LECCIONES DEL
CURSO DE MODELACIÓN
MATEMÁTICA Y COMPUTACIONAL
POSGRADOS DE
CIENCIAS DE LA TIERRA
Y DE
CIENCIA E INGENIERÍA DE LA
COMPUTACIÓN
UNAM
AUTOR:
Basado en el Libro
‘‘Mathematical Modeling in
Science and Engineering:
An Axiomatic Approach’’
Por
CAPÍTULO 8
RECUPERACIÓN MEJORADA
DEL
BIBLIOGRAFÍA
1. Herrera I. & G.F. Pinder, "Mathematical Modeling in Science and Engineering: An Axiomatic Approach", John Wiley and Sons, Inc., Hoboken, New Jersey, pp.243, 2012.
2. Herrera, I. & Herrera G. “Unified Formulation on Enhanced Oil-Recovery Methods”, Geofísica Internacional 50 (1) pp., 85-98 2011.
3. Chen, Z., G.Huan & Y. Ma, "Computational Methods for Multiphase Flows in Porous Media", SIAM, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, pp.521, 2006.
4. Green, D.W. & G.P. Willhite, "Enhanced Oil Recovery", SPE TEXTBOOK SERIES, Vol. 6, Richardson, TX USA, pp.545, 1998.
A.
PERSPECTIVA GENERAL
LOS PROCESOS DE LA
PRODUCCIÓN DEL
¿CÓMO ES UN YACIMIENTO DE PETRÓLEO?
Está constituido de un material sólido y poroso
(
la matriz
), cuyos huecos están llenos de fluidos
que generalmente se separan en tres fases: agua,
aceite y gas. Inicialmente en la fase agua sólo
hay H
2O, pero tanto en la fase de aceite como en
la fase de gas hay muchos hidrocarburos de
distinta composición. En algunas técnicas EOR
ocurren más de tres fases; por ejemplo, espuma.
¿CÓMO SE REALIZA LA EXPLOTACIÓN?
•
PRODUCCIÓN PRIMARIA: Se extrae a
través de pozos utilizando su presión
original
•
PRODUCCIÓN SECUNDARIA: Es la
segunda etapa de la explotación, y
usualmente se implementaba cuando la
producción primaria declinaba
•
RECUPERACIÓN MEJORADA:
Anteriormente se le llamó ‘recuperación
terciaria’, pero en actualidad los términos
¿QUÉ PROCESOS HAY QUE MODELAR?
• PRODUCCIÓN PRIMARIA: El movimiento de una o dos fases
• PRODUCCIÓN SECUNDARIA: En actualidad estos términos son usados casi exclusivamente para la
inyección de agua. Al caer la presión, parte del
petróleo pasa a ser gas y se tienen cuando menos dos fases (aceite y gas) y frecuentemente tres fases (agua, aceite y gas)
• RECUPERACIÓN MEJORADA: Control de la
movilidad (agua con polímero), químicos (para reducir la tensión superficial), miscibles, térmicos (agua
¿QUÉ NOS DA LA MODELACIÓN
DE ESTOS PROCESOS?
•
Cómo se debe desarrollar y producir el
yacimiento para aumentar su rendimiento
•
Cual es la estrategia de
producción mejorada
más adecuada y cómo debe implementarse
•
Cuando el comportamiento observado se
desvía del esperado, cómo corregirlo
•
Cuál será su vida útil y su rendimiento total
•
Valioso auxiliar en la administración o manejo
de los pozos
B.
FORMULACIÓN AXIOMÁTICA
DE LOS
MODELOS MATEMÁTICOS DE LA
RECUPERACIÓN MEJORADA
MODELOS
•
De una fase
•
De dos fases
•
De petróleo negro
•
Composicional
•
Térmicos
•
Con interacción química
•
En medios fracturados
DESARROLLO SISTEMÁTICO
DE LOS MODELOS
•
Modelo conceptual
•
Modelo matemático
•
Modelo numérico
•
Modelo computacional
•
Validación
B.1
FLUJO MONOFÁSICO
(FLUJO DE UNA FASE)
FLUJO DE UNA FASE
EN UN
MEDIO POROSO
,
1,...,
: 1,...,
1,...,
El modelo matemático básico de los sistemas
multifásicos
g
t
N
Número de propiedades extensivas
M
Número de fases
N
M
v
REPASO
Sólo hay una fase y una propiedad
extensiva, lo que corresponde a N=M=1
en el modelo general. Supondremos que
la única
propiedad extensiva
es la masa
El modelo matemático básico de los sistemas
de una fase y una componente
g
t
LA PROPIEDAD INTENSIVA
limFAMILIA DE UNA PROPIEDAD EXTENSIVA
SU EXPRESIÓN ES :
,
,
,
B t B t B t
E
E t
x t d x =
x t
x t d x
d x
V B
E
V=0
Velocidad de Darcy
El modelo matemático básico del flujo de
una fase en un medio poroso
g
t
u
u
g
t
v
v
Comparación con Chen
0
CONCLUSIÓN
Nuestra ecuación es más general que la de Chen.
La Ec.2.2, p12 de Chen desprecia los flujos difusivos,
La ecuación
u
g
t
cuando
y
q
g
se
puede
escribir
u
q
t
Incorporación de la Ley de Darcy
Ley de Darcy 1Consecuentemente, la ecuación de flujo monofásico es :
Aquí, el tensor de . En algunos casos se puede diagonalizar
u k p z k p z q t k permeabilidad absoluta k
y, cuando elIncorporación de la Compresibilidad
En procesos isotérmicos, tanto como son funciones de la presión exclusivamente, por lo que
Consecuentemente :
Ésta es una ecuac
t t t p k p z q t t t
ión para la presión, porque los téminos de compresibilidad están determinados por la naturaleza de la matriz porosa y el fluido. Hay diversas formas de
Condiciones de Frontera
Los es decir capaces de predecir el comportamiento, incluyen
; en el caso que se considera, para la presión. Las condiciones iniciales son la distri
modelos completos
condiciones de frontera e iniciales
,
bución inicial de la presión. En la frontera se puede prescrbir :
LA PRESIÓN en EL FLUJO DE M ASA en p p u n g
B.2
MODELO COMPOSICIONAL
Chen et al.
CARACTERÍSTICAS
GENERALES
•
Tiene tres fases: agua, aceite y gas;
•
Tanto en la fase aceite como en la de gas hay
N
Ccomponentes
•
El sistema está en
equilibrio termodinámico
estable; y
•
Entre las fases de aceite y gas hay intercambio
de masa
FAMILIA DE PROPIEDADES
EXTENSIVAS
•
La masa del
agua
•
Las masas de N
Ccomponentes
en la
fase
aceite
•
Las masas de N
Ccomponentes
en la
,
,
w w w w w io o io io io igg
t
g
t
v
v
IDENTIFICAMOS LAS PROPIEDADES
EXTENSIVAS E INTENSIVAS
,
w o g w w w B t io o io C B t ig g ig B tM
t
S
dx
M
t
S
dx
i = 1,..., N
M
t
S
dx
FAMILIA DE PROPIEDADES INTENSIVAS
,
w w w io o io C ig g igS
S
i = 1,..., N
S
,
,
,
w w w w w w w o io io o io o io g ig g ig igS
S
g
t
S
S
g
t
S
S
g
v
v
v
Falta identificar fuentes y
flujos difusivos
FUENTES Y FLUJOS DIFUSIVOS
,
0
,
,
,
0
,
,
0
0
w w w e io io io io e ig ig ig ig ig e io io ig ig io
x t
g
x t
g
g
x t
g
g
x t
g
x t
g
g
x t
g
g
EL MODELO COMPOSICIONAL
ECUACIONES DIFERENCIALES DE BALANCE
,
1
0
w w w w w w o io io o io o io e ig g g ig ig ig g ig e io C ig ioS
S
g
t
S
S
g
g
t
S
S
g
g
i = 1,..., N
t
S
S
S
g
g
v
v
v
EL MODELO COMPOSICIONAL
EN OTRA FORMA
,
1
w w w w w w o io g ig o g o io g ig io ig e e CS
S
g
t
S
S
S
S
t
g
g i = 1,..., N
S
S
S
v
v
v
Incorporación de la Velocidad de Darcy
,
, =
w w w w w w o io g ig o g io ig io ig e e C
S
S
u
g
t
S
S
u
u
t
g
g i = 1,..., N
u
S
w, o, g
v
DENSIDAD MOLAR, DENSIDAD MOLAR DE
UNA FASE Y FRACCIÓN MOLAR
1
,
C w w w io io i C ig ig i N i i i iW
W
i = 1,..., N
W
and
- densidad molar de la componente en la fase
- peso molecular de la componente
- densidad molar de la fase
i i
i
W
i
EL MODELO COMPOSICIONAL
ECUACIONES DIFERENCIALES DE BALANCE
,
0
1
w w w w e w w w o io io io o io io e ig i o C g ig g ig ig ig e io i g ig io io igS
g
q
W
t
S
g
g
W
q
i = 1,..., N
t
S
g
g
W
q
t
g
g
S
S
S
u
u
u
EL MODELO COMPOSICIONAL
ECUACIONES DIFERENCIALES DE BALANCE MOLAR
1
w w w w w io o o ig g g C o g io o ig g io o ig g w o g
S
q
t
S
S
, i = 1,..., N
t
q
q
S
S
S
Aquí q
q
u
u
u
Ley de Darcy e Identidades
1
Ley de Darcy para flujo multifásico
; = , ,
. , , ...,
La viscosidad se puede calcular
como función de la presión, temperatura y composición [3]. Además, c r k u k p z w o g p T 1 1 = 1 y 1 1 c c N N io ig i i S S S
UNA ECUACIÓN CONSTITUTIVA
BÁSICA
DETERMINA INTERCAMBIO ENTRE LAS FASES
La condición de equilibrio termodinámico estable
,
1,...,
c
,
1,...,
c
,
io o o N o ig g g N g cf
p
f
p
i = 1,..., N
RESUMEN
MODELO COMPOSICIONAL
1 1 , ,..., , ,..., , 1 C C C w w w w w io o o ig g g o g io o ig g io o ig g C io o o N o ig g g N g r N S q t S S t q q , i = 1,..., N f p f p k p z = w,o, g
u u u u k 1 C N y
ECUACIONES CONSTITUTIVAS
ECUACIONES DE ESTADOEcuaciones constitutivas :
Todas aquellas a través de las cuales se introduce la información científica y tecnológica acerca del sistema que se modela.
¿Cuales son? (Che, Cap. 3 y 9) Propiedades de la Roca