Examen de integración
Ingeniería Técnica de Obras Públicas (E.T.S.E.C.C.P.B.)
1.- (3 puntos) Calcular las integrales indefinidas siguientes:
(i) Z lnx x dx (ii) Z xarcsinx √ 1−x2 dx (iii) Z e√x √ xdx SOLUCIÓN (i) Z lnx x dx= 1 2ln 2x+C (ii) Z xarcsinx √ 1−x2 dx= u= arcsinx −→ du= √ dx 1−x2 dv = √ x 1−x2 −→ v =− √ 1−x2 =−√1−x2arcsinx+x+C (iii) Z e√x √ xdx= 2e √ x+C
2.- (4 puntos) Sea f : [−1,2π]⊂IR−→IR definida por:
f(x) = x3 −1 ≤x <0, sin(2x) 0 ≤x < π, (x−π)3 π ≤x≤2π. Hallar la función integral def(x), F(x) =
Z x −1
f(t)dt y estudiar su continuidad y deriva-bilidad.
SOLUCIÓN
Para hallar la función integral de f(x) debemos estudiarla en los distintos tramos: • x∈[−1,0], F(x) = Z x −1 f(t)dt= Z x −1 t3dt = t4 4 ¯ ¯ ¯ ¯ x −1 = x 4 4 − 1 4 • x∈[0, π], F(x) = Z 0 −1 t3dt+ Z x 0 sin(2t)dt= t 4 4 ¯ ¯ ¯ ¯ 0 −1 − cos(2t) 2 ¯ ¯ ¯ ¯ x 0 = −1 4 − cos(2x) 2 + 1 2 = 1 4− cos(2x) 2
• x∈[π,2π], F(x) = Z 0 −1 t3dt+ Z π 0 sin(2t)dt+ Z x π (t−π)3dt= t4 4 ¯ ¯ ¯ ¯ 0 −1 + cos(2t) 2 ¯ ¯ ¯ ¯ π 0 + (x−π)4 4 ¯ ¯ ¯ ¯ x π = −1 4 + (x−π)4 4
Comprobamos la continuidad de f(x). Si x pertenece a [−1,0), (0, π) o (π,2π], f(x) es continua por ser funciones elementales. Miremos en 0y en π:
l´ım x→0−x 3 = l´ım x→0+sin(2x) = 0 l´ım x→π−sin(2x) = l´ımx→π+(x−π) 3 = 0
Luego podemos afirmar por el Teorema fundamental del cálculo, que su función integral F(x) será continua y diferenciable en todo el intervalo.
3.-(3 puntos) Sea la función f(x) = √x, calcular el volumen de revolución alrededor del eje x del recinto determinado por f(x), el eje x y las rectas x = 0 y x = 4. Calcular también el volumen de revolución alrededor del eje y del mismo recinto.
SOLUCIÓN
Para calcular el volumen de revolución generado cuando una cierta funcion f(x) que gira alrededor del ejexbasta con calcular la integral
Z
πf2(x)dx. En este caso particular, el volumen generaado será:
Z 4 0 π(√x)2dx= Z 4 0 πxdx= 8π
Examen de integración
Ingeniería Técnica de Obras Públicas (E.T.S.E.C.C.P.B.)
1.- (3 puntos) Calcular las integrales indefinidas siguientes:
(i) Z excosxdx (ii) Z 3x √ 1−x2dx (iii) Z sinxcosxdx SOLUCIÓN (i) Z excosxdx= " u= cosx −→ du=−sinxdx dv=exdx −→ v =ex # =excosx+ Z exsinxdx= = " u= sinx −→ du= cosxdx dv=exdx −→ v =ex # =excosx+exsinx− Z excosxdx⇒ ⇒ Z excosxdx = ex 2(sinx+ cosx) +C (ii) Z 3x √ 1−x2dx=−3 √ 1−x2+C (iii) Z
sinxcosxdx= sin 2x 2 +C
2.- (3 puntos) Sea f : [−1,1]⊂IR−→IR definida por:
f(x) =
(
ex −1 ≤x <0, x2−x+ 1 0 ≤x≤1,
Hallar la función integral de f(x), F(x) =
Z x −1
f(t)dt.
SOLUCIÓN
Para hallar la función integral de f(x) debemos estudiarla en los distintos tramos:
• x∈[−1,0], F(x) = Z x −1 f(t)dt= Z x −1 etdt = et¯¯x −1 =e x− 1 e
• x ∈ [0,1], F(x) = Z 0 −1 etdt + Z x 0 (t2 −t + 1)dt = et¯¯0 −1 + µ t3 3 − t2 2 +t ¶¯¯ ¯ ¯ x 0 = 1−1 e + x3 3 − x2 2 +x
3.- (4 puntos) Se necesita fabricar una pieza con el área resultante de intersecar la elipse x2
2 + y2
9 = 1 con la parábola y=x2.
(a) Calcular el área de material que será necesario sabiendo que el área de una elipse es πab.
(b) Si la piezas se fabrican a partir de la elipse anterior, calcular el área del material que se desecha. y −1 −3 x 2 1 1 −2 −1 0 2 −2 0 −4 SOLUCIÓN
Para resolver estre problema primero debemos encontrar los puntos de corte de las dos curvas. x2 2 + y2 9 = 1 y=x2 =⇒ y 2 + y2 9 = 1 =⇒y= −9 +√81 + 144 4 = 3 2 =⇒x=± r 3 2
Calcularemos el área de la parte superior de la pieza. Dado que sabemos que el área de la elipse es πab dónde a y b son los semiejes de la elipse, el área de la mitad inferior
será 1 2π3
√
2. El área de la parte superior A:
A 2 = Z √3 2 0 x2dx+ Z √ 2 √3 2 3 r 1− x2 2 dx= 1 3 Ãr 3 2 !3 + 3 Z √ 2 √3 2 r 1− x2 2 dx= = x=√2 sint dx=√2 costdt x= q 3 2 →t= π3 x=√2→t= π 2 = √ 3 2√2 + 3 √ 2 Z π 2 π 3 cos2tdt= √ 3 2√2 + 3 √ 2 Z π 2 π 3 µ 1 + cos 2t 2 ¶ dt= = √ 3 2√2 + 3 √ 2 µ t 2 + sin 2t 4 ¶¯¯ ¯ ¯ π 2 π 3 = √ 3 2√2 + π 2√2 − 3√3 4√2 = π−√3 2 2√2
Luego el área de la pieza es: 1 2π3 √ 2 + π− √ 3 2 √ 2 El área del material desechado sera:
π3√2− Ã 1 2π3 √ 2 + π− √ 3 2 √ 2 ! = 1 2π3 √ 2−π− √ 3 2 √ 2
Examen de integración
Ingeniería Técnica de Obras Públicas (E.T.S.E.C.C.P.B.) 1.- (3 puntos) Calcular las integrales indefinidas siguientes:
(i) Z ex 1−2exdx (ii) Z x√9−x2dx (iii) Z cos2xdx SOLUCIÓN (i) Z ex 1−2exdx=− 1 2ln(1−2e x) +C (ii) Z x√9−x2dx=−1 3(9−x 2)3/2+C (iii) Z cos2xdx= Z 1 + cos 2x 2 dx= x 2 + sin 2x 4 +C
2.- (3 puntos) Sea f : [−1,2π]⊂IR−→IR definida por:
f(x) = (x−1)2 −1 ≤x <0, cos(x) 0 ≤x < π 2, ³ x− π 2 ´ π 2 ≤x≤2π.
Hallar la función integral de f(x), F(x) = Z x
−1
f(t)dt y estudiar su continuidad y derivabilidad.
SOLUCIÓN
Para hallar la función integral de f(x) debemos estudiarla en los distintos tramos:
• x∈[−1,0], F(x) = Z x −1 f(t)dt= Z x −1 (t−1)2dt = (t−1) 3 3 ¯ ¯ ¯ ¯ x −1 = (x−1) 3 3 + 8 3 •x∈[0,π 2], F(x) = Z 0 −1 (t−1)2dt+ Z x 0 cos(t)dt= (t−1)3 3 ¯ ¯ ¯ ¯ 0 −1 + sinx|x0 = 7 3+ sin(x) • x∈[π 2,2π], F(x) = Z 0 −1 (t−1)2dt+ Z π 2 0 cos(t)dt+ Z x π 2 ³ x− π 2 ´ dt = (t−1)3 3 ¯ ¯ ¯ ¯ 0 −1 + sinx|π2 0 + 1 2 ³ x− π 2 ´2¯¯ ¯ ¯ π π 2 = 10 3 + x2 2 − π 2x+ π2 8
Comprobamos la continuidad de f(x). Si x pertenece a [−1,0), (0,π
2) o (
π
2,2π], f(x)
es continua por ser funciones elementales. Miremos en 0y en π
2: l´ım x→0(x−1) 2 = l´ım x→0cos(x) = 1 l´ım x→π2 cos(x) = l´ımx→π2(x− π 2) = 0
Luego podemos afirmar por el Teorema fundamental del cálculo, que su función integral
F(x) será continua y diferenciable en todo el intérvalo.
3.- (4 puntos) Encontrar el volumen de revolución del sólido obtenido al girar alrededor del eje x la región limitada por la semicircunferencia y= √1−x2, la parábola y =x2 y
el eje x, tal y como muestra el dibujo.
−1 −0.5 0 0.5 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 SOLUCIÓN
Para calcular el volumen de revolución generado cuando una cierta funcion f(x) gira alrededor del eje x basta con calcular la integral
Z
πf2(x)dx. En este caso particular, el
volumen generado será:
V = 2 µZ x0 0 π(x2)2dt+ Z 1 x0 π ³√ 1−x2´2dt ¶
dóndex0 es el punto de corte positivo de las dos curvas.
x2+y2 = 1 y=x2 ) =⇒y2+y−1 = 0 =⇒y= −1 + √ 5 2 =⇒x=± s −1 +√5 2 V = 2 Z q−1+√5 2 0 πx4dt+ Z 1 q −1+√5 2 π(1−x2)dt = 2π x5 5 ¯ ¯ ¯ ¯ q −1+√5 2 0 + µ x− x3 3 ¶¯¯ ¯ ¯ 1 q −1+√5 2
