Apuntes de Electrodinámica Clásica. Campo Electromagnético y Relatividad

Texto completo

(1)Apuntes de Electrodinámica Clásica. Campo Electromagnético y Relatividad. Dr. J. Fausto Oria, Profesor Titular de Electromagnetismo. ********************************************************************************. 2ª Edición Editor: Manolo Sobrino.

(2) Indice: I. Formulación Covariante Lorentz del Campo Electromagnético 1. Los sistemas inerciales y el espacio-tiempo de la Relatividad Especial.................................... I. 1. 2. Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz............................................... I 14. 3. Formulación covariante Lorentz de las ecuaciones de Maxwell............................................... I 33. 4. El tensor energía-momento y el tensor momento angular. Leyes de conservación................... I 43. 5. Transformaciones gauge............................................................................................................ I 53. * Las métricas de la relatividad especial....................................................................................... I 54. II. Formulación Lagrangiana del Campo Electromagnético 1. Movimiento de una partícula cargada en un campo electromagnético...................................... II 1. 2. Formulación covariante del movimiento de partículas cargadas............................................... II 2. 3. Paso del sistema discreto al continuo. Densidad Lagrangiana................................................... II 9. 4. Principio variacional en m4. Ecuaciones de Euler-Lagrange..................................................... II 14. 5. Lagrangiana del campo electromagnético. Tensor energía-momento........................................ II 20. III. Radiación de Cargas en Movimiento 1. Los potenciales de Liénard-Wiechert........................................................................................ III 1. 2. Radiación de una carga acelerada. Invariante de radiación....................................................... III 9. 3. Funciones de Green covariantes................................................................................................ III 18. 4. Expresión covariante de los campos.......................................................................................... III 26. Bibliografía Apéndices AI: Representación de la potencia radiada por una carga acelerada en un sincrotrón y en un linac AII: "Formulación geométrica del campo electromagnético" AIII: Lecturas aconsejadas ******************************************************************************************************. El Dr. J. Fausto Oria proveyó sus apuntes de clase y gentilmente se prestó a corregir las versiones preliminares, reelaborando varios apartados y proporcionando material adicional para estos apuntes, que se ajustan así a los contenidos de la asignatura Electrodinámica Clásica de la Licenciatura en Física de la Universitat de València. Manolo Sobrino preparó las distintas ediciones, revisó el texto y completó la transcripción. Luis Aloy transcribió la primera versión de la parte III y Roberto Pérez secciones de la primera versión preliminar. Mientras sea posible mantendremos en: http://mural.uv.es/masoro/edclas/errata/index.html una lista de erratas. Las contribuciones son bienvenidas, para cualquier comentario, visitad la página de soporte: http://mural.uv.es/masoro/edclas/index.html, donde se puede obtener la versión más reciente.. Valencia, septiembre de 2003 ******************************************************************************************************. "Estamos obligados a admitir que es solamente en cuatro dimensiones donde las relaciones que hemos tomado en consideración aquí [las ecuaciones fundamentales para los fenómenos electromagnéticos de los cuerpos en movimiento] revelan su ser interno con completa sencillez, y que en un espacio tridimensional impuesto sobre nosotros a priori enseñan solamente una proyección muy complicada.". Hermann Minkowski (1909) Copyright © 2003 J. Fausto Oria and Manuel Angel Sobrino. Valencia, Spain. All rights reserved. Redistribution without modification allowed at no other cost than ordinary copying fee. FOTOCOPIA AUTORIZADA..

(3) Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad. CAMPO ELECTROMAGNÉTICO Y RELATIVIDAD Formulación covariante Lorentz del campo electromagnético 1. Los sistemas inerciales y el espacio-tiempo de la Relatividad Especial: Medida de intervalos espaciales y sincronización de relojes en S, (definición de t): Consideremos observadores inerciales de la clase O: {O1, O2, ... On, ...}, en un sistema inercial S. Y. O1. On. S X. O. Z. O2. Consideremos inicialmente que los observadores de la clase O están en reposo entre sí. Lo pueden comprobar, por ejemplo, mandandose pulsos de radar y determinando el tiempo que tarda el pulso en ir y venir. Vemos la necesidad de relojes para determinar distancias, aún en un mismo sistema inercial S. Definición de tiempo en S a partir de los relojes: Todos los observadores que están en sus "laboratorios" en los diferentes puntos del sistema inercial S tienen relojes. Para establecer un tiempo en S siguen los pasos: Primero: Comparan la marcha de los diferentes relojes en O. Así los relojes Ro, Ro1, Ro2, ... Ron están sincronizados en O. (Marchan al mismo ritmo). Se concluye que si marchan al mismo ritmo en O, así lo harán en O1, en O2, ... en On. Es decir, en cualquier punto de S. Segundo: Cada observador se va a su lugar de observación con su reloj. Ahora es necesario un criterio para medir tiempos y definir el "tiempo", en el sistema inercial S.. I 1.

(4) Los sistemas inerciales y el espacio-tiempo de la Relatividad Especial. . Tercero: Si cada observador O, utiliza su propio reloj para medir el tiempo en su en-. torno, tendremos un tiempo válido en O1, en O2..., en On . ¡No un tiempo t para todo el conjunto de observadores O! No un tiempo t definido en S.. . Cuarto: Para tener ese tiempo t definido en S hay que introducir un criterio para sin-. cronizar los relojes de O1, O2, ... On, ... ¿Pero no estaban ya sincronizados?. Si, lo estaban cuando, poniéndolos a cero, los hacíamos funcionar todos en un mismo punto O. Ahora está cada uno en su sitio O1, O2, ... On, ... y hay que decirles cómo han de empezar a funcionar. Esto es definir el tiempo para el sistema inercial S.. . Quinto: Si O es quien tiene que dar la orden de comenzar a marcar el tiempo, (poner. los relojes en funcionamiento) es lógico que envíe una señal a los observadores en O1, O2, ... On, ... para decirles que pongan en marcha sus relojes. Para ello escogerá una señal que se transmita lo más rápidamente posible entre O y O1. Esta señal será un pulso electromagnético que se propagará a velocidad c en S.. . Sexto: En el sistema S se procede así. El observador O pone la manecilla de su reloj. en el origen de tiempos t = 0 y el reloj empieza a funcionar en O, cuando es emitido el pulso electromagnético de velocidad c. Cuando el pulso alcanza el reloj O1 cuya distancia a O es OO1 , se conviene que O1 ponga en marcha su reloj, colocando inicialmente sus manecillas en la indicación t01 =. OO1. . c Lo mismo hará O2 con su reloj cuando le alcance el pulso, poniéndose a funcionar en. t 02 =. . OO2 c. . Así para todos los relojes de los observadores de la clase O que estén en S.. Séptimo: Por definición, diremos que ha quedado establecido el modo de medir el. tiempo t en S. Diremos que un suceso se produce en un punto Oi de S en un tiempo ti cuando el observador Oi que está en el lugar donde se produce el suceso, al consultar su reloj ve que la manecilla del mismo marca el tiempo ti. Tal procedimiento para definir cómo se determina el tiempo en S no hubiera sido necesario si existiese una señal que se propagara con velocidad infinita, ya que entonces t0 = 0 = t01 = t02 = ... = t0n = ... I 2.

(5) Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad. Hemos definido así un tiempo t en S, pero si consideramos otro sistema inercial S' que se mueve respecto de S ¿Será el tiempo definido en S el tiempo en S'? Esto es, ¿estarán sincronizados en S' los relojes que estaban sincronizados en S? La respuesta, negativa, la hallamos en el articulo fundamental de Einstein: "Zur Electrodynamik bewegter Körper", Annalen der Physik, 17: 891, 1905 ("The Principle of Relativity" A. Einstein & Others, Methuen & Co. Ltd. of London 1923, incluye la traducción de la referencia anterior bajo el título: "On the Electrodynamics of moving bodies"*). Sean todos los observadores de la clase O' del sistema inercial S' y procedan del mismo modo con sus relojes para definir cómo se determina el tiempo en S'. Concluido el proceso, podemos del mismo modo decir que si un suceso se produce en el punto Oj' en el tiempo tj', es porque el observador que estaba en ese lugar, al mirar su reloj vio que marcaba el tiempo tj'. La cuestión está en relacionar las posiciones y tiempos de un suceso que referenciado respecto de S tiene las coordenadas (x, y, z, t), y referenciado respecto de S' tiene las coordenadas (x', y', z', t'). Según la física Newtoniana tal relación era:. (t ′, r ′) = (t, r − v t ) Para: v =. Transformación de Galileo. d OO ' . ¿Hasta qué punto es correcta esta ley? dt. Efecto Doppler para ondas de sonido: Es interesante repasar el efecto Doppler para el sonido, o para la perturbación acústica que se propaga en un medio, por ejemplo el aire. Para el sonido consideramos un medio elástico (más o menos) que es el que transmite la onda longitudinal. La perturbación es de tipo escalar. La propagación consiste en la transmisión en el medio del conjunto de compresiones y rarefacciones que constituyen la onda sonora. Al llegar estas ± ∆P a nuestro tímpano, éste vibra y notamos la sensación sonora. Así pues, en primer lugar: Existe un medio que transmite la onda sonora. Respecto de ese medio, en reposo, tenemos el observador, "el oyente" podríamos decir en este caso. Tal observador, con sus detectores adecuados, en reposo respecto del medio, es el que hace las medidas sonoras, por ejemplo de la frecuencia de la onda sonora f, y de la *. John Walker tiene disponibles varias versiones digitales de este artículo, ahora de dominio público, en http://www.fourmilab.ch. I 3.

(6) Los sistemas inerciales y el espacio-tiempo de la Relatividad Especial. velocidad de la perturbación en el medio v. Evidentemente lo que produce el sonido o fuente estará en reposo respecto del medio, y por tanto del observador O. Por lo tanto, existe un medio o marco en donde el observador O fija sus ejes de coordenadas y se sitúa en reposo respecto de ese medio o marco, que permanece estable y con propiedades características. La fuente F en otro punto de ese medio o marco, emite ondas sonoras de frecuencia f que se propagan de F hasta O a través del medio, con velocidad v y longitud de onda λ (según constatan los aparatos que utiliza O). Tenemos:. λ⋅ f =v Este medio o marco es lo que llamamos espacio absoluto (el espacio absoluto de Newton). Tanto el observador O como la fuente F están en reposo respecto del marco absoluto y por tanto en reposo entre sí. Evidentemente, si O se mueve respecto del marco (también respecto de F como resultado), lo notaría. Notaría el viento en la cara o el "viento del éter" (según se decía en la física de principios del s. XX). a) Fuente en movimiento. Observador en reposo: Supongamos que la fuente emisora se mueve con velocidad u respecto del observador (evidentemente se mueve también en el marco o medio con velocidad u). El observador mide ahora otra frecuencia f ' para la perturbación emitida por la fuente.. +u. F. O. –u. Tal frecuencia será*: f '= f. [I]. 1 1+ u. ( v). (si la fuente se aleja ). f '= f. 1 1− u. ( v). Donde:. (si la fuente se acerca). •. f = frecuencia de la onda sonora.. •. v = velocidad de la onda sonora en el medio. Velocidad respecto del marco o espacio absoluto.. •. f ' = frecuencia medida por el observador (Receptor).. *. El efecto Doppler clásico se explica en cualquier texto de Física General. Véase, por ejemplo: R. Resnick - D. Halliday: Física, Editorial Continental, México 1982 Tomo I, sección 20-7.. I 4.

(7) Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad. La velocidad u de la fuente tiene signo + si la fuente se aleja de O y signo – si la fuente se acerca a O. b) Fuente en reposo. Observador en movimiento: Ahora es la fuente la que permanece en reposo respecto del medio y el observador se mueve respecto de la fuente (o del medio, es lo mismo) alejándose o acercándose a la misma con velocidad u. La variación de frecuencia que se observa por los sistemas de medida utilizados por O dan para la medida de f '' en este caso: F. [II]. –u. O. +u. u f ' ' = f 1 +  v . Conclusión: A la vista de las ecuaciones [I] y [II] hallamos que lo importante para explicar el efecto Doppler en el sonido es la velocidad absoluta de la fuente F o del observador O respecto del medio y la velocidad v de la perturbación respecto del medio. • En el caso a) se mueve la fuente (p. ej. acercándose a O) y el resultado es f '. • En el caso b) se mueve el observador (p. ej. acercándose a F) y el resultado es f ''. Resulta que f ' ≠ f '', en el mismo caso de movimiento relativo, pero en distinto caso de movimiento absoluto. En el caso a) el observador no nota el "viento del éter" y en el b) sí. Veamos qué ocurre cuando desaparece el medio entre el observador y la fuente y estudiamos el efecto Doppler para la luz. Efecto Doppler para la luz: Cuando tenemos una perturbación electromagnética emitida por una fuente F y recibida por un observador O puede existir el vacío entre F y O. De este modo, así como para el sonido necesariamente ha de existir un medio (en donde la velocidad de éste es v), para la luz entre F y O podemos tener el espacio vacío, entonces la velocidad c no es la velocidad de la luz respecto de ningún medio o marco de referencia asociado a la presencia de dicho medio, sino la velocidad con la que la perturbación recorre la distancia que separa F y O.. I 5.

(8) Los sistemas inerciales y el espacio-tiempo de la Relatividad Especial. Si esa distancia OF ≡ FO es la misma según va transcurriendo el tiempo que marca el reloj que va asociado al observador O, entonces el observador y la fuente están en reposo relativo. No podemos decir que F y O están en reposo respecto del medio porque simplemente ese medio no existe. Si la distancia entre O y F varía con el tiempo, podemos eventualmente asociar a la fuente una velocidad uniforme u que acerca o aleja la fuente del observador O.. Tenemos que hacer dos reflexiones: 1) El movimiento es relativo. La velocidad u se puede interpretar también como la velocidad con que el observador O se acerca o se aleja de la fuente. Ahora, que se mueva F, o se mueva O es lo mismo. Es más, no podemos hablar de velocidad absoluta u sino de velocidad de F respecto de O. Si O se acerca o se aleja de F, eso no podemos ponerlo de manifiesto pues O no nota el "viento del éter", sencillamente porque no hay medio o éter. 2) La velocidad de la luz c es en el vacío. Es decir, cuando el vacío está "separando" F y O. En un instante F emite un pulso de radar o señal (luz) y esta señal es detectada por los instrumentos que posee el observador O. Una vez emitida la señal por F, se propaga a través del vacío hasta llegar a O con velocidad c. Es decir, c es una constante propia de la propagación de la perturbación en el vacío y totalmente independiente de la velocidad relativa u entre la fuente y el observador: "El observador siempre atribuye a la perturbación electromagnética en el vacío la velocidad c, independientemente del estado de movimiento de la fuente" Éste es el postulado básico de la "Relatividad Especial". En las ecuaciones anteriores consideramos como v la velocidad constante c (que no es la velocidad respecto de ningún medio, sencillamente porque no hay medio), y tendremos: 1 1− u. ( c) f ' ' = f (1 + u ) c f '= f. Foco aproximándose. Observador aproximándose. I 6.

(9) Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad. Siendo u la velocidad relativa de la fuente F y el observador O. Ahora bien ¿Con qué fórmula nos quedamos, ya que ahora no tenemos la posibilidad de distinguir (como para el sonido) el caso a) ó b)? Si fuera posible medir el valor f ' y el valor f '', entonces podríamos saber quién se mueve, bien la fuente, bien el observador, y por lo tanto sería posible determinar la velocidad u, respecto del espacio absoluto. Como u es una velocidad relativa (igual en el caso a que en el caso b), lo más probable es que ni f ' ni f '' sean las frecuencias previstas del efecto Doppler para la luz. Efectivamente, la frecuencia observada para la luz emitida por una fuente en movimiento relativo, con velocidad u respecto de un observador O, viene dada por la expresión (según se demostrará con posterioridad): f '= f. 1+ u. c u 1− c. No hay dos casos, pues u es la velocidad relativa. Así pues, por esta medida de frecuencia f ' sólo podemos detectar el movimiento relativo de la fuente F respecto del observador O. Una aplicación inmediata de esta relación en Astronomía proporciona la medida de la velocidad radial con la que los cuerpos luminosos celestes se mueven con respecto de la Tierra. Nótese que las medidas hechas sobre las radiaciones recibidas de las distintas galaxias y otras radiofuentes, parecen indicar para todas una velocidad de recesión o alejamiento, que es tanto mayor cuanto mayor es la distancia de la fuente en cuestión a nuestro planeta (Ley de Hubble). Estas observaciones son la base del concepto de Universo en expansión*. En cuanto a las expresiones de la frecuencia dadas en a), b), y para la luz, podemos aproximar, teniendo en cuenta que prácticamente siempre tenemos u<<c, con:. (. 1− u. ). −1. v.  u  (− 1)(− 2 )  u  = 1 + (− 1) ⋅  −  +  −  + ... 2  v  v 2. *. Se plantea una cuestión interesante: Si todas las galaxias se alejan de la Tierra... ¿Es nuestro planeta el centro de expansión del Universo? ¡Qué chocante que tuviéramos que volver al geocentrismo, después de haberlo desechado desde los tiempos de Copérnico y Galileo! No es así, cualquier punto del Universo podría ser el centro de expansión. Un observador allí situado vería de igual modo alejarse de él a todas las galaxias. Podemos establecer una analogía entre un universo bidimensional en expansión, y la superficie de un globo (con galaxias pintadas...) que se está hinchando. Al expansionarse la superficie, todos los lunares se alejan unos de otros con una velocidad relativa proporcional a la distancia medida (sobre la superficie).. I 7.

(10) Los sistemas inerciales y el espacio-tiempo de la Relatividad Especial. Para el caso a):.   u   u 2  f ' = f .1 +   +   + ...   c   c  . Para el caso b):.   u  f ' = f .1 +      c . Para la luz:.   u  1  u 2  f ' = f .1 +   +   + ...   c  2  c  . u Para todas las fuentes monocromáticas disponibles, casi siempre u<<c y   , por c tanto, tiene un valor muy pequeño. Nuestro sistema de medida ha de ser capaz de dis2. u tinguir y medir con una aproximación de   para hallar que el último caso es el coc rrecto (experimental y conceptualmente es el de mayor contenido lógico y el más ele2. u gante). Los términos en   son los términos de corrección relativista, que se ponen de c manifiesto cuando u se aproxima a c.. Definición de Simultaneidad: a) Medidas de longitudes y posiciones: Supongamos un observador O que quiera posicionar cualquier objeto en reposo respecto de él. Para ello establecerá un sistema coordenado, por ejemplo cartesiano, y con referencia a los tres ejes, cuyo origen puede tomar en el punto que él mismo ocupa, asignarle coordenadas al punto en cuestión P (x1, y1, z1). Por los métodos de la geometría euclídea la distancia OP será: OP = x12 + y12 + z12 Y esta distancia será la que, con los patrones de longitud establecidos y colocándolos directamente sobre la línea OP, dará el resultado de la medida. Cualquier otro punto Q(x2, y2, z2) distará de P: QP ≡ PQ =. (x2 − x1 )2 + (y 2 − y1 )2 + (z 2 − z1 )2. Distancia que será el resultado directo de la aplicación de la unidad de longitud sobre la línea recta que une P con Q. La medida de distancias puede hacerse de otro modo: El punto P, siendo estacionario respecto de O, puede posicionarse en el sistema coordenado como sigue: El observador O tiene un reloj a su disposición, y un emisor y un. I 8.

(11) Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad. receptor de pulsos electromagnéticos. Emite un pulso en la dirección (θ', ϕ'). Espera a recibirlo y ajusta el detector para que reciba la máxima señal reflejada por P en la dirección (θ, ϕ). Si el tiempo en que es emitida la señal (una vez calibrada la dirección (θ,. ϕ)) es t0 = 0 (por ejemplo), y esta es recibida de vuelta por el reloj estacionario del observador en O en t0', y haciendo la hipótesis de que el pulso tarda lo mismo en viajar de O hasta P, que de P hasta O, y que lo hace a velocidad c, se tendrá: 2 OP = 2 R = t 0′ ⋅ c Así pues quedará determinado P(R, θ, ϕ), o bien P(x, y, z). Podríamos operar del mismo modo para todo punto Q y para muchos otros puntos donde podrían situarse observadores locales con sus aparatos de medidas, para reseñar todo suceso que ocurriera en su proximidad. Todos los sucesos observados en los diferentes puntos tendrían una localización precisa. Todos los observadores en los diferentes puntos serían equivalentes entre sí, ya que están en reposo respecto de O y podrían utilizar la misma referencia que O para posicionar su situación o cualquier otra. Diremos que estos observadores pertenecen a la clase O. Son observadores de la clase O.. b) Medida del tiempo para los observadores de la clase O: Supongamos que queremos describir la posición de una partícula que se mueve respecto del observador O (por lo tanto respecto de cualquier otro de los de la clase O). Tal partícula varía su posición en función del tiempo. Así pues hemos de definir de modo preciso cómo miden el tiempo los observadores de la clase O. Tomemos un conjunto de relojes que consideramos aptos para medir el tiempo, y compruebe el observador en O que todos los relojes marchan al mismo ritmo en O. Diremos entonces que están sincronizados en O. Los llevamos al punto P y los observamos por medio de nuestro observador en P. Vemos que si estaban sincronizados en O, también están sincronizados en P y, del mismo modo, estarán sincronizados en Q, y para cualquier observador situado en cualquier punto, si es de la clase O. Ahora cada observador toma un reloj, de los que hemos visto sincronizados y denominaremos como aptos para medir el tiempo, y se lo lleva al punto que ocupará: P,Q,... y donde realizará las observaciones.. I 9.

(12) Los sistemas inerciales y el espacio-tiempo de la Relatividad Especial. Ahora es cuestión de definir claramente cómo sincronizamos los relojes, uno en O, otro en P, otro en Q... etc., para medir el tiempo en que un determinado suceso ocurre en O, en P o en Q y que este sea el criterio de sincronía que rige para el tiempo asociado a los observadores de la clase O. La sincronización de relojes situados en reposo, en dos puntos diferentes, se efectuará mediante una señal. Si existiera una señal que se propagara instantáneamente de un punto a otro, en todas las direcciones, lo que vamos a exponer ahora no tendría sentido. No es así, ya que la luz en el vacío es la señal con mayor velocidad posible c. Utilizamos pues un pulso (de radar p. ej.) para sincronizar. Como sabemos la distancia que existe entre O y el resto de los observadores de la clase O situados en los diferentes puntos P,Q, ... etc., mandamos poner las manecillas del reloj correspondiente en la siguiente posición: •. Para el reloj del observador O, poner la manecilla en:. •. Para el reloj del observador P (en P), poner la manecilla en:. •. Para el reloj del observador Q (en Q), poner la manecilla en:. t0 = 0 tp = tq =. OP c OQ c. Y así para cualquier observador situado a la distancia d de O, que tendrá que situar la manecilla de su reloj en la división: t=. d c. Cómo calculamos este tiempo: Según Einstein: Sean observadores en reposo en O y P, con relojes sincronizados, aptos para medir el tiempo en S. Son ambos de la clase O y utilizan las mismas coordenadas para referenciar los sucesos en S.. P R O. Supongamos que el observador O manda un pulso electromagnético en t = 0, el pulso viaja con velocidad c hasta P, rebota en P (en tp), y se recibe de nuevo en O en el tiempo t'. Por definición, la distancia 2 R = c t', y por lo tanto: t ' = 2 R . c. I 10.

(13) Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad. Supongamos ahora que el pulso fue recibido por P en el instante tp (marca del reloj en P). Como parece lógico, el tiempo que tardó la señal en ir de O hasta P ha de ser el mismo que el que tarda en ir de P hasta O y, por lo tanto, podremos poner:. (t. p. ) (. ). − 0 = t ′ − t p ⇒ 2t p = t ′. [tiempo de la señal en ir de O hasta P] = [tiempo para ir de P hasta O] y teniendo en cuenta la relación anterior: 2t p = t ′ =. 2R c. tP = R. ⇒. c. Que es la indicación del reloj en el punto P, en el momento de la llegada del rayo.. Convengamos que, en t0 = 0 para O, se emite por tal observador una señal electromagnética que pone en marcha el reloj en O y, sucesivamente, los relojes de los diferentes observadores situados en los diferentes puntos del espacio. A partir de que el pulso los alcanza, y los relojes de S están funcionando, diremos que tales relojes están sincronizados con O y sincronizados entre sí. Definición: Diremos que un suceso que ocurre en un punto P, ocurre en el tiempo t, si el reloj en P marca el tiempo t al suceder el mismo. Definición: Sucesos que ocurren en un punto P y en un punto P' diremos que son simultáneos, si los relojes en P y en P' señalan el mismo tiempo t. De esta definición de simultaneidad se deriva una conclusión inmediata: Dos sucesos, uno en P y otro en Q, si son simultáneos no pueden estar conectados causalmente. Un suceso que ocurre en P en el tiempo tp y otro que ocurre en Q en el tiempo tq sólo pueden estar conectados causalmente si se verifica que: PQ tq − t p. ≤c. De este modo queda definido un tiempo universal para todo el sistema de referencia S (para todos los observadores de la clase O). Ahora queda definido un tiempo común para P y para Q, no un tiempo válido en O y un tiempo válido en Q como hubiera sucedido si midiéramos el tiempo transcurrido en P y en Q sin hacer ninguna afirmación adicional. Finalmente, sea un observador O' que se mueve con velocidad v respecto del observador O, y por tanto respecto de todos los observadores de su clase, y que utiliza unos. I 11.

(14) Los sistemas inerciales y el espacio-tiempo de la Relatividad Especial. ejes coordenados x', y', z', ligados a O' y en donde pueden situarse observadores P', Q'... en diferentes puntos, en reposo respecto de O' y por supuesto entre sí. Tales observadores se denominarán de la clase O' y miden sus distancias mutuas y las distancias de O' a cualquier punto de la forma que lo hacían los observadores de la clase O. En este caso con patrones de medida en reposo respecto de O'. También los relojes han sido sincronizados por señales de radar emitidas por O' y recibidas por los observadores de su clase, del mismo modo que se hizo para los relojes de la clase O. Esto supone aceptar como principio la hipótesis: El pulso de radar se mueve con velocidad c en el vacío tanto respecto de los observadores O como para los observadores O'. Principio de constancia de la velocidad de luz independiente de la velocidad del foco. Diremos que un suceso ocurre en un punto dado P, en el instante t respecto de S (conjunto de observadores O) y en un punto P', en el instante t' respecto de S' (conjunto de observadores O'), si los relojes de los observadores en P y en P' marcan el tiempo: t, y t' respectivamente, al ocurrir el suceso.. Relaciones entre las coordenadas y tiempos para un suceso referido a dos clases de observadores inerciales: La relación clásica existente entre las coordenadas y tiempos para un mismo suceso referido a dos clases de observadores O y O' es la Transformación de Galileo. Supongamos que los observadores O referencian los sucesos respecto del sistema S, de origen de coordenadas O. Los observadores O' utilizan el sistema S', de origen O', con ejes orientados según la figura. Y convenimos que en el instante en que O y O' coinciden tomamos el origen de tiempos para t = 0 y t' = 0.. Y. Y'. P ≡ P' (x, y, z, t) coordenadas del suceso en S. v. (x', y', z', t') coordenadas del suceso en S' Q ≡ Q'. O. X ≡ X'. O' (x0, t0) en S. Z. Z'. (x0', t0') en S' I 12.

(15) Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad. El Principio de la Relatividad Galileana nos dice que las relaciones entre las coordenadas y tiempos del mismo suceso medido respecto de las dos clases de observadores O y O' son: [I]. x ′ = x − vt , y ′ = y ,. z′ = z ,. t′ = t. Cualquier ecuación de la mecánica expresada en coordenadas (x, y, z, t) tiene idéntica expresión en coordenadas (x', y', z', t'). Es decir, ante una transformación de coordenadas como la anterior las ecuaciones de la mecánica son covariantes. La expresión matemática de la ley tiene la misma forma, escrita respecto de S o respecto de S'. Las dudas acerca de la validez de las ecuaciones [I] surgen ante el hecho de que las ecuaciones del campo electromagnético no son covariantes ante transformaciones de este tipo. Por tanto, las anteriores relaciones han de ser modificadas de modo que el principio de covariancia (invariancia de forma bajo transformaciones de coordenadas entre sistemas inerciales) sea valido para todas las ecuaciones de la física. Supongamos que en el momento en que coinciden O y O', un rayo de luz abandona el origen de coordenadas y llega al punto Q≡Q'. Si las coordenadas del suceso medido por el observador Q en S son (x0, t0) y las del observador Q' estacionario en S' son (x0', t0'), x0 =c t0. se cumplirá:. Veamos cuánto vale. x ′ x − vt 0 x 0 x 0′ . Según la transformación [I]: 0 = 0 = −v =c−v t0′ t 0′ t0 t0. Luego la velocidad de la luz medida por los observadores de la clase O' sería (c − v), en desacuerdo con el postulado de constancia de la velocidad de la luz. Hay que sustituir la transformación [I] por otra que esté de acuerdo con tal postulado. Tal transformación es la de Lorentz. En este caso particular, esta transformación es: x ′ = γ (x − vt ) [II].  vx  t′ = γ t − 2   c . con: γ =. 1 1− β. 2. y: β = v c. Utilizando tal transformación la velocidad de la luz es c, tanto en S como en S'.. I 13.

(16) Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz.  x0   − v t0 x ′o γ (x 0 − vt 0 )  = c−v = c = =  v vx   vx  t 0′  γ  t 0 − 20  1 − 2 0  1 − c c   c t0  . En efecto:. Y tal transformación que preserva la velocidad de la luz, c en S', es la que adoptaremos en el estudio de los fenómenos electromagnéticos. 2. Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz: Espacio de Minkowski m4: Cada suceso para el conjunto de observadores de la clase O se describirá con un conjunto de cuatro números que representan el tiempo y la posición del suceso, medido por cualquiera de los observadores de la clase O. Así un suceso P será: P (t, x, y, z) Podemos representar el suceso en un espacio cuadridimensional m4, el espacio de Minkowski y tomar ejes adecuados para que P tenga coordenadas respecto de tales ejes:. (. P = x 0 = c.t , x 1 = x , x 2 = y , x 3 = z. ). Así pues, tenemos en un diagrama tiempo/espacio: X. 0. P(x0, x1, x2, x3) X1 Es evidente que el mismo suceso se puede referenciar por observadores de la clase. {O }, que se mueven con velocidad v respecto de {O} sobre el eje x = x común. Tal suceso se referenciará por P(x , x , x , x ) . Si tomamos unos ejes adecuados en el espa0. 1. 2. 3. cio de cuatro dimensiones tendremos: P(x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ). X1. X0. I 14.

(17) Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad. Ya conocemos las relaciones que han de existir entre las observaciones realizadas del suceso P por {O} y {O }. Tales relaciones son: x = γ (x − vt ). y=y z=z.  vx  t = γ t − 2   c . Transformación de Lorentz. Que definen a los sistemas coordenados Lorentz: {Xα}. Así, para la transformación de coordenadas entre sistemas coordenados Lorentz: X α = X α (X β ), tendremos: x 0 = γ (x 0 − β .x1 ) x 1 = γ (x1 − β .x 0 ). [I]. En donde: γ =. x 2 = x2. 1 1− β 2. , β=v c. x 3 = x3. Si tuviéramos la transformación inversa: X α = X α (X β ): x 0 = γ (x 0 + β .x 1 ) x 1 = γ (x 1 + β .x 0 ). [II]. x2 = x 2 x3 = x 3. Transformación de coordenadas en m4: De este modo cualquier punto (suceso) P en m4 puede representarse en coordenadas respecto del sistema de ejes x ó x . En principio la transformación de coordenadas o cambio de ejes puede ser cualquiera, y vendrá dado por las funciones:. ( ). Xα = Xα X β. [I']. De tal forma que la relación entre X α y X β será de la forma: X µ = Λµ ν X ν. con:. Λµν =. ∂X µ ∂X ν. Para transformaciones de la forma [I], [I']. En el caso de transformaciones [I], Λµν tiene las componentes: Λ0 0 =. ∂X 0 ∂X 0. =γ. . Λ01 =. ∂X 0 ∂X 1. = −γ β. . Λ10 =. ∂X 1 ∂X 0. = −γ β. ...etc.. Dando lugar a la matriz de cambio de coordenadas: x0   γ  x1   − γβ  2 =  0 x3   x   0. − γβ γ 0 0. 0 0 1 0. 0  x 0  0  x 1  0  x 2  1  x 3    I 15.

(18) Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz. Para la transformación inversa:. ( ). Xα = Xα X β. [II']. La relación será de la forma: X µ = Λµ ν X ν Donde las cantidades definidas por la transformación son: ∂X µ µ Λ ν = ∂X ν Y con la relación que se establece en las ecuaciones [II] éstas son: ∂X 0 ∂X 0 ∂X 1 0 1 Λ0 0 = = γ Λ = = γ β Λ = =γ β 1 0 ∂X 0 ∂X 1 ∂X 0. ...etc.. dando lugar a: x0   γ  x1  γβ  2 =  0 x3  0  x  . γβ γ 0 0. 0 0 1 0. 0  x 0  0  x 1  0  x 2  1  x 3   . Una transformación es inversa de la otra. Luego para cualesquiera que sean las transformaciones [I'] y [II'] se tendrá: Λµν Λν α = δ µ α y las matrices representativas serán una la inversa de la otra. En particular, si Λ y Λ describen la transformación de ejes establecida en m4 por las ecuaciones [I] y [II], serán las transformaciones que fijen las relaciones que existen entre sucesos descritos por observadores de la clase {O} y { O }. Métrica en m4: En particular dos sucesos pueden ser sucesos próximos descritos por {O} de modo que correspondan a P y P + dP según dx que puede ser expresado en componentes respecto al sistema coordenado x ó x .. P+dP dx P. ( (. ) ). dx µ dx 0 , dx1 , dx 2 , dx 3 dx  îdx µ dx 0 , dx 1, dx 2 , dx 3. dx µ y dx µ se relacionan a través de las matrices Λ. Así: dx µ = Λµν dxν Definimos un tensor g métrica en m4, que tendrá componentes en S, y que nos servirá para calcular la distancia entre dos puntos o el modulo del vector dx de la forma: I 16.

(19) Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad. . ds 2 = g (dx , dx ) = g µν dx µ dxν = dxν dxν. ( ) − (dx ) − (dx ) − (dx ). ds = dx 2. 0 2. 1 2. 2 2. Por definición. 3 2. Donde hemos utilizado dxν = g µν dx µ .. . . Mirando la expresión y teniendo en cuenta que las componentes del vector dx son. (. ). dx ≡ dx 0 , dx1 , dx 2 , dx 3 , tendremos que: g µν = diag (1, − 1, − 1, − 1). (. dx µ ≡ dx 0 , − dx1 , − dx 2 , − dx 3. y por tanto:. ) . Por otra parte, la distancia entre los puntos o módulo del vector dx se puede expresar:. . ( ) − (dx ) − (dx ) − (dx ). ds 2 = g (dx , dx ) = g µν dx µ dxν = dxν dxν = dx 0. 2. 1 2. 2 2. 3 2. Por lo que identificamos las componentes g µν como: g µν ≡ diag (1, − 1, − 1, − 1) g αβ g βγ = g α γ = δ α γ = δ γα = diag (1, 1, 1, 1), la identidad.. Es evidente que:. dxν = g νµ dx µ. Y que:. La expresión así definida para ds 2 es propiamente una distancia, vale lo mismo en S y en S (Invariancia del intervalo en forma y número). En efecto: 2. 2. 2. (. 2. ). (. 2. ds 2 = dx 0 − dx 1 − dx 2 − dx 3 = γ 2 dx 0 + βdx 1 − γ 2 x 1 + βdx 0 2. 2. 2. ) − dx 2. 2. 22. − dx 3. 2 2. = γ 2 dx 0 + γ 2 β 2 dx 1 + 2 βγ 2 dx 0 dx 1 − γ 2 dx 1 − γ 2 β 2 dx 0 − 2 βγ 2 dx 1dx 0 − dx 2 − dx 3. (. ). (. 2. ). 2. 2. = γ 2 1 − β 2 dx 0 − γ 2 1 − β 2 dx 1 − dx 2 − dx 3. ( (. Donde:. (. dx 0 = γ dx 0 + βdx 1  dx 1 = γ dx 1 + βdx 0  2 2 dx = dx  3 3 î dx = dx. 2. ) ). ). En definitiva, ya que: γ 2 1 − β 2 = 1 , se tiene:. ( ) − (dx ) − (dx ) − (dx ). ds 2 = dx 0. 2. 1 2. 2 2. 3 2. = ds 2. Utilizando la métrica en componentes en el sistema S : ds 2 = g µν dx µ dx ν Lo que quiere decir que:. g µν = diag (1, − 1, − 1, − 1).. I 17. 2.

(20) Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz. Transformaciones de Lorentz: Como g es un tensor, sus componentes g ó g están relacionadas entre sí por matrices Λ. Así pues: g = Λ Λ g , ó bien: g µν = Λµ β Λν γ g βγ , donde Λ es la matriz de la. ( ). x µ = x µ xα. transformación:. Λµ β =. ∂ xµ ∂ xβ. Se define como transformación de Lorentz cualquier transformación Λ de las coordenadas que deje invariante la métrica: ΛΛ g (1, − 1, − 1, − 1) → g (1, − 1, − 1, − 1) Tales transformaciones se denominan ortogonales en el sentido de la métrica y determinan sistemas coordenados Lorentz en m4. Cono de luz: Una vez visto que el intervalo entre dos sucesos tiene el mismo valor en cualquier sistema de coordenadas (es decir, puede servir como distancia entre dos puntos) podemos clasificar los intervalos del siguiente modo: 1) Intervalo de tipo temporal: Si: ds 2 > 0 ⇒. 2. 2. 2. 2. ds 2 = dx 0 − dx 1 − dx 2 − dx 3 = c 2 dτ 2 > 0. El intervalo entre sucesos es mayor que cero. Si un suceso es posterior a otro en un sistema coordenado Lorentz es siempre posterior en cualquier otro sistema Lorentz. O dicho de otra forma. Si un suceso es posterior a otro para un observador inercial, siempre es posterior para cualquier observador, está en el Futuro Absoluto. Si es anterior a otro en un sistema coordenado Lorentz, es anterior en cualquier otro sistema Lorentz, está en el Pasado Absoluto. En particular hay un observador para el cual los dos sucesos ocurren en el mismo punto espacial. En este caso, el tiempo transcurrido se denomina Intervalo de Tiempo Propio. 2) Intervalo de tipo espacial: Si: ds 2 < 0 ⇒. 2 2 2 2 2 2 2 ds 2 = dx 0 − dx 1 − dx 2 − dx 3 = − dx 1 + dx 2 + dx 3  < 0  . Un suceso del intervalo puede suceder antes o después que el otro según el sistema de referencia desde el que se observe. En particular pueden suceder en el mismo tiempo, aunque en dos puntos espaciales diferentes. Tales sucesos se dice que están en la región del espacio de Presente Condicional.. I 18.

(21) Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad. 3) Intervalo isótropo: 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. Si: ds 2 = 0 ⇒ ds 2 = dx 0 − dx1 − dx 2 − dx 3 = dx 0 − dx 1 − dx 2 − dx 3 = 0 En cualquier sistema coordenado Lorentz, o para cualquier observador inercial {O}, los dos sucesos están separados espacialmente, y ocurren en el intervalo de tiempo dt tal que: dx 2 + dy 2 + dz 2 = c2 2 dt Se dice que los sucesos están separados, o conectados, por un rayo de luz. Así pues, para todo suceso P podemos dividir el espacio de Minkowski en las siguientes regiones: x0 m4. Línea de Universo que. Sucesos en el Futuro. pasa por P. Absoluto de P. P Puntos de Presente Condicional. x2, x3. Puntos de Presente. x1. Condicional. Sucesos en el Pasado Puntos sobre el cono de luz. Absoluto de P Cono de luz de vértice P. Que definen la estructura causal del espacio-tiempo. La historia de una partícula puntual es un conjunto conexo de sucesos, una curva continua en m4: una línea de Universo. Cuadrivectores sobre m4: De la misma forma que al espacio ordinario R3 se le asocia un espacio vectorial euclídeo V3, caracterizado por el producto escalar ordinario, para formar un espacio afín euclídeo E3, al espacio métrico m4, caracterizado por g, se le puede asociar un espacio vectorial V4 de cuadrivectores, cuyas componentes en los sistemas coordenados Lorentz se transformarán como las coordenadas de los puntos de m4. Para un cuadrivector A se pueden considerar sus componentes contravariantes: Aµ (A0, A1, A2, A3), y sus componentes covariantes Aµ , relacionadas por: Aµ = gµνAν , de manera que: Aµ (A0 = A0, A1 = –A1, A2 = –A2, A3 = –A3). Bajo una transformación de coordenadas, las componentes contravariantes se trans∂X µ ν formarán con las Λ: Aµ = A = Λµ ν Aν ∂X ν ∂X ν ν Y las componentes covariantes, con las Λ : Aµ = A = Λ µ Aν µ ν ∂X I 19.

(22) Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz. El producto escalar de dos cuadrivectores se define con la métrica:. ( ). A ⋅ B = g A, B = Aµ gµν Bν = Aµ Bµ = A0B0 + A1B1 + A2 B2 + A3B3 = Bµ Aµ = B0A0 + B1A1 + B2 A2 + B3A3 = A0 B0 – A1 B1 – A2 B2 – A3 B3 El producto escalar de dos cuadrivectores es un escalar Lorentz, esto es, es invariante bajo cambios de coordenadas Lorentz. Llamaremos norma o módulo de un cuadrivector al cuadrado del cuadrivector:. A ⋅ A = Aµ gµν Aν = Aµ Aµ = A0A0 + A1A1 + A2 A2 + A3A3 = (A0)2 – (A1)2 – (A2)2 – (A3)2 Los cuadrivectores pueden clasificarse según su módulo, así para: • • •. Si A ⋅ A < 0 , A es de tipo espacial.. Si A ⋅ A = 0 , A es de tipo luz o nulo.. 0 Si A ⋅ A > 0 , A es de tipo temporal.. La componente A de un cuadrivector A se llama temporal, y las componentes (A1, A2, A3) espaciales. Para las transformaciones puramente espaciales, A0 es un escalar y A = (A1, A2, A3) un vector. Podemos escribir así las componentes contravariantes de un cuadrivector como: Aµ (A0, A), y las covariantes como: Aµ (A0, – A), con lo que el pro-. ducto de cuadrivectores A ⋅ B se indicará: Aµ Bµ = A0B0 – A·B. Y el módulo de un cua-. drivector A ⋅ A : Aµ Aµ = (A0)2 – |A|2. Relación entre ds, dτ y dt: Supongamos una línea de Universo, curva de m4 con parámetro s, τ, ó t, de modo que el inter-. ds2. valo entre dos puntos cualquiera próximos sea de P. P+dP. x (s ). tipo temporal: ds2 = c2 dτ2 El parámetro que identifica la posición del afijo del vector puede estar definido de modo. x = x (s ), ó: x = x (τ ) , ó: x = x (t ). que:. Tomemos un sistema coordenado Lorentz particular S. Las componentes del vector. x (t ), o las coordenadas del punto P serán:. (. x µ (t ) ≡ (ct , x, y , z ) ≡ x 0 , x 1 , x 2 , x 3. ) I 20.

(23) Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad. Por tanto, el vector que une P y P+dP será en tal sistema coordenado:. (. ). dx µ ≡ dx 0 , dx1 , dx 2 , dx 3 ≡ (cdt , dx, dy , dz ). . {. Y el intervalo:. ds 2 = g (dx , dx ) = g µν dx µ dxν = c 2 dt 2 − dx 2 + dy 2 + dz 2. O bien:.  1 ds 2 = c 2 dt 2 1 − 2 c î.  dx  2  dy  2  dz  2     +   +      dt   dt   dt   . }. Si tal intervalo es de tipo temporal: ds 2 > 0 , y dr = dxi + dyj + dzk podría ser el desplazamiento de una partícula observada por {O} en un tiempo dt, de modo que:. v = dr = dx i + dy j + dz k = (v dt. Por lo que:. dt. {. dt. ds 2 = c 2 dt 2 1 − v. 2. c2. }. dt. x , v y , vz. ). Y esta es la relación entre ds y dt:. γ ds = c dt. con: γ =. 1 1− v. 2. c2. También podríamos haber referido el vector dx a componentes en el sistema de referencia Lorentz en el que los dos sucesos ocurren en el mismo punto espacial, ya que el intervalo es de tipo temporal. Esto es, en S :. (. ). dx ≡ dx µ = dx 0 , 0, 0, 0 = (cdτ , 0, 0, 0 ) El intervalo de tiempo transcurrido es, por definición, el tiempo propio (intervalo de tiempo propio). Calculando ds2:. {. ds 2 = c 2 dτ 2 = c 2 dt 2 1 − v. 2. c2. }. Por lo que la relación entre dt y dτ será:. γ ds = c dt = γc dτ. ⇒. dt =γ dτ. Vector tangente a la línea de Universo: El vector tangente unitario a la línea de Universo lo obtendremos al derivar respecto del arco tomado como parámetro. Así pues:. dx (s )

(24) = tg ds.

(25). Si derivamos respecto de otro parámetro obtendremos un vector que es proporcional. al t g . En particular podemos derivar:. I 21.

(26) Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz. dx (τ ) , dτ. o bien:. dx (t ) dt. dx (τ ) se denomina cuadrivector velocidad: u . Las componentes de tal dτ vector en un sistema coordenado Lorentz en particular serán: El vector. Y por lo tanto:. dx (τ ) dx µ (τ ) dt dx µ dx µ d d  ≡ = =γ = γ  (ct ), r (t ) dτ dτ dτ dt dt dt  dt  α dx (τ ) uα ≡ = γ (c, v ) dτ. La componente espacial de tal cuadrivector en un sistema coordenado Lorentz particular nos indica la velocidad con que se describe la trayectoria dr . Podemos, como anteriormente, tomar el sistema coordenado Lorentz propio S para referir las componentes del cuadrivector u . Respecto de S las componentes son: uα = (c, 0) El cuadrivector es el mismo. En particular, su módulo será calculado: •. en S :. g (u , u ) = gαβ u α u β = c 2.  v2  g (u , u ) = gαβ u α u β = γ 2 c 2 − γ 2 v 2 = γ 2 c 2 1 − 2  = c 2  c  Cuadrivector aceleración y cuadrivector momento: Consideremos el campo escalar cons•. en S:. tante de parámetro m0, asociado a cuala). quier punto de la línea de Universo y defi-. m0 u. namos el cuadrivector momento: p = m0 u b). cuyas componentes en el sistema coorde-. m0 u. nado S son: p α = m0 u α = (m0γ c, m0γ v ) = (mc, mv ). En donde hemos definido:. m=. m0 1−. v2 c2. Tal cantidad la denominamos masa de la partícula m0, observada desde O, al desplazarse sobre la trayectoria r = r (t ) con velocidad v . En particular, en el sistema coordenado Lorentz S podemos tomar componentes de p : p α = m0 u α = (m0 c, 0, 0, 0). I 22.

(27) Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad. Tal observador inercial O se movería con velocidad v respecto de O, y por tanto la partícula estaría en ese instante en reposo respecto de O . Evidentemente el cuadrivector p es el mismo, y en particular su módulo:. (. ). g ( p , p ) = g p α , p α = gαβ p α p β = m02 c 2. es de tipo temporal.. Partícula libre: Sobre la línea de Universo a) tanto el cuadrivector p , como el u son constantes y podemos hacer:. dp = 0, ds. dp = 0, dτ. o bien:. dp =0 dt. Ya que los parámetros s, τ, y t están relacionados linealmente entre si. En particular: dp dt dp dp = =γ =0 dτ dτ dt dt Lo que significa que:. d (m0γc ) = 0 ⇒ dt. ⇒. dp dp α =0 ⇒ =0 dt dt. d (γ ) = 0 dt. ⇒ γ = cte. ⇒ v = cte. d (γ m0 v ) = m0  dγ v + m0  dv γ = 0 ⇒ dv = 0 ⇒ v = cte dt dt  dt   dt  0 Lo que nos indica que en cualquier sistema inercial, en particular para O, tanto el módulo como la velocidad de la partícula, y por tanto su momento, son constantes con el tiempo. No habrá por tanto fuerza alguna aplicada sobre la partícula: partícula libre. Las partículas libres describen líneas rectas en el espacio de Minkowski (geodésicas). Partícula ligada (aceleración): La partícula sobre la línea de Universo b) cambia la dirección de la velocidad y, por lo tanto, del cuadrimomento. Así podemos hacer: du ≠ 0, ds. du ≠ 0, dτ. d (m0 u ) = k ≠ 0 . dτ. Lo que manifiesta una propiedad geométrica: la línea de Universo tiene curvatura. dp es perpendicular al cuadrivector u , ya que es proporcional a dτ du du du ⊥ , y se verifica que: 2 u = 0 Luego: u .u = c 2 ⇒ u τ d dτ dτ El cuadrivector k =. Tal vector define la dirección normal de la curva (curvatura normal). La línea de Universo de una partícula ligada es una línea curva.. I. 23.

(28) Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz. . El cuadrivector:. . du = u se denomina cuadrivector aceleración. dτ. Cuadrivector fuerza k :. . Veamos qué significado le podemos atribuir a k . Tomando componentes en el sistema coordenado Lorentz S tendremos:. d dt d d m0 u α = m0 u α = γ (m0γ c, m0γ v ) dτ dτ dt dt. (. kα = •. ). (. ). para las componentes α = 1, 2, 3:. (. ). ( ). ( ). kα d d d α = m 0γ v α = mv α = p γ dt dt dt. Luego, si la derivada temporal del momento representa la fuerza que O ve aplicada. . . sobre la partícula y que hace que ésta se desplace con la trayectoria r = r (t ) , se tendrá:. . ( ). kα d α = p = Fα ⇒ γ dt. (. . k = k 0 , γF. ). . La componente espacial del cuadrivector fuerza k tiene información de la fuerza que. . . se aplica sobre la partícula que en el instante de tiempo t está en la posición r = r (t ) ,. . . con velocidad v = v (t ) según un observador inercial O. •. para la componente α = 0:. El valor de k. 0. , teniendo en cuenta que k . u = 0 :. k 0γ c − γ 2 F ⋅ v = 0 ⇒. . F ⋅v k =γ c 0. Por tanto, en componentes respecto de S, el cuadrivector fuerza:. . . .  F ⋅v  , F  k ≡ γ  c  . dp De modo que la ecuación = k representa en S: dτ dp α • para α = 1, 2, 3: = F α ≡ F Ley de movimiento de m0 para O. dt dp 0 dt dp 0 F ⋅v d F ⋅v 0 (m0γ c ) = • para α = 0 : =k ⇒ =γ ⇒ dτ dτ dt c dt c Y, por lo tanto, si c = cte:. d mc 2 = F ⋅ v dt. O bien:. d mc 2 = F ⋅ v dt = F ⋅ dr = −∇Φ dr = − dΦ. . ( ). ( ). . . . . si la fuerza F proviene de un potencial Φ (fuerza de un campo conservativo).. I 24.

(29) Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad. Veamos qué ocurre entre dos puntos de la línea de Universo correspondiente a parámetros τ 1 y τ 2, o bien para valores de t1 = t1(τ 1) y t2 = t2(τ 2). Integrando la última ecuación:. τ2. ∫1 d (mc 2. 2. ) = −∫. 2. 1. dΦ ⇒ m2 c 2 − m1c 2 = −[Φ 2 − Φ 1 ]. τ1 Donde m2 es la masa que la particula de masa m0 tiene en el punto r 2 = r 2 (t 2 ), donde su velocidad es v 2 en el sistema de referencia de los observadores {O}. Lo mismo para el punto r 1 = r 1 (t1 ), luego: m2 c 2 + Φ 2 = m1c 2 + Φ 1 = mc 2 + Φ = E Por lo que denominamos energia total de una partícula en cualquier punto de su trayectoria a: E = Φ + mc 2 = Φ +. m0 1− v. c 2 ≈ Φ + m0 c 2 +. 2. 1 3 v4 m0 v 2 + m0 2 + ... 2 8 c. c2. Energía no relativista: La definimos como la energía cinética más la potencial, en el sentido clásico; luego: E NR = lim (E − m0 c 2 ) v →0 c. donde m0 c 2 es la energía propia de la partícula en reposo. Energía cinética relativista: Comportará todos los términos que dependen del estado de velocidad:. (. ). T = E − m0 c 2 − Φ = m0 c 2 (γ − 1) Momento en función de la energía: Ya hemos visto que p puede ponerse en componentes respecto de S. p ≡ p α (mc, mv ) En el sistema S : p α (m0 c, 0 ). En el primer sistema podemos escribir p en función del momento y la energía atribuida a la partícula por el observador inercial {O}. Así: I. 25.

(30) Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz.  E −Φ , pα   c.  p  . ;. p α (m0 c, 0). Luego, conociendo la energía y el momento en un sistema S, podemos conocer la masa m0 de la partícula. En el caso de la partícula libre: Φ = 0 , el módulo de p será: p α pα ≡ p = 2. E2 2 − p 2 = m0 c 2 2 c. ( E 2 = p 2 c 2 + m0 c 4 ) 2. Cualquier partícula de masa m0 > 0 tendrá un cuadrivector momento de tipo temporal. Partículas de masa nula: Para una partícula de cuadrivector momento de tipo luz o nulo: 2  E  E  E 0 = p µ p µ =  , p  , − p  = 2 − p 2 = m0 c 2  c  c  c. ⇔ m0 = 0. y:. E = pc. Además se asume que el cuadrivector velocidad es de tipo nulo, lo que significa que tal partícula viaja a velocidad c. Tales partículas de masa nula y velocidad c son los fotones. La transformación de masa en radiación (energía: fotones) es posible por la ley de conservación del momento relativista. (1). (2 ). Sea, por ejemplo, la reacción: m0 → f1 + f 2 en la que una partícula de masa m0 se desintegra a dos fotones*. Consideramos la partícula en el sistema propio: Como p (1) = p (2 ): momento total del estado 1 = momento total del estado 2, se tiene que:. . . . ω ω 1   ω 2  , k1  +  , k2  con: h = λ c  c   c  ω1 ω Entonces, de: k 1 = − k 2 ⇒ u 1 = 2 u 2 , por tanto, tendremos para los dos fotones c c frecuencias angulares: ω 1 = ω 2 , y serán emitidos en direcciones opuestas.. (m0 c, 0) = . Si ω 1 = ω 2 = ω, la componente cero de p : Y la frecuencia de los fotones será:. p = m0 c = 2 0. ω=. . ω c. m0 c 2 2. Ondas de de Broglie: Se puede asociar una onda de frecuencia y energía dada a una partícula material de masa m0 . Tal onda es la onda material de de Broglie. (Comportamiento dual, partícula/onda de materia). *. e.g. la desintegración a 2 fotones de los piones neutros: π0→2γ; mπ0 ≈ 135 MeV/c2. I 26.

(31) Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad. A cada partícula material de masa m0 > 0 le asociamos una frecuencia y un vector. . ω = E. de onda tales que:. . k = p. El cuadrivector momento en el sistema S, (medidas del observador {O}):. pα = E , p c. (. Por lo tanto:. m0 2 c 2 =. ). de módulo:. m0 c 2 = p α pα 2. E2 ω 2 2 2 − p = − p2 2 2 c c. Despejando, la frecuencia que le corresponde a la partícula es:. ω2 =. p 2c 2. . 2. +. m0 2 c 4. . 2. Que se comprueba experimentalmente*. Así cada partícula tiene asociados los observables: Energía (E):. E= ω. Momento (p):. Frecuencia:. ω = E. Nº de onda:. . . p= k p k= . Efecto Doppler y Aberración de la Luz: Sea un sistema de referencia en donde se observa una onda electromagnética plana. . de frecuencia ω y de dirección de propagación k . En la región del espacio que contiene. . campo electromagnético tenemos en m4 definido el cuadrivector de propagación α . Referido a coordenadas Lorentz, sus componentes son:. (. . αν = ω c , k. ). La frecuencia y dirección en S. El cuadrivector momento para un fotón es:. p.  µ foton = α foton ≡ p foton . ω  , k  c . Otro observador S' que detectara el campo electromagnético le asignaría diferente frecuencia y dirección de propagación. Si S' se mueve con velocidad v a lo largo de un eje x = x' común, utilizará coordenadas Lorentz xµ' en m4, de tal forma que para S' y S tendríamos las relaciones entre αν y. αν' por medio de: αν' = Λν'µ αµ *. Davisson, C. J. Germer, L.H.: Physical Review, 30, 705 (1927). I. 27.

(32) Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz. Así pues:. De donde:. [I] [II]. ω '   γ − γβ  c  γ  k ' x  =  − γβ  k'y   0 0    0 0  k'z  ω' = γ ω − β k x c c k'x = γ kx − β ω c ,. ( (. 0   ω c  0  kx   0  k y  1  k   z . 0 0 1 0. ) ). k'y = ky ,. k 'z = k z. La situación será la siguiente en S y S':. . ω, k. y. . ω', k '. y'. S. S'. δ x. δ'. . β. x'. . k =ω  c Teniendo en cuenta que α es un cuadrivector nulo: α ⋅ α = 0 ⇒   k ' = ω'c î ω  k x = c cosδ ω' ω 1 v  Y las relaciones:  ⇒ = γ ω  − 2 cosδ  = γ [1 − β cosδ ] c c c c  k ' x = ω ' cosδ ' c î ω' ω vω ω k ' x = cosδ ' = γ  cosδ − = γ [cosδ − β ]  c c c c c Podemos ver las ecuaciones que relacionan la frecuencia y la dirección de propagación de la onda en S y en S':. cosδ ' =. cosδ − β 1 − β cosδ. Aberración de la luz. ω ' = γ ω [1 − β cosδ ]. Efecto Doppler para la luz. Que sólo depende de la velocidad relativa de S y S' , β . Casos particulares: a) Cuando δ = 0: En S' el ángulo que forma el vector de propagación con el eje x' es δ ': cosδ ' =. 1− β =1 ⇒ δ '= 0 1− β. No hay aberración. El signo de (1 − β) difiere del considerado para la luz en el caso del efecto Doppler [Ver. . p. I 6], porque aquí están los sistemas alejándose con v y no acercándose con u.. I 28.

(33) Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad. . ω, k (k x , 0, 0). y. S. . ω', k ' (k ' x , 0, 0). y'. S'. δ=0. δ' = 0. . β. x. x'. La frecuencia observada en S':. ω ' = γω (1 − β ) = ω. Se tiene que para todo β > 0 :. ω' < ω. 1− β 1− β 2. 1− β 1+ β. =ω. Efecto Doppler longitudinal. Si hacemos una observación astronómica del espectro de emisión de una estrella de S, estamos en S', cuando la estrella se aleja vemos un corrimiento al rojo. b) Cuando δ = π /2:. . . ω, k (0, k y = ω / c, 0) y'. y. S. (. ω', k ' k ' x , k ' y , 0. ). S'. δ = π /2 x. θ'. . β. x'. La frecuencia observada en S':. ω ' = γ ω (1 − β cos δ ) = γ ω cos δ =0. ⇒ ω'<ω. Efecto Doppler transversal. Y corrimiento al violeta de la frecuencia. En cuanto al vector de onda de la señal electromagnética, se tiene en S':. ω ω  k'x = γ kx − β  = − γ β c  con k =0 c  x k'y = ky k'z = kz = 0.  ω ω  Luego: k ' = k ' x , k ' y , 0 ⇒ k ' =  − γ β , , 0  ⇒ k ' = − γ β k y , k y , 0 : Aberración de la c c   luz, esto es, desviación respecto de su dirección de emisión.. (. ). Podemos hallar el ángulo θ ' desde:. (. tan (θ ' ) =. ). ky k'x = −γ β = −γ β k' y ky. I. 29.

(34) Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz. Objetos geométricos en m4: Cuando hablamos de objetos geométricos nos referimos a escalares, vectores, tensores, formas diferenciales..., etc. Es decir, entes que estarán definidos en m4 y que tendrán propiedades intrínsecas, independientes de su expresión en los diferentes sistemas coordenados. Normalmente estos objetos se pondrán en correspondencia unos con otros por medio de relaciones. Si esas relaciones se establecen como igualdad de las componentes de los objetos en los sistemas coordenados Lorentz, tendremos la relación expresada como una relación covariante Lorentz. Si no hacemos referencia a ningún sistema coordenado al establecer la correspondencia, diremos que la relación o ecuación propuesta es "geométrica". Los objetos son de diferente rango, dependiendo de su complejidad al expresarse en los diferentes sistemas coordenados. Los más sencillos son los escalares: objetos de rango cero. Luego los objetos de rango 1 ó vectores, los de rango 2, tensores. En general podremos tener objetos de rango n=0 o n≠0. Sobre estos objetos se pueden efectuar operaciones: las más importantes son las diferenciales. Cuando propongamos una igualdad entre objetos definidos en m4, los objetos a ambos lados de la igualdad han de tener igual rango. Así pues el modo de proceder será el siguiente: • • •. Introducir objetos en m4. Relacionarlos por operaciones diferenciales. Proponer tales relaciones en componentes en los sistemas coordenados Lorentz.. Y por tanto estas relaciones covariantes Lorentz, serán las relaciones que se escriban en los sistemas de referencia inerciales, ya sea S ó S . Reproducirán por tanto la teoría física descrita como la relación entre las magnitudes observadas en S, o bien en S , según expresemos las componentes de los objetos en un sistema coordenado Lorentz u otro. Operaciones diferenciales sobre objetos de m4, operador ∂: Procedamos a definir objetos sencillos en m4: Campo escalar: Es una función que asigna un número a todo punto x de la región R4 de m4 donde tal función esté definida: Ψ: ∀ x ∈ R4 →. x ) ∈ R I 30.

(35) Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad. Tomamos coordenadas Lorentz para el punto x ≡ xα y por tanto:. x. α. )=. x. α. ). Evidentemente, en el sistema de referencia S ó S asociado a los sistemas coordenados Lorentz: xα, x α , tendremos el valor asociado a la propiedad:. x. α. )≡. x. α. )=. r , t ) = r , t ). Definida en el punto espacial y en el instante dado en los correspondientes sistemas inerciales. Veamos la variación de Ψ en un punto x y en un punto próximo x + dx :. R. O. 4. dΨ =. dx#. ∂Ψ ∂x. 0. dx 0 +. ∂Ψ ∂x. 1. dx1 +. ∂Ψ ∂x. 2. dx 2 +. ∂Ψ ∂ x3. dx 3. En uno de los sistemas coordenados Lorentz que podamos tomar en m4, tenemos la expresión del vector dx :. x". (. dx ≡ dx α ≡ dx 0 , dx 1 , dx 2 , dx 3. ). Luego el escalar dΨ se puede poner como:. !. d Ψ = (∂ Ψ )µ dx µ = (∂ Ψ )(dx ). En donde se explicita, de modo geométrico en la última igualdad, la contracción de un objeto (1-forma) que sobre un vector dx da un número: dΨ. El objeto 1-forma, tiene por expresión, con índices abajo (índices covariantes):. (∂ Ψ ) ≡ (∂ Ψ )µ.  ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂ Ψ  = ∂µΨ =  0 , 1 , 2 , 3   ∂ x ∂ x ∂ x ∂ x . En todos los sistemas coordenados Lorentz. Es por tanto posible decir que tenemos un operador ∂ que en coordenadas Lorentz tiene por componentes:  ∂ ∂ ∂ ∂  ∂µ ≡  0 , 1 , 2 , 3   ∂ x ∂ x ∂ x ∂ x . !.  ∂  ∂ µ ≡  0 , ∇  ∂ x . ⇒. Y que actúa sobre los escalares (objetos de orden cero) para obtener objetos de orden uno (1-formas). Es evidente que las componentes de ∂ pueden expresarse con índices "arriba" por medio de la métrica. En todo caso, se podría escribir:. (. ). d Ψ = (∂ Ψ )µ dx µ = ∂ µ Ψ dx µ =. ∂Ψ ∂x. 0. dx 0 +. ∂Ψ ∂x. 1. dx1 +. ∂Ψ ∂x. 2. dx 2 +. ∂Ψ ∂x3. dx 3. I. 31.

(36) Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz. (. ). Y teniendo en cuenta que dx µ ≡ dx 0 ,−dx 1 ,− dx 2 ,− dx 3 se tendrá para la expresión ∂ µ :  ∂  ∂ µ ≡  0 , − ∇  ∂ x . $. La aparición de objetos de orden ó rango uno con índices arriba, o con índices abajo se lleva a cabo por la métrica. La métrica establece una correspondencia biunívoca entre los vectores (índices arriba) y 1-formas (índices abajo). Campo vectorial y campo asociado a 1-forma: A todo punto x% de la región R4 se le asigna un objeto, que viene definido por cuatro funciones cuando se representa en componentes respecto a cualquier sistema coordenado establecido en m4: Campo vectorial Campo 1-forma. J% : ∀ x% ∈ R4 → J µ (x% ) ∈ m4 J% : ∀ x% ∈ R4 → J µ (x% ) ∈ m4 Jµ =gµνJν. Relacionados por la métrica g:. Jµ =gµνJν. Ascenso de rango, derivada exterior: El operador ∂ puede actuar sobre objetos de rango cero dando objetos de rango uno. Cuando tal operador sube el rango del objeto, diremos que ∂ actúa como derivada exterior: d. Se tiene ∂ ≡ d, si sube rango: Así pondremos:. ∂: Ψ. d. (rango cero). (sube rango). dΨ (rango uno). A esta operación se le denomina normalmente obtener el gradiente. Descenso de rango, divergencia: En geometría diferencial el operador ∂ puede bajar el rango del objeto. En particular, un objeto de rango uno (vector), puede ponerse en correspondencia por medio de ∂ con un escalar. Por ejemplo, para un campo vectorial J% : Así pondremos:. ∂: J%. δ. (rango uno). (baja rango). (∂J% )≡ (δJ% )= Ψ (rango cero). ( ). El cuadrivector J% se pone en correspondencia con el escalar δJ% , por medio del operador δ denominado codiferencial. Su forma de actuar en los sistemas coordenados Lorentz es: δ ⇒ ∂µ J µ = Ψ = ∂µ J µ =. ∂J 0 ∂J 1 ∂J 2 ∂J 3 + + + ∂ x 0 ∂ x1 ∂ x 2 ∂ x 3. I 32.

(37) Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad.  ∂  ∂ µ ≡  0 , ∇   ∂ x.  ∂  ∂ µ ≡  0 , − ∇  ∂ x . &. Donde:. &. En síntesis: ∂, actuando como codiferencial: ∂ ≡ δ sirve para bajar el rango.. Las operaciones derivada exterior y codiferencial, actuando sobre campos escalares y vectoriales, son operaciones diferenciales respecto de coordenadas y tiempos de funciones que se utilizan para representar magnitudes físicas para los diferentes observadores inerciales S asociados a los sistemas coordenados Lorentz utilizados en m4. Vamos a definir objetos en m4 y ponerlos en correspondencia por medio de los operadores δ y d. Tales correspondencias serán las que denominamos relaciones geométricas. Las relaciones geométricas tendrán expresión en los sistemas coordenados Lorentz, como relación entre las componentes de los objetos. Tales relaciones serán las mismas: Se dirá que son covariantes Lorentz o invariantes (en forma) Lorentz. Al pasar a la dependencia de las funciones en coordenadas y tiempo tenderemos las relaciones en cualquier sistema inercial S. Las anteriores relaciones podrán describir leyes de la física según los observadores asociados a un sistema inercial S. En lo que sigue tratamos de establecer las leyes del campo electromagnético en el espacio-tiempo de Minkowski m4.. 3. Formulación covariante Lorentz de las ecuaciones de Maxwell: Leyes del campo electromagnético: En primer lugar vamos a describir las fuentes ρ ( r' , t ) , J& ⊥ ( r& , t ) : (densidades, respectivamente, de carga y de corriente) para un observador inercial S*. z. &. r. En cada punto r& , y en cada instante t se-. '. ρ (r , t). & &. gún S, se definen las dos funciones que des-. & &. &. J ⊥ ( r , t ) = v ( r , t ) ρ (r , t ). y x *. criben las densidades de carga y corriente. En ese punto r& , hay un campo de velocidades que describe el movimiento de las partículas que dan lugar a la corriente J& ⊥ .. El subíndice ⊥ indica aquí vector en R3.. I. 33.