/2)2 _y _y₍_t_{) = 1}₋_t_.

V.3 M´

etodo de Euler

Consideramos un PVI de la forma

y0 =f(t, y) en [t0, t0+T] con y(t0) =C0

y para su solución numérica usamos la discretización del tiempo: tk =t0+khparak = 0,1,2, . . . , M

donde h=T /M. As´ı que tM =t0+T (se ha dividido el intervalo de tiempo de longitud T en M

subintervalos de longitud h).

La aproximaci´on de Euler se obtiene del desarrollo de Taylor y(t) = y(tk) +y0(tk)(t−tk) +

y00(ck)(t−tk)2

2 ,

donde ck ∈[tk, t], tomando t =tk+1, usando y0(tk) = f(tk, y(tk)), y despreciando el t´ermino de de

segundo orden; resulta entonces la aproximaci´on

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V.3. M ÉTODO DE EULER V.5 Excepto ent0, en realidad no se conocey(tk) sino la aproximación previa, as´ı que esta aproximación

se traduce en la siguiente regla para calcular la aproximaci´on wk+1 de y(tk) en t´erminos de la

aproximaci´onwk de y(tk):

wk+1 =wk+hf(tk, wk)

par k = 0,1,2, . . . , M −1, con la condición inicial w0 = C0. Geométricamente, la solución entre

tk y tk+1 es aproximada por la l´ınea con pendientef(tk, wk), es decir, tangente a la curva soluci´on

que pasa por (tk, wk).

t_k t_k+1 y yk+1_k y t₀ 0 t y 1 1

V.1: El segmento que conecta (tk, wk) con (tk+1, wk+1) es tangente a la curva soluci´on que pasa

por (tk, wk).

A continuación se tiene la función Matlab euler que implementa el método de Euler. Note que regresa una matriz con dos columnas que contienen los tk y wk respectivamente.

function E = euler (f, a, b, ya, M)

% Entrada - f es la funcion introducida como una cadena de caracteres ’f’

% - a y b son los extremos izquierdo y derecho

% - ya es la condicion inicial y(a)

% - M es el numero de pasos

% Salida - E = [T’, Y’] donde T es el vector de abscisas y

% Y es el vector de ordenadas h = (b - a) / M; T = zeros(1, M+1); Y = zeros(1, M+1); T = a:h:b; Y(1) = ya; for j = 1:M

Y(j+1) = Y(j) + h * feval(f, T(j), Y(j)); end

E = [T’, Y’];

Ejemplos

Ejemplo 0 Considere el PVI

y0 =Ry, y(0) =y0.

La soluci´on exacta es y(t) = y0eRt y nos interesa conocer la aproximaci´on que resulta de aplicar el

m´etodo de Euler. Este da la recurrencia

(6)

que tiene la soluci´on

wk = (1 +hR)ky0.

Esto es una buena aproximación si hR es suficientemente pequeño: Note que 1 +hR es la aproxi-mación de primer orden de ehR y entonces (1 +hR)k es una aproximación de ehRk =eRt.

Ejemplo 1 Usamos el método de Euler para obtener una aproximación para la solución del PVI: dy

dt =y−t

2_{+ 1;} _y_{(0) = 0}_.₅_.

en [0,2], con M = 10. Note que aqu´ıf(t, y) = y−t2+ 1. Para la discretización del tiempo, los subintervalos son de longitud h = 2/10. Entonces el método de Euler resulta en la ecuación de recurrencia

wk+1 = wk+h(wk−t2k+ 1)

= (1 +h)wk−ht2k+ 0.2

= 1.2wk−0.2t2k+ 0.2

De aqu´ı obtenemos los valores: w0 = 0.5 w1 = 1.2w0−0.2t20+ 0.2 = 1.2×0.5−0.2×0 2 + 0.2 = 0.6 + 0.2 = 0.8 w2 = 1.2w1−0.2t21+ 0.2 = 1.2×0.8−0.2×0.22+ 0.2 = 0.96−0.008 + 0.2 = 1.1520 w3 = 1.2w2−0.2t22+ 0.2 = 1.2×1.1520−0.2×0.4 2_{+ 0}_._{2 = 1}_.₃₈₂₄₋₀_._{032 + 0}_._{2 = 1}_.₅₅₀₄ .. .

y as´ı sucesivamente. A continuaci´on completamos el ejercicio con MATLAB para M = 10 y M = 20. Las columnas del resultado muestran ti, wi, yi =y(ti) y |wi−yi|.

>> f=inline(’y-t^2+1’,’t’,’y’); >> g=inline(’(t+1).^2-0.5*exp(t)’); >> A10=euler(f,0,2,0.5,10);

>> E10=g(A10(:,1));

>> ERR10=abs(E10-A10(:,2)); >> [A10 E10 ERR10]

ans = 0 0.5000 0.5000 0 0.2000 0.8000 0.8293 0.0293 0.4000 1.1520 1.2141 0.0621 0.6000 1.5504 1.6489 0.0985 0.8000 1.9885 2.1272 0.1387 1.0000 2.4582 2.6409 0.1827 1.2000 2.9498 3.1799 0.2301 1.4000 3.4518 3.7324 0.2806 1.6000 3.9501 4.2835 0.3334 1.8000 4.4282 4.8152 0.3870 2.0000 4.8658 5.3055 0.4397

(7)

V.4. AN ´ALISIS DEL ERROR V.7

>> A20=euler(f,0,2,0.5,20); >> E20=g(A20(:,1));

>> ERR20=abs(E20-A20(:,2)); >> [A20 E20 ERR20]

ans = 0 0.5000 0.5000 0 0.1000 0.6500 0.6574 0.0074 0.2000 0.8140 0.8293 0.0153 0.3000 0.9914 1.0151 0.0237 0.4000 1.1815 1.2141 0.0325 0.5000 1.3837 1.4256 0.0419 0.6000 1.5971 1.6489 0.0519 0.7000 1.8208 1.8831 0.0624 0.8000 2.0538 2.1272 0.0734 0.9000 2.2952 2.3802 0.0850 1.0000 2.5438 2.6409 0.0971 1.1000 2.7981 2.9079 0.1098 1.2000 3.0569 3.1799 0.1230 1.3000 3.3186 3.4554 0.1367 1.4000 3.5815 3.7324 0.1509 1.5000 3.8437 4.0092 0.1655 1.6000 4.1030 4.2835 0.1805 1.7000 4.3573 4.5530 0.1957 1.8000 4.6040 4.8152 0.2111 1.9000 4.8405 5.0671 0.2266 2.0000 5.0635 5.3055 0.2420

La figura a continuaci´on muestra el (valor absoluto del) error para M = 5,10,20,40,80. Note que, como se puede esperar, el error aumenta con el tiempo (se acumula) y disminuye con M (aproximadamente se reduce a la mitad al doblar M).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 5 10 20 40 80

V.2: Error de la soluci´on para M = 5,10,20,40,80.

V.4 An´

alisis del Error

Se espera que el valor yk sea una buena aproximaci´on de la soluci´on exacta y(tk), as´ı que nos

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discretizaci´on ek en tk (acumulado en los pasos 1 a k) como

ek=yk−wk

(recuerde que yk =y(tk)). Para el an´alisis resulta conveniente definir el error local de truncaci´on

en el paso k+ 1 como

εk+1 =

yk+1−(yk+hΦ(tk, yk))

h ,

es decir, la diferencia entre la soluci´on exacta entk+1 y el valor predecido por el m´etodo utilizando

la soluci´on exacta entk como punto de partida, dividida por h.

En general es posible probar una cota de la forma |εk| ≤ChN,

donde C > 0 es una constante, y se escribe entonces |εk| = O(hN). El error total acumulado

E(h) =eM en las aproximaciones de t0 a tM es en general una funci´on de f, h y el m´etodo.

En el caso del método de Euler, con Φ(t, y) = f(t, y), tenemos de la ecuación al comienzo de la sección que εk+1 = yk+1−(yk+hf(tk, yk)) h = y00(ck) 2 h.

As´ı que |εk+1| ≤Ch dondeC = maxky00(ck)/2. Es decir, para el m´etodo de Euler tenemos N = 1.

A continuación hacemos un análisis más detallado del error total bajo ciertas condiciones. Teorema V.3 Supongamos que se tiene una cota |εk| ≤ChN para el error local de truncación, y

que la funci´on incremental Φ(t, y)satisface la condici´on de Lipschitz con constante L con respecto a y. Entonces existe una constante C0 que depende de C y L tal que

|eM| ≤C0hN

Prueba. Para acotar el error global en t´erminos de los errores locales, tenemos la siguiente derivaci´on:

ek+1 = yk+1−wk+1

= yk+1−(wk+hΦ(tk, wk))

= (yk+1−(yk+hΦ(tk, yk)) + (yk−wk) +h(Φ(tk, yk)−Φ(tk, wk)) = hεk+1+ek+h(Φ(tk, yk)−Φ(tk, wk)).

Tomando valor absoluto, entonces,

|ek+1| ≤ h|εk+1|+|ek|+h|Φ(tk, yk)−Φ(tk, wk)|. Suponiendo que Φ(t, y) es Lipschitz en la segunda variable con constante L, es decir

|Φ(t, y)−Φ(t, y0)| ≤L|y−y0|,

obtenemos

|ek+1| ≤ h|εk+1|+|ek|+hL|yk−wk|=h|εk+1|+|ek|(1 +hL). Expandiendo esta relaci´on de recurrencia, obtenemos

|ek+1| ≤ h k

X

j=0

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V.5. M ´ETODO DE TAYLOR V.9 Ahora usando|εk+1−j| ≤ChN, la suma 1 +x+x2+· · ·+xk = (xk+1−1)/(x−1) parax6= 1,e0= 0 y la desigualdad 1 +x≤ex_{, v´}_{alida para}_{x >}_{0 (se obtiene truncando la serie de Taylor}_ex_{= 1 +}_x₊_x2₊_{· · ·}₊_xn₊_{· · ·}_{), obtenemos}

|ek+1| ≤ ChN+1 1 + (1 +hL) + (1 +hL)2+· · ·+ (1 +hL)k = ChN+1(1 +hL) k+1₋₁ (1 +hL)−1 = C Lh N_{((1 +}_hL₎k+1₋₁₎ ≤ C Lh N_{(1 +}_hL₎k+1_≤ C Lh N_ehL(k+1)_. En particular, para el error final|EM|entM se tiene

|eM| ≤

C Le

LT_hN dondeT =tM −t0=M hes el tiempo total de la soluci´on. Entonces

|eM| ≤C0hN dondeC0= (C/L)eLT_.

Como ejemplo, en el método de Euler, si f(t, y) es Lipschitz en la segunda varible entonces el error total es O(h). Esto se observó en el ejemplo de la sección anterior (el error se reduce a la mitad al doblar M).

V.5 M´

etodo de Taylor

El método de Euler usa la aproximación de Taylor de primer orden. En general, es posible obtener mejores aproximaciones con aproximaciones de Taylor de ordenes más altos. La expansión de Taylor de orden N alrededor de t=tk se puede escribir como

y(tk+h) = y(tk) + N X j=1 y(j)(tk) j! h j + y (j)₍_t k) j! h N+1

Las derivadas y(j)₍_t_{) que aparecen en la expansi´}_{on se pueden expresar en t´}_{erminos de} _f₍_{t, y}_{) y sus}

derivadas parciales partiendo de la ecuaci´on del PVI y0(t) =f(t, y) y en general y(j)(t) = d j−1 dtj−1f(t, y(t)). Por ejemplo, y00(t) = d 2 dt2y 0 (t) = d dtf(t, y(t)) = ∂f ∂t + ∂f ∂y dy dt =ft+f fy donde ft =∂f /∂t y fy =∂f /∂y, y(3)(t) = d dt(ft+f fy) = d dt ∂ ∂t(ft+f fy) +f ∂f ∂y(ft+fyf) = ftt+ftfy+f fty+f fyt+f fyyf +f fyfy = ftt+ftfy+ 2f fty+f2fyy+f fy2

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Y as´ı sucesivamente. Es posible escribir una ecuación general, pero no lo hacemos porque el cálculo es más fácil directamente para una funciónf(t, y) concreta, como se verá en los ejemplos. Entonces podemos escribir y(tk+h)≈y(tk) +h TN(tk, yk) donde TN(t, y) = N X j=1 y(j)(t) j! h j−1 ₌ N X j=1 f(j−1)(t, y) j! h j−1

Con esto, podemos escribir la ecuaci´on de diferencias del m´etodo de Taylor para las aproximaciones wk como

wk+1 =wk+h TN(tk, wk)

Ejemplo. Consideremos de nuevo el PVIy0 =Ry con y(0) =C0. Entonces

y0(t) = Ry(t) y00(t) = Ry0(t) =R2y(t) y000(t) = Ry00(t) = R3y(t) .. . y(j)(t) = Ry(j−1)(t) = Rjy(t) .. .

Entonces el m´etodo de Taylor de orden N aplicado a este PVI resulta en la f´ormula

wk+1 = wk+h N X j=1 Rj_w k j! h j−1 = wk N X j=0 (Rh)j j! = w0 N X j=0 (Rh)j j! !k+1

La suma entre paréntesis es la aproximación de Taylor de orden N para eRh y (eRh)k+1 = eRtk+1 mientras que la solución exacta del PVI da y(tk+1) =y0eRtk+1.

Ejemplo. Consideremos de nuevo el PVI dy

dt =y−t

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V.5. M ´ETODO DE TAYLOR V.11 con t∈[0,2] y M = 10. Como antes h = 0.2 y tk = 0.2k. Obtenemos las derivadas

y0(t) = y−t2+ 1 y00(t) = y0−2t=y−t2+ 1−2t=y−t2−2t+ 1 y000(t) = y0−2t−2 =y−t2+ 1−2t−2 = y−t2−2t−1 y(4)(t) = y0−2t−2 =y−t2−2t−1 .. . y(j)(t) = y−(t+ 1)2 para j ≥3

El m´etodo de Taylor de segundo, tercero y cuarto orden resulta en las f´ormulas

wk+1 = wk+h(wk−t2k+ 1) + h2 2 (wk−t 2 k−2tk+ 1) wk+1 = wk+h(wk−t2k+ 1) + h2 2 (wk−t 2 k−2tk+ 1) + h3 6(wk−(tk+ 1) 2₎ wk+1 = wk+h(wk−t2k+ 1) + h2 2 (wk−t 2 k−2tk+ 1) + h3 6((wk−(tk+ 1) 2_{)(1 +} h 4)

respectivamente. Por ejemplo, usando el m´etodo de cuarto orden obtenemos

w1 = w0+h(w0−t20+ 1) + h2 2 (w0−t 2 0−2t0+ 1) + h3 6 ((w0−(t0+ 1) 2_{)(1 +} h 4) = 0.5 + 0.2(0.5−0 + 1) + 0.2 2 2 (0.5−0 + 1) + 0.23 6 (0.5−(0 + 1) 2 )(1 + 0.2 4 ) = 0.5 + 0.2(1.5) + 0.02(1.5) + 0.004 3 (−0.5)(1.05) = 0.8293 w2 = w1+h(w1−t21+ 1) + h2 2 (w1−t 2 1−2t1+ 1) + h3 6 ((w1−(t1+ 1) 2_{)(1 +} h 4) = 0.8293 + 0.2(0.8293−0.04 + 1) + 0.2 2 2 (0.8293−0.04−0.4 + 1) + 0.23 6 (0.8293−(0.2 + 1) 2_{)(1 +} 0.2 4 ) = 0.8293 + 0.2(1.7893) +0.2 2 2 (1.3893) + 0.23 6 (−0.6107)(1.05) = 1.214091,

etc. Usando Matlab tenemos, comparando con la soluci´on exacta

(12)

>> df = @(t,y) [y-t^2+1,y-t^2-2*t+1,y-t^2-2*t-1,y-t^2-2*t-1]; >> T4=taylor(df,0,2,0.5,10); >> y=@(t) (t+1).^2 -0.5*exp(t); >> yy=y(T4(:,1)); >> [T4, abs(T4(:,2)-yy)] ans = 0 0.500000000000000 0 0.200000000000000 0.829300000000000 0.000001379080085 0.400000000000000 1.214091020000000 0.000003368820636 0.600000000000000 1.648946771828000 0.000006172023254 0.800000000000000 2.127239587110719 0.000010051356953 1.000000000000000 2.640874431697033 0.000015345926556 1.200000000000000 3.179964030874756 0.000022492243029 1.400000000000000 3.732432067310427 0.000032050732765 1.600000000000000 4.283528527012956 0.000044739210512 1.800000000000000 4.815237742893624 0.000061475100098 2.000000000000000 5.305555379170272 0.000083428635597

Comparamos los errores de los cuatro ordenes:

>> df1 = @(t,y) [y-t^2+1,0,0,0]; >> df2 = @(t,y) [y-t^2+1,y-t^2-2*t+1,0,0]; >> df3 = @(t,y) [y-t^2+1,y-t^2-2*t+1,y-t^2-2*t-1,0]; >> T1=taylor(df1,0,2,0.5,10); >> T2=taylor(df2,0,2,0.5,10); >> T3=taylor(df3,0,2,0.5,10); >> err1=abs(T1(:,2)-yy); >> err2=abs(T2(:,2)-yy); >> err3=abs(T3(:,2)-yy); >> err4=abs(T4(:,2)-yy); >> [err1 err2 err3 err4] ans = 0 0 0 0 0.029298620919915 0.000701379080085 0.000034712413418 0.000001379080085 0.062087651179364 0.001712348820636 0.000084793265080 0.000003368820636 0.098540599804746 0.003135400195254 0.000155345676735 0.000006172023254 0.138749535753766 0.005103184246233 0.000252978994283 0.000010051356953 0.182683085770477 0.007786832629523 0.000386225575140 0.000015345926556 0.230130338631727 0.011406481816273 0.000566068291720 0.000022492243029 0.280626576577662 0.016244568368897 0.000806607344841 0.000032050732765 0.333355659802442 0.022662605832360 0.001125902214908 0.000044739210512 0.387022514193524 0.031122332440934 0.001547033614333 0.000061475100098 0.439687446214673 0.042212341751366 0.002099441584789 0.000083428635597

Implementación Matlab. Note que la función fija la longitud de df en 4; pero se puede modi-ficar fácilmente para permitir más altos ordenes.

function T4 = taylor (df, a, b, ya, M)

% Entrada - df = [y’, y’’, y’’’, y’’’’] como cadena de caracteres ’df’

% donde y’ = f(t, y)

% Salida - T4 = [T’, Y’] donde T es el vector de abscisas y

% Y es el vector de ordenadas h = (b - a) / M; T = zeros(1, M+1); Y = zeros(1, M+1); T = a:h:b; Y(1) = ya; for j = 1:M D = feval(df, T(j), Y(j));

(13)

V.6. M ´ETODO DE EULER MODIFICADO V.13

Y(j+1)=Y(j)+h*(D(1)+h*(D(2)/2+h*(D(3)/6+h*D(4)/24))); end

T4 = [T’, Y’];

V.6 M´

etodo de Euler Modificado

Continuamos considerando el mismo PVI de primer orden y0(t) = f(t, y(t)), y(t0) =y0

para t ∈ [t0, t0 +T]. El m´etodo se basa en eliminar la derivada mediante integraci´on en ambos

lados de la ecuaci´on en el intervalo [tk, tk+1]

Z tk+1 tk y0(t)dt= Z tk+1 tk f(t, y(t))dt y entonces y(tk+1) = y(tk) + Z tk+1 tk f(t, y(t))dt.

Como no es posible evaluar la integral en la derecha, la idea aqu´ı es reemplazarla por una aprox-imación. La aproximación más directamente obtenible es simplemente hf(tk, y(tk)), lo cual nos

llevar´ıa de nuevo a la recurrencia del m´etodo de Euler. El m´etodo de Euler modificado emplea la regla del trapecio y entonces se obtiene

y(tk+1)≈y(tk) +

h

2(f(tk, y(tk)) +f(tk+1, y(tk+1))). Esto conduce a la ecuaci´on

wk+1 =wk+

h

2(f(tk, wk) +f(tk+1, wk+1)). (∗)

Esta ecuaci´on no da en forma expl´ıcitawk+1 en t´erminos de wk porquewk+1 aparece a la izquierda

de tal forma que puede no ser f´acil despejar y obtener una ecuaci´on expl´ıcita para wk+1. Para

corregir esto se emplea en la derecha la predicci´onw˜k+1 obtenida por el m´etodo de Euler

˜ wk+1 =wk+hf(tk, wk). Entonces se obtiene wk+1 =wk+ h 2(f(tk, wk) +f(tk+1, wk+hf(tk, wk))).

Análisis del Error. Para el método del trapecio el (valor absoluto del) error está acotado por |y(2)₍_c

k)|

12 h

3

donde ck ∈ [tk, tk+1]. La otra fuente de error (predicci´on) es menor y por lo tanto se tiene que

|εk| =O(h2) (m´as adelante cuando veamos los m´etodos de Runge-Kutta confirmaremos esto). Si

el teorema sobre el error acumulado aplica, se tiene que el error total es E(h) =O(h2).

(14)

Implementación Matlab. A continuación está la función Matlabque implementa el método de Euler modificado.

function H = eulerMod (f, a, b, ya, M)

% Entrada - f es la funcion introducida como una cadena de caracteres ’f’

% Salida - H = [T’, Y’] donde T es el vector de abscisas y

% Y es el vector de ordenadas h = (b - a) / M; T = zeros(1, M+1); Y = zeros(1, M+1); T = a:h:b; Y(1) = ya; for j = 1:M k1 = feval(f, T(j), Y(j)); k2 = feval(f, T(j+1), Y(j)+h*k1); Y(j+1) = Y(j) + (h / 2) * (k1 + k2); end H = [T’, Y’];

Ejemplos

Ejemplo 0 Consideremos de nuevo el PVI

y0 =Ry, y(0) =y0.

El m´etodo de Euler modificado resulta en la ecuaci´on de recurrencia wk+1 = wk+ h 2(Rwk+R(wk+hRwk)) = 1 +hR+1 2(hR) 2 wk

que tiene soluci´on

wk = 1 +hR+ 1 2(hR) 2 k w0.

Note que en este caso 1 +hR+ 1₂(hR)2 _{es una aproximaci´}_{on de segundo orden de} _ehR_{. As´ı, es de}

esperar que en general el error del m´etodo de Euler modificado sea menor que el error del m´etodo de Euler.

Ejemplo 1 Consideremos de nuevo el PVI dy

dt =y−t

2_{+ 1;} _y_{(0) = 0}_.₅

con t ∈ [0,2] y M = 10. El método de Euler modificado resulta en las ecuaciones siguientes de predicción y corrección ˜ wk+1 = wk+h(wk−t2k+ 1) wk+1 = wk+ h 2((wk−t 2 k+ 1) + ( ˜wk+1−t2k+1+ 1))

(15)

V.6. M ´ETODO DE EULER MODIFICADO V.15 Reemplazando h= 2/10 = 0.2 y tk =hk = 0.2h, se obtiene ˜ wk+1 = wk+ 0.2(wk−0.04k2+ 1) wk+1 = wk+ h 2((wk−0.04k 2_{+ 1) + ( ˜}_w k+1−0.04(k+ 1)2+ 1))

Entonces, comenzando cony0 = 0.5, obtenemos los valores num´ericos

˜ w1 = w0+ 0.2(w0−0.04×02+ 1) = 0.5 + 0.2(0.5 + 1) = 0.8 w1 = w0+ 0.1((w0−0.04×02+ 1) + ( ˜w1−0.04×12+ 1)) = 0.5 + 0.1((0.5−0.04×02+ 1) + (0.8−0.04×12+ 1)) = 0.826 ˜ w2 = w1+ 0.2(w1−0.04×12+ 1) = 0.826 + 0.2(0.826−0.04 + 1) = 1.1832 w2 = w1+ 0.1((w1−0.04×12+ 1) + ( ˜w2−0.04×22+ 1)) = 0.826 + 0.1((0.826−0.04×12+ 1) + (1.1832−0.04×22+ 1)) = 1.20692 .. .

Ahora completamos el ejercicio con _Matlab; la tabla compara el error del método de Euler modificado con el método de Euler. Y también paraM = 20.

>> H10=eulerMod(f,0,2,0.5,10); >> ERRH10=abs(E10-H10(:,2)); >> [H10 E10 ERRH10 ERR10] ans = 0 0.5000 0.5000 0 0 0.2000 0.8260 0.8293 0.0033 0.0293 0.4000 1.2069 1.2141 0.0072 0.0621 0.6000 1.6372 1.6489 0.0117 0.0985 0.8000 2.1102 2.1272 0.0170 0.1387 1.0000 2.6177 2.6409 0.0232 0.1827 1.2000 3.1496 3.1799 0.0304 0.2301 1.4000 3.6937 3.7324 0.0387 0.2806 1.6000 4.2351 4.2835 0.0484 0.3334 1.8000 4.7556 4.8152 0.0596 0.3870 2.0000 5.2331 5.3055 0.0724 0.4397 >> H20=eulerMod(f,0,2,0.5,20); >> ERRH20=abs(E20-H20(:,2)); >> [H20 E20 ERRH20 ERR20] ans = 0 0.5000 0.5000 0 0 0.1000 0.6570 0.6574 0.0004 0.0074 0.2000 0.8284 0.8293 0.0009 0.0153 0.3000 1.0137 1.0151 0.0013 0.0237 0.4000 1.2122 1.2141 0.0019 0.0325 0.5000 1.4232 1.4256 0.0024 0.0419 0.6000 1.6459 1.6489 0.0031 0.0519 0.7000 1.8794 1.8831 0.0037 0.0624 0.8000 2.1228 2.1272 0.0044 0.0734 0.9000 2.3750 2.3802 0.0052 0.0850 1.0000 2.6348 2.6409 0.0061 0.0971 1.1000 2.9010 2.9079 0.0070 0.1098 1.2000 3.1720 3.1799 0.0079 0.1230 1.3000 3.4464 3.4554 0.0090 0.1367 1.4000 3.7223 3.7324 0.0101 0.1509 1.5000 3.9978 4.0092 0.0113 0.1655 1.6000 4.2708 4.2835 0.0126 0.1805

(16)

1.7000 4.5390 4.5530 0.0140 0.1957

1.8000 4.7996 4.8152 0.0156 0.2111

1.9000 5.0499 5.0671 0.0172 0.2266

2.0000 5.2866 5.3055 0.0189 0.2420

Ejemplo: Solución de la forma impl´ıcita. Regresemos a la ecuación (∗), obtenida antes de reemplazar la predicción ˜yk+1:

wk+1 =wk+

h

2(f(tk, wk) +f(tk+1, wk+1)).

Esta es una relaci´on impl´ıcita parawk+1, la cual es posible en principio resolver para obtenerwk+1.

Dependiendo de la función f, es posible que esto se pueda hacer anal´ıticamente en forma fácil o no. En el caso negativo, se podr´ıa usar un método numérico para determinar la solución wk+1.

Consideremos por ejemplo el PVI del Ejemplo 0 arriba. En este caso f(t, y) =Ry y obtenemos wk+1=wk+ h 2(Rwk+Rwk+1) de donde wk+1 = 1 +hR/2 1−hR/2 wk y por lo tanto wk = 1 +hR/2 1−hR/2 k w0

Al igual que 1 +hR + (hR)2/2, el factor que se obtiene cuando se aplica el m´etodo expl´ıcito de Euler modificado, el t´ermino que aparece aqu´ı

1 +hR/2 1−hR/2

también es una aproximación de segundo orden para ehR, cuando hR es suficientemente pequeño: Se puede probar que parahR ≤1,

1 +hR+1 2(hR) 2₊1 8(hR) 3 _≤ 1 +hR/2 1−hR/2 ≤1 +hR+ 1 2(hR) 2₊1 2(hR) 3_.

V.7 M´

etodo de Runge-Kutta

Ahora estudiamos un método que permite obtener aproximaciones de órdenes más altos, al igual que el método de Taylor, pero evitando calcular derivadas. El método de Euler modificado ilustra que esto es posible en el caso de orden 2: tiene el mismo orden de aproximación que el método de Taylor de segundo orden pero sin usar y00(t) = df(t, y)/dt. Integrando la ecuación del PVI, como en la derivación del método de Euler modificado, podemos utilizar otras fórmulas de cuadratura, por ejemplo usando la regla del punto medio,

y(tk+1)≈y(tk) +hf tk+ h 2, y tk+ h 2 .

(17)

V.7. M ÉTODO DE RUNGE-KUTTA V.17 Para obtener una fórmula expl´ıcita, empleamos una predicción ˜pk+1 paray tk+ h₂

de la siguiente manera wk+1 = wk+hf tk+ h 2,p˜k+1 con ˜pk+1 = wk+ h 2f(tk, wk), ´ o simplemente wk+1 =wk+hf tk+ h 2, wk+ h 2f(tk, wk)

Este se denomina elmétodo del punto medio. Al igual que el método de Euler modificado, el error de aproximación local es O(h2_).

V.7.1 Runge-Kutta de orden 2

La forma general de los m´etodos de Heun y del punto medio es y(tk+1)≈y(tk) +Ahf0+Bhf1

donde

f0 =f(tk, y(tk)), f1 =f(tk+P h, y(tk) +Qhf0)

Las constantes A, b y P, Q se determinan de tal forma que esta aproximación coincide con la aproximación de Taylor de segundo orden. Usando la expansión de Taylor de primer orden en dos variables para f1 alrededor de (tk, y(tk)), obtenemos

f1 =f(tk, y(tk)) +P hft(tk, y(tk)) +Qhf0fy(tk, y(tk)) +C1h2

para alguna constante C1. As´ı que

y(tk) +Ahf0+Bhf1

= y(tk) +Ahf(tk, y(tk)) +Bh(f(tk, y(tk)) +P hft(tk, y(tk)) +Qhf0fy(tk, y(tk))) +O(h3)

= y(tk) + (A+B)hf(tk, y(tk)) +BP h2ft(tk, y(tk)) +BQh2f0fy(tk, y(tk)) +O(h3).

En comparaci´on, la aproximaci´on de Taylor de primer orden de y(tk+h) es

y(tk+h) = y(tk) +hy0(tk) + h2 2 y 00 (tk) +O(h3) = y(tk) +hf(tk, y(tk)) + h2 2 (ft(tk, y(tk)) +f(tk, y(tk))fy(tk, y(tk))) +O(h 3 ) = y(tk) +hf(tk, y(tk)) + h2 2 ft(tk, y(tk) + h2 2 f0fy(tk, y(tk))) +O(h 3₎

Comparando con el resultado anterior, se observa que ambos son iguales hasta orden 2 si A+B = 1, BP = 1/2, BQ= 1/2.

(18)

Dos posibles soluciones son (i) A = B = 1/2, P = Q = 1, (ii) A = 0, B = 1, P = Q = 1/2, que corresponde a los dos m´etodos ya discutidos. Otra posibilidad es (iii) A = 1/4, B = 3/4, P =Q= 2/3 que corresponde a y(tk+h)≈y(tk) + h 4 f(tk, y(tk)) + 3f tk+ 2 3h, y(tk) + 2 3hf(tk, y(tk) . La f´ormula de diferencias correspondiente es

wk+1 =wk+ h 4 f(tk, wk) + 3f tk+ 2 3h, wk+ 2 3hf(tk, wk

y su error local es tambi´enO(h2_).

V.7.2 Runge-Kutta de orden 4

En forma similar se pueden derivar m´etodos de cuarto orden:

yk+1 ≈yk+w1k1 +w2k2+w3k3 +w4k4 (∗)

donde w1, w2, w3, w4 son constantes y

k1 = hf(tk, yk)

k2 = hf(tk+A1h, yk+P1k1)

k3 = hf(tk+A2h, yk+Q1k1+Q2k2)

k4 = hf(tk+A3h, yk+R1k1+R2k2+R3k3)

dondeA1, A2, A3, P1, Q1, Q2, R1, R2, R3 son constantes. Comparando la aproximaci´on de Taylor de

cuarto orden con la f´ormula (∗) reemplazando losfi con aproximaciones de Taylor de orden tres en

dos variables se encuentran condiciones para las constantes. La soluci´on que usualmente se conoce como el m´etodo de Runge-Kutta de orden 4 es

yk+1 ≈yk+ 1 6(k1+ 2k2+ 2k3+k4) donde k1 = hf(tk, y(tk)) k2 = hf tk+ h 2, yk+ 1 2k1 k3 = hf tk+ h 2, yk+ 1 2k2 k4 = hf(tk+h, yk+k3)

Finalmente, reemplazando yk con la aproximaciónwk, la ecuación de diferencias del método de

Runge-Kutta, es

wk+1 =wk+

1

(19)

V.7. M ´ETODO DE RUNGE-KUTTA V.19 donde K1 = h·f(tk, wk) K2 = h·f tk+ h 2, wk+ 1 2K1 K3 = h·f tk+ h 2, wk+ 1 2K2 K4 = h·f(tk+h, wk+K3)

Una forma alternativa de interpretar esta fórmula es como una aplicación de la regla de Simpson en la integración del PVI:

y(tk+1)−y(tk) = Z tk+1 tk f(t, y(t))dt = h 6 f(tk, y(tk)) + 4f tk+ h 2, y tk+ h 2 +f(tk+1, y(tk+1)) +O(h5) El t´ermino con coeficiente 4 se divide en dos mitades con coeficiente 2, y luego se usan predicciones adecuadas para y(tk+h₂) yy(tk+1).

Ejemplo. Consideremos de nuevo el PVI y0 = y−t2 _{+ 1 en [0}_,_{2] con} _y

0 = 0.5 y h = 0.2. La

f´ormula de diferencias de Runge-Kutta para este PVI es wk+1 =wk+ 1 6(K1+ 2K2+ 2K3+K4) donde K1 = 0.2·f(tk, wk) = 0.2 (wk−t2k+ 1) K2 = 0.2·f tk+0₂.2, wk+ 1₂K1 = 0.2 wk+ 1₂K1 − tk+ 0₂.2 2 + 1 K3 = 0.2·f tk+0₂.2, wk+ 1₂K2 = 0.2 wk+ 1₂K2 − tk+ 0₂.2 2 + 1 K4 = 0.2·f(tk+ 0.2, wk+K3) = 0.2 ((wk+K3)−(tk+ 0.2)2+ 1)

Calculemos el primer valor como ejemplo: w1 =w0+ 1 6(K1+ 2K2+ 2K3+K4) donde K1 = 0.2 w0−t20+ 1 = 0.2 (0.5 + 1) = 0.2·1.5 K2 = 0.2 w0+1₂K1 − t0+0₂.2 2 + 1 = 0.2 (0.5 + 0.1·1.5)−(0.1)2_{+ 1} = 0.2·1.64 K3 = 0.2 w0+1₂K2 − t0+0₂.2 2 + 1 = 0.2 (0.5 + 0.1·1.64)−(0.1)2+ 1 = 0.2·1.654 K4 = 0.2 (w0+K3)−(t0+ 0.2)2+ 1 = 0.2 (0.5 + 0.2·1.654)−(0.02)2+ 1 = 0.2·1.7908 y entonces w1 = 0.5 + 0.2 6 (1.5 + 2·1.64 + 2·1.654 + 1.7908) = 0.8292933

Usando Matlab se obtiene lo siguiente (en las columnas 3 y 4 aparecen los errores para los m´etodos de Runge-Kutta y Taylor de orden 4)

(20)

>> f=@(t,y) y-t^2+1; >> R=rk4(f,0,2,0.5,10); >> erk=abs(R(:,2)-yy); >> [R erk err4] ans = 0 0.500000000000000 0 0 0.200000000000000 0.829293333333333 0.000005287586582 0.000001379080085 0.400000000000000 1.214076210666667 0.000011440512698 0.000003368820636 0.600000000000000 1.648922017041600 0.000018582763146 0.000006172023254 0.800000000000000 2.127202684947944 0.000026850805823 0.000010051356953 1.000000000000000 2.640822692728752 0.000036393041726 0.000015345926556 1.200000000000000 3.179894170232231 0.000047368399497 0.000022492243029 1.400000000000000 3.732340072854980 0.000059943722683 0.000032050732765 1.600000000000000 4.283409498318406 0.000074289484037 0.000044739210512 1.800000000000000 4.815085694579434 0.000090573214091 0.000061475100098 2.000000000000000 5.305363000692654 0.000108949842021 0.000083428635597

Implementación Matlab. La siguiente es la implementación Matlab del método de Runge-Kutta de orden 4.

function R = rk4 (f, a, b, ya, M)

% Entrada - f es la funcion como cadena de caracteres ’f’ % - a y b son los extremos izquierdo y derecho % - ya es la condicion inicial y(a)

% Salida - R = [T’, Y’] donde T es el vector de abscisas % y Y es el vector de ordenadas h = (b - a) / M; T = zeros(1, M+1); Y = zeros(1, M+1); T = a:h:b; Y(1) = ya; for j = 1:M k1 = h * feval(f, T(j), Y(j)); k2 = h * feval(f, T(j) + h/2, Y(j) + k1/2); k3 = h * feval(f, T(j) + h/2, Y(j) + k2/2); k4 = h * feval(f, T(j) + h, Y(j) + k3); Y(j+1) = Y(j) + (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6; end R = [T’, Y’];

V.8 Sistemas de Ecuaciones

Los m´etodos desarrollados para el PVI de primer orden pueden ser extendidos a otras ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, sistemas de ecuaciones donde y y f se reemplazan por vectores

y=      y1 y2 .. . yn      y f(t,y) =      f1 f2 .. . fn      :_R×_Rn_→ Rn

y el PVI y0 =f(t, y) por el PVI vectorial

(21)

V.8. SISTEMAS DE ECUACIONES V.21 el cual es equivalente al sistema de ecuaciones

y0₁(t) = f1(t;y1(t), y2(t), . . . , yn(t)) y0₂(t) = f2(t;y1(t), y2(t), . . . , yn(t)) .. . y_n0(t) = fn(t;y1(t), y2(t), . . . , yn(t)) con yk(t0) = y0,k i= 1, . . . , n.

Soluci´

on Num´

erica

Los m´etodos de soluci´on para un PVI simple se pueden extender al caso de sistemas. Como antes se discretiza el tiempo [t0, t0+T] en una secuencia de tiempos tk = t0+kh con h =T /M donde

M es el n´umero de subintervalos y se determinan aproximaciones wi,k para yi,k =yi(tk):

     y1,k y2,k .. . yn,k      =yk≈wk=      w1,k w2,k .. . wn,k     

En general, loswk se determinan por medio de una f´ormula de diferencias para, k≥0,

wk+1 =wk+hΦ(tk,wk).

A continuaci´on describimos algunas de las extensiones para sistemas. Euler. El m´etodo de Euler es

wk+1 =wk+hf(tk,wk)

Euler modificado. El m´etodo del punto medio es wk+1 =wk+ h 2f tk+ h 2, wk+ h 2f(tk,wk)

Taylor. El m´etodo de Taylor, de segundo orden como ejemplo, es wk+1 =wk+hf(tk,wk) +

h2

2f 0

(tk,wk)

Runge-Kutta. El m´etodo de Runge-Kutta de cuarto orden es (escribimos las ecuaciones con Ki’s en lugar defi’s para evitar confusi´on con las funciones componentes fi cuando se escriben las

ecuaciones escalares):

wk+1 =wk+

1

(22)

donde cada Kj es un vector (columna) con n componentes Kj = [Kj,1 Kj,2 · · · Kj,n]T, definidos

por las ecuaciones vectoriales

K1 = hf(tk,wk) K2 = hf tk+ h 2, wk+ 1 2K1 K3 = hf tk+ h 2, wk+ 1 2K2 K4 = hf(tk+h, wk+K3)

Estas son ecuaciones vectoriales con n componentes. Para clarificaci´on escribimos la forma escalar de las ecuaciones: con i= 1,2, . . . , n,

wi,k+1 =wi,k + 1 6(K1,i+ 2K2,i+ 2K3,i+K4,i) donde K1,i = hfi(tk;w1,k, w2,k, . . . , wn,k) K2,i = hfi tk+ h 2;w1,k + 1 2k1,1, w2,k+ 1 2K1,2, . . . , wn,k+ 1 2K1,n K3,i = hfi tk+ h 2;w1,k + 1 2K2,1, w2,k + 1 2K2,2, . . . , wn,k+ 1 2K2,n K4,i = hfi(tk+h;w1,k+K3,1, w2,k+K3,2, . . . , wn,k+K3,n)

Ejemplo. En la pr´oxima secci´on.

Implementación Matlab. La siguiente función Matlab implementa el método de Runge-Kutta para sistemas.

function [T, Z] = rks4 (F, a, b, Za, M)

% Entrada - F es el sistema introducido como cadena de caracteres ’F’ % - a y b los extremos del intervalo

% - Za = [x(a), y(a)] las condiciones iniciales % - M es el numero de pasos

% Salida - T es el vector de pasos

% - Z = [x1(t), . . ., xn(t)] donde xk(t) es la aproximacion a la % k-esima variable dependiente

h = (b - a) / M; T = zeros(1, M+1); Z = zeros(M+1, length(Za)); T = a:h:b; Z(1, :) = Za; for j = 1:M k1 = h * feval(F, T(j), Z(j, :)); k2 = h * feval(F, T(j) + h/2, Z(j, :) + k1/2); k3 = h * feval(F, T(j) + h/2, Z(j, :) + k2/2); k4 = h * feval(F, T(j) + h, Z(j, :) + k3); Z(j+1, :) = Z(j, :) + (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6; end

(23)

V.9. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR V.23

V.9 Ecuaciones de Orden Superior

Una ecuaci´on diferencial de orden superior de la forma

y(m)(t) =f(t, y, y0(t), y00(t), . . . , y(m−1)(t)),

con condiciones iniciales

y(t0) =C0, y0(t0) = C1, . . . , y(m−1)(t0) = Cm−1

se puede resolver introduciendo funciones yk(t), k= 1, . . . , mtal que

yk(t) =y(k−1)(t).

En particular

y1(t) =y(0)(t) = y(t).

Con esto se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden y₁0(t) = y2(t) y₂0(t) = y3(t) .. . y_m0 ₋₁(t) = ym(t) y_m0 (t) = f(t, y1(t), y2(t), . . . , ym(t))

con condiciones iniciales

y1(t0) =C0, y2(t0) =C1, . . . , ym(t0) =Cm−1.

Ejemplo. Para la ecuaci´on del p´endulo d2θ dt2 + g Lsinθ = 0 conθ(0) =θ0, θ 0_{(0) =}_θ0 0 definimos y1(t) = θ(t) y2(t) =θ0(t)

y se obtienen las ecuaciones

y0₁ = y2, y1(0) =θ0

y0₂ = −g

Lsiny1, y2(0) =θ 0

0

En forma vectorial, esto es

y0 =f(t;y), y(0) =y0 donde y= y1 y2 , f(t,y) = y2 −_Lg siny1 , y0 = θ0 θ0₀

(24)

Ejemplo. Consideramos la ecuaci´on diferencial de segundo orden y00−2y0+y =tet₋_t, ₀_≤_t_≤₁

y(0) = 0, y0(0) = 1

Se desea una aproximación de y(0.1) con h = 0.1 usando diferentes métodos. Para comparación, la solución exacta es

y(t) = 1 6t

3_et₋_tet_{+ 2}_et₋₂

de donde y(0.1) = 0.10000894

Sistema de primer orden equivalente: Introducimos y1, y2 con

y1(t) = y(t), y2(t) =y0(t).

Con esto tenemos el sistema, para t∈[0,1],

y0₁ =y2, y1(0) = 0

y0₂ = 2y2(t)−y1(t) +tet−t, y2(0) = 1

Forma vectorial: Con

y: _R → _R2 t 7→ y(t) = y1(t) y2(t) y f : _R×_R2 _→ R2 (t,y) 7→ f(t,y) = y2(t) 2y2(t)−y1(t) +tet−t

se tiene la ecuaci´on vectorial

y0(t) = f(t,y(t)), y(0) =y0 ≡

0 1

Soluci´on – Euler: La f´ormula de diferencias es

wk+1 =wk+hf(tk,wk), conw0 = w1,0 w2,0 = 0 1 donde f(tk,wk) = w2,k 2w2,k −w1,k +tketk −tk . Para k= 0 w1 = w0+ 0.1f(t0,w0) = 0 1 + 0.1 w2,0 2w2,0−w1,0+ 0e0−0 = 0 1 + 0.1 1 2 = 0 1 + 0.1 0.2 = 0.1 1.2

(25)

V.9. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR V.25 Entonces y(0.1) y0(0.1) = y1(0.1) y2(0.1) ≈y1 = 0.1 1.2 y y(0.1)≈0.1.

Soluci´on – Punto medio: La f´ormula de diferencias es wk+1 =wk+ h 2f tk+ h 2,wk+ h 2f(tk,wk) , conw0 = w1,0 w2,0 = 0 1 Para k= 0, w1 = w0+ 0.1 2 f t0 + 0.1 2 , w0+ 0.1 2 f(t0,w0) = 0 1 + 0.05f 0.05, 0 1 + 0.05 1 2 = 0 1 + 0.05f 0.05, 0.05 1.1 = 0 1 + 0.05 1.1 2(1.1)−0.05 + 0.05e0.05−0.05 = 0 1 + 0.05 1.1 2.1526 = 0 1 + 0.055 0.1076 = 0.055 1.1076 ≈ y(0.1) y0(0.1)

Soluci´on – Taylor 2do. orden: La f´ormula de diferencias es wk+1 =wk+hf(tk,wk) + h2 2 f 0 (tk,wk), conw0 = w1,0 w2,0 = 0 1 Calculando la derivada f0(t,y(t)) = d dt y2(t) 2y2(t)−y1(t) +tet−t = y₂0(t) 2y₂0(t)−y₁0(t) +et₊_tet₋₁ = 2y2(t)−y1(t) +tet−t 2(2y2(t)−y1(t) +tet−t)−y2(t) +et+tet−1 = 2y2(t)−y1(t) +tet−t 3y2(t)−2y1(t) + 3tet+et−2t−1

obtenemos la f´ormula de diferencias f0(tk,wk) =

2w2,k −wk,1 +tketk −tk

3w2,k−2w1,k+ 3tketk +etk −2tk−1

(26)

Entonces w1 = = 0 1 + 0.1f(t0,w0) + 0.12 2 f 0 (t0,w0) = 0 1 + 0.1 w2,0 2w2,0−w1,0+ 0e0−0 + 0.005 2w2,0 −w1,0+t0et0 −t0 3w2,0−2w1,0+ 3t0et0 +et0−2t0−1 = 0.1 1.2 + 0.005 2 3 = 0.11 1.215 ≈ y(0.1) y0(0.1)

Solución – Runge-Kutta. La fórmula para w1 es (usando la notación con fi’s en lugar deKi’s)

w1 =w0+ 1 6(K1+ 2K2+ 2K3+K4), con w0 = w1,0 w2,0 = 0 1 donde K1 = 0.1·f(t0,w0) = 0.1· 1 2 K2 = 0.1·f t0+ 0.1 2 , w0+ 1 2K1 = 0.1·f 0.05, 0 1 + 0.05 1 2 = 0.1· 1.1 2.1526 K3 = 0.1·f t0+ 0.1 2 , w0+ 1 2K2 = 0.1·f 0.05, 0 1 + 0.05 1.1 2.1526 = 0.1·f 0.05, 0.055 1.1076 = 0.1· 1.1076 2(1.1076)−0.055 + 0.05e0.05₋₀_.₀₅ = 0.1· 1.1076 2.1628 K4 = 0.1·f(t0+ 0.1, w0+ 1K3) = 0.1·f 0.1, 0 1 + 0.1 1.1076 2.1628 = 0.1·f 0.1, 0.1108 1.2163 = 0.1· 1.2163 2(1.2163)−0.1108 + 0.1e0.1 −0.1 = 0.1· 1.2163 2.3323

(27)

V.10. PROBLEMAS DE CONTORNO V.27 Entonces w1 = 0 1 + 0.1 6 1 2 + 2 1.1 2.1526 + 2 1.1076 2.1628 + 1.2163 2.3323 = 0.1105 1.2161 ≈ y(0.1) y0(0.1)

V.10 Problemas de Contorno

Consideramos problemas de contorno ocon valores en la frontera (PVF) de la forma (∗) y00=f(x, y, y0), a≤x≤b

y(a) =α, y(b) =β condiciones de frontera

Una solución del PVF (∗) es una función y(x) que satisface la ecuación diferencial en [a, b] y las condiciones de frontera. El siguiente teorema establece condiciones de existencia y unicidad para la solución del PVF (∗).

Teorema V.4 Sea R = {(x, y, y0) : a ≤ x ≤ b,−∞ < y, y0 < ∞} y f(x, y, y0) una funci´on continua en R y con derivadas fy y fy0 continuas en R. Si

fy(x, y, y0)>0 para todo (x, y, y0)∈R

y existe M >0 tal que

|fy0(x, y, y0)| ≤M para todo(x, y, y0)∈R,

entonces el PVF (∗) tiene una soluci´on ´unica y(x) en [a, b].

Ejemplo. Ejemplo.

PVF Lienal. Se dice que el PVF (∗) es lineal si existen funciones p(x), q(x), r(x) tal que (∗∗) f(x, y, y0) =p(x)y0+q(x)y+r(x).

En este caso, el enunciado del teorema se simplifica de la siguiente manera: si p(x), q(x), r(x) son continuas en [a, b] y q(x) > 0 en [a, b], entonces el PVF tiene una soluci´on ´unica en [a, b] (note que la continuidad de p(x) en [a, b] implica que existe M > 0 tal que |p(x)| ≤ M y por lo tanto |fy0(x, y, y0)| ≤M en [a, b]).

V.10.1 M´

etodo del Disparo para un PVF Lineal

Dado el PVF lineal con f(x, y, y0) como en (∗∗), consideramos los siguientes PVIs (PVI I) u00(x) = p(x)u0(x) +q(x)u(x) +r(x), a≤t≤b

(28)

y

(PVI II) v00(x) = p(x)v0(t) +q(x)v(x), a≤t≤b v(a) = 0, v0(a) = 1 condiciones de frontera

Veamos que si u(x) y v(x) son soluciones de (PVI I) y (PVI II) respectivamente entonces para cualquier constante c, y(x) = u(x) +cv(x) es una soluci´on de y00(x) = p(x)y0(x) +q(x)y(x) +r(x): y00(x) = (u(x) +cv(x))00 = u00(x) +cv00(x) = (p(x)u0(x) +q(x)u(x) +r(x)) +c(p(x)v0(x) +q(x)v(x)) = p(x)(u0(x) +cv0(x)) +q(x)(u(x) +cv(x)) +r(x) = p(x)y0(x) +q(x)y(x) +r(x)

Ahora veamos que es posible determinarctal que las condiciones de frontera se satisfacen. Primero, enx=a cualquier cfunciona:

x(a) = u(a) +cv(a) =α+c·0 =α. En x=b, se tiene que para quey(b) =β se debe tener que

u(b) +cv(b) =β y por lo tanto, asumiendo v(b)6= 0, entonces se debe escoger

c= β−u(b) v(b)

Pero v(b)6= 0 debe ser el caso si se satisfacen las condiciones del teorema, porque de lo contrario, si v(b) = 0 entonces v ser´ıa una soluci´on del PVF

v00(x) = p(x)v0(x) +q(x)v(x), a≤t ≤b v(a) = 0, v(b) = 0

y por la unicidad de la solución se tendr´ıa v ≡ 0, lo cual está en contradicción con la condición v0(a) = 1.

Para la solución numérica, se obtienen aproximaciones discretasw0₀, w0₁, . . . , w_M0 yw₀00, w00₁, . . . , w00_M para u(x) y v(x) en [a, b] usando alguno de los métodos ya discutidos para problemas con valor inicial, y luego se determina c como

c= β−w 0 M w00 M .

Con este valor, entonces la aproximaci´on discreta w0, w1, . . . , wM dey(x) est´a dada por

wk =w0k+cw

00

(29)

V.10. PROBLEMAS DE CONTORNO V.29 Implementación Matlab. La funciónlinshtrequiere que se pasen los sistemas de primer orden equivalentes a los dos PVIs I y II (por supuesto ser´ıa más fácil pasar p(t), q(t), r(t), pero as´ı no es como la implementación funciona).

function L = linsht (F1, F2, a, b, alpha, beta, M)

% Entrada - F1 y F2 son los sistemas de ecuaciones de primer orden

% representando los Problemas de Valor Inicial (P.V.I.’s)

% - a y b son los extremos del intervalo

% - alpha = x(a) y beta = x(b); las condiciones frontera

% Salida - L = [T’, X]; donde T’ es el vector de abscisas (M+1)x1

% y X es el vector de ordenadas (M+1) x 1 % Resolver el sistema F1 Za = [alpha, 0]; [T, Z] = rks4 (F1, a, b, Za, M); U = Z(:, 1); % Resolver el sistema F2 Za = [0, 1]; [T, Z] = rks4 (F2, a, b, Za, M); V = Z(:, 1);

% Calcular la solucion al problema de valor frontera X = U + (beta - U(M+1)) * V / V(M+1);