EJERCICIOS RESUELTOS DE CONJUNTO
1. En una encuesta a 200 personas sobre preferencias de lectura de tres periódicos, se obtuvo:
60 % lee el Mercurio, 50% la tercera, 40% lee la segunda.
60 leen el mercurio y la tercera, 40 leen la tercera y la segunda, 30 leen el mercurio y la segunda y 10 leen los tres periódicos.
¿Qué % no lee alguno de estos tres periódicos?
Solucion : , n(T)0,50200100, ,
, , ,
20 no lee alguno de los periódicos, que corresponde al 10 %.
2. En un grupo de 70 personas, 32 hablan ingles, 26 español, 37 francés, 6 de ellos hablan ingles y español, 9 hablan español y francés y 12 hablan ingles y
Solucion : Denotamos por la cantidad de personas que hablan los tres idiomas
Los otros espacios los llenamos con incógnitas Como
Como Como
Pero el universo es 70,
Reemplazando
Implica
3. Este siguiente ejercicio muestra que no se requiere a veces llenar todos los espacios del diagrama de Venn Euler para contestar a la pregunta.
Llenamos los espacios con las incógnitas P,Q,R, y,z,w, observe que este ejercicio contempla un valor cero fuera de los tres conjuntos , lo que no ocurre con todos los ejercicios.
Observe tambien que se pregunta por postulacion a solo 2 de las universidades lo que significa calcular la suma
Del grafico sumando en cada circulo o elipse , tenemos UDP:
CATO: CHILE:
Sumando las tres cantidades tenemos
Ahora si sumamos todo los valores en el grafico , tenemos
Restando las ecuaciones , se obtiene , Lo que se pedia.
4. D e un grupo de 60 alumnos :
20 gustan de Aritmética solamente.
4 gustan de Aritmética y Geometría, pero no de Física 12 gustan de Geometría pero no de Aritmética. 1 gusta de los 3 cursos
18 gustan de Física pero no de geometría ¿ Cuantos no gustan de ninguno de estos cursos.? Simbolizando en conjuntos
dato que puede ser llevado al grafico sin mas.
, dato directo al grafico
,dato con dos espacios en el grafico, lo llenamos con y con
Se pregunta por el valor de
Si se suman todos los valores del grafico se cancelan las incógnitas para obtener .
5. En un salon de clases de 65 alumnos se observó : 30 son hombres
40 son del ciclo semianual
Hay 10 señoritas que no son del ciclo semianual
¿ Cuántos son los hombres que no estudian en el ciclo semianual.?
Lo que se pide es el valor de
Claramente se deduce que si hay 30 hombres entonces hay 35 mujeres ,así se completa el total que son 65.
Del mismo modo como hay 40 en el ciclo semianual y ya se tienen 25, por diferencia se obtiene los 15. que son hombres con ciclo semianual
6. De 48 personas entrevistadas 32 conocen Santiago y 28 conocen viña del mar .Si todas manifiestan conocer por lo menos una de estas ciudades .¿ Cuántas personas conocen las dos ciudades.?
Solución Método 1:
S: Personas Que conocen Santiago V: personas que conocen viña del mar
por teorema
Método 2:
Planteamos la ecuación
7. En un salón de clases hay 57 alumnos , de los cuales unos llevan lonchera , otros llevan mochilas y otros portafolios, pero ninguno lleva las tres cosas
Además 4 llevan mochila y portafolios , 3 llevan mochila y lonchera, 8 llevan lonchera y portafolios.
Se sabe que aquellos que llevan sólo lonchera o sólo portafolios , son el doble y triple respectivamente de los que llevan sólo mochila .
¿ Cuántos llevan lonchera o portafolios pero no lonchera.?
Solución
Del grafico sumando e igualando a 57 , se tiene el valor de ,
Se pregunta por , que corresponde a la unión de lonchera con Portafolios pero sin Mochila, como , la respuesta es 43.
8. En una empresa que cuenta con personal mixto y donde todos los profesionales son casados , se sabe que :
El 60 % del personal es hombre
2/3 de los hombres no son profesionales El 50% del personal es hombre casado El 35 % del personal es mujer no profesional
El 15 % del personal es mujer casada pero no profesional Haga un diagrama de Venn Euler sin zonas vacías que represente la situación planteada y determine
Solución
H: Hombre, M: mujer, P: profesional , C : casado
Observe que la frase todos los profesionales son casados , implica que el conjunto P debe estar incluido completamente en el conjunto C
Observe la no intersección entre los conjuntos H y M pues ellos son mutuamente excluyentes.
Si
, entonces llenamos con 0,20 el espacio intersección entre H y P.
Por otro lado , El 50% del personal es hombre casado significa
Dato que no se puede llenar aun pues hay dos espacios para el.,pero uno de estos espacios es que por lo anterior vale 0,20, asi el otro espacio se llena con 0,30
El 35 % del personal es mujer no profesional, significa ,
usando teorema ,
despejando
dato que si podemos llevar al grafico que es la intersección entre los conjuntos M y P.
El 15 % del personal es mujer casada pero no profesional, significa dato que puede llevarse directamente al grafico.
a.) % de casados que son profesionales corresponde a 0,20+0,05 b.) % de mujeres profesionales = 0,05
9. De 50 personas se sabe que :
5 mujeres tienen 17 años 16 mujeres no tienen 17 años 14 mujeres no tienen 18 años
10 hombres no tienen ni 17 ni 18 años ¿ Cuantos hombres tienen 17 o 18 años.?
Se pide
Mujeres que no tienen 18
Mujeres que no tienen 17
Pero
10. Usando algebra de Conjuntos simplificar : a.
Solución
Sabemos que , por lo tanto
= Pero
=
Usando algebra de Conjuntos simplificar b. Si entonces
Solucion :
De la hipótesis se deduce que ,
entonces
= =
=asociando y conmutando
Factorizando por C ,
Pero
Esto último es por ley de absorción. 11. SI señale la alternativa Falsa.
A) B) C) D)
E)
Respuesta D
12. . Considere los siguientes conjuntos
, , .
13. ¿ Qué expresión representa la parte sombreada de la figura.?
A) B) C) D) E) N.A
Respuesta C)