Aplicaciones de máximos y mínimos.
Criterio de la segunda Derivada:
Sea f una función tal que f ‘’ existe en un intervalo ]a, b[, que contiene al número crítico c. a) Si f ’’(c) > 0, entonces la función tiene un punto mínimo.
b) Si f ’’(c) < 0, entonces la función tiene un punto máximo.
Para resolver problemas aplicados a la economía como funciones de ingreso, costo, costo promedio y utilidad se utilizan los conceptos matemáticos anteriormente tratados, con la finalidad de obtener el costo mínimo a determinado nivel de producción de x unidades. O bien se puede estar interesado en el ingreso o utilidad óptimos y a qué nivel de producción se obtienen.
Una vez que se encuentran los valores críticos, utilizaremos el criterio de la segunda derivada para determinar si este valor obtenido corresponde a un valor máximo o mínimo relativo de la función.
Ejemplo ilustrativo 1: Una compañía estima que puede vender su producto a un precio unitario de p = 200 – 0.15x lempiras y al producir x unidades anuales tener un costo total de
C(x) = 4000 + 6x – 0.001x2 lempiras. Encuentre el nivel de producción que maximiza la utilidad total al año, si:
a) No existen restricciones de producción.
b) Con sus máquinas actuales tiene una producción anual máxima de 500 unidades.
Encontraremos primeramente la función ingreso, sabiendo que el ingreso es el producto del precio p por la cantidad x. Es decir,
𝑅𝑅(𝑥𝑥) =𝑝𝑝 ∗ 𝑥𝑥 = (200−0.15𝑥𝑥)𝑥𝑥= 200𝑥𝑥 −0.15𝑥𝑥2 lempiras.
También sabemos que la utilidad U se define como la diferencia entre el ingreso y el costo:
U(x) = R(x) – C(x) = (200x – 0.15x2) – (4000 + 6x – 0.001x2)
U(x) = 200x – 0.15x2 – 4000 – 6x + 0.001x2 = – 4000 + 194x – 0.149x2
Por lo tanto, U’(x) = 194 – 0.298x y la ecuación 194 – 0.298x = 0 tiene la solución
x =651.007≅ 651 unidades. Toca ahora averiguar si se trata realmente de un valor máximo relativo.
a) Como no hay restricciones de producción y x > 0 aplicamos el criterio de la segunda derivada.
U’’(x) = – 0.298 y U’’(651) = – 0.298 < 0, que según el criterio de la segunda derivada, la utilidad U tiene un máximo relativo en x = 651 y la utilidad máxima es de 59,147.65 lempiras. b) Como se tiene una producción anual máxima de 500 unidades, se tiene que
0≤ x ≤ 500 y 651 no está en este intervalo, así que los únicos puntos que pueden calificar para maximizar la utilidad se encuentran entre x = 0 y x = 500. Sabemos que al lado derecho de 651 la función es creciente pues 651 es el punto máximo entonces si la función es creciente el valor más a la derecha en x nos dará el valor más alto en y.
1. El Costo fijo de una empresa es 2,500 lempiras, los costos variables son de 50 lempiras por cada unidad producida y la ecuación de demanda se estima por
p
+ =
x
500,
determine:a) ¿Qué nivel de producción maximiza la utilidad?
2 2
( )
(500
)
(50
2, 500)
500
50
2, 500
450
2, 500
'( )
2
450
0
225
U x
x
x
x
x
x
x
x
x
U x
x
x
=
−
−
+
=
−
−
−
= −
+
−
= −
+
= ⇒
=
b) Utilice criterios de derivación para verificar que dicho nivel de producción
realmente maximiza la utilidad.
Intervalo U (x ) U ‘ (x ) Conclusión
+
U es creciente 48,125
0
Punto máximo:
–
U es decreciente
]
0, 225[
225 x=
]
225,∞[
: ''( ) 2 ''(225) 2 0 225.
Además U x = − ⇒ U = − < ⇒ U tiene un máximo en x=
c) ¿Cuál es el precio cuando la utilidad es máxima?
500
500
225
. 275.00.
p
=
− =
x
−
=
L
2. Una compañía advierte que puede venderse toda la existencia del producto que elabora a un precio unitario de L. 2. Además estima que la función de costo total del producto es
2
1 ( ) 1, 000
2 50 x C x = +
lempiras por x unidades producidas.
a) Encuentre una expresión para la utilidad total si se producen y venden x
unidades.
2
( )
2
1, 000
5, 000
x
U x
= −
+
x
−
'( ) 2 0 5, 000
2, 500
1 1
''( ) ''(5, 000) 0
2, 500 2, 500
, 5, 000.
x
U x x
U x U
Por tanto U tiene un máximo en x
= − + = ⇒ =
= − ⇒ = − <
=
c) ¿Cuál es la utilidad máxima en lempiras?
2
(5, 000)
(5, 000)
2(5, 000)
1, 000
5, 000
1, 000
4, 000
5, 000
U
= −
+
−
=
−
=
lempiras
d) ¿Cuál será la utilidad si se produjeran 6000 unidades y compare estos
dos últimos resultados?
2
(6, 000)
(5, 000)
2(6, 000)
1, 000
3,800
.
5, 000
,
( )
( ),
,
.
U
lempiras
Dado que la función de utilidad es una parábola el máximo
en c es mayor que en d
es decir es máximo absoluto
= −
+
−
=
3. (Maximización de la utilidad) Suponga que la ecuación de demanda para el producto es p = 500 – 2x y la función de costo total está definida por
2
0 03 5 500
( ) .
C x = x + x+ , determine:
a) El nivel de producción x en que se maximiza la utilidad.
(
2)
2 22
495 24 750
4.06 203
500 2 0 03 5 500 500 2 0 03 5 500
2 03 495 500
4 06 495 121 92
( )
(
)
.
.
( )
.
,
'( )
.
0
.
U x
x
x
x
x
x
x
x
x
U x
x
x
U x
x
x
=
−
−
+
+
=
−
−
−
−
= −
+
−
= −
+
=
⇒
=
=
≅
Intervalo ]0, 121.92[ ] 121.92, + ∞[
Signo de U’(x)
+
–
Conclusión U es creciente U es decreciente
Por tanto, el nivel de producción x en que se maximiza la utilidad es x = 121.92. b) El precio en que ocurre la utilidad máxima.
p = 500 – 2(121.92) = L. 256.16.
c) La utilidad máxima en lempiras.
2
121 92 0 03 121 92 5 121 92 500 29 675 49
( . ) . ( . ) ( . ) . , . .
4. La función de costo total de un fabricante está dada por
2
5 100
( )
C x
=
x
+
x
+
dondeC
es el costo total de producir
x
unidades.a) Halle el nivel de producción que minimiza el costo promedio por unidad.
2 2
1 2
2
2 2 2 2 2
5 100 100
5 100 5
5 100
100 100
100 0 100 0 100 0 10 10
10
( )
( )
1
1
1
1
( )
.
,
'
'
(
)
óC x
x
x
C x
x
x
C
x
x
x
x
C
x
x
C
x
C
x
x
x
x
x
x
x
x
Se descarta x
Luego el nivel de producción que posiblemente minimiza el
co
⇒
⇒
⇒
⇒ ⇒ ⇒
+
+
=
+
+
=
=
= + +
−
= + +
−
= −
= −
−
−
−
=
−
=
−
=
= −
=
= −
10
.
sto promedio por unidad es x
=
unidades
b) Verifique, utilizando criterios de derivación,que tal nivel de producción encontrado minimiza el costo promedio por unidad.
Intervalos Valor de prueba Signo de C
'
Crecimiento o decrecimiento deC
0 10] , [
x
=
5−
C
es decreciente10
] , + ∞[
x
=
20+
C
es creciente10 .
, ,
unidades
Por lo tanto por el criterio de la primera derivada el costo promedio por unidad es mínimo cuando el nivel de producción es de x=
3
3 3
200 200 200
200 10 0.2 0.
1, 000 10
10 .
( )
, ,
''
''
unidades
C x C
x
Por lo tanto por el criterio de la segunda derivada el costo promedio por unidad es mínimo cuando el nivel de producción es de x
−
= = ⇒ = = = >
=
2 : 100
10 10 5 10 5 10 25 /
10
: 25 10 250 , :
10 10 5 10 100 250 .
( )
( )
( )
( )
( )
Costo promedio por unidad mínimo
Lempiras unidad
Costo total correspondiente Lempiras que también se puede calcular por
Lempiras
C
C
=
+ +
=
+ +
=
=
=
+
+
=
5. Dadas la función de costo promedio:
C x
( )
x
100x
= +
y la ecuación de demanda:300
2x+ p = de una empresa.
a) Determine la función de utilidad en términos de
x
y encuentre el nivel de producción quemaximiza la utilidad. (12%)
Ingreso:
R x
( )
=
(
300−
2 )
x x
⇒
R x
( )
=
300x
−
2
x
2 Costo: C x( ) x 100 x C x( ) x2 100x
= + ⇒ = +
Utilidad:
U x
( )
=
(
300x
−
2
x
2) (
−
x
2+
100)
=
300x
−
2
x
2−
x
2−
100 2300 100 0 150
300
300 0 50
max 50
( ) 3 ,
'( ) 6 6
.
El nivel de producción que imiza la utilidad es x
U x x x x
U x x
x x
unidades =
= − + − ≤ ≤
= − +
− + = ⇒ =
b) Verifique, utilizando criterios de derivación, que tal nivel de producción realmente maximiza
la utilidad.
+
Intervalos Valor de prueba
Signo de
Crecimiento o decrecimiento de U
–
'
U
]
0 50,[
x=10]
50 150,[
x=60Por lo tanto, U tiene un máximo en x = 50 unidades.
c) ¿Cuál es la utilidad máxima y a qué precio ocurre?
( )
( )
( )
( )
250 50 300 50 100 7, 500 15 000 100 7, 400
300 300 50 300 100 200 200
3
,
.
2
2
.
U
p p
U
Lempiras
x
Lempiras
⇒ =
= ⇒ =
= −
+
−
= −
+
−
6. Dadas la función de costo promedio 10 100
x
C
=
x
+
+
y la ecuación de demanda500 4
p
=
−
x
de una empresa.d) Encuentre el nivel de producción que maximiza la utilidad.
2 2 2
100 10 10
500 4
500 4 100 5 490 100
10 490 0 49
49
( ) ( )
( ) ( )
'( )
El nivel de producción que máximiza la utilidad es unidades
U x p x C x x x x x
x
U x x x x x U x x x
U x x x
x
= ⋅ − ⋅ = − − + +
= − − − − ⇒ = − + −
= − + = ⇒ =
=
e) Verifique, utilizando criterios de derivación,que tal nivel de producción maximiza la utilidad de la empresa.
10 49 10 0.
49 0, ,
49 . 49
0,
''( )
''(
)
''(
)
Como por el criterio de la segunda derivada la utilidad se
maximiza cuando se producen y venden unidades Como x es
el único número crítico para x entonces el máximo de la función
función es
U
x
U
U
= ≥
= −
⇒
= −
<
<
. absoluto
f) ¿Cuál es la utilidad máxima y a qué precio ocurre?
2 2 2 2
49 5 49 490 49 100 5 49 10 49 100 5 49 100 11, 905.
500 49 500 196 304
11, 905.00 304.00
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4( )
. .
U p
La utilidad máxima es de L y ocurre cuando el precio es de L
= − + − = − + − = − =
= − = − =
7. La función de costo total de un fabricante está dada por
2
5 100
( )
C x
=
x
+
x
+
dondeC
es elcosto total de producir
x
unidades.2 2
1 2
2
2 2 2 2 2
5 100 100
5 100 5
5 100
100 100
100 0 100 0 100 0 10 10
10
( )
( )
1
1
1
1
( )
.
,
'
'
(
)
óC x
x
x
C x
x
x
C
x
x
x
x
C
x
x
C
x
C
x
x
x
x
x
x
x
x
Se descarta x
Luego el nivel de producción que posiblemente minimiza el
co
⇒
⇒
⇒
⇒ ⇒ ⇒
+
+
=
+
+
=
=
= + +
−
= + +
−
= −
= −
−
−
−
=
−
=
−
=
= −
=
= −
10
.
sto promedio por unidad es x
=
unidades
h) Verifique, utilizando criterios de derivación,que tal nivel de producción encontrado minimiza el costo promedio por unidad.
Intervalos Valor de prueba Signo de C
'
Crecimiento o decrecimiento deC
0 10] , [
x
=
5−
C
es decreciente10
] , + ∞[
x
=
20+
C
es creciente10 .
, ,
unidades
Por lo tanto por el criterio de la primera derivada el costo promedio por unidad es mínimo cuando el nivel de producción es de x=
3
3 3
200 200 200
200 10 0.2 0.
1, 000 10
10 .
( )
, ,
''
''
unidades
C x C
x
Por lo tanto por el criterio de la segunda derivada el costo promedio por unidad es mínimo cuando el nivel de producción es de x
−
= = ⇒ = = = >
=
i) ¿Cuál es costo promedio por unidad mínimo y cuál es el costo total correspondiente?
2 :
100
10 10 5 10 5 10 25 /
10
: 25 10 250 , :
10 10 5 10 100 250 .
( )
( )
( )
( )
( )
Costo promedio por unidad mínimo
Lempiras unidad
Costo total correspondiente Lempiras que también se puede calcular por
Lempiras
C
C
=
+ +
=
+ +
=
=
8. Dadas la función de costo total
2
28 50
C
=
x
+
x
+
y la ecuación de demandap
=
100−
5x
de una empresa.
a) Encuentre el nivel de producción que maximiza la utilidad. (10%)
(
)
(
2)
2 2
2
100 5 28 50
100 5 28 50
6 72 50
'( ) 12 72
'( ) 0 12 72 0 12 6 0 6 0 6
, , 6
Función de ut
ilidad :
(
)
( )
(
)
)
(
U x
U x
La utilidad máxima ocurre posiblemente cuando se producen
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
unid
U x
x
U x
x
e
U
d
x
a
s
= −
= ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = ⇒
−
+
+
−
−
−
−
+
−
+
+
−
−
=
=
−
=
=
−
=
b) Verifique, utilizando criterios de derivación, que tal nivel de producción maximiza realmente la utilidad de la empresa. (6%)
De acuerdo a la función de demanda, el intervalo donde está definida dicha función es [0, 20] tal como puede verse gráficamente.
Método 1: Teorema del valor extremo.
x
U x
( )
0 − 50 6 166 20 − 1,010
Por tanto, la utilidad máxima absoluta ocurre cuando se producen
x
=
6 unidades y además, dicha utilidad máxima es de L. 166.Método 2: criterio de la primera derivada.
Interceptos de la recta:
p
=
100−
5x
con los ejes coordenados:
0 100 5 0 100
0 100 5 5 100
100 5 20
/ 0
( )
x x
x
x p p
p
x
⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒ ⇒
= = =
= = =
= = −
−
2 2
2
0
6 0
72 0
50
50
6
6 6
72 6
50
216
432
50
166
20
6 20
72 20
50
2, 400
1, 440
50
1, 010
( )
( )
( )
L.
L.
L.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
U
U
U
−
+
−
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
=
=
=
=
=
Números
críticos 6
Intervalos
]
0,
6
[
]
6 20,
[
Valor de pruebax
=
1x
=
7Signo de U’ −
Crecimiento o decrecimiento de la función
'(1) 12 (1) 72 12 72 60
'( ) 12 72
'(7) 12 (7) 72 84 72 12
U U x
U
x = − −
= −
= − − −
+ = + =
+ ⇒
+ = + =
Por tanto, la utilidad máxima relativa ocurre cuando se producen
x
=
6 unidades y además, debido a que es el único máximo relativo en el intervalo [0, 20], la utilidad máxima es también absoluta yocurre cuando se producen unidades.Método 3: criterio de la segunda derivada.
'( ) 12 72 ''( ) 12 ''( )6 12 0.
U x = − x+ ⇒ U x = − ⇒ U = − <
Por tanto, la utilidad máxima relativa ocurre cuando se producen
x
=
6 unidades y además, debido a que es el único máximo relativo en el intervalo [0, 20], la utilidad máxima es también absoluta yocurre cuando se producen unidades.c) ¿Cuál es la utilidad máxima y a qué precio ocurre?
2
6 6 6 72 6 50 216 432 50 166
100 5 6 100 30 70
( )
( )
( )
( )
L.
L.
U
p
−
+
−
−
+
=
=
=
=
=
=
−
−
−
Por tanto,la utilidad máxima absoluta es de L. 166 y ocurre al precio de L. 70.
+
6