Modelado de campo magnético a bajos números de inducción usando la ecuación diferencial de HelmholtzMagnetic field modeling at low induction numbers using the Helmholtz’s differential equation

Superior de Ensenada, Baja California

MR

Maestría en Ciencias

en Ciencias de la Tierra con orientación en Geofísica

Aplicada

Modelado de campo magnético a bajos números de

inducción usando la ecuación diferencial de

Helmholtz

Tesis

para cubrir parcialmente los requisitos necesarios para obtener el grado de Maestro en Ciencias

Presenta:

Beatriz Valdés Moreno

Beatriz Valdés Moreno

y aprobada por el siguiente Comité

Dr. Marco Antonio Pérez Flores Codirector de tesis

Dr. Jonás De Dios De Basabe Delgado

Codirector de tesis

Dr. Enrique Gómez Treviño

Dr. Miguel Ángel Alonso Arevalo

Dr. Juan García Abdeslem

Coordinador del Posgrado en Ciencias de la Tierra

Dra. Rufina Hernández Martínez

Directora de Estudios de Posgrado

Beatriz Valdés Moreno_©2018

Resumen de la tesis que presenta Beatriz Valdés Moreno como requisito parcial para la obtención del grado de Maestro en Ciencias en Ciencias de la Tierra con orientación en Geofísica Aplicada.

Modelado de campo magnético a bajos números de inducción usando la ecuación diferencial de Helmholtz

Resumen aprobado por:

Dr. Marco Antonio Pérez Flores Codirector de tesis

Dr. Jonás De Dios De Basabe Delgado

Codirector de tesis

Los métodos electromagnéticos en la geofísica incluyen una amplia variedad de técnicas. La técnica que se aborda en este trabajo consiste en colocar dos bobinas so-bre el suelo: una crea un campo magnético alterno que induce corrientes eléctricas en el subsuelo (fuente controlada) y la otra mide los efectos de estas corrientes (receptor magnético). Varias compañías han diseñado equipos para levantamientos electromag-néticos, entre ellasGeonics _{diseñó el EM31, EM34 y EM38 con el fin de realizar} medi-ciones de conductividad aparente a bajos números de inducción. Los equipos operan en dos modalidades: bobinas horizontales coplanares y bobinas verticales coplanares. El presente trabajo tiene como objetivo principal el modelado directo (conductividades aparentes) de cuerpos simples a partir de la solución de la ecuación de Helmholtz en el dominio de la frecuencia para ondas electromagnéticas en 3D, utilizando el método de diferencias finitas con mallado intercalado. La solución numérica del campo mag-nético fue comparada con (i) la solución analítica para un semi-espacio homogéneo, plano e isotrópico derivada a partir del potencial vectorial de Schelkunoff, (ii) resulta-dos publicaresulta-dos en artículos y finalmente (iii) conductividades aparentes a bajos y altos números de inducción. Las conductividades aparentes pueden ser negativas para cuer-pos conductores (a altos números de inducción) en el caso de las bobinas coplanares horizontales.

Abstract of the thesis presented by Beatriz Valdés Moreno as a partial requirement to obtain the Master of Science degree in Earth Sciences with orientation in Applied Geophysics.

Magnetic field modeling at low induction numbers using the Helmholtz’s differential equation

Abstract approved by:

Dr. Marco Antonio Pérez Flores Thesis Co-Director

Dr. Jonás De Dios De Basabe Delgado

Thesis Co-Director

Electromagnetic methods in geophysics include a wide variety of techniques. The technique used in this thesis consists of placing two coils on the ground: one creates an alternating magnetic field that induces electrical currents in the subsurface (contro-lled source) and the other measures the effects of these currents (magnetic receiver). Several companies have designed electromagnetic equipment, includingGeonics_wich comercializes the models EM31, EM34, and EM38 to carry out apparent conductivity measurements at low induction numbers. The equipment operates in two modalities: coplanar horizontal coils and coplanar vertical coils. The main objective of this thesis is to perform direct modeling (apparent conductivities) of the Helmholtz equation in the frequency domain for 3D electromagnetic waves using simple geometrical bodies for the geophysical model, using the finite difference method with a staggered grid. The numerical solution of the magnetic field was compared with (i) the analytical solution for a homogeneous, flat and isotropic semi-space derived from the vector potential of Schelkunoff, (ii) results published in articles and finally (iii) apparent conductivities at low and high numbers of induction. Apparent conductivities can be negative for con-ductive bodies (at high induction numbers) in the case of horizontal coplanar coils.

Dedicatoria

Agradecimientos

Al Centro de Investigación Científica y de Educación Superior de Ensenada, B. C.

por brindarme la oportunidad de estudiar en ésta institución.

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACyT) por brindarme el apoyo

económico para realizar mis estudios de maestría con un No. de becario: 587165

Al proyecto P04 "Monitoreo espacio-temporal de variables geofísicas en campos

geotérmicos", del Centro Mexicano de Innovación en Energía Geotérmica (CeMIEGeo)

por el apoyo económico brindado durante los últimos meses de mis estudios.

Al laboratorio de simulación numérica, modelación y visualización del CeMIEGeo,

por permitirme usar la estación de trabajo que se encuentra en el laboratorio.

A mis co-directores:

• El Dr. Marco Antonio Pérez Flores por compartir sus conocimientos, por sus con-sejos, apoyo, paciencia y comprensión durante el trabajo de esta tesis. También

permitirme formar parte de su grupo de trabajo del CeMIEGeo.

• El Dr. Jonás D. De Basabe Delgado por sus enseñanzas, apoyo y paciencia. Por su incentiva y apoyo para formar el capítulo estudiantil SEG-CICESE y también por

permitirme formar parte del grupo de trabajoRock Physics_.

Al Dr. Enrique Gómez Treviño por sus invaluables aportaciones a este trabajo, sus

enseñanzas y su apoyo.

Al Dr. Miguel Ángel Alonso Arevalo, por sus grandes aportaciones a este trabajo,

A Iván Zavala y Gabriel Mejía por su ayuda en los detalles técnicos del código.

A todos mis compañeros y amigos quienes de alguna manera me ayudaron y

for-maron parte de este proyecto: a Luis Ángel, Gerardo, Fernando, Aideliz, Jonathan, Iván,

Josué, Stephany, Gabriel, Adrián, Armando, Paúl, Raúl, Javier, Marco y Juventino.

A todo todo el personal técnico y administrativo por su ayuda y apoyo a lo largo de

mi estancia en Ensenada.

Y finalmente a mi familia: A mis padres Margarita y José, mis hermanos Jorge y Lalo,

y a mi abuelita quienes me han apoyado incondicionalmente toda mi vida ¡Muchas

Tabla de contenido

Página

Resumen en español . . . ii

Resumen en inglés . . . iii

Dedicatoria . . . iv

Agradecimientos . . . v

Lista de figuras . . . ix

Lista de tablas . . . xiv

Capítulo 1. Introducción 1.1. Objetivos . . . 3

1.1.1. Objetivo general . . . 3

1.1.2. Objetivos particulares . . . 3

1.2. Justificación . . . 3

Capítulo 2. Marco Teórico 2.1. Ecuaciones de Maxwell en el dominio del tiempo . . . 5

2.2. Relaciones constitutivas . . . 6

2.3. Ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia . . . 7

2.4. Ecuación de onda . . . 8

2.4.1. Ecuación de onda en el dominio del tiempo . . . 8

2.4.2. Ecuación de onda en el dominio de la frecuencia . . . 10

2.4.3. Profundidad de penetración . . . 11

2.5. Dominio de bajos números de inducción . . . 12

2.5.1. Aspectos generales . . . 12

2.5.2. Aproximación de la conductividad aparente . . . 14

2.5.3. Equipos que operan a bajos números de inducción . . . 19

Capítulo 3. Campos eléctricos y magnéticos analíticos sobre un semi-espacio homogéneo 3.1. Dipolo magnético en un espacio completo . . . 22

3.2. Dipolo magnético vertical sobre un semi-espacio homogéneo . . . 24

3.2.1. Campo eléctrico . . . 27

3.2.2. Campo magnético . . . 28

3.3. Dipolo magnético horizontal sobre un semi-espacio homogéneo . . . . 29

3.3.1. Campo eléctrico . . . 32

3.3.2. Campo magnético . . . 34

Capítulo 4. Implementación computacional 4.1. Diferencias finitas con mallado intercalado para las ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia . . . 36

4.1.2. Condiciones de frontera . . . 41

4.1.3. Sistema de ecuaciones y solución . . . 42

4.2. Cálculo del campo magnético . . . 43

4.3. Error de truncamiento . . . 44

Capítulo 5. Verificación de la solución numérica 5.1. Artículo de Newman y Alumbaugh (1995) . . . 47

5.1.1. Dipolo magnético vertical . . . 48

5.1.2. Dipolo magnético horizontal . . . 49

5.2. Soluciones analíticas . . . 50

5.2.1. Campo magnético del dipolo magnético vertical . . . 50

5.2.1.1. Condición de frontera de Dirichlet . . . 51

5.2.1.2. Condición de frontera de Neumann . . . 52

5.2.2. Campo magnético del dipolo magnético horizontal . . . 53

5.2.2.1. Condición de frontera de Dirichlet . . . 53

5.2.2.2. Condición de frontera de Neumann . . . 54

Capítulo 6. Conductividades aparentes sobre modelos conocidos 6.1. Cuerpo conductor somero . . . 57

6.2. Modelos dentro de un semi-espacio común de un cuerpo muy con-ductor y un resistivo. . . 61

6.2.1. Cuerpo conductor . . . 61

6.2.2. Cuerpo resistivo . . . 65

6.3. Conductores . . . 69

Capítulo 7. Conclusiones y Discusión 7.1. Conclusiones . . . 73

7.1.1. Implementación computacional . . . 73

7.1.2. Anomalías de Conductividad aparente . . . 74

7.2. Discusión . . . 75

Literatura citada . . . 77

Lista de figuras

Figura Página

1. Primer paso: Se inyecta corriente alterna que circula por la bobina

trans-misora (modificada de Selepeng, 2016). . . 12

2. Segundo paso: Se genera un campo magnético H_{p (modificada de} Sele-peng, 2016). . . 13

3. Tercer paso: El campo magnético primario induce una corriente eléctrica dentro en la superficie del cuerpo conductor (modificada de Selepeng, 2016). . . 13

4. Cuarto paso: las corrientes inducidas en el cuerpo conductor, generan un campo magnético secundario (modificada de Selepeng, 2016). . . 14

5. Modalidades de operación de los equipos EM34 y EM38, a) dipolo nético horizontal (DMH) o bobinas coplanares verticales y b) dipolo mag-nético vertical (DMV) o bobinas coplanares horizontales (modificada de Selepeng, 2016). . . 15

6. La componente imaginaria del cociente de los campos magnéticos Hp y H_{t del dipolo magnético vertical es proporcional al número de inducción} para valores menores a 1 y la componente real es igual a 1. . . 18

7. La componente imaginaria del cociente de los campos magnéticos H_{p y} H_{tdel dipolo magnético horizontal es proporcional al número de inducción} para valores menores a 1 y la componente real es igual a 1. . . 18

8. Consola transmisora del equipo EM34-3. . . 20

9. Consola receptora del equipo EM34-3. . . 20

10. Bobinas del equipo EM34-3. . . 21

11. Dipolo magnético vertical sobre una tierra homogénea (tomada de Méndez-Delgado, 1997). . . 25

12. Dipolo magnético horizontal sobre una tierra homogénea (tomada de Méndez-Delgado, 1997). . . 29

13. Mallado de Yee, donde muestra las posiciones asignadas en cada nodo para los campos eléctricos y magnéticos. Tomado de Jaysavalet al. _{(2015). 37} 14. Cubos de conductividades. a) Conductividad asociada al campo eléctrico Es +1 2,j,k , b) conductividad asociada al campo eléctrico Esy ,j+1 2,k , c) conducti-vidad asociada al campo eléctrico Esz ,j,k+1 2 y d) posiciones de los campos eléctricos dentro de los cubos de conductividad. . . 41

15. Comparación entre el tiempo de cómputo (en minutos) y el número de procesadores para un modelo de 80 nodos en cada dirección. . . 43

Figura Página

17. Número de nodos contra el RMS de un DMV con la condición de frontera de tipo Neumann. . . 46 18. Dipolo magnético vertical y horizontal sobre un semiespacio de

conducti-vidad 0.01(S/m)_{. Modificado de Newman y Alumbaugh (1995). . . 47} 19. Comparación del campo magnético vertical para un DMV; en el inciso (a)

la respuesta real e imaginaria 1-D es calculada con ecuaciones analíticas y la 3-D es con la solución numérica; en el inciso (b) se encuentran nuestros resultados de la solución numérica 3-D. . . 48

20. Comparación del campo magnético horizontal para un DMV; en el inciso (a) la respuesta 1-D es calculada con ecuaciones analíticas y la 3-D es con la solución numérica; en el inciso (b) se encuentran nuestros resultados de la solución numérica 3-D. . . 49 21. Comparación del campo magnético vertical para un DMH; en el inciso (a)

muestra la solución analítica 1-D y la solución numérica 3-D; y el inciso (b) muestra nuestros resultados de la solución numérica 3-D. . . 49 22. Comparación del campo magnético horizontal para un DMH; en el inciso

(a) muestra la solución análítica 1-D y la solución numérica 3-D; y el inciso (b) muestra nuestros resultados de la solución numérica 3-D. . . 50

23. Comparación numérica y analítica de la parte imaginaria del campo mag-nético vertical para un DMV. . . 51 24. Comparación numérica y analítica de la parte real del campo magnético

vertical para un DMV. . . 51 25. Comparación numérica y analítica de la parte imaginaria del campo

mag-nético vertical para un DMV. . . 52 26. Comparación numérica y analítica de la parte real del campo magnético

vertical para un DMV. . . 53

27. Comparación numérica y analítica de la parte imaginaria del campo mag-nético vertical para un DMH. . . 54

28. Comparación numérica y analítica de la parte real del campo magnético vertical para un DMH. . . 54

29. Comparación numérica y analítica de la parte imaginaria del campo mag-nético vertical para un DMH. . . 55 30. Comparación numérica y analítica de la parte real del campo magnético

vertical para un DMH. . . 55 31. En el inciso (a) se encuentra la vista de perfil del modelo de un cuerpo

conductor y en el (b) la vista en planta del modelo. . . 57 32. Anomalías producidas por el cuerpo a 409600, 102400, 25600, 6400,

Figura Página

33. Anomalías a diferentes frecuencias producidas por el cuerpo, utilizando un dipolo magnético horizontal con una distancia fuente-receptor de 10m_{. 59} 34. Modelo de un cuerpo muy conductor enterrado a 1m _{de la superficie. En}

(a) la vista de perfil del modelo y en (b) la vista en planta. . . 61 35. Anomalía producida por un cuerpo conductor a diferentes frecuencias.

La fuente utilizada es un dipolo magnético vertical y la distancia fuente-receptor es 10m_{. . . 62} 36. Anomalía producida por un cuerpo conductor a diferentes frecuencias.

La fuente utilizada es un dipolo magnético horizontal orientado en y_{. La} distancia fuente-receptor es 10m_{. . . 64} 37. Modelo de un cuerpo resistivo enterrado a 1 m _{de la superficie. En (a) la}

vista de perfil del modelo y en (b) la vista en planta. . . 65 38. Anomalía a diferentes frecuencias de un cuerpo resistivo. La fuente es un

dipolo magnético vertical y la distancia fuente-receptor es 10m_{. . . 66} 39. Anomalía a diferentes frecuencias de un cuerpo resistivo. La fuente es un

DMH orientado eny_{. La distancia fuente-receptor es 10}m_{. . . 68} 40. Modelo de un cuerpo conductor superficial, en (a) se encuentra la vista

de perfil del modelo y en (b) la vista en planta. . . 70

41. Anomalía a 6400Hz _{de un cuerpo muy conductor. La fuente es un dipolo} magnético vertical y la distancia fuente-receptor es 10m_{. . . 71}

42. Anomalía a 6400Hz _{de un cuerpo muy conductor. La fuente es un dipolo} magnético horizontal y la distancia fuente-receptor es 10m_{. . . 72}

43. El recuadro negro indica la posición del cuerpo conductor y el punto negro es la fuente. En a) Vista en YZ _{en x=195}m_{, b) Vista en}XZ _{en y=195m y} c) Vista enXY _{en z= 0} m_{. . . 82}

44. El recuadro negro indica la posición del cuerpo conductor y el punto negro es la fuente. En a) Vista en YZ _{en x=195}m_{, b) Vista en}XZ _{en y=195m y} c) Vista enXY _{en z= 0} m_{. . . 83}

45. El recuadro negro indica la posición del cuerpo conductor y el punto negro es la fuente. En a) Vista en YZ _{en x=195}m_{, b) Vista en}XZ _{en y=195m y} c) Vista enXY _{en z= 0} m_{. . . 84} 46. El recuadro negro indica la posición del cuerpo conductor y el punto negro

es la fuente. En a) Vista en YZ _{en x=195}m_{, b) Vista en}XZ _{en y=195m y} c) Vista enXY _{en z= 0} m_{. . . 85} 47. El recuadro negro indica la posición del cuerpo conductor y el punto negro

Figura Página

48. El recuadro negro indica la posición del cuerpo conductor y el punto negro es la fuente. En a) Vista en YZ _{en x=195}m_{, b) Vista en}XZ _{en y=195m y} c) Vista enXY _{en z= 0} m_{. . . 87}

49. El recuadro negro indica la posición del cuerpo conductor y el punto negro es la fuente. En a) Vista en YZ _{en x=195}m_{, b) Vista en}XZ _{en y=195m y} c) Vista enXY _{en z= 0} m_{. . . 88}

50. El recuadro negro indica la posición del cuerpo conductor y el punto negro es la fuente. En a) Vista en YZ _{en x=195}m_{, b) Vista en}XZ _{en y=195m y} c) Vista enXY _{en z= 0} m_{. . . 89}

51. El recuadro negro indica la posición del cuerpo conductor y el punto negro es la fuente. En a) Vista en YZ _{en x=195}m_{, b) Vista en}XZ _{en y=195m y} c) Vista enXY _{en z= 0} m_{. . . 90} 52. El recuadro negro indica la posición del cuerpo conductor y el punto negro

es la fuente. En a) Vista en YZ _{en x=195}m_{, b) Vista en}XZ _{en y=195m y} c) Vista enXY _{en z= 0} m_{. . . 91} 53. El recuadro negro indica la posición del cuerpo conductor y el punto negro

es la fuente. En a) Vista en YZ _{en x=195}m_{, b) Vista en}XZ _{en y=195m y} c) Vista enXY _{en z= 0} m_{. . . 92}

54. El recuadro negro indica la posición del cuerpo conductor y el punto negro es la fuente. En a) Vista en YZ _{en x=195}m_{, b) Vista en}XZ _{en y=195m y} c) Vista enXY _{en z= 0} m_{. . . 93}

55. El recuadro negro indica la posición del cuerpo conductor y el punto negro es la fuente. En a) Vista en YZ _{en x=195}m_{, b) Vista en}XZ _{en y=195m y} c) Vista enXY _{en z= 0} m_{. . . 94}

56. El recuadro negro indica la posición del cuerpo conductor y el punto negro es la fuente. En a) Vista en YZ _{en x=195}m_{, b) Vista en}XZ _{en y=195m y} c) Vista enXY _{en z= 0} m_{. . . 95} 57. El recuadro negro indica la posición del cuerpo conductor y el punto negro

es la fuente. En a) Vista en YZ _{en x=195}m_{, b) Vista en}XZ _{en y=195m y} c) Vista enXY _{en z= 0} m_{. . . 96} 58. El recuadro negro indica la posición del cuerpo conductor y el punto negro

es la fuente. En a) Vista en YZ _{en x=195}m_{, b) Vista en}XZ _{en y=195m y} c) Vista enXY _{en z= 0} m_{. . . 97} 59. El recuadro negro indica la posición del cuerpo conductor y el punto negro

es la fuente. En a) Vista en YZ _{en x=195}m_{, b) Vista en}XZ _{en y=195m y} c) Vista enXY _{en z= 0} m_{. . . 98}

Figura Página

61. El recuadro negro indica la posición del cuerpo conductor y el punto negro es la fuente. En a) Vista en YZ _{en x=195}m_{, b) Vista en}XZ _{en y=195m y} c) Vista enXY _{en z= 0} m_{. . . 100}

62. El recuadro negro indica la posición del cuerpo conductor y el punto negro es la fuente. En a) Vista en YZ _{en x=195}m_{, b) Vista en}XZ _{en y=195m y} c) Vista enXY _{en z= 0} m_{. . . 101}

63. El recuadro negro indica la posición del cuerpo conductor y el punto negro es la fuente. En a) Vista en YZ _{en x=195}m_{, b) Vista en}XZ _{en y=195m y} c) Vista enXY _{en z= 0} m_{. . . 102}

64. El recuadro negro indica la posición del cuerpo conductor y el punto negro es la fuente. En a) Vista en YZ _{en x=195}m_{, b) Vista en}XZ _{en y=195m y} c) Vista enXY _{en z= 0} m_{. . . 103} 65. El recuadro negro indica la posición del cuerpo conductor y el punto negro

es la fuente. En a) Vista en YZ _{en x=195}m_{, b) Vista en}XZ _{en y=195m y} c) Vista enXY _{en z= 0} m_{. . . 104} 66. El recuadro negro indica la posición del cuerpo conductor y el punto negro

Lista de tablas

Tabla Página

1. Especificaciones de los equipos EM34, EM31 y EM38, con sus res-pectivas frecuencias, distancias de operación entre la fuente y el receptor y números de inducción (modificada de Pérez-Floreset al._, 1995). . . 19

2. Especificaciones del equipo EM34 (Tomada de Geonics Limited (1985)). 21

3. Número de nodos en cada dirección y el incremento (regular e igual en las tres direcciones) . . . 45 4. Números de inducción a diferentes frecuencias del modelo. La

se-gunda columna corresponde a los números de inducción del semi-espacio homogéneo y la tercer columna a los del cuerpo. . . 57

5. Números de inducción a diferentes frecuencias del modelo. La se-gunda columna corresponde a los números de inducción del semi-espacio homogéneo y la tercer columna a los del cuerpo conductor. . 61

Capítulo 1.

Introducción

Los métodos geofísicos se utilizan para adquirir información sobre el subsuelo. Di-cha información no se puede obtener con observación geológica superficial (Swift, 1987). En particular, a partir de los métodos electromagnéticos se puede obtener in-formación de las propiedades eléctricas como: la conductividad eléctrica, la permea-bilidad eléctrica y la susceptipermea-bilidad magnética.

Los métodos electromagnéticos en la geofísica incluyen una amplia variedad de técnicas, aplicaciones y procedimientos de interpretación. Cada técnica involucra la medición de la parte real y/o imaginaria del campo eléctrico o magnético medido en un “receptor electromagnético” debido a una fuente natural o bien una artificial, como puede ser un “transmisor electromagnético” (Swift, 1987).

La técnica que se aborda en ésta tesis consiste en colocar dos bobinas sobre el suelo: una crea un campo magnético alterno que induce corrientes eléctricas en el subsuelo y la otra mide los efectos de éstas corrientes. Una característica atractiva de éste método es que la profundidad de penetración no depende de la frecuencia, los sondeos son puramente geométricos. La profundidad de penetración solo depende de la separación entre el transmisor y el receptor (Gómez-Treviñoet al._{, 2002).}

Las mediciones de campos electromagnéticos son interpretadas para encontrar la estructura que explique los datos. Por lo tanto, es necesario conocer la respuesta de las estructuras.

El modelado o problema directo consiste en calcular la respuesta de una estruc-tura geoeléctrica para un determinado equipo de medición. El modelado directo para modelos unidimensionales (modelos de capas) ha sido estudiado por muchos años, sin embargo calcular la respuesta del campo eléctrico y magnético de un modelo bi-dimensional o tribi-dimensional es mucho más complicado. Las soluciones numéricas se logran a partir de aproximaciones de la ecuación integral y la ecuación diferencial de Maxwell (Hohmann, 1987).

calcula la dispersión de los campos electromagnéticos debido a una inhomogeneidad. El campo total es la suma del campo generado por la fuente más el campo producido por el dispersor (Méndez-Delgadoet al._{, 1999).}

El modelado directo tridimensional con la ecuación integral ha sido abordado por algunos autores como Hohmann (1975) y Méndez-Delgado et al. _{(1999). La ventaja} principal es que sólo se necesita calcular el campo eléctrico en las inhomogeneida-des, en lugar de hacerlo en todo el espacio. Sin embargo, es difícil de resolver con estructuras complejas.

La ecuación diferencial para los campos eléctrico y magnético puede ser resuelta con métodos numéricos como diferencias finitas (DF) o elementos finitos (EF).

Actualmente existen trabajos de modelado directo tridimensional que aproximan la solución de la ecuación diferencial en el dominio del tiempo (Hohmann, 1975; Ad-hidjaja y Hohmann, 1989; Maaø, 2007) y en el dominio de la frecuencia (Newman y Alumbaugh, 1995; Avdeev et al._{, 1998; Haber} et al._{, 2000; Haber y Ascher, 2001;} Champagne et al._{, 2001; Streich, 2009; Jaysaval} et al._{, 2015), aplicados a métodos} electromagnéticos aéreos, terrestres y marinos.

Wait (1962) fue el primero en usar la aproximación a bajos números de inducción para prospección terrestre.Geonics Limited_{desarrolló instrumentos que miden la} con-ductividad aparente y McNeill (1980a) explica su funcionamiento.

Méndez-Delgado et al._{(1999) usó la ecuación integral aproximada para el} modela-do directo a bajos números de inducción. Para el caso de la inversión bidimensional y tridimensional aproximada, el problema ha sido abordado por Esparza y Gómez-Treviño (1987), Gómez-Treviño (1987), Pérez-Flores et al. _{(2001), Gómez-Treviño} et al. ₍₂₀₀₂₎ y Pérez-Floreset al._(2012).

1.1. Objetivos

1.1.1. Objetivo general

Resolver la ecuación de Helmholtz en el dominio de la frecuencia para ondas elec-tromagnéticas en 3D para un sistema de bobinas coplanares y obtener curvas de con-ductividad aparente para cuerpos tridimensionales.

1.1.2. Objetivos particulares

1. Implementar el método de diferencias finitas con mallado intercalado para resol-ver la ecuación de Helmholtz en el dominio de la frecuencia.

2. Implementar condiciones de frontera de tipo Dirichlet y Neumann en la ecuación de Helmholtz.

3. Elaborar curvas de conductividad aparente para cuerpos tridimensionales a bajos números de inducción utilizando como fuente un dipolo magnético vertical y un dipolo magnético horizontal.

4. Elaborar curvas de conductividad aparente para cuerpos tridimensionales a altos números de inducción utilizando como fuente un dipolo magnético vertical y un dipolo magnético horizontal.

1.2. Justificación

Actualmente la única forma que se ha utilizado para obtener el campo magnético y eléctrico de sistemas de bobinas coplanares es a partir de la ecuación integral. No se ha usado la ecuación diferencial a bajos números de inducción para modelado e inversión.

La ecuación diferencial es más fácil de implementar para modelar la respuesta es-tructuras geológicas complejas en 3D comparada con la ecuación integral (Hohmann, 1987). Además ha sido muy exitosa para aplicaciones en 2D y 3D.

Capítulo 2.

Marco Teórico

2.1. Ecuaciones de Maxwell en el dominio del tiempo

Un campo electromagnético puede definirse por cuatro campos vectoriales,e_,b_,d

yh_{, donde:}

e_{es la intensidad del campo eléctrico en}V / m_,b_{es la inducción magnética en}Wb/ m2 o Tes_, d _{es el desplazamiento dieléctrico o densidad de flujo eléctrico en} C/ m2 _y h

es la intensidad de campo magnético enA/ m_{(Ward y Hohmann, 1987).}

Las ecuaciones de Maxwell que describen el comportamiento del fenómeno elec-tromagnético en el dominio del tiempo están definidas como:

∇×e+

∂b

∂t =0

, ₍₁₎

∇×h₋

∂d

∂t =

j, ₍₂₎

∇·d=q ₍₃₎

y

∇·b=_{0 (4)}

donde j_{es la densidad de corriente eléctrica en} A/ m2_{, y} q _{es la densidad de carga} eléctrica enC/ m3 _{(Ward y Hohmann, 1987).}

El significado físico de las ecuaciones 1-4 es el siguiente:

• La ley de Faraday (ecuación 1) muestra que un campo magnético variando en el tiempo induce una campo eléctrico que circula a su alrededor y además es proporcional a la tasa negativa de cambio del flujo magnético.

• La ley de Ampere (ecuación 2) indica que la densidad de flujo eléctrico variando en el tiempo genera un campo magnético que circula alrededor de d_.

• La ley de Gauss para el campo eléctrico (ecuación 3) indica que la divergencia del vector d _{sobre una región (o volumen) del espacio es igual a la cantidad de}

• La ley de Gauss para el magnetismo (ecuación 4) implica que: a) no existen car-gas magnéticas o monopolos magnéticos y b) la divergencia deb_{siempre es cero}

en cualquier volumen.

2.2. Relaciones constitutivas

Las relaciones constitutivas en el dominio de la frecuencia nos permiten relacionar los campos eléctricos y magnéticos con las propiedades físicas del medio.

Las propiedades físicas de un medio en términos del campo eléctrico y magnético son expresadas como

B=μH, ₍₅₎

D=ϵE ₍₆₎

y

J=σE. ₍₇₎

en las cuales ϵ _{es la permitividad dieléctrica en} F/ m_, μ _{es la permeabilidad} mag-nético en N/ A2_y σ _{es la conductividad eléctrica en} S/ m_{; y la inducción magnética} B_,

la intensidad de campo magnético H_{, el desplazamiento dielétrico} D_{, la intensidad}

de campo eléctrico E _{y la densidad de corriente eléctrica} J _{están en el dominio de la}

frecuencia.

Las propiedades físicas del medio dependen de la frecuencia angular ω_{, de la} posi-ciónr_{, de la temperatura}T _{y de la presión}P_{; y son aplicables para medios} anisotrópi-cos.

Para simplificar el análisis de las propiedades, suponemos lo siguiente:

1. Todos los medios son lineales, homogéneos e isotrópicos.

2. Las propiedades eléctricas son independientes del tiempo, temperatura y presión.

3. La permeabilidad magnética μ _{es igual a la del espacio libre, es decir} μ= μ

0. La

En algunos casos como estudios de exploración geotérmica y de la corteza profunda los efectos de la presión y la temperatura tienen que ser considerados. Pero en la mayoría de los casos podrían no ser considerados (Ward y Hohmann, 1987).

2.3. Ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia

Si a las ecuaciones de Maxwell les aplicamos la transformada de Fourier (en una dimensión), obtenemos las ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia.

La transformada de Fourier directa en una dimensión está definida por

F(ω) =

Z ∞

−∞

ƒ(t)e−ωtdt ₍₈₎

y la transformada de Fourier inversa es

ƒ(t) = 1 2π

Z ∞

−∞

F(ω)eωtdω. ₍₉₎

Aplicando la transformada de Fourier directa a la ecuación 1 obtenemos

Z ∞

−∞

(∇×e)e−ωtdt=_∇×E=

Z ∞

−∞

−∂b

∂t

e−ωtdt, ₍₁₀₎

donde E _{es el campo eléctrico en el dominio de la frecuencia. Si utilizamos la}

pro-piedad de derivación de la transformada de Fourier

F0(ω) =ωF(ω), ₍₁₁₎

entonces la ecuación 10 se puede escribir como

∇×E=₋ωB. ₍₁₂₎

∇×E=₋ωμH. ₍₁₃₎

La ecuación 13 es la Ley de Faraday en el dominio de la frecuencia.

Para obtener la ecuación de Ampere, aplicamos la transformada de Fourier directa y la propiedad de derivación en la ecuación 2, de esta manera

∇×H₋ωD=J. ₍₁₄₎

Sustituyendo las relaciones de las ecuaciones 6 y 7, tenemos

∇×H= (σ+ωϵ)E. ₍₁₅₎

2.4. Ecuación de onda

2.4.1. Ecuación de onda en el dominio del tiempo

A partir de las ecuaciones de Maxwell en el dominio del tiempo, se obtiene fácil-mente la ecuación de onda. Aplicando el operador rotacional a las ecuaciones 1 y 2, tenemos

∇×(∇×e) +_{∇× ∂b}

∂t

=0 (16)

y

∇×(∇×h)_{−∇× ∂d}

∂t

=∇×j. ₍₁₇₎

Las relaciones constitutivas en el dominio del tiempo, restringidas a casos no dis-persivos, dondeμ_,ϵ_yσ _{son independientes del tiempo, están definidas como}

d=ϵe,

y

j=σe.

Ahora sustituimos estás relaciones en las ecuaciones 16 y 17 para obtener

∇×(∇×e) +_∇×

_∂

∂t( μh)

=0 (18)

y

∇×(∇×h)_−∇×

_∂

∂t( ϵe)

=∇×(σe). ₍₁₉₎

Ordenando los términos, obtenemos

∇×(∇×e) +μ ∂

∂t(∇×

h) =_{0 (20)}

y

∇×(∇×h)₋ϵ ∂

∂t(∇×

e) =σ_∇×e. ₍₂₁₎

Los valores de ∇×h _{y ∇×}e _{son la ley de Ampere y la ley de Faraday}

respectiva-mente, por lo tanto las ecuaciones 20 y 21 son reescritas como

∇×(∇×e) +μϵ ∂2e

∂t2 + μσ

∂e

∂t =0 (22)

y

∇×(∇×h) +μϵ ∂2h

∂t2 +μσ

∂h

∂t =0

. ₍₂₃₎

La identidad

∇×(∇×) =_∇∇·_−∇2

nos permite expandir el termino del lado izquierdo de las ecuaciones 22 y 23. Además conociendo que ∇·e =_{0 y ∇·}h=_{0, para regiones homogéneas, las ecuaciones 22 y}

23 ahora son

∇2e₋μϵ ∂2e

∂t2 −μσ

∂e

y

∇2h₋μϵ ∂2h

∂t2 −μσ

∂h

∂t =0

. ₍₂₅₎

De esta manera, las ecuaciones 24 y 25 son las ecuaciones de onda para el campo eléctrico y magnético en el dominio del tiempo.

2.4.2. Ecuación de onda en el dominio de la frecuencia

Las ecuaciones de onda en el dominio de la frecuencia se obtienen aplicando la transformada de Fourier a las ecuaciones en el dominio del tiempo (24 y 25). Por lo tanto

∇2E+ (μϵω2₋μσω)E=_{0 (26)}

y

∇2H+ (μϵω2₋μσω)H=_{0 (27)}

o bien

∇2E+k2E=_{0 (28)}

y

∇2H+k2H=_{0 (29)}

donde

k2=μϵω2₋μσω. ₍₃₀₎

Las ecuaciones 26-29 también son conocidas como las ecuaciones de Helmholtz para los campos eléctrico y magnético. En general, para materiales terrestres y fre-cuencias menores a 105 Hz_{, se considera que} μϵω2 << μσω_{, por lo tanto las} corrien-tes de desplazamiento son muy pequeñas en comparación con las de conducción y pueden ser despreciadas.

∇2e₋μσ ∂e

∂t =0

, ₍₃₁₎

∇2h₋μσ ∂h

∂t =0

, ₍₃₂₎

∇2E₋μσωE=_{0 (33)}

y

∇2H₋μσωH=₀. ₍₃₄₎

Para solucionar la ecuación de onda electromagnética entre medios homogéneos necesitamos las condiciones de frontera apropiadas, dichas condiciones se derivan de la forma integral de las ecuaciones de Maxwell y son enumeradas a continuación:

i ) B normal. La componente normalB_{n deB es continua en la frontera que separa} los medios 1 y 2. Es decir Bn₁=Bn₂.

ii ) D normal. La componente normal Dn de Des discontinua en la frontera debido

a la acumulación de carga superficial q_{s. Por lo tanto} D_n2−D_n1=q_s.

iii ) E tangencial. La componente tangencialE_{t de Ees continua en la frontera}E_t1= Et₂.

iv ) H tangencial. La componente tangencial Ht de H es continua en la frontera, si

no hay corriente superficial. Es decir, H_t1=H_t2.

v ) Densidad de corriente J. La componente normal J_{n de Jes continua en la} fron-tera, J_n1=J_n2.

2.4.3. Profundidad de penetración

La profundidad de penetración oskin depth_{es la distancia a la cual la amplitud del} campo es reducida 1e (aproximadamente a un 37 % ) de su valor en superficie y está

definida como

δ=

v u

t 2

ωμσ

Si consideramos queμ=μ

0 la ecuación 35 es

δ=₅₀₃.₈

v u

t 1

σƒ

. ₍₃₆₎

En la ecuación 36, observamos que la profundidad de penetración para una tierra homogénea depende de dos parámetros: conductividad y frecuencia.

En un medio con conductividades altas el skin depth _{será pequeño, lo mismo} su-cederá si manejamos frecuencias altas. Para medios más resistivos utilizando bajas frecuencias elskin depth _{será mayor, es decir, la onda requerirá una mayor} profundi-dad para amortiguarse al 37 %.

2.5. Dominio de bajos números de inducción

2.5.1. Aspectos generales

El método electromagnético a bajos números de inducción consiste en colocar dos bobinas, una de ellas actúa como transmisor o fuente y la otra como receptor. En las Figuras 1, 2, 3 y 4 se muestra el proceso de inducción electromagnética.

Una corriente eléctrica alterna que circula por la bobina transmisora, de acuerdo a la ley de Ampere (Figura 1), ésta variación del campo eléctrico genera un campo magnético (Figura 2). Este campo generado es conocido como el campo magnético primario (H_p).

Figura 2.Segundo paso: Se genera un campo magnéticoH_{p(modificada de Selepeng, 2016).}

En presencia de un cuerpo conductor, elH_{pvariante en el tiempo genera corrientes}

inducidas de acuerdo a la ley de Faraday (Figura 3).

Figura 3.Tercer paso: El campo magnético primario induce una corriente eléctrica dentro en la superficie del cuerpo conductor (modificada de Selepeng, 2016).

El campo eléctrico, generado por las corrientes inducidas produce un campo mag-nético secundario (H_{s). En la bobina receptora se registrará el campo magnético total}

Figura 4.Cuarto paso: las corrientes inducidas en el cuerpo conductor, generan un campo magnético secundario (modificada de Selepeng, 2016).

El campo magnético secundario H_{s es una función complicada que depende del}

espaciamiento entre las bobinass_{, la frecuencia operacional} ƒ _{y la conductividad del} suelo σ_{. Bajo ciertas consideraciones (que serán definidas posteriormente), el} H_s

re-sulta en una función simple de éstas variables (McNeill, 1980a).

2.5.2. Aproximación de la conductividad aparente

McNeill (1980a), indica que la cantidad medida en los equipos diseñados por Geo-nics Ltd. _{es el cociente del campo magnético} H_{s cuando ambas bobinas descansan}

en la superficie de una tierra homogénea de conductividad σ _{y el campo magnético} primarioH_p.

Geonics Ltd. _{diseñó equipos como el EM31, EM34 y EM38 que operan a bajos} nú-meros de inducción. Dada la demanda, actualmente existen otras marcas de equipos que trabajan en el mismo dominio.

Figura 5.Modalidades de operación de los equipos EM34 y EM38, a) dipolo magnético horizontal (DMH) o bobinas coplanares verticales y b) dipolo magnético vertical (DMV) o bobinas coplanares horizontales (modificada de Selepeng, 2016).

La bobina receptora en el DMV mide la componente vertical del campo magnético y la bobina receptora del DMH mide la componente horizontal del campo magnético paralela a la bobina transmisora.

Consideremos las configuraciones de bobinas de la figura 5. Una corriente eléctrica alterna circula por la bobina transmisora a una frecuencia ƒ _{y las bobinas se} encuen-tran separadas a una distancia s_{. La medición en la bobina receptora será el campo} magnético primario y el campo magnético secundario.

La expresión del cociente de los campos magnéticos H_{t(campo total) y} H_{p para el} dipolo magnético vertical (McNeill, 1980a) es

_H

t

H_p

V

= 2

(γs)2

9−[9+9γs+₄(γs)2+ (γs)3]e−γs ₍₃₇₎

y para el dipolo magnético horizontal

_H

t

Hp

H =2

1− 3

(γs)2 + [3+3γs+ (γs) 2_] e

−γs

(γs)2

(38)

donde

γ=Æωμ

0σ.

ser simplificadas. Para simplificarlas expresamos el skin depth _{en términos de} γ_{, de} esta manera δ= v u t 2 ωμ 0σ = p 2 γ , ₍₃₉₎ entonces

γs=p₂B. ₍₄₀₎

Donde B_{es el parámetro adimensional conocido como número de inducción y está} definido como

B=sÆπƒ μ

0σ (41)

Si hacemosγs=_{, las ecuación 37 y 38 quedan}

_H t Hp V = 2

2[9−(9+9

+₄2+3)e−] ₍₄₂₎

y para el dipolo magnético horizontal

_H t Hp H =2

1− 3

2 + (3+3

+2) e−

2

. ₍₄₃₎

La serie de MacLaurin parae− _{está dada por}

e−=

∞ X

p₌₀

n

n_!(−1)

n

Sustituyendo la serie dee−

en la ecuación 42

_H t Hp V = 2 2 –

9−(9+9+₄2+3)

‚

1−+ 2 2 − 3 6 + 4 24 − 5 120 + ... Œ™ = 2 2 9−

9− 1

2

2₋ 1 8

4+ 2 15

5₋...

=1+ 1 4

2₋ 4 15

3+... ₍₄₅₎

Sustituyendo la serie en la ecuación 43

_H t Hp H =2 –

1− 3

2 + (3+3

+2) 1 2

‚

1−+ 2 2 − 3 6 + 4 24 − 5 120 + ... Œ™ =2

1− 3

2 +

1 2

3− 1

2

2+ 1 8

4₋ 1 15 5 =2 1 2 + 1 8

2₋ 1 15

3+...

=1+ 1 4

2₋ 2 15

3+... ₍₄₆₎

A bajos números de inducción (con γs <<_{1) los términos de tercer orden en} ade-lante son muy pequeños y por lo tanto son despreciables, de esta manera

_H t H_p V = _H t H_p H

=1+ 1 4

2=₁+ ( γs)2

4 =1+ ωμ

0σs2

4

. ₍₄₇₎

Figura 6.La componente imaginaria del cociente de los campos magnéticosHpyHt del dipolo

magné-tico vertical es proporcional al número de inducción para valores menores a 1 y la componente real es igual a 1.

Figura 7.La componente imaginaria del cociente de los campos magnéticosHpyHt del dipolo

magné-tico horizontal es proporcional al número de inducción para valores menores a 1 y la componente real es igual a 1.

σ_= 4 ωμs2

_H

s

H_p

m

. ₍₄₈₎

El cociente del H_{s y el} H_{p corresponde a la parte imaginaria y se relaciona} directa-mente con la conductividad del medio.

2.5.3. Equipos que operan a bajos números de inducción

Los equipos diseñados por Geonics Ltd. _{trabajan con la condición a bajos} núme-ros de inducción los cuales operan a determinadas frecuencias y distancias fuente-receptor (ver Tabla 1).

Tabla 1.Especificaciones de los equipos EM34, EM31 y EM38, con sus respectivas frecuencias, distancias de operación entre la fuente y el receptor y números de inducción (modificada de Pérez-Floreset al._, 1995).

Equipo Frecuencia (KHz) Distancia (m) Número de inducción conσ=₀.₀₁€S

m

Š

EM34

6.4 10

1.6 20 0.1590

0.4 40

EM31 9.8 3.66 0.0720

EM38 14.6 1 0.0240

Las aplicaciones típicas de los equipos son:

i. Delimitar regiones depermafrost_.

ii. Localizar y delimitar depósitos de grava.

iii. Cartografiar intrusiones salinas.

iv. Detectar cavidades en rocas carbonatadas.

v. Cartografiar plumas contaminantes en aguas subterráneas.

vi. Cartografiar rasgos geológicos generales (tipos de suelo, fallas y zonas de fractu-ras, etc.)

vii. Explorar zonas arqueológicas.

El sistema EM34-3 de Geonics Ltd. _{está compuesto por una consola transmisora,} una receptora y dos bobinas. En la Figura 8 se muestra la consola transmisora.

Figura 8.Consola transmisora del equipo EM34-3.

La consola receptora se muestra en la Figura 9. Las versiones actuales tienen una pantalla digital.

Figura 9.Consola receptora del equipo EM34-3.

Figura 10.Bobinas del equipo EM34-3.

El instrumento EM34-3 es fabricado en Ontario, Canadá por la compañía Geonics Limited_{. Las especificaciones de fábrica del equipo se encuentran en la Tabla 2.}

Tabla 2.Especificaciones del equipo EM34 (Tomada de Geonics Limited (1985)).

Unidad medida Conductividad aparente del suelo en mS/m (1 mS/m = 1000 (mS/m)

Rango de conductividad 0-3, 10, 30, 100, 300 (mS/m) Nivel de ruido del instrumento menos de 0.1 (mS/m)

Exactitud de la medición ±5 % para 20 (mS/m) Precisión de la medición ± 2 % de la escala completa Fuente (Campo primario) Contenida en el dipolo transmisor

Fuente de poder Transmisor: 8 baterías tamaño D Receptor: 8 baterías tamaño C Dimensión de la consola receptora 19.5 x 13.5 x 26 cm

Dimensión de la bobina receptora 63 cm de diámetro Dimensión de la consola transmisora 15 x 8 x 26 cm

Dimensión de la bobina transmisora 105 cm de diámetro Peso de la consola receptora 3.1 Kg

Peso de la bobina receptora 5.5 Kg

Capítulo 3.

Campos eléctricos y magnéticos analíticos

sobre un semi-espacio homogéneo

Los resultados de la solución numérica ser probados con soluciones analíticas como en el caso de un semi-espacio homogéneo.

En éste capítulo voy a plantear las ecuaciones para el campo eléctrico y magnético, usando como fuente una bobina magnética sobre un semi-espacio homogéneo, plano e isotrópico. La fuente se alimenta de una corriente eléctrica a una frecuencia fija; por ello el problema se plantea en el dominio de la frecuencia.

3.1. Dipolo magnético en un espacio completo

La solución de la ecuación de Helmholtz se resuelve convencionalmente en térmi-nos de potenciales electromagnéticos, en lugar de los campos E _y H_{, por su carácter}

vectorial (Dey y Ward, 1970; Ward y Hohmann, 1987).

En el caso de fuentes magnéticas, el potencial magnético vectorial de Schelkunoff

F _{y el potencial magnético vectorial de Hertz pueden ser utilizados para resolver la}

ecuación de onda. Estos potenciales también satisfacen la ecuación de Helmholtz.

De esta manera el campo eléctrico para fuentes magnéticas Em utilizando el

po-tencial de Schelkunoff está dado por

E_m=_−∇×F ₍₄₉₎

y el campo magnético para fuentes magnéticas

H_m=₋(σ₋ωϵ)F₋ 1

μω∇(∇·

F). ₍₅₀₎

Los campos electromagnéticos producidos por dipolos magnéticos han sido abor-dados por varios autores como Ward (1967), Ward y Hohmann (1987), entre otros.

momento dipolar

m=A

donde A es el área de la bobina. El vector de magnetización está dado por

M=mδ(₀)δ(y₀)δ(z₀)_{ (51)}

donde _{ es el vector unitario en la dirección} _{. Siguiendo a Ward y Hohmann (1987)} la ecuación diferencial en términos deF _es

∇2F+k2F=₋ωμM. ₍₅₂₎

y su solución es

F(r) =

ωμm

4πr

e−kr_0. ₍₅₃₎

A continuación planteo las ecuaciones generales para los camposE_yH_producidos

por bobinas magnéticas orientadas en tres planos diferentes dentro de un espacio completo.

El campo eléctrico en el punto(, y, z)_{y producido por una bobina magnética en el} planoy-z_{(o un dipolo magnético en dirección}x_{), localizada en el punto} ₀, y₀, z_{0 es}

E=

ωμm

4πr2 (kr+1)e

−krz−z0

r

_y−

y₋y₀ r

_z

‹

(54)

donde

r=q(₋₀)2_{+ (}y₋y₀)2_{+ (}z₋z₀)2 ₍₅₅₎

y el campo magnético es

H=

m

4πr3e −kr

–‚

(₋₀)2

r2 +

(₋₀)(y₋y₀) r2 y+

(₋₀)(z₋z₀) r2 z

Œ

(−k2r2+₃kr+₃) + (k2r2₋kr₋₁)_. ₍₅₆₎

E=

ωμm

4πr2 (kr+1)e

−krz−z0

r

_−

₋₀ r _z ‹ (57) y H= m

4πr3e −kr

–‚

(₋₀)(y₋y₀) r2 +

(y₋y₀)2

r2 y+

(y₋y₀)(z₋z₀) r2 z

Œ

(−k2r2+₃kr+₃) + (k2r2₋kr₋₁)_y. ₍₅₈₎

Las ecuaciones para el campo eléctrico y magnético de una bobina magnética en el planox-y_{(o un dipolo magnético en dirección} z_{) son}

E=

ωμm

4πr2 (kr+1)e

−kry−y0

r

_−

₋₀ r _y ‹ (59) y H= m

4πr3e −kr

–‚

(₋₀)(z₋z₀) r2 +

(y₋y₀)(z₋z₀) r2 y+

(z₋z₀)2 r2 z

Œ

(−k2r2+₃kr+₃) + (k2r2₋kr₋₁)_z. ₍₆₀₎

3.2. Dipolo magnético vertical sobre un semi-espacio homogéneo

Una bobina magnética está localizada en el origen de un sistema de coordenadas cilíndricas (ρ, θ, z)_{. Está contenida en el plano} ρ₋θ _{y orientada en la dirección} z (po-sitivo hacia abajo) a una alturah _{sobre la superficie de una tierra homogénea, plana e} isotrópica (Figura 11).

Debido a que el vector normal al área de la bobina está en la dirección z_{, solo} se necesita la componente z _{del potencial. Por lo tanto el potencial vectorial} electro-magnético F _{ahora se convierte en un potencial escalar} F_{z. La ecuación diferencial a} resolver es

∇2F_z+k2F_z=₋ωμM. ₍₆₁₎

Figura 11.Dipolo magnético vertical sobre una tierra homogénea (tomada de Méndez-Delgado, 1997).

deE _yH_{respectivamente, son (Ward, 1967)}

Fz₁=Fz₀+ (62)

y

∂F_z1

∂z = ∂F_z0+

∂z

. ₍₆₃₎

La solución de la ecuación 61 se divide en tres partes: i) El potencial en el aire sobre el dipoloFz₀+, ii) En el aire, entre la tierra y el dipoloFz₀− y iii) El potencial en la tierra

F_{z1 (Ward, 1967). Los potenciales son expresados en el dominio del número de onda}λ a través de la transformada de Hankel, de tal manera que

Fz₀− =

Z ∞

0

(ƒ₀(λ)e0z+g₀(λ)e0z)J₀(λρ)dλ ₍₆₄₎

paraz¶0,

F_z0+=

Z ∞

0

ƒ₀(λ)e0z+g₀(λ)e−0zJ₀(λρ)dλ ₍₆₅₎

parah¾z¾0 y

F_z1=

Z ∞

0

paraz¾h, donde

₀=

Ç

λ2₋k2

0, (67)

₁=

r

λ2₋k2

1, (68)

k₀=Æ₋ωμσ₀, ₍₆₉₎

k₁=Æ₋ωμσ₁, ₍₇₀₎

ρ=q(₋₀)2_{+ (}y₋y₀)2 ₍₇₁₎

yJ_{0es la función de Bessel de orden cero.}

Las funcionesƒ(λ) _yg(λ)_{son los términos cuando la onda sube y baja,} respectiva-mente. Ambos términos se deben atenuar conforme nos alejamos de la fuente. En el caso de la ecuación 64 como es válida paraz¶0 sólo tenemos onda de subida y por

lo tanto g₀(λ) _{es cero. En la ecuación 65 tenemos ambas ondas y en la ecuación 66} sólo tenemos onda de bajada, por lo tantoƒ₁(λ) =_0.

Las funcionesg₀(λ)_, ƒ₀(λ)_yg₁(λ)_{, están definidas como}

g₀(λ) =₋ ωμm

4π λ

₀

, ₍₇₂₎

ƒ₀(λ) =

₀₋₁ ₀+₁

e−20hg₀(λ) ₍₇₃₎

y

g₁(λ) = 2 ₀

₀+₁

e(1−0)hg₀(λ). ₍₇₄₎

En el airek₀=_{0, por lo tanto}₀=λ_{. Si usamos esta aproximación y sustituimos las} ecuaciones 67-74 en 64, 65 y 66, el potencial para el aire sobre el dipolo es

F_z0− =c

Z ∞

0

(r_teeλ(z−2h)+eλz)J₀(λρ)dλ, ₍₇₅₎

en el aire, entre la tierra y el dipolo es

F_z0+ =c

Z ∞

0

y para la tierra es

Fz₁=2c

Z ∞

0

λ

λ+₁

e(1−λ)h−1zJ₀(λρ)dλ, ₍₇₇₎

donde

c=₋ ωμm

4π y

r_te=

λ₋₁ λ+₁ .

Una vez que tenemos las expresiones del potencial electromagnético de Schelku-noff sobre un semiespacio homogéneo, plano e isotrópico, podemos calcular los cam-posE_yH_.

3.2.1. Campo eléctrico

El campo eléctrico debido a una fuente magnética sobre un semi-espacio homogé-neo, plano e isotrópico es

Em=−∇×F. (78)

Debido a la simetría del problema F_{z no depende de} θ_{, por lo tanto el campo} eléc-trico sólo tiene componente enθ_{. De está manera}

E_θ = ∂F_z

∂ρ

. ₍₇₉₎

Entonces, en el aireE_θ0− paraz¶0

E_θ0− =−c

Z ∞

0

r_teeλ(z−2h)+eλzλJ₁(λρ)dλ, ₍₈₀₎

en el aireE_θ0+ _para h¾z¾0

E_θ0+ =₋c

Z ∞

0

r_teeλ(z−2h)+e−λzλJ₁(λρ)dλ ₍₈₁₎

y el campoE_{θ1 en la tierra para}z¾h es

E_θ1=₋₂c

Z ∞

0

λ2

λ+₁

que se puede pasar a coordenadas cartesianas a través de las relaciones

E=₋

y₋y₀ ρ

Eθ (83)

y

Ey=

₋₀ ρ

E_θ. ₍₈₄₎

El campo eléctrico vertical para está posición de la fuente es cero en todo el semi-espacio. Si se coloca una heterogeneidad en el subsuelo,Ez ya no será cero en todo el

semi-espacio, sólo será igual a cero en la interface aire-tierra.

3.2.2. Campo magnético

El campo magnético debido a una fuente magnética sobre un semi-espacio homo-géneo, plano e isotrópico es

H_m=₋(σ₋ωϵ)F₋ 1

μω∇(∇·

F). ₍₈₅₎

Ward y Hohmann (1987) obtienen las expresiones para el campo magnético en el aire enz=₋h_{sobre la superficie de la tierra. El campo magnético horizontal sólo tiene} componente radial dada por

H_ρ= m

4π

Z ∞

0

[e−λ(z+h)₋r_teeλ(z−h)]λ2J₁(λρ)dλ ₍₈₆₎

la cual puede transformarse a coordenadas cartesianas a través de la relación

H_ρ=

₋₀ ρ

H_+

y₋y₀ ρ

H_{y (87)}

y el campo magnético vertical está dado por

Hz =

m

4π

Z ∞

0