Tema 1. Los números reales y complejos

MATEM ´ATICAS I-GRUPO E Curso 2020/2021

Escuela T´ecnica Superior de Ingenier´ıa Agron´omica Departamento de Matem´atica Aplicada I

Tema 1.

Los n´

umeros reales y complejos

1.1. Resolver las siguientes desigualdades y dibujar el conjunto soluci´on en la recta real.

a) 2x₋1_≥0 b) 3x+ 1_≥2x+ 2 c) ₋4<2x₋3<4 d) x 2 + x 3 >5 e) x2 _{≤3−2x f) x}2_+x−1≤5 g) x+1 x ≥1 h) x₋1 x+ 2 <1 i) 2(x+ 1) −3 + 3x+ 5 ≤ 7x₋4 −2 j) 3 5x− 2x₋1 10 ≤0.3(x−2) + x 5 1.2. Dados a < b, razonar cu´ales de las siguientes desigualdades son ciertas.

a) a+ 2< b+ 2 b) 5b <5a c) 5₋a >5₋b d) 1 a < 1 b e) (a−b)(b−a)>0 f) a 2 _{< b}2

1.3. Resolver las siguientes desigualdades y dibujar el conjunto soluci´on en la recta real. a) x₋3 2 ≥ 5 b) 1₋2 3x <1 c) _|x₋4_|=_|x₋1_| d) x+ 2 3₋x = x+ 2 3₋x e) x+ 4 x₋3 >2 f) _|2x_{− |}3₋2x_{|| ≤}2 1.4. Hallar:

a) Todos los n´umeros que distan a lo sumo 10 unidades del 12. b) Todos los n´umeros que distan por lo menos 10 unidades del 12. 1.5. Resolver las siguientes ecuaciones en C_.

a) x2 _{−2x+ 2 = 0 b) 4x}2_{+ 16x+ 17 = 0 c)x}3 _{−2x−4 = 0} 1

1.6. Dados los n´umeros complejos z1 = 2 +i y z2 = 3 − 2i, realizar las siguientes operaciones.

a)z1 +z2 b) z1−z2 c) z1·z2

d)z1/z2 e) 3z1 f) (5z1−2z2)/z1 1.7. Realizar las siguientes operaciones.

a) (5 +i) + (6₋2i) b) (8 +√₋18)₋(4 + 3√2i) c) 13i₋(14₋7i) d) ₋ 3 2 + 5 2i + 5 3+ 11 3 i e) (1 +i)_·(3₋2i) f) 6i(5₋2i) g) (√14 +√10i)_·(√14₋√10i) h) (4 + 5i)2 i) 2 +i 2₋i j) 6₋7i i k) 1 (4₋5i)2 l) i 3₋2i + 2i 3 + 8i

1.8. Hallar dos n´umeros complejos z1 y z2 tales que z1 +z2 = 2 + 4i, la parte real de

z2 =−1 y z1/z2 es imaginario puro.

1.9. Dado el n´umero complejo z =a+bi, determinar la relaci´on que debe existir entre

a y b para que el cociente z_z+1₋₁ sea imaginario puro.

1.10. Representar los siguientes n´umeros complejos en el plano y expresarlos en forma polar o bin´omica, seg´un su caso.

a) 3₋3i b) √3 +i c)₋2(1 +√3i) d) 6i e) 2150o f) (3 2)300o g) 3.753π 2 h) 8 π 12 i)−1

1.11. Efectuar las siguientes operaciones. a) 3π 3 ·4 π 6 b) ( 3 2)π2 ·6 π 4 c) ( 5 3)140o ·( 3 2)60o d) 15π 3 /1π e) 24300o/875o f) 2 2π 3 /8 11π 6 g) (√230o)6 h) (1 +i)6 i) i312 j) √5 1 k) √₋16 l) √3 1 +i

1.12. Calcular el n´umero complejo w = zi, siendo z = 3₋2i. Interpretar gr´aficamente el resultado de esta operaci´on.

1.14. Uno de los v´ertices de un oct´ogono regular inscrito en una circunferencia centrada en el origen es el punto (2,0). Hallar las coordenadas de los dem´as v´ertices y determinar una ecuaci´on cuyas soluciones complejas tengan como afijos dichos v´ertices.

1.15.

a) Determinar un n´umero real β tal que eβi = √ 2 2 + √ 2 2 i. b) Hallar los n´umeros complejos z que verifican la ecuaci´on ez2

= √ 2 2 + √ 2 2 i. c) Describir y representar gr´aficamente la regi´on del plano formada por los afijos

de los n´umero complejos z = x+yi que verifican que el m´odulo del n´umero complejoz₋2 +i es menor o igual que 2.

1.16. Hallar los n´umeros complejosz =x+yi que verifican ez _=−2.

1.17. Demostrar que para cualquier x_∈R _{se verifica:}

cosx= e

ix_+e−ix

2 senx=

eix _−e−ix

2i

1.18. Dado el n´umero complejo z = 1 + 3xi

3₋4i , hallar x para que:

a) z sea imaginario puro. b) z sea un n´umero real.

c) El argumento principal de z tenga tangente 1. 1.19. Sea z = 1 + √ 3i 2 . a) Demostrar que z2 _=z−1. b) Encontrar el valor de (1₋z)6_. 1.20. Sean z1 =λ+λ √ 3iy z2 = √

2₋√2i conλ_∈R_{. Determinar la expresi´on en forma}

polar de

z1

z2 6

Tema 2.

Funciones reales

2.1. Hallar el dominio de las siguientes funciones de una variable. a)f(x) = 1 9₋x2 b)f(x) = √ 2 +x₋x2 c)f(x) =√3 _{2x+ 1 d)f(x) =}p 2_{− |}x_| e)f(x) = ln(x2_{−9) f) f(x) = ln} 1 +x 1₋x g)f(x) =    √ x senπx si x >0 arcsenx si x_≤0 h)f(x) =pln( tgx)

2.2. La temperatura de un invernadero se controla mediante un termostato. La siguiente gr´afica muestra la evoluci´on de esta temperatura a lo largo de un d´ıa.

10 12 14 16 18 20 22 24 T 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 t

a) ¿Cu´al es la temperatura en el invernadero a las 4 de la madrugada? ¿y las 3 de la tarde?

b) Si programamos el termostato para obtener una temperaturaH(t) =T(t₋1).

¿C´omo cambiar´ıa la temperatura?

c) Si programamos el termostato para obtener una temperaturaH(t) =T(t)₋1.

¿C´omo cambiar´ıa la temperatura?

2.3. Una enfermedad por hongos se origina en medio de un huerto y afecta inicialmente a un ´arbol. La enfermedad se extiende radialmente a una velocidad constante de 3

metros por d´ıa ¿Qu´e ´area habr´a afectado transcurridos 2 d´ıas? Definir una funci´on que exprese el ´area afectada en funci´on del tiempo transcurrido.

2.4. La altura en metros y de un cierto ´arbol en funci´on de su edad en a˜nos x, sigue aproximadamente el modelo y= 40e−20x, x≥0. 0 5 10 15 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 x 0 10 20 30 40 y 50 100 150 200 250 300 x

• A partir de la gr´afica de esta funci´on, describir c´omo es el crecimiento del ´arbol, atendiendo a las siguientes cuestiones: ¿Crece siempre el ´arbol? ¿Crece a la misma velocidad a lo largo del tiempo?

• ¿Cu´antos a˜nos deber´an transcurrir para que el ´arbol alcance 39 metros de altura?

• ¿Puede alcanzar el ´arbol alguna vez la altura de 50 metros? ¿Hay una altura m´axima que el ´arbol pueda alcanzar?

2.5. Durante una reacci´on qu´ımica, la temperatura T (en grados Celcius) var´ıa con el tiempo t (en minutos), seg´un la relaci´on

T = 10

t+ 1 +t, con t ∈[0,30]

a) ¿En qu´e instante de tiempo la temperatura alcanza los 15 grados?

b) ¿Durante que periodo de tiempo la temperatura se encuentra entre 8 y 12 grados?

2.6. Vallado de un terreno: Un granjero decide vallar un terreno de pasto rectangular adyacente a un r´ıo, utilizando 100 metros de valla de los que dispone. Teniendo en cuenta que el lado adyacente al r´ıo no precisa vallarse, se pide:

a) Expresar el ´area del terreno como funci´on de la longitud de los lados paralelos al r´ıo y determinar el dominio de esta funci´on.

b) Dibujar la gr´afica de la funci´on ´area y estimar las dimensiones del terreno que proporciona el ´area de pasto m´axima.

2.7. La cosecha: Un agricultor sabe que si vende hoy su cosecha podr´a recoger 52000 kg que le pagar´an a 3 c´entimos el kilogramo. Por cada d´ıa que espere, la cosecha disminuir´a en 800 kg pero el precio aumentar´a en 3 c´entimos por kilogramo.

a) Expresar el beneficio obtenido en funci´on de los d´ıas que espere.

b) Calcular el dominio de la funci´on beneficio teniendo en cuenta las condiciones del enunciado.

c) ¿Cu´antos d´ıas debe esperar para obtener el m´aximo beneficio?

2.8. La plantaci´on de madera: Se sabe que la productividad de un cultivo depende de la densidad de plantaci´on. Para una plantaci´on forestal destinada a la industria maderera, se sabe que con una densidad de 20 ´arboles por hect´area cada ´arbol crece una media de 2 metros por a˜no, pero que el crecimiento promedio se reduce 1/12 por cada ´arbol adicional a partir de los 20.

a) Expresar la Producci´on de madera como funci´on del n´umero de ´arboles en la plantaci´on por hect´area.

b) Calcular el dominio de la funci´on Producci´on seg´un las condiciones del enun-ciado.

c) ¿Cu´antos ´arboles se deben plantar por hect´area para maximizar la producci´on? 2.9. Construcci´on de un tubo: Una plancha de aluminio rectangular de 36 m de

per´ımetro se enrolla para construir un tubo cil´ındrico.

a) Expresar el Volumen del tubo en funci´on de la longitud de la base de la plancha. b) Calcular el dominio de la funci´on Volumen teniendo en cuenta las condiciones

del enunciado.

2.10. La vara: Se dispone de una vara de 10 cm de longitud situada verticalmente respecto del suelo. Manteniendo fijo el extremo superior, la vara se inclina un ´angulo respecto de la vertical y se hace girar en torno a un eje vertical de manera que la trayectoria de la vara describe la superficie de un cono.

a) Expresar el volumen del cono como funci´on del ´angulo de inclinaci´on de la vara (θ), como funci´on de su altura (h) y como funci´on de su radio (r).

b) Calcular el dominio del volumen del cono para cada una de las variables del apartado anterior.

2.11. El pozo: Un agricultor posee un terreno cuadrado de 100 metros de lado con un pozo en el centro de dicho terreno. El sembrado del terreno provoca que el agricultor se desplace por el interior del mismo a una velocidad de 1 m/s, mientras que si camina por el borde la velocidad es de 3 m/s. Para desplazarse desde uno de los v´ertices hasta el pozo, lo que hace el agriculor es caminar primero unos metros por el borde del terreno y despu´es dirigirse al pozo en l´ınea recta desde ese punto.

a) Expresar el tiempo total empleado por el agriculor para desplazarse desde uno de los v´ertices hasta el pozo en funci´on de los metros que camina por el borde. b) ¿Cu´al es el dominio de esa funci´on? Si lo que nos interesa es emplear el menor tiempo posible, ¿cu´al ser´ıa el dominio si nos fijamos en las condiciones geom´etricas del enunciado?

2.12. Segregaci´on de fincas 1: Una finca agr´ıcola tiene forma de trapecio rect´angulo tal que sus bases miden 240 m y 400 m, respectivamente, y el lado perpendicular a ´estas mide 400 m. Se quiere segregar la finca en otras dos rectangulares C1 y C2, tal como indica la siguiente figura:

Se pretende sembrar ma´ız en el campoC1 y trigo enC2 y se estima que los beneficios que aportan estos cereales son de 0.12 euros por m2 _{el ma´ız y de 0.10 euros porm}2 el trigo.

a) Expresar el beneficio total obtenido en funci´on de la variablesxeyde la figura. b) Establecer la relaci´on entre las variables x e y de la figura.

c) Expresar el beneficio total obtenido como funci´on de la variable x.

d) ¿Cu´al es el dominio de esa funci´on? ¿C´omo se interpreta, en la segregaci´on de la finca, que la variable tome como valores los extremos de ese dominio?

2.13. Construcci´on de cajas 1: A partir de una plancha cuadrada de 12 cm de lado se construye una caja sin tapa recortando cuadrados de lado x en sus esquinas y plegando la superficie resultante (v´ease la Figura).

a) Expresar el volumen de la caja como funci´on de la longitud x recortada. b) ¿Cu´al es el dominio de la funci´on volumen, seg´un las condiciones del enunciado?

x x

x

12

2.14. Laregla de los troncos de Doylees un m´etodo utilizado para determinar el rendimiento en madera aserrada de un tronco (en tablones por metro) en t´erminos de su di´ametro

D (en pulgadas) y de su longitud L (en metros). Seg´un este modelo, el n´umero de tablones por metro viene dado por

N(D, L) = D₋4 4 2 L.

Hallar el n´umero de tablones por metro de madera aserrada producida por un tronco de 22 pulgadas de di´ametro y 4 metros de longitud.

2.15. La funci´on de producci´on de Cobb-Douglas es un modelo que permite expresar el n´umero de unidades producidas en t´erminos de las unidades de trabajo x y del capital y:

f(x, y) =c xay1−a_,

donde c es una constante y 0< a < 1. Probar, que seg´un este modelo, si se dobla el n´umero de unidades de trabajo y de capital, entonces tambi´en se doblar´a el nivel de producci´on.

a) f(x, y) = 1 x2_+y2 b)f(x, y) = 1 x₋1 + 1 y c) f(x, y) = √1₋x2₊p 1₋y2 _{d)f(x, y) =}p 1₋x2_−y2 e) f(x, y) = ln(x+y) f) f(x, y) = r 1₋x 2 4 − y2 9 g) f(x, y) = ln(x2_{+y) h)f(x, y) = ln(y}2_{−2x+ 3)} i) f(x, y) =√xseny j) f(x, y) =        p 1₋x2_{−y siy≥0} 1 p 1₋x2 _−y2 siy <0 2.17. Describir y dibujar las curvas de nivel de las siguientes funciones correspondientes

a los niveles que se indican:

a) f(x, y) = x+y para k =₋1,0,2,4.

b) f(x, y) = p

25₋x2_−y2 _{para k = 0,1,2,3.} c) f(x, y) = x2_{+ 2y}2 _{para k = 0,2,4,6.} d) f(x, y) = xy para k=₋2,₋1,1,2.

2.18. Una fina placa met´alica est´a situada en el plano OXY, siendo la temperatura T

(en o_{C) en el punto (x, y) inversamente proporcional al cuadrado de su distancia al} origen.

a) Expresar T en funci´on de x e y.

b) Describir las curvas de nivel y dibujar un conjunto representativo.

c) Si la temperatura en el punto (1,2) es 50o_{C, ¿cu´al es la temperatura en el} punto (4,3)?

2.19. Productos con suma prefijada: Consideremos tres n´umeros reales positivos que suman M.

a) Expresar su producto como funci´on de dos de ellos.

b) Determinar y representar en el plano el dominio de esa funci´on.

c) ¿Qu´e valor toma en la funci´on producto si los puntos se eligen en la frontera de ese dominio?

2.20. Restricciones temporales, espaciales o econ´omicas: A menudo ocurre que, por falta de tiempo, espacio o dinero, s´olo podemos disponer de una cantidad li-mitada de M unidades de un cierto producto y, sin embargo, podemos hacer una

cierta elecci´on sobre ese producto dividiendo M en dos partes xe ypara utilizarlas de forma diferente. Por ejemplo:

• Restricci´on temporal b´asica: “Tengo M unidades de un tiempo”, pero puedo fabricar dos tipos de objetos en ese tiempo.

• Restricci´on espacial b´asica: “A lo sumo puedo cultivar M h´ectareas”, pero puedo elegir dos productos distintos que cultivar.

• Restricci´on econ´omica b´asica: “S´olo dispongo de M dinero para gastar”, pero lo puedo gastar en dos conceptos distintos.

Sixeyrepresentan las cantidades elegidas para cada uno de los tipos del producto, ¿qu´e regi´on del plano modeliza los puntos que cumplen esa restricci´on?

2.21. Publicidad: Las ventas de un detergente son funci´on del n´umero de anuncios en la prensa, x, as´ı como del n´umero de minutos de publicidad en TV, y. Un anuncio en la prensa vale 100 euros y un minuto en TV, 1500 euros. El presupuesto de publicidad no puede superar los 30.000 euros. Determinar y dibujar la regi´on del plano que representa todas las posibles pol´ıticas publicitarias.

2.22. Segregaci´on de fincas 2: Los lados de una finca con forma triangular pueden modelizarse por las rectasy= 0,x = 0 ey= 2₋x. Se pretende delimitar dos zonas de cultivo con forma rectangular cuyas bases son paralelas al eje de abcisas como indica la figura.

a) Expresar la suma del ´area las dos fincas como funci´on de las longitudes x1 e

b) Determinar el dominio de la funci´on suma de las ´areas seg´un las condiciones del enunciado. Representar el dominio y determinar que consecuencias tendr´ıa sobre las zonas de cultivo que se tomen valores en la frontera de ese dominio. 2.23. Construcci´on de cajas 3: Consideremos que x, y, z son las dimensiones en cm

de una caja rectagular (largo, ancho, alto). Para cada uno de los siguientes casos, determinar el volumnen de la caja en funci´on de las variables xe y y el dominio de dicha funci´on con las siguientes restricciones:

a) La suma de la altura de la caja y el per´ımetro de la base es de 96 cm. b) La suma de sus dimensiones es 100 cm.

c) La suma de sus dimensiones es de 114 cm, no tiene m´as de 50 cm de largo o de ancho, ni m´as de 30 de alto.

2.24. Construcci´on de un canal´on: Se quiere convertir una plancha de zinc de 60 cm de ancho en un canal´on, como muestra la figura.

a) Expresar el ´area S de una secci´on transversal del canal´on como funci´on de xy

a.

b) Calcular el dominio de S considerando las condiciones del enunciado.

c) Determinar qu´e tipo de canal´on se obtiene cuando los valores de x y a est´an en la frontera del dominio.

.

2.25. Construcci´on de una alberca: Para la construcci´on de una alberca con forma cil´ındrica en una finca agr´ıcola disponemos de un presupuesto m´aximo de 5000 euros. Hay que cubrir las paredes laterales de la misma (el suelo no es necesario cubrirlo) y el coste es de 100 euros por cada metro cuadrado. Adem´as, tanto el radio r de la base como la profundidad h de la alberca deben ser de al menos un metro.

a) Expresar el Volumen de la alberca como funci´on del radio de la base (r) y la profundidad (h).

b) Determinar el dominio de la funci´on Volumen seg´un las condiciones del enun-ciado.

c) Determinar los valores de r y h pertenecientes al dominio para los que se gastar´ıa todo el presupuesto.

2.26. Construcci´on de una p´ergola: Se pretende construir una p´ergola para proteger una zona del sol. La estructura consiste en una superficie rectangular a modo de techo con 4 soportes o columnas de forma cil´ındrica de 5 cm de radio. Adem´as, para proteger la madera, hay que pintar la superficie de los 4 soportes y del techo, tanto por la parte superior como inferior y la cantidad de barniz disponible est´a limitada a 10m2_{. Se impone que las dimensiones del techo sean como m´ınimo de} un metro (tanto la anchura como la profundidad) y adem´as la cantidad de barniz disponible para proteger la madera est´a limitada a 10m2_{, teniendo en cuenta que} hay que pintar la superf´ıcie de los 4 soportes y del techo, tanto la parte superior como la inferior.

a) Expresar el Volumen que define la estructura como funci´on de las dimensiones del techo (x e y).

b) Determinar el dominio de la funci´on Volumen seg´un las condiciones del enun-ciado.

Tema 3.

C´

alculo Diferencial

a) f(x) =x2_{+ 5−3x}−2 _{b)f(x) =x}4/5_−x2/3 c) f(x) = √3 _x+√5 _{x d)f(t) = 2}√4 4₋t2 e) f(x) = (9₋x2₎2/3 _{f) f(x) =x+} 1 x2 g) f(x) = x 3_−3x2_{+ 4} x2 h)f(x) = 1 2x 2√₁₆ −x2 i) f(x) = x+ 5 x2 _{+ 2} 2 j) f(t) =e−(t+3)25 k) f(x) = e x 1 +ex l)f(x) = ln √ x2_{−2x+ 1} m) f(x) = ln (cos (3x)) n)f(x) = sen√3_x+√3 _senx

o) f(x) = cos (1₋2x)2 _{p)f(x) = tg ( sen (πx))} q) f(x) = secx2 _{r)f(x) =} cotgx senx s) f(x) = cosx cosecx t)f(x) = arcsen x √ x4_{+ 4} u)f(t) = arccos(2 tg3_{t) v) f(x) = arctg} 1 √ x+ 2 w) f(x) = ln(x 2 _{−2x+ 1)} sen (3x) x) f(x) = sen 2 x+ 2 x+ 1 y) f(x) = cos 3x₋1 x+ 2 2 z)f(x) = arctan senx 1 + cosx

3.2. Calcular la derivada de las siguientes funciones. a) f(x) = (ln(x))x b) f(x) =xlnx

c) f(x) = (cosx)x _{d) f(x) =x}cosx

3.3. Calcular un polinomio de segundo grado ptal que

p(₋1) = 6, p′_{(1) = 8, p}′′_{(0) = 4.}

3.4. Demostrar que la derivada de un polinomio de grado n es un polinomio de grado

n₋1.

3.5. Dadas las funciones seno y coseno hiperb´olico: sinh(x) = e

x_−e−x

2 , cosh(x) =

ex_+e−x

Demostrar que (sinh)′_{(x) = cosh(x) y (cosh)}′_{(x) = sinh(x).}

3.6. Hallar las rectas tangentes a las funciones dadas en los puntos que se indican. a)f(x) = 3₋2xen (₋1,5). b)f(t) = 3t₋t2 _{en (0,0).} c)f(x) =√x(x3_{−1) en (1,0) d)f(x) =} 2x−5 x3 en (2, −1 8 ). e)f(x) =e−x2_{cosx en (}π 2,0). f) f(x) =x x _{en (1,1).}

3.7. Hallar la ecuaci´on de una par´abola de la formay =x2_{+bx+cque sea tangente a} la curva y= (x₋1)3 _{en el punto de abcisa x= 1.}

3.8. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la funci´ony= ln r

x

x+ 1 paralelas a la recta x₋4y+ 1 = 0.

3.9. Hallar la ecuaci´on de la recta tangente a y=x2_{+ 4x+ 5 que pasa por el origen de} coordenadas.

3.10. La recta tangente a una cierta curva y =g(x) en el punto (5,2) pasa por el punto (9,0). Hallar g(5) y g′_(5).

3.11. El perfil de una monta˜na se puede modelizar por la funci´onf(x) =₋x2_{+ 5x+ 4. Se} pretende construir un funicular desde un punto del suelo (eje OX) hasta un punto cercano a la cumbre de la monta˜na de manera que el cable del funicular se represente por una recta tangente a la monta˜na con un ´angulo de 135o _{con respecto al suelo.} Calcular los puntos en el suelo y en el perfil de la monta˜na donde comenzar´ıa y terminar´ıa, respectivamente, la estructura del funicular.

3.12. Supongamos que un cometa sigue una trayectoria de ecuaci´on y = 2x2 _{+ 2x+ 8} y que la Tierra se encuentra situada en el punto (0,0). Sabiendo que cuando un cometa se escapa de su trayectoria sigue siempre la direcci´on de la recta tangente a la trayectoria en el punto de escape, averiguar las coordenadas de los puntos de escape de la trayectoria del cometa en los que har´ıa impacto con la Tierra.

3.13. Los ensayos de Mendel mostraron que si p (0< p < 1) es la frecuencia del gen de c´ascara lisa en los guisantes y 1₋p es la frecuencia del gen de c´ascara arrugada, entonces la proporci´on de guisantes de c´ascara lisa en la poblaci´on total es

y= 2p(1₋p) +p2.

Justificar que el valor de y es m´as sensible a un cambio de p cuando p es peque˜na que cuando p es grande, interpretando la derivada de y respecto de p.

3.14. Una poblaci´on de 500 bacterias se introduce en un cultivo y aumenta de n´umero de acuerdo con la ecuaci´on P(t) = 500

1 + 4t 50 +t2

, donde t se mide en horas. Hallar el ritmo de crecimiento de la poblaci´on cuando t = 2.

3.15. Para la funci´on de crecimiento de von Bertalanffy:

L(x) =l(1₋e−kx_{), x}

≥0,

con L(x) una medida del crecimiento (peso, longitud, ...) a la edad x y l y k

constantes positivas, demostrar que la velocidad de crecimiento es proporcional a la diferencia entre l y L. ¿C´omo cambia la velocidad de crecimiento con la edad? ¿C´omo influye el par´ametro k en la velocidad de crecimiento?

3.16. Hallar las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones de dos variables. a) f(x, y) = 2x₋3y+ 5 b)z =x√y c) z =x2_{−5xy+ 3y}2 _{d)f(s, t) = s}2_e2t e) f(x, y) = log (x2_+y2_{) f) f(x, y) = log} x+y x₋y g) f(x, y) = x 2 2y + 4y2 x h)z =e −(x2_+y2₎ i) f(x, y) =p x2 _+y2 _{j) z = tg (2x−y)} k) f(x, y) =ey_{sen (xy) l)f(x, y) = cos(x}2 _+y2₎

3.17. Hallar el plano tangente a la siguientes superficies en los puntos que se indican: a) z = 25₋x2_−y2_{, en el punto (3,1,15).}

b) z =px2_+y2_{, en el punto (3,4,5).} c) z =ex_{( seny+ 1), en el punto (0, π/2,2).}

d) z = lnpx2_+y2_{, en el punto (3,4,ln 5).}

3.18. Hallar las derivadas parciales primeras y segundas de las siguientes funciones. a) f(x, y) = 4x3_{−6xy+ 2y}3

b) f(x, y) = ex+ seny

c) f(x, y) = px2 _+y2 d) f(x) = arctg (y

x)

3.19. Probar que las siguientes funciones satisfacen las ecuaciones que se indican. a) z =ex_{seny, ecuaci´on de Laplace:} ∂2z

∂x2 +

∂2_z

b) z = sen (x₋ct), ecuaci´on de ondas: ∂ 2_z ∂t2 =c 2∂2z ∂x2. c) z =e−t_cos(x

c), ecuaci´on del calor: ∂z ∂t =c

2∂2z

∂x2. 3.20. Calcular el gradiente de las siguientes funciones.

a)f(x, y) =x3_y2 _{b) f(x, y) = e}√x2_+y2 c)f(x, y) = ln(x y + y x) d) f(x, y) = tg x₋y x+y

3.21. La superficie de una monta˜na se puede modelar mediante la ecuaci´on

f(x, y) = 4000₋0.001x2₋0.004y2.

¿En qu´e direcci´on nos debemos mover desde el punto (500,300,3.390) para ascender con la mayor rapidez posible?

3.22. La temperatura en cada punto (x, y) de una placa met´alica admite el modelo

T(x, y) = 400 e−(x2_+y)/2

, x_≥0, y _≥0.

a) Calcular la direcci´on de m´aximo crecimiento de la temperatura en el punto (3,5).

b) Hallar la direcci´on tangente en el punto (3,5) a la curva en la que la tempera-tura no cambia respecto al mismo punto.

Tema 4.

Aplicaciones de la derivada

4.1. Hallar los intervalos de crecimiento o decrecimiento as´ı como los extremos relativos de las siguientes funciones.

a) f(x) = x 2_{−2x+ 1} x+ 1 b) f(x) = 5− |x−5| c) f(x) =x+ cos(x) d) f(x) =_|x2 _−9| e) f(t) = arctgt₋ 1 2ln(1 +t 2_{) f) f(x) = (x−2)}4

4.2. Determinar los valores deapara los que la funci´on f(x) = 1−ax

2₋x es decreciente.

4.3. Dada la curva f(x) = 4x3_−2x2_−10:

a) Hallar la ecuaci´on de la recta tangente af(x) en el punto en el que la pendiente vale₋1/3.

b) Demostrar que el punto anterior es un punto de inflexi´on de la curva.

4.4. Hallar los extremos absolutos de las siguientes funciones en los intervalos que se indican.

a) f(x) =₋x2_{+ 3x en [0,3] b)f(x) =} x2

x2_{+ 3} en [−1,1] c) f(x) = 3x2/3_{−2x en [−1,1] d)f(x) = cos (πx) en [0,}1

2]

4.5. Sea (x0, y0) un punto cr´ıtico de la funci´on f(x, y).Determinar si hay un m´aximo o m´ınimo relativo, un punto de silla o si la informaci´on es insuficiente, conocidos los datos que se indican en cada uno de los siguientes casos.

a) fxx(x0, y0) = 9, fyy(x0, y0) = 4, fxy(x0, y0) = 6. b) fxx(x0, y0) =−3, fyy(x0, y0) =−8, fxy(x0, y0) = 2.

c) fxx(x0, y0) =−9, fyy(x0, y0) = 6, fxy(x0, y0) = 10. d) fxx(x0, y0) = 25, fyy(x0, y0) = 8, fxy(x0, y0) = 10.

a)f(x, y) = x 2_y2_+x+y xy b) f(x, y) = x 3_+y3_{−9xy + 27} c)f(x, y) =y3_+x2_y+x2_{+ 2y}2_{−4y−8 d) f(x, y) = x}2_−3xy−y2 e)f(x, y) =x3_−3xy+y3 _{f) f(x, y) = e}−x_seny g)f(x, y) = 2xy₋ 1₂(x4_+y4_{) + 1 h) f(x, y) = x}2_+y4

4.7. Hallar los extremos relativos de la funci´onf(x, y) = x3_+x2_y+y2_{+ 2y+p.Calcular}

pde forma que f tenga un m´ınimo igual a 0.

4.8. Determinar los extremos relativos y puntos de silla de la funci´on f(x, y) =ey2

−px2_,

seg´un los valores de p.

4.9. Calcular los extremos absolutos de las siguientes funciones en la regiones que se indican.

a) f(x, y) = 12₋3x₋2y,R _{≡ {}Tri´angulo de v´ertices (2,0),(0,1),(1,2)_}. b) f(x, y) = 3x2_{+ 2y}2_{−4y, R≡ {(x, y)∈R}2 _{: y≥x}2_;y≤4}.

c) f(x, y) = x2 _+y2_{+ 4x−1,R ={(x, y)∈R}2 _{: x}2_+y2 _≤9}. d) f(x, y) = 2x+ 4y₋x2_−y2_{−3,R ={(x, y)∈R}2 _{:|x| ≤1,|y| ≤1}.}

4.10. Encontrar los extremos absolutos de la funci´onf(x, y) = (x₋2)2+y2 en el recinto

A=_{(x, y)_∈R2 _{: y}2_{−x≤9; 3x−4y+ 12 ≤0; 3x+ 4y+ 12≤0}.}

4.11. Sea f(x, y) = 4y₋2x₋x2_y

a) Calcular los extremos relativos de f.

b) Calcular los extremos absolutos de f en el recinto delimitado por 4y+x = 0,

x = 4, y= 0.

4.12. Calcular los extremos absolutos de la funci´on

f(x, y) =e1−y2

(x2+y2) en la regi´on R delimitada por la curva x2_+y2 _{= 1.} 4.13.

a) Sea f(x) una funci´on positiva y derivable y g(x) =f(x)2_{. N´otese que f tiene} m´ınimo absoluto y se alcanza en a si y solo si g tiene m´ınimo absoluto y se alcanza en a. Demostrar que tambi´en se cumple que f tiene un m´ınimo local en a si y solo si g tiene un m´ınimo local en a (un resultado an´alogo se verifica para m´aximos).

b) Utilizando el resultado anterior, calcular la m´ınima distancia desde el punto (0,6) a la curva y= 2x2_.

4.14. La cosecha de ma´ız en una explotaci´on agr´ıcola Y en funci´on del nivel de nitr´ogeno en el suelo N puede modelarse por

Y(N) = N

N2 _{+ 1}, con N ≥0.

a) Calcular los niveles de nitr´ogeno entre los que la cosecha aumenta o disminuye. b) Calcular el nivel de nitr´ogeno con el que se obtiene la m´axima cosecha.

4.15. Las reses de ganado vacuno de cierta regi´on ganadera se ven afectadas por una epidemia, que obliga a poner en marcha medidas para frenar su efecto. La funci´on que describe, aproximadamente, la evoluci´on del n´umero de cabezas de ganado (en miles) en funci´on del tiempo (en a˜nos) es:

N(t) = 10t

2_{−t+ 1}

t2_{+ 1} , t ≥0 Se pide:

a) La velocidad de crecimiento del n´umero de cabezas de ganado.

b) ¿A partir de qu´e momento empiezan a surgir efecto las medidas establecidas? c) ¿Qu´e proporci´on de vacas se perdieron hasta el peor momento de la epidemia?

PROBLEMAS DE OPTIMIZACI ´ON

4.16. Construcci´on de un tubo: Una plancha de aluminio rectangular de 36 m de per´ımetro se enrolla para construir un tubo cil´ındrico. Hallar las dimensiones de la plancha para que el volumen del tubo sea m´aximo.

4.17. La vara: Se dispone de una vara de 10 cm de longitud situada verticalmente respecto del suelo. Manteniendo fijo el extremo superior, la vara se inclina un ´angulo respecto de la vertical y se hace girar en torno a un eje vertical de manera que la trayectoria de la vara describe la superficie de un cono. Determinar el ´angulo que hay que inclinar la vara para conseguir el cono de volumen m´aximo.

4.18. El pozo: Un agricultor posee un terreno cuadrado de 100 metros de lado con un pozo en el centro de dicho terreno. El sembrado del terreno provoca que el agricultor se desplace por el interior del mismo a una velocidad de 1 m/s, mientras que si camina por el borde la velocidad es de 3 m/s. Determinar cu´antos metros debe caminar el agricultor por el borde del terreno antes de entrar al sembrado, para desplazarse desde uno de los v´ertices hasta el pozo lo m´as r´apido posible. 4.19. La nave de maquinaria: Un agricultor realiza todos los d´ıas el recorrido que

se muestra en la figura desde la entrada de su finca hasta la nave de maquinarias. Sabiendo que camina a 8 km/h por la carretera y a 3 km/h por el interior de la finca, determinar el ´angulo α que describe en su recorrido si lo realiza en el menor tiempo posible. ¿Cu´anto tiempo se ahorra de esta forma en comparaci´on con ir en linea recta por el interior de la finca?

α α

10 km

2 km

Carretera

2 km

4.20. El punto de enlace: Dos naves ganaderas A y B est´an a una distancia de 5 km y a su vez distan 4 y 7 km, respectivamente, de una carretera que se considera rectil´ınea. Determinar el punto de la carretera desde donde debe construirse un camino hacia cada nave para que la distancia desde una nave a otra a trav´es del camino construido sea m´ınima.

4.21. Las avionetas: Para la siembra de un arrozal, se dispone de una avioneta A que est´a situada a 1300 m al oeste de otra avioneta B. La avioneta A vuela hacia el sur a una velocidad constante de 15 m/s y la B vuela hacia el oeste a 10 m/s. ¿En qu´e momento estar´an las avionetas m´as pr´oximas? Teniendo en cuenta que las normas de seguridad exigen que las avionetas se mantengan a m´as de 1 Km de distancia, ¿se incumple esta norma en alg´un momento? Razona la respuesta.

4.22. Terreno con camino diagonal: Se desea delimitar un terreno que puede mode-lizarse como un rect´angulo con un v´ertice en el origen de coordenadas y apoyado en los semiejes positivos. Adem´as, se pretende que la diagonal del rect´angulo que corta a los dos semiejes sea un camino que pase por el punto (1,2). Determinar las dimensiones del terreno para que el ´area encerrada sea m´ınima y calcular este ´area.

4.23. Segregaci´on de fincas 1: Una finca agr´ıcola tiene forma de trapecio rect´angulo tal que sus bases miden 240 m y 400 m, respectivamente, y el lado perpendicular a ´estas mide 400 m. Se quiere segregar la finca en otras dos rectangulares C1 y C2, tal como indica la siguiente figura:

Se pretende sembrar ma´ız en el campoC1 y trigo enC2 y se estima que los beneficios que aportan estos cereales son de 0.12 euros porm2 _{el ma´ız y de 0.10 euros porm}2 _el trigo. Determinar las dimensiones que debe tener cada finca para obtener el m´aximo beneficio.

4.24. Construcci´on de cajas 1: A partir de una plancha cuadrada de 12 cm de lado se construye una caja sin tapa recortando cuadrados de lado x en sus esquinas y plegando la superficie resultante. Calcular el valor de xque hace que el volumen de la caja resultante sea m´aximo.

x x

x

12

4.25. Productos con suma prefijada: Dividir un segmento de longitudl en tres partes de modo que su producto sea m´aximo.

4.26. Restricci´on temporal b´asica: Una industria fabrica un producto en dos factor´ıas. El coste de producci´on de x unidades en la primera es C1 = 0.02x2+ 4x+ 500 y el coste de producci´on de y unidades en la segunda es C2 = 0.05y2+ 4y+ 275. Si el producto se vende a 15 euros la unidad, calcular qu´e cantidad debe producirse en cada factor´ıa con el fin de hacer m´aximo el beneficio sabiendo que no se pueden fabricar m´as de 420 unidades.

4.27. Restricci´on espacial b´asica: El gerente de una explotaci´on agr´ıcola estim´o que el benificio anual es

B(x, y) = 1600x+ 2400y₋2x2₋4y2₋4xy,

donde x e y son el n´umero de hect´areas plantadas con soja y ma´ız, respectiva-mente. Si se pueden cultivar a lo sumo 500 hect´areas, calcular cu´antas hect´areas conviene plantar con cada cultivo para maximizar el beneficio y cu´al ser´ıa el beneficio m´aximo.

4.28. Restricci´on econ´omica b´asica: Un editor dispone de 60.000 e _{a lo sumo para} invertir en el desarrollo y la promoci´on de un nuevo libro. Se calcula que si invierte

x miles de euros en desarrollo ey miles de euros en promoci´on se vender´an aproxi-madamente f(x, y) = 20x3/2y ejemplares del libro. ¿Cu´anto dinero debe asignar el editor a desarrollar el libro y cu´anto a la promoci´on del mismo para maximizar las ventas? ¿Cu´antos ejemplares se vender´an como m´aximo?

4.29. Publicidad: Las ventas de un detergente son funci´on del n´umero de anuncios en la prensa, x, as´ı como del n´umero de minutos de publicidad en TV, y. Un anuncio en la prensa vale 100 euros y un minuto en TV, 1500 euros. El presupuesto de publicidad no puede superar los 30.000 euros. Estad´ısticamente, se ha estimado que estas variables est´an relacionadas de la formaV(x, y) = 12xy₋x2_−3y2_{. Determinar} la pol´ıtica publicitaria ´optima.

4.30. Segregaci´on de fincas 2: Los lados de una finca con forma triangular pueden modelizarse por las rectasy= 0,x = 0 ey= 2₋x. Se pretende delimitar dos zonas de cultivo con forma rectangular cuyas bases son paralelas al eje de abcisas como indica la figura. Calcular razonadamente las dimensiones de las zonas de cultivo para que la suma de sus ´areas sea m´axima.

4.31. Construcci´on de cajas 2: A partir de tres cuadrados grandes de metal, cada uno de 100 cm de lado, se construyen tres cajas grandes sin tapa recortando cuadrados en las esquinas, todos del mismo lado. Con las 12 esquinas recortadas se construyen 2 cubos. Determinar razonadamente el lado de los cuadrados recortados para que el volumen total de las 5 cajas sea m´aximo.

4.32. Construcci´on de cajas 3.1: Una empresa de cartonaje fabrica cajas rectangulares de manera que la suma de la altura de la caja y el per´ımetro de la base es de 96 cm. Hallar las dimensiones de la caja de m´aximo volumen que puede ofrecer dicha empresa.

4.33. Construcci´on de cajas 3.2: Halla el volumen m´aximo de una caja en la que la suma de las longitudes de sus aristas es 1.

4.34. Construcci´on de cajas 3.3: Se quiere dise˜nar una pieza de equipaje de mano para el transporte a´ereo que cumpla la normativa establecida, es decir, tal que sus dimensiones totales (largo+ancho+alto) sean de 114 cm (el m´aximo permitido) y no tenga m´as de 50 cm de largo o de ancho ni m´as de 30 cm de alto. Determinar las dimensiones de la pieza de equipaje que se ajusta a estos criterios y tiene un volumen m´aximo.

4.35. Construcci´on de una alberca: Para la construcci´on de una alberca con forma cil´ındrica en una finca agr´ıcola disponemos de un presupuesto m´aximo de 5000 euros. Hay que cubrir las paredes laterales de la misma (el suelo no es necesario cubrirlo) y el coste es de 100 euros por cada metro cuadrado. Adem´as, tanto el radio de la base

como la profundidad de la alberca deben ser de al menos un metro. Determinar las dimensiones de la alberca con volumen m´aximo. ¿Cu´al es dicho volumen m´aximo? 4.36. Construcci´on de una p´ergola: Se pretende construir una p´ergola para proteger

una zona del sol. La estructura consiste en una superficie rectangular a modo de techo con 4 soportes o columnas de forma cil´ındrica de 5 cm de radio. Adem´as, para proteger la madera, hay que pintar la superficie de los 4 soportes y del techo, tanto por la parte superior como inferior y la cantidad de barniz disponible est´a limitada a 10m2_{. Se impone que las dimensiones del techo sean como m´ınimo de un} metro (tanto la anchura como la profundidad) y que nos gastemos todo el barniz disponible. Calcular las dimensiones del rect´angulo del techo y la altura de los soportes que m´aximizan el volumen bajo la p´ergola.