Transformaciones conformes Integraci´on en el Plano Complejo
Parametrizaci´on de arcos e integrales de con-torno
Cauchy, Cauchy–Goursat y Liouville
D. Teorema de Cauchy–Goursat: Pr´
actica 4
D.1 Analiticidad y transformaciones conformes D.1.1 Condiciones de Cauchy–Riemann
Incluimos a continuaci´on uno de los teoremas m´as importantes del m´odulo de variable compleja, el cual le servir´a para el primer ejercicio.
Teorema D.1.1— Condiciones suficientes. Sea la funci´on f(z) =u(x,y) +iv(x,y) definida en alg´un entorno e de un puntoz0=x0+iy0. Supongamos que las derivadas parciales de primer orden de las funciones u y v con respecto a x e y existen en todos los puntos de ese entorno y son continuas en (x0,y0). Entonces, si esas derivadas parciales satisfacen las ecuaciones de Cauchy–Riemann: ux=vy,uy= vx en (x0,y0), la derivada
f0(z0) existe.
Problema D.1— Ecuaciones de Cauchy–Riemann. Comenzamos la pr´actica haciendo uso de las condiciones de Cauchy–Riemann.
Ejercicio D.1 Estudie en qu´e puntos deC, la funci´on:
f(z) =
( z
|z|2 si (x,y)6= (0,0)
0 en otro caso;
es anal´ıtica, calculando su derivada en los puntos en que esta exista. En los que no, demu´estrelo a partir del c´alculo de los l´ımites por definici´on. ⌅
D.1.2 Transformaciones conformes
Problema D.2 — Tan solo un ejemplo. Ahora que estamos algo m´as familiarizados con las condiciones para la analiticidad, podemos trabajar, al menos con un ejemplo, las transformaciones conformes, transformaciones que conservan ´angulos.
Ejercicio D.2 Encuentre una transformaci´on conforme que lleve el interior del disco unidad centrado en el origen al semiplano derecho, y su circunferencia, al eje imaginario.
Grafiquea. ⌅
aAyuda: lea el Churchill para orientarse sobre la forma de la transformaci´on.
Estas transformaciones ser´an de utilidad cuando se trate el m´odulo de ecuaciones diferenciales.
D.2 Integraci´on en el Plano Complejo
D.2.1 Parametrizaci´on de arcos e integrales de contorno
Clases b´asicas de arcos adecuados para la evaluaci´on de las integrales en el plano complejo:
Arco simple o arco de Jordan:C={z2C:z=z(t)cona5t5b} es un arco simple o arco de Jordan siz(t1)6=z(t2) cuandot16=t2 (i.e. inyectividad).
Curva cerrada simple o curva de Jordan: cuando el arco es simple excepto por el hecho de quez(b) =z(a) (i.e. un mapeo continuo sobre el c´ırculo).
Problema D.3— Parametrizaci´on de arcos. Comencemos a mover el l´apiz.
Ejercicio D.3 Escriba param´etricamente la curva de Jordan con orientaci´on positiva que describe una circunferencia de radio la unidad alrededor de un punto arbitrario z02C(este tipo de curva se encuentra repetidamente en las demostraciones y es de suma utilidad en la resoluci´on de ejercicios, como corroborar´a durante la pr´actica,
por lo que conviene familiarizarse con ella). ⌅
La longitud del arcoC (ahora diferenciable) parametrizada porz(t) est´a dada por la evaluaci´on de la expresi´on:
L:= ˆ b
a |z
0(t)|dt;|z0(t)|=q[x0(t)]2+ [y0(t)]2,
que se desprende directamente de la definici´on de longitud de arco con la cual ya se encuentra familiarizado.
Un contorno, o arco suave a trozos, es un arco que consiste en un n´umero finito de arcos suaves unidos por sus extremos. Cuando s´olo coinciden los valores inicial y final, un contornoCse llama contorno cerrado simple. El Teorema de la curva de Jordan
establece que los puntos de una contorno cerrado simple dividen al plano en una regi´on interior (acotada) y otra exterior (no acotada).
Problema D.4 — Longitud de arco e integrales de contorno, primitivas. Ahora haremos uso de las parametrizaciones para poder calcular integrales.
Ejercicio D.4 Calcular la longitud de la curva de Jordan del Pro. D.3 que antecede.⌅
Ejercicio D.5 Calcular las siguientes integrales de contorno usando representaciones param´etricas:
1. fl
Czndzcon C la circunferencia de radio la unidad, centrada en el origen, n2Z. El resultado de esta integral para n= 1 es fundamental como se ver´a en los
siguientes ejercicios. 2. ´
Cz+z2dz conCdescripta por las curvas que siguen y orientaci´on positiva:
la semicircunferencia superior de radio la unidad; la semicircunferencia inferior de radio la unidad;
la circunferencia de radio unidad (sin hacer otras cuentas de las que ya hizo).
3. fl
CpzdzconC la circunferencia de radio unidad, centrada en el origen. 4. ´
C(z 1)dz conC el arco desdez=0 hasta z=2, utilizando dos parametrizacio-nes diferentes con igual orientaci´on elegidas por usted.
¿En qu´e ejemplos podr´ıa haber resuelto calculando la primitiva? Argumente. ⌅
Ejercicio D.6 Eval´ue ´
C 12z2 4iz dz con C la curva dada por y=x3 3x2+4x 1 entre los puntos (1,1) y (2,3):
parametrizando con segmentos entre los puntos (1,1) y (2,1) y entre (2,1) y (2,3);
por medio de la primitiva.
⌅
D.2.2 Cauchy, Cauchy–Goursat y Liouville
Empezamos detallando algunos resultados que nos ser´an de utilidad para realizar los ejercicios que siguen.
Teorema D.2.1 — Teorema de Cauchy–Goursat (extensi´on a dominio m´ultiplemente co-nexo). Supongamos que:
1. Ces un contorno cerrado simple, con orientaci´on positiva;
2. Ck con k=1,2, . . . ,n denota un n´umero finito de contornos cerrados simples,
orientados positivamente, interiores aCy cuyos interiores no tienen puntos en com´un (disjuntos).
Si una funci´on f es anal´ıtica en la regi´on cerrada formada por los puntos interiores a
Co del propio C, excepto los puntos interiores a cada Ck, entonces:
ffi Cf(z)dz= n
Â
k=1 ffi Ck f(z)dz.Corolario D.2.2 Sean C1 y C2 contornos cerrados simples positivamente orientados, dondeC2 es interior a C1. Si una funci´on es anal´ıtica en la regi´on cerrada que forman esos contornos y los puntos situados entre ellos, entonces:
ffi C1 f(z)dz= ffi C2 f(z)dz.
Teorema D.2.3 — F´ormula integral de Cauchy. Sea f anl´ıtica en el interior y en los puntos de un contorno cerrado simpleC, orientado positivamente. Siz0 es un punto
interior aC, entonces:
ffi
C f(z)dz
z z0 =2pi f(z0).
Teorema D.2.4 — Teorema de Liouville. Si f es entera y acotada en todo el plano complejo, f(z) es constante en el plano.
Problema D.5— Teorema de Cauchy–Goursat, deformaci´on de caminos y m´as. Es hora de aplicar los resultados te´oricos anteriores... y algo m´as.
Ejercicio D.7 A partir de la f´ormula integral de Cauchy derive la expresi´on para la f´ormula de la diferenciaci´on de Cauchy:
ffi C f(z)dz (z z0)n+1 = 2pi n! f(n)(z0).
A partir del resultado del ejercicio anterior pruebe que f(z) (anal´ıtica) se puede expandir como una serie de Taylor, i.e.:
f(z) = •
Â
n=0
cn(z a)n.
¿Qu´e nos dicen estos resultados? ⌅
Ejercicio D.8 Sin hacer cuentas, eval´ue las siguientes integrales de contorno: 1. fl
Cezdz conCel contorno del panel izquierdo de la Fig. D.1. 2. fl
Cdzz2 conCla parametrizaci´on de la elipse (x 2)2+(y 5) 2
4 =1.
⌅
Ejercicio D.9 Eval´ue a) haciendo uso del teorema de deformaci´on de caminos y calcu-lando la integral de contorno correspondiente, b) haciendo uso s´olo de los teoremas anteriores, i.e. sin hacer cuentas:
1. (con ayuda gr´afica) fl
Cz idz con Cel contorno se˜nalado en el panel derecho de la
Fig. D.1.
2. (generalizaci´on de ejercicios que resolvi´o con anterioridad) fl
C(z zdz0)n,n2Zy con C un contorno que defina una regi´on D que contenga az0.
3. (sin ayuda gr´afica) fl
Cz2dz+1 con C la circunferencia de radio 3, centrada en el
origen.
⌅
Ejercicio D.10 Demuestre a partir defl Ce
kz
z dz conCla parametrizaci´on de la
Figura D.1: Gr´aficas para los Ejs. D.8 y D.9.
ˆ 2p
0 e
kcos(q)sin(ksin(q))dq=0; ˆ 2p
0 e
kcos(q)cos(ksin(q))dq=2p.
⌅
Ejercicio D.11 Eval´ue las integrales: 1. fl Csin(pz 2)+cos(pz2) (z 1)(z 2) dzconC la circunferencia|z i|=3. 2. fl C e 2z (z+1)4dz conC la circunferencia|z|=3. ⌅
Problema D.6— Y terminamos con Liouville. Para que lo tenga en cuenta.
Ejercicio D.12 Demuestre el teorema de Liouville probando que f0(z) =0 para todo z2Ca. ¿sin(z) y cos(z) est´an acotadas (en el plano complejo) como sus contrapartes
reales? ⌅
aAyuda:integre f(z)
(z z0)2 en el contorno simple cerradoC :|z z0|=R.
Al finalizar la pr´actica notar´a que con pocas cuentas, encontr´o una gran variedad de resultados. Esto habla de lo potente y bello del an´alisis en el plano complejo.No obstante, las cuentas pueden complicarse en situaciones menos directas, y hacia all´ı vamos en la siguiente pr´actica.