Nueva Serie, Volumen XV No. 1 (2008), pp. 42–55
UNA NUEVA GENERALIZACI ´
ON DE LOS ESPACIOS
Semi−TDJES ´US ´AVILA GUZM ´AN (*) RONALD GENTIL RODR´IGUEZ (**)
Abstract. En este art´ıculo se introducen los espaciossemi−Tac como
una generalizaci´on de los espaciossemi−TD y de los espacios Tac
(in-troducidos en [11]). Tambi´en se presentan algunas propiedades de es-tos espacios, relacionadas fundamentalmente con subespacios, funciones semi-continuas y homeomorfismos.
Palabras claves. Espacio topol´ogico, puntos de acumulaci´on, espacios semi−TD, espaciosTac.
2000 Mathematics Subject Classification: 54D10, 54A10.
Abstract. In this paper we introducesemi−Tacspaces as a
general-ization ofsemi−TDspaces and ofTacspaces (introduced in [11]). Also,
we present some properties of these spaces related to subspaces, semi-continuous functions and homeomorphisms.
Key words and phrases.Topological space, accumulation points,semi− TDspaces,Tacspaces.
1. Introducci´on
Un espacio topol´ogico se llamaTD,si los puntos de acumulaci´on de todo punto
es un cerrado. Esta noci´on topol´ogica fue introducida por C. E. Aull y W. J. Thron [2] en 1963. All´ı mostraron que esta noci´on se encuentra entre los axiomas bajos de separaci´on, es decir, aquellos que se encuentran entre T0 y T1. Posteriormente con la introducci´on de los conjuntos semi-abiertos, definidos por N. Levine [9] en 1963; todas las nociones topol´ogicas que in-volucraban abiertos, tendr´ıan su correspondiente usando semi-abiertos. En (*) Jes´us ´Avila Guzm´an, Depto. de Matem´aticas y Estad´ıstica, Universidad del Tolima, Ibagu´e, Colombia. E-mail: [email protected]
(**) Ronald Gentil Rodr´ıguez. E-mail: [email protected]
Trabajo parcialmente financiado por la Oficina de Investigaciones y Desarrollo Cient´ıfico de la Universidad del Tolima (Colombia).
este sentido, se introdujeron las nociones de semi- separaci´on, semi-conexidad, semi-compacidad, semi-continuidad, etc. [1,2,3, 4,5,6,9,13]. En particular, S. P. Arya y M. P. Bhamini estudiaron la noci´on semi−TD [1,3,4], como una
generalizaci´on de la noci´on TD. Otra v´ıa para generalizar la noci´on TD, fue
presentada por C. M. Monsalve et al. [11] en 2007. Ellos definieron los sube-spacios δ(X) = {x ∈ X | {x}0es cerrado} llamado el conjunto de puntos ac-cerrados y λ(X) = {x ∈X | {x}0∩δ(X) = ∅} conjunto de puntos ac-libres. Entonces, definieron los espacios Tac como aquellos donde λ(X) ⊆ δ(X). Y
probaron entre otras propiedades queTDimplica Tac,peroTacno implica T0. El objetivo de este trabajo es generalizar las nocionessemi−TD yTac. Para
esto se definen los subespacios δs(X) = {x ∈ X | {x}0 es semi-cerrado} y
λs(X) ={x∈X | {x}0∩δs(X) =∅}. Y siguiendo el mismo esquema que en
[11], se definen los espacios semi−Tac como aquellos donde λs(X)⊆δs(X).
Adem´as, se prueban propiedades de los operadoresδsyλs,y se comparan con
las obtenidas en [11] paraδyλ. Tambi´en se estudian algunas condiciones sufi-cientes para que la propiedadsemi−Tacsea hereditaria y el comportamiento
de esta propiedad por medio de homeomorfismos, funciones semi-continuas e irresolutas.
2. Preliminares
Para el desarrollo de este trabajo, es necesario utilizar las siguientes proposi-ciones y definiproposi-ciones b´asicas de topolog´ıa. Las demostraciones pueden ser con-sultadas en [7] y [12].
Proposici´on 2.1. Sea (X, τ) un espacio topol´ogico, entonces a) SiCes cerrado yx∈C entonces{x}0 ⊆C.
b) SiAes un subespacio deX yB⊆A,entoncesB0A=B0X∩A.
c) Sif : (X, τ)−→(Y, υ) es un homeomorfismo, entonces para cadax∈X,se tiene quef(x)0Y =f(x0X).
Definici´on 2.2. Un subconjuntoD de un espacio topol´ogico (X, τ), se llama denso sicl(D) =X.
Proposici´on 2.3. Si Des denso yV es abierto, entoncescl(V) =cl(V ∩D). La noci´on de conjunto semi-abierto fue introducida por N. Levine en [9]. A partir de esto, todas las nociones topol´ogicas definidas en t´erminos de abiertos, tendr´ıan su an´alogo en t´erminos de semi-abiertos. A continuaci´on se define esta importante noci´on y algunas de sus propiedades.
Definici´on 2.4. Sea (X, τ) un espacio topol´ogico. S ⊆X es semi-abierto si existe un abierto V en X, tal que, V ⊆ S ⊆ cl(V). El complemento de un conjunto semi-abierto es un conjunto semi-cerrado.
Proposici´on 2.5. Sea (X, τ) un espacio topol´ogico. a)S es semi-abierto, si y s´olo si,S⊆cl(int(S)). b) Todo conjunto abierto es semi-abierto.
c) SiAes abierto yS semi-abierto, entoncesA∩S es semi-abierto. d)C es semi-cerrado, si y s´olo si,int(cl(C))⊆C.
e) Todo conjunto cerrado es semi-cerrado.
Un estudio muy completo sobre las nociones semi-topol´ogicas anteriormente mencionadas, se encuentra en [13]. Adem´as, all´ı tambi´en estudian el semi-interior, la semi-adherencia, la semi-frontera, entre otras.
Ahora se definen los subespaciosδ(X) yλ(X), introducidos en [11]. Por medio de ellos es que se definen los espaciosTac.
Definici´on 2.6. Si (X, τ) es un espacio topol´ogico, entonces δ(X) ={x∈X | {x}0 es cerrado}
λ(X) ={x∈X | {x}0∩δ(X) =∅}.
Definici´on 2.7. Un espacio topol´ogico (X, τ), se llamaTacsiλ(X)⊆δ(X).
Las propiedades fundamentales de los operadores δ, λ y de los espacios Tac,
pueden ser consultadas en [11].
Definici´on 2.8. Un espacio topol´ogico (X, τ) se llama: a)TD si para todox∈X,{x}0 es cerrado.
b)Semi−TD si para todox∈X,{x}0 es semi-cerrado.
La noci´on de semi-abierto ha permitido definir adem´as los espaciossemi−T2,
semi−T1,semi−T0, entre otras. Un estudio de ellos se encuentra en [1], [2], [3], [4] y [5].
De las definiciones anteriores se tiene el siguiente diagrama de implicaciones estrictas. N´otese que todo espacioTD essemi−TD.
TD =⇒ semi−TD ⇓
Tac
Figura 1
Definici´on 2.9. La funci´on f : (X, τ)−→(Y, υ), se llama:
a) Semi-continua sif−1(V) es semi-abierto, para todo abiertoV deY. b) Irresoluta si para todo semi-abierto S de Y,se tiene que f−1(S) es semi-abierto enX.
c) Pre-semi-abierta si para todo semi-abierto A de X, se tiene que f(A) es semi-abierto enY.
d) Semi-homeomorfismo si es biyectiva, irresoluta y pre-semi-abierta.
Las siguientes proposiciones relacionan las funciones continuas, abiertas y home-omorfismos; con las funciones irresolutas, pre-semi-abiertas y semi-homeomor-fismos. Las demostraciones pueden ser consultadas en [6].
Proposici´on 2.10. Toda funci´on continua y abierta entre espacios topol´ogicos, es irresoluta y pre-semi-abierta.
Proposici´on 2.11. Todo homeomorfismo es un semi-homeomorfismo.
Proposici´on 2.12. Todo semi-invariante topol´ogico es un invariante topol´ogico.
3. Los Subespaciosδs(X)y λs(X)
En este numeral se definen los subespaciosδs(X) yλs(X), similarmente a los
subespaciosδ(X) yλ(X), introducidos en [11]. Para esto, se utiliza la noci´on de conjunto semi-cerrado. Adem´as, se prueban algunas propiedades y se comparan con las obtenidas paraδ(X) yλ(X).
3.1 Definici´on y Ejemplos
Definici´on 3.1.1. Sea (X, τ) un espacio topol´ogico. Se definen los subespacios δs(X) yλs(X) como:
δs(X) ={x∈X | {x}0 es semi-cerrado}
N´otese queδs(X) es una generalizaci´on de δ(X). La relaci´on entre los
subes-paciosδs(X),λs(X) yδ(X), λ(X) se presenta a continuaci´on. Proposici´on 3.1.2. En un espacio topol´ogico (X, τ) se cumple: a)δ(X)⊆δs(X).
b)λs(X)⊆λ(X).
Demostraci´on. a) Se obtiene de manera directa ya que todo conjunto ce-rrado es semi-cerrado.
b) Sea p∈λs(X), entonces{p}0∩δs(X) =∅y pora) se tiene{p}0∩δ(X) =∅.
Luegop∈λ(X).
Ejemplo 3.1.3. Sea (R, τ) el espacio topol´ogico donde τ es la topolog´ıa
generada por la base β = {(−a, a) | a ∈ R+}. Encontremos los subespacios
δ(R), λ(R), δs(R) yλs(R).
Sip >0,entonces{p}0= (−∞,−p]∪(p,+∞).Ahora sip <0,{p}0= (−∞, p)∪ [−p,+∞).Finalmente, si p= 0,{0}0 =R− {0}.
Se observa que para todop, {p}0 no es cerrado. As´ıδ(R) =∅ yλ(R) =R. Ahora,int(cl({p}0)) =int((−∞,−p]∪[p,+∞)) =∅ ⊆ {p}0.Por tanto (−∞,−p]∪ (p,+∞) ={p}0 es semi-cerrado.
De igual manera se obtiene que{p}0 es semi-cerrado cuandop <0 . Para p = 0,{0}0 =
R− {0} no es un semi-cerrado ya que int(cl({0}0)) =
int(R) =R * R− {0}={0}0.
Por tanto,δs(R) =R− {0}yλs(R) =∅.
3.2 Propiedades de los Operadores δs y λs
Uno de los objetivos de este trabajo es determinar si los operadores δs y λs
cumplen propiedades similares a las obtenidas en [11], con los operadores δ y λ. All´ı por ejemplo probaron la idempotencia del operador δ y algunas contenencias que se daban cuando se compon´ıan los dos operadores.
Proposici´on 3.2.1. Sea (X, τ) un espacio topol´ogico, entonces se cumple: a)δs(δs(X))⊆δs(X).
b)δs(X)∩λs(X)⊆λs(δs(X)).
c)δs(λs(X))⊆λs(X).
d)λs(δs(X))⊆δs(X).
Demostraci´on. a), c), d) y e) Evidentes.
b) Six∈δs(X)∩λs(X), entoncesx∈δs(X) yx∈λs(X). Por tanto{x}0X∩
δs(X) = ∅. Ahora, como x∈ δs(X), entonces {x}X0 ∩δs(X) = {x}0δs(X) =∅.
Luego{x}0
δs(X)∩δs(δs(X)) =∅. Entoncesx∈λs(δs(X)).
En los siguientes ejemplos se muestra que las otras contenencias de a), b), c) y d) de la Proposici´on 3.2.1, no se tienen en general. Para la otra contenencia de e), no contamos con un contra-ejemplo ni con una demostraci´on.
Ejemplo 3.2.2. Sea X ={1,2,3,4,5,6} yτ ={{3,4},{2,3,4,5},∅, X},una topolog´ıa sobre X. Entonces se tiene que δs(X) = {1,2,5,6}, λs(X) = ∅,
δs(δs(X)) ={1,6}yλs(δs(X)) =∅. As´ıδs(X)*δs(δs(X)).
Ejemplo 3.2.3. Sea X = {1,2,3,4,5} y τ = {{1,2},∅, X}, una topolog´ıa sobreX. Entonces se tiene queδs(X) ={3,4,5}, λs(X) =∅, δs(δs(X)) =∅y
λs(δs(X)) =δs(X).As´ıλs(δs(X))*δs(X)∩λs(X).
Ejemplo 3.2.4. SeaRel conjunto de los n´umeros reales yτ={∅,R}.Entonces se tiene que δs(R) = ∅ y λs(R) = R. As´ı, δs(λs(R)) = δs(R) = ∅. Por tanto
λs(R)*δs(λs(R)).
Ejemplo 3.2.5. Sea X ={1,2,3} yτ ={{2},∅, X} una topolog´ıa sobre X. Entonces se tiene que δs(X) = X yλs(X) = ∅. As´ı, λs(δs(X)) = λs(X) = ∅.
Luegoδs(X)*λs(δs(X)).
La siguiente proposici´on muestra una condici´on suficiente para que se tengan las otras contenencias de c) y e) de la Proposici´on 3.2.1. Esto permitir´a definir m´as adelante, los espaciossemi−Tac.
Proposici´on 3.2.6. Sea (X, τ) un espacio topol´ogico. Si λs(X) ⊆ δs(X),
entonces
a)λs(X)⊆δs(δs(X)).
b)λs(X)⊆λs(δs(X)).
c)λs(X)⊆δs(λs(X)).
d)λs(X)⊆λs(λs(X)).
Demostraci´on. a) Seax∈λs(X),entonces{x}X0 ∩δs(X) =∅.Comoλs(X)⊆
δs(X) se tiene que x ∈ δs(X). Adem´as, {x}X0 ∩δs(X) = {x}0δs(X) =∅ y ∅
es semi-cerrado en δs(X). Por tanto {x}δ0s(X) es semi-cerrado en δs(X). As´ı,
x∈δs(δs(X)).
c) Six∈λs(X) se tiene que{x}0X∩δs(X) =∅.Comoλs(X)⊆δs(X),entonces {x}0 X∩λs(X) = {x}λ0s(X)=∅.Por tanto{x} 0 λs(X) es semi-cerrado enλs(X). Entonces,x∈δs(λs(X)).
d) Si x ∈ λs(X) se tiene que {x}0X ∩δs(X) = ∅. Como λs(X) ⊆ δs(X),
entonces {x}0
X∩λs(X) = {x}0λs(X) = ∅. As´ı{x}0λs(X)∩δs(λs(X)) = ∅. Por
tantox∈λs(λs(X)).
Las siguientes proposiciones est´an encaminadas a encontrar una condici´on sufi-ciente, para que se cumplan las otras contenencias en a) y b) de la Proposici´on 3.2.1.
Proposici´on 3.2.7. SiAes abierto ySsemi-abierto, entoncesA∩S es semi-abierto enA.
Demostraci´on. SiA∩S=∅,nada a probar. Supongamos queA∩S 6=∅.Por la parte c) de la Proposici´on 2.5, existe un abiertoOtal queO⊆A∩S ⊆cl(O). Luego O∩A⊆A∩S∩A ⊆cl(O)∩A yO∩A ⊆A∩S ⊆cl(O)∩A. Como O ⊆Ase tiene queO∩A⊆A∩S⊆clA(O) =clA(O∩A). Por tanto,A∩S
es semi-abierto enA.
Corolario 3.2.8. Si A es abierto y S semi-cerrado entonces A∩S es semi-cerrado enA.
Demostraci´on. Sc es semi-abierto y por la proposici´on anterior A∩Sc es semi-abierto enA.Entonces, (A∩Sc)cA=A∩S es semi-cerrado enA. Proposici´on 3.2.9. Siδs(X) es abierto entonces:
a)δs(X)⊆δs(δs(X)).
b)λs(δs(X))⊆δs(X)∩λs(X).
Demostraci´on. a) Si y ∈δs(X) entonces {y}0 es semi-cerrado en X. Por el
corolario anterior {y}0∩δ
s(X) = {y}0δs(X) es semi-cerrado en δs(X). Por lo
tantoy∈δs(δs(X)).
b) Basta probar queλs(δs(X))⊆λs(X).Siy∈λs(δs(X)) entonces{y}0δs(X)∩
δs(δs(X)) = ∅. Luego {y}0∩δs(X)∩δs(δs(X)) =∅ y por la parte a) se tiene {y}0∩δ
s(X) =∅.Esto implica que y∈λs(X).
En la siguiente proposici´on se muestra la relaci´on existente entre el conjunto de puntos cerrados (γ(X) seg´un [8]) y los subespacios δs(X) y λs(X). N´otese
que siδs(X) =X,entoncesλs(X) =γ(X).
Demostraci´on. Como{x}es cerrado entonces{x}0
X =∅,que es semi-cerrado.
Por tanto x ∈ δs(X). Adem´as {x}X0 ∩δs(X) = ∅ ∩δs(X) = ∅, por lo que
x∈λs(X).
N´otese entonces queγ(X)⊆λs(X)∩δs(X).Para la otra contenencia no
con-tamos con un contra-ejemplo, ni con una demostraci´on.
4. Espacios Topol´ogicos Semi−Tac
4.1 Definici´on y Algunas Propiedades
En [11], definen los espacios topol´ogicos Tac como aquellos donde λ(X) ⊆
δ(X). Siguiendo este mismo esquema, a continuaci´on se definen los espacios topol´ogicossemi−Tac,utilizando los subespaciosδs(X) yλs(X).Muchas otras
nociones semi-topol´ogicas han sido definidas y estudiadas, entre ellas semi-interior, semi-clausura, axiomas de semi-separaci´on, semi-compacidad, etc. Al-gunos de estos t´opicos pueden ser consultados en [1], [6] y [13].
Definici´on 4.1.1. Un espacio topol´ogico (X, τ) se llamasemi−Tacsiλs(X)⊆
δs(X).
Ejemplo 4.1.2. SeaX ={1,2,3,4}yτ={{1},{1,2},{1,2,3},∅, X}.Veamos queX essemi−Tac. {1}0 ={2,3,4},es semi-cerrado. {2}0 ={3,4},es semi-cerrado. {3}0 ={4},es semi-cerrado. {4}0=∅,es semi-cerrado. As´ı δs(X) =X yλs(X) ={4}.
Con la siguiente proposici´on se muestra que los espacios semi−Tac son una
generalizaci´on de los espacios Tac, introducidos en [11]. Esta noci´on no se
encuentra referenciada en la literatura consultada.
Proposici´on 4.1.3. Todo espacio topol´ogicoTacessemi−Tac.
Demostraci´on. Como X esTac, entonces λ(X)⊆δ(X). Por la Proposici´on
3.1.2 se tienen las contenenciasλs(X)⊆λ(X) yδ(X)⊆δs(X).Luegoλs(X)⊆
λ(X)⊆δ(X)⊆δs(X). As´ı,λs(X)⊆δs(X). LuegoX essemi−Tac.
Recu´erdese que un espacio topol´ogico X es TD si para todo x ∈ X, {x}0 es
cerrado. Y es semi−TD si para todo x ∈ X, {x}0 es semi-cerrado. As´ı,
TD=⇒semi−TD.En la siguiente proposici´on se muestra la relaci´on existente
Proposici´on 4.1.4. Todo espacio topol´ogicosemi−TD essemi−Tac. Demostraci´on. Se obtiene directamente ya que si el espacio es semi−TD,
entoncesδs(X) =X y por lo tantoλs(X)⊆δs(X).
En general el rec´ıproco de las proposiciones anteriores no se cumple, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 4.1.5. Consid´erese el espacio topol´ogico del ejemplo 3.1.3. Entonces δ(R) =∅ yλ(R) =R, δs(R) =R− {0} yλs(R) =∅.Y comoλs(X)⊆δs(X)
y λ(X) *δ(X) se tiene que este espacio topol´ogico es semi−Tac y no Tac.
Adem´as, n´otese que{0}0=
R− {0}no es semi-cerrado. Por tanto, este espacio
no essemi−TD.En consecuencia,Tac6=semi−Tac y semi−TD6=semi−Tac.
De las Proposiciones 4.1.3 y 4.1.4, y del ejemplo anterior; el diagrama de la Figura 1 se ve modificado de la siguiente manera. N´otese adem´as, que este diagrama nos permite considerar la propiedad semi−Tac, como un nuevo
axioma de semi-separaci´on.
TD =⇒ semi−TD
⇓ ⇓
Tac =⇒ semi−Tac Figura 2
4.2 Subespacios
En este numeral se muestra que la propiedad semi−Tac no es hereditaria.
Es decir, que no todo subespacio de un espacio semi−Tac es semi−Tac.
Adem´as, se presentan algunas condiciones suficientes para que un subespacio herede dicha propiedad.
En los siguientes ejemplos se muestra que la propiedadsemi−Tacno se hereda
a todo subespacio, a´un si este es cerrado ´o abierto.
Ejemplo 4.2.1. Sea X = {1,2,3,4,5} y τ = {{1,2},{1,2,3},{1,2,3,4},∅, X}una topolog´ıa sobreX.Entoncesδs(X) ={3,4,5} yλs(X) ={5}.As´ı, X
essemi−Tac.Ahora paraA={1,2}se tiene queδs(A) =∅yλs(A) =A.As´ı,
Ano essemi−Tac.
Ejemplo 4.2.2. SeaX ={1,2,3,4,5}yτ ={{3},{2,3,4},∅, X}una topolog´ıa sobreX.Entoncesδs(X) =X yλs(X) =∅.As´ı,X essemi−Tac.Ahora para
Ya que la propiedadsemi−Tacno se hereda a todos los subespacios, las
proposi-ciones siguientes est´an encaminadas a encontrar algunas clases particulares de subespacios, que s´ı heredan dicha propiedad.
Proposici´on 4.2.3. Sea (X, τ) un espacio topol´ogico y D, S ⊆ X. Si D es denso yS es semi-abierto en X,entoncesS∩D es semi-abierto enD.
Demostraci´on. ComoS es semi-abierto enX, existe un abiertoV enX con V ⊆S⊆cl(V).Por la Proposici´on 2.3 se tiene quecl(V)⊆cl(V∩D).Entonces V ⊆S⊆cl(V ∩D).As´ı,
V ∩D⊆S∩D⊆cl(V ∩D)∩D=clD(V ∩D)
Por tantoS∩D es semi-abierto enD.
Proposici´on 4.2.4. Sea (X, τ) un espacio topol´ogico y D, C ⊆X. si D es denso yC es semi-cerrado enX,entoncesC∩D es semi-cerrado enD.
Demostraci´on. SiCes semi-cerrado enX,entoncesCc es semi-abierto enX y por la proposici´on anterior se tiene queCc∩Des semiabierto en D.Ahora, comoCc∩D= (C∩D)cD,entonces C∩D es semi-cerrado enD.
Proposici´on 4.2.5. Sea (X, τ) un espacio topol´ogico. SiAes denso yδs(X)⊆
A,entonces: a)δs(X)⊆δs(A).
b)λs(A)⊆λs(X).
Demostraci´on. a) Seax∈δs(X),entonces{x}0 es semi-cerrado enX.Como
A es denso, por la Proposici´on 4.2.4 se tiene que{x}0∩Aes semi-cerrado en
A. Adem´as, como δs(X) ⊆ A, entonces x ∈ A y {x}0 ∩A = {x}0A que es
semi-cerrado enA. As´ı,x∈δs(A).
b) Seax∈λs(A),entonces{x}0A ∩δs(A) ={x}0∩A∩δs(A) =∅.Por la parte
a) se tiene que δs(X) ⊆ δs(A) ⊆ A, entonces {x}0 ∩δs(X) = ∅. Por tanto
x∈λs(X).
En la siguiente proposici´on se presenta una condici´on suficiente para que un subespacio de un espaciosemi−Tac, seasemi−Tac.
Proposici´on 4.2.6. Sea (X, τ) un espacio topol´ogicosemi−TacyA⊆X.Si
Aes denso yδs(X)⊆A, entonces (A, τA) essemi−Tac.
Demostraci´on. ComoXessemi−Tacse cumple queλs(X)⊆δs(X). Ahora,
por la Proposici´on 4.2.5 se tiene queλs(A)⊆λs(X)⊆δs(X)⊆δs(A). Luego
En la siguiente proposici´on se relacionan los subespacios δs(X), λs(X), δs(A)
y λs(A), cuando A es un subespacio abierto y cerrado de X. Esto permitir´a
m´as adelante, encontrar otra clase de subespacios que heredan la propiedad semi−Tac.
Proposici´on 4.2.7. Sea (X, τ) un espacio topol´ogico yA⊆X.Si Aes abierto y cerrado, entonces:
a)δs(X)∩A=δs(A).
b)λs(X)∩A=λs(A).
Demostraci´on. a) Si x ∈ δs(X)∩A, entonces {x}0 es semi-cerrado en X
y as´ı ({x}0)c es semi-abierto. Como A es abierto, ({x}0)c ∩A = A− {x}0 es semi-abierto en X. Ahora, como x ∈ A y A es cerrado entonces por la parte b) de la Proposici´on 2.1 se tiene que {x}0
A = {x}0 ∩A = {x}0. As´ı,
A− {x}0A es semi-abierto enX.Luego existe un conjunto abiertoV enX con V ⊆A− {x}0
A⊆cl(V). ComoV ⊆A− {x}
0
A,entonces V ⊆A yV ∩A=V.
Entonces V ∩A ⊆ A− {x}0
A ⊆ cl(V ∩A), lo cual implica que A− {x}0A es
semi-abierto en A. Se concluye entonces que {x}0
A es semi-cerrado enA. Por
lo tantox∈δs(A).
Six∈δs(A), entonces{x}0Aes semi-cerrado enAyx∈A.Como{x}0A={x}0∩
A,entonces existe un abierto W enAtal que W ⊆A−({x}0∩A)⊆cl
A(W).
Como x ∈ A y A es cerrado, entonces por la parte b) de la Proposici´on 2.1 se tiene que{x}0∩A={x}0. LuegoW ⊆A− {x}0 = ({x}0)c∩A⊆cl
A(W).
EntoncesW∪Ac⊆(({x}0)c∩A)∪Ac⊆cl(W)∪Ac=cl(W∪Ac).Ahora como
Ac es abierto en X entonces W ∪Ac es abierto en X y (({x}0)c∩A)∪Ac =
(({x}0)c∪Ac)∩(A∪Ac) = ({x}0∩A)c∩X= ({x}0∩A)c= ({x}0)c.Entonces,
W∪Ac ⊆({x}0)c⊆cl(W∪Ac).Lo cual prueba que ({x}0)c es semi-abierto en
X. As´ı, {x}0 es semi-cerrado en X. Se obtiene entonces que x∈ δ
s(X) y x∈
A.Por lo tantox∈δs(X)∩A.
b) Si x ∈ λs(X)∩A, entonces x ∈ λs(X) y x ∈ A. As´ı, {x}0 ∩δs(X) = ∅.
Como Aes cerrado yx∈A,por la parte b) de la Proposici´on 2.1 se tiene que
{x}0
A={x}
0∩A={x}0. Entonces{x}0
A∩δs(X) =∅y por la partea) de esta
proposici´on se tiene que{x}0
A∩δs(A) =∅.Por tantox∈λs(A).
Si x∈λs(A),entonces {x}A0 ∩δs(A) =∅. Por la parte a) se tiene que {x}0∩
A∩δs(X)∩A=∅.Lo cual implica que{x}0∩δs(X) =∅, ya que{x}0 ⊆Apor
serA cerrado. Entonces,x∈λs(X) y as´ıx∈λs(X)∩A.
Proposici´on 4.2.8. Sea (X, τ) un espacio topol´ogicosemi−TacyA⊆X.Si
Demostraci´on. Sea x ∈ λs(A), entonces por la parte b) de la proposici´on
anterior se tiene quex∈λs(X) y comoXessemi−Tac, x∈δs(X).Finalmente,
por la parte a) de la proposici´on anterior se tiene quex∈δs(A).Por lo tanto,
Aessemi−Tac.
En el siguiente ejemplo se muestra un subespacio de un espaciosemi−Tacque
essemi−Tac pero no es abierto, no es cerrado, no es denso y no contiene el
subespacioδs(X).De esta forma se observa que el rec´ıproco de las proposiciones
4.2.6 y 4.2.8 no se cumple en general.
Ejemplo 4.2.9. Consid´erese el espacio topol´ogico semi−Tac del Ejemplo
4.2.2. Para A={1} se tiene que (A, τA) essemi−Tac. Pero obs´ervese queA
no es abierto, no es cerrado, no es denso yδs(X)*A.
4.3 La Propiedad Semi-Tac y las Funciones
En este numeral se estudia el comportamiento de la propiedad semi−Tac
por medio de funciones semi-continuas, irresolutas y por homeomorfismos. Recu´erdese que una funci´on f : X −→ Y es semi-continua si la imagen rec´ıproca de todo abierto es semi-abierto, irresoluta si la imagen rec´ıproca de todo semi-abierto es semi-abierto y pre-semi-abierta si la imagen directa de todo semi-abierto es semi-abierto. Primero se determinar´an condiciones sufi-cientes para que una funci´on f : X −→ Y cumpla f−1(δs(Y)) = δs(X) y
f−1(λs(Y)) =λs(X).
Proposici´on 4.3.1. Sea f : (X, τ)−→(Y, υ) un homeomorfismo, entonces: a)f−1(δs(Y)) =δs(X).
b)f−1(λs(Y)) =λs(X).
Demostraci´on. a) Sip ∈f−1(δ
s(Y)), entonces f(p) ∈δs(Y). Por lo tanto {f(p)}0Y es semi-cerrado en Y. Ahora, como f es continua y abierta, por la Proposici´on 2.10 se tiene quef es irresoluta, entonces f−1({f(p)}0
Y) es
semi-cerrado en X. Adem´as por la parte c) de la Proposici´on 2.1 se tiene que
{f(p)}0
Y =f({p}0X), entoncesf−1(f({p}0X)) es semi-cerrado en X.Y comof
es biyectivaf−1(f({p}0
X)) ={p}0X es semi-cerrado enX.Por tantop∈δs(X).
Si p ∈ δs(X), entonces {p}0X es semi-cerrado en X. Por la Proposici´on 2.10
y por la parte c) de la Proposici´on 2.1, se tiene que f({p}0
X) = {f(p)}0Y es
semi-cerrado enY.Por tantof(p)∈δs(Y) y as´ıp∈f−1(δs(Y)).
b) Siq∈f−1(λs(Y)), entoncesf(q)∈λs(Y).Por tanto{f(q)}0Y ∩δs(Y) =∅.
Por la parte c) de la Proposici´on 2.1, se tiene que{f(q)}0
Y =f({q}0X) y por la
f({q}0
X∩δs(X)) =∅.As´ı,f−1(f({q}0X∩δs(X))) ={q}0X∩δs(X) =f−1(∅) =∅.
Por tantoq∈λs(X).
Si q ∈ λs(X), entonces {q}0X ∩δs(X) = ∅. Por tanto f({q}0X ∩δs(X)) =
f({q}0
X)∩f(δs(X)) =f(∅) =∅.Por la parte c) de la Proposici´on 2.1 se tiene que {f(q)}0
Y =f({q}0X).Y por la parte a) de esta proposici´onf−1(δs(Y)) =δs(X).
Entonces{f(q)}0Y ∩f(f−1(δs(Y))) ={f(q)}0Y ∩δs(Y) =∅.As´ı,f(q)∈λs(Y).
De dondeq∈f−1(λs(Y)).
N´otese ahora que la propiedad semi−Tac no se preserva por funciones
semi-continuas, ni irresolutas. Esto se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 4.3.2. Sea f : (R, discreta)−→(R, trivial), donde f(x) =x. En-tonces f es continua y por tanto es semi-continua. Adem´as, (R, discreta) es semi−Tac y (R, trivial) no. Y f es irresoluta, ya que f es continua y los
semi-abiertos en (R, trivial) coinciden con los abiertos.
Al parecer, la propiedadsemi−Tac no se preserva por semi-homeomorfismos.
Sin embargo, no contamos con un contra-ejemplo.
Con la siguiente proposici´on se muestra que la propiedadsemi−Taces un
invari-ante topol´ogico. Recu´erdese que todo homeomorfismo es un semi-homeomorfismo y que todo semi-invariante topol´ogico es un invariante topol´ogico. Pero el rec´ıproco en general no se tiene [6].
Proposici´on 4.3.3. Sea f : (X, τ)−→ (Y, υ) un homeomorfismo. Si X es semi−Tac entoncesY essemi−Tac.
Demostraci´on. Por la parte b) de la Proposici´on 4.3.1 se tiene quef−1(λs(Y)) =
λs(X).Como el espacio essemi−Tac, entoncesλs(X)⊆δs(X).Y por la parte
a) de la Proposici´on 4.3.1 se tiene quef−1(δs(Y)) =δs(X).As´ı,f−1(λs(Y))⊆
f−1(δs(Y)), por lo queλs(Y)⊆δs(Y).Entonces,Y essemi−Tac.
Referencias
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