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D. Teorema de Cauchy Goursat: Práctica 4

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Academic year: 2021

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Transformaciones conformes Integraci´on en el Plano Complejo

Parametrizaci´on de arcos e integrales de con-torno

Cauchy, Cauchy–Goursat y Liouville

D. Teorema de Cauchy–Goursat: Pr´

actica 4

D.1 Analiticidad y transformaciones conformes D.1.1 Condiciones de Cauchy–Riemann

Incluimos a continuaci´on uno de los teoremas m´as importantes del m´odulo de variable compleja, el cual le servir´a para el primer ejercicio.

Teorema D.1.1— Condiciones suficientes. Sea la funci´on f(z) =u(x,y) +iv(x,y) definida en alg´un entorno e de un puntoz0=x0+iy0. Supongamos que las derivadas parciales de primer orden de las funciones u y v con respecto a x e y existen en todos los puntos de ese entorno y son continuas en (x0,y0). Entonces, si esas derivadas parciales satisfacen las ecuaciones de Cauchy–Riemann: ux=vy,uy= vx en (x0,y0), la derivada

f0(z0) existe.

Problema D.1— Ecuaciones de Cauchy–Riemann. Comenzamos la pr´actica haciendo uso de las condiciones de Cauchy–Riemann.

Ejercicio D.1 Estudie en qu´e puntos deC, la funci´on:

f(z) =

( z

|z|2 si (x,y)6= (0,0)

0 en otro caso;

es anal´ıtica, calculando su derivada en los puntos en que esta exista. En los que no, demu´estrelo a partir del c´alculo de los l´ımites por definici´on. ⌅

D.1.2 Transformaciones conformes

Problema D.2 — Tan solo un ejemplo. Ahora que estamos algo m´as familiarizados con las condiciones para la analiticidad, podemos trabajar, al menos con un ejemplo, las transformaciones conformes, transformaciones que conservan ´angulos.

Ejercicio D.2 Encuentre una transformaci´on conforme que lleve el interior del disco unidad centrado en el origen al semiplano derecho, y su circunferencia, al eje imaginario.

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Grafiquea. ⌅

aAyuda: lea el Churchill para orientarse sobre la forma de la transformaci´on.

Estas transformaciones ser´an de utilidad cuando se trate el m´odulo de ecuaciones diferenciales.

D.2 Integraci´on en el Plano Complejo

D.2.1 Parametrizaci´on de arcos e integrales de contorno

Clases b´asicas de arcos adecuados para la evaluaci´on de las integrales en el plano complejo:

Arco simple o arco de Jordan:C={z2C:z=z(t)cona5t5b} es un arco simple o arco de Jordan siz(t1)6=z(t2) cuandot16=t2 (i.e. inyectividad).

Curva cerrada simple o curva de Jordan: cuando el arco es simple excepto por el hecho de quez(b) =z(a) (i.e. un mapeo continuo sobre el c´ırculo).

Problema D.3— Parametrizaci´on de arcos. Comencemos a mover el l´apiz.

Ejercicio D.3 Escriba param´etricamente la curva de Jordan con orientaci´on positiva que describe una circunferencia de radio la unidad alrededor de un punto arbitrario z02C(este tipo de curva se encuentra repetidamente en las demostraciones y es de suma utilidad en la resoluci´on de ejercicios, como corroborar´a durante la pr´actica,

por lo que conviene familiarizarse con ella). ⌅

La longitud del arcoC (ahora diferenciable) parametrizada porz(t) est´a dada por la evaluaci´on de la expresi´on:

L:= ˆ b

a |z

0(t)|dt;|z0(t)|=q[x0(t)]2+ [y0(t)]2,

que se desprende directamente de la definici´on de longitud de arco con la cual ya se encuentra familiarizado.

Un contorno, o arco suave a trozos, es un arco que consiste en un n´umero finito de arcos suaves unidos por sus extremos. Cuando s´olo coinciden los valores inicial y final, un contornoCse llama contorno cerrado simple. El Teorema de la curva de Jordan

establece que los puntos de una contorno cerrado simple dividen al plano en una regi´on interior (acotada) y otra exterior (no acotada).

Problema D.4 — Longitud de arco e integrales de contorno, primitivas. Ahora haremos uso de las parametrizaciones para poder calcular integrales.

Ejercicio D.4 Calcular la longitud de la curva de Jordan del Pro. D.3 que antecede.⌅

Ejercicio D.5 Calcular las siguientes integrales de contorno usando representaciones param´etricas:

1. fl

Czndzcon C la circunferencia de radio la unidad, centrada en el origen, n2Z. El resultado de esta integral para n= 1 es fundamental como se ver´a en los

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siguientes ejercicios. 2. ´

Cz+z2dz conCdescripta por las curvas que siguen y orientaci´on positiva:

la semicircunferencia superior de radio la unidad; la semicircunferencia inferior de radio la unidad;

la circunferencia de radio unidad (sin hacer otras cuentas de las que ya hizo).

3. fl

CpzdzconC la circunferencia de radio unidad, centrada en el origen. 4. ´

C(z 1)dz conC el arco desdez=0 hasta z=2, utilizando dos parametrizacio-nes diferentes con igual orientaci´on elegidas por usted.

¿En qu´e ejemplos podr´ıa haber resuelto calculando la primitiva? Argumente. ⌅

Ejercicio D.6 Eval´ue ´

C 12z2 4iz dz con C la curva dada por y=x3 3x2+4x 1 entre los puntos (1,1) y (2,3):

parametrizando con segmentos entre los puntos (1,1) y (2,1) y entre (2,1) y (2,3);

por medio de la primitiva.

D.2.2 Cauchy, Cauchy–Goursat y Liouville

Empezamos detallando algunos resultados que nos ser´an de utilidad para realizar los ejercicios que siguen.

Teorema D.2.1 — Teorema de Cauchy–Goursat (extensi´on a dominio m´ultiplemente co-nexo). Supongamos que:

1. Ces un contorno cerrado simple, con orientaci´on positiva;

2. Ck con k=1,2, . . . ,n denota un n´umero finito de contornos cerrados simples,

orientados positivamente, interiores aCy cuyos interiores no tienen puntos en com´un (disjuntos).

Si una funci´on f es anal´ıtica en la regi´on cerrada formada por los puntos interiores a

Co del propio C, excepto los puntos interiores a cada Ck, entonces:

ffi Cf(z)dz= n

Â

k=1 ffi Ck f(z)dz.

Corolario D.2.2 Sean C1 y C2 contornos cerrados simples positivamente orientados, dondeC2 es interior a C1. Si una funci´on es anal´ıtica en la regi´on cerrada que forman esos contornos y los puntos situados entre ellos, entonces:

ffi C1 f(z)dz= ffi C2 f(z)dz.

Teorema D.2.3 — F´ormula integral de Cauchy. Sea f anl´ıtica en el interior y en los puntos de un contorno cerrado simpleC, orientado positivamente. Siz0 es un punto

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interior aC, entonces:

ffi

C f(z)dz

z z0 =2pi f(z0).

Teorema D.2.4 — Teorema de Liouville. Si f es entera y acotada en todo el plano complejo, f(z) es constante en el plano.

Problema D.5— Teorema de Cauchy–Goursat, deformaci´on de caminos y m´as. Es hora de aplicar los resultados te´oricos anteriores... y algo m´as.

Ejercicio D.7 A partir de la f´ormula integral de Cauchy derive la expresi´on para la f´ormula de la diferenciaci´on de Cauchy:

ffi C f(z)dz (z z0)n+1 = 2pi n! f(n)(z0).

A partir del resultado del ejercicio anterior pruebe que f(z) (anal´ıtica) se puede expandir como una serie de Taylor, i.e.:

f(z) = •

Â

n=0

cn(z a)n.

¿Qu´e nos dicen estos resultados? ⌅

Ejercicio D.8 Sin hacer cuentas, eval´ue las siguientes integrales de contorno: 1. fl

Cezdz conCel contorno del panel izquierdo de la Fig. D.1. 2. fl

Cdzz2 conCla parametrizaci´on de la elipse (x 2)2+(y 5) 2

4 =1.

Ejercicio D.9 Eval´ue a) haciendo uso del teorema de deformaci´on de caminos y calcu-lando la integral de contorno correspondiente, b) haciendo uso s´olo de los teoremas anteriores, i.e. sin hacer cuentas:

1. (con ayuda gr´afica) fl

Cz idz con Cel contorno se˜nalado en el panel derecho de la

Fig. D.1.

2. (generalizaci´on de ejercicios que resolvi´o con anterioridad) fl

C(z zdz0)n,n2Zy con C un contorno que defina una regi´on D que contenga az0.

3. (sin ayuda gr´afica) fl

Cz2dz+1 con C la circunferencia de radio 3, centrada en el

origen.

Ejercicio D.10 Demuestre a partir defl Ce

kz

z dz conCla parametrizaci´on de la

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Figura D.1: Gr´aficas para los Ejs. D.8 y D.9.

ˆ 2p

0 e

kcos(q)sin(ksin(q))dq=0; ˆ 2p

0 e

kcos(q)cos(ksin(q))dq=2p.

Ejercicio D.11 Eval´ue las integrales: 1. fl Csin(pz 2)+cos(pz2) (z 1)(z 2) dzconC la circunferencia|z i|=3. 2. fl C e 2z (z+1)4dz conC la circunferencia|z|=3. ⌅

Problema D.6— Y terminamos con Liouville. Para que lo tenga en cuenta.

Ejercicio D.12 Demuestre el teorema de Liouville probando que f0(z) =0 para todo z2Ca. ¿sin(z) y cos(z) est´an acotadas (en el plano complejo) como sus contrapartes

reales? ⌅

aAyuda:integre f(z)

(z z0)2 en el contorno simple cerradoC :|z z0|=R.

Al finalizar la pr´actica notar´a que con pocas cuentas, encontr´o una gran variedad de resultados. Esto habla de lo potente y bello del an´alisis en el plano complejo.No obstante, las cuentas pueden complicarse en situaciones menos directas, y hacia all´ı vamos en la siguiente pr´actica.

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