Lenguaje de la logica proposicional.pdf

(1)

Tema 2.

EL LENGUAJE DE LA

LÓGICA PROPOSICIONAL

(2)

Cuando el lenguaje falla…

Una oración puede ser defectuosa a 3 niveles:

1. SINTÁCTICO

A esta oración del castellano les falla algo

A este otra oración le fallar todavía más cosa

(3)

Cuando el lenguaje falla…

2. SEMÁNTICO

Esta pitufa del castellano tiene una palabra extraña

Las ideas verdes incoloras duermen furiosamente Confucio es impar

(4)

Cuando el lenguaje falla…

3. PRAGMÁTICO

Él ha dicho que le dé la medicina

“Declaro abierta la sesión” (dicho por un conserje del Parlamento)

(5)

3 niveles de análisis del lenguaje

1. SINTAXIS: Centrada en la estructura formal de las oraciones

2. SEMÁNTICA: Centrada en las

condiciones de verdad de las oraciones

(6)

3 niveles de análisis del lenguaje

• En lógica sólo nos va a interesar la sintaxis y la semántica.

• Dentro de la semántica sólo nos va a interesar la parte formal, i.e., el modo en que la

disposición formal de los elementos afecta a los valores de verdad:

(7)

El alfabeto lógico

• Todo lenguaje necesita de:

1. Un alfabeto, i.e., un conjunto de

elementos primitivos desde los que construimos sus expresiones

(8)

La sintaxis lógica

• Todo lenguaje necesita de:

2. Reglas de combinación de los elementos primitivos

• Inglés y español comparten alfabeto, pero no admiten las mismas combinaciones:

ortográficas: THR no es una combinación de letras admisible en español

(9)

Alfabeto de la lógica proposicional

• El lenguaje de la lógica proposicional (L₀) necesita tres tipos distintos de símbolos:

1. CONSTANTES PROPOSICIONALES 2. CONECTIVAS LÓGICAS

(10)

Alfabeto de la lógica proposicional

1. CONSTANTES PROPOSICIONALES

- Simbolizan oraciones o proposiciones, i.e., unidades que tienen un valor de verdad

(11)

Alfabeto de la lógica proposicional

1. CONSTANTES PROPOSICIONALES

- Utilizaremos las siguientes letras minúsculas:

p, q, r, s, t, u

- Si necesitamos simbolizar más oraciones (un número infinito de ellas), recurrimos a

subíndices numéricos:

(12)

Alfabeto de la lógica proposicional

2. CONECTIVAS LÓGICAS

- Las oraciones pueden conectarse entre sí por medio de partículas con valor lógico

- Las principales partículas son cinco, que equivalen a las siguientes:

(13)

Alfabeto de la lógica proposicional

- Estas partículas caen en dos grupos:

a) Binarias: Las que conectan dos oraciones: Hume canta Y Kant humea

(14)

Alfabeto de la lógica proposicional

b) Monarias: Las que se aplican a una sola oración: Hume NO canta

NO hay vida más allá de Marte

NO todos los filósofos están locos (ojo! No confundir con:

(15)

Alfabeto de la lógica proposicional

- En lógica estas partículas reciben nombres y símbolos especiales:

(16)

Alfabeto de la lógica proposicional

Y = CONYUNTOR

(17)

Alfabeto de la lógica proposicional

O = DISYUNTOR

(18)

Alfabeto de la lógica proposicional

SI…(ENTONCES) = CONDICIONAL

(19)

Alfabeto de la lógica proposicional

SI Y SÓLO SI = BICONDICIONAL

(20)

Alfabeto de la lógica proposicional

3. SÍMBOLOS AUXILIARES

- Son paréntesis y corchetes, que sirven para agrupar los otros símbolos de manera que se puedan evitar ambigüedades:

(21)

Alfabeto de la lógica proposicional

He aquí todo de una vez:

CONSTANTES: p, q, r, s, t, u, p_1,p_2,p_{3 …} CONECTIVAS: ¬, , , , 

(22)

Recursividad

• La mayoría de los lenguajes son recursivos: empleando un número finito de elementos es posible construir un número infinito de oraciones.

(23)

Recursividad

• Una fuente de recursividad es la posibilidad de unir oraciones simples para formar

compuestas.

(24)

Recursividad

• La recursividad comienza por tomar algunos

elementos básicos y definir cómo se construyen los elementos complejos a partir de ellos:

- Dadas las oraciones básicas ‘Hume canta’, ‘Kant baila’, también son oraciones las siguientes:

Hume canta y Kant baila Hume canta o Kant baila Si Hume canta, Kant baila Hume no canta

Kant no baila

(25)

Recursividad

• Podemos seguir aplicando esto en general: dadas las oraciones O y O’, son también oraciones las siguientes:

O y O’, O o O’, Si O entonces O’, no O, etc.

• Podemos aplicar la regla cuantas veces queramos: dado que

• ‘Hume canta y Kant baila’ y ‘Hegel da palmas’

son oraciones, también lo será

(26)

Recursividad

-Hume canta o Kant baila o Hegel da palmas -Hume canta y Kant baila y Hegel da palmas -Hume canta, o Kant baila y Hegel da palmas -Hume canta o Kant baila, y Hegel da palmas -Si Hume canta y Hegel da palmas, Kant baila -Hegel da palmas si y sólo si Kant baila

(27)

Recursividad

• La recursividad permite construir algunas oraciones peculiares:

-Hume canta y Kant baila y Hume canta y Kant baila y Hume canta y Kant baila…

-Si Hegel da palmas, Hegel da palmas

-Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta

(28)

Recursividad

• Nuestro lenguaje lógico también va a ser recursivo.

• Las oraciones en nuestro lenguaje se van a llamar FÓRMULAS

• Comenzaremos por definir cuáles son las oraciones simples o fórmulas atómicas

• A continuación daremos un método de

(29)

Fórmulas atómicas

• Serán las que correspondan a las oraciones simples del castellano: sin ninguna

partícula lógica.

• Se trata por tanto de las constantes proposicionales:

p q r …

(30)

Fórmulas moleculares

• Las formaremos a partir de las atómicas, empleando las conectivas lógicas:

p  q p  r q  p r  q

q

(31)

Ambigüedad

• En el lenguaje natural con frecuencia aparecen posibles ambigüedades:

Hume canta o Kant baila y Hegel da palmas ¿Da o no da palmas Hegel?

Ahora sí:

Hume canta o Kant baila, y Hegel da palmas

Ahora no se sabe:

(32)

Ambigüedad

• En lógica queremos construir fórmulas que excluyan toda ambigüedad.

• En el lenguaje natural usamos diversos

elementos para evitar la ambigüedad, como: 1) pausas prosódicas, 2) signos de

puntuación y, 3) el contexto.

(33)

Ambigüedad

- Nuestro principal recurso contra la ambigüedad son los PARÉNTESIS.

- Sea: p  Hume canta ; q  Kant baila;

r  Hegel da palmas

p  q  r

es AMBIGUA; equivale a:

Hume canta o Kant baila y Hegel da palmas

p  (q  r)

 H canta, o K baila y He da palmas

(

p  q)  r

 H canta o K baila, y He da palmas

(34)

Metavariables

- Si la lógica es nuestro lenguaje objeto, el castellano es su metalenguaje.

- Pero necesitamos ampliar nuestro

metalenguaje con algunos símbolos que hacen las veces de abreviaturas.

- Para referirnos a fórmulas en general

usaremos letras griegas:







…

(35)

Metavariables

- Una constante, como p, representa aquello que la hace verdadera o falsa (llueve; las rosas son rojas, etc)

- Una metavariable, como



, representa cualquier fórmula:

p ; ¬q ; pr ; p  (q  r) ; p (p p)

…

(36)

Reglas de formación

• (i) Toda constante proposicional sola es una fórmula (atómica)

• (ii) Si  es fórmula, entonces ¬ es fórmula • (iii) Si ,  son fórmulas, (  ), (  ),

(  ), (  ) son fórmulas

(37)

Reglas de formación

(i) Toda constante proposicional sola es una fórmula

- De este modo obtenemos nuestras fórmulas atómicas:

p q r s t

(38)

Reglas de formación

(ii) Si  es fórmula, entonces ¬ es fórmula - Dadas las anteriores, también son fórmulas:

¬p ¬q ¬r ¬s ¬t

¬u ¬p₁ ¬p₂ ¬p_{3 …}

-Podemos aplicar recursivamente (ii) sobre las

fórmulas recién obtenidas:

(39)

Reglas de formación

(iii) Si ,  son fórmulas, (  ), (  ), (  ), (  ) son fórmulas

-Dadas (i) y (iii) serán fórmulas:

(p  q) (p  s) (p  r) … (q p ) … (p  q) (p  s) (p  r) … (q  p) … (p  q) (p  r) …

(40)

Reglas de formación

-Si además tenemos en cuenta (ii), son fórmulas: (p  ¬q) (¬p  s) (p  ¬r) … (q  ¬p ) … (¬p  q) (p  ¬s) (¬p  ¬r) … (¬q  p)

…

(41)

Reglas de formación

-Y podemos aplicar otra vez (ii) sobre las últimas fórmulas :

¬(p  ¬q) ¬(¬p  s) ¬(p  ¬r) … ¬(q  ¬p ) … ¬(¬p  q) ¬(p  ¬s) ¬(¬p  ¬r) …¬ (¬q  p) … ¬(p  ¬q) ¬(¬p  r) ¬(¬p  ¬r) …

¬(¬p  q) ¬(p  ¬r) ¬(¬p  r) …

(42)

Reglas de formación

- Y podemos seguir aplicando (ii) y (iii) cuanto queramos:

(p  (p  q))

(¬p  (q  ¬s)) (p  ¬r)  (q  ¬p ) (p  ((¬p  q)  (p  ¬s)))

(43)

Reglas de formación

(iv) Sólo son fórmulas las secuencias que satisfacen (i), (ii) o (iii)

(44)

Reglas de simplificación

• Pueden suprimirse siempre: (a) Los dos paréntesis externos: (p  (q  ¬r))  p  (q  ¬r)

(45)

Reglas de simplificación

• Pueden suprimirse siempre:

(b) Los paréntesis internos no precedidos de negador

en secuencias compuestas totalmente por conyuntores o totalmente por disyuntores:

(p  (q  r))  (p  q  r)

pero (p  ¬(q  r))  (p  ¬q  r) !!

(p  (¬q  r))  (p  ¬q  r)

(46)

Conectiva dominante

• Consideremos cómo se forman las fórmulas moleculares:

- La última regla de formación que hayamos usado ha tenido que ser (ii) o (iii), i.e., la última regla ha introducido el negador o una conectiva binaria:

¬p lo último introducido es el negador ¬ q  ¬r lo último introducido es el conyuntor 

(47)

Conectiva dominante

• La última conectiva introducida será la CONECTIVA DOMINANTE de la fórmula.

• Es importante distinguirla, porque es a la que habrá que atender para determinar el valor de verdad de la fórmula.

p  (r  s) ¬(p  (q  r))

¬p  (p  (p  p)) ¬((p  q)  ¬(p  q))

(((p  q)  p)  q)  p ¬(p  ¬(q  r  ¬(p  q)))



¬



el segundo  el primer ¬

(48)

Ejercicio: ¿cuáles son fórmulas?

(¬(p  ¬q)

(p  q)  ¬p  q

((q  (r  ¬s))  (¬¬p  q))  ¬r ¬(s  (p  q¬))

¬(p  (¬q  ¬(r (¬s  t)))) ¬¬¬¬¬¬ ¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬p

(¬q  (r  (¬p  q)))  (q  (¬r  (p  ¬q)))

(49)

Ejercicio: ¿cuáles son fórmulas?

((¬q  r)  ¬(p  q))  ¬(q  r)  ((p  ¬q)  q) ¬(p  ¬q)  ¬r) ¬s)  t))))

(((p  q  ¬r)  (¬q  ¬p))  (p  ¬s))  (¬p  q  r) (p  (q  ¬p  r))  (p  q)

(((p  (q  ¬r))  (¬q  s))  (s  ¬p))  (p  q) (p  q  ¬r)  (p  ¬q  ¬r)  (¬p  q  r)

(p  q)  (¬p  q)  (p  ¬q)  (¬p  ¬q)

(50)

Ejercicio: conectiva dominante

¬(p  ¬q)

(p  q)  (¬p  q)

((q  (r  ¬s))  (¬¬p  q))  ¬r ¬(s  (p  q))

¬(p  (¬q  ¬(r (¬s  t)))) ¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬p

(¬q  (r  (¬p  q)))  (q  (¬r  (p  ¬q)))

el primer ¬





¬

el primer ¬

(51)

Ejercicio: conectiva dominante

(((¬q  r)  ¬(p  q))  ¬(q  r))  ((p  ¬q)  q) ¬((((p  ¬q)  ¬r) ¬s)  t)

(((p  q  ¬r)  (¬q  ¬p))  (p  ¬s))  (¬p  q  r) (p  (q  (¬p  r)))  (p  q)

(((p  (q  ¬r))  (¬q  s))  (s  ¬p))  (p  q) (p  q  ¬r)  (p  ¬q  ¬r)  (¬p  q  r)

(p  q)  (¬p  q)  (p  ¬q)  (¬p  ¬q)

2º  el primer ¬

2º



3er 