FACULTAD DE CIENCIAS
Escuela Profesional de Matemática e Informática
MONOGRAFÍA
MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Matrices.
Suma y producto de matrices. Operaciones elementales sobre filas y
columnas. Matriz reducida. Rango de una matriz. Inversas de matrices
cuadradas. Determinante de matrices cuadradas. Transformaciones
lineales y matrices. Sistema de ecuaciones lineales. Solución de sistemas
de ecuaciones lineales homogéneos y no homogéneos. Aplicaciones de los
sistemas de ecuaciones lineales. Didáctica de las Matrices y problemas de
regularidad, equivalencia y cambio.
Examen de Suficiencia Profesional Res. Nº 0721-2019-D-FAC Presentada por:
Torres Diaz, César Augusto
Para optar al Título Profesional de Licenciado en Educación Especialidad: Matemática e Informática
Dedicatoria
A Dios, a mi esposa, a mi hijo y
Índice de contenidos
Portada ... i
Hoja de firmas de jurado ... ii
Dedicatoria... iii
Índice de contenidos ... iv
Lista de figuras ... viii
Introducción ... ix
Capítulo I. Álgebra de matrices ... 12
1.1 Matrices ... 12
1.2 Suma y producto de matrices... 15
1.2.1 Suma de matrices ... 15
1.2.2 Producto de matrices ... 17
1.2.2.1 Multiplicación de un escalar por una matriz ... 17
1.2.2.2 Multiplicación de dos matrices ... 18
1.3 Operaciones elementales sobre filas y columnas ... 20
1.3.1 Intercambio de dos filas o columnas ... 21
1.3.2 Multiplicación de una fila o una columna por un escalar no nulo ... 22
1.3.3 Sumar a una fila otra fila multiplicada por un escalar no nulo ... 22
1.3.4 Sumar a una columna otra columna multiplicada por un escalar no nulo ... 23
1.4 Matriz reducida ... 24
1.4.1 Matriz escalonada por filas ... 24
1.4.2 Matrices equivalentes ... 24
1.4.3 Matriz escalonada reducida por filas... 25
1.6 Inversas de matrices cuadradas... 28
1.6.1 Matriz identidad ... 28
1.6.2 Matriz inversa………...28
1.6.3 Obtención de la inversa de una matriz por el método Gauss-Jordan ...29
1.7 Determinante de matrices cuadradas ... 30
1.7.1 Determinante de orden1×1 ... 32
1.7.2 Determinante de orden 2×2 ... 32
1.7.3 Determinante de orden 3×3 ... 33
1.7.3.1 Regla de Sarrus ... 33
1.7.4 Determinante de orden β×β ... 34
1.7.5 Matriz inversa por determinantes ... 35
1.7.5.1 Matriz transpuesta ... 35
1.7.5.2 Adjunta de una matriz ... 35
1.7.5.3 Teorema de la inversa de una matriz por determinantes ... 36
1.8 Transformaciones lineales y matrices... 37
1.8.1 Matriz de una transformación lineal ... 38
Capítulo II. Sistema de ecuaciones lineales con matrices ... 40
2.1 Sistema de ecuaciones lineales ... 40
2.1.1 Clasificación de los sistemas de ecuaciones ... 42
2.1.1.1 Sistema compatible o consistente... 42
2.1.1.2 Sistema incompatible o inconsistente ... 42
2.1.1.3 Sistemas lineales ... 42
2.1.1.4 Sistemas no lineales ... 43
2.1.2 Métodos para resolver un sistema lineal ... 44
2.1.2.2 Método de la matriz inversa de Arthur Cayley ... 44
2.1.2.3 Método de Gabriel Cramer... 46
2.1.2.4 Método matricial de Gauss – Jordan ... 48
2.1.2.5 Teorema de Rouché – Frobenius... 49
2.2 Solución de sistemas de ecuaciones lineales homogéneos ... 51
2.3 Solución de sistemas de ecuaciones lineales no homogéneos ... 52
2.4 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales ... 55
2.4.1 Aplicación en la química ... 55
2.4.2 Aplicación en la electricidad ... 56
2.4.3 Aplicación en la metalurgia ... 57
Capítulo III. Didáctica de las matrices y su competencia matemática ... 59
3.1 Didáctica de las matrices ... 59
3.1.1 Definición de competencia ... 59
3.1.2 ¿Por qué aprender matrices? ... 59
3.1.3 ¿Para qué aprender matrices? ... 60
3.1.4 ¿Cómo aprender matrices? ... 60
3.2 Competencia matemática ... 60
3.2.1 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio ... 60
3.2.2 Capacidades de la competencia matemática ... 61
3.2.2.1 Matematiza situaciones ... 61
3.2.2.2 Comunica y representa ideas matemáticas ... 61
3.2.2.3 Razona y argumenta generando ideas matemáticas ... 61
3.2.2.4 Elabora y usa estrategias ... 61
3.3.1 MS Excel para la enseñanza de matrices ... 62
3.3.1.1 Suma de matrices con Excel ... 62
3.3.1.2 Producto de matrices con Excel ... 64
3.3.1.3 Determinante de una matriz cuadrada con Excel ... 65
3.4 Problemas de regularidad, equivalencia y cambio ... 66
3.4.1 Caso I. Baños termales de Churín ... 66
3.4.2 Caso II. El CO2 de los vehículos en mi comunidad ... 67
Aplicación didáctica ... 69
Síntesis ... 76
Apreciación crítica y sugerencias ... 78
Conclusiones ... 80
Lista de figuras
Figura 1. Circuito eléctrico con resistencias y baterías ... 56
Figura 2. Fórmula para la suma de dos matrices en Excel ... 62
Figura 3. Función para la suma de dos matrices en Excel ... 63
Figura 4. Resultado de la suma de dos matrices en Excel ... 63
Figura 5. Fórmula del producto de dos matrices en Excel ... 64
Figura 6. Resultado del producto de dos matrices en Excel ... 64
Figura 7. Determinante de una matriz cuadrada en Excel ... 65
Introducción
El hombre, desde sus inicios, se ha interrogado sobre todos los fenómenos naturales que acaecían a su alrededor; observaba perplejo y ensayaba múltiples explicaciones,
pretendiendo entender una impredecible naturaleza. Pronto empezó a encontrar respuestas, aparentemente válidas, en lo mágico y lo religioso; desprovisto de ciencia pretendió explicar sus orígenes y creó mitos.
Pero ha sido capaz de superar dificultades y trascender gracias al lenguaje y a su propia capacidad cognoscitiva. Entonces, ha creado otros lenguajes y, progresivamente, ha encontrado explicaciones a sus incógnitas y ha comprobado sus hipótesis; surgieron así los conocimientos, como las matemáticas y la lógica. Por esa razón, podemos decir que el hombre ha accedido a un conocimiento de carácter exponencial; es decir, no ha configurado límites para adquirir sabiduría; así ha conseguido que la humanidad se desarrolle y, además, sea capaz de dominar su entorno.
Pronto debió urbanizar, hacer sus primeros estudios de carácter sociológico, decidir cómo organizar y distribuir su economía y, sobre todo, acceder a la tecnología. Para ello, se sirvió del álgebra lineal y de las matrices. Estas últimas han sido de gran utilidad en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Conviene precisar que fue en la antigua Babilonia donde se inició el estudio de los arreglos rectangulares o las matrices. Desde entonces, el hombre se ha servido de ella para alcanzar un sostenido progreso en cuanto a las matemáticas, las ciencias y la informática.
que los estudiantes se apropien de destrezas, orientadas al desarrollo de problemas y sean capaces de inferir las aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales.
De otro lado, pretende dejar en claro los niveles de complejidad que implica la enseñanza de matrices y alentar el pensamiento a través de la resolución de ejercicios que reflejen situaciones propias del entorno social. También pretendemos, a través de esta propuesta, lograr que los estudiantes obtengan conclusiones y, en una primera instancia, resuelvan operaciones elementales con matrices; posteriormente, abordarán situaciones más complejas. De esta forma, estaremos alentando el proceso de análisis y de creatividad. La investigación que ponemos en consideración del magisterio nacional propone tres capítulos, convenientemente delimitados: el primero aborda lo referido al Álgebra de matrices; el segundo describe El sistema de ecuaciones con matrices, e incluimos ejemplos prácticos seguidos de una adecuada secuencia didáctica; en el tercero presentamos la Didáctica de las matrices y su competencia matemática.
Este último capítulo es gravitante porque de ninguna manera el estudiante debe ser un mero receptor de un conocimiento, que otro, aparentemente un especialista, le
transmite. Se trata de hacer un aprendizaje significativo; es decir, reconocer los saberes previos y las motivaciones del aprendiz; de igual forma, reconocer los estilos de
aprendizaje.
Capítulo I Álgebra de matrices
1.1 Matrices
“Una matriz es un objeto matemático representado por un ordenamiento rectangular de escalares organizados en filas y columnas” (Hernández, 2018, p. 28).
“El conjunto horizontal de escalares se llama fila y el conjunto vertical de escalares se llama columna además el número total de filas por el número total de columnas se llama tamaño de la matriz” (Hernández, 2018, p. 28).
Los ordenamientos rectangulares se indican con letras capitulares como P y sus elementos en su interior con letras menores (Buitrago, 2009).
11 1β
α1 αβ α×β
p ... p P= .... ... ...
p ... p
Entonces P es un ordenamiento rectangular de magnitud α×β donde pij es un
elemento del ordenamiento rectangular P (AFINED, 2013).
Sea P un ordenamiento cuadrado de escalares con una magnitud de tres por tres ya que tiene tres conjuntos de escalares horizontales y tres conjuntos de escalares verticales (Buitrago, 2009).
3×3
1 3 5
P= 2 4 6
7 8 9
Sea Q un ordenamiento rectangular de escalares con una magnitud de dos por tres ya que tiene dos conjuntos de escalares horizontales y tres conjuntos de escalares verticales (Buitrago, 2009).
2×3
1 -2 3 Q=
5 0 -1
De acuerdo a la forma de los ordenamientos de sus elementos estos pueden ser cuadrados o rectangulares, aquí veremos los más utilizados en el álgebra de ordenamientos de escalares (AFINED, 2013).
“La matriz fila es un ordenamiento rectangular con un solo conjunto de escalares horizontales y β conjuntos de escalares verticales” (Buitrago, 2009, p. 4).
Son ordenamientos rectangulares con un solo conjunto de escalares horizontales P, Q , R y S (AFINED, 2013).
1×3
1×4
1×5
1×6
“La matriz columna tiene un solo conjunto de escalares verticales y α conjuntos de escalares horizontales” (Buitrago, 2009, p. 4).
Son ordenamientos rectangulares con un solo conjunto de escalares verticales P y Q (AFINED, 2013).
3×1 3×1
1 6
P = 1 Q = 1
3 3
“La matriz triangular superior es un ordenamiento de escalares de tipo cuadrado, en la que los elementos por debajo de la diagonal principal son ceros” (Buitrago, 2009, p. 5).
4×4 4×4
4 2 4 5 1 2 1 5
0 5 4 4 0 2 3 8
P= Q=
0 0 4 5 0 0 4 5
0 0 0 5 0 0 0 1
“La matriz triangular inferior es un ordenamiento de escalares de tipo cuadrado, en la que los elementos por encima de la diagonal principal son ceros” (Buitrago, 2009, p. 5).
4×4 4×4
5 0 0 0 2 0 0 0
2 4 0 0 1 1 0 0
P= Q=
2 2 4 0 4 6 2 0
2 1 1 2 3 2 1 1
“La matriz escalar es un ordenamiento de tipo cuadrado diagonal, en la que los elementos de la diagonal principal son iguales” (Buitrago, 2009, p. 5).
4×4 4×4
4 0 0 0 0 5 0 0 0
0 4 0 0 0 0 5 0 0
P= Q=
0 0 4 0 0 0 0 5 0
0 0 0 4 0 0 0 0 5
“La matriz opuesta es aquella que es la opuesta de un ordenamiento rectangular dado como P, y se denota por -P cuando tiene todos los términos iguales y contrarios” (Buitrago, 2009, p. 6).
4×4 4×4
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
P= P=
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1
“la matriz simétrica es un ordenamiento de escalares de tipo cuadrado que es igual a su transpuesta y viceversa” (Buitrago, 2009, p. 6).
T
4×4 4×4
2 0 0 0 2 0 0 0
0 2 0 0 0 2 0 0
P= P =
0 0 2 0 0 0 2 0
0 0 0 2 0 0 0 2
T
4×4 4×4
1 1 0 0 1 1 0 0
1 1 2 0 1 1 2 0
Q= Q =
2 1 0 0 2 1 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1
1.2 Suma y producto de matrices 1.2.1 Suma de matrices.
Es posible realizar la suma entre dos ordenamientos rectangulares P y Q; siempre y cuando sean del mismo orden (P, Q)Mα×β (Gutiérrez y Ochoa, 2014).
3×3 3×3
1 2 1 2 5 1
P= 2 1 2 ; Q= 1 2 2
3 1 3 1 1 1
3×3 3×3 3×3 3×3
1 2 1 2 5 1 1 2 2 5 1 1 3 7 2
P+Q= 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 = 3 3 4
3 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 4 2 4
Se tiene dos ordenamientos rectangulares R y S de la misma magnitud se define la suma como otro ordenamiento rectangular R+S de la misma magnitud (Buitrago, 2009).
3×2 3×2
1 4 3 1
R= 2 3 ; S= 7 2
2 4 3 1
3 2 3 2 3 2 3 2
1 4 3 1 1+3 4+1 4 5
R+S= 2 3 + 7 2 = 2+7 3+2 = 9 5
2 4 3 1 2+3 4+1 5 5
La suma de los ordenamientos rectangulares presenta las siguientes propiedades: “Cerradura. Se cumple (P+Q)Mα×β, la suma de dos matrices es otra matriz R”
(Gutiérrez y Ochoa, 2014, p. 8).
2×2 2×2 2×2 2×2
4 5 2 3 4+2 5+3 6 8
P= Q= R
1 2 1 1 1+1 2+1 2 3
“Conmutativa. Se cumple P+Q=Q+P” (Gutiérrez y Ochoa, 2014, p. 8).
2×2 2×2 2×2 2×2
4 5 2 3 4+2 5+3 2+4 3+5
P= Q=
1 2 1 1 1+1 2+1 1+1 1+2
“Asociativa. Se cumple P+(Q+R) = (P+Q)+R” (Gutiérrez y Ochoa, 2014, p. 8).
2×2 2×2 2×2 2×2
4 5 2 3 4+2 5+3 2+4 3+5
P= Q=
1 2 1 1 1+1 2+1 1+1 1+2
“Existencia del neutro. Sea la matriz 0Mα×β llamado elemento neutro para la suma
tal que para todo PMα×β se cumple P+0 = P, 0 es una matriz donde sus componentes son
ceros” (Gutiérrez y Ochoa, 2014, p. 8).
4×2 4×2 4×2 4×2
4 5 0 0 4 0 5 0 4 5
1 2 0 0 1 0 2 0 1 2
P= 0= P+0=
3 1 0 0 3 0 1 0 3 1
5 6 0 0 5 0 6 0 5 6
“Inverso aditivo. Para cada elemento de P existe un elemento - P, llamado inverso aditivo de P, tal que P + (-P) = 0” (Gutiérrez y Ochoa, 2014, p. 8).
2×2 2×2 2×2 2×2
4 5 -4 -5 4-4 5-5 0 0
P= -P=
1 2 -1 -2 1-1 2-2 0 0
1.2.2 Producto de matrices.
1.2.2.1 Multiplicación de un escalar por una matriz.
El producto de un escalar kR por un ordenamiento rectangular PMα×β está
definido como otro ordenamiento rectangular Mα×β (Gutiérrez y Ochoa, 2014).
Dado un ordenamiento rectangular P de magnitud α×β y una constante kR, se define la multiplicación escalar de P por k como k×P (Buitrago, 2009).
Se dice que P, Q y R son múltiplos de 3P, 4Q y 5R (Buitrago, 2009).
5×1 5×1 5×1
15 3(15) 45
30 3(30) 90
P= 10 3P= 3(10) = 30
25 3(25) 75
20 3(20) 60
1×2
1×2
1×22 2 2 2 2 2
1 2 5(1) 5(2) 5 10
R= 5R= =
3 4 5(3) 5(4) 15 20
1.2.2.2 Multiplicación de dos matrices.
La multiplicación de dos ordenamientos rectangulares P×Q se define en términos del producto interno entre los conjuntos de escalares horizontales del ordenamiento P con los conjuntos de escalares verticales del ordenamiento Q (Hernández, 2018).
2×1
2×2 2×1
3 2 3
P= ; Q= R
4 1 2
11
3
r = 3 2 =3×3+2×2=13 2
21
3
r = 4 1 =4×3+1×2=14 2
Este producto está definido solo si el número de conjuntos de escalares verticales del primer ordenamiento P es igual al número de conjuntos de escalares horizontales del segundo ordenamiento Q (Hernández, 2018).
2×1
2×2 2×1
5 4 2
P= ; Q= R
2 3 1
3×1
3×3 3×1
1 7 2 2
R= 7 2 1 ; S= 1 T
7 5 4 4
“Nótese que la cantidad de filas de la primera matriz y la cantidad de columnas de la segunda, determinan la magnitud de la matriz resultado” (Hernández, 2018, p. 32).
3x3 3x1 3x1
4x 4 4x 2 4x 2
R S T
1X2 2x 4 1x 4
U V T
El Producto de las matrices P×Q será una matriz R de magnitud 2x1 distinto a los ordenamientos rectangulares originales (AFINED, 2013).
2×2 2×1
3 2 3
P= ; Q=
4 1 2
11
21 2×1 2×2 2×1
r 3 2 3
R= =
r 4 1 2
11 3r = 3 2 =3×3+2×2=13 2
21 3r = 4 1 =4×3+1×2=14 2
11
21 2×1 2×1
r 13 R= = r 14
El producto de los ordenamientos rectangulares U×V dará como resultado un ordenamiento rectangular W de magnitud 2x1 (AFINED, 2013).
2×2 2×1
8 6 2
U= ; V=
5 4 1
11
21 2×1 2×2 2×1
w 8 6 2
W= = ×
w 5 4 1
11 2w = 8 6 × =8×2+6×1=22 1
21 2w = 5 4 × =5×2+4×1=14 1
11
21 2×1 2×1
w 22
W= =
w 14
La multiplicación de ordenamientos rectangulares presenta las siguientes propiedades:
“Asociativa. La propiedad asociativa se cumple, si P Mα×β, Q Mβ×y R M×,
entonces P × (Q × R) = (P × Q) × R” (Gutiérrez y Ochoa, 2014, p. 13).
2x3 3x1 1x3 2x3 3x1 1x3 2x3 3x3 2x1 1x3 2x3 2x3
P × Q × R = P × Q × R P ×S =T × R V =U
“Distributiva. La propiedad distributiva se cumple, si P Mα×β, Q Mβ×y R M×, entonces P × (Q + R) = (P × Q) + (P × R)” (Gutiérrez y Ochoa, 2014, p. 13).
2 2 2 3 2 3
3 1 2 8 4 -3 1 2
P= ; Q= R=
1 0 1 3 1 1 -3 -2
2 3
3 1 2 8 4 -3 1 2 -1 -27 17
P (Q+R)= +
1 0 1 3 1 1 -3 -2 -1 9 6
2 3
3 1 2 8 4 3 1 -3 1 2 -1 -27 17
P Q+P R= +
1 0 1 3 1 1 0 1 -3 -2 -1 9 6
“Elemento neutro multiplicativo. Algunas matrices bajo ciertas condiciones del orden entre matrices tienen un elemento identidad” (Gutiérrez y Ochoa, 2014, p. 13).
2 2 2 2 2 2
3 1 1 0 3 1 1 0 3 1
P= I= P×I= =
1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
1.3 Operaciones elementales sobre filas y columnas
1.3.1 Intercambio de dos filas o columnas.
Dos conjuntos escalares horizontales diferentes del ordenamiento rectangular intercambian de posición, igualmente que los conjuntos escalares verticales pueden hacerlo (Hernández, 2018).
Si al primer conjunto de escalares horizontales lo intercambiamos por el tercer conjunto de escalares horizontales y viceversa esto se representa por h1h3 (AFINED,
2013).
1 3
h h
4 4 4 4
1 2 2 1 4 2 4 4
2 2 2 1 2 2 2 1
4 2 4 4 1 2 2 1
4 2 1 4 4 2 1 4
Si al segundo conjunto de escalares verticales lo intercambiamos por el primer conjunto de escalares verticales y viceversa esto se representa por v1v3 (AFINED,
2013).
2 1
v v
4 4 4 4
1 1 2 8 1 1 2 8
4 1 8 7 1 4 8 7
1 4 8 7 4 1 8 7
4 1 4 4 1 4 4 4
Si al segundo conjunto de escalares verticales lo intercambiamos por el tercer conjunto de escalares verticales y viceversa esto se representa por v2v3 (AFINED,
2013).
2 3
v v
4 4 4 4
1 2 3 4 1 3 2 4
2 4 6 8 2 6 4 8
1 3 5 7 1 5 3 7
3 5 7 9 3 7 5 9
1.3.2 Multiplicación de una fila o una columna por un escalar no nulo.
A un conjunto de escalares horizontales se le afecta por un escalar diferente de cero produciendo un nuevo conjunto de escalares igualmente sucede con el conjunto de
escalares verticales (Hernández, 2018).
Si al segundo conjunto de escalares horizontales lo afectamos por un escalar /2 y se representa por h2/2h2 (AFINED, 2013).
2 2
π h h
2
4 4 4 4
3 2 5 7 3 2 5 7
4 2 4 8 2π π 2π 4π
2 7 4 1 2 7 4 1
5 3 2 2 5 3 2 2
Si al segundo conjunto de escalares verticales lo afectamos por un escalar /2 y se representa por v2/2v2 (AFINED, 2013).
2 2
π v v
2
4 4 4×4
3 8 5 7 3 4π 5 7
4 6 4 8 4 3π 4 8
2 2 4 1 2 π 4 1
5 4 2 2 5 2π 2 2
Si al tercer conjunto de escalares verticales lo afectamos por un escalar y se representa por v3v3 (AFINED, 2013).
3 3
v πv
3 3 3 3
2 2 3 2 2 3π
7 4 4 7 4 4π
3 8 5 3 8 5π
1.3.3 Sumar a una fila otra fila multiplicada por un escalar no nulo.
Restarle al conjunto de escalares horizontales h1 otro conjunto de escalares
horizontales h2, h1h1-h2 (AFINED, 2013).
1 1 2
h h -h
3 3 3 3
2 1 3 1 0 1 P= 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2
Sumarle al conjunto de escalares horizontales h1 otro conjunto de escalares
horizontales h2, h1h1+h2 (AFINED, 2013).
1 1 2
h h +h
3 3 3 3
4 5 3 5 6 5 P= 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2
1.3.4 Sumar a una columna otra columna multiplicada por un escalar no nulo. A un conjunto de escalares verticales se le suma el múltiplo escalar de otro
conjunto, lo que produce un nuevo conjunto de escalares (Hernández, 2018).
Restarle al conjunto de escalares verticales v1 otro conjunto de escalares verticales
v2, v1v1-v2 (AFINED, 2013).
1 1 2
v v -v
3 3 3 3
2 1 3 1 1 3
P= 1 1 2 0 1 2
3 2 4 1 2 4
Sumarle al conjunto de escalares verticales v1 otro conjunto de escalares verticales
v2, v1v1+v2 (AFINED, 2013).
1 1 2
v v +v
4 3 4 3
2 1 3 3 1 3 1 1 2 2 1 2 Q=
1 4 3 5 4 3 1 5 6 6 5 6
1.4 Matriz reducida
1.4.1 Matriz escalonada por filas.
Un ordenamiento rectangular P es escalonado si el número de ceros aumenta de conjunto de escalares horizontales en conjunto de escalares horizontales (AFINED, 2013).
Si existen conjuntos escalares horizontales nulos, son los últimos (Buitrago, 2009).
6 5
3 -2 7 5 1
2 -3 5 -1 0 0 -4 7 9
0 0 0 0 1 6
P= Q=
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5 5
0 0 0 0 -5 4 7 0 0 0 0 0 0 0 0
En cada conjunto de escalares verticales donde hay un elemento principal, los elementos por debajo de este son ceros (Buitrago, 2009).
5 5
4 -8 6 -4 0 0 1 1 R= 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
1.4.2 Matrices equivalentes.
Se dice que un ordenamiento rectangular P es equivalente, por conjuntos de
escalares horizontales o por conjuntos de escalares verticales, a otro Q, si este último se ha obtenido de la primera por medio de cálculos básicos (AFINED, 2013).
El ordenamiento rectangular P es equivalente por conjuntos de escalares
1 1 2
h h -h
4 3 4 3
2 1 3 1 0 1 1 1 2 1 1 2 P=
1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2
El ordenamiento rectangular Q es equivalente por conjuntos de escalares
horizontales al nuevo ordenamiento rectangular, porque al primer conjunto de escalares horizontales se le sumo el segundo conjunto de escalares horizontales (AFINED, 2013).
1 1 2
h h +h
5 5 5 5
1 2 5 2 2 1 3 7 5 5
0 1 2 3 3 0 1 2 3 3
Q= 0 1 2 0 1 0 1 2 0 1
1 1 3 1 2 1 1 3 1 2
0 1 2 2 1 0 1 2 2 1
El ordenamiento rectangular R es equivalente por conjuntos de escalares
horizontales al nuevo ordenamiento rectangular, porque al primer conjunto de escalares horizontales se le sumo el doble del segundo conjunto de escalares horizontales (AFINED, 2013).
1 1 2
h h +2h
6 5 6 5
1 2 5 2 2 1 4 9 8 8
0 1 2 3 3 0 1 2 3 3
0 1 2 0 1 0 1 2 0 1
R=
1 1 3 1 2 1 1 3 1 2
0 1 2 2 1 0 1 2 2 1
2 5 4 1 1 2 5 4 1 1
1.4.3 Matriz escalonada reducida por filas.
1 1 2
h h +h
4 5
3 0 1 2 -1 1 1 5 0 -1 -2 1 4 -2 0 -2 1 4 -2 0 P=
4 1 6 2 -2 4 1 6 2 1 1 5 0 -1
2 2 1 3 3 1 4 4 1
h h +2h h h -4h h h -h
4 5
2 1 1 5 0 -1
3 3 2
h h +h
4 5
1 1 5 0 -1 1 1 5 0 -1 0 3 14 -2 -2 0 3 14 -2 -2 P=
0 -3 -14 2 2 0 0 0 0 0 0 0
2 2 1 h h 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 2
h h -h
4×5
4×5
1 2 -1
1 1 5 0 -1 1 1
3 3 3
14 -2 -2
14 -2 -2 0 1
0 1
3 3 3
P= 3 3 3
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
Empiece con el conjunto de escalares verticales distinto de cero que se encuentra más a la izquierda (Lay, 2007).
En este caso es conjunto de escalares verticales del elemento principal. La posición del elemento principal está en la parte superior (Lay, 2007).
Seleccione como elemento principal una entrada distinta de cero del conjunto de escalares verticales del elemento principal (Lay, 2007).
Si es necesario, intercambie conjuntos de escalares horizontales para mover esta entrada a la posición del elemento principal (Lay, 2007).
Use cálculos de reemplazo a los conjuntos de escalares horizontales para crear ceros en todas las posiciones ubicadas debajo del elemento principal (Lay, 2007).
“Aplique los pasos anteriores realizados a la sub matriz restante. Repita el proceso hasta que no haya más conjuntos de escalares horizontales distintos de cero por modificar” (Lay, 2007, p. 18).
Comience con el elemento principal situado más a la diestra trabajando hacia lo alto y a la siniestra, cree ceros arriba de cada elemento principal (Lay, 2007).
Si un elemento principal no es uno, hágalo uno mediante un cálculo escalonado horizontal o vertical (Lay, 2007).
1.5 Rango de una matriz
El número máximo de conjuntos de escalares verticales se llama rango por conjunto de escalares verticales (AFINED, 2013).
El número máximo de conjuntos de escalares horizontales se llama rango por conjunto de escalares horizontales (AFINED, 2013).
“Se demuestra que el rango por filas es igual al rango por columnas además se llama rango de una matriz al número de filas o columnas” (AFINED, 2013, p. 47).
“La submatriz cuadrada de mayor orden contenida en P, Q y R será el rango de P, Q y R” (AFINED, 2013, p. 47).
1 1 2 2 2 1
h h -h h h -h
2 3 2 3 2 3
2×3
2 1 3 1 0 1 1 0 1
P=
1 1 2 1 1 2 0 1 1
1 0 1
P= r(P)=2
0 1 1
1 2 2 2 1 1 1 2
h h h h -2h h h -h
2 3 2 3 2 3 2 3
2 3 13 1 1 5 1 1 5 1 0 2
Q=
1 1 5 2 3 13 0 1 3 0 1 3
2×3
1 0 2
Q= r(Q)=2
0 1 3
1 1 2
1 2 2 2 1
1 h h - h
h h h h -4h 2
2 3 2 3 2 3 2 3
4 6 8 1 1 2 1 1 2 1 0 2 R=
1 1 2 4 6 8 0 2 0 0 2 0
2 2 1 h h 2
2×3 2×3 2×3
1 0 2 1 0 2 1 0 2
R= R= r(R)=2
0 2 0 0 1 0 0 1 0
1.6 Inversas de matrices cuadradas 1.6.1 Matriz identidad.
Es un ordenamiento cuadrado del tipo escalar en la cual la constante es uno (Buitrago, 2009).
4 4
4×4
1 0 0 0
0 1 0 0
P= = I
0 0 1 0
0 0 0 1
5 5 5×5
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
Q= 0 0 1 0 0 = I
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
1.6.2 Matriz inversa.
Un ordenamiento de escalares de tipo cuadrado es invertible si se encontrase otro ordenamiento tal que: P×P-1=I y viceversa (Hernández, 2018).
2 2 2 2
3 5 2 -5
P= ; Q=
1 2 -1 3
2 2
3 5 2 -5 6-5 -15+15 1 0
P Q= = =
1 2 -1 3 2-2 -5+6 0 1
2 2
2 -5 3 5 6-5 10-10 1 0
Q P= = =
-1 3 1 2 -3+3 -5+6 0 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
P ×Q =Q ×P =I
1.6.3 Obtención de la inversa de una matriz por el método de Gauss-Jordan.
“Si el conjunto de todas las operaciones fila necesarias para convertir a un
ordenamiento de tipo cuadrado P en una identidad se aplican a un ordenamiento identidad, esta se convierte en el ordenamiento inverso de P” (Hernández, 2018, p. 38).
“Si P e I se colocan lado a lado para formar un ordenamiento escalonado [P I], entonces las operaciones de fila en este ordenamiento producen operaciones idénticas sobre P e I” (Lay, 2007, p. 124).
2×2 2×2
1 5 1 0
P= ; I=
3 2 0 1
2 2 1 2 2-1 h h
h h -3h 13
1 5 | 1 0 1 5 | 1 0 P | I =
3 2 | 0 1 0 -13 | -3 1
h1 h -5h1 2-1
2×2
-2 5 1 5 | 1 0 1 0 |
13 13
P | I = 3 -1
3 -1
0 1 |
0 1 |
1.7 Determinante de matrices cuadradas
“Es una función tal que, al ser aplicada a un ordenamiento de escalares de tipo cuadrado, la convierte en un escalar real o complejo” (AFINED, 2013, p. 32).
Sea P un ordenamiento de escalares del tipo cuadrado; el determinante de P se representa por |P| o det(P) (AFINED, 2013)
La determinante de un ordenamiento de escalares de tipo cuadrado presenta las siguientes propiedades generales:
Un ordenamiento de escalares de tipo cuadrado y su transpuesta tiene el mismo determinante; es decir, |P|=|PT| (AFINED, 2013).
2×2
3 6
P= P =3×2-6×1=0
1 2
T T
2×2
3 1
P = P =3×2-6×1=0
6 2
Sean los ordenamientos de escalares cuadrados P y Q de la misma magnitud; entonces, se cumple que: |P×Q|=|P|×|Q| (AFINED, 2013).
2 2
3 5
P= P =3×2-5×1=1
1 2
2 2
2 -5
Q= Q =2×3-5×1=1
-1 3
2 2
3 5 2 -5 6-5 -15+15 1 0
P Q= = =
1 2 -1 3 2-2 -5+6 0 1
1 0
P Q = =1×1-0×0=1 0 1
P×Q | | |= P × Q| 1=1×1 1=1
Si un ordenamiento de escalares de tipo cuadrado tiene los elementos de dos conjuntos de escalares horizontales o dos verticales, respectivamente proporcionales entre sí, entonces su determinante siempre será cero (AFINED, 2013).
2×2
3 6
P= P =3×2-6×1=0
1 2
2×2
x 3x
Q= Q =x×3y-3x×y=3xy-3xy=0
y 3y
Si se intercambian dos conjuntos de escalares horizontales o dos conjuntos de escalares verticales de un ordenamiento de escalares del tipo cuadrado, su determinante cambia de signo (AFINED, 2013).
2×2
3 6
P= P =3×4-6×1=6
1 4
T
2×2
1 4
Q= P =1×6-3×4=-6
3 6
El determinante de un ordenamiento de escalares del tipo cuadrado, triangular inferior o triangular superior es igual a multiplicar los elementos de la diagonal principal (AFINED, 2013).
1 3 1
P = 0 2 5 =1×2×3=6
0 0 3
4 1 2 1
0 2 1 2
Q = =4×2×5 2=80
0 0 5 1
0 0 0 2
2 0 0 0
1 1 0 0
R = =2 1 3 2=12
4 4 3 0
2 2 2 2
4 0 0
S = 0 4 0 =4 4 4=64
0 0 4
1.7.1 Determinante de orden 1×1.
Se llama determinante de un ordenamiento de escalares cuadrado de magnitud 1×1, formada por el elemento p11, que da como resultado al propio elemento p11, entonces el
determinante será el mismo elemento del ordenamiento (AFINED, 2013).
1 × 1P= 8 P =8
1 × 1Q= -10 Q =-10
1 × 1R= senθ R =senθ
1 × 1S= 1+i S =1+i
1.7.2 Determinante de orden 2×2.
Sea el ordenamiento de escalares del tipo cuadrado de magnitud 2×2 con elementos p11, p12, p21 y p22 entonces se define su determinante:|P|=p11×p22-p21×p12 (AFINED, 2013).
2×2
3 2
P= P =3×4-2×1=10
1 4
2×2
x y
2 2
Q= Q =x×x-y×y=x -y
y x
2×2
9 3
R= Q =9×2-3×6=18-18=0
6 2
1.7.3 Determinante de orden 3×3. 1.7.3.1 Regla de Sarrus.
Se emplea en el ordenamiento de escalares del tipo cuadrado de magnitud 3×3 trasladando los dos primeros conjuntos de escalares verticales a la parte final y se efectúan multiplicaciones en dirección cruzada, como se indica (AFINED, 2013).
11 12 13
21 22 23
31 32 33 3×3
p p p
P
Sea: = p p p
p p p
Para estimar su determinante escribimos (AFINED, 2013).
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
p p p | p p P = p p p | p p
p p p | p p
11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 33 21 12
P =(p p p +p p p +p p p )-(p p p +p p p +p p p )
Emplee este proceso para estimar el determinante de P (Lay, 2007).
3 × 3
1 2 3
P= -1 0 4
-2 1 5
1 2 3 | 1 2 P = -1 0 4 | -1 0
-2 1 5 | -2 1
1.7.4 Determinante de orden β×β.
“El determinante de un ordenamiento de escalares del tipo cuadrado P de orden β×β es igual a la suma de los productos obtenidos de multiplicar a los elementos de cualquier fila (o columna) por sus respectivos cofactores” (AFINED, 2013, p. 36).
“Si elegimos la fila i, tenemos” (AFINED, 2013, p. 36). β
i+j
P = p P + p P +... + p P = (-1) p P
i1 i1 i2 i2 iβ iβ j=1 ij ij
“Si elegimos la columna j, tenemos” (AFINED, 2013, p. 36).
β i+ j
P = p P + p P + ... + p P = (-1) p P 1j 1j 2j 2j βj βj i=1 ij ij
“Use el desarrollo por cofactores a lo largo del primer conjunto de escalares horizontales para calcular el determinante de P” (Lay, 2007, p. 188).
11 11 12 12 13 13
3×3
1 2 3
P= -1 0 4 P = p P - p P + p P
-2 1 5
Donde:
11
0 4
P = =0 - 4= - 4 1 5
12
-1 4
P = = - 5 + 8 = 3 -2 5
13
-1 0
P = = - 1+ 0 = -1 -2 1
0 4 -1 4 -1 0
1.7.5 Matriz inversa por determinantes. 1.7.5.1 Matriz transpuesta.
Sea un ordenamiento de escalares del tipo cuadrado P, Se llama transpuesta de P a lo denotado por PT y definida por PT=(p
ij)β×α (AFINED, 2013).
“Es decir, dado los ordenamientos P y Q, se determina su transpuesta denotada por PT y QT permutando todas las filas por las columnas” (AFINED, 2013, p. 27).
T
3 × 3 3 × 3
5 7 8 5 3 7
P= 3 2 1 P = 7 2 8
7 8 9 8 1 9
T
3 × 3 3 × 3
1 2 3 1 4 7
Q= 4 5 6 Q = 2 5 8
7 8 9 3 6 9
Dados los ordenamientos de tipo cuadrado A, B y C indique el ordenamiento de escalares de tipo cuadrado transpuesto en cada caso (AFINED, 2013).
2×3 2×2
3×2
5 7
4 3 2 5 7
A= ; B= ; C= 4 3
1 4 1 6 2
-1 9
T T T
2×2 2×3
3×2
4 1
5 6 5 4 1
A = 3 4 ; B = ; C =
7 2 7 3 9
2 1
1.7.5.2 Adjunta de una matriz.
2 × 2
4 1 Q=
1 2
i+jij ij
Los cofactores son: V = -1 |M |
1+1 11
1+2 12
2+1 21
2+2 22
V =(-1) (2)=2
V =(-1) (1)=-1
V =(-1) (2)=-2
V =(-1) (4)=4
Luego, el ordenamiento de tipo cuadrado de cofactores de P es:
2 -1 cof(V)=
-2 4
Entonces, la Adj V es:
2×2
2 -2 Adj(V)=
-1 4
1.7.5.3 Teorema de la inversa de una matriz por determinantes.
Un ordenamiento de escalares del tipo cuadrado V tiene inversa si y solo si es una matriz no singular; en tal caso, se dice que es invertible (AFINED, 2013).
Sea V un ordenamiento de escalares del tipo cuadrado invertible, entonces el ordenamiento de escalares inverso está dada por V-1=(Adj(V)/|V|) (AFINED, 2013).
2 × 2
4 3 V=
2 2
i+jij ij
Los cofactores son: V = -1 |M |
1+1 11
1+2 12
2+1 21
V =(-1) (2)=-2 V =(-1) (3)=-3
2+2 22
V =(-1) (4)=4
2 2 2 × 2
2 -2 2 -3
cof(V)= Adj(V)=
-3 4 -2 4
Hallando V :
2 × 2
4 3
V= V =4×2-2×3=2
2 2
Entonces, el ordenamiento de escalares inverso será:
-1 Adj(V)
V = V
-1 -1
2 2
2 × 2
3
2 -3 -1
-1
2
V = V =
2 -2 4
1 2
1.8 Transformaciones lineales y matrices
“Las T.L se caracterizan porque conservan la estructura algebraica de los conjuntos entre los que se define” (Buitrago, 2009, p. 303).
“Una T.L es una función T: VW que asigna a cada vector vV un único vector uW denotado por T(v)” (Buitrago, 2009, p. 303).
“Para todo (u, v)V, T(u+v) =T(u)+T(v)” (Buitrago, 2009, p. 303).
1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2
T(u+v)=k(x +x ,y +y ,z +z ) T(u+v)=k(x ,y ,z )+k(x ,y ,z )
T(u+v)=ku+kv T(u+v)=T(u)+T(v)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
T( u) T( x , y , z ) k( x , y , z ) T( u) (kx , ky , kz )
T( u) T(u)
“Una T.L es una función entre espacios vectoriales que conservan su estructura” (Buitrago, 2009, p. 335).
“El núcleo de una T.L es el conjunto de vectores que tienen como imagen al vector nulo” (Buitrago, 2009, p. 335).
“La nulidad de una T.L de la función T es la dimensión del núcleo de la misma” (Buitrago, 2009, p. 335).
“La imagen de una T.L es el conjunto de vectores, que son imagen de otro vector” (Buitrago, 2009, p. 335).
“El rango de una T.L de la función T es la dimensión de la imagen de la misma” (Buitrago, 2009, p. 335).
1.8.1 Matriz de una transformación lineal.
“Sea T: VW, T es lineal; donde v1, v2, ……, vn elementos de la base V y u1,
u2, …...,un son elementos de la base W” (Buitrago, 2009, p. 335).
1 11 1 21 2 31 3 α1 m
2 12 1 22 2 32 3 α2 m
n 1β 1 2β 2 3β 3 αβ m
T(v )=p u +p u +p u +……+p u
T(v )=p u +p u +p u +……+p u
... T(v )=p u +p u +p u +……+p u
Ahora generamos el ordenamiento rectangular PT:
11 12 13 1β
21 22 23 2β
T
α1 α2 α3 αβ α×β
p p p ...p
p p p ...p P =
...
p p p ...p
“Sea T:V(x)W(x); T(ax+bx+cx2)=ax+b+c; v=1; 1-x;1+x+x2; u=1-x; 1+x”
(Buitrago, 2009, p. 336). T(1)=1.x+0+0=x T(1-x)=1.x-1+0=x-1
2
T(1+x+x )=1.x+1+1=x+2
11 21
x=p (1-x)+p (1+x)
11 21 21 11
x=(p +p )+x (p -p )
11 21
11 21
11 21
-1 1
(p = ; p = )
2 2
p +p =0 -p +p =1
12 22
12 22 22 12
x-1=p (1-x)+p (1+x)
x-1=(p +p )+x (p -p )
12 22
12 22
12 22
p +p =-1 -p +p =1
(p =-1; p =0)
13 23
13 23 23 13
x+2=p (1-x)+p (1+x)
x+2=(p +p )+x (p -p )
13 23 13 13 2 2 3 3
p +p =2 -p +p =1
1 3
(p = ; p = )
Capítulo II
Sistema de ecuaciones lineales con matrices
2.1 Sistema de ecuaciones lineales
Es un agrupamiento de igualdades lineales o no lineales con diferentes interrogantes, que provocan en forma sincronizada valores atribuidos a sus interrogantes de manera lógica (AFINED, 2013).
Se tiene dos interrogantes en el sistema de dos igualdades y se cumplen conjuntamente para x=3; y=1 (AFINED, 2013).
6x+10y=28
4x-10
(x=3; y= y
1) =2
Se tiene tres interrogantes en el sistema de tres igualdades y se cumplen conjuntamente para x=2; y=2; z=2 (AFINED, 2013).
4x+2y-2z=8 x+y+z=6 6x-2
(x=2; y =2; y
z=2) =8
4x - 4+ 16 - 4y =10
4 6
+ =2
x=5; y = -5 x - 4 y + 2
Cuando en el sistema una igualdad no es lineal, se dice que no es lineal dicho sistema (AFINED, 2013).
3x+3y=24
2 26
6 3 35
4x - 4+ 4y - 8=6
x y
x y
“Si existe, la solución de un sistema de igualdades, precisa del número de
interrogantes” (AFINED, 2013, p. 82). (x=2y=6) (x=5 y=3)
Si se tiene dos interrogantes en el sistema, una solución será (x0; y0), llamado par
ordenado (AFINED, 2013).
C.S= (2;6),(5;3)
Si se tiene tres interrogantes en el sistema, una solución será (x0; y0; z0), llamada
terna ordenada (AFINED, 2013). 0x+4y-5z=0
-4x+0y+7z=0 5x-7y+0z=0
Si se tiene n interrogantes, una solución será (x1; x2; …; xn) de n elementos,
llamada n-ada ordenada (AFINED, 2013).
2.1.1 Clasificación de los sistemas de ecuaciones.
“Se organizan de acuerdo a ciertas cualidades” (AFINED, 2013, p. 82).
2.1.1.1 Sistema compatible o consistente.
“Es aquel que tiene al menos una respuesta, es decir, su C.S tiene al menos un elemento” (AFINED, 2013, p. 82).
6x-2y=18
(x=4; y=3) CS= (4;3) x+2y=10
3x-3y=27
(x=3;y=1) C.S= (3;1),... 8x-8y=16
6x+2y=8
y=-3x+4 C.S= (-2;10),...
3 y
x+ =1
4 4
2.1.1.2 Sistema incompatible o inconsistente.
“Su cualidad es que no tiene respuesta; es decir, su conjunto solución es el ” (AFINED, 2013, p. 83).
8x+4y=10
16x+8y=6
10=3, lo cual es absurdo C.S= .
2.1.1.3 Sistemas lineales.
“Se debe esta denominación a que, en el espacio euclideo, estas igualdades determinan rectas, planos o hiperplanos” (AFINED, 2013, p. 84).
11 1 12 2 1β n 1
21 1 22 2 2β n 2
31 1 32 2 3β n 3
m1 1 m2 2 αβ n m
p x +p x +...+p x =d p x +p x +...+p x =d p x +p x +...+p x =d
. .
p x +p x +...+p x =d
La forma particular de un sistema de igualdades es (AFINED, 2013).
6x+12y-6z=8
2x+4y-2z=12
12x-6y+10z=2
2x-2y+4z=6
2x- 3y= 5
3x+4y=1
2.1.1.4 Sistemas no lineales.
“Son aquellos sistemas donde al menos una de las igualdades es no lineal; es decir, puede ser polinomial de grado n ≥ 2, racional, irracional, etc” (AFINED, 2013, p. 84).
“Sistemas polinomiales de grado superior” (AFINED, 2013, p. 84).
3 2 2
2 2 4
x +xy+y=1 x +4y =25
x+y=3 ; x+2y=7
x +4y =25 x +xy+y=1
“Sistemas no algebraicos no polinomiales” (AFINED, 2013, p. 84).
3 x+y
3
x+y x+y x
log x-log x=1 3 -2y=5
x.logy=2 ; 3x+3y=1
2 - 5y =5 x.logy =2
2.1.2 Métodos para resolver un sistema lineal. 2.1.2.1 Método de reducción de Gauss.
Radica en ir reduciendo igualdades e interrogantes logrando presentar una sola igualdad con la mínima cuantía de variables (AFINED, 2013).
6x+10y=28...(I)
4x-2y=10...(II)
De la ecuación II y=2x-5...(α)
Supliendo en la igualdad (I) 6x+10(2x-5)=28 6x+20x-50=28
26x=78 x=3
Supliendo en la igualdad ()
y=2(3)-5=1 CS= 3;1
2.1.2.2 Método de la matriz inversa de Arthur Cayley.
Se basa en el empleo de los ordenamientos rectangulares de tipo inverso para la determinación de los sistemas lineales delimitados. Se emplea en sistemas lineales donde el número de igualdades es idéntico al número de interrogantes (AFINED, 2013).
Para determinar el sistema lineal:
11 1 12 2 1β n 1
21 1 22 2 2β n 2
β1 1 β2 2 ββ n n
p x +p x +...+p x =d p x +p x +...+p x =d
. .
p x +p x +...+p x =d
Este sistema genérico de igualdades lineales es encaminado a una igualdad matricial, de manera consecuente a: PX=D (AFINED, 2013).
11 12 13 1β 1
21 22 23 2β 2
31 32 33 3β 3
n
β1 β2 β3 ββ
p p p ... p x p p p ... p x p p p ... p x … ...
x p p p ... p
1 2 3 n d d = d … d
Aislando la igualdad de ordenamientos rectangulares:
11 12 13 1β
1
21 22 23 2β
2
3 31 32 33 3β
n β1 β2 β3 ββ
p p p ... p x
p p p ... p x
x = p p p ... p … ...
x p p p ... p
-1 1 2 3 n d d d … d -1
X = P D
Este sistema particular de igualdades lineales es encaminado a una igualdad matricial, de manera consecuente a: PX=D (AFINED, 2013).
6x-2y=18
x+2y=10
6 -2 x 18 = 1 2 y 10
-1
x 6 -2 18
=
y 1 2 10
Averiguando el ordenamiento inverso de tipo cuadrado de 2×2:
1 2 2 2 1
h × h h h -6h
6 -2 | 1 0 1 2 | 0 1
1 2 | 0 1 6 -2 | 1 0
2 2
1 1 2
-1
h h
h h -2h 14
1 1
1 2 | 0 1 1 0 |
1 2 | 0 1 7 7
-1 3
0 -14 | 1 -6 0 1 | -1 3
0 1 | 14 7 14 7
Operando el producto de ordenamientos rectangulares:
1 1 18 10 4
x 18 +
7 7 7 7
= = = (x=4;y=3) C.S= (4;3)
-1 3 -18 30
+ 3
y 10
14 7 14 7
2.1.2.3 Método de Gabriel Cramer.
La cantidad de igualdades de ciertas variables es idéntica a la cantidad de interrogantes, encima de que el determinante de los coeficientes de las interrogantes es diferente de cero (AFINED, 2013).
Aplicando el procedimiento de Cramer (AFINED, 2013).
11 1 12 2 1β n 1
21 1 22 2 2β n 2
β1 1 β2 2 ββ n n
p x +p x +...+p x =d
p x +p x +...+p x =d
...
p x +p x +...+p x =d Estimamos:
11 12 1β 11 12 1 1β
21 22 2β 21 22 2 2β
j
β1 β2 ββ β×β β1
p p ...…p p p ...d ...p p p ...…p p p ...d ...p
P = 0; P =
... ...
p p ...…p p p
β2...d ...pn ββ β×β
En seguida, el resultado viene asignado por (AFINED, 2013).
j j
P
x = ;j=1;2;...;n
Donde P es el ordenamiento de escalares de tipo cuadrado del sistema de igualdades (AFINED, 2013).
11 12 13 1β
21 22 23 2β
31 32 33 3β
β1 β2 β3 ββ β×β
p p p ... p p p p ... p P= p p p ... p
... p p p ... p
“Con determinante no nulo: | P | ≠ 0 y Pj es el ordenamiento que se obtiene a partir
del ordenamiento de escalares de tipo cuadrado P, cambiando los elementos de la columna j por los términos independientes” (AFINED, 2013, p. 88).
Emplee el proceso de Cramer para cuantificar el sistema (Lay, 2007).
6x+10y=28
4x-2y=10
6 10
P = = - 12 - 40= - 52 4 -2
1
28 10
P = = -56 - 100= - 156 10 -2
2
6 28
P = = 60 - 112 = -52 4 10
Determinando las interrogantes:
1 1
P -156
x=x = = =3
P -52
2 2
P -52
y=x = = =1 (x=3;y=1) C.S= (3;1)
2.1.2.4 Método matricial de Gauss – Jordan.
Este procedimiento es parecido al proceso de reducción y permite cuantificar un sistema lineal de forma de ordenamientos rectangulares (AFINED, 2013).
Se aplica para sistemas lineales donde la cantidad de interrogantes es diferente a la cantidad de igualdades (AFINED, 2013).
“Se basa en triangular un ordenamiento rectangular aumentado mediante algunas operaciones elementales por filas para después obtener fácilmente las soluciones con solo despejar las incógnitas desde la última ecuación hasta la primera” (AFINED, 2013, p. 89).
“Sea el sistema lineal” (AFINED, 2013, p. 89).
11 1 12 2 1β n 1
21 1 22 2 2β n 2
31 1 32 2 3β n 3
α1 1 α2 2
p x +p x +...+p x =d p x +p x +...+p x =d p x +p x +...+p x =d ... ... p x +p x +...+p x =dαβ n m
Se llama ordenamiento rectangular aumentado al ordenamiento rectangular de la forma (AFINED, 2013).
11 12 13 1β 1
21 22 23 2β 2
31 32 33 3β 3
α1 α2 α3 αβ m
p p p ... p | d p p p ... p | d p p p ... p | d ... p p p ... p | d
Descubra el sistema (Poole, 2018).
6x+10y=28
4x-2y=10
3x+5y=14
2x-y=5
Redacte el ordenamiento rectangular aumentado del sistema de igualdades lineales de dos interrogantes (Poole, 2011).
1 1 2 2 2 1
h h -h h h -2h
3 5 | 14 1 6 | 9 1 6 | 9
2 -1 | 5 2 -1 | 5 0 -13 | 5
Estime el sistema equivalente que corresponda al ordenamiento de escalares reducido por conjuntos de escalares horizontales (Poole, 2018).
x+6y=9 (I)
0x-13y=-13 (II)
Supliendo en la igualdad (II) -13y=-13y=1
(II) en (I) : x+6(1)=9x=3 (x=3;y=1)C.S= (3;1)
2.1.2.5 Teorema de Rouché – Frobenius.
Sean C el ordenamiento rectangular de los coeficientes de las incógnitas y B el ordenamiento rectangular aumentado con los términos independientes como último conjunto de escalares verticales (AFINED, 2013).
Del sistema de igualdades generamos los ordenamientos B y C (AFINED, 2013).
11 1 12 2 1β n 1
21 1 22 2 2β n 2
α1 1 α2 2 αβ n m
p x +p x +...+p x =d
p x +p x +...+p x =d
...
p x +p x +...+p x =d
11 12 13 1β
21 22 23 2β
α1 α2 α3 αβ α×β
p p p ... p
p p p ... p C=
...
p p p ... p
11 12 13 1β 1
21 22 23 2β 2
α1 α2 α3 αβ m
p p p ... p | d p p p ... p | d B=
... p p p ... p | d
La cualidad necesaria e idónea para que el sistema sea compatible, esto es, para que tenga resultado, es que el rango de C sea idéntico al rango de B (AFINED, 2013).
“Si el r(C)=r(B)=n, el sistema tendrá solución única (compatible determinado)” (AFINED, 2013, p. 90).
“Si el r(C)=r(B)=k<n, el sistema tendrá infinitas soluciones y dependerá
exactamente de (n-k) parámetros (compatible indeterminado)” (AFINED, 2013, p. 90). “si el r(B)≠r(C), el sistema de ecuaciones no tendrá solución (sistema
incompatible)” (AFINED, 2013, p. 90).
Todo sistema con igual cantidad de igualdades que interrogantes tiene resolución o es incompatible (AFINED, 2013).
x y 1
x y 2
Se tiene el ordenamiento rectangular aumentado (AFINED, 2013). 2 1
h h
1 1 | 1 1 1 | 1
1 1 | 2 0 0 | 1
Como el rango del ordenamiento rectangular de coeficientes es diferente al rango del ordenamiento aumentado, en tal caso es incompatible (AFINED, 2013).
Todo sistema con más interrogantes que igualdades tiene respuesta o no tiene respuesta (AFINED, 2013).
x 2y 4z 3
2x 4y 8z 2
