Walter Orlando Gonzales Caicedo
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TEMA:
OPERACIONES CON MATRICES
Gonzales Caicedo Walter Orlando
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CAPÍTULO I
MATRICES
1.1 Introducción
Un empresario tiene tres máquinas que son empleadas en la fabricación de cuatro productos diferentes. El número de horas que cada máquina es usada en la producción de una unidad de cada uno de los cuatro productos está dado por:
Así, por ejemplo, en la producción de una unidad del producto 1 la maquinaria 1 se usa 1 hora y la máquina 2 se usa 2 horas.
A este arreglo de la información en filas y columnas se le denomina matriz y para designarlas se utilizan letras mayúsculas (A, B, C,…). Si al arreglo anterior le llamamos matriz A, tendríamos:
0 3 2 1
1 1 0 2
2 1 2 1 A
Siendo A una matriz de 3 filas (horizontales) y 4 columnas (verticales).
Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester
El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853 En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...
Prod 1 Prod 2 Prod 3 Prod 4
Maq 1
Maq 2
Maq 3
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La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos, etc...
1.2 Definición: Una matriz es un arreglo rectangular de números en filas y columnas,
encerrados entre corchetes o paréntesis.
1.3 Orden de una Matriz: Dada una matriz se denomina orden de la matriz al
producto indicado del número de filas por el número de columnas. Considerando la matriz anterior esta sería de orden 3 4 (3 filas por 4 columnas).
1.4 Matriz cuadrada: Se llama así a la matriz que tiene el mismo número de filas y columnas. Así,
1 5 1
3 1 2
2 2 1 B
es una matriz cuadrada de orden 3 3 o simplemente diremos que tiene orden 3.
1.5 Elementos de una matriz: De manera general un elemento cualquiera de la
matriz A se representa mediante la notación aij donde los subíndices i, j nos indica la fila y la columna donde está ubicado el elemento en cuestión. Así el elemento de la fila 2 y columna 4 de la matriz A, sería:
1 24
a
De igual manera, se tiene que
0 3
34 33
a a
¿Cuál será el elemento ubicado en la fila 3 y columna 2 de la matriz B?
32
b
1.6 Forma general de una matriz: Generalizando la notación de una matriz A de
orden m n será:
mn m
m m
n n n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
3 2 1
3 33
32 31
2 23
22 21
1 13
12 11
A
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nm ij
a ) ( A
si el número de filas y columnas está sobrentendido o no tiene importancia se escribe simplemente A (aij).
1.7 igualdad de matrices: Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y los
elementos correspondientes iguales. Por ejemplo, las matrices
1/4 3 -0
-5 4
A y
1/4 3 -0
-5 4
B son iguales, pues:
1) Son de igual orden 2 3
2) Sus elementos correspondientes son iguales:
4 / 1
3
0
5
4
23 23 22
22 21
21
13 13 12
12 11
11
b a b
a b
a
b a b
a b
a
Ejercicio: Sean las matrices
1/8 3.14 9
2 7 -4
-5 3 2
A y
3.14 1/8 9
2 7 4
-5 3 2
B ¿Es A=B?
Explique su respuesta.
Solución: Las matrices no son iguales, pues aunque tienen el mismo orden no todos sus elementos correspondientes son iguales, por ejemplo, a22 b22.
1.8 Algunos tipos de matrices
Hay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que según su forma o sus elementos reciben nombres diferentes
:
1.8.1 Matriz transpuesta
Dada una matriz A, se llama transpuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por At.
Ejemplo.
Sea a)
7 4 3
5 2 1
A , entonces
7 5
4 2
3 1 t
A
b)
7 2 3
1 2 4
8 6 1
B , entonces
7 1 8
2 2 6
3 4 1 t
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1.8.3 Matriz nula.
Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por
n m 0 .
Por ejemplo, la matriz 03 4 sería la matriz:
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1.8.4 Matriz identidad.
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se le denomina matriz unidad y normalmente se le representa por la letra I, así tenemos que la matriz identidad de orden 3 3 se escribe de la siguiente forma:
1 0 0
0 1 0
0 0 1 I
1.8.5 Matriz escalar.
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales. Por ejemplo, la siguiente matriz es una matriz escalar:
7 0 0
0 7 0
0 0 7 A
1.8.6 Matriz triangular superior.
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. Son de la forma:
j
i
si
0
...
0
0
...
...
...
...
0
...
2 221 12
11
ij
mn n n
a
a
a
a
a
a
a
A
Ejemplo.
1 0 0
6 1 0
4 2 5
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1.8.7 Matriz triangular inferior.
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros. Son de la forma:
j
i
si
0
...
...
...
...
...
0
0
...
0
2 1
22 21 11
ij
mn m
m
a
a
a
a
a
a
a
A
Ejemplo:
1 4 9
0 2 3
0 0 2
A
CAPÍTULO II
OPERACIONES CON MATRICES
2.1. Introducción. Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850,
introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría de matrices se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m
ecuaciones lineales con n incógnitas.
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, administración, en la teoría de las comunicaciones, etc...
La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos.
2.1.1 Multiplicación de una matriz por un escalar: Sea un escalar y A (aij) una
matriz de orden m n. El producto del escalar por la matriz A (denotado como A) es la matriz que se obtiene al multiplicar cada uno de los elementos de A por el escalar
. Ejemplo: Sea la matriz:
5
4
3
1
-A
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15
12
9
3
-A
3
2.1.2 Adición de matrices:
Sean A (aij) y B (bij) dos matrices de orden m n. Entonces la suma de A y B, denotada como A B, es la matriz de orden m n que se obtiene al sumar los elementos correspondientes de A y B.
Ejemplo 1 Calcular la matriz C=A+B, si
2 2 3
-5 4 -2 B y 3 6 7
3 5 4 A
Solución:
5 8 4
8 1 6 C
2 3 2 6 3 -7
5 3 4 -5 2 4 C
2 2 3
5 4 2 3 6 7
3 5 4 C
Nota: La suma de dos matrices es posible sólo si ambas matrices tienen el mismo orden. Por ejemplo, no es posible sumar las matrices
9 6 3
6 5 4 y 1 3
4 5
0 7
ya que no tienen el mismo orden.
Ejemplo 2. Sea; A =
2 3 5 7
9 8
10 12
x
y B =
2 3 5 6
8 9
15 11
x
. Calcular A + B y A - B.
Solución:
A + B =
2 3 5 7
9 8
10 12
x
+
2 3 5 6
8 9
15 11
x
A – B =
2 3 5 7
9 8
10 12
x
-
2 3 5 6
8 9
15 11
x
A + B =
2 3 5 5 6 7
8 9 9 8
15 10 11 12
x
A – B =
2 3 5 5 6
7
8 9 9
8
15 10 11 12
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A + B =
2 3 10 13
17 17
25 23
x
A – B =
2 3 0 1
1 1
5 1
x
Ejemplo 3. Si A =
3 3 8 12
11 5
3
4 2
2
x
y x
y x
y x
y B =
3 3 8 12
7
11 5
17
4 11
2
x
¿Qué valor toma x+y; si la matriz, A + B es una matriz nula?
Solución:
A + B =
3 3 8 12
11 5
3
4 3 2 2
x
y x
y x
y x
+
3 3 8 12
7
11 5
17
4 11
2
x
=
3 3 0 0
7
0 0
17 3
0 11 3 2 0
x
y x
y x
y x
=
3 3 0 0 0
0 0 0
0 0 0
x
= 0. De donde:
0
7
0
17
3
0
11
3
2
y
x
y
x
y
x
Solucionando el sistema anterior, se obtiene: x = 2, y = 5; por lo que: x + y = 7.
Ejemplo 4. Dadas matrices A =
2 3 6 5
4 3
2 1
x
y B =
2 3 3 4
5 1
2 3
x
; hallar:
D =
2 3x
u t
s r
q p
de manera que A + B – D = 0
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A + B – D =
2 3 6 5
4 3
2 1
x
+
2 3 3 4
5 1
2 3
x
-
2 3x
u t
s r
q p
=
2 3 3
6 4
5
5 4 1
3
2 2 3
1
x
u t
s r
q p
=
2 3 9 9
1 4
2
x
v t
s r
q p
=
2 3 0 0
0 0
0 0
x
De la definición de matrices iguales, se tiene:
0 9
0 9
0 1
0 4
0 0 2
v t
s r q
p
de donde:
9 9
1 4 0
2
v t s r q p
. En consecuencia: D =
2 3 9 9
1 4
0 2
x
Ejemplo Práctico. (Matriz de Costos de Suministros) Un contratista calcula que
los Costos en dólares) de adquirir y transportar unidades determinadas de concreto, madera y acero desde tres diferentes localidades están dados por las siguientes Tablas.
Tabla 01.
Localidad A Concreto Madera Acero
Costos de material 20 35 25
Costos de
transporte
22 10 6
Tabla 02.
Localidad B Concreto Madera Acero
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Costos de
transporte
9 9 8
Tabla 03.
Localidad C Concreto Madera Acero
Costos de material 18 32 26
Costos de
transporte
11 8 5
a. Determinar las matrices de Costos de Suministros de las localidades A, B y C.
b. Escriba la matriz que representa los Costos Totales de material y de transporte por unidades de concreto, madera y acero desde cada una de las tres localidades.
Solución:
a.- Matriz de Costos de Suministros de la localidad A.
A =
3 2 6 10 22
25 35 20
x
Matriz de Costos de Suministros de la localidad B.
B =
3 2 8 9 9
24 36 22
x
Matriz de Costos de Suministros de la localidad C.
C =
3 2 5 8 10
26 32 18
x
b. La matriz que representa los Costos Totales es la matriz suma A + B + C.
A + B + C =
3 2 6 10 22
25 35 20
x
+
3 2 8 9 9
24 36 22
x
+
3 2 5 8 10
26 32 18
x
=
3 2 5 8 6 8
9 10 10
9 22
26 24 25 32
36 35 18
22 20
x
=
3 2 19 27 42
75 103 60
x
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Sean A, B y C matrices del mismo orden y un escalar cualquiera. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:
a) A B B A (Propiedad conmutativa de la adición matricial)
b) A (B C) (A B) C (Propiedad asociativa de la adición matricial) c) (A B) A B (Propiedad distributiva de la adición por un escalar)
2.1.4 Producto de dos matrices.
Sean A (aij)mn y B (bij)n r, el producto A B es otra matriz C (cij)m r donde el elemento cij se obtiene aplicando la siguiente fórmula:
nj in j i j i
ij a b a b a b
c 1 1 2 2
donde ai1, ai2, ain son los elementos de la fila i de la matriz A y los b1j,b2j,,bnj son los elementos de la columna j de la matriz B
mr mj m m ir ij i i r j r j nr nj n n r j r j mn m m in i i n n c c c c c c c c c c c c c c c c b b b b b b b b b b b b a a a a a a a a a a a a 2 1 2 1 2 2 22 21 1 1 12 11 2 1 2 2 22 21 1 1 12 11 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11
Un procedimiento mecánico para calcular cij consiste en usar un dedo de la mano izquierda para señalar los elementos de la fila i de A y usar un dedo de la mano derecha para recorrer los correspondientes elementos de la j ésima columna de B, y así calcular la suma de los productos a medida que se avanza por la fila i de A y la columna j de B.
Ejemplo: Sean, hallar la matriz producto C=AB si
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B de columna 3ª
por A de fila 1ª
35
1 3 8 4
B de columna 2ª
por A de fila 1ª
56
4 3 11 4
B de columna 1ª
por A de fila 1ª
46
2 3 10 4 donde
13 13
23 12 13 11 13 12 12
22 12 12 11 12 11 11
12 12 11 11 11
c c
b a b a c c c
b a b a c c c
b a b a c
y nuestra matriz producto va quedando así:
Luego, para obtener los elementos de la 2ª fila de la matriz C, se trabaja la 2ª fila de A con cada una de las columnas de B, es decir:
B de columna 1ª
A de fila 2ª 38
2 4 10 3
21 21
21 22 11 21 21
c c
b a b a c
33 32 31
23 22 38
35 56 46 C
c c c
c c
Luego sigue “2ª fila de A por 2ª columna de B” y “2ª fila de A por 3ª columna de B” así hasta obtener todos los elementos de la matriz producto C:
17 26 22
28 49 38
35 56 46 C
Nota: Dadas dos matrices A y B, el producto sólo se puede efectuar si el número de columnas de A es igual al número de filas de B. En este caso se dice que las matrices son conformes para la multiplicación.
33 32 31
23 22 21
35 56 46 C
c c c
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Ejemplo 1: Si
1 2 4
0 3 1
A y
6 5 4
B . Calcular A B
Solución: Verificamos que el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B, luego, las matrices son conformes para la multiplicación, entonces
1 2
1 2 1 3 3 2
34 19
8 1 5 2 4 4
8 0 5 3 4 1
6 5 4
1 2 4
0 3 1 B A
Ejemplo 2. Sean las matrices A =
3 2
1
4
3
2
3
4
x
y B =
1 3 8 11 10
x
. Calcular A.B
Solución:
A.B =
3 2
1
4
3
2
3
4
x
.
1 3 8 11 10
x
=
1 2 8 1 11 4 10 3
8 2 11 3 10 4
x
x x x
x x
x
=
1 2 8 44 30
16 33 40
x
=
1 2
82
89
x
Ejemplo 3. Si A =
1 3 4 2 2
x
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Resolución. A.B =
1 3 4 2 2
x
.
(
3
3
6
)
1x3=
3 3 ) 6 ( 4 )
3 ( 4 )
3 ( 4
) 6 )( 2 ( ) 3 )( 2 ( ) 3 )( 2 (
) 6 ( 2 )
3 ( 2 )
3 ( 2
x
=
3 3 24 12
12
12 6
6
12 6
6
x
2.1.5 Propiedades del producto de matrices
Sean A (aij) una matriz de orden n m, B (bij) una matriz de m p y C (cij) una matriz de p q, entonces se cumplen las siguientes propiedades:
a) A(BC) (AB)C (Propiedadasociativa) b) A(B C) AB AC (Propiedaddistributiva) c) (A B)C AC BC (Propiedaddistributiva)
Ejemplo 1. Sean las matrices A =
1 3 6 8 10
x
y B =
(
6
8
10
)
1x3. Calcular A.B y B.A ycompruebe que A.B es diferente a B.A.
Solución:
A.B =
1 3 6 8 10
x
3 1
)
10
8
6
(
x B.A =(
6
8
10
)
1x31 3 6 8 10
x
=
3 3 10 6 8
6 6 6
10 8 8
8 6 8
10 10 8
10 6 10
x
x x
x
x x
x
x x
x
=
(
6
x
10
8
x
8
10
x
6
)
1x1
=
3 3 60 48
36
80 64
48
100 80
60
x
=
(
184
)
1x1Walter Orlando Gonzales Caicedo
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Ejemplo 2. Sean las matrices A =
3 3 0 1 2 1 2 3 1 1 1 x
y B =
3 3 3 2 1 6 4 2 3 2 1 x Compruebe que A.B=0; con lo que se observaría que A.B = 0, no implica que A = 0, o B = 0.
Solución: A.B = 3 3 0 1 2 1 2 3 1 1 1
x 1 2 3 3 3 6 4 2 3 2 1 x =
3
0
6
1
)
3
)(
2
(
2
0
4
1
)
2
)(
2
(
2
0
4
1
)
1
)(
2
(
3
)
1
(
6
2
)
3
)(
3
(
)
2
)(
1
(
4
2
)
2
)(
3
(
)
1
)(
1
(
2
2
)
1
)(
3
(
3
1
)
6
)(
1
(
3
1
2
1
)
4
)(
1
(
2
1
1
1
)
2
)(
1
(
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
= 3 3 0 6 6 0 4 4 0 4 2 3 12 9 2 8 6 1 4 3 3 6 3 2 4 2 1 2 1 x = 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x= 0
A.B = 0; sin embargo A 0, y B 0.
Ejemplo 3. Dadas las matrices: A =
3 3
1
3
4
3
1
2
2
3
1
x , B = 4 32
1
2
1
1
1
1
2
0
1
4
1
x, y C =
4 3
0
1
5
2
1
1
2
3
2
1
1
2
xCompruebe que A.B = A.C; pero B C.
Solución: A.B = 3 3
1
3
4
3
1
2
2
3
1
Walter Orlando Gonzales Caicedo
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=
4 3
5
0
15
3
5
0
15
1
1
0
3
3
x
A.C =
3 3
1
3
4
3
1
2
2
3
1
x
2
5
1
0
3 41
1
2
3
2
1
1
2
x
=
4 3
5
0
15
3
5
0
15
1
1
0
3
3
x
2.1.6 Aplicaciones de la multiplicación de matrices
Análisis de precios de comestibles. Suponga que se quiere comparar el costo total
de ciertos comestibles. La siguiente tabla que puede ser vista como una matriz, da el costo en soles de un kilo de cada uno do los productos en tres supermercados.
Supermercado 1 Supermercado 2 Supermercado 3
Si se compran 5 kilos de carne, 3 kilos de pan, 10 kilos de papas, 4 kilos de manzanas y 2 kilos de café, podremos representar las cantidades compradas por la matriz
2 4 10
3 5
B
El costo total está dado por el producto
139.1 137.1 138
2 4 10
3 5
32.5 3
1.2 4.2 7.5
31 2.8 1 3.8 8.5
33 3 1.3 4 7 AB
Vemos que el costo total en el supermercado 2 es S/.0.90 más bajo que en el supermercado 1 y S/.2.00 menor que en el supermercado 3. Aunque este problema se puede resolver sin matrices, estas brindan una forma conveniente y resumida de enunciar y resolver el problema.
Carne pan papas manzanas café
7 4 1.3 3 338.5 3.8 1 2.8 31
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Interés compuesto anualmente. Supóngase que queremos calcular la cantidad de
dinero que se tiene al cabo de n años si invertimos $100 a un interés compuesto anual del 5, 6, y 7%. Si colocamos $P durante un año a un interés r, entonces el valor que se obtiene al final del año es:
) 1 ( final
Capital P rP rP
El producto:
107 106 105
100 100 100
07 . 1 0 0
0 1.06 0
0 0 1.05 AB
da la cantidad que se tiene al invertir US$100 por un año a los intereses de 5, 6 y 7% respectivamente. En general, el monto al final de n años está dado por An B. El proceso de calcular AB, A2B A(AB), , AnB es un proceso iterativo que puede programarse en un computador.
Ejemplo Práctico. (Comercio Internacional)
El Comercio entre tres países I, II y III durant
e 1 986 (en millones de dólares
Estadounidenses) está dado por la matriz A = (aij)3x3; en donde el elemento ij
a representa las exportaciones del país i hacia el país j.
A =
3 3
0
14
21
18
0
17
19
16
0
x
El comercio entre estos tres mismos países durante el año 1 987 (en millones de dólares estadounidenses) está dado por la matriz B.
B =
3 3
0
16
24
20
0
18
19
17
0
x
a. Explique el significado de los 0 de las matrices A y B.
b. Escriba una matriz que represente el Comercio Total entre los países en el período de los años, 1 986 y 1 987.
c. Si en 1 986 y 1 987, 1 dólar estadounidense equivalía a 5 dólares de Hong Kong, escriba la matriz que representa el comercio total durante los 2 años en dólares de Hong Kong.
Solución:
a. Los 0 de la matriz A, corresponden a los elementos: a11, a22 y a33. cuyos
significados son: a11 significa; exportación del país I hacia el país I (absurdo,
ningún país exporta hacia su mismo país), de igual manera para los elementos a 22 y a33. Análoga explicación merecen los elementos 0 de la
matriz B.
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A + B =
3 3
0
14
21
18
0
17
19
16
0
x
+
3 3
0
16
24
20
0
18
19
17
0
x
=
3 3
0
30
45
38
0
35
39
33
0
x
c. La matriz que representa el Comercio total durante los dos años 1 986 y 1 987 en dólares Hong Kong, es la matriz 5.(A + B).
5.(A + B) = 5.
3 3
0
30
45
38
0
35
39
33
0
x
=
3 3
0
)
30
(
5
)
45
(
5
)
38
(
5
0
)
35
(
5
)
39
(
5
)
33
(
5
0
x
=
3 3
0
150
135
190
0
105
195
156
0
x
Ejemplo Práctico. (Gasto en compras)
La señora Pepita ha realizado 4 compras en el mercado Modelo de Chiclayo, las cuales se
detallan en la siguiente tabla 04
.Tabla 04.
Productos Cantidad Costo por unidad en soles
Naranjas 4 Kgrs. 0,70
Arroz 5 Kgrs. 1,80
Leche 7 tarros 2,10
Pollo 2 Kgrs. 4,30
a. Escriba las cantidades en una matriz de orden 1x4.
b. Escriba los Costos de las unidades en una matriz B de orden 4x1.
c. Compruebe que el gasto realizado por la señora Pepita es el producto de las matrices; A y B, cuyo orden es 1x1.
Solución:
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b. La matriz de los Costos de las unidades, es la matriz, B =1 4 30 , 4
10 , 2
80 , 1
70 , 0
x
c. El gasto realizado por la señora Pepita será el producto de la matriz A por la matriz B.
Veamos:
A.B = (4 5 7 2)1x4.
1 4 30 , 4
10 , 2
80 , 1
70 , 0
x
(
4
x
0
,
70
5
x
1
,
80
7
x
2
,
10
2
x
4
,
40
)
1x1 = (35,10)1x1El gasto efectuado por la señora Pepita es S/. 35,10
Autoevaluación 02
I. Responde con V o F, según sea el caso.
( ) Para sumar dos matrices, estas deben tener el mismo orden.
( ) La suma de matrices es conmutativa.
( ) La suma de matrices es asociativa.
( ) Para multiplicar dos matrices, A y B el número de columnas de la primera matriz (A), debe ser igual al número de filas de la segunda matriz (B).
( ) La multiplicación de matrices es asociativa.
( ) Si, A.B = 0, entonces A = 0, ó B = 0.
( ) La multiplicación de matrices es conmutativa.
( ) En matrices siempre se cumple: Si, A.B = A.C, entonces B = C.
II. Efectúa las operaciones que se indican a continuación.
2.1. 5.
3
2
0
1
2.2. -4.
7 11 10
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2.3.0
2
0
5
4
1
+2
0
0
2
3
1
2.4.0
2
0
5
4
1
-2
0
0
2
3
1
2.5. 2.
2
0
0
2
3
1
+ 4. 7 11 10 8 10 112.6. 2.
2
0
0
2
3
1
- 4. 7 11 10 8 10 112.7. 5.
7 11 10 8 10 11 + 7.
2
0
0
2
3
1
III. Calcular el valor de las variables, para que las igualdades se cumplan.
3.1.
1
5
0
3
2
5
1
7
2
2
4
3
1
1
3
1
1
2
4
3
w
v
y
u
x
t
z
y
x
3.2.1
2
3
3
1
2
6
2
7
4
1
2
2
1
2
3
1
5
7
1
2
4
1
0
7
0
x
u
z
v
y
w
3.3. 12 7 1 2 2 4 1 2 2 1 1 0 2 2 2 1 3 2 0 1 1 3 x y v w v w v u z t y x 3.4. t w z y u z v v u z y x 11 4 7 1 7 2 2 7 8 1 3 0 3 2 1 2 1 3 2 1 1 2 0 0 1 1 2IV. (Matrices de Producción) Una empresa produce tres tamaños de cintas
magnetofónicas en dos calidades diferentes. La producción (en miles de cintas) en su planta de Chilapito está dada por la siguiente tabla.
Tabla Nº 05
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La producción (en miles de cintas) en su planta ubicada en la carretera a Lambayeque, está dada por la siguiente tabla.
Tamaño 1 Tamaño 2 Tamaño 3
Calidad 1 32 40 35
Calidad 2 25 38 30
a. Determine las matrices de producción de cintas magnetofónicas para cada una de las plantas de esta empresa.
b. Escriba una matriz que represente la producción total de cintas en ambas plantas.
c. El dueño de la empresa planea abrir una tercera planta en la ciudad de Piura, la cual tendría una vez y media la capacidad de la planta de la que está ubicada en la carretera a Lambayeque. Escriba la matriz que representaría la producción de esta nueva planta.
d. ¿Cuál será la producción total de las tres plantas?
V. (Matrices de producción) Un fabricante de zapatos, los produce en color
negro, blanco y café, para niños, damas y caballeros. La capacidad de producción (en miles de pares) en la planta de El Porvenir, está dada por la siguiente tabla.
Hombres Mujeres Niños
Negro 30 34 20
Gris 45 20 16
Café 14 26 25
La producción en la planta de Río Seco, está dada por la siguiente tabla.
Hombres Mujeres Niños
Negro 35 30 26
Gris 52 25 18
Café 23 24 32
a. Determine las matrices de producción para cada una de las plantas.
b. Calcule la matriz de producción total de las dos plantas.
c. Si la producción de El Porvenir se incrementa en un 50% y la de Río seco en un 25%, ¿Cuál es la matriz de producción de la nueva producción total?
VI. (Ecología) En un ecosistema, ciertas especies proveen de comida a otras. El
elemento Cij de la matriz de consumo es igual al número de unidades de la
especie j consumidas diariamente por un individuo de la especie i. Construya la matriz C = (Cij) para el siguiente ecosistema simple que consiste en tres
especies.
a. Cada especie consume en promedio 1 unidad de cada una de las otras especies.
b. La especie 1 consume una unidad de la especie 2; la especie 2 consume ½ unidad de cada una de las especies 1 y 3; la especie 3 consume 2 unidades de la especie 1.
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VII. Si A es una matriz de orden 3x4, B es de orden 4x3; C es de orden 2x3 y D es
de orden 4x5; calcule los órdenes de los siguientes productos de matrices.
7.1. A.B 7.2. B.A 7.3. C.A 7.4. A.D 7.5. C.A.D 7.6. C.B.A
VIII. Realizar las operaciones que a continuación se indican.
8.1.
12
4
)
5
10
(
8.2.2 0
0 2
2 0 ) 3 0 1
(
8.3.
4
3
2
2
0
1
1
0
2
8.4.
5
0
4
0
3
2
1
0
0
2
1
0
3
2
1
8.5.
5
5
0
4
4
0
3
1
2
1
0
0
2
1
0
3
2
1
8.6.
0
0
2
1
0
0
2
1
0
3
2
1
8.7.
0
2
0
0
1
0
2
1
8.8.
0
1
5
0
1
0
4
0
0
1
3
2
2
1
0
3
2
1
8.9.
10
10
0
0
2
1
0
0
2
1
0
3
2
1
8.10.
2
0
1
1
0
2
5
0
4
0
3
2
1
0
0
2
1
0
3
2
1
8.11.
4
0
3
2
3
4
0
3
2
1
0
2
1
3
2
IX. Escriba una matriz de orden 2x2, y calcule: A2 + 2.A – 3.I, donde I =
1
0
0
1
.
X. Escriba una matriz de orden 3x3, y calcule: A2 - 5.A + 2.I, donde I =
1
0
0
0
1
0
0
0
1
.
XI. Escriba una matriz de orden 2x2, y compruebe si: A2 + 2.A + B2 = (A + B)2.
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XIII. Sean las matrices; A =
1
1
q
p
, B =
1
2
1
1
. Calcular p y q para que:
a) (A+B)2 = A2 + 2.A.B + B2 b) A2 - B2 = (A + B).(A – B)
Ejercicios Propuestos 1
1) Si las matrices son iguales determine xey.
a)
5 2
3 2 5 2
y x
b)
8 1 5
5 2 4 8 1
5
1 x
y x y
2) Sean
16 9
-7 5 B ; 1 -3
4 2
A . Calcular a) A+B, b) A-B
3) Sean las matrices:
1 -4
5 2
A ,
4 7
9 -5
B ,
1 0
0 1 I
Halle las matrices a) A+B
b) 3A-2B c) A+2B+3I
4) Sean las matrices
4 -13
6 -5
8 2 -C y 3 1
5 8
6 4 B , 5 3
6 5
9 7
A
Comprobar que: a) A+B=B+A
b) A+(B+C)=(A+B)+C
5) Si
6 5
2 -3 B y 4 2
-3 1 A
Calcule AB y BA. De acuerdo al resultado ¿que se puede decir del producto de matrices con respecto a la ley conmutativa?
6) Sean
3 2 1 3
-4 -0 5 2
7 4 1 -7 B y 5 1 4
3 -0 2
A . Calcule AB. ¿Está definido el
producto BA? Explique su respuesta.
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a)6 0
1 4 2 1
3 2
b)
3 1
6 5 4 1
2 3
c)
5 3 -2
4 1 7
3 2
4 0
6 1
8) Halle una matriz
d c
b a
A tal que
1 0
0 1 2 1
3 2
A
9) Verifique la ley asociativa de la multiplicación con las matrices:
5 0
4 2
-6 1 C y 0 2 -3
2 1 -2
1 0 1 B , 6 0 1
4 1 -2 A
10) La siguiente tabla da el costo en centavos de una lata de vegetales en tres diferentes supermercados.
Si un comprador compra 6 latas de alverjas, 4 de fríjol y 5 de maíz encuentre el costo total en cada uno de los supermercados por medio de multiplicación de matrices.
11) Arriba, en el ejemplo de “interés compuesto anualmente” encuentre el monto al final del tercero y cuarto año de una inversión de $100 al interés de 5, 6, y 7%, respectivamente.
Respuesta a los ejercicios propuestos 1:
1) a) x 3 y 2 b) x 1 y 5 2) a)
15 6
11 10
B
A b)
17 12
3 3
B A
3) a)
3 11
4 7
b)
11 2
33 4
c)
6 11
4 10
5)
28 14
16 18
AB
39 7
-1 7
BA . Como se puede observar AB BA, por tanto la
multiplicación de matrices no es conmutativa.
6)
39 26 6 15
5 2 5 -23
AB , el producto BA no está definido pues el número de
columnas de B no es igual al número de filas de A.
alverjas fríjol maíz
Supermercado 1
Supermercado 2
Supermercado 3
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8) a 2 , b 3 , c 1 , d 29)
71 43
44 26 ) BC ( A C ) AB (
10) Los costos en cada uno de los 3 supermercados son los siguientes: Supermercado 1: 50.80
Supermercado 2: 49.60 Supermercado 3: 50.30
11) a) monto al final del tercer año:
50 . 122
10 . 119 115.76
b) monto al final del cuarto año:
08 . 131
25 . 126
55 . 121
CAPÍTULO III
DETERMINANATES E INVERSA DE UNA MATRIZ
3.1 Determinante de una matriz
El determinante es una función que aplicada a una matriz cuadrada asigna a esta un valor numérico. Dada una matriz cuadrada su determinante se denota como:
A ó det(A) y se lee “determinante de A”.
Por ejemplo: a) Sea det(A) 10 4
3 2 -1
A , esto es, el determinante de la matriz A
es igual a 10.
b) Sea B 15 1
2 1
3 1 -2
2 -2 1
B , esto es, el determinante de la matriz
B es igual a -15.
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3.1.1 Determinante de una matriz de orden 2
Sea la matriz
22 21
12 11 A
a a
a a
, entonces:
Ejemplo: Calcular el determinante de
4 3
2 -1
A .
Solución.
10
6 4
2 3 4 1 4 3
2 1
Luego, det(A)=10.
Nota: Observe la diferencia de las notaciones, para denotar la matriz se emplean corchetes o paréntesis; mientras que para denotar su determinante se emplean barras.
3.1.2 Determinante de una matriz de orden 3
Sea la matriz
33 32 31
23 22 21
13 12 11 A
a a a
a a a
a a a
, entonces
32 31
22 21 13 33 31
23 21 12 32 32
23 22 11 A
a a
a a a a a
a a a a a
a a a
Ejemplo. Sea , calcule B 1
2 1
3 1 -2
2 -2 1
B .
Solución.
15
10 -2 -7
1) 2(4 -3) -2(2 -6) -1(-1
2 1
1 2 ) 2 ( 1 1
3 2 2 1 2
3 1 1 1 2 1
3 1 2
2 2 1
Luego:
B 15.
12 21 22 11 22 21
12 11
A a a a a
a a
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A continuación se muestra un artificio par evaluar determinantes de matrices de orden
3 3
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
1º Sumar los productos indicados por las flechas que se inician con círculos blancos (flechas descendentes)
2º Restar los productos indicados por las flechas que se inician con círculos negros.
Ejemplo. Halle el determinante de
5 1 2
-4 0 1
-3 2 1
A usando el artificio.
Solución. De acuerdo al artificio
-13
4 -10 0 3 -16 -0
) 1 4 1 ( ) 5 2 1 ( ) 3 0 2 ( ) 1 1 3 ( ) 2 4 2 ( ) 5 0 1 ( A
Luego, A 13
3.2 Determinante de una matriz de orden n
Antes de pasar a definir los determinantes de orden n n es necesario estudiar los conceptos de menores y cofactores de una matriz.
3.2.1 Menor complementario
Considérese la matriz de orden 3 3
4 3 6
5 1 0
4 1 2 A
A la matriz cuadrada se orden 2 2 que se obtiene de eliminar la fila 1 y la columna 1 de A se le llama menor del elemento a11 2 y se denota como M11, así
4 3
5 1 M11
de igual forma se obtienen los menores complementarios correspondientes a los elementos a12 1 y a13 4
3 6
1 0 M , 4 6
5 0
M12 13
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Definición. Sean A una matriz de orden n n y Mij la matriz de orden (n-1) obtenida
al eliminar de A su i ésimafila y j ésimacolumna. A Mij se le llamará menor del elemento aij de la matriz A.
3.2.2 Cofactores
El cofactor del elemento aij de la matriz A, el cual se denota por Aij se define como
ij j i
M ) 1 ( Aij
es decir, el cofactor del elemento aij de la matriz A se obtiene calculando el
determinante de Mij y multiplicándolo por i j ) 1
( . Obsérvese que Aij es positivo si
j
i es par y es negativo en caso contrario.
Ejemplo. Calcular A11,A12 y A13 de la matriz A del ejemplo anterior.
Solución
-19 4 3
5 1 ) 1 (
A11 11 30
4 6
5 0 ) 1 ( A12 1 2
-6 3 6
1 0 (-1) A13 1 3
3.3 Cálculo de determinantes por cofactores.
El determinante de una matriz A es igual a la suma de los productos obtenidos de multiplicar los elementos de cualquier fila por sus respectivos cofactores. Es decir,
in in i3
3 i2 2 i1
1A A A A
det(A) ai ai ai a
a la expresión que aparece al lado derecho del signo igual se le llama desarrollo mediante cofactores.
Ejemplo. Calcular el determinante por expansión a lo largo de la primera fila de
4 -3 6
5 1 0
4 1 -2 A
Solución.
A a11A11 a12A12 a13A13
1 3 13
3 12 2 1 12 11 1 1
11(-1) M (-1) M (-1) M
A a a a
3 6
1 0 4 4 6
5 0 ) 1 ( 3 6
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92 -A
24 -30 -38 -A
4(-6) (-30) 2(-19) A
Ejemplo. Calcule el determinante de la matriz A, si
8 4 2 3
6 9 1 2
4 3 1 -0
2 5 3 1
A
Solución:
Desarrollando a lo largo de la 2ª fila,
160 A
4(48) 3(4)
-20 -0 A
4 2 3
9 1 2
5 3 1 4 8 2 3
6 1 2
2 3 1 3 8 4 3
6 9 2
2 5 1 1 8 4 2
6 9 1
2 5 3 0 A
A A
A A
A a21 21 a22 22 a23 23 a24 24
Obsérvese que al seleccionar filas con el mayor número de ceros se ahorra trabajo ya que hay que calcular menos determinantes.
3.4 Inversas y Determinantes
3.4.1 Matriz inversa
Sea A una matriz cuadrada, se define a la matriz inversa de A y la denotamos por -1 A a la matriz cuadrada del mismo orden tal que AA-1 I.
Ejemplo. Sea
6 8 2
1 -4 3
5 2 -1
A y sea
0.0658 0.0789
-0.1053
0.1053 0.0263
-0.1316
-0.1184 -0.3421 0.2105
A-1 , entonces se
cumple que
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0.0658 0.0789
-0.1053
0.1053 0.0263
-0.1316
-0.1184 -0.3421 0.2105
6 8 2
1 -4 3
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Es decir:AA-1 I3
Donde: I3 es la matriz identidad de orden 3.
Una matriz cuadrada tiene inversa, es decir es invertible, sí y sólo sí su determinante es diferente de cero. Es decir, si una matriz cuadrada A es invertible, entonces
0 det(A) .
Antes de empezar a calcular inversas mediante determinantes, es necesario definir la
adjunta de una matriz.
3.4.2 Adjunta de una matriz.
Sea A una matriz cuadrada de orden n y sea B la matriz de cofactores de A, entonces
nn n2
n1
2n 22
21
1n 12
11
A A
A
A A
A
A A
A
B
(Recuérdese que un cofactor es un número.)
Se llama adjunta de la matriz A, y se denota por adjA, a la transpuesta de su matriz de cofactores B; es decir
nn n2
1n
n2 22
12
n1 21
11 t
A A
A
A A
A
A A
A
B A adj
(Recuérdese que la matriz transpuesta de A se obtiene intercambiando todas las filas por las columnas).
Ejemplo. Calcule la adjunta de la matriz
7 5 3
1 -1 0
3 4 2 A
Solución:
12 7 5
1 1
A11 3
7 3
1 0
A12 3
5 3
1 0 A13
13 7 5
3 4
A21 5
7 3
3 2
A22
5 3
4 2 A23
7 1 1
3 4
A31 2
1 0
3 2
A32 2
1 0
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Por tanto, la matriz de cofactores B será:2 2 7
-2 5 13
-3 -3 -12 B
y transponiendo B, se obtiene la adjunta de la matriz A:
2 2 3
2 5 3
7 13 12 B A
adj t
3.4.3 Cálculo de la inversa de una matriz
Método de adjuntos:
Sea A una matriz invertible, entonces la matriz inversa -1
A está dada por:
adjA det(A)
1 A-1
Ejemplo.
Sea
7 5 3
1 -1 0
3 4 2
A , determine si A es invertible y calcule su inversa, si existe.
Solución:
Como A 3, es decir su determinante es diferente de cero, entonces A es invertible. Del ejemplo anterior, se tiene que la matriz de cofactores B es igual a:
2 2 7
-2 5 13
-3 -3 -12 B
de donde:
3 / 2 3 / 2 1
3 / 2 3 / 5 1
3 / 7 3 / 13 4 A
2 2 3
-2 5 3
-7 -13 -12
3 1 A
1
-1
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I 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2/3 2/3 1 -2/3 5/3 1 -7/3 -13/3 -4 7 5 3 1 1 0 3 4 2AA-1
Método de Gauss:
Este método consiste en realizar operaciones elementales, es decir:
1 OE A n I n I n
A Veamos un ejemplo.
Ejemplo: Calcular la inversa de
2 1 0 1 2 1 0 1 1 A Solución:
Lo haremos primero por el método clásico o método de adjuntos, el que viene indicado por la definición: la traspuesta de la adjunta dividida por el determinante. Primero, calculamos el determinante; si el determinante es nulo, no existe matriz inversa; si no es nulo, seguimos:
1 2 1 0 0 0 4 2 1 0 1 2 1 0 1 1 A
Calculamos ahora la matriz adjunta, sustituyendo cada elemento por su adjunto; calculamos primero los adjuntos:
1 1 2 2 1 1 1 1 ) 0 1 ( 1 0 0 1 1 0 1 1 2 0 1 1 ) 0 1 ( 1 0 1 1 2 0 2 2 0 0 1 2 ) 0 2 ( 2 1 0 1 1 0 1 1 0 2 1 2 ) 0 2 ( 2 0 1 1 3 1 4 2 1 1 2 33 32 31 23 22 21 13 12 11 A A A A A A A A A
Luego: formamos la matriz adjunta:
1 1 1 1 2 2 1 2 3 ad A
Y finalmente hacemos la inversa, trasponiendo la matriz adjunta y dividida por el determinante: A A A t ad 1 1 1 1 1 2 2 1 2 3 1 1 1 1 2 2 1 2 3 1 1 1 A
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Tenemos:1 1 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
1 2 3 0 0 1
1 1 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
0 0 1 0 1 1
1 1 1 1 0 0
0 1 1 1 1 0
0 0 1 0 1 1
1 0 0 2 1 0
0 1 1 1 1 0
0 0 1 0 1 1
1 0 0 2 1 0
0 1 0 1 2 1
0 0 1 0 1 1
Es conveniente, se haga por el método que se haga, comprobar la inversa (multiplicada por la directa tiene que dar la identidad). Es decir:
A.A 1 In
Entonces:
0 0 1
0 1 0
0 0 1
2 1 0
1 2 1
0 1 1
1 1 1
1 2 2
1 2 3
Autoevaluación 03
I. Responde con V o F, según sea el caso.
( ) El determinante de una matriz cuadrada es un número.
( ) El número de cofactores o adjuntos de una matriz de orden n, es igual a
n2.
( ) Una matriz cuadrada tiene inversa sólo cuando su determinante es igual
a 0.
( ) Si A es una matriz cuadrada que posee inversa entonces se cumple la
condición siguiente: A-1A = Identidad.
( ) La matriz A =
1
0
2
2
0
3
1
0
3
no tiene inversa; porque su determinante
es igual a 0.
( ) El elemento 23 se ubica en la segunda columna y en la tercera fila.
( ) Si una matriz tiene 3 filas y 3 columnas, entonces tiene 9 cofactores ij.
II. Determinar los valores de los siguientes determinantes.
2.1.
2
2
3
3
2.2.
2
12
3
8
2.2.
2
0
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2.3.
7
2
3
3
2.4.
1
2
3
2
0
2
3
6
9
2.5.
1
2
3
2
0
2
3
6
8
2.6.
1
2
3
2
1
2
3
6
1
III. Calcular las inversas de las siguientes matrices, si las tuvieran.
3.1. A =
1
1
2
2
3.2. A =
1
1
2
0
3.3. A =
1
1
2
2
3.3. A =
1
1 0
2
2
1
1
1 2
3.4. A =
2
1 1
1
2
1
1
1 2
3.5. A =
3
1 2
2
2
1
3
1 1
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( ) Una matriz de orden mxn, tiene m filas y n columnas.
( ) El elemento aij se encuentra ubicado en la columna i y en la fila j.
( ) La matriz A = 1 3 4 5
2 3 3 0 es de orden 4x2.
( ) Si la matriz A =
2
2
2
1
0
x
x
y B =
2
1
1
0
son iguales, entonces el valor de x es 1( ) Una matriz de orden nxn se llama cuadrada.
( ) La matriz nula es aquella que tiene m.n elementos diferentes de 0.
( ) Si, A, B y D son del mismo orden, entonces siempre es posible determinar una matriz D, tal que : A + D = B.
V. Determina la matriz A =(aij)2x3; cuyos elementos aij = 0;
1;
cuando i j cuando i j.
VI. Busca un ejemplo de dos matrices A y B de orden 2x2 que poseen
inversa; pero su suma:
A + B no posea.
VII. Efectúa las siguientes operaciones indicadas.
7.1. 1 0 2 3 3
2 3 5 1
7.2.
2
1
2
3
13
2
3
0
1
1
7.3.
2
0
2
1 0
2
0
2
2
0
1
2
2
2
0
x
y
z
VIII. Si, A =
1
0
2
3
y B =3
3
5
1
, analiza si se cumple la diferencia decuadrados. Es decir: (A – B)(A + B) = A2 – B2; donde: A2 = A.A y B2 = B.B
XI. Si, A =
1
0
2
3
y B =3
3
5
1
, verifica que se cumple: (AB)Walter Orlando Gonzales Caicedo
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XI. Determinar la matriz de los adjuntos de las siguientes matrices.
11.1. A =
1
0
2
3
11.2. A =2
0
2
0
2
2
2
2
0
11.3. A =
3
3
5
1
11.4. A =3
1 2
2
2
1
3
1 1
11.5 A =
2
1
1
0
11.6. A =1
1 0
2
2
1
1
1 2
XII. Calcular las matrices inversas de las matrices del ejercicio XI anterior.
XIII. (Valoración de Inventarios) Un comerciante de televisores a color tiene 5
televisores de 26 pulgadas, 8 de 20, 4 de 18 y 10 de 12. Los televisores de 26 pulgadas se venden en US$ 650 cada uno, los de 20 en US$ 350 cada uno, los de 18 en US$ 270 cada uno y los de 12 se venden en US$ 175 cada uno. Exprese el precio de venta total de su existencia de televisores como el producto de matrices.
4. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
4.1 Sistema de ecuaciones con dos variables
Considérese el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales:
2 22 21
1 12 11
b y a x a
b y a x a
la representación matricial de este sistema es AX B donde:
es la matriz de coeficientes a
a a a
, A
22 21
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. constantes las
de matriz la es , B
variables las
de matriz la es , X
2 1
b b y x
Si det(A) 0, entonces, el valor de la variable xse obtiene así:
22 21
12 11
22 2
12 1
a a
a a
a b
a b
x
s x
Obsérvese que x (determinante con respecto a x) se obtiene reemplazando la primera columna de la matriz A por la matriz B, y s det(A)es el determinante del sistema.
Para calcular el valor de la variable y se obtiene primero el determinante con respecto a y ( y) remplazando la segunda columna de la matriz de coeficientes por la matriz B. Luego se divide este determinante entre el determinante del sistema:
22 21
12 11
2 21
1 11
a a
a a
b a
b a
y
s y
Ejemplo: Resolver el sistema
Solución:
La representación matricial del sistema es:
13 9 3
4 5 6
y x
Entonces:
1
38 38 20 18
65 27
3 4
5 6
3 13
5 9
x
13 3 4
9 5 6
y x
