Análisis no lineal de elementos de concreto armado utilizando elementos finitos

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

TESIS

ANÁLISIS NO LINEAL DE ELEMENTOS DE CONCRETO ARMADO

UTILIZANDO ELEMENTOS FINITOS

PARA ÓBTENER EL TÍTULO PROFESIONAL DE INGENIERO CIVIL

ELABORADO POR

GENARO ANTONIO BEAS BERNUY

ASESOR

Dr. HUGO V.L. SCALETTI FARINA

Lima-Perú

(2)

DEDICATORIAS

A mis padres Luis y María, por ser el soporte que todo hijo

merece y necesita. A mis hermanos Carlos y Diego,

por estar siempre a mi lado en todas partes.

A mi primo Wilmer, por su apoyo, consejos y por ser un

ejemplo de vida.

A Leyla que siempre me ha apoyado y por lo que siempre

(3)

AGRADECIMIENTOS

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIER(A FACULTAD DE INGENIER(A CIVIL

ÍNDICE

íNDICE

ÍNDICE ...•... 1

RESUMEN ...•... 7

ABSTRACT ... 8

PRÓLOGO ... 9

LISTA DE TABLAS ... 10

LISTA DE FIGURAS ... 11

LISTA DE SÍMBOLOS Y DE SIGLAS ... 16

CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN ... 18

CAPÍTULO 11: COMPORTAMIENTO DE LOS MATERIALES ... 20

2.1 COMPORTAMIENTO GENERAL DE LOS MATERIALES ... 20

2.1.1 Comportamiento plástico en tensión y en compresión ... · ... 20

2.1.2 Carga estática monotónica ... 21

2.1.3 Proceso de carga y descarga ... 22

2.1.4 Reglas de endurecimiento ... 24

2.1.4.1 Regla de endurecimiento isotrópica: ... 24

2.1.4.2 Regla de endurecimiento cinemático: ... 25

2.1.4.3 Regla de endurecimiento mixta: ... 25

2.2 CARACTERÍSTICAS BÁSICAS DEL COMPORTAMIENTO DE LOS METALES ... 26

2.2.1 Modelo uniaxial elasto-plástico ... 26

2.3 CARACTERÍSTICAS BÁSICAS DEL COMPORTAMIENTO DEL CONCRETO ... 29

2. 3.1 Comportamiento no lineal de la curva esfuerzo-deformación ... 31

2.3.2 Diferente comportamiento en tension y compresión del concreto ... 32

2.3.3 Carga en compresión multiaxial ... �3

2.3.4 Expansión volumétrica bajo cargas de compresión ... 34

2.3.5 Ablandamiento de la deformación ... 35

2.3.6 Degradación de la rigidez ... 36

2.3.7 Comportamiento frente al corte ... 37

2.3. 7 .1 Falla por cortante debido a la flexión: ... 38

2.3.7.2 Falla por cortante debido a la tensión: ... 38

2.3.7.3 Falla por aplastamiento de la sección: ... 39

2.3.7.4 Falla por fluencia del refuerzo de corte ... 39

2.3.8 Transferencia del cortante por las fisuras ... 39

2.3.8.1 Traba de los agregados en la fisura: ... 40

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FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL íNDICE

2_.3.8.2 Acción cortante de las varillas: ... 40

2.3.8.3 Esfuerzo axial de las varillas de refuerzo: ... 41

2.4 TIPOS DE MODELOS CONSTITUTIVOS ... 41

2.4.1 Modelos empíricos ... 42

2.4.2 Modelos elásticos lineales ... 43

2.4.3 Modelos elásticos no lineales ... 43

2.4.4 Modelos basados en la plasticidad ... 44

2.4.5 Modelos de fractura ... 45

2.4.6 Modelos considerando el daño continuo ... 46

2.4.7 Modelos que combinan la fractura y la plasticidad ... 47

2.4.8. Modelos endocrónicos ... 48

2.4.9 Modelos en micro planos ... 48

CAPÍTULO 111: SOLUCIÓN INCREMENTAL DE LAS ECUACIONES NO LINEALES ... 49

3.1 NO LINEALIDAD GEOMÉTRICA ... 49

3.2 NO LINEALIDAD DEL MATERIAL ... 51

3.3 DESCRIPCIÓN INFINITESIMAL DEL MOVIMIENTO ... 52

3.4 DEFINICIÓN DE DEFORMACIÓN UNITARIA ... 58

3.4.1 Tensor de deformación de green - lagrange ... 59

3.4.2 Incremento del tensor de deformación de green-lagrange total. ... 60

3.4.3 Tensor de deformación de green-lagrange actualizado ... 60

3.5 DEFINICIÓN DE ESFUERZOS ... 61

3.5.1 Tensor de esfuerzos del segundo teorema de Piola-Kirchhoff ... 62

3.5.2 Tensor de esfuerzos de Cauchy ... 63

3.5.3 El tensor de esfuerzos de Piola Kirchhoff actualizado ... 64

3.6 EL MÉTODO DEL ANÁLISIS INCREMENTAL EN PROBLEMAS NO LINEALES ... 65

3. 7 EL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON ... 68

3.7.1 El método de Newton-Raphson modificado ... 70

3.8 PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL.. ... 71

3.9 FORMULACIÓN ISOPARAMÉTRICA DE LOS ELEMENTOS FINITOS ... 75

CAPÍTULO IV: MODELO PLÁSTICO ... 78

4.1 ESFUERZOS ... 78

4.1.1 Esfuerzos en un punto y el tensor de esfuerzos ... 78

4.1.2 Esfuerzos principales e invariantes ... 81

4.1.3 Tensor de esfuerzos desviadores y sus invariantes ... 82

Análisis no lineal de elementos de concreto armado utilizando elementos finitos

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FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL ÍNDICE

4.1.4 Espacio de esfuerzos de Haigh-Westergaard ... 85

4.2 CRITERIO DE FLUJ0 ... 88

4.2.1 Características de la superficie de fluencia de un material. ... 88

4.2.2 El Criterio De Drucker-Prager ... 92

4.2.3 Criterio de fluencia de von Mises ... 94

4.3 FORMULACIÓN INCREMENTAL ... 95

4.3.1 Criterio de carga y descarga ... 96

4.3.2 Reglas de endurecimiento ... 98

4.3.3 El incremento del tensor de deformación elástico y plástico ... 99

4.3.4 Potencial plástico y reglas de flujo ... 99

4.4 ESFUERZO Y DEFORMACIÓN EFECTIVOS ... 101

4.4.1 Esfuerzo efectivo (ae) ... 101

4.4.2 Deformación Plástica Efectiva (EP) ... 102

4.4.3 Relación: esfuerzo efectivo - deformación efectiva ... 103

4.5 RELACIÓN INCREMENTAL ESFUERZO-DEFORMACIÓN ... 103

4.5.1 Relación constitutiva considerando el endurecimiento ... 104

4.5.2 Criterio de carga para un incremento de deformación ... 107

4.6 ASPECTOS NUMÉRICOS ... 108

4. 7 ZONA DE ABLANDAMIENTO ... 109

4.8 ESQUEMA DE INTEGRACIÓN PARA LOS MODELOS ELASTO-PLÁSTICOS ... 110

4.8.1 Descripción general del proceso de integración ... 11 O CAPÍTULO V: MODELO DE FRACTURA ... 116

5.1 ZONA DE FRACTURA ... -... 117

5.2 TIPOS DE MODOS DE FRACTURA ... 119

5.3 EFECTO DEL TAMAÑ0 ... 119

5.4 ANÁLISIS NO LINEAL DE LA MECÁNICA DE LA FRACTURA DEL CONCRETO ... 121

5.5 MODELO DE LA FISURA COHESIVA ... 121

5.6 MODELO DE LA FISURA EN UNA BANDA. ... 123

5.6.1 Inconvenientes en el método ... 125

5.6.2 Tipos de modelos distribuidos en una banda ... 126

5.6.3 Aspectos del algoritmo ... 127

5.6.3.1 Ley constitutiva del concreto entre fisuras ... 131

5.6.3.2 Ley constitutiva del concreto fisurado ... 132

5.6.3.3 Ley Constitutiva Del Material En General ... 133

Análisis no línea/ de elementos de concreto armado utiliza"ndo elementos finitos

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FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL ÍNDICE

5.6.4 Concepto de la fractura distribuida fija multi-rotacional. ... 137

CAPÍTULO VI: VALIDACIÓN NUMÉRICA ... 139

6.1. CARACTERÍSTICAS Y PARÁMETROS DEL ESPÉCIMEN ... 139

6.2 APLICACIÓN DE LA CARGA ... 142

6.3 ÁNALISIS DEL TAMAÑO DEL ELEMENTO FINITO ... 144

6.4 ANÁLISIS DEL MODELO EN COMPRESIÓN DEL CONCRETO ... 146

6.4.1 modelo parabólico de Hognestad ... 147

6.4.3. Modelo bilineal ... 148

6.4.4 Modelo lineal. ... 148

6.5. ANÁLISIS DE LOS EFECTOS DE LA CURVA ESFUERZO-DEFORMACIÓN EN TENSIÓN ... 150

6.5.1 Modelo de ruptura ... 151

6.5.2 Modelo lineal basado en la energí� de fractura ... 151

6.5.3 Modelo de Hordijk ... 152

6.6. ANÁLISIS DEL ACERO DE REFUERZO ... 154

6.6.1 Modelo lineal. ... 155

6.6.2 Modelo bilineal sin endurecimiento ... 156

6.6.3 Modelo bilineal con endurecimiento ... 157

6.6.4 Modelo de Mander ... 157

6.7 EFECTO DEL ESFUERZO DE FLUENCIA DE LAS VARILLAS DE ACERO DE REFUERZ0 ... 160

6.8 ANÁLISIS DEL PORCENTAJE DE ENDURECIMIENTO POR DEFORMACIÓN EN EL ACERO ... 161

6.8.1 Endurecimiento considerando m=15% ... 161

6.8.2 Endurecimiento considerando m=25% ... 162

6.8.3 Endurecimiento considerando m=35% ... 163

6.9 ANÁLISIS DEL CONFINAMIENTO DEBIDO A LOS ESTRIBOS ... 164

6.1 O ANÁLISIS DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES ... 167

6.10.1 Análisis de las varillas de refuerzo ... 167

6.10.1.1 Fuerza total sobre la viga vs deformación unitaria de la varilla: ... 167

6.10.1.2 Fuerza total sobre la viga vs esfuerzo: ... 167

6.10.1.3 Relación esfuerzo-deformación unitaria de las varillas de acero de refuerzo: ... 168

6.10.2 Análisis de los esfuerzos de la viga en dirección XX y XY ... 168

6.10.2.1 Esfuerzos normal XX en la sección A-A: ... 170

6.10.2.2 Esfuerzo normal XX en la sección B-B: ... 171

Análisis no lineal de elementos de concreto armado utilizando elementos finitos

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FACULTAD DE INGENIER{A CIVIL ÍNDICE

6.10.2.3 Esfuerzo normal XX en la sección C-C: ... 172

6.10.2.4 Esfuerzo normal XX en la sección D-D: ... 173

6.10.2.5 Esfuerzo normal XX en la sección E-E: ...... 17 4 6.10.2. 7 Esfuerzo cortante XY en la sección A-A: ... 175

6.10.2.8 Esfuerzo cortante XY en la sección B-8: ... 176

6.10.2.9 Esfuerzo cortante XY en la sección C-C: ... 177

6.10.2.1 O Esfuerzo cortante XY en la sección D-D: ... 178

6.10.2.11 Esfuerzos cortante XY en la sección E-E: ... 179

6.10.3 Análisis de los desplazamientos de la viga en dirección )O<.. ... 180

6.10.3.1 Desplazamiento X en la sección B-8: ... 181

6.10.3.2 Desplazamiento X en la sección C-C: ... 181

6.10.3.3 Desplazamiento X en la sección D-D: ... 181

6.10.3.4 Desplazamiento X en la sección E-E: ... 182

6.10.4 Análisis de las deformaciones unitarias en dirección XX ... 182

6.10.4.1 Deformaciones unitarias XX en la sección A-A: ... 183

6.10.4.2 Deformaciones unitarias XX en la sección B-B: ... 183

6.10.4.3 Deformaciones unitarias XX en la sección C-C: ... 184

6.10.4.4 Deformaciones unitarias XX en la sección D-D: ... 184

6.11 SENSIBILIDAD DE LA RESPUESTA ANTE MODIFICACIONES DE LOS PARÁMETROS ... 185

6.11.1 Módulo elástico del concreto ... 186

6.11.2 Razón de Poisson del concreto ... 187

6.11.3 Resistencia de tensión del concreto ... 187

6.11.4 Energía de fractura del concreto ... 188

6.11.5 Ancho de distribución de la fisura ... 188

6.11.6 Cohesión ... 189

6.11. 7 Ángulo de fricción y ángulo de dilatación ... 189

6.11.8 Módulo elástico de las varillas de acero de refuerzo ... 190

6.12 FISURACIÓN DEL CONCRET0 ... 191

6.13 ANÁLISIS CONSIDERANDO UNA FISURA PREVIA ... 193

6.14 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL ESFUERZO, DEFORMACIÓN Y FUERZA EN LAS VARILLAS DE REFUERZ0 ... 197

6.14.1 Esfuerzos en las varillas de acero: ... 197

6.14.2 Deformación unitaria en las varillas de acero ... 199

6.14.3 ESFUERZOS EN EL CONCRETO ... 202

Análisis no lineal de elementos de concreto armado utilizando elementos finitos

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6.14.3.1 Esfuerzos normales en dirección longitudinal ... 202

6.14.3.2 Esfuerzos cortantes en el concreto ... 205

CAPÍTULO VII: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ... 209

7.1 CONCLUSIONES ... 209

7.2 RECOMENDACIONES ... 211

BIBLIOGRAFÍA ... 213

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RESUMEN

RESUMEN

La presente tesis plantea analizar una estructura de concreto armado considerando el comportamiento no lineal de dicho espécimen. Para tal cometido se describen aspectos y comportamientos de cada material componente, en este caso el concreto y el acero de refuerzo. De estas descripciones se observa en primer lugar que el concreto tiene un comportamiento diferente en compresión que en tensión y por tanto se describen dos teorías diferentes para tratar de simular el comportamiento de dicho material. Para el caso en compresión del concreto se utiliza un modelo elasto plástico, específicamente un modelo basado en la teoría de Drucker-Prager; y en el caso de la tensión del concreto se utiliza un modelo basado en la teoría de la fractura, específicamente un modelo fijo multi-rotacional. En segundo lugar, se encuentra el acero de refuerzo; este material se modeló de modo similar a la compresión del concreto, es decir con un modelo elasto-plástico, pero con la diferencia que se usó un modelo basado en la teoría de von Mises, que describe mejor el comportamiento en metales. En tercer lugar, la modelación de la interacción concreto-acero de refuerzo se supuso como de unión perfecta. Todos estos modelos necesitan estar integrados en un solo proceso numérico y en esta tesis se emplea la técnica de los elementos finitos, que discretiza el continuo en elementos de menor tamaño que se conectan entre ellos a través de sus nudos. Estas técnicas además necesitan un proceso iterativo para solucionar las múltiples ecuaciones que se producen. En la presente tesis dicha técnica será el método de Newton Raphson Modificado.

El espécimen que se analiza usando el programa TNO DIANA es una viga ensayada en cuatro puntos. Se pretende analizar varios casos modificando parámetros y propiedades de los materiales con la intención de ver la influencia de estos sobre la respuesta del espécimen. Al final se aprecia claramente que el espécimen incursiona rápidamente en comportamientos no lineales y que algunas propiedades son más importantes que otras. En general se obtuvieron buenos resultados al compararlo con los resultados experimentales y al final se presentan las conclusiones y recomendaciones.

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ABSTRACT

ABSTRACT

This thesis tries to analyze a reinforced concrete structure taking into account the nonlinear behavior of this material. In this sense, this work describes the most important aspects and behavior of each component material, namely the concrete and the reinforcement. From the study of concrete, it is clear that this material has two different behaviors when it is subjected to compression or tension. Therefore two different models are required in order to describe each particular behavior of this material. The model for compression of concrete is elasto plastic, specifically a model based on the theory of Drucker-Praguer, while for tension a model based on the theory of fracture, the model called multi rotating crack is used in this thesis. The other important material is the steel· reinforcement. In this thesis an elasto plastic model is also used for the steel, specifically a model based on the theory of von Mises, which is adequate for describing the behavior of metals. Another important aspect is how to model the bond between concrete and reinforcement. This is an issue beyond the scope of this thesis, so this contact is modeled as perfect. AII of these models need to be integrated into one numeric process. For such purpose, a displacement based finite element model is employed. The continuum is represented by a collection of many elements of small size. These elements are interconnected at their nodes. AII of this models and numeric processes have been integrated in a nonlinear iterative process. In this thesis the technique to do this is the Modified Newton Raphson method.

The specimen studied is a simple supported beam with two symmetrical point loads. lt was analyzed with the computer program TNO DIANA 9.5. The goal of this investigation is to analyze several cases modifying properties and parameters of the materials components with the purpose to investigate the behavior of this specimen. As a result, it is observed that the beam enters quickly in the nonlinear range. Also the more important parameters are indentified. Finally conclusions and recommendations are presented.

Análisis no lineal de elementos de concreto armado utilizando elementos finitos

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PRÓLOGO

PRÓLOGO

Este trabajo de Genaro A Beas Bernuy puede considerarse como una exploración inicial para desarrollar el análisis de estructuras de concreto armado en una forma más racional y completa.

En el análisis de estructuras de pórticos, no solamente de concreto armado sino también de otros materiales, se realiza actualmente como si los elementos estuvieran en un estado plano de esfuerzos. Los modelos supuestamente tridimensionales son realmente una colección de objetos cuyo comportamiento es plano, aun cuando los elementos tengan distintas orientaciones. Más aún, en elementos esbeltos como vigas o colum�as se supone un estado de esfuerzos prácticamente uniaxial. No se considera directamente en el análisis la interacción entre los esfuerzos normales en dirección longitudinal y aquellos en dirección transversal o entre los esfuerzos normales y tangenciales. Sin embargo, tales interacciones son importantes en un material como el concreto. Por ello, los códigos de diseño incluyen una serie de recomendaciones que buscan compensar las deficiencias en el análisis.

Por otro lado, el comportamiento del material a nivel puntual es marcadamente no lineal, pero el típico análisis en una oficina de proyectos se realiza como si el material tuviera un comportamiento lineal y elástico. En la tesis se ha hecho una revisión detallada de algunos modelos de comportamiento no lineal implementados en el programa de cómputo empleado. El compromiso y dedicación de Genaro Beas han sido determinantes al enfrentar este trabajo. Todavía han sido necesarias muchas simplificaciones, como el considerar el refuerzo perfectamente adherido al concreto, pero se han obtenido resultados numéricos que se ajustan muy bien a los resultados experimentales.

Puede preverse que, en un futuro, cuando se disponga de ordenadores mucho más rápidos que los actuales, se podrá - con técnicas análogas a las tratadas en esta tesis - lograr una mejor integración de los procesos de análisis y diseño de estructuras de concreto armado.

Hugo Scaletti Farina Asesor de la tesis

Análisis no lineal de elementos de concreto armado utilizando elementos finitos

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LISTA DE TABLAS

Tabla 3.1: Tipos de no linealidades geométricas, posibles medidas de

LISTA DE TABLAS

esfuerzo y de deformación ... 50

Tabla 3.2: Clasificación del análisis no lineal. ... 53

Tabla 6.1: Propiedades del concreto ... 140

Tabla 6.2: Propiedades del acero de refuerzo . ... 140

Tabla 6.3: Propiedades del concreto ... 185

Tabla 6.4: Propiedades del acero de refuerzo . ... 185

Análisis no lineal de elementos de concreto armado utílízarido elementos finitos

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FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL LISTA DE FIGURAS

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1: Curva esfuerzo-deformación de una varilla de acero . ... 21

Figura 2.2: Proceso de carga, descarga y recarga ... 22

Figura 2.3: Efecto Bauschinger ... 24

Figura 2.4: Endurecimiento isotrópico ... 25

Figura 2.5: Endurecimiento cinemático . ... 25

Figura 2.6: Endurecimiento mixto . ... 26

Figura 2.7: Diagrama típico o-E ... 27

Figura 2.8: a) Curva Deformación total, b) Curva Esfuerzo-Deformación plástica ... 28

Figura 2.9: Curva Típica de un ensayo uniaxial Esfuerzo-Deformación de compresión plástica ... 31

Figura 2.1 O: Curva uniaxial de Esfuerzo-Deformación en un ensayo de tensión ... 32

Figura 2.11: Curvas Esfuerzo-Deformación bajo confinamiento lateral. ... 33

Figura 2.12: a) Efectos del incremento de esfuerzos o3 sobre la curva o1-E1; b) Comportamiento del o1 en el ensayo de modo que E2 = 0 ... 34

Figura 2.13: Deformación volumétrica bajo compresión biaxial... ... 35

Figura 2.14: Curva Esfuerzo-Deformación de un ensayo uniaxial en compresión ... 35

Figura 2.15: Influencia de la altura del espécimen en la curva Esfuerzo-Deformación en un ensayo uniaxial. ... 36

Figura 2.16: Curva Esfuerzo-Deformación de un ensayo cíclico en compresión uniaxial. ... 37

Figura 2.17: Modos de falla de un concreto reforzado debido a fuerzas cortantes ... 38

Figura 2.18: Mecanismo de transferencia del corte en concretos fisurados . ... 40

Figura 2.19: Curva esfuerzo-deformación para un caso uniaxial referido a un modelo elástico no lineal. ... 44

Figura 2.20: Modos de Fractura. (a)Modo I de abertura. (b) Modo II de corte en el plano. (c) Modo III de corte fuera del plano ... 46

Figura 3.1: Ejemplos de no linealidad: (a) geométricamente lineal; (b) geométricamente no lineal, con pequeñas deformaciones; (c) geométricamente no lineal con, grandes deformaciones . ... 51

Figura 3.2: Esquema de la Relación esfuerzo (o) - deformación (E) de una varilla de acero obtenida en laboratorio . ... 52

Figura 3.3: Movimiento del cuerpo en un estado tridimensional. ... 54

Figura 3.4: Méto.do iterativo en cada paso . ... 55

Figura 3.5: Definición del tensor de esfuerzos del segundo teorema de Piola-Kirchhoff . ... 62

Figura 3.6: Definición del tensor de esfuerzos de Cauchy . ... 63

Figura 3.7: Definición del tensor de esfuerzos de Cauchy Actualizado . ... 64

Figura 3.8: Método de Newton Raphson ... 69

Figura 3.9: Método de Newton-Raphson modificado . ... 70

Figura 3.10: Posibilidad de múltiples soluciones.: ... 71

Figura 3.11: Movimiento de un cuerpo en un sistema cartesiano ... 71

Figura 4.1: Fuerzas actuando en un plano de corte cualquiera ... 79

Análisis no lineal de elementos de concreto armado utilizando elementos finitos

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FACULTAD DE INGENIER{A CIVIL LJSTA DE FIGURAS

Figura 4.2: Representación de esfuerzos, a) Componentes del tensor de esfuerzos asociado al eje coordenado Xl, b) Representación

general del tensor de esfuerzos en un punto ... 80

Figura 4.3: Espacio de Haigh-Westergaard o espacio de esfuerzos principales. 85 Figura 4.4: Proyección del estado de esfuerzos en el plano desviador ... 87

Figura 4.5: Ensayo uniaxial esfuerzo-deformación para un metal. ... 88

Figura 4.6: Representación de la superficie de fluencia en el espacio de Haigh-Westergaard o espacio de esfuerzos principales . ... 90

Figura 4.7: a) Plano desviador en forma general, b) secciones meridionales ... 90

Figura 4.8: Planos desviadores proyectados sobre uno de ellos ... 91

Figura 4.9: Superficie de fluencia de Mohr-Coulomb y Drucker-Prager. (a) En el espacio de Haigh-Westergaard,(b) En un plano desviador . ... 93

Figura 4.1 O: Superficies de Fluencia de von Mises y Drucker-Prager . ... 95

Figura 4.11: Modificación de la superficie de fluencia en un modelo que toma en cuenta el endurecimiento ... 97

Figura 4.12: Representación esquemática en el caso de un incremento de carga . ... : ... 98

Figura 4.13: Ilustración geométrica del caso de flujo asociado . ... 100

Figura 4.14: Representación gráfica del proceso de predicción elástica y corrección plástica ... 111

Figura 4.15: Ilustración de una iteración del método de Newton ... 114

Figura 5.1: Zonas de comportamiento de los materiales. (F) Zona de fractura, (N) Zona no lineal, (L) Zona lineal. ... 117

Figura 5.2: Fisura del concreto: a) No se incluyen los efectos de las microfisuras pre pico. b) se incluyen las microfisuras pre pico ... 118

Figura 5.3: Los tres modos de fractura: a) Modo l. b) Modo II y c) Modo 111. .... 119

Figura 5.4: Efecto del tamaño para estructuras geométricamente similares pero de diferentes tamaños . ... 121

Figura 5.5: (a) fisura real en el cuerpo. (b) modelo cohesivo. (c) modelo en una banda . ... 123

Figura 5.6: Recomendaciones para distribuir las fisuras en un ancho e del elemento finito. (a) para un cuadrilátero, (b) para un rectángulo y (c) para un cuadrado . ... 125

Figura 5. 7: Consecuencias de la compatibilidad de desplazamientos. Las deformaciones del elemento 2 inducen esfuerzos en el elemento 1 ... 126

Figura 5.8: Esfuerzos d_e fisura, desplazamientos relativos y sistema de coordenadas locales en la fisura . ... 128

Figura 5.9: Esfuerzos de fisura, desplazamientos relativos y sistema de coordenadas locales en la fisura en tres dimensiones ... 129

Figura 5.10: Curva Esfuerzo-Ablandamiento: a) Tri lineal, b) Exponencial de Hordijk . ... 135

Figura 5.11: Energía de fractura disponible para la nueva fisura . ... 138

Figura 6.1: (a) Ensayo en laboratorio. (b) Esquema de ensayo . ... 139

Figura 6.2: Geometría general del espécimen en estudio ... 140

Figura 6.3: Modelo uniaxial de compresión y tensión para el concreto . ... 141

Figura 6.4: Modelo de tensión y compresión para el acero de refuerzo . ... 141

Figura 6.5: Modelo de la viga con cargas puntuales . ... 142

Figura 6.6: Modelo de la viga con apoyos de transferencia . ... 142

Análisis no lineal de elementos de concreto armado utilizando elementos finitos

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FACULTAD DE INGENIER{A CIVIL LISTA DE FIGURAS

Figura 6.7: Fuerza vs Desplazamiento para el primer modelo. (a)Aplicación

de fuerzas. (b) Aplicación de desplazamientos ... 143

Figura 6.8: Fuerza vs Desplazamiento para el segundo modelo. (a)Aplicación de fuerzas. (b) Aplicación de desplazamientos ... 143

Figura 6.9: Modelos de la viga con distintos tamaños de los elementos finitos.145 Figura 6.1 O: Curva Fuerza-Desplazamiento obtenidas con las distintas mallas ... 145

Figura 6.11: Modelo de Hognestad ... 14 7 Figura 6.12: Curva Fuerza-Desplazamiento utilizando el modelo de Hognestad ... 147

Figura 6.13: Curva fuerza-desplazamiento utilizando el modelo bilineal. ... 148

Figura 6.14: Curva Fuerza-Desplazamiento utilizando el modelo lineal ... 148

Figura 6.15: Resultados obtenidos con distintas formas del diagrama de esfuerzos de compresión del concreto . ... 149

Figura 6.16: Curva uniaxial cr-E del concreto en tensión ... 150

Figura 6.17: Modelo de ruptura ... 151

Figura 6.18: Curva Fuerza-Desplazamientó utilizando el modelo del Ruptura. 151 Figura 6.19: Modelo lineal basado en la energía de fractura ... 152

Figura 6.20: Curva Fuerza-Desplazamiento utilizando el modelo lineal. ... 152

Figura 6.21: Modelo de Hordijk ... 152

Figura 6.22: Curva Fuerza-Desplazamiento utilizando el modelo de Hordijk .... 153

Figura 6.23: Modelos utilizados para la tensión del concreto . ... 154

Figura 6 24: Modelo embebido del acero de refuerzo . ... 155

Figura 6.25: Curva fuerza-desplazamiento utilizando el modelo lineal. ... 156

Figura 6.26: Curva fuerza-desplazamiento utilizando el modelo bilineal sin endurecimiento ... 156

Figura 6.27: Modelo bilineal con endurecimiento . ... 157

Figura 6.28: Curva Fuerza-Desplazamiento utilizando el modelo bilineal con endurecimiento . ... 157

Figura 6.29: Curva esfuerzo-deformación para el acero en tensión y compresión ... 158

Figura 6.30: Curva fuerza-desplazamiento utilizando el modelo de Mander . ... 159

Figura 6.31: Curvas esfuerzo-desplazamiento utilizando varios modelos del acero de refuerzo. SE=sin endurecimiento. CE = con endurecimiento ... 159

Figura 6.32: Curvas esfuerzo-desplazamiento utilizando diferentes valores de fy . ... 160

Figura 6.33: Modelos bilineales de endurecimiento por deformación. La letra m hace referencia a la pendiente ... 161

Figura 6.34: Curva fuerza-desplazamiento utilizando m=15% . ... 162

Figura 6.35: Curva fuerza-desplazamiento utilizando m=25% . ... 162

Figura 6.36: Curva fuerza-desplazamiento utilizando m=35% . ... 163

Figura 6.37: Curvas esfuerzo-desplazamiento utilizando diferentes valores de porcentaje de endurecimiento ... 163

Figura 6.38: Discretización del elemento . ... 164

Figura 6.39: Zonas de confinamiento en el elemento ... 164

Figura 6.40: Discretización del elemento en el programa DIANA. ... 165

Figura 6.41: Curvas esfuerzo-deformación para los casos no confinado y confinados . ... 165

Análisis no lineal de elementos de concreto armado utilizando elementos finitos

(17)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERfA

FACULTAD DE INGENIERfA CIVIL LISTA DE FIGURAS

Figura 6.42: Curvas esfuerzo-desplazamiento sin considerar los efectos del

confinamiento y considerándolos ... 166

Figura 6.43: fuerza total sobre la viga vs deformación unitaria de la varilla ... 167

Figura 6.44: fuerza total sobre la viga vs esfuerzo ... 167

Figura 6.45: Relación esfuerzo-deformación unitaria de las varillas de acero de refuerzo ... 168

Figura 6.46: Secciones analizadas (unidades en mm) ... 168

Figura 6.47: Esfuerzos crxx en la sección A-A. ... 170

Figura 6.48: Esfuerzos crxx en la sección 8-B. ... 171

Figura 6.49: Esfuerzos crxx en la sección C-C ... 172

Figura 6.50: Esfuerzos oxx en la sección D-0 ... 173

Figura 6.51: Esfuerzos CJXX en la sección E-E. ... 174

Figura 6.52: Esfuerzos -rx:y en la sección A-A. ... 175

Figura 6.53: Esfuerzos 1XY en la sección 8-8 . ... 176

Figura 6.54: Esfuerzos -rxy en la sección C-C ... 177

Figura 6.55: Esfuerzos -rxy en la sección 0-0 ... 178

Figura 6.56: Esfuerzos 1xy en la sección E-E. ... 179

Figura 6.57: Desplazamiento en la dirección XX en la sección 8-8 . ... 181

Figura 6.58: Desplazamiento en la dirección XX en la sección C-C ... 181

Figura 6.59: Desplazamiento en la dirección XX en la sección D-0 ... 181

Figura 6.60: Desplazamiento en la dirección XX en la sección E-E. ... 182

Figura 6.61: Secciones analizadas (unidades en mm) ... 182

Figura 6.62: Deformaciones unitarias en la dirección XX en la sección A-A. .... 183

Figura 6.63: Deformaciones unitarias en la dirección XX en la sección 8-8 ... 183

Figura 6.64: Deformaciones unitarias en la dirección XX en la sección C-C . ... 184

Figura 6.65: Deformaciones unitarias en la dirección XX en la sección 0-0 . ... 184

Figura 6.66: Modelo uniaxial de compresión y tensión para el concreto . ... 186

Figura 6.67: Modelo de tensión y compresión para el acero de refuerzo . ... 186

Figura 6.68: Influencia del módulo de elasticidad del concreto en el comportamiento del elemento ... 186

Figura 6.69: Influencia del módulo de Poisson del concreto en el comportamiento del elemento ... 187

Figura 6.70: Influencia de la resistencia de tensión del concreto en el comportamiento del elemento ... 187

Figura 6. 71: Influencia de la energía de fractura del concreto en el comportamiento del elemento ... 188

Figura 6.72: Influencia del ancho de distribución en el comportamiento del elemento ... 188

Figura 6.73: Influencia de la cohesión del concreto en el comportamiento del elemento ... 189

Figura 6.74: Influencia del ángulo de fricción y ángulo de dilatación del concreto en el comportamiento del elemento . ... 189

Figura 6. 75: Influencia del módulo de elasticidad del refuerzo en el comportamiento del elemento ... 190

Figura 6.76: (a) Representación gráfica del proceso de fisuración usando el programa. (b) Estado fisurado en laboratorio ... 193

Figura 6.77: Rotura previa del espécimen ... 194

Figura 6. 78: Curva de rotura previa y curva obtenida del proceso de recarga. 194 Figura 6. 79: Etapas del análisis en el programa DIANA. ... 195

Análisis no lineal de elementos de concreto armado utilizando elementos finitos

(18)

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FACULTAD DE INGENIER(A CIVIL LISTA DE FIGURAS

Figura 6.80: Primera parte y segunda parte del análisis . ... 196 Figura 6.81: Comparación del modelo usando el DIANA y los resultados

experimentales ... 196 Figura 6.82: Representación gráfica de los esfuerzos axiales en las varillas

de refuerzo . ... 199 Figura 6 83: Representación gráfica de la deformación unitaria en las varillas

de refuerzo . ... 202 Figura 6.84: Representación gráfica de crxx ... 205 Figura 6 85: Representación gráfica de TXy ... 208

Análi¡;is no lineal de elementos de concreto armado utilizando elementos finitos

(19)

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FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL LISTA DE SÍMBOLOS Y DE SIGLAS

A Área

LISTA DE SÍMBOLOS Y DE SIGLAS

B L Matriz que contiene las derivadas de la función de interpolación

e

Tensor de cuarto orden

e Cohesión xc Configuración x

cep Tensor de cuarto orden el asto plástico Dco Matriz constitutiva elástica no fisurada ver Matriz constitutiva fisurada

d Representación del tamaño

0e Componente lineal del tensor de deformación de Green-Lagrange Gr Energía de fractura

Gr.a Energía de fractura disponible g(aij) Superficie plástica potencial

f

¡

Resistencia nominal de compresión del concreto fsu Esfuerzo último del acero de refuerzo

ft Esfuerzo de tensión característico {y Esfuerzo de fluencia

h Ancho de fisura

Ii Invariante i del tensor de esfuerzos

h Invariante i del tensor de esfuerzo desviador Longitud actual del espécimen

l0 Longitud inicial del espécimen

N Matriz de interpolación de desplazamientos O(nx) Error de redondeo de orden x

R Vector de cargas

S Esfuerzo de Piola-Kirchhoff

ny Vector de esfuerzos asociados a la dirección n U Vector de desplazamientos

xv Volumen en la configuración x w Abertura de la fisura

xi Coordenada i

(3 Factor de retención por corte

ycr Deformación cortante del concreto fisurado o Operador Kronecker delta

Análisis no lineal de elementos de concreto armado utilizando elementos finitos

(20)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIER(A CIVIL

oW

Trabajo virtual

E Módulo de elasticidad

Ec Módulo elástico del concreto Ep Módulo plástico

Es Módulo elástico del acero Er Módulo tangente

LISTA DE SÍMBOLOS Y DE SIGLAS

0r¡ij Componente no lineal del tensor de deformación de Green-Lagrange E Deformación unitaria

éº Deformación del concreto no fisurado ér Deformación del concreto fisurado

Ey Deformación de fluencia del acero de refuerzo

Esh Deformación de llanura del acero de refuerzo Ep Deformación efectiva

EE Deformación unitaria elástica

Epc Deformación unitaria en el pico de la curva esfuerzo-deformación del concreto confinado

EP Deformación unitaria plástica

Esu Deformación última del acero de refuerzo E��ult Deformación última por fisura

e Ángulo de similitud K Matriz de rigidez Ki Matriz de rigidez lineal

KNi Matriz de rigidez no lineal geométrica k Parámetros internos

díl Factor de escala v Razón de Poisson

xp Densidad en la configuración x

u Esfuerzo

s Tensor de esfuerzo desviador Esfuerzo efectivo

ªú Esfuerzo nominal

\

<Ipc Esfuerzo máximo de la curva esfuerzo-deformación del concreto confinado

r Esfuerzo de Cauchy

(/) Ángulo de fricción 4J Ángulo de dilatación

Análisis no lineal de elementos de concreto armado utilizando elementos finitos

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CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN

CAPfTULO I: INTRODUCCIÓN

Los retos de la ingeniería para satisfacer las necesidades humanas son cada vez mayores. Esto no solo se debe al aumento de las dimensiones de las estructuras como edificios, represas o coliseos; sino también a rigurosas formas arquitectónicas que dejan en el pasado los análisis simplistas que suponen que los materiales se comportan lineal y elásticamente. Estos desafíos impulsan a conocer más y mejor el comportamiento de los materiales componentes de la estructura; claro está que esto no es materia sencilla, debido a que la mayoría de materiales usados en la ingeniería civil solo presentan un pequeño rango elástico comparado con su capacidad de deformación total.

En la presente tesis se analizarán dos materiales muy usados y estudiados a nivel mundial, como son el concreto y el acero de refuerzo como varillas. En una estructura típica el refuerzo de acero esta embebido en la masa de concreto ayudando a la poca resistencia de tracción que presenta el concreto. Estos materiales trabajan en conjunto y está claro que el comportamiento global depende en forma casi exclusiva del comportamiento que tiene cada material componente y la interacción entre ellos. Cada material tiene comportamientos disimiles e incluso par el caso del concreto se observa un comportamiento diferente en un caso de compresión o tensión. Para poder estudiar el comportamiento de cada material se necesita usar alguna función que relacione la deformación frente a un sistema de cargas; con frecuencia la relación que se usa es una curva esfuerzo-deformación obtenida de ensayos en laboratorio. Las diferentes curvas esfuerzo-deformación de distintos materiales sugieren un hecho muy importante en el comportamiento de los materiales y es que casi todos los materiales de ingeniería civil incursionan en el rango inelástico inclusive a pequeñas deformaciones. Es decir que casi todo el comportamiento desde el inicio de la carga hasta el colapso de la estructura está prácticamente gobernado por un comportamiento· no lineal. Dicho esto, sería un grave error considerar un comportamiento lineal y elástico para tratar de predecir el comportamiento de una estructura hasta su colapso y está claro que se deben tomar algunas consideraciones para tomar en cuenta la no linealidad. Por ejemplo, los códigos y normas más usados en el mundo como el ACI o ASSHTO consideran un comportamiento no lineal a nivel de cada componente y a nivel global de toda la estructura, pero estas suposiciones son simplistas e inclusive discutibles. Es por tanto que en la presente tesis se usará un análisis más exhaustivo a nivel macro

Análisis no lineal de elementos de concreto armado utilizando elementos finitos

(22)

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FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL CAP(TULO 1: INTRODUCCIÓN

de cada elemento con el fin de predecir el comportamiento de un elemento de concreto armado.

Existen una gran variedad de modelos no lineales para el caso del concreto y el acero de refuerzo. Dentro de todos estos modelos, en la presente tesis se utilizarán dos modelos muy usados en las últimas décadas que se desenvuelven en un entorno numérico también ampliamente utilizado como es el de los elementos finitos; dichos modelos son un modelo plástico y un modelo de fractura. El modelo plástico será utilizado para describir el comportamiento del acero de refuerzo y el comportamiento de compresión del concreto y el modelo de fractura será utilizado para representar el comportamiento de tensión de concreto. En la presente tesis se supone adherencia perfecta entre el concreto y el acero de refuerzo.

La tesis está organizada de la siguiente manera: En el capítulo II se presenta una breve descripción del comportamiento de los materiales mostrando curvas esfuerzo-deformación frente a varios estados de esfuerzo, tanto para el acero de refuerzo como para el concreto. Se muestran algunas fallas típicas en estructuras tipo vigas y se presentan los modelos más usados en la actualidad para describir el comportamiento no lineal de los materiales. En el capítulo 111 se muestran los aspectos numéricos del análisis incremental paso a paso que se usa en la presente tesis, todo enfocado para aplicar la técnica numérica de los elementos finitos. Además, se muestran los conceptos fundamentales de esfuerzos y deformaciones. En el capítulo IV se presenta en extenso el modelo plástico y se presentan los modelos usados para el acero de refuerzo y para el concreto en compresión. Estos modelos son uno de von Mises y otro de Drucker-Prager respectivamente. Además, se muestran los aspectos numéricos más resaltantes de ambos modelos. En el capítulo V se presenta el modelo de fractura que se usará para describir el comportamiento en tensión del concreto; más específicamente se refiere al modelo multi fijo-rotacional. Como en el caso anterior también se muestran los aspectos numéricos más resaltantes. En el capítulo VI se modela el comportamiento de una viga de concreto armado usando los modelos antes mencionados y el programa de cómputo TNO DIANA. Se presentan además un análisis de parámetros. Finalmente, en el. capítulo VII se presentan las conclusiones y recomendaciones.

Análisis no lineal de elementos de concreto armado utilizando elementos finitos

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FACULTAD DE INGEN/ER{A CIVIL CAPÍTULO//: COMPORTAMIENTO DE LOS MATERIALES

CAPÍTULO 11: COMPORTAMIENTO DE LOS MATERIALES

La respuesta de un elemento estructural como por ejemplo una viga o una columna, depende de las propiedades del material del cual está compuesto y del estado de cargas impuestas. En el caso de un elemento de concreto armado dependerá entonces del comportamiento del concreto, del acero de refuerzo y de la interrelación entre ambos materiales como un todo. Este comportamiento definitivamente depende del tipo de carga impuesta, es decir que para poder predecir o modelar el comportamiento del elemento estructural, la teoría clásica sugiere se deben hacer ensayos de naturaleza similar. Tratar de ensayar cada fenómeno resultaría costoso; es por esto que en un enfoque más moderno del modelamiento las propiedades de los materiales se tratan de relacionar con ensayos simples, generalmente uniaxiales,. que sirven como datos de entradas para poder calibrar y modelar problemas del tipo estático, dinámico, de impacto, etc. En nuestro caso se analizará una viga de concreto armado y los parámetros de entrada como el módulo de elasticidad, las curvas Esfuerzo-Deformación, la cohesión, el ángulo de dilatación, etc., serán obtenidos de ensayos simples estáticos. Otro aspecto importante de la modelación radica en la suposición de un comportamiento, es decir en la elección de un modelo apropiado que describa el comportamiento del material en forma satisfactoria. Por ejemplo, no es lo mismo tratar de predecir el efecto del corte sobre una viga y por otro lado el efecto de la flexión con un mismo modelo para ambos casos. Aunque el material en ambos casos es el mismo, el tipo de carga condiciona el comportamiento. Es por esto que en este capítulo aparte de brindar alguna información sobre el comportamiento de los materiales en estados de carga simple, también se pretende brindar alguna información del tipo de modelos que existen en la actualidad.

2.1 COMPORTAMIENTO GENERAL DE LOS MATERIALES

2.1.1 Comportamiento plástico en tensión y en compresión

El caso más simple de análisis es el referido a un estado de esfuerzo uniaxial, por ejemplo, un ensayo de tensión, por el cual <11 > O, <12 = <13 = O, o un ensayo de compresión, por el cual <11 = <12 = O, <13 < O. En un estado más general las tensiones se presentan en las tres direcciones haciendo difícil su entendimiento geométrico, por tal motivo se comenzará estudiando el caso uniaxial para luego generalizar a un estado de cargas tridimensional en próximos capítulos.

Análisis no lineal de elementos de concreto armado utilizando elementos finitos

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2.1.2 Carga estática monotónica

La Figura 2.1 muestra una típica curva para el caso de un proceso de carga de tensión uniaxial de una barra de acero. Se observa una primera región que casi es una línea recta, línea OA, que es considerada como la parte elástica. El punto A define el límite de proporcionalidad y después de este existe una región hasta el punto B que se puede considerar aún elástica donde la proporcionalidad es incierta.

o

Límite de proporción

(Oy)

o

Esfuerzo último Límite máximo

de fluencia

s

)

.A C') D

(___ Límite mínimo de fluencia

E

J

Esfuerzo de fractura

e:

Figura 2.1: Curva esfuerzo-deformación de una varilla de acero [Chen y Han, 1988].

Una importante característica que se observa en la figura 2.1 es que una vez liberada la carga, el espécimen recupera su posición inicial siempre y cuando la carga se retire antes de llegar al punto B, es decir el espécimen recupera su longitud original. Al punto B se le conoce como punto de fluencia; una vez que se pasa de este punto el espécimen presentará deformaciones permanentes cuando se quite la carga impuesta. En el caso del acero se observa un pequeño decremento después del punto de fluencia, el punto

e,

para luego tener aproximadamente una carga constante hasta el punto D. La región CD es llamada generalmente como flujo plástico. Finalmente existe un endurecimiento hasta el punto E y termina con la falla del material en un punto denominado esfuerzo de fractura.

Análisis no lineal de elementos de concreto armado utilizando elementos finitos

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2.1.3 Proceso de carga y descarga

Consideremos un ensayo uniaxial en el cual se carga el espécimen monotónicamente hasta algún valor (aA) en el cual el material está fluyendo y luego se descarga completamente hasta el punto B como se muestra en la figura 2.2. El tramo de la descarga, línea AB, es casi una recta y muchos autores solo por simplicidad afirman que es más o menos paralela a la recta tangente inicial en el punto O. Cuando se produce la descarga total, la carga de nuevo es cero (puntoB) pero la deformación no es cero; se ha producido una deformación permanente en el material (OB). Esta deformación irrecuperable OB es comúnmente llamada deformación plástica. Si nos ubicamos en el punto A, la deformación total está dada por las rectas OB + BC; cuando se produce la descarga como se indicó líneas arriba se llega al punto B, donde la deformación al final está dada por OB, claramente ha habido una recuperación de la deformación en un valor representado por la línea BC, esta última parte de la deformación es elástica. Ahora si el espécimen es cargado nuevamente desde el punto B, la nueva curva Esfuerzo-Deformación seguirá el camino BA, el cual es muy similar (y se supone igual) al camino de descarga AB. El material se comporta elásticamente hasta alcanzar el previo máximo esfuerzo, punto A. Se puede ver que ahora el esfuerzo en A se convierte en el siguiente punto de fluencia. Si la carga continúa pasado el punto A, entonces seguirá el camino AD hasta repetir el proceso nuevamente.

O'

o

B

e

. D

�_:::::..----e:

Figura 2.2: Proceso de carga, descarga y recarga [Chen y Han, 1988).

Análisis no lineal de elementos de concreto armado utilizando elementos finitos

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FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL CAPÍTULO 11: COMPORTAMIENTO DE LOS MATERIALES

Para la mayoría de materiales que pasan su punto de fluencia en un proceso de carga, se observa que la curva esfuerzo-deformación continúa creciendo, aunque la pendiente cada vez decrece hasta que inclusive la pendiente de hace cero, como se observa en el tramo AD de la figura 2.2. Muchos materiales fallan y colapsan en esta etapa. En esta última región se puede establecer que cada subsecuente punto de fluencia incrementa a medida que la deformación también incrementa. Este efecto es conocido como deformación por endurecimiento (strain hardening) y será tratada en más detalle en próximos capítulos. Existe también otro caso que se observa en un simple ensayo de compresión del concreto; existe una región pasada el pico de máximo esfuerzo donde la curva posee una pendiente negativa. Tal comportamiento es llamado ablandamiento por deformación (strain softening), este fenómeno se aprecia con claridad en materiales llamados cuasi quebradizos como es el caso del concreto; además está íntimamente relacionado con los modelos de fractura que se presentarán en próximos capítulos. Existe también un comportamiento principalmente en los metales de mucha importancia en el caso de cargas cíclicas o dinámicas, es el efecto Bauschinger [Kojic y Bathe, 1996], [Lubliner, 1990]. Supongamos que cargamos al material en tensión hasta llegar a su punto de fluencia en el punto o-A,

como se muestra en la figura figura 2.3, luego pasamos la fluencia y nos encontramos en la línea pos fluencia (punto B), en este punto descargamos el material hasta llegar a un esfuerzo cero (punto C) y seguimos cargando el material, pero esta vez en sentido contrario (en compresión) hasta llegar una vez más a la fluencia en el punto o-v. Debido a que el comportamiento del acero es semejante

en compresión y tensión, deberíamos esperar que el esfuerzo o-A tenga la misma

magnitud que el esfuerzo o-v, pero en ensayos experimentales esto no sucede así. En la realidad la magnitud del esfuerzo o-A es mayor a la magnitud del esfuerzo o-v

y a este fenómeno se le conoce como el efecto Bauschinger. En nuestro caso se trabajará en un estado de cargas monotónicas, es decir que el efecto Bauschinger no será tomado en cuenta debido a que en nuestro análisis nunca se produce la descarga del material.

Análisis no lineal de elementos de concreto armado utilizando elementos finitos

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,

I 1 ' '

1

' I '

1

1 1 1 1

1 , • ...

-

...

(J B

Figura 2.3: Efecto Bauschinger.

2.1.4 Reglas de endurecimiento

e:

Como se mencionó líneas arriba en este mismo capítulo, cuando el esfuerzo sigue incrementándose pasado el punto de fluencia, como se muestra en la figura 2.3

para el tramo AB, estamos en un fenómeno de endurecimiento pos fluencia. Este

comportamiento se observa en la mayoría de los materiales y su consideración dentro de la rriodelación numérica juega un rol importante. Las reglas de endurecimiento para los diferentes materiales presentan características similares y en general dependen de unos parámetros internos que van cambiando a medida que la carga incrementa. Estos parámetros internos (k) serán vistos más adelante en el capítulo IV.

Dentro de las principales reglas de endurecimiento, se tienen:

2.1. 4. 1 Regla de endurecimiento isotrópica:

Supongamos que cargamos en tensión un material en un ensayo uniaxial como se muestra en la figura 2.4. El material comienza a fluir en el punto A, luego de este nos encontramos en la zona pos fluencia en tensión. En el punto 8 se aplica una carga en reversa, descargándose el material en un comportamiento elástico (línea BB') hasta el punto B' que sería el punto de fluencia en compresión. Cuando BC = CB', el punto de fluencia en tensión <J8 e� igual al punto de fluencia en

compresión <J 8,, se dice que el endurecimiento es isotrópico, es decir que el

fenómeno Bauschinger es completamente despreciado.

Análisis no lineal de elementos de concreto armado utilizando elementos finitos

(28)

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a

B

E

Figura 2.4: Endurecimiento isotrópico.

2. 1. 4. 2 Regla de endurecimiento cinemático:

Es cuando el rango elástico permanece constante durante el proceso de endurecimiento. Es decir, el endurecimiento cinemático considera el efecto Bauschinger en toda su extensión. En la figura 2.5 se muestra el endurecimiento cinemático en un ensayo uniaxial, donde se cumple BB'

=

AA'. El centro de la región elástica se ha movido a lo largo de la línea aa'.

(J

e:

Figura 2.5: Endurecimiento cinemático.

2. 1. 4. 3 Regla de endurecimiento mixta:

Se supone que el material presenta un comportamiento de endurecimiento diferente en tensión y compresión. Por ejemplo, en la figura 2.6, un ensayo

Análisis no lineal de elementos de concreto armado utilizando elementos finitos

(29)

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uniaxial, se cumple que BC > OA, pero CB' < OA'. Este tipo de endurecimiento se encuentra entre uno isotrópico y uno cinemático.

(J

e:

Figura 2.6: Endurecimiento mixto.

2.2 CARACTERÍSTICAS BÁSICAS DEL COMPORTAMIENTO DE LOS METALES

2.2.1 Modelo uniaxial elasto-plástico

Una curva típica esfuerzo-deformación en un estado uniaxial se muestra en la figura 2.7. Este diagrama es aproximado y basado en una serie de datos obtenidos en ensayos de laboratorio con metales. En ensayos experimentales la curva uniaxial esfuerzo-deformación es graficada como la relación entre los verdaderos esfuerzos, esfuerzos de Cauchy (fuerza por unidad de área deformada) y las verdaderas deformaciones (ln

(1¡

1

J).

donde l y 10 son las longitudes actual e

inicial del espécimen. El ensayo termina cuando se llega a La deformación de fractura, punto F en la figura 2.7. Aunque lo ideal sería trabajar con las verdaderas áreas como se indica líneas arriba, en la presente tesis se suponen condiciones de pequeña deformación, es decir que las deformaciones unitarias son menores al 4% [Kojic y Bathe, 2006]. Dicho esto, se puede usar el esfuerzo definido como fuerza por unidad de área original (esfuerzos de Kirchhoff) y la deformación ingenieril (E). La curva esfuerzo-deformación bajo estas condiciones es graficada en la figura 2.8a.

Análisis no lineal de elementos de concreto armado utilizando elementos finitos

(30)

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Esfuerzo verdadero (Cauchy)

( Área actual Fuerza )

Esfuerzo verdadero

y

o

F

E

Figura 2.7: Diagrama típico (l -E [Kojic y Bathe, 2006].

Deformación verdadera

( longitud actual ) In longitud original

Un punto importante en el diagrama de la figura 2.8a es el que corresponde al límite elástico, o punto de fluencia (Punto A). El punto B se encuentra compendído entre el punto A y el punto de fractura. Sí el esfuerzo está por debajo del esfuerzo de fluencia, el material retornará a su configuración no deformada en el caso de una descarga. La parte OA del diagrama representa la parte elástica y obedece la ley de Hooke. En el caso que la carga que se aplica hace que el esfuerzo se encuentre sobre el punto de fluencia (punto B), se generara una deformación permanente en el material cuando este se descargue, una deformación plástica. Entonces, la deformación total (E) correspondiente a un esfuerzo (J es:

(2.1)

Donde EE es la deformación elástica y EP la deformación plástica. De la ley de Hooke se puede decir:

Donde E es el módulo de elasticidad.

Análisis no lineal de elementos de concreto armado utilizando elementos finitos Bach. Genaro Antonio Beas Bernuy

(2.2)

(31)

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Esfuerzos ingenieriles

a

a

(a)

crA

A---¡---o

Plasticidad perfecta

(b)

Pequeñas deformaciones ingenieriles (e:)

deformación plástica

e:p

Figura 2.8: a) Curva Esfuerzo-Deformación total, b) Curva Esfuerzo-Deformación plástica [Kojic y Bathe, 2006].

La deformación plástica comienza cuando se pasa el punto de fluencia, punto A de la figura 2.7. La parte de la curva entre los puntos A y B caracteriza el comportamiento del material en un estado plástico. La figura 2.8a muestra la tangente a la curva entre los puntos A y B, definido como el módulo tangente (Er ), el cual se supone es positivo.

da

Er =­

dE (2.3)

La figura 2.8b muestra una curva Esfuerzo-Deformación Plástica construida a partir de la curva Esfuerzo-Deformación Total de la figura 2.8a con procedimientos que se mostraran más adelante. En esta curva de la figura 2.8b se observa la

Análisis no lineal de elementos de concreto armado utilizando.elementos finitos

(32)

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dependencia del esfuerzo respecto a la deformación plástica (cr

=

cr( EP)), además esta curva representa la curva de fluencia del material [Kojic y Bathe, 2006] y no solo es usada en los modelos de los metales, sino que también se usa análogamente en el concreto.

El endurecimiento instantáneo en un punto sobre la curva de fluencia es descrito por el módulo plástico (Ep) en un nivel de plasticidad alcanzado, ver figura 2.8b.

du Ep

=

d€P

Si despejamos du y usamos como referencia la ecuación (2.1)

Luego usando la ecuación (2.2) y (2.4):

(du du)

du

=

Er

-+-E Ep

Finalmente simplificando y despejando Ep:

EEr Ep =--­E-E

r

(2.4)

(a)

(b)

(2.5)

Un caso especial es cuando para algunos materiales dúctiles, el endurecimiento puede ser despreciado, esto quiere decir que el esfuerzo pos fluencia tiene el valor de uA constante o en otros términos que EP

=

O para cualquier valor de f P. La gráfica de este caso se muestra en la figura 2.8b con líneas segmentadas. Este comportamiento es llamado perfectamente plástico.

2.3 CARACTERÍSTICAS BÁSICAS DEL COMPORTAMIENTO DEL CONCRETO

El concreto es un material compuesto por agregados (piedra, arena) embebidos en una matriz conformada por materiales cementicios y agua, llamada pasta, que trabajan en conjunto en un sistema complejo que depende a la vez de las características de cada componente como de la interrelación entre ellos, como por ejemplo las propiedades resistentes del agregado, la superficie del agregado, la relación agua-cemento, la finura del cemento e inclusive las condiciones ambientales del lugar donde el concreto es colocado. Existe una zona llamada de transición, que está localizada en la vecindad de las partículas del agregado, es decir en la superficie de dichas partículas. En esta zona de transición la relación

Análisis no lineal de elementos de concreto armado utilizando elementos finitos

(33)

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FACULTAD DE INGENIER(A CIVIL CAPÍTULO 11: COMPORTAMIENTO DE LOS MATERIALES

agua/cemento (a/c) es diferente que el del resto la matriz cementicia. Esto se explica a que, en un primer instante en el mezclado inicial, las partículas de arena y piedra atrapan el agua dentro sus poros superficiales, esto trae como consecuencia que en momentos posteriores esta agua atrapada se libere aumentando la relación a/c en la superficie y por tanto disminuyendo la resistencia en la zona de contacto del agregado con la pasta.

El concreto clasifica dentro de los materiales con un comportamiento frágil a diferencia del acero que ofrece gran ductilidad. Además, el concreto presenta un comportamiento esfuerzo-deformación afectado por el desarrollo de micro y macro fisuras en el cuerpo del material [Chen y Han, 1989]. Ante una carga moderada, la respuesta del concreto está controlada por las microfisuras que se producen en la zona de transición y que claramente son las primeras en aparecer. Al aumentar la carga las microfisuras crecen y traen como consecuencia la pérdida de resistencia del material, que se traduce en una degradación de la rigidez. Mención aparte se debe hacer al estado de compresión, donde las microfisuras que se inician en la zona de transición pueden afectar a las mismas partículas del agregado, es decir que las partículas del agregado se llegan a fisurar dejando al espécimen a punto de colapsar por aplastamiento. Es importante mencionar que la pérdida de resistencia debida a las fisuras que se producen en el material es más importante en un estado de tensión que en el de compresión.

Las primeras fisuras se producen por el fenómeno de contracción del concreto (shrinkage) o debido a expansiones térmicas en la pasta de cemento. Luego cuando se aplican cargas aparecen nuevas fisuras. Estas fisuras que se originan antes y después de aplicarse las cargas producen un comportamiento esfuerzo­ deformación de características no lineales. Finalmente es claro que el concreto es un material heterogéneo con propiedades anisotrópicas y que cada concreto es único e inclusive en una misma estructura, por ejemplo, en una viga el concreto colocado no es el mismo en todas sus partes. Pero tratar de considerar todos los aspectos que influyen en el comportamiento del concreto no sería una tarea sencilla; por tanto, con el fin de simplificar el análisis muchos investigadores optan por introducir simplificaciones como por ejemplo suponer propiedades homogéneas e isotrópicas del material.

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2.3.1 Comportamiento no lineal de la curva esfuerzo-deformación

Una curva típica esfuerzo-deformación en un ensayo de compresión uniaxial se muestra en la figura 2.9. Existen tres etapas claramente marcadas en esta curva. La primera etapa comprende desde el inicio del ensayo hasta aproximadamente un 30% del máximo esfuerzo de compresión {!¡ ). En esta etapa se observa un comportamiento lineal y se considera que el comportamiento es elástico debido a que las micro fisuras son estables y no se propagan [Feenstra y de Borst, 1993]. Después de ese límite la curva comienza a desviarse debido a la pérdida de rigidez como consecuencia de que las fisuras son más extensas. Puede considerarse que esta etapa está comprendida entre un 30% a un 75% de la resistencia {!¡) aproximadamente. Un incremento de la carga en este punto causaría un estado inestable con grandes incrementos de deformación a menores aumentos de esfuerzos. En este tercer estado el progresivo deterioro del material es causado básicamente por las fisuras que se producen en la pasta de cemento, estas fisuras añadidas a las fisuras que se producen en la adherencia del agregado con la pasta forman las zonas de fisuras y son evidentemente la causa principal de la falla del material [Chen y Han, 1988). Aunque el análisis anterior se refiere a un ensayo uniaxial, las mismas características se pueden observar en un comportamiento triaxial. Esto es crucial al tratar de modelar la estructura y predecir un comportamiento aceptable del material.

fcl deformación

lateral

0.002 0.000 -0.002

Figura 2.9: Curva Típica de un ensayo uniaxial Esfuerzo-Deformación de compresión plástica [Kupfer et al., 1969].

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2.3.2 Diferente comportamiento en tensión y compresión del concreto

La figura 2.1 O muestra una típica curva uniaxial esfuerzo-deformación en tensión del concreto. En general, el límite de elasticidad está comprendido en un 60% a 80% de la resistencia última. Encima de este nivel las microfisuras comienzan a crecer y juegan un papel más determinante en el comportamiento del material. La resistencia a tensión del concreto es aproximadamente entre un 10% a un 15% de la resistencia a compresión. Se puede afirmar que una de las causas principales de este fenómeno es debido a que la zona de adherencia entre el agregado y la pasta (zona de transición) tiene una baja resistencia a fuerzas de tensión.

cr (MPa)

4

3

2

50 100

�(µm)

Figura 2.10: Curva uniaxial de Esfuerzo-Deformación en un ensayo de tensión [Peterson, 1981].

Las características más importantes que se pueden mencionar son: El concreto responde esencialmente de una manera elástica lineal hasta que se alcance el máximo esfuerzo de tensión. En esta última etapa del comportamiento se pasa de una propagación estable de microfisuras a un crecimiento rápido de dichas fisuras hasta el colapso. Otra característica es que después de llegar al pico de esfuerzo se produce una zona llamada de ablandamiento, es decir que, al incrementar la deformación, los esfuerzos decrecen. Esta zona es justamente en donde las microfisuras se extienden y crecen rápidamente en tamaño. Además, en un ensayo cíclico se observa que las propiedades resistentes disminuyen a medida que se va cargando y descargando el material.

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2.3.3 Carga en compresión multiaxial

La curva esfuerzo-deformación uniaxial cambia significativamente cuando se tienen esfuerzos laterales de confinamiento. El investigador Jamet y colegas [James et. al., 1984] hicieron ensayos en especímenes cilíndricos de concreto sometidos a una presión de confinamiento lateral, a2 = a3, constante. La variable fue el incremento de la presión axial (a1) hasta alcanzar la falla, como se muestra en la figura 2.11. En esta figura se observa que el confinamiento lateral tiene un papel importante en la deformación del material cuando se le compara con la curva que no considera ningún tipo de confinamiento. Además, se observa que al incrementar el confinamiento el comportamiento del concreto es más dúctil.

-150 0"1

_L

Plato rígido

t:::J

de acero

-100

-50

o

0.05 0.10

Figura 2.11: Curvas Esfuerzo-Deformación bajo confinamiento lateral [James et. al., 1984].

Van Mier [Van Mier, 2013] presenta curvas que muestran el efecto sobre la superficie de falla en un estado bidimensional aplicando un confinamiento en forma de presión en la tercera dimensión, la que está fuera del plano de cargas. Los resultados indican que aun cuando los incrementos de confinamiento son pequeños, los incrementos de resistencia en el plano de carga aumentan considerablemente, como se muestra en la figura 2.12. En esta figura se debe aclarar que las deformaciones 1:2 se mantuvieron constantes e iguales a cero, es

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Figure

Figura 2.9: Curva Típica de un ensayo uniaxial Esfuerzo-Deformación de compresión plástica  [Kupfer et al.,  1969]

Figura 2.9:

Curva Típica de un ensayo uniaxial Esfuerzo-Deformación de compresión plástica [Kupfer et al., 1969] p.34
Figura 2.10: Curva uniaxial de Esfuerzo-Deformación en un ensayo de tensión [Peterson, 1981]

Figura 2.10:

Curva uniaxial de Esfuerzo-Deformación en un ensayo de tensión [Peterson, 1981] p.35
Figura 2.12: a) Efectos del incremento de esfuerzos &lt;T 3  sobre la curva &lt;T 1  - E 1 ; b) Comportamiento  del &lt;T 1  en el ensayo de modo que E 2  =  O

Figura 2.12:

a) Efectos del incremento de esfuerzos &lt;T 3 sobre la curva &lt;T 1 - E 1 ; b) Comportamiento del &lt;T 1 en el ensayo de modo que E 2 = O p.37
Figura 2.15:  Influencia de la altura del espécimen en la curva Esfuerzo-Deformación en un ensayo  uniaxial [Van Mier, 1984]

Figura 2.15:

Influencia de la altura del espécimen en la curva Esfuerzo-Deformación en un ensayo uniaxial [Van Mier, 1984] p.39
Figura 2.16: Curva Esfuerzo-Deformación de un ensáyo cíclico en compresión uniaxial [Sinha et  al., 1964]

Figura 2.16:

Curva Esfuerzo-Deformación de un ensáyo cíclico en compresión uniaxial [Sinha et al., 1964] p.40
Figura 3.1: Ejemplos de no linealidad:  (a) geométricamente lineal;  (b) geométricamente no lineal,  con pequeñas deformaciones;  (c) geométricamente no lineal con, grandes deformaciones

Figura 3.1:

Ejemplos de no linealidad: (a) geométricamente lineal; (b) geométricamente no lineal, con pequeñas deformaciones; (c) geométricamente no lineal con, grandes deformaciones p.54
Figura 3.5: Definición del tensor de esfuerzos del segundo teorema de Piola-Kirchhoff [Yang,  1994)

Figura 3.5:

Definición del tensor de esfuerzos del segundo teorema de Piola-Kirchhoff [Yang, 1994) p.65
Figura 4.6:  Representación de la superficie de fluencia en el espacio de Haigh-Westergaard o  espacio de esfuerzos principales

Figura 4.6:

Representación de la superficie de fluencia en el espacio de Haigh-Westergaard o espacio de esfuerzos principales p.93
Figura 4.14: Representación gráfica del proceso de predicción elástica y corrección plástica

Figura 4.14:

Representación gráfica del proceso de predicción elástica y corrección plástica p.114
Figura 5.3: Los tres modos de fractura: a) Modo l. b) Modo II y e) Modo 111. [van Mier, 2013]

Figura 5.3:

Los tres modos de fractura: a) Modo l. b) Modo II y e) Modo 111. [van Mier, 2013] p.122
Figura 5.4: Efecto del tamaño para estructuras geométricamente similares pero de diferentes  tamaños [Bazant,  1992]

Figura 5.4:

Efecto del tamaño para estructuras geométricamente similares pero de diferentes tamaños [Bazant, 1992] p.124
Figura 5.8: Esfuerzos de fisura, desplazamientos relativos y sistema de coordenadas locales en la  fisura [Ventura et al.

Figura 5.8:

Esfuerzos de fisura, desplazamientos relativos y sistema de coordenadas locales en la fisura [Ventura et al. p.131
Figura 5.9: Esfuerzos de fisura,  desplazamientos relativos y sistema de coordenadas locales en la  fisura en tres dimensiones [Ventura et al., 2008)

Figura 5.9:

Esfuerzos de fisura, desplazamientos relativos y sistema de coordenadas locales en la fisura en tres dimensiones [Ventura et al., 2008) p.132
Figura 6.7: Fuerza vs Desplazamiento para el primer modelo. (a)Aplicación de fuerzas. (b)  Aplicación de desplazamientos

Figura 6.7:

Fuerza vs Desplazamiento para el primer modelo. (a)Aplicación de fuerzas. (b) Aplicación de desplazamientos p.146
Figura 6.8: Fuerza vs Desplazamiento para el segundor modelo. (a)Aplicación de fuerzas

Figura 6.8:

Fuerza vs Desplazamiento para el segundor modelo. (a)Aplicación de fuerzas p.146
Figura 6.15: Resultados obtenidos con distintas formas del diagrama de esfuerzos de compresión  del concreto

Figura 6.15:

Resultados obtenidos con distintas formas del diagrama de esfuerzos de compresión del concreto p.152
Figura 6.26: Curva fuerza-desplazamiento utilizando el modelo bilineal sin endurecimiento

Figura 6.26:

Curva fuerza-desplazamiento utilizando el modelo bilineal sin endurecimiento p.159
Figura 6.31: Curvas esfuerzo-desplazamiento utilizando varios modelos del acero de refuerzo

Figura 6.31:

Curvas esfuerzo-desplazamiento utilizando varios modelos del acero de refuerzo p.162
Figura 6.37: Curvas esfuerzo-desplazamiento utilizando diferentes valores de porcentaje de  endurecimiento

Figura 6.37:

Curvas esfuerzo-desplazamiento utilizando diferentes valores de porcentaje de endurecimiento p.166
Figura 6.42: Curvas esfuerzo-desplazamiento sin considerar los efectos del confinamiento y  considerándolos

Figura 6.42:

Curvas esfuerzo-desplazamiento sin considerar los efectos del confinamiento y considerándolos p.169
Figura 6.68:  Influencia del módulo de elasticidad del concreto en el comportamiento del elemento

Figura 6.68:

Influencia del módulo de elasticidad del concreto en el comportamiento del elemento p.189
Figura 6.70: Influencia de la resistencia de tensión del concreto en el comportamiento del elemento

Figura 6.70:

Influencia de la resistencia de tensión del concreto en el comportamiento del elemento p.190
Figura 6.69:  Influencia del módulo de Poisson del concreto en el comportamiento del elemento

Figura 6.69:

Influencia del módulo de Poisson del concreto en el comportamiento del elemento p.190
Figura 6.72: Influencia del ancho de distribución en el comportamiento del elemento.

Figura 6.72:

Influencia del ancho de distribución en el comportamiento del elemento. p.191
Figura 6.71: Influencia de la energía de fractura del concreto en el comportamiento del elemento

Figura 6.71:

Influencia de la energía de fractura del concreto en el comportamiento del elemento p.191
Figura 6.73:  Influencia de la cohesión del concreto  en el comportamiento del elemento

Figura 6.73:

Influencia de la cohesión del concreto en el comportamiento del elemento p.192
Figura 6.74:  Influencia del ángulo de fricción y ángulo de dilatación del concreto en el comportamiento del  elemento

Figura 6.74:

Influencia del ángulo de fricción y ángulo de dilatación del concreto en el comportamiento del elemento p.192
Figura 6.75:  Influencia del módulo de elasticidad del refuerzo en el comportamiento del elemento

Figura 6.75:

Influencia del módulo de elasticidad del refuerzo en el comportamiento del elemento p.193
Figura 6.78: Curva de rotura previa y curva obtenida del proceso de recarga.

Figura 6.78:

Curva de rotura previa y curva obtenida del proceso de recarga. p.197
Figura 6.81: Comparación del modelo  usando el DIANA y los resultados experimentales.

Figura 6.81:

Comparación del modelo usando el DIANA y los resultados experimentales. p.199

Referencias

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