Sucesiones espectrales y homología persistente

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(1)UNIVERSIDAD DE SONORA División de Ciencias Exactas y Naturales Programa de Licenciatura en Matemáticas. Sucesiones espectrales y homologı́a persistente. T E S I S Que para obtener el tı́tulo de: Licenciado en Matemáticas Presenta: Pedro Fernández Calles. Director de tesis: Dr. Rafael Roberto Ramos Figueroa. Hermosillo, Sonora, México,. 2 de julio del 2018.

(2) Universidad de Sonora Repositorio Institucional UNISON. Excepto si se señala otra cosa, la licencia del ítem se describe como openAccess.

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(4) SINODALES. Dr. Rafael Roberto Ramos Figueroa Universidad de Sonora, Hermosillo, Sonora, México.. Dr. Jesús Francisco Espinoza Fierro Universidad de Sonora, Hermosillo, Sonora, México.. Dr. Martı́n Eduardo Frı́as Armenta Universidad de Sonora, Hermosillo, Sonora, México.. M.C. Carlos Alberto Robles Corbalá Universidad de Sonora, Hermosillo, Sonora, México..

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(6) Dedicatoria A mi familia, quienes siempre me han apoyado.. ii.

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(8) Agradecimientos Quiero agradecer a mi director de tesis, Dr. Rafael Roberto Ramos Figueroa, quien me ha ayudado en varios aspectos desde el primer curso que me impartió, pues me enseñó a ser una persona más disciplinada y responsable y me motivó a estudiar los temas relacionados con este trabajo, los cuales profundizamos con otros cursos. Su paciencia, apoyo y sabios consejos, me ayudaron a comprender esta teorı́a y me motivó a buscar aprender más al respecto en un futuro posgrado. Agradezco a mis sinodales, Dr. Jesús Francisco Espinoza Fierro, M.C. Carlos Alberto Robles Corbalá y Dr. Martı́n Eduardo Frı́as Armenta, por el apoyo que me han dado en la revisión de este trabajo, motivarme a conocer más acerca del área, y sus sabios consejos para mi carrera profesional. También a mis profesores, quienes me han aconsejado y motivado a seguirme superando, en especial al Dr. Genaro Hernández Mada y a mi tutor Dr. Pedro Flores Pérez. No tengo palabras para expresar lo agradecido que estoy con mi familia, sin quienes no hubiera podido lograr muchas de mis metas, y ésta es una de ellas, siempre están ahı́ cuando los necesito, gracias por todo su apoyo, comprensión y cariño. A quienes también debo mencionar es a mis amigos de la licenciatura, con quienes he aprendido mucho, pasé buenos momentos, he hicieron de esta mi licenciatura una gran experiencia. En especial a Alejandro por ser un buen amigo, creer en mı́ y apoyarme siempre a seguir avanzando, a Katya por su confianza y por enseñarme a siempre seguirlo intentando, a Paola por tanta motivación y amistad, y a Dulce por su confianza y apoyo. También a Jesús y Santiago por su apoyo. Por último quiero agradecer a mis amigos fuera de la licenciatura, quienes están ahı́ aunque no podamos vernos siempre, pero con su apoyo hacen que todo valga la pena. En especial a Carlos, por ser de esas amistades que perduran a través de los años.. iv.

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(10) Contenido Introducción. 1. 1. Homologı́a persistente 1.1. Complejos simpliciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Teorı́a de homologı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Grupos de homologı́a simplicial . . . . . . . . . . 1.2.2. Complejos de cadenas y sucesiones exactas . . . . 1.3. Grupos de homologı́a persistente . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Filtraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Nacimiento y muerte de clases . . . . . . . . . . . 1.3.3. Teorema fundamental de la homologı́a persistente. . . . . . . . .. 3 4 5 5 9 11 11 12 18. . . . . . . . .. 25 26 26 35 40 46 46 53 68. 3. Sucesión espectral y homologı́a persistente de complejos simpliciales 3.1. La sucesión espectral y homologı́a persistente de una filtración . . . . . . 3.1.1. Homologı́a persistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Sucesión espectral asociada a una pareja exacta . . . . . . . . . . 3.2. Conexión entre la sucesión espectral y la homologı́a persistente . . . . . . 3.2.1. Relación entre las parejas C (r) (F) y los grupos Hnp,q (F) . . . . . . (r) 3.2.2. Relación entre dimK Ep,q (F) y βns,t (F) . . . . . . . . . . . . . . . .. 71 72 72 73 78 78 83. Bibliografı́a. 89. 2. Sucesiones espectrales y parejas exactas 2.1. Sucesiones espectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Módulos filtrados diferenciales . . . . . . . . . . 2.1.3. Teorema de convergencia . . . . . . . . . . . . . 2.2. Parejas exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Pareja exacta y la pareja derivada . . . . . . . . 2.2.2. Sucesión espectral asociada a una pareja exacta 2.2.3. Equivalencia entre los dos acercamientos . . . .. vi. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . ..

(11) Introducción En esta tesis estudiaremos la relación entre dos objetos algebraicos asociados a una filtración de un espacio topológico, la sucesión espectral introducida por Leray en la década de 1940 y la homologı́a persistente que es un objeto inventado más recientemente y muy utilizado en el último par de décadas, que tiene muchas aplicaciones en el análisis topológico de datos (ATD). Estudiaremos la existencia de una sucesión exacta larga que relaciona los grupos de la sucesión espectral con los grupos de la homologı́a persistente vı́a sus dimensiones como espacios vectoriales sobre un campo. Una herramienta principal para estudiar la relación de ambos objetos será la noción de parejas exactas, introducidas por Massey en 1952. En el primer capı́tulo estudiaremos algunos conceptos de topologı́a algebraica. Como espacios topológicos nos enfocaremos principalmente en estructuras simpliciales sobre las cuales estudiaremos los grupos de homologı́a, que consiste en asociar una estructura algebraica a los espacios topológicos, con el objetivo de encontrar invariantes algebraicos que clasifican los espacios, lo cual es útil para estudiar propiedades geométricas como sus componentes conexas, agujeros y la forma de los espacios. Utilizaremos herramientas del álgebra homológica, que serán necesarias durante el desarrollo del texto. En la segunda parte del capı́tulo estudiaremos la homologı́a persistente. Dado un espacio topológico X, una filtración finita F de X, es una sucesión de subespacios: ∅ = X−1 = X0 ⊂ X1 ⊂ · · · ⊂ XN = XN +1 = · · · = X. Una técnica clásica utilizada en topologı́a algebraica para el estudio de invariantes de un espacio X es considerar una filtración F donde la sucesión de espacios en la filtración captura progresivamente más y más información acerca de la topologı́a del espacio, y a cada subespacio le podemos asociar un objeto algebraico como los grupos de homologı́a, obteniendo ası́ una sucesión de grupos de homologı́a que es el objeto de estudio de la homologı́a persistente, que como su nombre sugiere, estudia la persistencia de invariantes algebraicos a lo largo de la filtración, lo cual es una herramienta poderosa y muy utilizada en ATD. También definiremos. 1.

(12) Introducción. 2. los números de Betti persistentes y las dimensiones generacionales, que relacionaremos en el capı́tulo final con otra estructura algebraica que mencionaremos a continuación. Posteriormente, en el segundo capı́tulo, estudiaremos cómo asociar otro tipo de estructuras algebraicas a una sucesión de espacios topológicos dada por una filtración F de un espacio X, que nos ayuda a aproximar o determinar en el mejor de los casos los invariantes algebraicos asociados al espacio topológico, como los grupos de homologı́a o cohomologı́a. Este tipo de sucesiones son las sucesiones espectrales, que intuitivamente son una generalización con más estructura de la noción de sucesiones exactas, para lo cual es necesario estudiar módulos diferenciales graduados y posteriormente la noción de pareja exacta que será de gran utilidad para relacionar la sucesión espectral con los grupos de homologı́a persistente. Finalmente, en el tercer y último capı́tulo estudiaremos cómo a una filtración F de un espacio topológico X podemos asociar estos dos objetos algebraicos tratados en los capı́tulos previos, y vı́a la utilización de parejas exactas podemos determinar la relación que existe entre los grupos de la sucesión espectral y los grupos de homologı́a persistente, expresando las dimensiones de unos como espacios vectoriales con coeficientes en un campo, en términos de los otros y viceversa..

(13) Capı́tulo 1 Homologı́a persistente En este capı́tulo comenzaremos estudiando algunos conceptos de topologı́a algebraica. Estudiaremos espacios topológicos con estructuras simpliciales, lo cual puede tratarse en abstracto con la definición del complejo simplicial abstracto, a partir de los cuales definiremos y estudiaremos los grupos de homologı́a simplicial. Esto consiste en asociar una estructura algebraica a los espacios topológicos, con el objetivo de encontrar invariantes algebraicos que clasifican los espacios, lo cual es útil para estudiar propiedades geométricas como sus componentes conexas, agujeros, y la forma de los espacios. Esta asociasión induce homomorfismos en homologı́a, y sucesiones exactas que serán de utilidad, junto con otras herramientas del álgebra homológica que púeden consultarse en [1], con lo cual podemos desarrollar posteriormente la teorı́a de homologı́a persistente. En la segunda parte del capı́tulo estudiaremos la homologı́a persistente, que como mencionábamos, es una técnica muy utilizada en topologı́a algebraica para el estudio de invariantes de un espacio X, a partir de considerar una filtración F donde la sucesión de espacios en la filtración captura progresivamente más información acerca de la topologı́a del espacio, y a cada subespacio le podemos asociar un objeto algebraico como los grupos de homologı́a, obteniendo ası́ una sucesión de grupos de homologı́a que es el objeto de estudio de la homologı́a persistente, que como su nombre sugiere, estudia la persistencia de invariantes algebraicos a lo largo de la filtración, lo cual es una herramienta útil en ATD. También definiremos los números de Betti persistentes y las dimensiones generacionales, cuya definición surge de manera natural al estudiar el nacimiento y muerte de ciertas clases de homologı́a que estudiaremos, y demostraremos un teorema importante que relaciona estos dos conceptos, conocido como el teorema fundamental de la homologı́a persistente.. 3.

(14) Capı́tulo 1. Homologı́a persistente. 4. Las siguientes secciones y una teorı́a más desarrollada acerca del tema pueden consultarse en [1], [2] y [3].. 1.1.. Complejos simpliciales. Un complejo simplicial es un tipo particular de espacio topológico construido mediante el pegado de puntos, segmentos de lı́nea, triángulos, tetraedros y demás análogos de dimensiones superiores. Desarrollaremos esta noción en abstracto. Comenzaremos definiendo conceptos básicos de estructuras simpliciales y veremos algunos ejemplos para tener una clara noción de los espacios sobre los que estaremos trabajando durante el desarrollo de este capı́tulo. Definición 1.1. Sea A un conjunto y 4 ⊆ 2A , donde 2A denota el conjunto potencia de A, tal que si σ ∈ 4 y τ ⊆ σ entonces τ ∈ 4. Llamamos a 4 una estructura simplicial y al par (A, 4) un complejo simplicial abstracto. Se dice que (A, 4) es un complejo simplicial abstracto finito si A es un conjunto finito. En el contexrto de este trabajo usaremos la abreviación complejo, cuando nos refiramos a esta definición de complejo simplicial abstracto. Definición 1.2. Al elemento v ∈ A tal que {v} ∈ 4, se le llama vértice de 4. Denotamos al conjunto de todos los vértices de 4 por V (4). Definición 1.3. Cuando 4 consiste en todos los subconjuntos de un conjunto A, se dice que es un simplejo, y se denota por 4A . Los elementos de un complejo (A, 4) son un simplejo. En ocasiones se usa indistintamente el término simplejo, tanto para la cara σ ∈ 4, como para todos sus subconjuntos de acuerdo a la definición anterior, ya que ésta cara determina el simplejo generado por sus subconjuntos. A continuación definiremos qué es la dimensión de un complejo, cuya noción surge de la representación geométrica de un complejo como subconjunto de algún Rn , para algún n natural, lo cual puede consultarse en el primer capı́tulo de [2], sobre el estudio de complejos simpliciales geométricos, los cuales no utilizaremos. Definición 1.4. Un simplejo (una cara) σ ∈ 4 tiene dimensión dim(σ) := #(σ) − 1 y, se dice que es un d-simplejo si es de dimensión d. Para un complejo (A, 4), su dimensión será la máxima dimensión de sus simplejos..

(15) Capı́tulo 1. Homologı́a persistente. 5. Definición 1.5. Los conjuntos δ ∈ 4 son llamados caras de 4. Si σ y τ son un dsimplejo y un (d + 1)-simplejo respectivamente tal que σ ⊂ τ , se dice que σ es una subcara de τ , y decimos también que τ es una supercara de σ. Sea A = {1, 2, 3} y 4 = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}, notemos que 4 = 2A = 4A . Este complejo simplicial tiene 8 simplejos, y como la máxima dimensión de sus simplejos es la dimensión de σ = {1, 2, 3} ∈ 4, con dim(σ) = 2, entonces es un complejo simplicial de dimensión 2. Es común escribir la estructura simplicial de un complejo de forma resumida, escribiendo solo los simplejos maximales, es decir, aquellos simplejos que no tienen supercaras, como el siguiente ejemplo. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} y la estructura simplicial 4 = {∅, {1}, {2}, {4}, {5}, {1, 2}, {4, 5}} ≡ h{1, 2}, {4, 5}i, de esta manera, mediante los 1-simplejos maximales {1, 2} y {4, 5}, 4 queda escrita de forma resumida.. 1.2. 1.2.1.. Teorı́a de homologı́a Grupos de homologı́a simplicial. Para definir la homologı́a simplicial debemos iniciar definiendo lo que es un complejo de cadenas, pero antes de poder dar dicha definición desarrollaremos otros conceptos clave a continuación. Definición 1.6. Sea 4 un complejo simplicial abstracto. Para cada n ≥ 0 definimos el 4) de las n-caras de 4 como conjunto Sn (4 Sn (4) := {σ ∈ 4|dim(σ) = n}..

(16) Capı́tulo 1. Homologı́a persistente. 6. Sea A = {1, 2, 3} y 4 = 4A , entonces S0 (4) = {σ ∈ 4|dim(σ) = 0} = {{1}, {2}, {3}}, S1 (4) = {σ ∈ 4|dim(σ) = 1} = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}, S2 (4) = {σ ∈ 4|dim(σ) = 2} = {{1, 2, 3}}. Definición 1.7. Sea (A, 4) un complejo simplicial abstracto. Para cada n ≥ 0 definimos 4) de las n-cadenas como el conjunto potencia de Sn (4): el conjunto Cn (4 Cn (4) := 2Sn (4) . Sea A = {1, 2, 3} y 4 = 4A , entonces C0 (4) = 2S2 (4) = {∅, {1}, {2}, {3}}, C1 (4) = 2S2 (4) = {∅, {1}, {2}, {3}, {{1}, {2}}, {{2}, {3}}, {{1}, {3}}}, C2 (4) = 2S2 (4) = {∅, {1}, {2}, {3}, {{1}, {2}}, {{2}, {3}}, {{1}, {3}}, {{1}, {2}, {3}}}. Observación 1.2.1. Notemos que el conjunto Cn (4) es un grupo abeliano con la operación unión excluyente, también conocida como diferencia simétrica. Dicha operación es L : Cn (4) × Cn (4) −→ Cn (4), definida por (σ, τ ) 7−→ σ ⊕ τ = (σ \ τ ) ∪ (τ \ σ).. Sean σ, τ ∈ Cn (4) de la siguiente forma: σ = {{1}, {2}} y τ = {{1}, {3}}, entonces σ ⊕ τ = {{1}, {2}} ⊕ {{1}, {3}} = {{2}, {3}}. Las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y elemento inverso de la diferencia simétrica son fáciles de deducir. Es claro entonces que el elemento neutro serı́a e = {∅}, mientras que para un elemento σ ∈ Cn (4) su inverso serı́a el mismo, por lo tanto, efectivamente el conjunto Cn (4) es un grupo abeliano. A continuación definiremos una función importante para el desarrollo posterior de la teorı́a. Definición 1.8. Sea (A, 4) un complejo simplicial abstracto. Definimos el operador frontera ∂˜n : Sn (4) −→ Cn−1 (4) como {v0 , ..., vn } 7−→. n S. {v0 , ..., v̂i , ..., vn },. i=0.

(17) Capı́tulo 1. Homologı́a persistente. 7. donde v̂i significa omitir el vértice vi , y {v0 , ..., v̂i , ..., vn } ⊆ {v0 , ..., vn } ∈ 4. Esta definición se puede extender a todos los subconjuntos de Sn (4), llamado también operador frontera ∂n : Cn (4) −→ Cn−1 (4), de la forma σ 7−→. M. ∂˜n (τ ).. τ ∈σ. Ejemplo 1.2.2. Sea (A = {1, 2, 3}, 4) un complejo y τ ∈ S2 (4) la cara de dimensión n = 2, τ = {1, 2, 3}, entonces ∂˜2 (τ ) = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}. Ahora consideremos σ ∈ C2 (4), el 2-simplejo σ = h{1, 2, 3}i = 4A , entonces ∂2 (σ) =. M. ∂˜2 (τ ) como en la Definición 1.8. τ ∈σ. = ∂˜2 ({1, 2, 3}) ⊕ ∂˜2 ({1, 2}) ⊕ ∂˜2 ({1, 3}) ⊕ ∂˜2 ({2, 3}) ⊕ ∂˜2 ({1}) ⊕ ∂˜2 ({2}) ⊕ ∂˜2 ({3}) ⊕ ∂˜2 ({∅}) = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}} ⊕ {{1}, {2}} ⊕ {{1}, {3}} ⊕ {{2}, {3}} ⊕ {∅} ⊕ {∅} ⊕ {∅} ⊕ {∅} = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}} ⊕ {{1}, {2}} ⊕ {{1}, {2}} = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}} ⊕ {∅} = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}. En consecuencia, notamos que ocurre lo siguiente: (∂2−1 ◦ ∂2 )(σ) = ∂1 (∂2 (σ)) = ∂1 ({{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}) = ∂˜1 ({1, 2}) ⊕ ∂˜1 ({1, 3}) ⊕ ∂˜1 ({2, 3}) = {{1}, {2}} ⊕ {{1}, {3}} ⊕ {{2}, {3}} = {{1}, {2}} ⊕ {{1}, {2}} = {∅}. Lo ocurrido en el anterior Ejemplo 1.2.2 no es ninguna casualidad, la composición consecutiva de dos operadores frontera como acabamos de ejemplificar, manda todo conjunto del grupo Cn (4) al conjunto vacı́o {∅}, que es la identidad del grupo Cn (4) tal.

(18) Capı́tulo 1. Homologı́a persistente. 8. como mencionábamos en la Observación 1.2.1. Se puede apreciar que el operador frontera es un homomorfirmo de grupos abelianos a partir de lo desarrollado anteriormente, con este operador definiremos la homologı́a simplicial, pero para ello dotaremos de más estructura a los grupos de n-cadenas. Primeramente, enunciamos el siguiente Lema. Lema 1.9. Sea (A, 4) un complejo simplicial abstracto y ∂n el operador frontera como en la Definición 1.8. Entonces, para cada n ≥ 0 tenemos ∂n−1 ◦ ∂n ≡ 0. Demostración. Para cualquier σ en Cn (4), los simplejos obtenidos en la composición ∂n−1 (∂n (σ)) se obtienen al tomar alguna cara de σ y posteriormente quitar 2 vértices, lo cual se puede hacer de dos formas distintas dependiendo del orden en que se vayan quitando ambos vértices. Al final, siguiendo la idea del Ejemplo 1.2.2, la diferencia simétrica total hace que se cancelen por pares iguales cada una de las caras resultantes, ya que, como mencionábamos en la Observación 1.2.1, cada conjunto es su propio inverso en el grupo Cn (4). Por lo tanto el resultado final es el elemento identidad de Cn (4), es decir, el conjunto formado por el vacı́o: ∂n−1 (∂n (σ)) = {∅}. En conclusión, la composición anterior es el homomorfismo cero de grupos abelianos: ∂n−1 ◦ ∂n ≡ 0. Como ∂n−1 ◦ ∂n = 0, entonces Im∂n ⊆ Ker∂n−1 y es fácil ver que es un subgrupo, el cual es abeliano y por lo tanto un subgrupo normal en Ker∂n−1 . Dicho esto, tiene sentido considerar el cociente Ker(∂n−1 )/Im(∂n ) como un grupo abeliano, que es la idea que seguiremos para definir los grupos de homologı́a. Sin embargo, antes vamos a dotar de más estructura a los grupos de n-cádenas Cn (4). Consideremos ahora lo siguiente, sabemos que los conjuntos Cn (4) son grupos abelianos, y por nociones básicas del álgebra abstracta es fácil ver que si consideramos ese grupo con coeficientes en un campo K, entonces obtenemos un espacio vectorial. Para nuestros propósitos vamos a considerar coeficientes en el campo Z2 := Z/2Z. A partir de estas consideraciones, podemos ampliar la definición del operador frontera que presentamos anteriormente para el espacio vectorial Cn (4), el cual en este caso serı́a una transformación lineal. Bajo estas consideraciones es claro que Ker(∂n−1 ) y Im(∂n ) son subespacios vectoriales de Cn (4) con Im(∂n ) ≤ Ker(∂n−1 ). Definición 1.10. Para cada n ≥ 0 definimos el n-ésimo grupo de homologı́a simplicial, con coeficientes en Z2 como Hn (4, Z2 ) = Ker(∂n−1 )/Im(∂n )..

(19) Capı́tulo 1. Homologı́a persistente. 1.2.2.. 9. Complejos de cadenas y sucesiones exactas. Un concepto muy importante que utilizaremos es el de complejo de cadenas, que es un concepto clave para entender la homologı́a. Solo presentaremos definiciones y resultados útiles que pueden consultarse en [1], aunque para construcciones más geométricas también puede consultarse [4]. Definición 1.11. En álgebra abstracta, un complejo de cadenas A∗ = {Ai , δi } es una colección de estructuras algebraicas Ai (que bien pueden ser grupos abelianos, anillos, módulos o espacios vectoriales) y morfismos δi tal que la siguiente sucesión: ···. / An+1 δn+1 /. An. δn. /. An−1. / ···. ,. satisface que δn ◦ δn+1 = 0. El hecho de que la composición δn ◦ δn+1 = 0 implica que Im(δn+1 ) ⊆ Ker(δn ), lo que nos permite dar la siguiente definición. Definición 1.12. A las estructuras cociente Hn (A∗ ) =. Ker(δn ) , Im(δn+1 ). se les llama grupo de homologı́a de módulo o dimensión n del complejo de cadenas A∗ . Definición 1.13. Una sucesión como en la Definición 1.11: ···. / An+1 δn+1 /. An. δn. /. An−1. / ···. ,. se dice que es exacta cuando Im(δn+1 ) = Ker(δn ), para cada n. Definición 1.14. Si tenemos una sucesión exacta de la forma: 0. /. An+1. δn+1. /. An. δn. /. An−1. /. 0,. se dice que es una sucesión exacta corta. Enunciaremos un teorema importante que utilizaremos más adelante, la demostración puede consultarse en [1], Capı́tulo 1..

(20) Capı́tulo 1. Homologı́a persistente. 10. Teorema 1.15. Sean A∗ , B∗ y C∗ complejos de cadenas, y supongamos que la siguiente es una sucesión exacta corta de complejos de cadenas: /. 0. φ. A∗. φ0. / B∗. /. /. C∗. 0,. donde φ y φ0 son morfismos entre complejos de cadenas. Entonces, existe un homomorfismo kn : Hn (C∗ ) −→ Hn−1 (A∗ ) para cada n, tal que la siguiente sucesión es exacta: /. ··· kn. φ∗. Hn (A∗ ). / Hn−1 (A∗ ). φ∗. /. /. φ0∗. Hn (B∗ ). φ0∗. Hn−1 (B∗ ). /. Hn (C∗ ). kn. /. / Hn−1 (C∗ ) kn−1 / · · ·. ,. el homomorfismo kn es llamado homomorfismo de conexión. Veamos el siguiente lema que utilizaremos más adelante. Lema 1.16. Dada una sucesión exacta corta: V2. f2. / V1. f1. / V0. f0. / V−1 f−1 / V−2 ,. donde cada Vi es un K-espacio vectorial de dimensión finita. Entonces: dimK (V0 ) = (dimK (V1 ) − dimK (Im(f2 ))) + (dimK (V−1 ) − dimK (Im((f−1 ))). Demostración. El lema se sigue de la siguiente sucesión de igualdades dadas por álgebra lineal básica y la exactitud de la sucesión: dimK (V0 ) = dimK (Ker(f0 )) + dimK (Im(f0 )) = dimK (Im(f1 )) + dimK (Ker(f−1 )) = (dimK (V1 ) − dimK (Ker(f1 ))) + (dimK (V−1 ) − dimK (Im((f−1 ))) = (dimK (V1 ) − dimK (Im(f2 ))) + (dimK (V−1 ) − dimK (Im((f−1 )))..

(21) Capı́tulo 1. Homologı́a persistente. 1.3. 1.3.1.. 11. Grupos de homologı́a persistente Filtraciones. Definición 1.17. Una filtración F de un espacio topológico X, es una colección de subespacios, los cuales pueden ser por ejemplo complejos simpliciales o complejos CW, se representa de la siguiente manera: ∅ ⊆ · · · ⊆ X−N ⊆ · · · ⊆ X−1 ⊆ X0 ⊆ X1 ⊆ · · · ⊆ XN ⊆ · · · ⊆ X,. (1.1). cuando la filtración está dada por un número finito de contenciones distintas de espacios topológicos, se dice que la filtración es finita y se expresa de la siguiente manera: ∅ = · · · = X−1 = X0 ⊂ X1 ⊂ · · · ⊂ XN = XN +1 = · · · = X.. (1.2). En principio, existen muchas filtraciones para un complejo simplicial X dado. Sea is,t : Xs ,→ Xt la inclusión canónica para s 6 t. Entonces is,t = it−1,t ◦ it−2,t−1 ◦ · · · ◦ is,s+1 , es decir, el siguiente diagrama conmuta: ···. is−1,s. is,s+1. / Xs. /. is+1,s+2. it−1,t. / ···. Xs+1. it,t+1. / 3 Xt. /. ··· ,. is,t. al igual que el siguiente diagrama: Cn (Xs ) . is,s+1. ∂n. /. Cn−1 (Xs ). is,s+1. /. Cn (Xs+1 ) . is+1,s+2. /. it−1,t. ···. ∂n. /. Cn (Xt ). ∂n is+1,s+2. Cn−1 (Xs+1 ). /. . ···. it−1,t. /. . ∂n. Cn−1 (Xt ). Por resultados del álgebra homológica, los cuales pueden consultarse en [1] y [4], sabemos que lo anterior induce homomorfismos en homologı́a: ···. i∗s−1,s. /. Hn (Xs ). i∗s,s+1. /. Hn (Xs+1 ). i∗s+1,s+2. /. ···. i∗t−1,t. 2/ Hn (Xt ). i∗t,t+1. /. ···. i∗s,t. Los cuales no necesariamente son inyectivos y el diagrama conmuta por funtorialidad. Por ejemplo, i : S1 ,→ D es inyectiva, pero i∗ : π1 (S1 ) ,→ π1 (D) no lo es..

(22) Capı́tulo 1. Homologı́a persistente. 12. Definición 1.18. Sean X un espacio topológico y F una filtración. Denotamos por is,t n al homomorfismo i∗s,t : Hn (Xs ) −→ Hn (Xt ), y ası́, definimos el (s, t)-ésimo grupo de homologı́a persistente como Hns,t (F) := Im(is,t n : Hn (Xs ) −→ Hn (Xt )) = Im(i∗s,t : Hn (Xs ) −→ Hn (Xt )). Definición 1.19. Definimos los números de Betti persistentes para s ≤ t como βns,t (F) := dimK (Hns,t (F)). Notemos que: Hns,t (F) ⊆ Hn (Xt ) = Hnt,t (F),. (1.3). es decir, los números de Betti persistentes coinciden con los números de Betti usuales cuando s = t.. 1.3.2.. Nacimiento y muerte de clases. Definición 1.20. Sean X un espacio topológico y F una filtración como en la Definición 1.17. Decimos que una clase α ∈ Hn (Xs ) nace en el tiempo s si α ∈ / Hns−1,s (F), s se llama el tiempo de nacimiento de α. Análogamente, decimos que una clase α ∈ Hn (Xs ) / Hns−1,t (F) y que nace en tiempo s, muere en el tiempo entrando a t + 1 si is,t n (α) ∈ is,t+1 (α) ∈ Hns−1,t+1 (F). n Observación 1.3.1. Otra forma de describir el nacimiento y muerte de clases es mediante el siguiente desarrollo, que puede consultarse en [5]. Primero notemos que la Definición 1.20 es equivalente a lo siguiente. Podemos decir que un elemento α ∈ Hn (Xs ) nace en el tiempo s si la clase α es distinta de cero en el espacio vectorial cociente Hn (Xs )/Hns−1,s (F). También, decimos que una clase α ∈ Hn (Xs ) que nace en tiempo s, muere en el tiempo entrando a t + 1 si la clase α no es cero en el espacio vectorial cociente Hn (Xt )/Hns−1,t (F) pero si lo es en Hn (Xt+1 )/Hns−1,t+1 (F). Ahora consideremos que el homomorfismo is,t n :. Hn (Xs ) Hn (Xt ) −→ s−1,t , s−1,s Hn (F) Hn (F).

(23) Capı́tulo 1. Homologı́a persistente. 13. está bien definido. En efecto, por funtorialidad tenemos lo siguiente: s−1,s s−1,s is,t (F)) = is,t (Hn (Xs−1 ))) n (Hn n (in s−1,s = (is,t )(Hn (Xs−1 )) n ◦ in. (Hn (Xs−1 )) = is−1,t n = Hns−1,t (F). También, el homomorfismo π:. Hn (Xt ) Hn (Xt ) −→ s−1,t , s−2,t Hn (F) Hn (F). está bien definido. En efecto, por funtorialidad tenemos lo siguiente: Hns−2,t (F) = is−2,t (Hn (Xs−2 )) n = (is−1,t ◦ ins−2,s−1 )(Hn (Xs−2 )) n = is−1,t (ins−2,s−1 (Hn (Xs−2 ))) n ⊆ is−1,t (Hns−2,s−1 (F)). n A partir de estas observaciones, tenemos el siguiente diagrama conmutativo: Hn (Xs ) Hns−1,s (F) O. Hn (Xt ) Hns−1,tO (F). is,t n. π. /. Hn (Xs−1 ) Hns−2,s−1 (F). is−1,s n. /. Hn (Xs ) Hns−2,s (F). it,t+1 n. /. Hn (Xt+1 ) Hns−1,t+1 (F). (1.4). π is,t n. /. Hn (Xt ) Hns−2,t (F). Definición 1.21. Consideremos un elemento α que nace en tiempo s y muere entrando en tiempo t + 1. Por la Observación 1.3.1 sabemos que la clase β = α no es cero en el espacio vectorial cociente Hn (Xt )/Hns−1,t (F) pero si lo es en Hn (Xt+1 )/Hns−1,t+1 (F), llamamos a β el último descendiente de α. Además, α es llamado el primer ancestro de β, lo cual comprobaremos a continuación. Verifiquemos que efectivamente, α debe ser el primer ancestro de β, es decir, no existe α0 que nazca en tiempo s − 1 tal que is−1,t (α0 ) = β. Supongamos que existe dicho α0 n que nace en tiempo t−1 y es ancestro de β, entonces llegamos a la siguiente contradicción. Por la Observación 1.3.1, suponer esto es equivalente a que existe α0 ∈ Hn (Xs−1 ) tal ins−1,s (α0 ) = β ∈ Hn (Xt )/Hns−2,t (F). que 0 6= α0 ∈ Hn (Xs−1 )/Hns−2,s−1 (F) y tal que is,t n.

(24) Capı́tulo 1. Homologı́a persistente. 14. Entonces, como el Diagrama (1.4) conmuta y se cumple que π ins−1,s (α0 ) = 0, obtenemos s−1,s 0 π in (α ) 0= = π is,t is−1,s (α0 ) n n =π β is,t n. =β ∈. Hn (Xt ) , Hns−1,t (F). pero esto contradice la Observación 1.3.1, ya que 0 6= β ∈ Hn (Xt )/Hns−1,t (F). En resumen, tenemos hasta ahora que un elemento α ∈ Hn (Xs ) nace en tiempo s y muere entrando al tiempo t+1 si, y sólo si, se cumple alguna de las siguientes condiciones: α ∈ Hn (Xs ) nace en tiempo s y muere entrando al tiempo t + 1 s−1,t ⇐⇒ α ∈ Hn (Xs ) − Hns−1,s (F) tal que is,t (F) n (α) ∈ Hn (Xt ) − Hn. pero is,t+1 (α) ∈ Hns−1,t+1 (F) n. (1.5). s−1,t ⇐⇒ 0 6= α ∈ Hn (Xs )/Hns−1,s (F) tal que 0 6= is,t (F) n (α) ∈ Hn (Xt )/Hn. (α) ∈ Hn (Xt+1 )/Hns−1,t+1 (F). pero 0 = is,t+1 n Nuestro objetivo es demostrar que las clases de homologı́a de dimensión n, que nacen en tiempo s y mueren entrando al tiempo t + 1 forman un espacio vectorial cuya dimensión se mantiene a lo largo de la filtración para todo tiempo k tal que s ≤ k ≤ t. En adelante consideraremos el siguiente diagrama conmutativo, donde las flechas verticales ı denotan inclusiones, lo que es claro por la Ecuación (1.3), y las flechas horizontales son claramente homomorfismos sobreyectivos pues se restringen a su imagen: Hn (Xk ). ik,t n. Hns−1,k (F) O. /. is,k n. /. Hns,k (F) Hns−1,k (F). it,t+1 n. Hn (Xt+1 ) Hns−1,t+1 (F) /. O. ı. Hn (Xs ) Hns−1,s (F). Hn (Xt ) Hns−1,t (F). O. ı. ı ik,t n |. /. Hns,t (F) Hns−1,t (F). (1.6). it,t+1 | n. /. Hns,t+1 (F) s−1,t+1 (F) 4 Hn. ik,t+1 | n. Primero consideremos el caso k = t. Apoyándonos del Diagrama (1.6), observemos que la Condición (1.5) se satisface para 0 6= α ∈ Hn (Xs ) si, y sólo si, se satisface la.

(25) Capı́tulo 1. Homologı́a persistente. 15. siguiente condición, donde αt := is,t n (α) Se satisface la Condición (1.5) H s,t (F) Hns,t+1 (F) s,t t,t+1 n ⇐⇒ αt = in (α) ∈ Ker in | : s−1,t − {0} −→ s−1,t+1 Hn (F) Hn (F) H s,t (F) Hns,t+1 (F) t,t+1 n | : s−1,t −→ s−1,t+1 . ⇐⇒ 0 6= αt ∈ Ker in Hn (F) Hn (F). (1.7). Calculemos entonces la dimensión de Ker it,t+1 | que nos quedó en la Condición (1.7). n Notemos que por álgebra lineal esto es igual a la dimensión del espacio vectorial de salida, menos la dimensión de su imagen que es también un espacio vectorial, además la dimensión de un cociente de espacios vectoriales es la diferencia de sus dimensiones, y por último utilizaremos también la Definición 1.19 de números de Betti persistentes: . dimK Ker. . it,t+1 n. s,t s,t+1 Hn (F) Hn (F) | = dimK − dimK Hns−1,t (F) Hns−1,t+1 (F) = (dimK (Hns,t (F)) − dimK (Hns−1,t (F))) −. (dimK (Hns,t+1 (F)). −. (1.8). dimK (Hns−1,t+1 (F))). = (βns,t (F) − βns,t+1 (F)) − (βns−1,t (F) − βns−1,t+1 (F)). El otro caso extremo es cuando k = s. Primero recordemos una propiedad de teorı́a de conjuntos: si tenemos dos conjuntos X y Y , con A, B ⊆ Y subconjuntos de Y , y una función f : X −→ Y , entonces f −1 (A − B) = f −1 (A) − f −1 (B). Apoyándonos del Diagrama (1.6), observemos que la Condición (1.5) se satisface para 0 6= α ∈ Hn (Xs ) si, y sólo si, se satisface la siguiente condición, donde αs := α y αs = α..

(26) Capı́tulo 1. Homologı́a persistente. 16. Se satisface la Condición (1.5) Hns,t (F) Hns,t+1 (F) s,t t,t+1 − {0} |) : s−1,t −→ s−1,t+1 ⇐⇒ in (αs ) ∈ Ker (in Hn (F) Hn (F) Hns,t+1 (F) Hns,t (F) s,t −1 t,t+1 −→ s−1,t+1 − {0} ⇐⇒ αs ∈ (in ) Ker (in |) : s−1,t Hn (F) Hn (F) Hns,t+1 (F) Hns,t (F) s,t −1 t,t+1 −1 Ker (in −→ s−1,t+1 − (is,t {0} = (in ) |) : s−1,t n ) Hn (F) Hn (F) −1 −1 {0} = (is,t (it,t+1 |)−1 ({0}) − (is,t n ) n n ) s,t −1 −1 ◦ is,t = (it,t+1 n n ) ({0}) − (in ) ({0}) −1 = (is,t+1 )−1 ({0}) − (is,t n n ) ({0}). = Ker(is,t+1 ) − Ker(is,t n n ) ⇐⇒ 0 6= αs ∈. ) Ker(is,t+1 n Ker(is,t n ) Ker(is,t+1 ) n s−1,s ) Ker(is,t+1 n ≤ Hn s,t ∼ = s,t , Ker(in ) Ker(in ) s−1,s Hn. por el tercer teorema de isomorfismo. (1.9). El tercer teorema de isomorfismo puede consultarse en [1]. Con esto obtuvimos que el hecho de que la Condición (1.5) se satisfaga para 0 6= α ∈ Hn (Xs ), es equivalentemente a la condición de que 0 6= αs ∈ Ker(is,t+1 )/Ker(is,t n n ). Calcularemos a continuación la dimensión de ese espacio vectorial. dimK. Ker(is,t+1 ) n Ker(is,t n ). ! = dimK (Ker(is,t+1 )) − dimK (Ker(is,t n n )) s,t+1 Hn (Xs ) Hn (F) = dimK − dimK Hns−1,s (F) Hns−1,t+1 (F) s,t Hn (Xs ) Hn (F) − dimK − dimK Hns−1,s (F) Hns−1,t (F) s,t s,t+1 Hn (F) Hn (F) = dimK − dimK Hns−1,t (F) Hns−1,t+1 (F) . . (1.10). = (dimK (Hns,t (F)) − dimK (Hns−1,t (F))) − (dimK (Hns,t+1 (F)) − dimK (Hns−1,t+1 (F))) = (βns,t (F) − βns,t+1 (F)) − (βns−1,t (F) − βns−1,t+1 (F)). Por último, veamos que en todos los casos intermedios, es decir, para cualquier tiempo k tal que s + 1 ≤ k ≤ t − 1, ocurre lo mismo. Apoyándonos del Diagrama (1.6),.

(27) Capı́tulo 1. Homologı́a persistente. 17. observemos que la Condición (1.5) se satisface para 0 6= α ∈ Hn (Xs ) si, y sólo si, se s,k satisface la siguiente condición, donde αk := is,k n (α) y αk = in (α).. Se satisface la Condición (1.5) Hns,t (F) Hns,t+1 (F) k,t+1 ⇐⇒ 0 6= (ik,t |)(α ) ∈ , pero 0 = (i |)(α ) ∈ n n k k Hns−1,t (F) Hns−1,t+1 (F) Hns,t (F) Hns,t+1 (F) k,t t,t+1 ⇐⇒ (in |)(αk ) ∈ Ker (in |) : s−1,t −→ s−1,t+1 − {0} Hn (F) Hn (F) Hns,t (F) Hns,t+1 (F) k,t −1 t,t+1 Ker (in |) : s−1,t − {0} ⇐⇒ αk ∈ (in |) −→ s−1,t+1 Hn (F) Hn (F) Hns,t (F) Hns,t+1 (F) k,t −1 t,t+1 −1 = (in |) Ker (in |) : s−1,t − (ik,t −→ s−1,t+1 n |) ({0}) Hn (F) Hn (F) t,t+1 −1 −1 −1 |) ({0})) − (ik,t = (ik,t n |) ((in n |) ({0}) k,t −1 −1 = ((it,t+1 |) ◦ (ik,t n n |)) ({0}) − (in |) ({0}) −1 = (ik,t+1 |)−1 ({0}) − (ik,t n n |) ({0}). |) − Ker(ik,t = Ker(ik,t+1 n n |) ) Ker(ik,t+1 |) ∼ Ker(ik,t+1 n n ⇐⇒ 0 6= αk ∈ , = k,t k,t Ker(in ) Ker(in |). por el tercer teorema de isomorfismo. (1.11). Con esto obtuvimos que el hecho de que la Condición (1.5) se satisfaga para 0 6= α ∈ Hn (Xs ), es equivalentemente a la condición de que 0 6= αk ∈ Ker(ik,t+1 |)/Ker(ik,t n n |). Calcularemos a continuación la dimensión de ese espacio vectorial.. dimK. Ker(ik,t+1 |) n Ker(ik,t n. |). ! = dimK (Ker(ik,t+1 |)) − dimK (Ker(ik,t n n |)) s,k s,t+1 Hn (F) Hn (F) = dimK − dimK Hns−1,t+1 (F) Hns−1,k (F) s,k s,t Hn (F) Hn (F) − dimK − dimK Hns−1,t (F) Hns−1,k (F) s,t s,t+1 Hn (F) Hn (F) = dimK − dimK Hns−1,t (F) Hns−1,t+1 (F). (1.12). = (dimK (Hns,t (F)) − dimK (Hns−1,t (F))) − (dimK (Hns,t+1 (F)) − dimK (Hns−1,t+1 (F))) = (βns,t (F) − βns,t+1 (F)) − (βns−1,t (F) − βns−1,t+1 (F)). En conclusión, de las Ecuaciones (1.8), (1.10) y (1.12), podemos afirmar que la.

(28) Capı́tulo 1. Homologı́a persistente. 18. dimensión de las clases de homologı́a de dimensión n, que nacen en tiempo s y mueren entrando al tiempo t + 1 forman un espacio vectorial cuya dimensión se mantiene a lo largo de la filtración para todo tiempo k tal que s ≤ k ≤ t, es decir, no depende del parámetro k. Esto nos permite dar la siguiente definición, que es una manera de calcular estas dimensiones a partir de los números de Betti persistentes, y es importante pues la utilizaremos más adelante para demostrar los teoremas principales del último capı́tulo. Definición 1.22. A los números µs,t n (F) se les llama dimensiones generacionales. Se interpretan como la dimensión del espacio vectorial sobre K generado por los ciclos de homologı́a de dimensión n, que nacen en tiempo s y mueren en tiempo t + 1. Se definen para s ≤ t de la siguiente manera: s,t+1 s,t (F)) − (βns−1,t (F) − βns−1,t+1 (F)). µs,t n (F) := (βn (F) − βn. 1.3.3.. Teorema fundamental de la homologı́a persistente. Otro resultado muy importante que probaremos en esta sección es el siguiente. Como acabamos de ver, podemos calcular las dimensiones generacionales µs,t n (F) a partir de los números de Betti persistentes βns,t (F), presentaremos un teorema el cual nos asegura que también podemos calcular los números de Betti persistentes a partir de las dimensiones generacionales. Esto es muy útil para realizar cálculos de homologı́as. En esta sección estableceremos la convención de que los grupos de homologı́a son cero cuando j + 1 > N o cuando i − 1 < 0. Para ilustrar lo que pretendemos probar veamos el siguiente ejemplo, el cual fue tomado de [3], de donde también basaremos el desarrollo de esta sección. Ejemplo 1.3.2. Sea X un espacio topológico y F la filtración finita ∅ = X−1 ⊂ X0 ⊂ X1 ⊂ X2 = XN = X. Entonces tenemos para cada n los siguientes números de Betti persistentes en orden lexicográfico: βn0,0 (F), βn0,1 (F), βn0,2 (F), βn1,1 (F), βn1,2 (F) y βn2,2 (F). También las siguientes.

(29) Capı́tulo 1. Homologı́a persistente. 19. dimensiones generacionales, utilizando la fórmula de la Definición 1.22. 0,0 0,1 µ0,0 n (F) = βn (F) − βn (F), 0,1 0,2 µ0,1 n (F) = βn (F) − βn (F), 0,2 µ0,2 n (F) = βn (F), 1,1 1,2 0,1 0,2 µ1,1 n (F) = (βn (F) − βn (F)) − (βn (F) − βn (F)), 1,2 0,2 µ1,2 n (F) = βn (F) − βn (F), 2,2 1,2 µ2,2 n (F) = βn (F) − βn (F).. Podemos acomodar esta información de forma matricial de la siguiente manera:            . µ0,0 n (F) 0,1 µn (F) µ0,2 n (F) µ1,1 n (F) µ1,2 n (F) 2,2 µn (F). . .           =          . 1 −1. 0. 0. 0. 0. .   0     0 0 1 0 0 0    0 −1 1 1 −1 0      0 0 −1 0 1 0   0 0 0 0 −1 1 0. 1. −1 0. 0. βn0,0 (F) βn0,1 (F) βn0,2 (F) βn1,1 (F) βn1,2 (F) βn2,2 (F).       .     . Procediendo por eliminación gaussiana: sumamos el renglón 2 al 4, el renglón 3 al 5, y posteriormente el renglón 5 al 6. Esto nos lleva a que la matriz de 6 × 6 mostrada es similar a:. . 1 −1.           . 0. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. .  0    0 0 0  , 1 −1 0    0 1 0   0 0 1. −1 0. 0. de donde podemos observar que el determinante de la matriz es 1, lo que implica que es invertible. La matriz inversa está dada por: . 1 1 1 0 0 0. .           .  0 1 1 0 0 0    0 0 1 0 0 0  . 0 1 1 1 1 0    0 0 1 0 1 0   0 0 1 0 1 1.

(30) Capı́tulo 1. Homologı́a persistente. 20. En conclusión, podemos recuperar los números de Betti persistentes a partir de las dimensiones generacionales de la siguiente manera: . . 1 1 1 0 0 0.           .   0 1 1 0 0 0     0 0 1 0 0 0    0 1 1 1 1 0     0 0 1 0 1 0   0 0 1 0 1 1. µn0,0 (F) µn0,1 (F) µn0,2 (F) µn1,1 (F) µn1,2 (F) µn2,2 (F). . .           =          . βn0,0 (F) βn0,1 (F) βn0,2 (F) βn1,1 (F) βn1,2 (F) βn2,2 (F).       .     . Podemos comprobar término a término que los números de Betti persistentes son de la forma: 0,1 0,2 βn0,0 (F) = µ0,0 n (F) + µn (F) + µn (F), 0,2 βn0,1 (F) = µ0,1 n (F) + µn (F),. βn0,2 (F) = µ0,2 n (F), 0,2 1,1 1,2 βn1,1 (F) = µ0,1 n (F) + µn (F) + (µn (F) + µn (F), 1,2 βn1,2 (F) = µ0,2 n (F) + µn (F), 1,2 2,2 βn2,2 (F) = µ0,2 n (F) + µn (F) + µn (F).. El objetivo de esta sección es mostrar que esto siempre es posible. Describiremos el proceso que realizamos en el Ejemplo 1.3.2 para el caso general. Primero establezcamos la siguiente notación. Representaremos a los números de Betti persistentes y a las dimensiones generacionales mediante los siguientes vectores en orden lexicográfico, es decir, el supraı́ndice (i, j) se encuentra antes del (r, s) si i < r o si i = r y j < s, obtenemos entonces lo siguiente considerando una filtración finita como en la Filtración (1.2): .  βn0,0 (F)   ..   .      β 0,N (F)   n   1,1   βn (F)   , β= ..  .      β 1,N (F)   n    . ..     βnN,N (F). .  µ0,0 (F)  n .    . .      µ0,N (F)   n   1,1   µn (F)   . µ= ..  .      µ1,N (F)    n   . ..     µN,N (F) n. Como sabemos, por las observaciones de la sección anterior y la Definición 1.22, podemos expresar al vector µ linealmente en términos del vector β, mediante una matriz a la que.

(31) Capı́tulo 1. Homologı́a persistente. 21. llamaremos R, es decir, µ = Rβ. Denotaremos por Ri,j al renglón de R que corresponde a la entrada (i, j) de µ, es decir, cuando aparece el término µi,j n (F). A partir de estas definiciones podemos hacer las siguientes observaciones. Observación 1.3.3. La matriz R tendrá siempre un 1 en toda su diagonal, ya que, i,j la expresión de µi,j n (F) siempre tiene un término βn (F) como puede apreciarse en la. Definición 1.22. Siguiendo con esta idea, la matriz R puede tener a lo más un −1 a la derecha de su diagonal correspondiente al término βni,j+1 (F). Recordemos la convención que hicimos al inicio de esta sección, de que los grupos de homologı́a son cero cuando j + 1 > N o cuando i − 1 < 0, con esto podemos notar también que a la izquierda de la diagonal de R sólo aparecerán ceros si i = 0, aparecerá un −1 si i > 0 y j = N , y aparecerá un −1 y un 1 si i > 0 y j < N . Lo anterior corresponde a los términos βni−1,j (F) y βni−1,j+1 (F). Con esta estructura procederemos a eliminar los elementos que se encuentran bajo la diagonal mediante eliminación gaussiana, obtendremos ası́ una matriz triangular superior con unos en la diagonal, por lo tanto invertible, lo que asegura que podemos calcular β a partir de µ. Primero demostraremos el siguiente teorema, para después encontrar una expresión exacta con la cual calcular los términos del vector β. Teorema 1.23. Sea R la matriz que relaciona a β con µ mediante la ecuación: µ = Rβ. Entonces el algoritmo: * Para cada i = 1, · · · , N , hacer: *. Para cada j = i, i + 1, · · · , N : sumar el renglón Ri−1,j al renglón Ri,j ,. transforma la matriz R a una matriz triangular superior R con unicamente unos en la diagonal. Demostración. Seguiremos este proceso ordenadamente observando que para cada renglón Ri,j con i > 0 siempre existirá un renglón anterior con ceros antes de la diagonal y tal que al sumárselo al renglón Ri,j elimina los elementos antes de la diagonal. Para i = 0 no necesitamos hacer nada pues como vimos en la Observación 1.3.3, esos renglones solo tienen ceros antes de la diagonal. Para i = 1 calculamos las dimensiones generacionales utilizando la Definición 1.22 como 1,j 1,j+1 µ1,j (F) − βn0,j (F) + βn0,j+1 (F), n (F) = βn (F) − βn 1,N 0,N µ1,N n (F) = βn (F) − βn (F).. (1 ≤ j < N ).

(32) Capı́tulo 1. Homologı́a persistente. 22. Pero los renglones que corresponden a i = 0 son 0,j 0,j+1 µ0,j (F), n (F) = βn (F) − βn. (1 ≤ j < N ). 0,N µ0,N n (F) = βn (F).. Es claro entonces que al sumar el renglón R0,j al renglón R1,j cancela unicamente lo que está antes de la diagonal, lo demás lo deja intacto. Para i = 2 tenemos 2,j 2,j+1 µ2,j (F) − βn1,j (F) + βn1,j+1 (F), n (F) = βn (F) − βn. (2 ≤ j < N ). 1,N 2,N µ2,N n (F) = βn (F) − βn (F).. Notemos que lo que está antes de la diagonal en los renglones R2,j se cancela precisamente con lo que está después o en la diagonal en los renglones R1,j respectivamente, pero esa parte de los renglones R1,j no se modificó durante el paso anterior, por lo tanto sumarle estos renglones a los renglones R2,j elimina lo que se encuentra antes de su diagonal y lo demás lo deja intacto. Este proceso puede llevarse a cabo de manera inductiva donde los renglones Ri,j están dados para i > 1 de la forma i,j i,j+1 µi,j (F) − βni−1,j (F) + βni−1,j+1 (F), n (F) = βn (F) − βn. (2 ≤ j < N ). i,N i−1,N µi,N (F), n (F) = βn (F) − βn. a los cuales podemos cancelarles lo que se encuentra antes de la diagonal al sumarles los renglones Ri−1,j , los cuales ya no tienen nada antes de la diagonal por hipótesis de inducción, y el resto se ha mantenido intacto, es decir, para este paso del algoritmo ya habremos eliminado lo correspondiente a los términos βni−2,j (F) y βni−2,j+1 (F) de la ecuación µi−1,j (F) = βni−1,j (F) − βni−1,j+1 (F) − βni−2,j (F) + βni−2,j+1 (F), n. (2 ≤ j < N ). µi−1,N (F) = βni−1,N (F) − βni−2,N (F), n cancelando ası́ lo que se encuentra antes de la diagonal para los renglones Ri,j y dejando lo demás intacto. Iterando este proceso para i = 1, · · · , N terminamos. Con este algoritmo obtenemos inmediatamente el siguiente: Corolario 1.24. La matriz R es invertible. Demostración. La demostración es inmediata por el algoritmo realizado en la demostración del Teorema 1.23. Nos quedó una matriz triangular superior con unos en la diagonal,.

(33) Capı́tulo 1. Homologı́a persistente. 23. por lo que su determinante es 1, y por un resultado estándar del álgebra lineal esto implica que la matriz R es invertible. Con esto podemos asegurar que siempre podemos invertir la matriz R y ası́ despejar el vector β, mediante la ecuación R−1 µ = β. En otras palabras, podemos calcular las dimensiones generacionales a partir de los números de Betti persistentes, y viceversa. Por el Teorema 1.23 conocemos los pasos para transformar la matriz R en una matriz similar R tal que R es una matriz triangular superior, si ahora realizamos operaciones elementales a la matriz R para obtener una matriz similar que resulte ser la identidad I, entonces, por álgebra lineal, sabemos que estas mismas operaciones con las que empezamos a transformar la matriz R aplicadas a la matriz identidad I, nos darı́a como resultado la matriz inversa R−1 , con la cual podrı́amos calcular de manera explı́cita el vector β. Veamos a continuación este procedimiento con el siguiente teorema. Teorema 1.25. Sea R la matriz triangular superior que se obtiene mediante operaciones elementales realizadas a la matriz R en el algoritmo del Teorema 1.23. Si a la matriz R se le aplican las siguientes operaciones elementales: * Para cada i = 0, · · · , N , hacer: *. Para cada j = N − 1, · · · , 0: sumar el renglón Ri,j+1 al renglón Ri,j ,. entonces obtenemos la matriz identidad I. Demostración. El algoritmo que empleamos en el Teorema 1.23 no modifica lo que se encuentra desde la diagonal hacia la derecha en la matriz R. Notemos que para un i fijo, las ecuaciones de las que obtenemos los renglones Ri,j están dadas por la Definición 1.22 de la siguiente manera: i−1,i µi,i (F) + βni−1,i+1 (F) + βni,i (F) − βni,i+1 (F), n (F) = −βn. µi,i+1 (F) = −βni−1,i+1 (F) + βni−1,i+2 (F) + βni,i+1 (F) − βni,i+2 (F), n µi,i+2 (F) = −βni−1,i+2 (F) + βni−1,i+3 (F) + βni,i+2 (F) − βni,i+3 (F), n .. . −1 µi,N (F) = −βni−1,N −1 (F) + βni−1,N (F) + βni,N −1 (F) − βni,N (F), n i−1,N µi,N (F) + βni,N (F). n (F) = −βn. Observemos que si sumamos el renglón Ri,N al renglón Ri,N −1 se cancela un términando, dejando únicamente un 1 en la diagonal en el renglón Ri,N −1 . Luego, sumamos el renglón.

(34) Capı́tulo 1. Homologı́a persistente. 24. Ri,N −1 al renglón Ri,N −2 y el término de la diagonal del renglón Ri,N −1 cancela lo que queda a la derecha de la diagonal en el renglón Ri,N −2 , dejando de nuevo únicamente un 1 en la diagonal en el renglón Ri,N −2 . Iterando este proceso de sumar desde abajo hacia arriba los renglones Ri,i , · · · , Ri,N nos deja como resultado la matrı́z identidad, ya que nunca afectamos la diagonal o la parte izquierda de la diagonal en dicho proceso. Teorema 1.26. La matriz R−1 que se obtiene a partir de operaciones elementales dadas por los Teoremas 1.23 y 1.25, tiene unos en las posiciones: (0, j),(1, j),. · · · ,(i, j). (0, j + 1),(1, j + 1), · · · ,(i, j + 1) .. . (0, N ),(1, N ),. · · · ,(i, N ). y cero en todas las demás posiciones. Demostración. La prueba se sigue de aplicar los algoritmos de los Teoremas 1.23 y 1.25 a la matriz identidad I. Al aplicar la primera parte a la matriz I, es decir el algoritmo del Teorema 1.23, obtenemos unos en las siguientes posiciones de la matriz identidad: (0, j), (1, j), · · · , (i, j). Después cuando aplicamos la segunda parte a la matriz similar que hemos obtenido la cual podemos denotar como I, es decir al aplicar el algoritmo del Teorema 1.25 a la matriz I, seguimos sumando unos en posiciones que nunca coinciden conforme j varı́a en i, i + 1, · · · , N . Por lo tanto la suma produce unos en las posiciones que indica el teorema. Teorema 1.27. (Teorema fundamental de la homologı́a persistente). Los números de Betti pueden obtenerse a partir de las dimensiones generacionales linealmente mediante la suma βni,j (F) =. XX. µk,l n (F).. k≤i l≥j. Demostración. El Teorema 1.27 es un corolario del Teorema 1.26..

(35) Capı́tulo 2 Sucesiones espectrales y parejas exactas En este capı́tulo estudiaremos a detalle el álgebra de las suceciones espectrales y las parejas exactas. Las sucesiones espectrales pueden aplicarse a problemas algebraicos y topológicos, pues nos ayudan a aproximar o determinar los objetos sobre los cuales estamos trabajando como grupos abelianos, espacios vectoriales, o módulos. El manejo formal de las sucesiones espectrales se relaciona con el álgebra homológica, como las sucesiones exactas y teorı́a de homologı́a. Primero estudiaremos algunas definiciones y propiedades básicas de las sucesiones espectrales, ası́ como técnicas para construirlas, por ejemplo, a partir de la noción de un módulo diferencial graduado filtrado, y técnicas para identificar el lı́mite de una sucesión espectral. En relación a lo anterior, enunciaremos un teorema importante sobre la convergencia de una sucesión espectral, dicha teorı́a se puede consultar en [6]. Nuestro objeto de estudio puede no provenir de un objeto diferencial filtrado, para lo cual en la segunda parte del capı́tulo desarrollaremos otros tipos de estructuras algebraicas, que son las parejas exactas, las cuales utilizaremos para el manejo de las sucesiones espectrales ya que tienen muchas aplicaciones y pueden hacer más económicos los cálculos que se presenten, como en el caso del siguiente capı́tulo en donde será una herramienta muy útil. Las parejas exactas son útiles para determinar las relaciones entre grupos de homologı́a o cohomologı́a de un espacio topológico, ası́ como otro tipo de invariantes. Esta teorı́a fue introducida por Massey en 1952, lo cual puede consultarse en [4]. Finalmente estudiaremos la equivalencia entre ambos acercamientos que se dieron para definir una sucesión espectral a partir de una filtración, o bien, a partir de la noción de parejas exactas. También presentaremos algunos ejemplos los cuales, junto a lo anterior mencionado, pueden consultarse en [6]. 25.

(36) Capı́tulo 2. Sucesiones espectrales y parejas exactas. 2.1. 2.1.1.. 26. Sucesiones espectrales Definiciones y propiedades. Comenzaremos con algunas definiciones, para identificar los principales componentes y propiedades de una sucesión espectral. Definición 2.1. Un módulo diferencial bigraduado sobre un anillo R, es una colecM ción de R-módulos de la forma E ∗,∗ = {E p,q }p,q∈Z o E ∗,∗ = E p,q con p, q ∈ Z, junto p,q. con un R-homomorfismo d : E. ∗,∗. −→ E. ∗,∗. , llamado el diferencial de bigrado (r, 1 − r) ó. (−r, r − 1), para algún entero r tal que d ◦ d = 0, es decir d : E p,q −→ E p+r,q+(1−r) ,. ó. d : E p,q −→ E p−r,q+(r−1) .. Un módulo diferencial bigraduado se puede representar en el plano cartesiano, donde cada punto (p, q) representa un R-módulo E p,q de la colección E ∗,∗ . Por ejemplo, si el diferencial tiene bigrado (3, −2), el diagrama serı́a el siguiente:. Figura 2.1: Representación en el plano de un módulo bigraduado..

(37) Capı́tulo 2. Sucesiones espectrales y parejas exactas. 27. Con el diferencial, podemos definir la homologı́a del módulo diferencial bigraduado de la siguiente manera. Definición 2.2. La homologı́a de un R-módulo diferencial bigraduado, con bigrado (r, 1 − r) se puede tomar como H p,q (Er∗,∗ , dr ) :=. Ker(dr : E p,q −→ E p+r,q+(1−r) ) . Im(dr : E p−r,q−(1−r) −→ E p,q ). Con estas dos nociones podemos dar la definición de sucesión espectral. Definición 2.3. Una sucesión espectral es una colección de R-módulos diferenciales bigraduados {Er∗,∗ , dr }r∈N , donde las diferenciales dr son todas de bigrado (−r, r −1) (para el caso de una sucesión espectral del tipo homológico), o todas de bigrado (r, 1 − r) (para una sucesión espectral de tipo cohomológico), a cada R-módulo Er∗,∗ se le suele llamar una r-página de la sucesión espectral. Y para cada p, q, r, E p,q ∼ = H p,q (E ∗,∗ , dr ). r+1. r. Para identificar el lı́mite de una sucesión espectral, presentaremos dicha sucesión espectral como una torre de submódulos de un módulo dado. Será claro a partir de la torre, a donde la información está convergiendo. En adelante trabajaremos con sucesiones espectrales de tipo cohomológico, ya que es la manera más usual de trabajar con sucesiones espectrales, en el caso de una sucesión espectral de tipo homológico los cálculos son análogos, ya que podemos pensar en ese caso que los diferenciales dr tienen bigrado (−r, r − 1) y no (r, 1 − r) como en el caso cohomológico, lo que se interpreta como invertir las flechas en la Figura 2.1. Dada una sucesión espectral (cohomológica) de módulos {Er∗,∗ , dr }∞ r=1 , empezaremos con el R-módulo bigraduado E2∗,∗ . Ası́, el bigrado de dr es (r, 1 − r). Sean p, q ∈ Z fijos. Para r = 2 el bigrado de d2 es (2, 1 − 2). Consideremos entonces los siguientes dominios y codominios del diferencial d2 : p−2,q−(1−2). E2. dp−2,q+1 2. /. E2p,q. dp,q 2. /. p+2,q+(1−2). E2. .. En este contexto, definimos el conjunto de ciclos y fronteras del R-módulo bigraduado E2∗,∗ en la sucesión espectral de la siguiente manera. Definición 2.4. Definimos el conjunto de ciclos como el kernel de d2 : p+2,q+(1−2). Z2p,q := Ker(d2 : E2p,q −→ E2. ),.

(38) Capı́tulo 2. Sucesiones espectrales y parejas exactas. 28. y el conjunto de fronteras como la imagen de d2 : p−2,q−(1−2). p,q). B2p,q := Im(d2 : E2. −→ E2 ).. Dado que el kernel y la imagen son también submódulos, y se cumple que d ◦ d = 0, entonces obtenemos las siguientes contenciones de submódulos: B2p,q ⊆ Z2p,q ⊆ E2p,q .. (2.1). Y por la Definición 2.3 de sucesión espectral y la Definición 2.2 de la homologı́a de un R-módulo diferencial bigraduado, podemos notar que p,q p,q E3p,q ∼ = Z2 /B2 .. (2.2). Para r = 3 el bigrado de d3 es (3, 1 − 3). Siguiendo la idea del desarrollo anterior y considerando el Isomorfismo (2.2), obtenemos el siguiente diagrama: p−3,q−(1−3). E3. . /. E3p,q. ∼ =. p−3,q−(1−3). Z2. p−3,q−(1−3). B2. dp−3,q+2 3. dp,q 3. /. p+3,q+(1−3). E3. ∼ =. . . dp−3,q+2 3. Z p,q / 2 B2p,q. dp,q 3. ∼ =. p+3,q+(1−3). /. Z2. p+3,q+(1−3). B2. Definiremos Z3p,q de manera análoga a la Definición 2.4. p+3,q+(1−3). Z3p,q := Ker(d3 : E3p,q −→ E3. ),. p,q p,q ahora, por el Isomorfismo (2.2), podemos notar que Z3p,q ≤ E3p,q ∼ = Z2 /B2 . Por lo tanto. Z3p,q es de la forma Z3p,q = Z3p,q /B2p,q , donde Z3p,q es tal que B2p,q ⊆ Z3p,q ⊆ Z2p,q . Similarmente, sea p−3,q−(1−3). B3p,q := Im(d3 : E3. −→ E3p,q ),. (2.3).

(39) Capı́tulo 2. Sucesiones espectrales y parejas exactas. 29. entonces por el Isomorfismo (2.2) podemos notar de manera análoga que B3p,q ≤ E3p,q ∼ = Z2p,q /B2p,q , obteniendo también que B3p,q es de la forma B3p,q = B3p,q /B2p,q , donde B3p,q es tal que B2p,q ⊆ B3p,q ⊆ Z2p,q .. (2.4). Además, dado que B3p,q = Im(d3 ) ⊆ Ker(d3 ) = Z3p,q , entonces podemos observar que B3p,q /B2p,q ≤ Z3p,q /B2p,q , obteniendo otra contención similar a las anteriores: B3p,q ⊆ Z3p,q .. (2.5). Nos podemos dar cuenta a partir de las contenciones obtenidas en cada una de las Contenciones (2.1), (2.3), (2.4) y (2.5), que estamos construyendo la siguiente filtración para el R-módulo bigraduado E2∗,∗ : B2p,q ⊆ B3p,q ⊆ Z3p,q ⊆ Z2p,q ⊆ E2p,q . A continuación repetiremos el procedimiento anterior una vez más para observar algunas propiedades. Primero calculemos E4p,q , que como sabemos es la homologı́a del anterior E3p,q , siguiendo la Definición 2.2 y el desarrollo previo es claro que éste es de la forma p,q p,q p,q p,q p,q p,q p,q E4p,q ∼ = Z3 /B3 , pero ya hemos calculado Z3 y B3 en términos de Z3 , B3 y B2 , entonces, por el tercer teorema de isomorfismo para módulos (puede consultarse en [1]) es evidente que E4p,q. p,q p,q p,q p,q ∼ Z3 /B2 p,q p,q ∼ = Z3 /B3 = p,q p,q ∼ = Z3 /B3 . B3 /B2. Ahora podemos dar este sencillo diagrama para calcular Z4p,q y B4pq, : p−4,q−(1−4). E4. . /. E4p,q. ∼ =. p−4,q−(1−4). Z3. p−4,q−(1−4). B3. dp−4,q+3 4. dp,q 4. /. p+4,q+(1−4). E4. ∼ =. . . dp−4,q+3 4. Z p,q / 3 B3p,q. dp,q 4. Definiremos Z4p,q de manera análoga a la Definición 2.4.. ∼ =. p+4,q+(1−4). /. Z3. p+4,q+(1−4). B3. (2.6).

(40) Capı́tulo 2. Sucesiones espectrales y parejas exactas. 30 p+4,q+(1−4). Z4p,q := Ker(d4 : E4p,q −→ E4. ),. y observamos por el Isomorfismo (2.6) (análogamente a cuando usábamos el Isomorfismo p,q p,q p,q (2.2)), que Z p,q ≤ E p,q ∼ = Z /B , obteniendo también que Z es de la forma 4. 4. 3. 3. 4. Z4p,q = Z4p,q /B3p,q , donde Z4p,q es tal que B3p,q ⊆ Z4p,q ⊆ Z3p,q .. (2.7). Similarmente, sea p−4,q−(1−4). B4p,q := Im(d4 : E4. −→ E4p,q ),. p,q p,q podemos notar de manera análoga por el Isomorfismo (2.6) que B4p,q ≤ E4p,q ∼ = Z3 /B3 ,. obteniendo también que B4p,q es de la forma B4p,q = B4p,q /B3p,q , donde B4p,q es tal que B3p,q ⊆ B4p,q ⊆ Z3p,q .. (2.8). Además, dado que B4p,q = Im(d4 ) ⊆ Ker(d4 ) = Z4p,q , entonces podemos observar que B4p,q /B3p,q ≤ Z4p,q /B3p,q , obteniendo otra contención similar a las anteriores: B4p,q ⊆ Z4p,q .. (2.9). Nos podemos dar cuenta a partir de las Contenciones (2.7), (2.8) y (2.9) del procedimiento anterior, que seguimos construyendo la siguiente filtración para el R-módulo bigraduado E2∗,∗ : B2p,q ⊆ B3p,q ⊆ B4p,q ⊆ Z4p,q ⊆ Z3p,q ⊆ Z2p,q ⊆ E2p,q . En resumen, si continuamos con este procedimiento hasta cierto n, obtenemos la siguiente filtración para cada p, q ∈ Z:.

(41) Capı́tulo 2. Sucesiones espectrales y parejas exactas. 31. p,q p,q ⊆ · · · ⊆ Zn+1 ⊆ Znp,q ⊆ · · · ⊆ Z4p,q ⊆ Z3p,q ⊆ B2p,q ⊆ B3p,q ⊆ B4p,q ⊆ · · · ⊆ Bnp,q ⊆ Bn+1. Z2p,q ⊆ E2p,q . Con la propiedad de que p,q ∼ En+1 = Znp,q /Bnp,q , p+(n+1),q+(1−(n+1)). p,q −→ En+1 dn+1 : En+1. ,. (2.10). p,q Ker(dn+1 ) = Zn+1 /Bnp,q , p,q Im(dn+1 ) = Bn+1 /Bnp,q .. Resulta evidente que la siguiente es una sucesión exacta corta, la cual es inducida por dn+1 , considerando la Propiedad (2.10) y lo anteriormente desarrollado: 0. /. dn+1. / E p,q. /. n+1. ∼ =. ∼ =. Z p,q / n+1 Bnp,q. Z p,q / n Bnp,q. . 0. i. Ker(dn+1 ). . i. . dn+1. /. Im(dn+1 ). 0. ∼ =. p+(n+1),q+(1−(n+1)). Bn+1 /. /. p+(n+1),q+(1−(n+1)) Bn. 0. Para lo siguiente vamos a considerar el primer y tercer teorema de isomorfismo de módulos, los cuales se pueden consultar en [1]. Por el primer teorema de isomorfismo y a partir del renglón inferior obtenemos Znp,q /Bnp,q Ker(dn+1 ). dn+1 ∼ =. /. Im(dn+1 ),. p,q pero por la Propiedad (2.10) sabemos cómo son Ker(dn+1 ) = Zn+1 /Bnp,q , al igual que p+(n+1),q+(1−(n+1)). Im(dn+1 ) = Bn+1. p+(n+1),q+(1−(n+1)). /Bn. , lo cual implica lo siguiente utilizando. el tercer teorema de isomorfismo: Znp,q Bnp,q p,q Zn+1 Bnp,q. ∼ =. /. Znp,q p,q Zn+1. dn+1 ∼ =. p+(n+1),q+(1−(n+1)). /. Bn+1. p+(n+1),q+(1−(n+1)). .. Bn. Con lo anterior podemos darnos una idea de hacia donde está convergiendo la información de la sucesión espectral. A continuación, recı́procamente, veremos qué información nos puede proporcionar una torre de submódulos dada para un R-módulo bigraduado E2∗,∗ junto con un conjunto de isomorfismos..

(42) Capı́tulo 2. Sucesiones espectrales y parejas exactas. 32. Observación 2.1.1. Dado un R-módulo diferencial bigraduado {E p,q }p,q∈Z y una filtración para cada p, q ∈ Z de la forma p,q p,q B2p,q ⊆ B3p,q ⊆ B4p,q ⊆ · · · ⊆ Bnp,q ⊆ Bn+1 ⊆ · · · ⊆ Zn+1 ⊆ Znp,q ⊆ · · · ⊆ Z4p,q ⊆ Z3p,q ⊆. Z2p,q ⊆ E2p,q , y dados los isomorfismos Znp,q p,q Zn+1. p+(n+1),q+(1−(n+1)). φ ∼ =. /. Bn+1. p+(n+1),q+(1−(n+1)). ,. Bn. p,q obtenemos una sucesión espectral construida como sigue. Definimos el siguiente En+1. como el cociente de módulos p,q En+1 := Znp,q /Bnp,q ,. y definimos el diferencial dn+1 como la composición. dn+1 :. Znp,q Bnp,q. /. π. Znp,q p,q Zn+1. p+(n+1),q+(1−(n+1)). φ ∼ =. /. p+(n+1),q+(1−(n+1)). Bn+1. /. i. p+(n+1),q+(1−(n+1)). Bn. Zn. p+(n+1),q+(1−(n+1)). ,. Bn. donde π es la proyección canónica e i es la inclusión. Notemos que, en efecto, la colección {Er∗,∗ , dr }∞ r=1 definida previamente es una sucesión espectral. Basta probar, siguiendo la Definicion 2.3, que E p,q ∼ = H p,q (E ∗,∗ , dn ) y que dn+1 ◦dn+1 = 0. Para demostrar n+1. n. que dn+1 ◦ dn+1 = 0 debemos fijarnos en su definición en la Observación 2.1.1, a partir de la cual obtenemos la siguiente composición: p−(n+1),q−(1−(n+1)). dn+1 ◦ dn+1 :. Zn. p−(n+1),q−(1−(n+1)). π0. p−(n+1),q−(1−(n+1)). /. Bn. π. /. Znp,q p,q Zn+1. φ ∼ =. Zn. p−(n+1),q−(1−(n+1)). Zn+1. p+(n+1),q+(1−(n+1)). /. Bn+1. φ0 ∼ =. /. p,q Bn+1 Bnp,q. i0. p+(n+1),q+(1−(n+1)). i. p+(n+1),q+(1−(n+1)). Bn. /. Zn. p+(n+1),q+(1−(n+1)). Bn. p,q p,1 pero la composición anterior de i con π es cero, ya que Bn+1 ⊆ Zn+1 , es decir: 0 p,q Bn+1 Bnp,q. i. /. Znp,q Bnp,q. π. /. '. /. Znp,q p,q . Zn+1. ,. Znp,q Bnp,q.

(43) Capı́tulo 2. Sucesiones espectrales y parejas exactas. 33. Por lo tanto, dn+1 ◦ dn+1 = 0. p,q ∼ ∗,∗ Para probar que En+2 = H p,q (En+1 , dn+1 ) primero consideremos la Definición 2.2:. ∗,∗ H p,q (En+1 , dn+1 ) =. Ker(dn+1 ) , Im(dn+1 ). p,q ahora veamos cómo son Ker(dn+1 ) y Im(dn+1 ), como Zn+1 ⊆ Znp,q , y tomando en cuenta. la composición dn+1 ◦ dn+1 que acabamos de ver, entonces obtenemos lo siguiente: Ker(dn+1 ) = (iφπ)−1 (0) = π −1 φ−1 i−1 (0) = π −1 φ−1 (0) = π −1 (0) = = Im(dn+1 ) = = =. por ser φ un isomorfismo. p,q Zn+1. ∩ Znp,q Bnp,q p,q Zn+1 , Bnp,q p−(n+1),q−(1−(n+1)) 0 0 0 Zn (i φ π )( p−(n+1),q−(1−(n+1)) ) Bn p,q B i0 ( n+1 ) pues φ0 y π 0 son sobreyectivas Bnp,q p,q Bn+1 . Bnp,q. ∗,∗ Por lo tanto, por el tercer teorema de isomorfismo, H p,q (En+1 , dn+1 ) resulta ser:. H. p,q. ∗,∗ (En+1 , dn+1 ). p,q Zn+1 /Bnp,q = p,q Bn+1 /Bnp,q p,q Zn+1 ∼ = p,q Bn+1 p,q = En+2 .. ∗,∗ p,q , dn+1 ) = En+2 . Por lo tanto, H p,q (En+1. Definición 2.5. A partir de estas observaciones podemos dar las siguientes definiciones para algunos términos. Si x ∈ Zrp,q es distinto de cero, se dice que x sobrevive al r-ésimo nivel, El conjunto Brp,q ⊆ E2p,q se llama el conjunto de fronteras en el nivel r-ésimo,.

(44) Capı́tulo 2. Sucesiones espectrales y parejas exactas. 34. El módulo bigraduado Er∗,∗ = {Erp,q }p,q∈Z se llama r-término de la sucesión espectral, o la r-ésima página, \ p,q Sea Z∞ := Znp,q , n p,q Sea B∞ :=. [. Bnp,q ,. n p,q p,q p,q . /B∞ := Z∞ Definimos E∞. p,q se conoce como el submódulo de E2p,q formado por los elementos que El conjunto Z∞. sobreviven siempre, i.e, el conjunto de los elementos que son ciclos en todos los niveles. p,q El conjunto B∞ es el conjunto de los elementos que eventualmente se vuelven fronteras. p,q , que es el módulo que se obtiene después del cálculo infinito Nuestra meta es calcular E∞. de las homologı́as sucesivas. Definición 2.6. Una sucesión espectral {Er∗,∗ , dr }∞ r=1 se colapsa en el N -ésimo término si dr ≡ 0 para cada r ≥ N . Dada una sucesión espectral {Er∗,∗ , dr }∞ r=1 , vimos que esto implica que tenemos una colección de sucesiones exactas cortas como la siguiente, para cada p, q ∈ Z: 0. /. Zrp,q p,q Br−1. i. /. p,q Zr−1 p,q Br−1. dr. /. Brp+r,q+1−r p+r,q+1−r Br−1 /. 0,. de la cual es evidente que si dr ≡ 0 para cada r ≥ N , entonces la función i en la sucesión p,q anterior, es sobreyectiva. En este caso, podemos afirmar entonces que Zrp,q = Zr−1 , en p,q efecto, sabemos que siempre Zrp,q ⊆ Zr−1 , para probar la otra contención tomemos un p,q p,q p,q elemento y ∈ Zr−1 , entonces, si consideramos su clase en el módulo cociente y ∈ Zr−1 /Br−1 p,q tal que y la sobreyectividad de i, sabemos que debe existir un elemento x ∈ Zrp,q /Br−1 p,q p,q tal que x − y = b y y = x, y esto significa que x − y ∈ Br−1 , ası́ que existe un b ∈ Br−1 p,q ⊆ Zrp,q y por lo tanto y = x − b, dando como resultado que y ∈ Zrp,q . En conclusión Zr−1 p,q ası́ Zr−1 = Zrp,q para cada r ≥ N , entonces la torre de submódulos queda:. p,q p,q p,q p,q p,q p,q B2p,q ⊆ B3p,q ⊆ B4p,q ⊆ · · · ⊆ BN −1 = BN = · · · = B∞ ⊆ Z∞ = · · · = ZN = ZN −1 ⊆. · · · ⊆ Z4p,q ⊆ Z3p,q ⊆ Z2p,q ⊆ E2p,q , p,q p,q y concluimos que E∞ = EN = Erp,q para cada r ≥ N, p, q ∈ Z..

(45) Capı́tulo 2. Sucesiones espectrales y parejas exactas. 2.1.2.. 35. Módulos filtrados diferenciales. Ahora que podemos definir una sucesión espectral, estudiaremos cómo podemos construir una, a partir de un módulo diferencial graduado, tal como aparece en [6]. Definición 2.7. Una filtración (A, F ∗ ) en un R-módulo A es una familia de submódulos {F p A}p∈Z de la forma: · · · ⊆ F p+1 A ⊆ F p A ⊆ F p−1 A ⊆ · · · ⊆ A, o. cuando es filtración decreciente,. · · · ⊆ F p−1 A ⊆ F p A ⊆ F p+1 A ⊆ · · · ⊆ A,. cuando es filtración creciente.. Tomemos A = Z y la siguiente filtración: ( F pZ =. Z;. p ≤ 0,. p. 2 Z;. p > 0.. Entonces obtenemos la filtración: · · · ⊆ 8Z ⊆ 4Z ⊆ 2Z ⊆ Z, la cual se puede representar como la siguiente filtración decreciente F ∗ : · · · ⊆ F 3 A ⊆ F 2 A ⊆ F 1 A ⊆ F 0 A = A. A partir de una filtración como en la Definición 2.7, se puede asociar un módulo graduado al R-módulo A de la siguiente manera. Definición 2.8. El módulo graduado asociado a (A, F ∗ ) es ( E0p (A). :=. F p A/F p+1 A;. F ∗ decreciente,. F p A/F p−1 A;. F ∗ creciente.. Notemos que si tenemos (A, F ∗ ) un R-módulo filtrado, con F ∗ acotado por arriba y por abajo, es decir, F k A = {0} si k > n y F k A = A si k < 0, entonces la filtración F ∗ queda de la forma F ∗ : F n+1 = {0} ⊆ F n A ⊆ F n−1 A ⊆ · · · F 1 A ⊆ F 0 A ⊆ F −1 A = A,.

(46) Capı́tulo 2. Sucesiones espectrales y parejas exactas. 36. por lo tanto, su módulo graduado asociado E0∗ (A) es posiblemente no trivial en los grados k tal que −1 ≤ k ≤ n, por ejemplo, E0−2 (A) = F −2 A/F −1 A = A/A = {0}, E0−1 (A) = F −1 A/F 0 A = A/F 0 A, .. . E0n (A) = F n A/F n+1 A = F n A/{0}, E0n+1 (A) = F n+1 A/F n+2 A = {0}/{0} = {0}. Observación 2.1.2. Sea (A, F ∗ ) un R-módulo filtrado con F ∗ acotado por arriba y por abajo tal como acabamos de mencionar. Entonces obtenemos la siguiente serie de sucesiones exactas cortas: /. 0 /. 0. 0. /. {0}. i. F nA. i. F n−1 A. i. /. /. F n−1 A /. F n−2 A. /. =. F nA. /. π. /. π. /. F n A/{0} = E0n (A). 0, /. F n−1 A/F n A = E0n−1 (A). F n−2 A/F n−1 A = E0n−2 (A). /. 0,. 0,. .. . /. 0. 0. /. F 1A. i. F 0A. i. /. /. F 0A. π. F −1 A. π. /. /. F 0 A/F 1 A = E00 (A). /. 0,. F −1 A/F 0 A = E0−1 (A). /. 0.. En el mejor de los casos, cuando A es un espacio vectorial, esto nos permite recuperar la información de todo nuestro espacio, ya que cada una de estas sucesiones exactas cortas se escinde y entonces podemos calcular A como la siguiente suma directa mediante un.