Examen_calificacion.pdf

(1)

Examen de Calificaci´

on.

Doctorado en Matem´atica,

Centro de Matem´atica-Facultad de Ciencias.

Federico De Olivera

[email protected]

(2)

´

_{Indice general}

I

Probabilidad y Procesos estoc´

asticos.

2

2. Algunas definiciones y resultados previos. 3

2.1. Procesos estoc´asticos . . . 3

2.2. Proceso de Poisson . . . 10

2.2.1. Procesos de conteo . . . 16

2.3. Medidas aleatorias y procesos puntuales. . . 17

3. Procesos de Lévy, definición y propiedades. 27 3.1. De caminatas al azar a Procesos de Lévy. . . 27

3.2. Proceso de Poisson Compuesto . . . 31

3.3. Medida de Salto del proceso Poisson Compuesto. . . 37

3.4. Procesos de L´evy con actividad infinita . . . 42

3.5. Propiedades de las trayectorias del proceso de L´evy . . . 50

3.6. Propiedades distribucionales . . . 57

(3)

´_{INDICE GENERAL} ₂

3.7. Procesos de L´evy como procesos de Markov . . . 60

3.8. Procesos de L´evy y martingalas . . . 63

6. Simulación de procesos de Lévy. 65 6.1. Simulación de Procesos Poisson Compuestos . . . 65

6.2. Simulaci´on exacta de los incrementos . . . 69

6.3. Aproximaci´on de un proceso de L´evy con actividad infinita por un Poisson Compuesto. . . 72

6.4. Aproximaci´on de saltos peque˜nos por el movimiento browniano . . 76

6.5. Representaci´on en series de procesos de L´evy . . . 79

8. Cálculo estocástico para procesos con saltos, gu´ıa inicial. 86 8.1. Estrategias de negociación e integrales estocásticas. . . 87

8.1.1. Integrales estoc´asticas para procesos caglad. . . 98

8.1.2. Integrales estoc´asticas con respecto a movimientos brow-nianos . . . 100

8.1.3. Integrales estoc´asticas respecto al medidas aleatorias de Poisson. . . 103

8.2. Variaci´on cuadr´atica. . . 107

8.2.1. Volatilidad realizada y variaci´on cuadr´atica. . . 107

8.2.2. Covariaci´on cuadr´atica . . . 114

(4)

8.3.1. C´alculo por caminos para procesos de salto con actividad

finita. . . 118

8.3.2. F´ormula de Itˆo para difusiones con saltos. . . 122

8.3.3. Fórmula de Itô pra procesos de Lévy . . . 125

8.3.4. F´ormula de Itˆo para semimartingalas . . . 129

8.4. Exponenciales estoc´asticas vs. exponenciales ordinarias. . . 134

8.4.1. Exponencial de un proceso de L´evy . . . 135

8.4.2. La exponencial estoc´astica de Dol´eans-Dade. . . 137

8.4.3. Relaci´on entre la exponencial ordinaria y la estoc´astica. . . 140

9. Teorema de Girsanov para procesos de L´evy. 143 9.1. Reglas de precios y medidas martingalas . . . 146

9.1.1. Reglas de precios de libre arbitraje y medidas martingala. 150 9.2. Mercados completos. . . 154

9.3. Equivalencia de medidas para procesos de L´evy: casos simples. . . 158

9.4. Equivalencia de medidas para procesos de L´evy: resultado general 163 9.5. La transformada de Esscher. . . 165

(5)

´_{INDICE GENERAL} ₄

1.2. Algunos resultados con la tasa a la vista . . . 172

2. Modelo de Heath-Jarrow-Morton. 179

III

M´

etodos Num´

ericos

182

1. Markov Chain Monte Carlo. 183 1.1. M´etodo de Aceptaci´on-Rechazo . . . 183

1.1.1. Caso discreto . . . 185

1.2. Algoritmo Metr´opolis-Hastings . . . 186

1.2.1. Adaptaci´on a continuas . . . 192

1.3. Algoritmo Metr´opolis y algoritmo de Gibbs . . . 194

2. Método Monte Carlo Multinivel en ecuaciones diferenciales es-tocásticas. 196 2.1. introducción . . . 196

2.2. El m´etodo MLMC . . . 198

IV

Estad´ıstica

202

1. Modelo lineal general. 203 1.1. Modelo lineal multivariado. . . 203

1.2. Componentes principales. . . 212

(6)

1.4. An´alisis discriminante. . . 223

2. An´alisis de datos funcionales 234 2.1. Los datos . . . 235

2.2. Algunos elementos de Probabilidad . . . 238

2.3. Media, mediana y moda . . . 245

2.4. Regresi´on funcional . . . 247

(7)

Parte I

Probabilidad y Procesos

(8)

Algunas definiciones y resultados

previos.

2.1. Procesos estoc´

asticos

Un proceso estoc´astico es una familia (Xt)t∈[0,T] de variables aleatorias

inde-xadas por el tiempo, el parámetro de tiempo t puede ser discreto o continuo, pero en este libro loconsideraremos continuo. Para cada realización de la aleato-riedad ω, la trayectoria X(ω) : [0, T] →Xt(ω), define una función en el tiempo,

llamada camino muestral o trayectoria del proceso. Tales procesos estoc´asticos pueden tambi´en ser vistos como funciones aleatorias: variables aleatorias que toman valores en espacios de funciones.

Procesos estoc´

asticos como funciones aleatorias.

Para definir procesos estocásticos como funciones aleatorias se necesita de-finir medidas sobre espacio de funciones. La elección más simple de espacio de funciones para un proceso estocástico con valores en _Rd es el conjunto de todas las funcionesf : [0, T]→ _Rd _{pero este espacio es demasiado largo: ´}_{este contiene}

(9)

2.1 Procesos estocásticos 8 muchas funciones patológicas y no es fácil definir medidas en este espacio.

Procesos estoc´asticos con con trayectorias continuas pueden ser construidas como variables aleatorias definidas sobre el espacio de las funciones continuas

C([0, T],_Rd_{). La topolog´ıa usual es definida por la norma supremo, la cual a su}

vez puede ser usada para definir la σ−´algebra de Borel, sobre la cual se pueden definir medidas. El ejemplo m´as conocido es la medida de Wiener, una medida gaussiana sobre C([0, T],_Rd_{) que describe el proceso de Wiener. Sin embargo,}

aqu´ı trabajaremos con procesos que no tienen trayectorias continuas, necesitamos el espacio de funciones que permite funciones discontinuas. La clase de funciones

cadlag es una clase conveniente de funciones discontinuas.

Definici´on 2.1 (Funci´on cadlag)

Una funci´on f : [0, T]→ _Rd _{se dice} _cadlag _{si es continua por derecha con l´ımite}

por izquierda.

Sif es discontinua ent entonces el “salto” es∆f(t) = f(t)−f(t−).

Se verifica que dado ε > 0, el conjunto {t : ∆f(t) > ε} es finito. De aqu´ı se deduce que una función f cadlag admite a lo sumo una cantidad numerable de discontinuidades. También, para cada ε > 0, el número de discontinuidades (saltos) en [0, T] más grandes que ε es finito. As´ı una función cadlag tiene a lo sumo una cantidad finita de saltos más grandes que ε, y posiblemente infinitos, pero numerables, saltos menores queε.

Es posible definir una topolog´ıa y una noci´on de convergencia en el espacio de las funciones cadlag. Con esa topolog´ıa y la correspondiente σ−´algebra de Borel, el espacio de funciones cadlag es conocido como el espacio de Skorokhod y anotadaD([0, T],_Rd_{) o simplemente}_D_([0_,_{1]). Una variable aleatoria con valores}

(10)

Filtraciones e historias.

La interpretación del ´ındice t como una variable de tiempo introduce un as-pecto dinámico el cual necesita ser tomado en cuenta para definir la noción de información, causalidad y predictibilidad en el contexto de un modelo estocástico. En un contexto dinámico, con el paso del tiempo, más información es progre-sivamente revelada al observador. El resultado es que muchas cantidades que son vistas como aleatorias en t = 0 pueden cambiar su estatus después de t > 0 si su valor es revelado por la información disponible en t. Debemos agregar algún componente dependiente del tiempo a la estructura de nuestro espacio de proba-bilidad (Ω,F,_P) para acomodar esta caracter´ıstica adicional.

Definici´on 2.2 (Filtraci´on.)

Una filtraci´on o flujo de informaci´on sobre (Ω,F,_P) es una familia creciente de

σ−´algebras (Ft)t∈[0,T] tal que si 0≤s≤t:

Fs⊂ Ft ⊂ F.

Ft es interpretado como la informaci´on conocida al tiempo t, la cual crece

con el tiempo. Naturalmente, si comenzamos con un conjunto de eventos F, entonces Ft ⊂ F. Una espacio de probabilidad equipado con una filtraci´on es

llamado unespacio de probabilidad filtrado. Desde un punto de vista intuitivo, la probabilidad de ocurrencia de un evento aleatorio cambiará con el tiempo cuanta más información sea revelada. Sin embargo, en lugar de cambiar la medida de probabilidad_P con el tiempo, mantenemos_P fija, y modelamos el impacto de la información condicionando sobre la informaciónFt.

Un suceso A ∈ Ft es un evento de modo que dada la informaci´on Ft al

(11)

2.1 Procesos estoc´asticos 10 una variable aleatoria es Ft−medible no es nada m´as que una variable aleatoria

cuyo valor ser´a revelado al tiempot. Un proceso cuyo valor al tiempotes revelado por la informaci´onFt se dice no anticipado:

Definici´on 2.3 (Proceso no anticipado o adaptado.)

Un proceso estoc´astico(Xt)t∈[0,T] se dice no anticipado con respecto al la

estruc-tura de informaci´on (Ft)t∈[0,T] (o Ft− adaptado), si para cada t ∈ [0, T] el valor

Xt es revelado al tiempo t: la variable aleatoria Xt es Ft−medible.

Definici´on 2.4 (Historia de un proceso.)

La historia de un proceso X es el flujo de informaci´on (FX

t )t∈[0,T] donde Ft es

la σ−´algebra generada por los valores pasados del proceso, completada por los conjuntos nulos:

FX

t =σ(Xs, s∈[0, t])

_

N.

Notemos que FX

t es completada con los conjuntos nulos; todos los conjuntos

nulos son conocidos enF0, esto implica que si cierta evoluci´on de X entre 0 y T

es considerada imposible, su imposibilidad ya era conocida en t= 0.

Tiempos aleatorios.

Un tiempo aleatorio es simplemente una variable aleatoria T ≥ 0 la cual representa el tiempo al cual algún evento va a tener lugar. Dado un flujo de información (Ft), una cuestión natural es si dada la información en Ftuno puede

determinar si el evento a sucedido (τ ≤ t) o no (τ > t). Si la respuesta es s´ı, el tiempo aleatorio τ es llamado no anticipado o tiempo de parada. En otras palabras, T es un tiempo aleatorio no anticipado (o Ft− tiempo de parada) si

(12)

Si T1 y T2 son tempos de parada entonces T1 ∧T2 = ´ınf{T1, T2} es tambi´en

un tiempo de parada.

Ejemplos de tiempos de parada son los tiempos de llegada: dado un proceso cadlag no anticipadoX, el tiempo de llegada a un conjunto abiertoA es definido como la primer vez queX alcanza A:

TA= ´ınf{t ≥0 :Xt∈A}.

Dado un flujo de informaci´on Ft y un no anticipado tiempo aleatorio τ, el

conjunto de informaci´on en Ft puede ser definido como la informaci´on obtenida

por observar todos los procesos no anticipados (cadlag) enτ, esto es, laσ−´algebra generada por esas observaciones.

Martingalas.

Consideramos ahora un espacio de probabilidad (Ω,F,_P) equipado con un flujo de informaci´on Ft.

Definici´on 2.5 (Martingala)

Un proceso (Xt)t∈[0,T] se dice una martingala si X es no anticipada (adaptada a

Ft),E|Xt|<∞ para todot ∈[0, T] y

E[Xs|Ft] =Xt ∀s > t.

En otras palabras, la mejor predicci´on del futuro de una martingala es su valor presente. Un ejemplo conocido es el proceso de Wienner (Wt).

(13)

2.1 Procesos estoc´asticos 12 (Mt)t∈[0,T] definido por Mt =E[H|Ft] es una martingala. Rec´ıprocamente,

cual-quier martingala puede ser escrita en esta forma, por elegir H =MT.

Una consecuencia inmediata es que las martingalas tienen esperanza constante

E[Xt] = E[X0]. Uno puede preguntarse si cualquier proceso sin drift es

martin-gala, la respuesta es negativa, por ejemplo si (Wt) es un proceso de Wiener, Wt3

tiene esperanza nula peroE[W3

t|Ft] = 3(t−s)Wt 6=Wt3.

Sin embargo, si uno pide que el proceso sea sin drif cuando lo calculamos en un tiempo aleatorio, esta propiedad caracteriza a las martingalas: siE[Xτ] =E[X0]

para cualquier tiempo de paradaτ, entoncesX es una martingala.

Proposici´on 2.1 (Teorema de muestreo)

Si (Mt)t∈[0,T] es una martingala y T1, T2 son tiempos de parada con 0 ≤ T1 ≤ T2 ≤T c.s. entonces

E[MT2|FT1] =MT1.

y

En particular, una martingala detenida en un tiempo de parada es tambi´en una martingala.

Un proceso (Xt)t∈[0,T]es llamado unamartingala local si existe una sucesi´on de

tiempos de parada (Tn) con Tn→ ∞c.s. tal que (Xt∧Tn)t∈[0,T]es una martingala.

Luego, una martingala local se comporta como una martingala hasta un tiem-po de parada Tn, el cual es elegido tan largo como uno quiera. Obviamente una

(14)

Procesos predecibles.

Hasta aqu´ı tenemos definido un proceso estoc´astico (Xt)t∈[0,T] por considerar

cualquiera de los dos casos: como una función del tiempo conω fijo, o como una función de ω con t fijo. Es natural considerar esos dos aspectos juntos conside-rando aX como una función sobre [0, T]×Ω. Esto requiere definirσ−álgebras y funciones medibles en este espacio.

Definici´on 2.6 (Proceso opcional)

Laσ−´algebra opcional es la sigma ´algebraΣgenerada sobre[0, T]×Ωpor todos los procesos cadlag adaptados (no anticipados). Un procesoX : [0, T]×Ω→_Rd

que es medible respecto de Σes llamado proceso opcional.

Con esta definici´on, cualquier proceso cadlag es opcional, pero las trayecto-rias de un proceso opcional no necesariamente son cadlag en general: proceso cadlag adaptados “generan” procesos opcionales del mismo modo que funciones continuas generan funciones medibles.

Definici´on 2.7 (Procesos predecibles)

La σ−´algebra predecible es la σ−´algebra Σ0 generada por todos los procesos adaptados continuos por izquierda sobre[0, T]×Ω. Un mapaX : [0, T]×Ω→_Rd

(15)

2.2 Proceso de Poisson 14

2.2. Proceso de Poisson

Algunos resultados importantes

Proposici´on 2.2 ()

Sea (τi, i = 1, . . . , n+ 1) variables aleatorias exponenciales con par´ametro λ y

definamos Tk =τ1+· · ·+τk. Entonces

1. La ley de (T1, . . . , Tn)conociendo Tn+1=t es Dn([0, t])donde

Dn([0, t]) =

n!

tn10<y1<···<yn<t(x).

2. El vector ( T1

Tn+1, . . . ,

Tn

Tn+1)es independiente de Tn+1y tiene la ley Dn([0,1]).

y

Sean U1, . . . , Un variables aleatorias independientes, uniformemente distribuidas

sobre [0,1], U(1) ≤ · · · ≤ U(n) los correspondientes estad´ısticos de orden y V

una variable aleatoria con densidad pn(t) = λe−λt(λt)

n−1

(n−1)!1[0,∞)(t). Entonces las

variables:

V U(1), V(U(2)−U(1)), . . . , V(U(n)−U(n−1))

forman una sucesi´on de variables exponenciales independientes con par´ametroλ.

y

Si(τi)i≥1 son variables aleatorias independientes con distribuci´on exponencial de

(16)

Nt= ´ınf{n≥1, n

X

i=1

τi >1}

tiene distribuci´on de Poisson de par´ametroλt:

y

El proceso de Poisson, definici´

on y propiedades.

Definici´on 2.8 (Proceso de Poisson)

Sea(τi)i≥1 una sucesi´on de variables aleatorias exponenciales independientes con

par´ametro λ y seaTn =

Pn

i=1τi. El proceso (Nt, t≥0) definido por

Nt=

X

n≥1

1{t≥Tn} (2.1)

es llamado un proceso de Poisson con intensidadλ.

El proceso de Poisson es definido como un proceso de conteo, cuenta el n´umero de tiempos aleatorios (Tn) que ocurren entre 0 yt.

Sea (Nt)t≥0 un proceso de Poisson, se cumple que:

1. Para todo t >0, Nt es finito c.s.

2. Para cada ω, la trayectoriat 7→Nt(ω) es constante por tramos y crece por

saltos de largo 1.

3. Las trayectorias t 7→Nt son cadlag.

(17)

2.2 Proceso de Poisson 16

5. (Nt)es continuo en probabilidad.

6. Para cada t >0, Nt sigue una distribuci´on e Poisson de par´ametro λt.

7. La funci´on caracter´ıstica de Nt es dada por

E(eiuNt_{) =} _exp_{_λt₍_eiu₋₁₎_{} ∀}_u_∈

R. (2.2)

8. (Nt) tiene incrementos independientes: para cada t1 < · · · < tn, Ntn − Ntn−1, . . . , Nt2 −Nt1, Nt1 son v.a. independientes.

9. Los incrementos de N son homog´eneos: para cada t > s, Nt−Ns tiene la

misma distribuci´on que Nt−s.

10. (Nt)tiene la propiedad de Markov:

∀t > s, E[f(Ns)|Nu, u≤s] =E[f(Nt)|Ns].

y

Prueba: 1. Sea Ω1 ={ω: T_nn(ω)→ 1_λ}. Por la LGN T_nn → 1_λ con probabilidad

1, por tanto _P(Ω1) = 1. Para cadaω ∈Ω1,Tn(ω)→+∞ de donde:

∀ω ∈Ω1,∃n0(ω)≥1,∀n≥n0(ω), Tn(ω)> t.

Por lo tanto _P(Nt <∞) = P(Ω1) = 1: La cantidad de t´erminos en la suma

(2.1) es finita.

2. De la expresi´on (2.1) es inmediato que Nt es constante en cada intervalo

(Tn, Tn+1) y crece en una unidad en Tn. Como el n´umero de saltos en [0, t]

(18)

3. Si t∈(Tn, Tn+1) entonces Nt es constante en un entorno de t y de aqu´ı que

continua. De aqu´ı mismo se deduce que existe l´ımt→Tn+1Nt y por ende

existe el l´ımite por izquierda en cualquier punto. Por ser constante por tramos, para delta peque˜noNt −−−→

t→T+ n

NTn+δ =NTn. De donde se obtiene la

continuidad por derecha en todo punto.

4. Dadoω ∈Ω, los puntos de discontinuidad deNt(ω) son{Tn(ω), n ≥1}.

Pe-ro para un punto t, _P(t ∈ {Tn(ω), n≥1}) = 0. De donde, con probabilidad

1, t no es un punto de discontinuidad: Nt− =N_t con probabilidad 1.

5. Se deduce inmediatamente del punto anterior siendo que la convergencia casi seguro implica la convergencia en probabilidad.

6. Sea Tk =

Pk

i=1τi ∀k. La densidad de (T1, . . . , Tk) es dada por:

λk1{0<t1<···<tk}e

−λtk_d

t1· · ·dtk

Siendo _P(Nt=n) = P(Tn≤t < Tn+1),´esta puede ser calculada como:

P(Nt=n) =

Z

0<t1<···<tn<t<tn+1

λne−λtn+1_d

t1· · ·dtndtn+1

= λne−λt

Z

0<t1<···<tn<t

dt1· · ·dtn =e

−λt(λt)n

n! 7.

E[eiuNt_{] =} X

n≥0

eiune−λt(λt)

n

n! =e

−λtX

n≥0

(λteiu)n

n! = exp{eλt(eiu−1)}

8. Sean 0< t1 <· · ·< tn, calculemos

(19)

2.2 Proceso de Poisson 18 Definamos jn=

P

i≤nki parai≥1. Luego, la probabilidad de arriba puede

re-escribirse como:

P(Tj1 ≤t1 < Tj1+1, Tj2 ≤t2 < Tj2+1, . . . , Tjn ≤tn < Tjn+1). (2.4)

Condicionando sobreTjn < tn < Tjn+1, (T1, T2, . . . , Tjn) se distribuyen como

los estad´ısticos de orden de jn v.a. uniformes en [0, tn]. La probabilidad

condicional

P(Tj1 ≤t1 < Tj1+1, Tj2 ≤t2 < Tj2+1, . . . , Tjn ≤tn < Tjn+1|Tjn ≤tn< Tjn+1)

(2.5) es por tanto igual a la probabilidad que, dado jn v.a. independientes

U1, . . . , Ujn uniformemente distribuidas en [0, tn], k1 de ellos “caigan” en

el intervalo [0, t1], k2 en (t1, t2], etc. La probabilidad que Uk pertenezca a

[ti−1, ti] es (ti−ti−1)/n, la probabilidad condicional (2.5) es dada por: jn!

tjn

n

tk1 1 k1!

n

Y

i=2

(ti−ti−1)ki ki!

Para obtener la probabilidad (2.4), multiplicamos esta expresi´on por la den-sidad deNtn, la cual es distribuida Poisson con par´ametroλtn. Simplificando

queda:

λjn_e−λtnt

k1

k1!

n

Y

i=2

(ti−ti−1)ki ki!

.

Finalmente, sustituyendo jn =k1+· · ·+kn vemos que la probabilidad de

(20)

P(Tj1 ≤t1 < Tj1+1, Tj2 ≤t2 < Tj2+1, . . . , Tjn ≤tn< Tjn+1)

= {λt1}

k1_e−λt1 k1!

n

Y

i=2

{λ(ti−ti−1)}kie−λ(ti−ti−1) ki!

.

La ley conjunta de los incrementos tiene una forma de producto, lo que muestra su independencia. Más aún, cada término en el producto es reco-nocido como la densidad de una ley Poisson con parámetro λ(ti−ti−1) lo

que muestra la homogeneidad de los incrementos.

10. La propiedad de Markov se deduce de la independencia de los incrementos:

E[f(Nt)|Nu, u≤s] = E[f(Nt−Ns+Ns)|Nu, u≤s]

= E[f(Nt−Ns+Ns)|Ns]

por ser Nt−Ns es independiente de Nu, u≤s.

Proceso de Poisson Compensado

Definamos la versi´on “centrada” del proceso de Poisson Nt como:

˜

Nt=Nt−λt

˜

Nt sigue una versi´on centrada de la ley de Poisson con funci´on caracter´ıstica:

(21)

2.2 Proceso de Poisson 20 Como el proceso de Poisson, Ñ también tiene incrementos independientes y es fácil mostrar que:

E[Nt|Ns, s≤t] =E[Nt−Ns+Ns|Ns]

=E[Nt−Ns] +Ns =λ(t−s) +Ns,

as´ı, ( ˜Nt) es una martingala.

( ˜Nt)t≥0 es llamado un proceso de Poisson compensado y (λt)t≥0 esllamado el

compensador de (Nt)t≥0.

Cuando la intensidad de los saltos crece, el proceso de Poisson compensado (interpolado) converge en distribuci´on al proceso de Wiener:

˜

Nt

λ

!

t∈[0,T]

−−−→

λ→∞ (Wt)t∈[0,T]

2.2.1. Procesos de conteo

El proceso de Poisson N1 cuenta el n´umero de tiempos aleatorios{Tn, n ≥1}

que ocurren en [0, t], donde los tiempos aleatoriosTn son sumas parciales de una

sucesión de iid variables aleatorias exponenciales. Más general, dado una sucesión creciente de tiempos aleatorios{Tn, n ≥1} con Tn → ∞ c.s., podemos definir el

proceso de conteo asociado (Xt)t≥0 por

Xt=

X

n≥1

(22)

Lema 1 (2.1)

Sea (Xt) un proceso de conteo con incrementos independientes y estacionarios.

Entonces (Xt) es un proceso de Poisson.

y

2.3. Medidas aleatorias y procesos puntuales.

Definimos el proceso como un proceso de conteo dondeNt= #{n ≥1, Tn≤t}

y T1, . . . , Tn es la sucesi´on de tiempos de salto.

De forma similar,

Nt−Ns = #{n ≥1, Tn ∈(s, t]}.

Los tiempos de saltoT1, T2, . . . , forman una configuraci´on aleatoria de puntos sobre [0,∞) y el proceso de Poisson Nt cuenta el n´umero de tales puntos en el

intervalo [0, t]. Este procedimiento de conteo define una medidaM sobre [0,∞): para cualquier conjunto medible A⊂[0,∞)

M(ω, A) = #{i≥1, Ti(ω)∈A}. (2.6)

Luego, M(ω, A) es una medida positiva con valores enteros y M(A) es finita con probabilidad 1 para cualquier conjunto acotado A. Notemos que la medi-da M(ω, A) depende de ω: esto la hace una medida aleatoria. La intensidad

λ del proceso de Poisson determina el valor medio de la medida aleatoria M:

E[M(A)] = λ|A| donde |A| es la medida de Lebesue deA.

M es llamada la medida aleatoria de saltos asociada al proceso de Poisson (Nt). El proceso de Poisson puede ser expresado en t´erminos de la medida

(23)

2.3 Medidas aleatorias y procesos puntuales. 22

Nt(ω) = M(ω,[0, t]) =

Z

[0,t]

M(ω, ds). (2.7)

Las propiedades del proceso de Poisson se trasladan en las siguientes propie-dades para la medidaM: para intervalos disjuntos [t1, t01], . . . ,[tn, t0n]

1. M([tk, t0k]) es el n´umero de saltos del proceso de Poisson en [tk, t0k]: esta es

una variable aleatoria de Poisson con par´ametroλ(t0_k−tk).

2. Para dos intervalos disjuntos j 6= k, M([tj, t0j]) y M([tk, t0k]) son variables

aletorias independientes.

3. Más en general, para cualquier conjunto medible A, M(A) sigue una dis-tribución de Poisson con parámetroλ|A| donde A=R_Adx es la medida de Lebesgue de A.

La medida aleatoriaMtambi´en puede ser vista como la “derivada” del proceso de Poisson. Recordemos que cada trayectoriat7→Nt(ω) de un proceso de Poisson

es una función simple creciente. Aqu´ı su derivada (en el sentido de la distribución) es una medida positiva: de hecho es simplemente la superposición de masas de Dirac en los tiempos de salto:

d

dtNt(ω) =M(ω,[0, t]) donde M =

X

i≥1

δTi(ω) (2.8)

En el mismo sentido, uno puede asociar una medida aleatoria al proceso de Poisson compensado ˜Nt, definiendo:

˜

M(ω, A) =M(ω, A)−

Z

A

λdt=M(ω, A)−λ|A|. (2.9) ˜

(24)

medida aleatoria compensada y la medida A7→λ|A|es llamada el compensador de M. Observemos aqu´ı que el compensador es simplemente λ veces la medida de Lebesgue deA:λ|A|=E[M(A)] y ˜M es la versi´on “centrada” de M.

Esta construcci´on puede ser generalizada en varias v´ıas.

Medidas de Poisson aleatorias.

Definici´on 2.9 (Medida aleatoria de Poisson)

Sea (Ω,F,_P) un espacio de probabilidad, E ⊂ _Rd _y _µ _{una medida positiva de}

Radon dada sobre (E, Λ). Una medida de Poisson aleatoria sobre E con medida de intensidad µes una medida aleatoria a valores enteros:

M : Ω×Λ→_N

(ω, A)7→M(ω, A),

tal que:

1. Para (casi todo), ω ∈ Ω, M(ω,·) es una medida de Radon sobre E con valores enteros: para cada conjunto medible acotadoA⊂E,M(A)<∞ es una variable aleatoria tomando valores enteros.

2. Para cada conjunto medible A ⊂ E, M(·, A) = M(A) es una variable aleatoria de Poisson con par´ametro µ(A):

∀k ∈_N, _P(M(A) =k) =e−µ(A)(µ(A))

k

k! . (2.10)

3. Para conjuntos medibles disjuntos A1, . . . , An ∈ Λ, las variables

(25)

Proposici´on 2.6 (Construcci´on de medidas aleatorias de Poisson)

Para cualquier medida µ sobre E ⊂ _Rd_{, existe una medida aleatoria de Poisson}

M sobre E con intensidad µ

y

Prueba: Si µ(E)<∞:

Tomemos X1, X2. . . v.a. iid tal que P(Xi ∈A) = µ_µ(₍A_E)₎.

Tomemos M(E) para que seauna variable aleatoria de Poisson sobre (Ω,F,_P) con media µ(E), independiente de Xi.

Definamos M(A) =PM(E)

i=1 1A(Xi) para todo A∈Λ.

Se puede verificar que M es una medida aleatoria de Poisson con intensidad

µ.

Siµ(E) =∞ Como µ es una medida de Radon y E ⊂ _Rd_{, entonces} _µ _es

σ−aditiva y el procedimiento es el usual. Una medida aleatoria de Poisson sobreEtambien puede ser considerada como una variable aleatoria tomando valores en M(E), el conjunto de las medidas de Radon sobreE, la topolog´ıa es definida como sigue: una sucesi´on µn de medidas

de Radon sobre E ⊂ _Rd _{converge a una medida de Radon} _µ _{si para cualquier}

f :E →_R con soporte compacto R

f dµn →

R

f dµ.

Proposici´on 2.7 (Convergencia de medidas aleatorias de Poisson)

Sea (Mn)n≥1 una sucesi´on de medidas aleatorias de Poisson sobre E ⊂ Rd con

intensidades (µn)n≥1. Entonces (Mn)n≥1 converge en distribuci´on si y s´olo si las

intensidades(µn)convergen a una medida de Radonµ. EntoncesMn

D

−→M donde

(26)

y

En la misma v´ıa que se defini´o el proceso de Poisson compensado para el pro-ceso de Poisson, uno puede construir la medida aleatoria de Poisson compensada

˜

M restando a M su medida de intensidad:

˜

M(A) =M(A)−µ(A).

De la definici´on de medidas de Poisson aleatorias se puede deducir que para conjuntos compactos disjuntosA1, . . . , An ∈Λ, las variables ˜M(A1), . . . ,M˜(An)

son independientes, centradas y con varianza µ(Ai).

Construyendo procesos con saltos de medidas aleatorias de

Poisson.

Consideremos una medida de Poisson aleatoriaM sobreE = [0, T]×_Rd_{\ {}₀_}_:

como antes, este puede ser representado como una medida de conteo asociada a la configuraci´on aleatoria de puntos (Tn, Yn)∈E:

M =X

n≥1

δ(Tn,Yn).

Intuitivamente, cada punto (Tn(ω), Yn(ω)) ∈ [0, T]×Rd corresponde a una

observaci´on hecha en el tiempoTny descripta por una (no nula) variable aleatoria

Yn(ω)∈Rd.

Como queremos interpretar la primer coordenada t como el tiempo, introdu-cimos un flujo de informaci´onFt sobre (Ω,F,P). Diremos que M es una medida

aleatoria de Poisson no anticipada (o adaptada aFt) si:

(27)

Yn es revelada en Tn: Yn es FTn−medibles.

Para cada ω, M(ω, .) es una medida sobre E = [0, T]× _Rd_{\ {}₀_} _y

pode-mos definir la integral respecto de esta medida. Primero, para funciones sim-ples f = Pn

i=1ci1Ai donde ci ≥ 0 y Ai ⊂ E son disjuntos y medibles,

defini-mos M(f) = Pn

i=1ciM(Ai): M(f) es una variable aleatoria con valor esperado

E[M(f)] = Pn

i=1ciµ(Ai). A continuaci´on, para funciones medibles no negativas

definimosM(f) = l´ımn→∞M(fn) dondefn %fconfnsimples. Por el teorema de

convergencia mon´otona,M(f) es una variable aleatoria con valores [0,∞)∪ {∞}

y E[M(f)] = µ(f) (posiblemente infinita). Para una funci´on medible real, la descomponemos en su parte positiva y su parte negativa. Si f cumple:

µ(|f|) =

Z

[0,T]

Z

Rd\{0}

|f(s, y)|µ(ds×dy)<∞ (2.11) entonces las variables aleatorias positivas M(f+_{) y}_M₍_f−_{) tienen esperanzas}

E[M(f+_{)] =} _µ₍_f+₎ _≤ _µ₍_|_f_|₎ _< _∞ _y _E_[_M₍_f−_{)] =} _µ₍_f−₎ _≤ _µ₍_|_f_|₎ _< _∞_{. En}

particular,M(f+_), _M₍_f−_{) son finitas c.s.: podemos por lo tanto definir}_M₍_f_{) =}

M(f+₎₋_M₍_f−_{) y} _M₍_f_{) define una variable aleatoria con esperanza:}

E[M(f)] =µ(f) =

Z

[0,T]

Z

Rd\{0}

f(s, y)µ(ds×dy).

Integrando f con respecto a M hasta el tiempo t, esto es, restringiendo la integral a [0, t]×_Rd_{\ {}₀_} _{tenemos un proceso estoc´}_{astico no anticipado:}

Xt=

Z t

0

Z

Rd\{0}

f(s, y)M(ds dy) = X

{n,Tn∈[0,t]}

f(Tn, Yn). (2.12)

La segunda suma es sobre los eventos (Tn, Yn) que han ocurrido antes de t,

esto es, Tn≤t. (Xt(f))t∈[0,T] es un proceso con saltos cuyos saltos ocurren en los

(28)

De forma similar, bajo la condici´on (2.11), uno puede definir la integral de f

respecto de la medida aleatoria de Poisson compensada ˜M. El proceso resultante es llamado la integral compensada, que resulta ser una martingala:

Proposici´on 2.8 (Integrales Poisson compensada)

SeaM una medida aleatoria de Poisson no anticipada sobreE = [0, T]×_Rd_{\ {}₀_}

con intensidad µy medida aleatoria compensada M˜ =M −µ y sea f : E →_Rd

verificando (2.11). Entonces el proceso

Xt=

Z t

0

Z

Rd\{0}

f(s, y) ˜M(ds dy)

=

Z t

0

Z

Rd\{0}

f(s, y)M(ds dy)−

Z t

0

Z

Rd\{0}

f(s, y)µ(ds dy) (2.13)

es una martingala.

y

Proceso puntuales marcados.

Como observamos antes, una medida de Poisson aleatoria sobre [0, T]×_Rd

puede ser representada como una medida de conteo:

M(ω, .) =X

n≥1

δ(Tn(ω),Yn(ω)) (2.14)

para alguna sucesi´on aleatoria (Tn, Yn)n≥1 de puntos en [0, T]× Rd.

Usan-do esta representación uno puede definir medidas aleatorias a valores enteros con propiedades de dependencia más complejas: dada una sucesión aleatoria (Tn, Yn)∈[0, T]×E donde (Tn)n≥1 es una sucesión de tiempos de parada

(29)

2.3 Medidas aleatorias y procesos puntuales. 28 tiempoTn(YnesFTn−medibles), podemos definir una medida de conteoM como

por (??).M se llama una medida aleatoria a valores enteros sobre [0, T]×E y la sucesi´on aleatoria (Tn, Yn)∈[0, T]×E es llamado un proceso puntual marcado.

La variables aleatorias (Yn)n≥1 son llamadas “marcas”.

Definici´on 2.10 (Proceso puntual marcado)

Un proceso puntual marcado sobre (Ω,F,(Ft),P) es una sucesi´on (Tn, Yn)n≥1

donde

(Tn)n≥1 es una sucesi´on creciente de tiempos de parada con Tn → ∞ c.s.

cuandon → ∞.

(Yn)n≥1 es una sucesi´on de aleatorias tomando valores en E. Yn es FTn−medibles.

La condici´on Tn → ∞ garantiza que el n´umero de eventos ocurridos sobre

[0, T] sea finito. Para cadaω∈Ω,M(ω, .) es una medida de conteo sobre [0, T]×E. Siµ es una medida difusa, esto es µ({(t, y)}) = 0 para todo (t, y)∈E entonces, con probabilidad 1, cada punto ocurre a lo sumo una vez:M({(t, y)}) = 0 o 1.

Procesos puntuales marcados no tienen la propiedad de independencia de las medidas aleatorias de Poisson: siA1 yA2 son disjuntos entoncesM([0, t]×A1) y M([0, t]×A2) no son independientes, no son variables aleatorias de Poisson.

Cualquier medida aleatoria de Poisson sobre [0, T]×_Rd _{puede ser}

representa-da como en (2.14) pero (Tn) no necesariamente tiende a infinito, entonces toda

medida aleatoria de Poisson no puede ser representada como un proceso puntual marcado: s´olo aquellos conµ([0, T]×_Rd₎_<_∞_.

Para una funci´onf : [0, T]×E →_Rd _{que verifique}R

[0,T]×_Rd|f(t, y)|µ(dt dy)<

(30)

es dada por la variable aleatoria

M(f) =

Z

[0,T]×E

f(t, y)M(dt dy) = X

n≥1

f(Tn, Yn) (2.15)

Uno puede construir un proceso con saltos desde f como en la secci´on 2.3:

Xt(f) =

Z

[0,T]×_Rd_\{₀_}

f(s, y)M(ds dy) = X

{n,Tn∈[0,t]}

f(Tn, Yn).

(Xt(f))t∈[0,T] es un proceso con saltos no anticipado con trayectorias cadlag

cuyos saltos son descriptos por el proceso puntual marcado M: los saltos ocu-rren en (Tn)n≥1 y sus amplitudes son dadas por f(Tn, Yn). Esta construcci´on da

una sistem´atica v´ıa de generalizar procesos con saltos desde procesos puntuales marcados.

Rec´ıprocamente, para cada proceso cadlag (Xt)t∈[0,T] con valores en Rd uno

puede asociar una medida aleatoria JX sobre [0, T]×Rd llamada la medida de

saltos, en la siguiente manera. Como ya mencionamos, X tiene a los sumo una cantidad numerable de saltos, sus elementos pueden ser organizados en una su-cesi´on (Tn)n≥1 (no necesariamente creciente), que son los tiempos de salto

(alea-torios) de X. Al tiempo Tn, el proceso X tiene una discontinuidad de tama˜no

Yn=XTn−XTn− ∈R

d_{\ {}₀_} _{que contiene toda la informaci´}_{on sobre los saltos del}

procesoX: los tiempos de saltoTny los tama˜nos de saltoYn. La medida aleatoria

asociada, que anotamos por JX, es llamada la medida de salto del procesoX:

JX(ω, .) =

X

n≥1

δ(Tn(ω),Yn(ω)) = ∆Xt6=0

X

t∈[0,T]

δ(t,∆Xt). (2.16)

(31)

JX([0, t]×A) := n´umeros de saltos deX ocurridos entre 0 y t

cuya amplitud pertenece a A.

La medida aleatoriaJX contiene toda la informaci´on sobre las

discontinuida-des (saltos) del proceso X: nos dice cuando los saltos ocurren y qu´e tan grandes son. JX no nos dice nada sobre la componente continua del proceso X. Es f´acil

ver que X contiene trayectorias continuas si y s´olo si JX = 0 c.s.

Todas las cantidades involucrando saltos de X pueden ser calculadas inte-grando varias funciones contraJX.Por ejemplo sif(t, y) =y2 obtenemos la suma

de los cuadrados de los saltos de X:

Z

[0,T]×R

y2JX(dt dy) =

X

t∈[0,T]

(∆Xt)2

Ejemplo 2.1 (Medida de salto de un proceso dePoisson)

La medida de salto de un proceso de Poisson es dada por JN =

P

n≥1δ(Tn,1):

JN([0, t]×A) =







#{i≥1 :Ti ∈[0, t]} si1∈A

0 si16∈A

(32)

Procesos de L´

evy, definici´

on y

propiedades.

3.1. De caminatas al azar a Procesos de L´

evy.

Definici´on 3.1 (Procesos de L´evy)

Un proceso cadlag (Xt)t≥0 sobre (Ω,F,P) con valores en Rd tal que X0 = 0 es

llamado unProceso de L´evy si verifica:

1. Incrementos independientes: Para cada secuencia creciente de tiempos

t0, . . . , tn, las variables aleatorias Xt0, Xt1 − Xt0, . . . , Xtn − Xtn−1 son

in-dependientes.

2. Incrementos estacionarios: La ley de Xt+h−Xt no depende de t.

3. Continuidad estoc´astica:∀ε >0, l´ım

h→0P(|Xt+h−Xt| ≥ε) = 0

La tercera condición no implica de ninguna manera que las trayectorias sean continuas: a modo de ejemplo es verificada por el proceso de Poisson como se mostró en la Proposición 2.5. Esto sirve s´ı para excluir procesos con saltos en

(33)

3.1 De caminatas al azar a Procesos de L´evy. 32 tiempos fijos (no aleatorios), que pueden ser considerados como “efectos calen-dario”.

Observaci´on 3.1

Si observamos un proceso de L´evy a intervalos regulares de tiempo0,∆,2∆, . . . ,

obtenemos una caminata al azar: definiendoSn(∆) =Xn∆, podemos re-escribirlo

como Sn(∆) = P n−1

k=1Yk donde Yk = X(k+1)∆−Xk∆ son variables aleatorias iid

que tienen la misma distribuci´on deX∆. C´omo esto puede hacerse para cualquier

∆, tenemos que una vez especificado un proceso de L´evy, tenemos determinada un conjunto de familias de caminatas aleatoriasSn(∆).

Eligiendon∆ =t, vemos que para cadat >0y cadan≥1,Xt =Sn(∆)puede

ser representado como una suma den iidv.a. cuya distribuci´on es la deXt/n:Xt

puede ser dividido enn“partes” iid. Una distribuci´on con esta propiedad se dice

infinitamente divisible.

Definici´on 3.2 (Distribuci´on infinitamente divisible)

Una distribuci´on de probabilidad F sobre _Rd se dice infinitamente divisible si para cualquier entero n ≥ 2, existen n v.a. iid Y1, . . . , Yn tal que Y1+· · ·+Yn

tiene la distribuci´on F.

Como la distribución de la suma de v.a. independientes está dada por la convolución, si anotamos conµla distribución de laYk 0s, luegoF =µ∗µ∗ · · · ∗µ

es la n−´esima convoluci´on de µ.

Si X es un proceso de L´evy, para cada t > 0 la distribuci´on de Xt es

in-finitamente divisible. Esto pone una restricci´on sobre las posibles elecciones de distribuciones paraXt: mientras los incrementos de una caminata al azar

(34)

Los ejemplos más comunes de distribuciones infinitamente divisibles son: la distribución gaussiana, la distribución gamma, las distribuciones α-estables y la distribución de Poisson.

Cualquiera de esas distribuciones se puede escribir como suma de v.a. con la misma distribuci´on pero con par´ametros modificados.

Una distribución que no es infinitamente divisible es por ejemplo la dis-tribución Uniforme en [a, b]. Ello se deduce de que su función caracter´ıstica Φ(t) = (eitb ₋_eitb₎_/₍_it₍_b₋_a_{)) se anula para ciertos valores de} _t _{lo que es}

im-posible en las distribuciones infinitamente divisibles.

Rec´ıprocamente, dada una distribución infinitamente divisibleF escribiéndola en la suma de n v.a. iid, construimos un “random walk model” sobre una grilla con pasos 1/n tal que la ley de la posición en t= 1 es dada por F. En el l´ımite, este procedimiento puede ser usado para construir un proceso de Lévy continuo (Xt)t≥0 tal que la ley deX1 es dada por F.

Proposici´on 3.1 (Divisibilidad infinita y procesos de L´evy)

Sea (Xt)t≥0 un proceso de L´evy. Para cada t, Xt tiene una distribuci´on

infinita-mente divisible. Rec´ıprocainfinita-mente, siF es una distribución infinitamente divisible entonces existe un proceso de Lévy (Xt) tal que la distribución de X1 es dada

porF.

y

El directo fue mostrado en 3.1, para el rec´ıproco ver [345,Cor 11.6]. La funci´on caracter´ıstica de Xt:

Φt(z) := ΦXt(z)≡E[e

izXt_]_, _∀_z _∈ Rd

(35)

3.1 De caminatas al azar a Procesos de L´evy. 34 es independiente de Xs, obtenemos que la funci´on t7→Φt(z) es multiplicativa:

Φt+s(z) := ΦXt+s(z)

indep

= ΦXs(z)ΦXt+s−Xs(z)

id

= ΦXs(z)ΦXt(z) =

ΦsΦt

(z)

La continuidad estoc´astica de t 7→ Xt implica en particular que Xs L

→

s→tXt.

Adem´as, de la caracterizaci´on dela convergencia en ley, ΦXs(z) →

s→tΦXt(z),

enton-cest7→Φt(z) es una funci´on continua det. Junto con la propiedad multiplicativa

obtenemos que la funci´on t7→Φt(z) es una funci´on exponencial:

Proposición 3.2 (Función caracter´ıstica de un proceso de Lévy)

Sea (Xt)t≥0 un proceso de L´evy sobre Rd. Existe una funci´on continua

Ψ :_Rd_→

R, llamada el exponente caracter´ıstico deX, tal que: E[eizXt_{] =}_etΨ(z)_, _z_∈

Rd (3.1)

Observaci´on 3.2

Notemos que conocida la distribuci´on de X1 queda determinada entonces Ψ, y

por (3.1) queda determinada la función caracter´ıstica y con ella la distribución deXt. El único grado de libertad para especificar un proceso de Lévy es conocer

(36)

3.2. Proceso de Poisson Compuesto

Definici´on 3.3 (Proceso de Poisson Compuesto)

Un proceso de Poisson compuesto con intensidad λ > 0 y distribuci´on de salto

f, es un proceso estoc´asticoXt definido como

Xt= Nt

X

i=1

Yi, (3.2)

donde el tama˜no de los saltosYi son iidcon distribuci´onf y (Nt)es una proceso

de Poisson con intensidadλ, independiente de (Yi)i≥1.

De la definici´on tenemos las siguientes propiedades inmediatas:

1. Las trayectorias de X son cadlag y constantes a tramos.

2. Los tiempos de salto (Ti)i≥1 tienen la misma ley que el tiempo de salto de

un proceso de Poisson Nt: las cuales se pueden expresar como una suma

parcial de v.a. exponenciales independientes de par´ametro λ. 3. El largo de salto (Yi)i≥1 es iid todos con leyf.

El proceso de Poisson tambi´en puede verse como un Poisson compuesto sobre

Rtal que Yi = 1.

Sea R(n), n ≥ 0 una caminata al azar con distribuci´on de largo de pazo f:

R(n) = Pn

i=1Yi. El proceso Poisson Compuesto Xt puede obtenerse por cambiar

el tiempo deRcon un proceso Poisson independienteNt:Xt =R(Nt).Xtdescribe

entonces la posición de una caminata al azar después de un número aleatorio de pasos, dado porNt.

(37)

3.2 Proceso de Poisson Compuesto 36

(Xt)t≥0 es un Poisson Compuesto sii es un proceso de L´evy y sus trayectorias son

funciones constantes por tramos.

y

Prueba:

⇐: Sea (Xt)t≥0 un proceso de L´evy con trayectorias constantes a tramos. Para

probar que es un proceso de Poisson Compuesto hay que probar las propie-dades 2 y 3 de la definici´on 3.3.

propiedad 2: Podemos construir, camino por camino, un proceso (Nt, t ≥0)

que cuenta los saltos de X:

Nt= #{s∈(0, t] :Xs− 6=X_s} (3.3)

Como las trayectorias deXson constantes por tramos,Xtiene una cantidad finita de saltos en cualquier intervalo acotado lo que implica que Nt es

acotado para todo t. Por lo tanto, es un proceso de conteo. Sea h < t, luego

Nt−Nh = #{s∈(h, t] :Xs− 6=X_s}= #{s∈(h, t] :X_s−−X_h 6=X_s−X_h}

Por lo tanto, Nt−Nh depende solo sobre (Xs−Xh), h≤s≤t. Adem´as, de

la independencia e estacionariedad de los incrementos de (Xt) se sigue que

(Nt) tambi´en tiene incrementos independientes y estacionarios. El lema 1

implica que Nt es un proceso de Poisson, lo que prueba la propiedad 2.

propiedad 3: Usando el proceso N, podemos calcular los tama˜no de saltos de X: Yn = XSn −XSn− donde Sn = ´ınf{t : Nt ≥ n}. Ahora s´olo nos resta

(38)

Para mostrar la independencia primero mostraremos que los incrementos de X condicionados sobre las trayectorias de N, son independientes. Sea

t > s y consideremos los siguientes conjuntos:

A1 ∈σ(Xs) B1 ∈σ(Nr, r≤s)

A2 ∈σ(Xt−Xs) B2 ∈σ(Nr−Ns, r > s)

tal que P(B1), P(B2) > 0. La independencia de los incrementos de X

im-plica que los procesos (Xr−Xs, r > s) y (Xr, r ≤ s) son independientes.

Por lo tanto:

A1∩B1 es independiente de A2∩B2. A1∩B1 son independiente de B2.

A2∩B2 son independiente de B1.

B1,B2 son independiente entre s´ı.

Luego, la probabilidad condicional de inter´es puede ser expresada como sigue:

P(A1∩A2|B1∩B2) =

P(A1∩B1)P(A2∩B2) P(B1)P(B2)

= P(A1∩B1∩B2)P(A2∩B1∩B2)

P(B1)P(B2)P(B1)P(B2)

= P(A1|B1∩B2)P(A2|B1∩B2)

Esto prueba que Xt−Xs y Xs son independientes condicionalmente sobre

las trayectorias de N. En particular, eligiendo B1 = {Ns = 1} y B2 =

{Nt−Ns = 1} obtenemos que Y1 e Y2 son independientes. Generalizando

(39)

3.2 Proceso de Poisson Compuesto 38 Finalmente, para probar que los Yn tienen la misma ley, observemos que

el proceso 2-dimensional (Xt, Nt) tiene incrementos estacionarios. Por lo

tanto, para cada n≥0 y para cada s > h >0,

E[f(Xh)|Nh = 1, Ns−Nh =n] =E[f(Xs+h−Xs)|Ns+h = 1, Ns−Nh =n],

dondef es cualquier funci´on de Borel acotada. Esto implica que paran ≥0,

Y1 eYn+2 tienen la misma ley, lo que completa la demostraci´on.

⇒ Sea (Xt)t≥0 un proceso de Poisson Compuesto.

Independencia de los incrementos: Sea 0< r < sy tomemosfyg fun-ciones de Borel acotadas sobre_Rd. Para facilitar la notaci´on, probemos s´olo que Xr es independiente deXs−Xr, pero el mismo razonamiento

se aplica a cualquier numero finito de incrementos. Debemos mostrar que:

E[f(Xr)g(Xs−Xr)] = E[f(Xr)]E[g(Xs−Xr)]

De la representaci´onXr =

PNr

i=1YiyXs−Xr =

PNs

i=Nr+1Yi se deducen

las siguientes propiedades:

• Condicionalmente sobre las trayectorias de Nt, para t∈[0, s], Xr

y Xs −Xr son independientes porque la primera expresi´on s´olo

depende sobre Yi para i > Nr.

• La esperanza E[f(Xr)|Nt, t≤s] depende s´olo sobre Nr y la

espe-ranza E[g(Xs−Xr)|Nt, t≤s] depende s´olo de Ns−Nr.

(40)

E[f(Xr)g(Xs−Xr)] = E[E[f(Xr)g(Xs−Xr)|Nt, t ≤s]]

= E[E[f(Xr)|Nt, t≤s]·E[g(Xs−Xr)|Nt, t≤s]]

= E[E[f(Xr)|Nt, t≤s]]·E[E[g(Xs−Xr)|Nt, t≤s]]

= E[f(Xr)]·E[g(Xs−Xr)]

Estacionariedad de los los incrementos: Sea 0 < r < s como antes y seafuna funci´on de Borel acotada. Usando la observaci´on hecha antes, podemos escribir:

E[f(Xs−Xr)] = E[E[ Ns

X

i=Nr+1

Yi|Nt, t≤s]]

= E[E[

Ns−Nr

X

i=1

Yi|Nt, t≤s]]

= E[E[

Ns−r

X

i=1

Yi|Nt, t≤s]]

= E[f(Xs−r)]

Continuidad estocástica:Xtsólo salta siNtlo hace. Por la Proposición

2.5, para cada t >0,

P(Ns s<t

−→

s→tNt) = 1.

Por lo tanto, para cada t >0,

P(Xs s<t

−→

s→tXt) = 1.

Como la convergencia casi segura implica la convergencia en probabi-lidad, esto implica la continuidad estoc´astica.

(41)

3.2 Proceso de Poisson Compuesto 40

Proposici´on 3.4 (Funci´on caracter´ıstica de un Poisson Compuesto)

Sea(Xt)t≥0 un proceso de Poisson compuesto sobreRd. Su funci´on caracter´ıstica

tiene la siguiente representaci´on:

E[eiuXt_{] = exp}n_tλ

Z

Rd

(eiu·x−1)f(dx)o, ∀u∈_Rd, (3.4)

dondeλ es la intensidad de salto y f la distribuci´on del tama˜no de salto.

Comparando (3.4) con la función caracter´ıstica del proceso de Poisson, vemos que una variable aleatoria de Poisson compuesta puede ser representada como una superposición de independientes procesos de Poisson con diferentes tiempos de salto. La intensidad total del proceso de Poisson con tamaño de salto en el intervalo [x, x+dx] es determinada por la densidad λf(dx)

Prueba: Condicionando la esperanza sobre Nt y denotando la funci´on

carac-ter´ıstica def por ˆf, tenemos:

ˆ

f(t) =E[eiu·Xt_{] =} _E_[_E_[_eiu·Xt_|_N

t]] =E[( ˆf)Nt]

=

∞

X

n=0

e−λt(λt)n

n! ( ˆf(u))

n₌_eλt( ˆf(u)−1)

= expntλ

Z

Rd

(eiu·x−1)f(dx)o

En el caso de una sólo dimensión, la función caracter´ıstica es simplemente:

E[expiu·Xt] = exp

n

tλ

Z +∞

−∞

(42)

Introduciendo una nueva medida ν(A) = λf(A), podemos re-escribir la fun-ci´on caracter´ıstica como:

E[expiu·Xt] = exp

n

t

Z

Rd

(eiu·x−1)ν(dx)o, ∀u∈_Rd_.

Aqu´ı ν es llamada la medida de L´evy del proceso (Xt)t≥0. ν es una

medida positiva sobre_R pero no es una probabilidad porque integra λ.

3.3. Medida de Salto del proceso Poisson

Com-puesto.

Ahora usaremos la noci´on de medida aleatoria para estudiar el comporta-miento de los saltos de un proceso de Poisson Compuesto. Como mostramos en la Secci´on 2.3, cada proceso cadlag y en particular cada proceso de Poisson Com-puesto (Xt)t≥0sobreRd, uno puede asociar una medida aleatoria sobreRd×[0,∞),

describiendo los saltos deX: Para cada conjunto medible B ⊂_Rd_×_[0_,_∞₎

JX(B) = #{(t, Xt−Xt−)∈B} (3.5)

Para cada conjunto medible A ⊂ _Rd_, _J

X([t1, t2] ×A) cuenta el n´umero de

saltos de X entre t1 y t2 tal que el tama˜no de salto est´a en A. La siguiente

proposici´on muestra que JX es una medida aleatoria de Poisson en el sentido de

la definici´on 2.9

Proposici´on 3.5 (Medida de salto de un Poisson Compuesto)

Sea(Xt)t≥0 un proceso de Poisson Compuesto con intensidadλy distribuci´on del

tama˜no de salto f. Su medida de salto JX es una medida aleatoria de Poisson

(43)

3.3 Medida de Salto del proceso Poisson Compuesto. 42

y

Esta proposición sugiere una interpretación alternativa de la medida de Lévy de un proceso Poisson Compuesto como el número medio de saltos por unidad de tiempo. De hecho, veremos que esta interpretación es mucho más general que la que usa la distribución del salto, que puede ser usado para definir la medida de Lévy para todo proceso de Lévy y no sólo Procesos de Poisson:

Definici´on 3.4 (Medida de L´evy)

Sea (Xt)t≥0 un proceso de L´evy sobre Rd. La medida ν sobre Rd definida por: ν(A) = E[#{t ∈[0,1] : ∆Xt6= 0,∆Xt∈A}], A∈ B(Rd) (3.6)

es llamada la medida de Lévy de X: ν(A) es el número esperado, por unidad de tiempo, de los saltos cuyo tamaño pertenecen a A.

Prueba: 3.5: de la definici´on en la ecuaci´on 3.5 es claro que JX es una medida

con valores enteros.

Primero verifiquemos que JX(B) tiene distribuci´on Poisson, es suficiente probar

esta propiedad para un conjunto de la formaB =A×[t1, t2] con A∈ B(_Rd). Sea (Nt)t≥0 el proceso de Poisson, contando los saltos de X. Condicionalmente

sobre las trayectorias deN, el tama˜no de saltoYi soniidy JX([t1, t2]×A) es una

suma deN(t2)−N(t1) variables Bernoulliiidque toman valor 1 con probabilidad f(A), por lo tanto:

E[eiuJX([t1,t2]×A)_{] =} _E_[_E_[_eiuJX([t1,t2]×A)_|_N

t, t ≥0]]

= E[{eiuf(A) + 1−f(A)}N(t2)−N(t1)_]

= eλ(t2−t1)f(A)(eiu−1)

(44)

t1). Luego, JX([t1, t2]×A) es una variable aleatoria de Poisson con par´ametros f(A)λ(t2−t1).

Ahora verifiquemos la independencia de medidas de conjuntos disjuntos. Primero mostremos que si A y B son dos borelianos disjuntos en _Rd _entonces

JX([t1, t2]× A) y JX([t1, t2] ×B) son independientes. Condicionalmente sobre

las trayectorias de N, la expresi´on iuJX([t1, t2]×A) +ivJX([t1, t2]×B) es una

suma deN(t2)−N(t1) variables aleatorias iid que toman los valores: iu con probabilidadf(A)

iv con probabilidadf(B)

0 con probabilidad 1−f(A)−f(B)

Procediendo como en la primer parte de la demostraci´on, podemos factorizar la funci´on caracter´ıstica como sigue:

E[eiuJX([t1,t2]×A)+ivJX([t1,t2]×B)_]

=E[{(eiu−1)f(A) + (eiv−1)f(B)}N(t2)−N(t1)_]

= expnλ(t2 −t1)

f(A)(eiu₋_{1) +}_f₍_B₎₍_eiv₋₁₎o

=E[eiuJX([t1,t2]×A)_]_E_[_eivJX([t1,t2]×B)_]

Segundo, sean [t1, t2] y [s1, s2] dos intervalos disjuntos. La independencia de JX([t1, t2]×A) yJX([s1, s2]×A) se obtiene directamente de la independencia de

los incrementos del proceso X.

Ahora la independencia de la medida de saltos de cualquier numero finito de conjuntos disjuntos de [0,∞)× _Rd _{se deduce de la aditividad} _J

X y del hecho

que el método usado en la primera demostración funciona para cualquier número

finito de conjuntos.

(45)

3.3 Medida de Salto del proceso Poisson Compuesto. 44

Xt=

X

s∈[0,t]

∆Xs =

Z

[0,t]×_Rd

xJX(ds×dx) (3.7)

donde JX es una medida aleatoria de Poisson con medida de intensidad

ν(dx)dt. Este es un caso especial de la descomposición de Lévy-Itô para pro-cesos de Lévy. Aqu´ı sólo hemos re-escrito el proceso X como la suma de sus saltos. Para un proceso de Poisson Compuesto,la cantidad de saltos en [0, t] es finita c.s. por lo que la integral en (3.7) es una suma finita y no tiene problemas de convergencia.

El siguiente lema es una importante herramienta para calcular varias canti-dades relacionadas a la medida aleatoria de Poisson.

Lema 2 ()

Sea M una medida de Poisson aleatoria con medida de intensidad µ y seaA un conjunto medible tal que 0 < µ(A) < ∞. Entonces, las siguientes dos medidas aleatorias sobre les subconjuntos de A tienen la misma distribuci´on condicional-mente sobre M(A):

M|A, la restricci´on de M a A.

d

MA definida por MdA(B) = #{Xi ∈ B} para todo subconjunto medible B

deA, dondeXi,i= 1, . . . , M(A)son independientes con distribuci´on sobre

A con la ley µ_µ(₍dx_A₎). En otras palabras, dMA es la medida de conteo de M(A)

puntos aleatorios independientes, id´enticamente distribuidos sobre A.

y

(46)

˜

B =A\(B1,· · · , Bk) y ˜n =n−

P

ini. Luego:

P

M(B1) = n1, . . . , M(Bk) = nk|M(A) =n

=

PM(B1) =n1, . . . , M(Bk) =nk, M( ˜B) = ˜n

P(M(A) =n) = n!

n1!· · ·nk!

µ(B1) µ(A)

n1

· · ·

µ(Bk)

µ(A)

nk

µ( ˜B)

µ(A)

!˜n

lo cual es claramente igual a la distribuci´on de McA(B1), . . . ,McA(Bk). Usando

la aditividad de la medida, se puede mostrar que los conjuntosB1, . . . , Bk pueden

no ser necesariamente disjuntos y esto concluye el lema.

Proposici´on 3.6 (Formula exponencial para la medida de Poisson aleatoria)

SeaM una medida aleatoria de Poisson con medida de intensidadµ. Entonces la siguiente fórmula es válida para cada conjunto medible B tal que µ(B) < ∞ y para toda funciónf tal que R_B(ef(x)₋₁₎_µ₍_dx₎_<_∞_:

E[exp

Z

B

f(x)M(dx)

] = exp

Z

B

(ef(x)−1)µ(dx)

(3.8)

y

Prueba: Condicione la esperanza sobre µ(B) y use el lema 2

A continuaci´on veremos esta f´ormula sin los supuestos µ(B)<∞yR_B(ef(x)−

1)µ(dx)<∞, es suficiente requerir que R_B|ef(x)₋₁_|_µ₍_dx₎_<_∞_.

La proposici´on 3.6 establece una relaci´on uno a uno entre los procesos de Poisson Compuestos y las medidas aleatorias de Poisson con medida de intensidad

ν(dx)dt con ν finita. En efecto, sea ν una medida finita sobre _Rd _{y sea} _M _una

(47)

3.4 Procesos de Lévy con actividad infinita 46 luego, uno puede mostrar usando la Proposición 3.6 que la ecuación (3.7) define un proceso de Poisson compuesto con medida de Lévy ν.

3.4. Procesos de L´

evy con actividad infinita

En la secci´on anterior mostramos que cada proceso de L´evy constante por tramosX0

t puede ser representado en la forma (3.7) para alguna medida aleatoria

de Poisson con medida de intensidad de la formaν(dx)dt dondeν es una medida finita definida por:

ν(A) =E[#{t∈[0,1] : ∆X_t0 6= 0,∆X_t0 ∈A}], A∈ B(_Rd). (3.9) Dado un movimiento Browniano con drift γt+Wt, independiente de X0, la

sumaXt=Xt0+γt+Wtdefine otro proceso de L´evy, que puede ser descompuesto

como:

Xt=γt+Wt+

X

s∈[0,t]

∆Xs=γt+Wt+

Z

[0,t]×Rd

xJX(ds×dx).

dondeJX es una medida aleatoria de Poisson sobre [0,∞)×Rdcon intensidad

ν(dx)dt.

¿Puede cada proceso de L´evy ser representado de esta forma?

Dado un Proceso de L´evy Xt, todav´ıa podemos definir su medida de L´evy

(48)

restricción anterior todav´ıa permite acercarse a cero y X puede tener un número infinito de pequeños saltos sobre [0, T]. En este caso la suma de los saltos se convierte en una serie infinita y su convergencia impone alguna condición sobre la medidaν, bajo la cual obtenemos una descomposición deX similar a la anterior:

Proposición 3.7 (Descomposición de Lévy-Itô)

Sea (Xt)t≥0 un proceso de L´evy sobre Rd y ν su medida de L´evy, dado por la

definici´on 3.4

ν es una medida de Rad´on sobre _Rd_{\ {}₀_} _{y verifica:}

Z

|x|<1

|x|2_ν₍_dx₎_<_∞

Z

|x|≥1

v(dx)<∞

La medida de salto de X, anotada por JX, es una medida aleatoria de

Poisson sobre [0,∞)×_Rd _{con medida de intensidad} _ν₍_dx₎_dt_.

Existe un vector γ un browniano d-dimensional (Bt)t≥0 con matriz de

co-varianza A tal que:

Xt = γt+Bt+Xt`+ l´ım_ε&

0

˜

X_tε, donde (3.10)

X_t` =

Z

|x|≥1,s∈[0,t]

xJX(ds×dx) y

˜

X_tε =

Z

ε≤|x|<1,s∈[0,t]

x{JX(ds×dx)−ν(dx)ds} ≡

Z

ε≤|x|<1,s∈[0,t]

xJ˜X(ds×dx).

Los términos en (3.10) son independientes y la convergencia en el último término es casi segura y uniformemente en t sobre [0, T].

y

(49)

3.4 Procesos de Lévy con actividad infinita 48 su distribución. La terna (A, ν, γ) es llamada la terna caracter´ıstica o la terna de de Lévy del procesoXt.

Comentarios sobre el t´ermino en (3.10): Primero, γt +Bt es un proceso de

Lévy gaussiano continuo; cada proceso de Lévy gaussiano es continuo y puede ser escrito en esta forma, además puede ser descripto por dos parámetros: el drift

γ y la matriz de covarianza del movimiento browniano A.

Los otros d´os t´erminos son procesos discontinuos incorporando los saltos de

Xt y son descriptos por la medida ν. La condici´on

R

|y|≥1ν(dy)<∞ significa que Xtiene un n´umero finito de saltos con valor absoluto m´as grande que 1. Entonces la suma:

X_t` =

|∆Xs|≥1

X

0≤s≤t

∆Xs

contiene casi seguramente un n´umero finito de t´erminos y X`

t es un proceso de

Poisson Compuesto. No hay nada especial sobre el umbral ∆X = 1 : para cada

ε >0, la suma de saltos con amplitud entre ε y 1:

X_tε =

1>|∆Xs|≥ε

X

0≤s≤t

∆Xs =

Z

ε≤|x|<1,s∈[0,t]

xJX(ds×dx) (3.11)

es otra vez un bien definido proceso de Poisson Compuesto. Sin embargo, contrariamente al caso de Poisson Compuesto, ν puede tener una singularidad en cero: pueden haber infinitos pequeño saltos y su suma no ser necesariamente convergente. Esto nos impide tomarεtendiendo a 0 directamente en la expresión (3.11). Con el fin de obtener la convergencia tenemos que centrar el restante término, esto es, remplazar la integral de salto por su versión compensada:

˜

X_tε=

Z

ε≤|x|<1,s∈[0,t]

(50)

que, como vimos en la proposici´on 2.8, es una martingala. Mientras que Xε

puede ser interpretado como una infinita superposici´on de procesos de Poisson independientes, Xε

t debe ser visto como una infinita superposici´on de

compensa-dores independientes, esto es, procesos de Poisson centrados al cual un tipo de argumento de “l´ımite central” puede ser aplicado para mostrar convergencia.

Un resultado importante de la descomposición de Lévy-Itô es que cada proceso de Lévy es una combinación de un movimiento Browniano con drift y una suma, posiblemente infinita, de procesos de Poisson Compuesto independientes. Esto también implica que cada proceso de Lévy puede ser aproximado con precisión por un proceso del tipo difusión con saltos, esto es por la suma de movimiento browniano con drift y un proceso de Poisson compuesto, un punto donde ambos son útiles en la teor´ıa y en la práctica.

Prueba: No daremos una demostraci´on detallada pero esbozaremos las princi-pales ideas.

Primero: Construimos una medida de Poisson aleatoria JX sobre [0, t]×Rd

de los saltos de (Xt). Siendo (Xt) cadlag, para cada ε > 0 el conjunto {t :

|Xt−Xt−| ≥ε} es finito y la medida de Poisson aleatoria (de cualquier conjunto

cerrado que no contenga al cero) puede ser construida usando la Proposici´on 3.5. La medida de intensidad de JX es homogenea e igual a ν(dx)dt. A lo largo del

resto de la prueba, podemos suponer sin pérdida de generalidad que todos los saltos de (Xt) son más chicos que 1 en valor absoluto. El próximo paso es probar

el siguiente lema:

Lema 3 ()

Sea (Xt, Yt) un proceso de L´evy. Si (Yt) es un Poisson Compuesto, (Xt) y (Yt)

(51)

3.4 Procesos de L´evy con actividad infinita 50

y

Para la Prueba ver por ejemplo [228, Lemma13.6]

Este lema junto con la fórmula exponencial (3.5) permite probar que la medida de Lévy ν satisface la condición de integrabilidad

Z

(|x|2 ∧1)ν(dx)<∞. (3.13) Damos esta parte de la prueba en detalle para explicar el origen de esta condición: Siendo finita la medida de Lévy, de cualquier conjunto cerrado no conteniendo al cero, es suficiente probar que para algún δ > 0,R_|x|≤δ|x|2_ν₍_dx₎ _<

∞.

Sea X_tε como en (3.12) y sea Rε_t = Xt − Xtε. Luego (Xtε, Rtε) es un

pro-ceso de Lévy porque (Xt) lo es. Claramente para algún u y algún t tenemos

|Eexp{iuXt}| > 0. Tomemos fijo ese u y ese t. Por Lema 3 (Xtε) y (Rtε) son

independientes,

Eexp{iuXt}=Eexp{iuRεt}Eexp{iuX ε t},

y esto implica que|Eexp{iuXε

t}|es acotada por abajo por un n´umero positivo que

no depende deε. Por la f´ormula exponencial (Proposici´on 3.6) esto es equivalente a

exp

t

Z

|x|≥ε

(eiux−1)ν(dx)

≥C >0 lo cual implica que R

|x|≥ε(1−cos(ux))ν(dx)≤C <˜ ∞. Tomando ε→0,

obtene-mos el resultado deseado en (3.13).

Ahora podemos usar esto para mostrar la convergencia de ˜Xε

t. Consideremos

una secuenciaεn&0 y seaYn = ˜Xtεn+1−X˜ εn

t . Todas las variablesYi tienen media

cero y (3.13) implica queP

V ar(Yi)<∞. Por lo tanto, por el “teorema de las tres

series” de Kolmogorov [228, theorem 3.18],P

(52)

˜

Xε

t converge c.s. cuando ε → 0. Usando la desigualdad m´axima de Kolmogorov

[228, Lemma 3.15], uno puede mostrar que la convergencia es uniforme ent. Para completar la demostraci´on, consideremos el proceso Xc

t =Xt−l´ım ˜Xtε.

´

Este es un proceso de L´evy que es independiente de l´ım ˜Xε

t por el lema 3. Es

con-tinuo porque ˜Xε

t converge uniformemente ent y adem´as uno puede intercambiar

los l´ımites. Finalmente, el teorema del l´ımite central de Feller-L´evy [228,theorem 4.15] implica que esto es tambi´en gaussiano.

Teorema 3.8 (Representaci´on de L´evy-Khinchin)

Sea(Xt)t≥0 un proceso de L´evy sobreRdcon terna caracter´ıstica (A, ν, γ), luego:

E[eiz.Xt_{] =}_etΨ(z)_, _z _∈

Rd (3.14)

con Ψ(z) = −1

2z.Az+iγ.z+

R

Rd(e

iz.x₋₁₋_iz.x₁

{|x|≤1})ν(dx).

Para procesos de L´evy con valores en _R, la f´ormula (3.14) toma la forma:

E[eiz.Xt_{] =}_etΨ(z)_, _z _∈ R

con Ψ(z) =−1 2Az

2₊_iγ.z₊R+∞

−∞(e

iz.x₋₁₋_iz.x₁

{|x|≤1})ν(dx).

Una versión equivalente de la representación de Lévy-Khinchin puede obte-nerse por truncar los saltos más grandes que un ε arbitrario:

Ψ(z) =−1

2z.Az+iγ

ε_.z₊

Z

Rd

(eiz.x−1−iz.x1{|x|≤ε})ν(dx).

donde γε₌_γ₊R

Rdx(1{|x|≤ε}−1{|x|≤1})ν(dx).

M´as generalmente, para cada funci´on acotada y medible g : _Rd _→

R que

(53)

3.4 Procesos de L´evy con actividad infinita 52

Ψ(z) = −1

2z.Az+iγ

g

.z+

Z

Rd

(eiz.x−1−iz.xg(x))ν(dx).

Una tal función g es llamada una función de truncación y la terna carac-ter´ıstica (A, ν, γg_{) es llamada la terna caracter´ıstica de} _X _{respecto a la funci´}_on

de truncaci´on de g.

Diferentes elecciones de g no afectan ni A ni ν los cuales son parámetros intr´ınsecos del proceso de Lévy, pero γ depende de la elección de la función de truncación, as´ı que uno deber´ıa evitar hablar del “drift” del proceso. Muchas elecciones de la función de truncación son usadas en la literatura. Paul Lévy usó g(x) = ₁₊1_|x|2 mientras que más recientes textos usan g(x) = 1|x|≤1. En lo

siguiente, cuando nos referimos a la terna de Lévy asumiremos usar esta última función de truncación.

Si la medida de L´evy satisface la condici´on adicional R_|x|≥₁|x|ν(dx) <∞, no es necesario truncar saltos grandes y uno puede usar la forma:

Ψ(z) =−1

2z.Az+iγc.z+

Z

Rd

(eiz.x−1−iz.x)ν(dx).

Ene ste caso es posible mostrar que E[Xt] =γct y γc es llamado el centro del

proceso (Xt), este es relacionado con γ por la relaci´on: γc=γ+

R

|x|≥1xν(dx).

Prueba: (Representaci´on de L´evy-Khinchin)

La descomposición de Lévy-Itô muestra que para cadat, la variable aleatoria

X_tc+X_t`+X_tε converge c.s. aXt cuandoε→0. Como la convergencia c.s. implica

la convergencia en distribuci´on, la funci´on caracter´ıstica deXc

t+Xt`+Xtεconverge