TRIGONOMETRIA. Diremos que un ángulo tiene medida positiva si la medición se realiza en sentido antihorario y negativo en sentido horario.

(1)

Trigonometría Bachillerato

- 1/15 - A.G.Onandía

TRIGONOMETRIA

1. Introducción. Medidas de ángulos

 Ángulos orientados.

Consideraremos los ejes cartesianos, y representaremos sobre ellos los ángulos de tal forma que el vértice coincida con el origen de coordenadas, y uno de sus lados

sobre el semieje de abscisas positivo, que se denomina origen de ángulos. Diremos que un ángulo tiene medida positiva si la medición se realiza en sentido antihorario y negativo en sentido horario.

 Llamaremos circunferencia trigonométrica a cualquier circunferencia

cuyo centro esté en el origen de coordenadas y la llamaremos goniométrica si tiene además radio 1.

 Grado sexagesimal. Un grado sexagesimal (DEG) es el ángulo cuyo arco abarca 1/360 parte de una circunferencia trigonométrica.

Se denota por º y tiene dos submúltiplos el minuto ´ y el segundo ´´. 1º=60´ y 1´=60´´.

 Radián. Un radián (RAD) es el ángulo cuyo arco abarca una longitud igual a un radio de la circunferencia trigonométrica. Se denota por rad.

Una circunferencia tiene 360º o 2 rad. . rad 2 r r 2 radio ncia circunfere . long . rad º n     

El cambio de unidades se realiza mediante reglas de tres. La importancia de la medida en radianes.

Normalmente se representan los ángulos en circunferencias goniométricas entonces, como el radio es 1, la medida de los ángulos en radianes coincide con la longitud del arco, de este modo “medir ángulos da el mismo resultado que medir longitudes”.

En general

Ejemplos:

- Expresar en radianes: 45º, 120º, 315º, 857º.

- Expresar en grados sexagesimales /4 rad., 3/5 rad., 13/5 rad.

+

-

0

long. arco = .radio (=ángulo en radianes)

0º=0 rad 90º=π/2 rad

180º= rad

(2)

Trigonometría Bachillerato - 2/15 - A.G.Onandía  3 4 5

2. Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo Por el teorema de Thales (semejanza de triángulos):

te tan cons '' b '' a ' b ' a b a _ _ _ =sen A esta constante se le llama seno y como solo depende del ángulo  la llamamos seno de  y la denotamos por sen.

Los triángulos ABC, AB’C’, AB´´C´´, ... son semejantes

(triángulos rectángulos con un ángulo agudo igual).

También se sabe que:

     

 constante coseno de cos

'' b '' c ' b ' c b c      

 constante tangente de tg '' b '' a ' b ' a c a

Las razones inversas son: cosecante de  = cosec=1/sen secante de  = sec=1/cos cotangente de  = cotg=1/tg

A todas estas razones se les llama razones trigonométrica. Por tanto en un triángulo rectángulo quedan definidas de la siguiente forma:

Ejemplo:

Hallar las RT en el siguiente triángulo

sen=3/5 cos=4/5 tg=3/4 cosec=5/3 sec=5/4 ctg=4/3 A B B ’ B´´ C C ’  a a’ a´´ b c´ b´ c c´´ b´´ H . E . C hipotenusa enfrente de cateto sen  H C . C hipotenusa contigüo cateto cos  . C . C . E . C tg . E . C H ec cos  . C . C H sec . E . C . C . C g cot 

(3)

3. Relaciones entre las razones trigonométricas.

 Relaciones que se deducen de la definición:

      cos sen H . C . C H . E . C . C . C . E . C tg    sen 1 ec cos    cos 1 sec     sen cos ctg  Relaciones pitagóricas.

Si aplicamos el teorema de Pitágoras CE2+CC2=H2 se obtiene: sensen2+cos2= 1 H H H CC CE H CC H CE 2 2 2 2 2 2 2 2 2    

 sen2cos21 Relación Pitagórica

Dividiendo por sen20 se tiene: 

       2 2 2 2 2 sen 1 sen cos sen sen 1ctg2cosec2

Dividiendo por cos20 se tiene: 

       2 2 2 2 2 cos 1 cos cos cos sen 1tg2sec2 Estas igualdades nos permiten resolver triángulos rectángulos, simplificar expresiones y demostrar identidades trigonométricas.

Ejemplos:

- Demostrar si es verdadera o falsa  

      cos ec cos tg ctg sen - Simplificar:     ctg ) tg 1 ( cos2 2

- Resolver el siguiente triángulo rectángulo en A sabiendo que B=32º18´30´´y a=16 cm. - Una escalera de bomberos de 10 m de longitud se ha fijado en un punto de la calzada.

Si se apoya sobre una de las fachadas forma un ángulo de 45º con el suelo y se apoya sobre la otra fachada forma un ángulo de 30º. Hallar la anchura de la calle ¿a qué altura se alcanza con dicha escalera sobre cada una de las fachadas?.

(4)

4. Generalización de las razones trigonométricas para cualquier ángulo Llamamos sistema de referencia angular a ={0,X,Y,C} ejes cartesianos y una circunferencia trigonométrica.

En un sistema de referencia angular las razones trigonométricas las podemos representar así: Siendo  el ángulo, P el punto asociado a la circunferencia con coordenadas (x,y) así:

sen = C.E./H = y/r = ordenada/radio cos = C.C./H = x/r = abscisa/radio

Teniendo en cuenta esta nueva expresión podemos calcular las RT de un ángulo cualesquiera.

Es más las RT no dependen del radio de la circunferencia elegida para definirlas: Por semejanza de triángulos sen=y/r=y’/r’

cos=x/r=x’/r’ Como la definición de las RT no dependen del radio, puedo elegir circunferencias goniométricas r=1 obteniendo:

sen=y=ordenada; cos=x=abscisa

Ejemplo:

- En una circunferencia trigonométrica de radio 10, tres puntos de la circunferencia tienen como coordenadas A(-6,8), B(-8,-6), C(6,-8). Hallar las RT de los ángulos que tienen como extremos de los arcos los puntos A, B y C.

- Dibuja, sobre la circunferencia goniométrica, un ángulo que cumpla las siguientes condiciones: 3 90º 180º

5

sen  y   , hallar el valor de las restantes razones trigonométricas. r x y 0  y x P(x,y) x y 0 P(x,y) P(x’,y’) 

(5)

Trigonometría Bachillerato - 5/15 - A.G.Onandía x y  P Q R T S M

5. Signo y valor de las razones trigonométricas.

Como las RT van asociadas a las coordenadas de una circunferencia goniométrica los signos son los de la tabla y los valores máximos y mínimos son:

-1sen1 -1cos1 tgR cosecR-(-1,1) secR-(-1,1) ctgR Ejemplo: Calcular los signos de las RT de 130º, 220º, 179º, 299º, 91º, 355º,180º, 1’, 272º. 6. Líneas trigonométricas

Los ángulos POQ y MTO son iguales (alternos internos) y por tanto los triángulos OPQ, OSR y MTO son semejantes ( son triángulos rectángulos con un ángulo agudo igual ) Son homólogos por tanto los siguientes lados :

OT OS OP  OQOROM PQSR MT Considerando el radio=1 PQ OP PQ sen  OQ OP OQ cos   RS OR RS OQ PQ tg   OT OM OT PQ OP ec cos    OS OR OS OQ OP sec   MT OM MT PQ OQ ctg   Para recordar:

Todas las razones tienen una sencilla interpretación como segmentos orientados salvo la secante y la cosecante, para los cuales debe considerarse su valor absoluto y luego asociarle el signo.

Ejercicio:

- Calcular las RT de III cuadrante sabiendo que cos=-0’6.

sen cos tg I cuadr.

₊

II cuadr.

₊

_-

III cuad.

_-

₊

IV cuad.

_-

₊

_-

x y Eje de cotangentes Eje de cosenos Ej e d e tan g en tes Ej e d e se n o s O

(6)

Trigonometría Bachillerato - 6/15 - A.G.Onandía A B C h b a C=150 m. 75º 55º A B C b c a H hc ha

7. Teorema del seno.

Sea el triángulo ABC y hc la altura correspondiente al vértice C.

              senB . a senA . b senB . a h a h senB senA . b h b h senA c c c c senB b senA a 

Trazando la altura desde el vértice C, hc, obtenemos que

senA a senB b _ uniendo ambas expresiones a = b = c =2r

senA senB senC Teorema del Seno

El teorema de los senos nos relaciona los lados de un triángulo con los ángulos opuestos. Ejemplo:

Una antena reproductora de señales de radio es observada desde dos puntos del suelo separados entre sí 150 m. Los ángulos que las visuales forman con la horizontal son 75º y 55º. Calcular las distancias de cada punto de la observación a la parte superior de la antena.

C=180º-A-B=50º aplicando el teorema del seno

º 50 sen c º 55 sen b º 75 sen a             m 40 ' 160 º 50 sen º 55 sen 150 b m 14 ' 189 º 50 sen º 75 sen 150 a

En el triángulo AHC h=bsenA=160’40sen75º=154’93 m Ejemplo: Duplicidad de la solución

En un instante determinado un avión se encuentra a 8 km de la torre de control de un aeropuerto y a 7,5 km de un dirigible. Si ambos son observados bajo un ángulo de 30º, ¿a qué distancia se encuentra en ese momento el dirigible del aeropuerto?

Solución:

Los datos son Aˆ 30º, a7,5km y c8km Debemos calcular b.

Aplicando el teorema del seno: 8 _ˆ 7,5 ˆ 0,5333 30º senC

sen

(7)

Existen dos ángulos Cˆ₁ y Cˆ₂ cuyo seno es 0,5333  Cˆ₁32, 23º y Cˆ₂ 147,77º

 Si Cˆ₁32,33º Bˆ₁180º



30º 32, 23º



117,77º Por tanto Teorema del seno: 1

1 7,5 7,5.sen117,77º 13, 27 . 30º 117,77º 30º b b km

sen  sen   sen 

 Si Cˆ₂ 147,77º  Bˆ₂ 180º



30º 147,77º



2, 23º Por tanto Teorema del seno: 2

2 7,5 7,5.sen 2, 23º 0,758 . 30º 2, 23º 30º b b km

sen  sen   sen 

En este caso existen dos soluciones.

La resolución gráfica muestra esta duplicidad de soluciones. El arco de centro B y radio a=7,5 km corta al lado b en dos puntos

1 2

C y C , que son vértices de los dos triángulos solución. Observación: si modificamos la longitud de a, puede ocurrir que el arco de centro B corte al lado b en un único punto o que no lo

corte. En el primer caso, existe una única solución y en el segundo, no existe ninguna solución.

10. Teorema del coseno.

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras para cualquier tipo de triángulos. A cos b c AH c HB A cos b AH     

Aplicando Pitágoras a los triángulos rectángulos AHC y BHC obtenemos A bc c b a A b A bc c h HB h a A b h AH h b cos 2 cos cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2               despejando a2 2 2 2 2 cos

a b c  bc A Teorema del Coseno

y por simetría en el desarrollo tenemos otras dos fórmulas semejantes: b2=a2+c2-2accos

c2=a2+b2-2abcosC

El teorema del coseno nos relaciona los tres lados de un triángulo con un ángulo opuesto. C A B b c a H h

(8)

Trigonometría Bachillerato - 8/15 - A.G.Onandía 55º A B C c Ejemplos:

1.- Se desea construir un túnel que una dos puntos determinados de una montaña como se indica en el dibujo. Para determinar la longitud a excavar se han tomado las siguientes medidas: el ángulo formado por las visuales desde el punto C hasta los puntos A y B es de 55º. Las distancias desde el citado punto hasta los extremos del túnel son 2500 y 3600 metros. Calcular la longitud del túnel.

2.- Resolver el triángulo ABC del que conocemos el lado c=5 m y los ángulos A=60º y B=40º Sol: Cˆ 80º , a=4,396 m, b=3,263 m

3.- Resolver el triángulo ABC del que conocemos dos lados b=7 m ; c=10 m y el ángulo comprendido entre ellos A=40º. Sol: a=41,753 m. Bˆ 44º13' Cˆ 96º 27'

4.- Resolver el triángulo ABC del que conocemos los tres lados a=35; b=20 y c=40 metros. Sol: Aˆ 61º1'42,48'' Bˆ29º58'41,58'' Cˆ 88º58'36,5''

5.- Resolver el triángulo ABC del que conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos: b=11 m; c=17 m y C=140º Sol.: a=

6.- Resolver el triángulo ABC del que conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos: A=40º; a=30m; b=40 m Sol: Bˆ₁ 59º  C₁ 46,1; Bˆ₂ 121º  C₂ 15,185

Observación: Cuando en los datos de un triángulo aparecen más lados que ángulos, conviene utilizar el teorema del coseno.

7.- Dos amigos Casimiro (Señor C) y Dionisio (Señor D), están en la bahía de Santander mirando el mar, separados por 2,5 km. Observan dos veleros y quieren saber a qué distancia se encuentran entre sí. Para ello disponiendo de unos teodolitos miden los ángulos que forman sus visuales con cada uno de los barcos, obteniendo los resultados que aparecen en el gráfico. ¿Podrías calcularlo? 70º 20º 30º 65º 2500 m Barco A Barco B Señor D Señor C

(9)

Solución:

 Sobre el triángulo DAC hallamos el ánguloDAC 180º 70º 30º  80º Aplicamos el Teorema del seno para calcular la distancia AC

2500 2500 30º

1269, 283

80º 30º 80º

AC sen

AC m

sen  sen   sen 

 Sobre el triángulo BCD hallamos el ánguloDCB180º 20º 65º  95º Aplicamos el Teorema del seno para calcular la distancia BC

2500 2500 65º

2274, 424

95º 65º 95º

BC sen

AC m

sen  sen   sen 

 Sobre el triángulo ABC hallamos el ánguloACB70º 20º 50º Aplicamos el teorema del coseno:

2 ₂ ₂

2274, 424 1269, 283 2·2274, 424·1269, 283·cos 50º

AB    

3072772,555 AB 1752,936 m

  

Los barcos A y B están separados por aproximadamente 1753 m

8.- Calcular la distancia entre dos puntos inaccesibles A y B, conocidos CD400m, se miden con un teodolito los ángulos

º 42 yˆ C Dˆ A , º 30 xˆ D Cˆ B , º 80 Dˆ , º 70 Cˆ       Sol 271,4 m

9.- Dos circunferencias secantes tienen radios de 10 cm y 13 cm sus tangentes comunes forman un ángulo de 30º. Calcular las distancias entre sus centros. Sol 11,6 cm

10.-Hallar b, xˆ y el área de la figura:

Sol: b=13, xˆ=32º12’15’’, área=96,12 cm2_. A B C b 75º 60º 8 cm 10 cm xˆ D 15 cm B C D

(10)

- 10/15 - A.G.Onandía

8. Reducción de ángulos al primer cuadrante.

Dos ángulos  y  son complementarios si +=90º y suplementarios si +=180º.

 Relación entre las RT de ángulos complementarios sen  = sen(90º-) = cos cosec(90º-) = sec cos(90º-) = sen sec(90º-) = cosec tg(90º-) = ctg ctg(90º-) = tg

 Relación entre las RT de ángulos suplementarios

sen(180º-) = sen cosec(180º-) = cosec cos(180º-) = - cos sec(180º-) = - sec tg(180º-) = - tg ctg(180º-) = - ctg Ejemplos:

- Calcular las RT del ángulo de 60º en función de las de su complementario. - Calcular las RT del ángulo de 135º en función de un ángulo del I cuadrante.

 Relación entre las RT de ángulos que difieren 90º o /2 rad. sen(90º+) = cos cos(90º+)= - sen

Ejemplo: Sabiendo que el sen10º=0’1736 calcular las demás RT de un ángulo de 100º.

 Relación entre las RT de ángulos que difieren 180º o  rad.

sen(+) = sen(180º+) = - sen cos(+) = cos(180+) = - cos Ejemplo: Sabiendo que cos/6=

2 3

calcular las RT de un ángulo de 7/6 rad.

 Relación entre las RT de ángulos que suman 270º o 3/2 rad.

sen(270º-) = sen (3/2-) = - cos cos(270º-) = cos(3/2-) = - sen

Ejemplo: calcular las RT de un ángulo de 215º en función de las de un ángulo del I cuadr.

 Relación entre las RT de ángulos que difieren 270º o 3/2 rad.

sen(270º+) = sen(3/2+) = - cos cos(270º+) = cos(3/2+) = sen

 Relación entre las RT de ángulos opuestos (suman 360º o 2 rad.)

sen(360º-)=sen(2-)=sen(-)=-sen cos(360º-)=cos(2-)=cos(-)=cos x y

x y

(11)

- 11/15 - A.G.Onandía

sen(+)=sen·cos+cos·sen

9.- Razones trigonométricas de la suma y de la diferencia .

Sean  y  dos ángulos cuyas RT son conocidas, se trata de calcular las RT de los ángulos + y - Tomamos OB1  sen(+)= BD EC EA AC OB BD _ _ _ _ (1)      EA OAsen OA EA sen y OA OB OA

cos   EAsencos

      AC ABcos AB AC OA OE cos y AB OB AB

sen   ACcossen

llevando estas expresiones a (1)

 sen(-) = sen[+(-)] = sencos(-)+cossen(-) = sencos-cossen

 cos(+) = sen[90º-(+)] = sen[(90º-)-] = sen(90º-)cos-cos(90º-)sen = = coscos-sensen

 cos(-)=cos[+(-)]=coscos(-)-sensen(-)=coscos+sensen







                                     cos cos sen sen cos cos cos cos sen cos cos sen sen sen cos cos sen cos cos sen ) cos( ) ( sen tg cos cos 1 1 cos cos sen sen tg tg sen sen _{tg tg}         _{ }         ( ) 1 tg tg tg tg tg            _ _ _  _    k k k        2 / 2 / 2 /                     tg tg 1 tg tg ) ( tg tg 1 ) ( tg tg ) ( tg ( ) 1 tg tg tg tg tg            _ _ _  _    k k k        2 / 2 / 2 / sen(-)=sen·cos-cos·sen

cos(-)=cos·cos+sen·sen cos(+)=cos·cos-sen·sen

   + A B C D O

(12)

- 12/15 - A.G.Onandía

sen2=2sen·cos cos2=cos2-sen2 tg2=

   2 tg 1 tg 2                  cos 1 cos 1 2 tg 2 cos 1 2 cos 2 cos 1 2 sen

10. Razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad.

Si en las expresiones de las razones trigonométricas del ángulo (+) hacemos =, obtenemos la RT del ángulo doble 2

sen(2)=sen(+)=sencos+cossen=2sencos cos(2)=cos(+)=coscos-sensen=cos2-sen2 tg(2)=           2 tg 1 tg 2 tg tg 1 tg tg

Ejemplo: si sen=0’5 calcular el sen3 Partiendo del coseno del ángulo doble:

cos2a=cos2a-sen2a=1-sen2a-sen2a=1-2sen2a  2sen2a=1-cos2a  sena=

2 a 2 cos 1 

cos2a=cos2a-sen2a=cos2a-(1-cos2a)=2cos2a-1  2cos2a=1+cos2a  cosa=

2 a 2 cos 1 

Dividiendo ambas expresiones:

a 2 cos 1 a 2 cos 1 tga    

Estas expresiones se presentan de otra forma que se obtienen haciendo el cambio 2a=

Para calcular las RT de /2 hay que saber en qué cuadrante está situado el ángulo para tomar el signo + o -.

(13)

- 13/15 - A.G.Onandía

11. Transformaciones de sumas en productos y viceversa.

 Transformación de la suma de senos en productos. sen(+)=sen·cos+sen·cos (2)

sen(-)=sen·cosB-sen·cos (3)

sen(+)+sen(-)=2sen·cos si hacemos

2 2 2 2 A B A B A B A B A B       _ _         _      _{ } _ _ obtenemos 2 B A cos 2 B A sen 2 senB senA   

Transformación de productos en sumas sen·cos=1/2[sen(+)+sen(-)]

 Transformación de la diferencia de senos en productos.

Haciendo (2)-(3) obtenemos sen(+)-sen(-)=2·cos·sen y con los mismos cambios de variable queda 2 B A sen 2 B A cos 2 senB senA   

Transformación de productos en sumas cos·sen=1/2[sen(+)-sen(-)]

 Transformación de la suma de cosenos en productos. cos(+)=cos·cos-sen·sen (4)

cos(-)=cos·cos+sen·sen (5)

Haciendo (4)+(5) cos(+)+cos(-)=2·cos·cos y con el cambio de variable obtenemos

2 B A cos 2 B A cos 2 B cos A cos    

Transformación de productos en sumas cos·cos=1/2[cos(+)+cos(-)]

 Transformación de la diferencia de cosenos en productos. Haciendo (4)-(5) cos(+)-cos(-)=-2·sen·sen

2 B A sen 2 B A sen 2 B cos A cos    

Transformación de productos en sumas sen·sen=-1/2[cos(+)-cos(-)] Ejemplos:

- Calcular sen(60º+)-sen(60º-)=sen

- Simplificar las expresiones 

      3 cos 5 cos 3 sen 5 sen tg        5 cos 7 cos 5 sen 7 sen -ctg

(14)

- 14/15 - A.G.Onandía

12. Ecuaciones y sistemas trigonométricas.

Una ecuación es trigonométrica cuando la incógnita está ligada a alguna razón trigonométrica. No hay un método general con el que poder resolverlas, pero son de utilidad las siguientes indicaciones:

a) Deben expresarse (mediante transformaciones convenientes) todas las RT que aparezca en la ecuación, en función de un mismo ángulo y de una sola razón.

b) Es conveniente transformar las sumas y diferencias en productos

c) Hay que evitar, en lo posible, suprimir soluciones, o añadir soluciones de forma inadecuada (Por ej. elevando al cuadrado)

Hay que tener en cuenta que tienen infinitas soluciones Ejemplos: - sen(2x+30º)= 2 3                   Z k k x k x Z k k k x º 180 º 45 º 180 º 15 º 360 º 120 º 360 º 60 º 30 2 - sen5x+sen3x=0 0 2 x 3 x 5 cos 2 x 3 x 5 sen 2                 2sen4x.cosx=0       0 x cos 0 x 4 sen luego            Z k k k x k x k x º 180 º 90 º 180 º 90 º 45 º 180 4

- sen2x+cosx=0  2senxcosx+cosx=0  cosx(2senx+1)=0 

      0 1 senx 2 0 x cos salen x=90º+180ºk; x=210º+360ºk; x=330º+360ºk kZ

- cos2x+senx=4sen2x  cos2x-sen2x+senx=4sen2x  1-sen2x-sen2x+senx=4sen2x  0=6sen2x-senx-1  senx=t 6t2-t-1=0 ….

- senx+cosx=1

Para sistemas tampoco hay un método general. Ejemplos: -        2 y x cos 1 y x sen 2 2 -           2 2 ) y x cos( 2 3 ) y x ( sen         1 ) y x ( sen 2 6 seny senx

(15)

- 15/15 - A.G.Onandía

Resumen de fórmulas

sen(+)=sencos+cossen sen(-)=sencos-cossen cos(+)=coscos-sensen cos(-)=coscos+sensen

          tg tg 1 tg tg ) ( tg           tg tg 1 tg tg ) ( tg

sen2=2sencos cos2=cos2-sen2 tg2=    2 1 2 tg tg                  cos 1 cos 1 2 tg 2 cos 1 2 cos 2 cos 1 2 sen 2 2 2senA Bcos A B senB

senA    sencos=1/2[sen(+)+sen(-)]

2 2

2cos A B senA B senB

senA    cossen=1/2[sen(+)-sen(-)]

2 2 2cos A Bcos A B B cos A

cos     coscos=1/2[cos(+)+cos(-)]

2 2 2senA BsenA B B cos A

cos     sensen=-1/2[cos(+)-cos(-)]

Teorema del seno:

senC c senB b senA a _ _

Teorema del coseno: a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB