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Sistemas de ecuaciones lineales

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Academic year: 2020

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(1)

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 1

ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES

Dada una ecuación, el álgebra se ocupa de encontrar sus soluciones, siguiendo el concepto general de identidad a=a. Siempre que se apliquen las mismas operaciones aritméticas o algebraicas en ambos lados de la ecuación (axioma de igualdad), la igualdad se mantiene inalterada. La estrategia básica es despejar la variable en un lado de la igualdad y la solución será el otro lado.

Ejemplo 1: Resolver la siguiente ecuación lineal con una variable 12

3 6 5x+ = x+

Los términos que contienen la variable se despejan en un lado y las constantes en el otro.

6 12 3

5xx= − Por transposición de términos

6

2x= Por agrupación de términos semejantes

2 6

=

x Por transposición de términos

3

=

x

Para comprobar este resultado basta con sustituir el valor x = 3 en la ecuación original:

21 21

21 9 6 15

12 ) 3 ( 3 6 ) 3 ( 5

12 3 6 5

= + = +

+ = +

+ =

+ x

x

Definición de una ecuación lineal en n variables

Una ecuación lineal en n variables x1,x2,x3,...,xn tiene la forma b

x a x

a x a x

a1 1+ 2 2+ 3 3+...+ n n =

Los coeficientes a1,a2,a3,...,an son números reales y el término constante b es un número real. El número a1 es el coeficiente principal y x1 es la variable principal.

Una solución de una ecuación lineal en n variables es una sucesión en n números reales s1,s2,s3,...,sn ordenados de modo que la ecuación se cumple cuando los valores s1=x1,a2 =x2,s3 =x3,...,sn =xn s1=x1 se sustituyen en ésta.

Representación paramétrica de un conjunto solución Resuelva la ecuación lineal

1. x1+2x2 =4 2. 3x+2yz=3

En álgebra, lo normal es que haya que resolver no una sino varias ecuaciones al mismo tiempo. Una ecuación c

by

(2)

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 2 d

cz by

ax+ + = es una ecuación lineal con tres variables x yz . El problema es encontrar el conjunto de todas las soluciones que cumplen todas las ecuaciones simultáneamente. El conjunto de ecuaciones que deben resolverse se denomina sistema de ecuaciones y para resolverlo se pueden usar técnicas específicas del álgebra. Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de m ecuaciones lineales en n variables es un conjunto de m ecuaciones, cada una de las cuales es lineal en las mismas n variables.

m n mn m

m m

n n

n n

n n

b x a x

a x a x a

b x

a x

a x a x a

b x

a x

a x a x a

b x

a x

a x a x a

+ + +

+

= +

+ +

+

= +

+ +

+

= +

+ +

+

... ... ... ...

3 3 2 2 1 1

3 3

3 33 2 32 1 31

2 2

3 23 2 22 1 21

1 1

3 13 2 12 1 11

M M

Una solución de un sistema de ecuaciones lineales es una sucesión de números s1,s2,s3,...,sn que es solución de cada una de las ecuaciones lineales del sistema.

Ejemplo2: Resolver el sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables

5 2

10 4 3

= +

= +

y x

y x

Este sistema se puede resolver por los métodos de eliminación, igualación o eliminación. Para resolverlo vamos a utilizar el método de sustitución.

x

y=5−2 Despejamos y de la segunda ecuación, luego la sustituimos en la primera

10 ) 2 5 ( 4

3x+ − x = Tenemos una ecuación con una variable

20 10 5

10 8 20 3

− = −

= − +

x

x x

Por agrupación de términos semejantes

5 10

− − =

x Por transposición de términos

x=2 Al sustituir este resultado en cualquiera de las dos ecuaciones iníciales, obtenemos

y=1

f(x)=2.5-(3/4)x f(x)=5-2x

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

(3)

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 3 Ejercicio. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales y grafique cada sistema como un par de rectas.

a) 2

6 3

= −

= + −

y x

y x

b) 6 4 8

4 2 3

− = + −

= −

x y

x y

c) 2

4 5 5

= +

= +

y x

y x

Clasificación de sistemas lineales

Según el número de soluciones, los sistemas se clasifican en Sistema inconsistente ⇔ No tiene soluciones

Sistema inconsistente determinado ⇔ Tiene solución única Sistema inconsistente indeterminado ⇔ Tiene infinitas soluciones

Para hallar las soluciones de un sistema lineal con más de dos variables podemos usar el método de eliminación que consiste en manipular las ecuaciones hasta obtener un sistema equivalente de ecuaciones más sencillas, para las cuales podemos hallar sus soluciones con facilidad. Algunas manipulaciones (o transformaciones) que llevan a sistemas equivalentes son las siguientes:

Operaciones que conducen a sistemas de ecuaciones lineales 1. Intercambiar dos ecuaciones.

2. Multiplicar una ecuación por una constante diferente de cero. 3. Sumar un “múltiplo constante” de una ecuación a otra ecuación.

Uso de la eliminación gaussiana para reescribir un sistema en la forma escalonada por filas

Ejemplo 3: Resolver el siguiente sistema.

5 3

2 3

10 4

2 4

20 4

2

= − +

= − +

− = + −

z y x

z y x

z y x

Vamos a resolver el sistema utilizando el método de eliminación. Eliminaremos algunas de las variables, sumando un múltiplo de una ecuación a otra ecuación.

    

= − +

= − +

− = + −

5 3

2 3

10 4

2 4

20 4

2

z y x

z y x

z y x

Sumamos -4 veces la primera ecuación a la segunda

    

= − +

= −

+

− = +

5 3

2 3

90 20

10

20 4

2

z y

x

z y

z y

x

Sumamos -3 veces la primera ecuación a la tercera

    

= −

= −

+

− = +

65 15

8

90 20

10

20 4

2

z y

z y

z y

x

Multiplicamos por 10

1 la segunda ecuación

    

= −

= −

− = + −

65 15

8

9 2

20 4

2

z y

z y

z y x

(4)

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 4

    

− = = −

− = + −

7 9 2

20 4

2

z z y

z y x

Hallamos las soluciones por sustitución

De la tercera ecuación vemos que

z

=

7

, al sustituirla en la segunda ecuación y−2(−7)=9, obtenemos

5

=

y

. Para obtener el valor de x sustituimos z =−7 y

y

=

5

en la primera ecuación 20

) 7 ( 4 ) 5 (

2 − + − = −

x , con lo cual

x

=

2

Si analizamos el método de solución del ejemplo anterior, podemos ver como los símbolos usados para las variables carecen de importancia; debemos tener en cuenta los coeficientes de las variables. Así pues, si utilizamos símbolos distintos en las variables, por ejemplo (a,b,c), obtenemos el sistema.

    

= − +

= − +

− = + −

5 3

2 3

10 4

2 4

20 4

2

c b a

c b a

c b a

Entonces, el método de eliminación puede realizarse de la misma forma que en el ejemplo anterior. Para simplificar el proceso, recurrimos a un esquema, para utilizar los coeficientes sin necesidad de escribir las variables. Colocamos los coeficientes en el mismo orden de cada ecuación en esta forma.

  

 

  

 

− −

− −

5 3

2 3

10 4

2 4

20 4

2 1

M M M

El ordenamiento de números de esta forma se llama matriz, los renglones de la matriz son los números que aparecen uno a continuación del otro en sentido horizontal.

20 4

2

1 − − Primer renglón, R 1

10 4

2

4 − Segundo renglón, R 2

5 3 2

3 − Tercer renglón, R 3

Las columnas de la matriz son los números que aparecen uno junto del otro en sentido vertical.

3 4 1 Pr

1 C Columna

imera

2 2 2 2

C Columna

Segunda

3 4 4

3

− −

C Columna

Tercera

5 10

20 4

C Columna

Cuarta

La matriz obtenida del sistema de ecuaciones lineales, del ejemplo anterior, es la matriz del sistema también llamada matriz aumentada. Si borramos la última columna, tenemos la matriz coeficiente.

  

 

  

 

− − − =

3 2 3

4 2 4

4 2 1

A

  

 

  

 

− −

− −

=

5 3

2 3

10 4

2 4

20 4

2 1

M M M

A

(5)

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 5 Con objeto de hallar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, comenzamos con la matriz aumentada. Si una variable no aparece en una ecuación, suponemos que el coeficiente es cero. Luego trabajamos con las filas de la matriz como si fueran ecuaciones. La ecuación se expresa de la forma

Ax

=

b

    

= − +

= − +

− = + −

5 3

2 3

10 4

2 4

20 4

2

z y x

z y x

z y x

Sistema

  

 

  

 

− − − =

3 2 3

4 2 4

4 2 1

A Es la matriz coeficiente

  

 

  

 

=

z y x

x Es el vector de variables o incógnitas

  

 

  

 −

=

5 10

20

b Es el vector de términos independientes

La matriz

  

 

  

 

− −

− −

5 3

2 3

10 4

2 4

20 4

2 1

M M M

es la matriz aumentada del sistema Ax=b

Teorema sobre transformaciones de filas de matrices

Dada una matriz de un sistema de ecuaciones lineales, resulta una matriz de un sistema equivalente si: 1) Se intercambian renglones

2) Se multiplica un renglón por una constante diferente de cero. 3) Un múltiplo constante de un renglón se suma a otro renglón

Usaremos los símbolos de la próxima tabla para denotar transformaciones elementales de renglones de una matriz, donde la flecha → se lee “sustituye”

Transformaciones elementales de fila de una matriz Símbolo Significado

j i R

R ↔ Intercambiar renglones i y j

i i R

KR → Multiplicar renglón i por K

j j

i R R

KR + → Sumar K veces el renglón i al renglón j MÉTODO DE GAUSS

(6)

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 6 OBTENCIÓN DE UNA MATRIZ ESCALONADA: El algoritmo para la obtención de una matriz escalonada consta de los siguientes pasos:

- El primer número diferente de cero del primer renglón de izquierda a derecha, deberá ser uno, y será el primer pivote. Seguidamente con las operaciones elementales haremos ceros debajo del pivote.

- En el segundo renglón buscamos el primer número diferente de cero y lo volvemos uno y será el segundo pivote, luego con las operaciones elementales haremos ceros debajo del segundo pivote. - Seguimos buscando en cada renglón el primer número diferente de cero y lo volvemos uno, hasta

no tener más pivotes.

- Los renglones formados completamente de ceros, pueden aparecer en la parte inferior de la matriz.

Este método fue presentado por el matemático Carl Friedrich Gauss.

Forma escalonada de una matriz

  

 

  

 

=

34 24 23

14 13 12

1 0 0

1 0 1

a a a

a a a

A

       

 

       

 

=

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

1 0 0 0

1 0 1

47 37 36 35

27 26 25 24 23

17 16 15 14 13 12

a a a a

a a a a a

a a a a a a

A

Ejemplo 4: uso de la forma escalonada para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Resolver el siguiente sistema     

− = −

+ −

= −

+

= +

2 4

3

3 4

2

4 3

2

z y

x

z y

x

z y

x

Lo primero que debemos hacer, es pasar los coeficientes a la matriz, en el mismo orden en que aparecen en el sistema

  

 

  

 

− −

− −

2 1

4 3

3 4

1 2

4 3

2 1

M M M

Como en R el primer número diferente de cero es uno, la dejamos como está y con este uno hacemos ceros los 1 demás coeficientes de la primera columna

3 3 1

2 2 1 3

2

R R R

R R R

→ +

→ + −

  

 

  

 

− −

10 8

2 0

5 10

5 0

4 3

2 1

M M M

(7)

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 7 51R2R2

  

 

  

 

− −

10 8

2 0

1 2

1 0

4 3

2 1

M M M

Con este uno de la R volvemos cero el coeficiente que está debajo de éste2

3 3 2

2R +RR

 

 

  

 

− −

8 4

0 0

1 2

1 0

4 3

2 1

M M M

Para finalizar multiplicamos R por 3 41 para que el primer número diferente de cero sea un uno

3 3 4 1

R

R → 

 

 

  

 

− −

2 1

0 0

1 2

1 0

4 3

2 1

M M M

La matriz está de forma escalonada, por lo cual volvemos al sistema de ecuaciones

    

= − = −

= + −

2 1 2

4 3

2

z z y

z y x

De la tercera ecuación vemos que z = 2, al sustituirla en la segunda ecuación, obtenemos y =3. Para obtener el valor de x sustituimos z = 2 y y =3 en la primera ecuación, con lo cual x= 4. La solución del sistema es la triada ordenada (x= 4,y =3,z = 2)

Para verificar el resultado, debemos sustituir los valores de las variables en una de las tres ecuaciones originales. En este caso lo haremos con la ecuación tres

2 2

2 2 12 12

2 ) 2 ( ) 3 ( 4 ) 4 ( 3

2 4

3

− = −

− = − + −

− = − + −

− = − +

x y z

Este es un sistema consistente determinado con respuesta única.

MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDÁN

(8)

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 8

• Forma escalonada reducida de una matriz

  

 

  

 

34 24 14

1 0 0

0 1 0

0 0 1

a a a

       

 

       

 

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 1

0 0 0

0 0

1 0

0 0

0 1

47 37 35

27 25

23

17 15

13

a a a

a a

a

a a

a

Cuando tenemos una matriz escalonada reducida es fácil determinar cuando tiene solución única, infinitas soluciones o cuando no tiene solución.

  

 

  

 

=

25 24 14

1 0 0

0 1 0

0 0 1

b b b A

M M M

Matiz con solución única

  

 

  

 

=

0 0

0 0

1 0

0 1

24 23

14 13

M M M

b a

b a

A Matiz con infinitas soluciones

  

 

  

 

=

25 24 14

0 0 0

0 1 0

0 0 1

b b b

A

M M M

Matiz sin solución

Ejemplo 5: resolver el sistema del ejemplo1.4.1: mediante la forma escalonada reducida

  

 

  

 

− −

2 1

0 0

1 2

1 0

4 3

2 1

M M M

1 1 2

2R +RR

  

 

  

 

− −

2 1

0 0

1 2

1 0

2 1 0 1

M M M

2 2 3

1 1 3

2R R R

R R R

→ +

→ +

  

 

  

 

2 1 0 0

3 0 1 0

4 0 0 1

M M M

(9)

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 9 SISTEMA CON MÁS VARIABLES QUE ECUACIONES

No siempre vamos a tener sistemas con el mismo número de ecuaciones que de variables, para este caso se aplican las mismas técnicas de matrices, según se expone en este ejemplo.

Ejemplo 6: Solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con tres variables.

Resolver el siguiente sistema

  

= + +

= + +

3 5

4 3

1 4

3 2

z y x

z y x

SOLUCIÓN: El primer paso es pasar los datos a una matriz y hallar la forma escalonada reducida

   

 

3 5 4 3

1 4 3 2

M M

2

1 R

R

   

 

1 4 3 2

3 5 4 3

M M

1 1

2 R R

R + →

   

 

1 4 3 2

2 1 1 1

M M

−2R1+R2→R2

   

 

−3 2

1 0

2 1 1 1

M M

R2+R1→R1 

  

 

− −

3 2

1 0

5 1 0 1

M M

Teniendo la matriz escalonada reducida, volvemos a escribir el sistema con los coeficientes de la matriz

  

− = = −

3 2

5 z

y z x

Y despejamos las variables dependientes x y en función de la variable dependiente z

  

− − =

+ =

Z y

z x

2 3 5

En este sistema tenemos un número infinito de soluciones, depende del número t que le asignemos a la variable independiente z. Así

t

x=5+ , y=−3−2t, z=t

Las soluciones del sistema están formadas por la triada ordenada (5+t,−3−2t,t)para cualquier número real t , ejemplo:

Para t =0 (5,−3,0) Para t =4 (9,−11,4) Para t =−2 (3,1,−2) Para t =21 ( , 4, )

(10)

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 10 Para cualquiera de estas triadas ordenadas podemos verificar el resultado. Lo vamos a hacer con la ecuación uno

Para t =0 (5,−3,0)

1 1

1 9 10

1 ) 0 ( 4 ) 3 ( 3 ) 5 ( 2

1 4 3 2

= = −

= + − +

= +

+ y z

x

Ejemplo 7: Solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables.

    

= = +

+

= − −

15 10

4 8

6 12

6 6

3 5

2 4

z y

x

z y

x

z y x

  

 

  

15 10

4 8

6 12 6 6

3 5 2 4

M M M

2

1 R

R

  

 

  

 

− − −

15 10

4 8

3 5 2 4

6 12 6 6

M M M

1 1 6

1RR

  

 

  

 

− − −

15 10

4 8

3 5 2 4

1 2

1 1

M M M

3 3 1

2 2 1 8 4

R R R

R R R

→ + −

→ +

  

 

  

 

−4 6 7

0

7 3 2 0

1 2 1 1

M M M

21R2R2

  

 

  

 

−4 6 7

0 1 0

1 2

1 1

2 7 2 3

M M M

3 3 2

1 1 2

4R R R

R R R

→ +

→ + −

  

 

  

 −

21 0

0 0

1 0

0 1

2 7 2 3

2 5 2

1

M M M

(11)

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 11 SISTEMAS HOMOGÉNEOS

Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos sus términos no son variables, es decir, sus términos constantes, son ceros Ax=0(o sea

b

=

0

). Un sistema homogéneo siempre tiene una solución trivial obtenida al sustituir cero por cada variable. A veces existen soluciones que no son triviales. El procedimiento para hallar soluciones es el mismo que en los sistemas no homogéneos.

Ejercicios: Resolver el sistema homogéneo con solución trivial

    

= +

= − +

= + −

0 4

3

0 3

2

0 2

z y

z y x

z y x

Resolver el sistema homogéneo de ecuaciones lineales.

    

= −

= + +

= −

0 4

2

0 2

2 3

0 2

2

y x

z y x

z y x

Los ejercicios siguientes ilustran problemas de aplicación

Ejemplo 8: Uso de un sistema de ecuaciones para solucionar un problema de mezclas

Un comerciante desea mezclar dos calidades de maní que cuestan $3.000 y $4.000 por libra, respectivamente, con nueces de la India que cuestan $8.000 por libra, con objeto de tener 140 libras de una mezcla que cuesta $6.000 por libra. Si el comerciante también desea que la cantidad de maní de menor precio sea el doble de la de maní de mejor calidad. ¿Cuántas libras de cada variedad ha de mezclar

SOLUCIÓN: Introducimos tres variables

X = número de libras de maní de $3.000 por libra Y = número de libras de maní de $4.000 por libra

Z = número de libras de nueces de la India de $8.000 por libra Con el enunciado del problema obtenemos el siguiente sistema:

x + y + z = 140 Ecuación de peso 3.000x + 4.000y + 8.000z = $6000(140) Ecuación de valor x = 2y Contraste

La ecuación 2 la multiplicamos por 1000

1

para facilitar la operación

Al expresarlo en forma matricial queda:

  

 

  

 

−2 0 0

1

840 8

4 3

140 1

1 1

(12)

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 12 3 3 1 2 2 1 3 R R R R R R → + − → + −           − −

−3 1 140

0 420 5 1 0 140 1 1 1 M M M 3 3 2 1 1 2

3R R R

R R R → + → + −           − − 1120 14 0 0 420 5 1 0 280 4 0 1 M M M 3 3 14

1 RR

         80 1 0 0 420 5 1 0 280 4 0 1 M M M

3 2 2 1 1 3 5 4 R R R R R R → + − → +           80 1 0 0 20 0 1 0 40 0 0 1 M M M

El comerciante debe mezclar 40 libras de maní de menor precio, 20 libras del de mejor calidad y 80 libras de nueces de la India.

Ejercicios

Utilizar matrices en la solución de los sistemas.

(13)
(14)

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 14 29.

  

= + −

= − +

7 4

3 6

4 3

4 6

z y x

z y x

30.

  

= + − −

= − + −

5 4

6 3

4 4

4 3

z y x

z y x

30. Un comerciante desea comprar dos tipos de frigoríficos, F1 y F2. Los del tipo F1 cuestan $3´000.000 y los del tipo F2 $5´000.000. Sólo dispone de sitio para 20 frigoríficos y de $70´000.000 para hacer las compras. ¿Cuántos frigoríficos de cada tipo debe comprar?

31. Una compañía tiene tres maquinas, A, B y C, cada una de las cuales puede producir cierta pieza: sin embargo, debido a la falta de operadores calificados, sólo es posible trabajar dos al mismo tiempo. La tabla indica la producción de un período de tres días, usando varias combinaciones de las maquinas. ¿Cuánto tardara cada máquina, si se emplea sola, en producir 1000 piezas?

Maquinas usadas Horas usadas Piezas producidas

A y B 6 4500

A y C 8 3600

B y C 7 4900

32. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, concentrándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de los hombres. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión?

Referencias

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