TRANSFORMACIONES EN COORDENADAS

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TRANSFORMACIONES EN COORDENADAS

En esta guía vamos a ver cómo se pueden expresar transformaciones del espacio o del plano, como las traslaciones, rotaciones y homotecias, en términos de coordenadas.

Dados una transformación y un sistema de coordenadas queremos obtener las coordenadas de la

imagen de un puntoP,conociendo las coordenadas deP.

En el caso de una transformación en el espacio, queremos expresar las coordenadasx′, y, zde la

imagenP′deP,en función de las coordenadasx, y, zdeP.En otras palabras, buscamos fórmulas donde

intervengan las coordenadasx, y, zdeP para representar las coordenadasx′, y, zdeP.

x′ = f1(x, y, z)

y′ = f2(x, y, z)

z′ = f3(x, y, z)

Ejemplos.

1. LA TRASLACION.

a) Fórmulas de transformación de coordenadas.

Recordemos que una traslación, definida por un vector fijoV,transforma cada puntoPdel

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Fijemos un sistema de coordenadas y tratemos de obtener las coordenadasx′, y, zde la

imagenP′,de un puntoP(x, y, z)arbitrario.

Comencemos por dibujar el vectorVen el origen y supongamos que sus coordenadas son

a, b, crespectivamente.

Obsérvese queP′se obtiene sumandoVaP:P(x, y, z) =P(x, y, z) +V(a, b, c).Luego las

coordenadas deP′no son más que la suma de las. coordenadas dePy las deV:

x′ = x+a

y′ = y+b

z′ = z+c

Como vemos, estas fórmulas nos dan las coordenadas de la imagen deP,conociendo las

coordenadas del puntoP y las coordenadas del vector de traslaciónV.

Supongamos que tenemos otra traslación definida por el vectorW(p, q, r).Las coordenadas

x′′, y′′, z′′de la imagenP′′de un puntoP(x, y, z),se obtienen ahora sumando las dePcon

las deW:

x′′ = x+p

y′′ = y+q

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Si trasladamos ahora aP,según el vectorV(a, b, c),y luego hacemos la traslación según el

vectorW(p, q, r) obtenemos la traslación producto deP según el vectorV+W(a+p, b+

q, c+r).Luego las coordenadasx′′′, y′′′, z′′′de la imagenP′′′deP se obtienen sumando las

deP con las deV+W.

x′′′ = x+a+p

y′′′ = y+b+q

z′′′ = z+c+r

Si se tiene la traslación definida por el vector V(a, b, c) que manda el punto P en P′,la

aplicación inversa, la que “devuelve” P′ a P es otra traslación definida por el vector

-V(−a,−b,−c). Observe que las coordenadas de la imagen del puntoP′(x′, y′, z′),según

la traslación por-Vson:

x = x′−a

y = y′−b

z = z′−c

b) Las traslaciones forman un grupo de transformaciones.

El hecho de ser el producto de dos traslaciones otra traslación, y que la inversa de una tras-lación es otra trastras-lación, nos dice que las traslaciones forman un grupo de transformaciones.

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Este hecho lo podríamos haber demostrado directamente a partir de las fórmulas que nos

dan las coordenadasx′, y, zde la imagen del puntoP(x, y, z),según una traslación por el

vectorV(a, b, c) :

x′ = x+a

y′ = y+b

z′ = z+c

Veamos ésto: si trasladamos P(x, y, z) según V(a, b, c) obtenemos P′(x, y, z) donde

x′ = x+a, y= y +b, z= z +c. Si ahora trasladamos P(x, y, z) según W(p, q, r)

obtenemosP′′′(x′′′, y′′′, z′′′)dondex′′′ =x+p, y′′′ = y+q, z′′′ =z+r.Pero según las

fórmulas dex′, y, zobtenemos entonces que

x′′′ =x+a+p, y′′′ =y+b+q, z′′′=z+c+r

Estas fórmulas dicen que P′′′(x′′′, y′′′, z′′′) es la imagen de P(x, y, z) según la traslación

V+W(a+p, b+q, c+r);hemos demostrado que el producto de dos traslaciones es otra

traslación.

Supongamos ahora que hemos trasladadoP(x, y, z) segúnV(a, b, c) obteniendo el punto

P′(x, y, z)y queremos trasladarP,según algún vector(p, q, r)a determinar, para obtener

de vuelta aP(x, y, z).

En coordenadas, tendríamos que debe cumplirse lo siguiente: x′+p=x (x+a) +p=x p=−a

y′+q =y ⇒ (y+b) +q=y ⇒ q =−b

z′+r=z (z+c) +r=z r =−c

Por lo tanto el vector(p, q, r)debe ser(−a,−b,−c) = −V, y el vector que define la

trans-formación inversa es−V.

c) Las traslaciones son movimientos rígidos.

Veamos analíticamente el hecho de que la traslación es un movimiento rígido, es decir que conserva las distancias.

SeanP(x1, y1, z1)yQ(x2, y2, z2)dos puntos arbitrarios del espacio y sean

P′(x

1, y′1, z′1) y Q′(x′2, y2′, z2′) los trasladados de P y Q respectivamente según un vector

V(a, b, c).

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pero como d(P′, Q) = p (x′ 1−x′2) 2+ (y 1−y2′) 2+ (z 1−z2′) 2 se tendrá x′ 1 = x1+a x′2 = x2+a y′ 1 = y1+b y2′ = y2+b z′ 1 = z1+c z′2 = z2+c d(P′, Q) = p [(x1+a)−(x2+a)]2+ [(y1+b)−(y2+b)]2+ [(z1+c)−(z2+c)]2 = p(x1−x2)2+ (y1−y2)2+ (z1−z2)2 =d(P, Q)

Hemos demostrado entonces usando coordenadas, que la traslación es un movimiento rígido.

d) Ecuación de la imagen de un plano, recta, esfera, etc.

Veamos ahora cómo se puede interpretar analíticamente el hecho de que el traslado de un plano es un plano, de una recta otra recta, de una esfera otra esfera, etc.

La ecuación de un plano es una ecuación lineal del tipoAx+By+Cz+D= 0.

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Tenemos que P′(x, y, z) está en la imagen del plano sólo siP′ −V está en el plano, es

decir, satisface su ecuación:

A(x′a) +B(yb) +C(zc) +D= 0, ó

Ax′+By+Cz+J = 0, donde: J =(Aa+Bb+Cc)

Esta ecuación es lineal en x′, y, zy representa un plano paralelo al dado. Observa que

todo punto que satisfaga esta última ecuación está en la imagen del primer plano, luego el traslado de nuestro plano, es otro plano. Más precisamente el plano representado por:

Ax+By+Cz+J = 0 con J =−(Aa+Bb+Cc).

Observación. No hay necesidad de poner primas en la ecuación, ya quex, y, z repre-sentan las coordenadas de un punto genérico del espacio.

Siguiendo de manera similar al caso de la traslación de un plano, se puede demostrar que la trasladada de una recta es otra recta, la de una esfera, otra esfera, etc. Basta escribir la ecuación correspondiente y observar que la ecuación de la imagen es del mismo tipo.

2. LA ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN PUNTO FIJO EN EL PLANO.

a) Fórmulas de transformación de coordenadas para la rotación.

Recordemos que una rotación, alrededor de un punto fijo O del plano, transforma cada

puntoP del plano en otro puntoP′,dado por un ángulo fijo. El puntoOse transforma en

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Queremos hallar las coordenadas del puntoP′conociendo las deP.Para estudiar este caso,

podemos simplificar mucho las fórmulas si escogemos los ejes de coordenadas de manera que el origen coincida con el centro de rotación.

Queremos hallar una fórmula que nos dé las coordenadas x′, ysi conocemos x ey, y el

ángulo de rotaciónθ.Observemos primeramente que la rotación conserva la suma de

vec-tores: siA′yB′son las imágenes deAyBrespectivamente, por la rotación, entoncesA+B

es la imagen deA+B.

En particular comoP(x, y) =xi+yj, se tendrá que la imagenP′ deP, es igual a la suma de

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El problema se reduce a hallar las coordenadas de los vectoresxi′eyj.

Para esto fíjate en el triángulo de la derecha. Como el vectorxitiene longitudx,también

la tendrá el vectorxi′; luego la hipotenusa del triángulo tiene longitudxy las coordenadas

del vectorxi′ son(xcosθ;xsenθ).

En el triángulo de la izquierda, la hipotenusa tiene longitudy,luego las coordenadas del

vectoryj′son(−ysenθ, ycosθ) :

xi′ = (xcosθ, xsenθ)

yj′ = (ysenθ, ycosθ)

La imagenP′deP es la suma de estos dos vectores:

P′(x, y) = (xcosθ, xsenθ) + (ysenθ, ycosθ)

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Luego las coordenadasx′, ydePson:

x′ = xcosθ−ysenθ

y′ = xsenθ+ycosθ

Estas son las fórmulas de trasformación de coordenadas de la rotación en el plano.

b) Grupo de rotaciones en el plano.

Observa que si rotamos el punto P(x, y) según un ángulo θ1 y luego rotamos según un

ánguloθ2 se obtiene la rotación producto según el ánguloθ1+θ2.

En este caso las coordenadas de la imagenP′′(x′′, y′′)deP(x, y)son:

x′′ = xcos(θ1+θ2)−ysen(θ1+θ2)

y′′ = xsen(θ1+θ2) +ycos(θ1+θ2)

Fíjate también que si se tiene la rotación según el ángulo θque manda P(x, y) en P′(x, y)

la aplicación inversa, la que manda P′(x, y) en P(x, y), es otra rotación

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Las coordenadasx, yde la imagen del puntoP′(x, y)son:

x = x′cos(−θ)−y′sen(−θ)

y = x′sen(−θ) +y′cos(−θ)

Recordando quecos(−θ) = cosθ y sen(−θ) =−senθ,se tiene

x = x′cosθ+ysenθ

y = −x′senθ+y′cosθ

Similarmente al caso de las traslaciones, el hecho de que el producto de dos rotaciones del mismo centro sea una rotación y que la inversa de una rotación es otra rotación, nos dice que las rotaciones de un mismo centro forman un grupo de transformaciones.

Este hecho también se podía haber demostrado analíticamente, de forma similar al caso de las traslaciones, usando sólo la fórmula de cambio de coordenadas de una rotación según

un ánguloθ

x′ = xcosθ−y′senθ

y′ = xsenθ+ycosθ

c) Otras propiedades de las rotaciones.

Utilizando coordenadas también podemos demostrar analíticamente que la rotación es un movimiento rígido y que transforma rectas en rectas, circunferencias en circunferencias, etcétera.

Veamos por ejemplo que una recta se transforma por una rotación de ánguloθen otra recta.

Consideremos la rectaAx+By+C = 0y hallemos la ecuación de su imagen. Un punto

P′(x, y)está en la imagen sólo si al rotarlo según el ángulo−θse transforma en un punto

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